Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất_SKKN toán THPT

Phần thứ nhất : Đặt vấn đề
1,Lý do chọn giải pháp :
Bất đẳng thức được coi là câu khó nhất trong các đề thi Đại học môn toán và
các đề thi học sinh giỏi . Đa phần giáo viên không chú trọng tới phần tới câu bất
đẳng thức . Điều này dẫn tới một thực trạng là học sinh rất sợ câu bất đẳng thức.
Thực ra với một đề tài hay và khó này , lựa chọn bỏ qua nó đúng là đơn giản .
nhưng đã bao giờ bạn nghĩ tới chuyện dũng cảm đối đầu với khó khăn để có thể
vượt qua chính bản thân mình ?
Nếu thực sự mong muốn như vậy thì tập giải pháp này xin được giành cho bạn
một cách trân trọng nhất , nó là kinh nghiệm đúc kết của bản thân tôi sau nhiều
năm công tác giảng dạy , nghiên cứu về đề tài bất đẳng thức. Những con đường
tư duy, những kỹ năng quan trọng , những thuật toán hiệu quả nhất sẽ được chia
sẻ .
Trên thực tế , không các giáo viên và học sinh dù đã được xây dựng cho mình
nền kiến thức khá chắc chắn , nhưng vẫn khó khăn trước những bài toán bất
đẳng thức cơ bản nhất . Bạn có thể có kiến thức , nhưng việc xâu chuỗi và sử
dụng kiến thức đó nói cách khác là khả năng vận dụng để thu được lời giải lại là
vấn đề khác . Tập giải pháp này sẽ đưa ra các kỹ thuật các phương pháp giải
cho từng dạng Toán .
2, Mục đích nghiên cứu :
Nắm được cách giải toán chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất nhỏ
nhất của hàm số bằng các phương pháp giải
3, Nhiệm vụ nghiên cứu :
Phân loại và đưa ra các phương pháp giải bài toán chứng minh bất đẳng thức và
tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất bằng các phương pháp giải : như sử dụng bất đẳng
Giải pháp "Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất"
thức , lượng giác hoá và các phương pháp xét chiều biến thiên hàm số (sử dụng
đạo hàm)
4, Phương pháp nghiên cứu :
+Nghiên cứu lý luận dạy học về bài tập toán để vận dụng vào hoạt động dạyhọc
Nghiên cứu chương trình toán THPTbao gồm : SGK lớp 10,11,12 về phần bất

đẳng thức , đạo hàm và tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất và một số sách tham
khảo khác .
-Sử dụng các đề thi đậi học của 10 năm gần đây .
Phần 2: Nội dung
A : CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN VẤN ĐỀ CẦN NGHIÊN CỨU
Chúng ta đang sống trong sống trong thời đại của sự bùng nổ tri thức khoa
học và công nghệ. Xã hội mới phồn vinh ở thế kỉ 21 phải là một xã hội dựa vào
tri thức, vào tư duy sáng tạo, vào tài năng sáng chế của con người. Trong xã hội
biến đổi nhanh chóng như hiện nay, người lao động cũng phải biết luôn tìm tòi
kiến thức mới và trau dồi năng lực của mình cho phù hợp với sự phát triển của
khoa học và kĩ thuật. Lúc đó người lao động phải có khả năng tự định hướng và
tự học để thích ứng với đòi hỏi mới của xã hội. Chính vì vậy, mục đích giáo dục
hiện nay ở nước ta và trên thế giới không chỉ dừng lại ở việc truyền thụ cho học
sinh những kiến thức, kĩ năng loài người đã tích lũy được trước đây, mà còn
đặc biệt quan tâm đến việc bồi dưỡng cho họ năng lực sáng tạo ra những tri
thức mới, phương pháp mới, cách giải quyết vấn đề mới sao cho phù hợp.
Rèn luyện năng lực tự suy nghĩ và truyền thụ kiến thức cho học sinh là vấn
đề quan trọng trong dạy học nói chung và dạy học môn Toán nói riêng. Để việc
dạy và học đạt kết quả cao thì người giáo viên phải biết phát huy tính tích cực
2
Giải pháp "Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất"
của học sinh, chọn lựa phương thức tổ chức hoạt động, cách tác động phù hợp
giúp học sinh vừa học tập, vừa phát triển nhận thức. Việc giải bài tập Toán
không những nhằm mục đích giải toán, mà nó còn có ý nghĩa to lớn trong việc
rèn luyện cho học sinh khả năng vận dụng kiến thức, kĩ năng tính toán, suy luận
logic để giải quyết những vấn đề trong thực tế cuộc sống. Trong quá trình dạy
học bài tậpToán, vai trò tự học của học sinh là rất cần thiết. Để giúp học sinh
khả năng tự học, người giáo viên phải biết lựa chọn bài tập sao cho phù hợp,
sắp xếp chúng một cách có hệ thống từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp và
hướng dẫn cho học sinh cách giải để tìm ra được bản chất của bài Toán

1.Những cơ sở lý luận của hoạt động giải bài tập Toán phổ thông
1.1 Những cơ sở lý luận của hoạt động giải bài tập Toán phổ thông
1.1.1 Mục đích, ý nghĩa của việc giải bài tập:
- Quá trình giải một bài tập Toán là quá trình tìm hiểu điều kiện của bài
toán, dựa vào kiến thức Toán để tìm ra những cái chưa biết trên cơ sở những cái
đã biết. Thông qua hoạt động giải bài tập, học sinh không những củng cố lý
thuyết và tìm ra lời giải một cách chính xác, mà còn hướng cho học sinh cách
suy nghĩ, lập luận để hiểu rõ bản chất của vấn đề, và có cái nhìn đúng đắn khoa
học. Vì thế, mục đích cơ bản đặt ra khi giải bài tập Toán là làm cho học sinh
hiểu sâu sắc hơn những quy luật Toán , biết phân tích và ứng dụng chúng vào
những vấn đề thực tiễn, vào tính toán kĩ thuật và cuối cùng là phát triển được
năng lực tư duy, năng lực tư giải quyết vấn đề.
- Muốn giải được bài tậpToán , học sinh phải biết vận dụng các thao tác tư
duy, so sánh, phân tích, tổng hợp, khái quát hóa…để xác định được bản chất
Toán. Vận dụng kiến thức Toán để giải quyết các nhiệm vụ học tập và những
vấn đề thực tế của đời sống chính là thước đo mức độ hiểu biết của học sinh. Vì
vậy, việc giải bài tập Toán là phương tiện kiểm tra kiến thức, kĩ năng của học
sinh.
3
Giải pháp "Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất"
1.1.2Tác dụng của bài tập Toán trong dạy họcToán:
1.1.2.1Bài tập giúp cho việc ôn tập, đào sâu, mở rộng kiến thức
Trong giai đoạn xây dựng kiến thức, học sinh đã nắm được cái chung, cái
khái quát của các khái niệm, định luật và cũng là cái trừu tượng. Trong bài tập,
học sinh phải vận dụng những kiến thức khái quát, trừu tượng đó vào những
trường hợp cụ thể rất đa dạng, nhờ thế mà học sinh nắm được những biểu hiện
cụ thể của chúng trong thực tế. Ngoài những ứng dụng quan trọng trong kĩ
thuật, bài tập Toán sẽ giúp học sinh thấy được những ứng dụng muôn hình,
muôn vẻ trong thực tiễn của các kiến thức đã học
Bài tập Toán là một phương tiện củng cố, ôn tập kiến thức sinh động. Khi

giải bài tập, học sinh phải nhớ lại các kiến thức đã học, có khi phải sử dụng
tổng hợp các kiến thức thuộc nhiều chương, nhiều phần của chương trình
1.1.2.2Bài tập có thể là điểm khởi đầu để dẫn dắt đến kiến thức mới
Các bài tập nếu được sử dụng khéo léo có thể dẫn học sinh đến những suy
nghĩ về một hiện tượng mới hoặc xây dựng một khái niệm mới để giải thích
hiện tượng mới do bài tập phát hiện ra
1.1.2.3Giải bài tập Toán rèn luyện kĩ năng, kĩ xảo vận dụng lý thuyết
vào thực tiễn, rèn luyện thói quen vận dụng kiến thức khái quát
Bài tập Toán là một trong những phương tiện rất quý báu để rèn luyện kĩ
năng, kĩ xảo vận dụng lý thuyết vào thực tiễn, rèn luyện thói quen vận dụng
kiến thức khái quát đã thu nhận được để giải quyết các vấn đề của thực tiễn. Có
thể xây dựng nhiều bài tập có nội dung thực tiễn, trong đó học sinh phải biết
vận dụng lý thuyết để giải thích hoặc dự đoán ở những điều kiện cho trước.
1.1.2.4Giải bài tập là một trong những hình thức làm việc tự lực
cao của học sinh
Trong khi làm bài tập, do phải tự mình phân tích các điều kiện của đầu bài,
tự xây dựng những lập luận, kiểm tra và phê phán những kết luận mà học sinh
4
Giải pháp "Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất"
rút ra được nên tư duy học sinh được phát triển, năng lực làm việc tự lực của họ
được nâng cao, tính kiên trì được phát triển.
1.1.2.5Giải bài tập Toán góp phần làm phát triển tư duy sáng tạo
của học sinh
Việc giải bài tập Toán đòi hỏi phải phân tích bài toán để tìm bản chất với
mức độ khó được nâng dần lên giúp học sinh phát triển tư duy.
Có nhiều bài tập Toán không chỉ dừng lại trong phạm vi vận dụng những
kiến thức đã học mà còn giúp bồi dưỡng cho học sinh tư duy sáng tạo.
1.1.2.6 Giải bài tập Toán để kiểm tra mức độ nắm vững kiến thức của
học sinh
Bài tập Toán cũng là một phương tiện có hiệu quả để kiểm tra mức độ nắm

vững kiến thức của học sinh. Tùy theo cách đặt câu hỏi kiểm tra, ta có thể phân
loại được các mức độ nắm vững kiến thức của học sinh, khiến cho việc đánh
giá chất lượng kiến thức của học sinh được chính xác.
2.Phân loại bài tập Toán :
2.2.Phân loại theo nội dung
Người ta dựa vào nội dung chia các bài tập theo các đề tài của tài liệu
Toán . Sự phân chia như vậy có tính chất quy ước vì bài tập có thể đề cập tới
những kiến thức của những phần khác nhau trong chương trình Toán . Theo nội
dung, người ta phân biệt các bài tập có nội dung trừu tượng, bài tập có nội dung
cụ thể .
- Bài tập có nội dung trừu tượng là trong điều kiện của bài toán, bản chất
được nêu bật lên, những chi tiết không bản chất đã được bỏ bớt.
- Bài tập vui là bài tập có tác dụng làm giảm bớt sự khô khan, mệt mỏi, ức
chế ở học sinh, nó tạo sự hứng thú đồng thời mang lại trí tuệ cao.
5
Giải pháp "Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất"
2.3. Phân loại theo yêu cầu rèn luyện kĩ năng, phát triển tư duy học sinh
trong quá trình dạy học: có thể phân biệt thành bài tập luyện tập, bài tập
sáng tạo, bài tập nghiên cứu, bài tập thiết kế
- Bài tập luyện tập: là loại bài tập mà việc giải chúng không đòi hỏi tư duy
sáng tạo của học sinh, chủ yếu chỉ yêu cầu học sinh nắm vững cách giải đối với
một loại bài tập nhất định đã được chỉ dẫn
- Bài tập sáng tạo: trong loại bài tập này, ngoài việc phải vận dụng một số
kiến thức đã học, học sinh bắt buộc phải có những ý kiến độc lập, mới mẻ,
không thể suy ra một cách logic từ những kiến thức đã học
- Bài tập nghiên cứu: là dạng bài tập trả lời những câu hỏi “tại sao”
- Bài tập thiết kế: là dạng bài tập trả lời cho những câu hỏi “phải làm như
thế nào”.
2.4.Phân loại theo cách thể hiện bài tập: người ta phân biệt bài tập thành
- Bài tập bài khoa

- Bài tập lựa chọn câu trả lời đúng nhất trong các câu trả lời cho sẵn (test).
Loại này có hạn chế là không kiểm tra được con đường suy nghĩ của người giải
nhưng vẫn có hiệu quả nhất định trong việc kiểm tra trình độ kiến thức, kĩ
năng,kĩ xảo của học sinh
2.5. Phân loại theo hình thức làm bài
2.5.1.Bài tập tự luận : đó là những bài yêu cầu học sinh giải thích, tính
toán và hoàn thành theo một logic cụ thể. Nó bao gồm những loại bài đã trình
bày ở trên.
2.5.2.Bài tập trắc nghiệm khách quan : là loại bài tập cho câu hỏi và
đáp án. Các đáp án có thể là đúng, gần đúng hoặc sai. Nhiệm vụ của học sinh là
tìm ra câu trả lời đúng nhất, cũng có khi đó là những câu bỏ lửng yêu cầu điền
vào những chỗ trống để có câu trả lời đúng. Bài tập loại này gồm:
6
Giải pháp "Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất"
- Câu đúng – sai: câu hỏi là một phát biểu, câu trả lời là một trong hai lựa
chọn
- Câu nhiều lựa chọn: một câu hỏi, nhiều phương án lựa chọn, yêu cầu học
sinh tìm câu trả lời đúng nhất
- Câu điền khuyết: nội dung trong câu bị bỏ lửng, yêu cầu học sinh điền từ
ngữ hoặc công thức đúng vào chỗ bị bỏ trống
- Câu ghép hình thức: nội dung của các câu được chia thành hai phần, học
sinh phải tìm các phần phù hợp để ghép thành câu đúng
3.Phương pháp giải bài tập
Đối với học sinh phổ thông, vấn đề giải và sửa bài tập gặp không ít khó
khăn vì học sinh thường không nắm vững lý thuyết và kĩ năng vận dụng kiến
thứcToán . Vì vậy các em giải một cách mò mẫm, không có định hướng rõ
ràng, áp dụng công thức máy móc và nhiều khi không giải được. Có nhiều
nguyên nhân:
- Học sinh chưa có phương pháp khoa học để giải bài tập Toán.
Việc rèn luyện cho học sinh biết cách giải bài tập một cách khoa học, đảm

bảo đi đến kết quả một cách chính xác là một việc rất cần thiết. Nó không
những giúp học sinh nắm vững kiến thức mà còn rèn luyện kĩ năng suy luận
logic, làm việc một cách khoa học, có kế hoạch.
Quá trình giải một bài tập Toán thực chất là quá trình tìm hiểu điều kiện
của bài tập, xác lập được những mối liên hệ cụ thể dựa trên sự vận dụng kiến
thức Toán vào điều kiện cụ thể của bài tập đã cho. Từ đó tính toán những mối
liên hệ đã xác lập được để dẫn đến lời giải và kết luận chính xác. Sự nắm vững
những mối liên hệ này sẽ giúp cho giáo viên định hướng phương pháp dạy bài
tập một cách hiệu quả.
Bài tập Toán rất đa dạng, cho nên phương pháp giải cũng rất phong phú.
Vì vậy không thể chỉ ra được một phương pháp nào cụ thể mà có thể áp dụng
7
Giải pháp "Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất"
để giải được tất cả bài tập. Từ sự phân tích như đã nêu ở trên, có thể vạch ra
một dàn bài chung gồm các bước chính như sau:
3.1. Tìm hiểu đầu bài, tóm tắt các dữ kiện
- Đọc kĩ đề bài, tìm hiểu ý nghĩa của những thuật ngữ quan trọng, xác định
đâu là ẩn số, đâu là dữ kiện.
- Dùng kí hiệu tóm tắt đề bài cho gì? Hỏi gì?.
3.2. Xây dựng lập luận
Thực chất của bước này là tìm quan hệ giữa ẩn số phải tìm với các dữ kiện
đã cho. Đối chiếu các dữ kiện đã cho và cái phải tìm liên hệ với nhau như thế
nào, qua công thức.
3.2.1 Đối với những bài tập tổng hợp phức tạp, có hai phương pháp xây
dựng lập luận để giải:
- Phương pháp phân tích: xuất phát từ ẩn số cần tìm, tìm ra mối liên hệ
giữa ẩn số đó với một đại lượng nào đó theo
- Phương pháp tổng hợp: xuất phát từ dữ kiện đã cho của đầu bài, xây
dựng lập luận hoặc biến đổi công thức diễn đạt mối quan hệ giữa các dữ kiện đã
cho với các đại lượng khác để tiến dần đến công thức cuối cùng có chứa ẩn số

và các dữ kiện đã cho.
3.2.2 Đối với bài tập định tính: ta không cần tính toán nhiều mà chủ yếu
sử dụng lập luận, suy luận logic dựa vào kiến thức Toán để giải thích hoặc dự
đoán khả năng xảy ra.
3.4. Kiểm tra, xác nhận kết quả và biện luận
- Từ mối liên hệ cơ bản, lập luận giải để tìm ra kết quả.
- Phân tích kết quả cuối cùng để loại bỏ những kết quả không phù hợp với
điều kiện đầu bài tập hoặc không phù hợp với thực tế. Việc biện luận này cũng
là một cách để kiểm tra sự đúng đắn của quá trình lập luận. Đôi khi, nhờ sự
8
Giải pháp "Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất"
biện luận này mà học sinh có thể tự phát hiện ra những sai lầm của quá trính lập
luận, do sự vô lý của kết quả thu được.
4. Xây dựng lập luận trong giải bài tập
Xây dựng lập luận trong giải bài tập là một bước quan trọng của quá trình
giải bài tậpToán . Trong bước này, ta phải vận dụng những định lý, những quy
tắc, những công thức để thiết lập mối quan hệ giữa đại lượng cần tìm, hiện
tượng cần giải thích hay dự đoán với những dữ kiện cụ thể đã cho trong đầu
bài. Muốn làm được điều đó, cần phải thực hiện những suy luận logic hoặc
những biến đổi toán học thích hợp. Có rất nhiều cách lập luận tùy theo loại bài
tập hay đặc điểm của từng bài tập. Tuy nhiên, tất cả các bài tập mà ta đã nêu ra
trong mục phân loại bài tập ở trên đều chứa đựng một số yếu tố của bài tập .
Dưới đây, ta xét đến phương pháp xây dựng lập luận để giải bài tập đó.
5.1 Các kiểu hướng dẫn học sinh giải bài tập Toán
5.1.1 Hướng dẫn theo mẫu
5.1.2. Hướng dẫn tìm tòi
5.1.3. Định hướng khái quát chương trình hóa:
6. Lựa chọn và sử dụng bài tập trong dạy học Toán
6.1. Lựa chọn bài tập
Hệ thống bài tập mà giáo viên lựa chọn phải thỏa mãn các yêu cầu sau:

- Bài tập phải đi từ dễ tới khó, từ đơn giản đến phức tạp (phạm vi và số
lượng các kiến thức, kĩ năng cần vận dụng từ một đề tài đến nhiều đề tài, số
lượng các đại lượng cho biết và các đại lượng cần tìm…) giúp học sinh nắm
được phương pháp giải các loại bài tập điển hình.
- Mỗi bài tập phải là một mắt xích trong hệ thống bài tập, đóng góp một
phần nào đó vào việc củng cố, hoàn thiện và mở rộng kiến thức.
- Hệ thống bài tập cần bao gồm nhiều thể loại bài tập: bài tập giả tạo và bài
tập có nội dung thực tế, bài tập luyện tập và bài tập sáng tạo, bài tập cho thừa
9
Giải pháp "Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất"
hoặc thiếu dữ kiện, bài tập mang tính chất ngụy biện và nghịch lý, bài tập có
nhiều cách giải khác nhau và bài tập có nhiều lời giải tùy theo điều kiện cụ thể
của bài tập mà giáo viên không nêu lên hoặc chỉ nêu lên một điều kiện nào đó
mà thôi.
 Bài tập giả tạo: là bài tập mà nội dung của nó không sát với thực tế, các
quá trình tự nhiên được đơn giản hóa đi nhiều hoặc ngược lại, cố ý ghép nhiều
yếu tố thành một đối tượng phức tạp để luyện tập, nghiên cứu. Bài tập giả tạo
thường là bài tập định lượng, có tác dụng giúp học sinh sử dụng thành thạo các
công thức để tính đại lượng nào đó khi biết các đại lượng khác có liên quan,
mặc dù trong thực tế ta có thể đo nó trực tiếp được.
6.2. Sử dụng hệ thống bài tập:
- Các bài tập đã lựa chọn có thể sử dụng ở các khâu khác nhau của quá
trình dạy học: nêu vấn đề, hình thành kiến thức mới củng cố hệ thống hóa, kiểm
tra và đánh giá kiến thức kĩ năng của học sinh.
- Cần chú ý cá biệt hóa học sinh trong việc giải bài tập Toán , thộng qua
các biện pháp sau
+ Biến đổi mức độ yêu cầu của bài tập ra cho các loại đối tượng học sinh
khác nhau, thể hiện ở mức độ trừu tượng của đầu bài, loại vấn đề cần giải
quyết, phạm vi và tính phức hợp của các số liệu cần xử lý, loại và số lượng thao
tác tư duy logic và các phép biến đổi toán học cần sử dụng, phạm vi và mức độ

các kiến thức, kĩ năng cần huy động.
+ Biến đổi mức độ yêu cầu về số lượng bài tập cần giải, về mức độ tự lực
của học sinh trong quá trình giải bài tập.
B:CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Bài toán tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của hàm số nói riêng và bất đăng thức
nói chung là một trong những chủ đề quan trọng và hấp dẫn trong chương trình
giảng dạy và học tập bộ môn Toán ở THPT.Trong các đề thi môn Toán của các
10
Giải pháp "Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất"
kì thi vào đại học,cao đẳng trong những năm gần đây.Các bài toán liên quan
đến tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của hàm số thường xuyên có mặt và thường là
một trong những câu khó nhất của đề thi.
Với lí do đó tôi đã mạnh dạn đưa ra giải pháp về chủ đề này luôn thu hút sự
quan tâm và chú ý của bạn đọc.trong sáng kiến giáo dục ” Một vài phương
pháp chứng minh Bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất “ này, tôi
sẽ cung cấp cho các đồng nghiệp và các em học sinh những cách giải thông
dụng nhất đối với những bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm
số,cũng như biết cách áp dụng bài toán này để giải các bài toán liên quan đến
nó.
Nội dung của giải pháp được trình bày trong 5 chương:
Chương I: Đưa ra
1: Những kỹ năng quan trọng cần nhớ trong việc chứng minh bất đẳng thức.
2: Cơ sở lý thuyết của bài toán tìm giá trị lớn nhất -nhỏ nhất của hàm số .
Chương II: Với tiêu đề ‘’Vài bài toán mở đầu về chứng minh bất đẳng thức
và giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của hàm số’’ sẽ giới thiệu với bạn đọc bài toán
tìmgiá trị lớn nhất,nhỏ nhất của hàm số thông qua việc trình bày tính đa dạng
của các phương pháp giải bài toán này.Bằng cách điểm lại sự có mặt của các bài
thi về chủ đề này có mặt trong các đề thi tuyển sinh Đại học-Cao đẳng trong
nhiều năm gần đây,các bạn sẽ thấy được sự cần thiết của việc phải trang bị cho
mình những kiến thức để giải quyết bài toán ấy. Các phương pháp cơ bản và

thông dụng nhất để giải bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
được trình bày từ chương 2 đến chương 4
Chương III: Phương pháp bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất
của hàm số.
ChươngIV :Phương pháp lượng giác hóa tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất
của hàm số.
11
Giải pháp "Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất"
ChươngV:Phương pháp chiều biến thiên hàm số tìm giá trị lớn nhất và nhỏ
nhất của hàm số.
ChươngI:
1:Những kĩ năng quan trọng cần nhớ trong chứng minh bất đẳng thức :
1.1-Định luật bảo toàn dấu bằng trong chứng minh bất đẳng thức và tìm giá
trị lớn nhất -giá trị nhỏ nhất :
Nếu như trong vật lí có định luật bảo toàn năng lượng,trong hóa học có định
luật bảo toàn khối lượng thì trong bất đẳng thức toán học ,ta cần biết đến định
luật bảo toàn dấu bằng.Cụ thể là khi gặp một bất đẳng thức,bạn có thể có nhiều
hướng tiếp cận nhưng chung quy lại,khi kết thúc nó bạn luôn luôn phải “bảo
toàn”được dấu bằng trong quá trình đánh giá.Điều này có nghĩa là lời giải của
bạn chỉ tồn tại một đánh giá nào đó không bảo đảm được dấu bằng thì lời giải
đó chắc chắn sai.hãy xét ví dụ đơn giản sau để hiểu hơn
VD: chứng minh rằng với mọi số thực a,b ta luôn có
2 2
4 4a b ab+ ≥
Lời
giải đúng: sử dụng bất đẳng thức Côsi bộ hai số có dạng
2 2
2xx y y+ ≥

Ta có:

2 2
4 2 .2 4aa b a b b+ ≥ =

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=2b
Hướng giải sai
Sử dụng bất đẳng thức Côsi bộ hai số
2 2
2xx y y+ ≥
,ta có
2 2 2 2 2 2
4 ( ) 3 2a 3a b a b b b b+ = + + ≥ +

Vì sao chỉ cần nhìn thấy dòng này ta biêt ngay hướng giải sai? Bởi nếu đánh giá
như vậy dấu bằng xảy ra khi a=b,trong khi vơi bất đẳng thức gốc dấu bằng xảy
ra khi a=2b.Và như tôi đã nói ở trên khi dấu bằng không được bảo toàn thì
chứng minh của chúng ta chắc chắn không còn hi vọng đúng
12
Giải pháp "Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất"
Ở góc đọ người chấm thi họ thường có tâm lí ngại đọc một lời giải dài khi ấy
mà nhìn thoáng qua lại có một đánh giá nào đấy không bảo toàn dấu bằng hắn
sẽ rất thích thú và không đọc cụ thể nữa.Bởi lời giải này chắc chắn sai rồi
Ở góc độ người làm bài chỉ điểm thuận lợi là khi dự đoán được dấu đẳng thức ta
có thể tránh được rât nhiều những “Hướng đi tới ngõ cụt”, từ đo tối ưu hóa hiêu
quả và thời gian làm bài.
Chính bởi tính bắt buộc của định luật bảo toàn dấu bằng là một vấn đề đáng
quan tâm nhất khi giải bài toán bất đẳng thức và cực trị.Thong thườngchúng ta
sử dụng kx thuật chon điể dơi đẻ tì dấu bằng của bài toán.
1.2Độ mạnh yếu trong chứng minh bất đẳng thức:
Chắc chắn bạn sẽ băn khoăn, học toán chứ có phải thi võ đau mà xét mạnh
yếu?

Tôi biết nghe có vẻ lạ nhưng thục sự khái niêm mạnh yếu là một vai trò rất quan
trọng trong việc giải toán bất đẳng thức. Nó cho ta biết trong hàng nghìn nbất
đẳng thức nào có thể so sáng với nhau và mối quan heẹ cụ thể giữa
chúng.Ngoài ra, từ đo ta có thể nhận biết được trong một nhóm bất đẳng thức
cùng dạng bất đẳng thức nào sẽ dễ hơn khó hơn. Thông thường,bất đẳng thức
càng mạnh(tức càng chặt) thì càng khó và ngược lại.
Thực ra định nghĩa tổng quát về đọ mạnh yếu của bất đảng thức khá phức tạp
đói với học sinh phổ thông nên vì tính mục đích của giải pháp tôi chỉ nêu một
hệ quả quan trọng suy ra từ định nghĩa:
Hệ quả:
Nếu từ bất đẳng thức 1 suy ra được bất đẳng thức 2 nhưng từ hai ta không thể
suy ngược lại 1 thì ta nói bất đẳng thức 1 mạnh hơn bất đẳng thức 2
Ví dụ 1:Ta có chuỗi bất đẳng thức dạng
A B C≥ ≥
Dựa vào định nghĩa trên ta có kết luận:
-Bất đẳng thức
B C≥
mạnh hơn bất đẳng thức
A C≥

13
Giải pháp "Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất"
-
A B≥
và
B C≥
là bất đẳng thức có thể so sánh được với nhau
Ví dụ 2:Chứn minh 3>1
Ta chỉ có thể chứng minh 3>2,2>1.Tuy nhiên nếu ta đánh giá 3>0 thì cần phải
chỉ ra 0>1,tuy nhiên bất đẳng thức này bị ngược dấu

Như vậy trên thực tế khái niệm mạnh yếu còn giúp còn giúp ta thấy được sai
lầm mình phải mắc cụ thể là ở bước nào.
1.3Biến đổi tương đương
Có một kĩ năng thường xuyên được sử dụng trong các bài toán bất đẳng thức,đó
là kĩ năng biến đổi tương đương.Khi biến đỏi tương đương,thì những bất đẳng
thức thu được sẽ tương đương với bất đẳng thức ban đầu.Bất đẳng thức ban đầu
đúng thì bất đẳng thức sau thu được cũng sẽ đúng.Tức đọ chặt chẽ của bài luôn
được bảo toàn.Để dễ hình dung ta xết ví dụ sau:Để chứng minh 4>2,chia cả 2
vế cho 2;ta chỉ cần chứng minh tương đương 2>1
Tóm lại biến đổi tương đương cụ thể là thé nào?Ta dùng nó trong trường hợp gì
mục đich ra sao?Xét ví dụ đẻ hiểu hơn
Cho a,b>0 chứng minh răng:
2
2 2
2
2
a b
b a b
+ ≥
+

Lời giải
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
2
2 2
2aa
b a b
≥
+
hay

2
2 2
( )
0
( )
a a b
b a b
−
⇔ ≥
+
(luôn đúng với a,b>0
Vậy biến đỏi tương đương là quá trình sử dụng một hoắc nhiều những phép
toán đại số để đưa bất đẳng thúc đã cho vè dạng tương đương giúp việc đánh
giá trở nên thuận lợi hơn.
Những phép toán đại sô thường sử dụng là chuyển vế đổi dấu, quy đòng mẫu
số,thêm bớt Một trong những phương pháp biến đổi tuơng đương là kỹ năng
đồng bậc hoá,
14
Giải pháp "Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất"
1.4: Bậc của bất đẳng thức và kĩ năng đồng hóa :
- Trước tiên ta cần năm vưng hai quy ước sau
Bậc của một bất đẳng thức là soó mũ cao nhất của hạng tử trong đó.
Ví dụ:
+)
2
x 2x 3 0+ + >
là một bất đẳng thúc bậc hai vì hạng tử
2
x
có số mũ cao nhất

Một bất đẳng thức được gọi là đòng bậc nếu có dạng
1 2
( , , ) 0
n
f x x x ≥
trong đó
1 2
( , , )
n
f x x x
là một đa thức đòng bậc
Ví dụ:
+)2
2 3 2 2 6
a b a a b≤ +
là một bất đẳng thức không đong bậc vìnó có thể viêt lại
thành f(a,b)=
2 2 6 2 3
2 0a a b a b+ − ≥
với f(a,b) chứa các hạng tử bậc 2,8,5
2: Cơ sở lý thuyết của bài toán tìm gía trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
Cơ sở lý thuyết của bài toán tìm gía trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
2.1-Định nghĩa giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số :
Đinh nghiã 1:xét hàm số f(x) với
x D
∈
.Ta nói rằng M là giá trị lớn nhất của
hàm số trên D,nếu như thỏa mãn điều kiện sau:
1.
( ) ,f x M x D≤ ∀ ∈

2. Tồn tại
0
x D∈
,sao cho
0
( )f x M=
. khi đó ta kí hiệu
max ( )
x D
M f x
∈
=
Định nghĩa 2: Xét hàm số f(x) với
x D
∈
. Ta nói rằng m là giá trị nhỏ nhất của
f(x) trên D , nếu như thỏa mãn các điều kiện sau
1.
( )f x
( )f x m x D≥ ∀ ∈
2. Tồn tại
0
x D∈
sao cho
0
( )f x m=
khi đo ta kí hiệu
min ( )
x D
m f x

∈
=
Như vậy định nghĩa giá trị lớn nhất và nhỏ nhất đều có hai phần. Cần lưu ý rằng
cả hai phần đều quan trọng như nhau, không được xem nhẹ phần hai.
Xét ví dụ sau đây:
15
Giải pháp "Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất"
Cho x>0,y>0 và
2 2
1x y+ =
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
1 1
(1 ) 1 (1 ) 1P x y
y x
 
 
= + + + + +
 ÷
 ÷
 
 
Xét phép giả sau đây:
1 1
2
x y
P x y
x y y x
   
 
= + + + + + +

 ÷  ÷
 ÷
 
   
ta có
1 1
2; 2; 2
x y
x y
x y y x
+ ≥ + ≥ + ≥
từ đó suy ra
8P ≥
vậy minP=8
Cách giả này sai ở chỗ là mới dựa vào phần 1 của định nghĩa giá trị nhỏ nhất.
Ta xem xem phần 2 có thỏa mãn hay không. Để dấu bằng xảy ra thì x=y=1 khi
đó
2 2
2x y+ =
vậy không thể xảy ra dấu bằng trong bất đẳng thức
8P
≥
tức là
phần hai về định nghĩa giá trị nhỏ nhất không thỏa mãn vì thế kết luận minS=8
là sai
Cách giải đúng như sau:
Viết lại S dưới dạng:
1 1
1 1
x y

S x y
y y x x
= + + + + + + +
=
1 1 1 1 1
2
2 2 2
x y
x y
x y y x x y
     
 
+ + + + + + + +
 ÷  ÷  ÷
 ÷
 
     
(1)
Ta có
1 1
2; 2;
2 2
x y
x y
+ ≥ + ≥
(2)

2
x y
y x

+ ≥
(3)
mặt khác:
1 1
x
+
1 1 2
x y
xy
+ ≥
(4)
Do
2 2
2x y xy+ ≥
nên từ (4) ta có:
2 2
1 1 2
2 2
2
x y
x y
+ ≥ =
+
(5)
Từ (1) (2) (3) (5) suy ra
3 2 4S ≥ +
(6)
16
Giải pháp "Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất"
Dấu bằng trong (6) xảy ra khi đòng thời co dấu bằng trong (2) (3) (5)

2
2
x y⇔ = =
Như vậy tồn tại (
0; 0
)x y
thỏa mãn
2 2
0 0
1x y+ =
và
3 2 4S = +
khi
0 0
;x x y y= =
theo định nghĩa về giá trị nhỏ nhất ta có
minS 3 2 4= +
Qua ví dụ này ta thấy nếu không để ý đến điều kiện 2 trong định nghĩa thì bài
toán có thể dẫn tới sai lầm.
2.2Cáctính chất của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
Tính chất 1: Giả sử f(x) xác định trên D và A,B là tập của D trong đó A
B⊆
Giả sử tồn tại
ax ( ); ax ( );min ( ); ax ( )
x A
x A x B x B
m f x m f x f x m f x
∈
∈ ∈ ∈
khi đó ta có

ax ( ) ax ( )
x A x B
m f x m f x
∈ ∈
≤
A

min ( ) min ( )
x A x B
f x f x
∈ ∈
≥

Chứng minh: ta chứng minh 1
Giả sử
0 0
ax ( ) ( ),
x D
m f x f x x A
∈
= ∈
.Do
0
x A∈
mà A
B⊆
nên
0
x B∈
.

Ta có
0
( ) ax ( )
x D
f x m f x
∈
≤
⇒
đpcm
Tính chất 2:Giả sử f(x) và g(x) là hai hàm số cùng xác định trên D và thỏa mãn
điều kiện
( ) ( )f x g x x D≥ ∀ ∈
Giả sử cùng tồn tại
ax ( ); ax ( )
x D x D
m f x m g x
∈ ∈
khi đó ta có
ax ( ) ax ( )
x D x D
m f x m g x
∈ ∈
≥
Chứng minh: Giả sử
0
ax ( ) ( )
x D
m g x g x
∈
=

với
0
x D∈
ta có f(x)
( )g x x D≥ ∀ ∈
0 0
( ) ( )f x g x⇒ ≥
Do
17
Giải pháp "Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất"
0 0
ax ( ) ( ) ( ) ax ( )
x D x D
m f x f x g x m g x
∈ ∈
≥ ≥ = ⇒
đpcm
Tính chất 3: Giả sử f(x) xác định trên miền D và
1 2
D D D= ∪
giả thiết tồ tại
ax ( ),min ( ) 1,2
i
i
x D
x D
m f x f x I
∈
∈
∀ =

Khi đó ta có công thức sau:
{ }
1
2
ax ( ) ax ax ( ); ax ( )
x D x D x D
m f x m m f x m f x
∈ ∈ ∈
=
(1)
{ }
1 2
min ( ) min min ( );min ( )
x D x D x D
f x f x f x
∈ ∈ ∈
=
(2)
Chứng minh : Ta chứng minh 1. vì
, 1,2
i
D D I⊆ =
nên theo tính chất 2 ta có
1 1 2
max ( ) max ( );max ( ) m ax ( )
x D x D x D x D
f x f x f x f x
∈ ∈ ∈ ∈
≤ ≤
(3)

từ (3) suy ra
{ }
1 2 1
ax ( );max ( ) max ( )
x D x D x D
m f x f x f x
∈ ∈ ∈
≤
(4)
Giả sử
0
ax ( ) ( );
o
x D
m f x f x x D
∈
= ∈
Vì
1 2 0 0 1 2
,D D D x D x D D= ∪ ∈ ⇒ ∈ ∪
.Do vậy
0
x
phải thuộc về ít nhất 1 trong 2
tập.Từ đó có thể cho là
0 1
x D∈
.theo định nghĩa về giá trị lớn nhất ta có
1
0

( ) ax ( )
x D
f x m f x
∈
≤
(5)
Hiển nhiên
{ }
1 2
ax ( ) ax ax ( ); ax( )
x D x D
m f x m m f x m x
∈ ∈
≤
(6)
Từ 5,6 suy ra
{ }
1 1 2
0
( ) ax ( ) ax ( ); ax ( )
x D x D x D
f x m f x m f x m f x
∈ ∈ ∈
= ≤
(7)
Bây giờ từ (4) (7) ta có
{ }
1 2
ax ( ) ax ax ( ); ax ( ) dpcm
x D x D x D

m f x m m f x m f x
∈ ∈ ∈
= ⇒
Nhờ tính chất 3 nói tren cho phép ta có thể biến bài toán tìm giá trị lớn nhất giá
trị nhỏ nhất của một hàm số trên một miền xác định phức tạp thành một dãy bài
toán trên các miền đơn giản.
18
Giải pháp "Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất"
Vì lý do ấy tính chất 3 còn gọi là NGUYÊN LÝ PHÂN RÃ.
Ví dụ minh họa:
Cho
0x ≥
,
0, 6y x y≥ + ≤
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2
(4 ).P x y x y= − −
Đặt
{ }
( )
{ }
1
( ; ): 0; 0; 6
; : 0; 0;4 6
D x y x y x y
D x y x y x y
= ≥ ≥ + ≤
= ≥ ≥ ≤ + ≤

{ }

2
( ; ): 0; 0; 4D x y x y x y= ≥ ≥ + ≤
Khi đó rõ ràng
1 2
D D D= ∪
Theo nguyên lý phân rã, ta có:
{ }
1 2
, , ,
ax ax ax ; ax
x y D x y D x y D
m P m m P m P
∈ ∈ ∈
=
(1)
với mọi
1
( ; ) 4 0x y D x y∈ ⇒ − − ≤
vì
0x ≥
,
0y ≥
nên
0P ≤
1
( ; )x y D∀ ∈
.
Lại có (2;2)
1
D∈

và khi đó P=0, nên
1
,
max 0
x y D
P
∈
=
(2)
với mọi
2
( ; )x y D∈
thì
4 0,x y− − ≥
nên theo bất đẳng thức Cô si ta có :
4
2
(4 )
2 2
(4 ) 4
4
x x
y x y
P x y x y
 
+ + + − −
 
= − − ≤
 
 

 
hay
( )
2
4 ;P x y D≤ ∀ ∈
Mặt khác từ
2
4
1
2
x
x
y x y
y
=

= = − − ⇔

=

Rõ ràng (2;1)
2
D∈
,
ax 4
x y D
m P
∈
⇒ =
(3)

Từ (1) (2) (3) suy ra
{ }
,
ax ax 0;4 4
x y D
m P m
∈
= =
Tính chất 4: giả sử hám số f(x) xác định trên D và tồn tại
ax ( );min ( )
x D
x D
m f x f x
∈
∈
.
Khi đó ta có
ax ( ) min( ( ))
x D
x D
m f x f x
∈
∈
= − −
;
min ( ) ax( ( ))
x D
x D
f x m f x
∈

∈
= − −
19
Giải pháp "Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất"
Chứng Minh :
Giả sử
ax ( )
x D
M m f x
∈
=
Khi đó theo định nghĩa giá trị lớn nhất của hám số ta có
0 0
( )
( ) ,
f x M x D
f x M x D
≤ ∀ ∈


= ∈

từ hệ suy ra
0
( )
( )
f x M x D
f x M
− ≥ − ∀ ∈



− = −

Theo định nghĩa gía trị nhỏ nhất
min( ( ))
x D
f x M
∈
⇒ − = −
Như vậy
ax ( ) min( ( ))
x D
x D
m f x f x
∈
∈
= − − ⇒
đpcm
Tính chất 5: Cho hàm số cùng xác định trên miền D.
Đặt
1 2
( ) ( ), ( )
n
f x f x f x+ +
.
Giả sử tồn tại
ax ( ),min ( ) ax ( ),min ( ) ,
i i
x D x D
x D x D

m f x f x m f x f x i i n
∈ ∈
∈ ∈
∀ =
Khi đó ta có
1 2
ax ( ) ax ( ) ax ( ) ax ( )
n
x D x D x D x D
m f x m f x m f x m f x
∈ ∈ ∈ ∈
≤ + + +
(1)
1 2
min ( ) min ( ) min ( ) min ( )
n
x D x D x D x D
f x f x f x f x
∈ ∈ ∈ ∈
≥ + + +
(2)
Dấu bằng trong (1) xảy ra khi và chỉ khi tồn tại
0
x D∈
sao cho
0
max
( ) ( ), 1,
i i
f x f x i n

x D
= ∀ =
∈
Dấu bằng trong 2 xảy ra khi và chỉ khi tồn tại
0
x D∈
sao cho
1 0
min
( ) ( ), 1,
i
f x f x i n
x D
= ∀ =
∈
Chứng minh:
Ta chứng minh 1
lấy tùy ý x
D∈
.Theo định nghĩa giá trị lớn nhất ta có:
20
Giải pháp "Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất"
ax ( ), 1.
i i
x D
f m f x i n
∈
≤ ∀ =
(3)
Cộng từng vế bất đẳ thức n ta có :

1 2 1 1
( ) ( ), ( ) ax ( ) ax ( )
i i
n n
x D x D
f x f x f x m f x m f x
∈ ∈
+ + ≤ + +
(4)
Vì bất đẳ thức (4) đúng
x D∀ ∈
nên ta có:
ax ( ) ax ( ) ax ( )
i i
i n
x D x D x D
m f x m f x m f x
∈ ∈ ∈
≤ + +
(5)
Vậy (5) đúng. Bây giờ xét khả năng có dấu bằng trong (1)
Giả sử tồn tại
0
x D∈
mà
1 0 0
ax ( ) ax ( ) ( ) ( )
i n n
x D x D

m f x m f x f x f x
∈ ∈
+ + = + +
=
0
( )f x
(6)
Do
0
( ) ax ( )
x D
f x m f x
∈
≤
, nên từ (6) suy ra
1
ax ( ) ax ( ) ax ( )
n
x D x D x D
m f x m f x m f x
∈ ∈ ∈
+ + ≤
(7)
Từ (5)(7) suy ra trường hợp này xảy ra dấu
bằ trong (1)
Ví dụ minh họa:
2 2
2 2
2 2
1 1

( ) os sin , ( )
os sin 2
k
f x c x x x k Z
c x x
π
   
= + + + ≠ ∈
 ÷  ÷
   
Viết lại f(x) dưới dạng sau:
2
4 4 2
4 4 4 4
2
2
4
1
1 sin 2
1 1 1
2
( ) sin os 4 1 sin 2 4
sin os 2 sin os
1
1 sin 2
1
2
5 sin 2 16 5 ( ) ( )
2 sin 2
x

f x x c x x
x c x xc x
x
x g x h x
x
−
 
= + + + + = − + +
 ÷
 
−
= − + = + +
với
( )g x = −
2
2
4
1
1 sin 2
1
2
( ) sin 2 ; ( ) 16
2 sin 2
x
g x x h x
x
−
= =
21
Giải pháp "Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất"

Dễ thấy
min min
1
( ) ; ( ) 8
2
2 2
g x h x
k k
x x
π π
= − =
≠ ≠
(2)
Do tồn tại
0
2
k
x
π
≠
mà g(
0
x
)=
0
1
. ( ) 8
2
h x− =
Tức là tồn tại

0
x
mà
( )
o
g x =
0 0
2 2
( ) min ( ); ( ) min ( )
k k
x x
g x g x h x h x
π π
≠ ≠
= =
Vì lẽ đó theo tính chất 5, ta có:
2 2 2
1 25
min ( ) min ( ) min ( ) 5 8 5
2 2
k k k
x x x
f x g x h x
π π π
≠ ≠ ≠
= + + = − + + =
Tính chất 6: Giả sử
1 2
( ), ( ), , ( )
n

f x f x f x
cùng xác định trên miền D, và ta có
( ) 0 , 1, .
i
f x x D i i> ∀ ∈ ∀ =
Giả thiết thêm tồn tại
1 2
max ( ),max ( ) ,max ( )
n
x D x D x D
f x f x f x
∈ ∈ ∈

cũng như
1
min ( ), min ( )
n
x D x D
f x f n
∈ ∈
.
Đặt f(x)=
1 2
( ), ( ) ( )
n
f x f x f x
.Khi đó ta có:
1 2
max ( ) m ax ( ), m ax ( ), max ( ),
n

x D x D x D x D
f x f x f x f n
∈ ∈ ∈ ∈
    
≤
 ÷ ÷  ÷
    
(1)
1 2
min ( ) min ( ), min ( ), min ( ),
n
x D x D x D x D
f x f x f x f n
∈ ∈ ∈ ∈
    
≤
 ÷ ÷  ÷
    
(2)
Dấu bằng trong (1) xảy ra khi và chỉ khi tồn tại
0
x D∈
sao cho
0
min
( ) ( ), 1,
i i
f x f x i n
x D
= ∀ =

∈
Tương tự dấu bằng trong (2) xảy ra khi và chỉ khi tồn tại
0
x D∈
sao cho
0
min
( ) ( ), 1,
i i
f x f x i n
x D
= ∀ =
∈
Chứng minh hoàn toàn tương tự như chứng minh của tính chất 5
22
Giải pháp "Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất"
Tính Chất 7:Giả sử f(x)và g(x) là hai hàm số cùng xác định trên miền D. Đặt
h(x)=f(x)-g(x).Giả sử tồn tại giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số f(x),g(x),h(x)
trên D. Khi đó ta có:
max ( ) m ax ( ) max ( )
x D x D x D
h x f x g x
∈ ∈ ∈
≤ −
(1)

min ( ) min ( ) min ( )
x D x D x D
h x f x g x
∈ ∈ ∈

≥ −
(2)
Dấu bằng trong (1) xảy ra khi và chỉ khi tồn tại
0
x D∈
sao cho
0 0
max ( ) ( );min ( ) ( )
x D
x D
f x f x g x g x
∈
∈
= =
Dấu bằng trong (2) xảy ra khi và chỉ khi tồn tại
0
x D∈
sao cho
0 0
min ( ) ( );max ( ) ( )
x D
x D
f x f x g x g x
∈
∈
= =
Chứng minh: Ta chỉ cần chứng minh (1) .
Ta có h(x)=f(x)-g(x)=f(x)+(-g(x))
Theo tính chất 5 ta có
ax a ax

( ) ( ) ( ( ))
m m x m
h x f x g x
x D x D x D
≤ + −
∈ ∈ ∈
(3)
Theo tính chất 2 ta có
max( ( )) min ( )
x D
x D
g x g x
∈
∈
− = −
(4)
Thay (4) vào (3) ta có
max ( ) m ax ( ) min ( )
x D
x D x D
h x f x g x
∈
∈ ∈
≤ −
. Vậy (1) đúng.
Vẫn theo tính chất 5 thì dấu bằng trong (3) xảy ra khi và chỉ khi tồn tại
0
x D∈

sao cho ta có:

0 0
max ( ) ( );max( ( )) ( ).
x D x D
f x f x g x g x
∈ ∈
= − = −
Nhưng
0
max( ( )) ( )
x D
g x g x
∈
− = −
⇔
0 0
min ( ) ( ) min ( ) ( )
x D x D
g x g x g x g x
∈ ∈
− = − ⇔ = ⇒
đó
là đpcm.
23
Giải pháp "Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất"
Tương tự ta có tính chất sau
Giả sử f(x),g(x) là các hàm số xác định và dương khi
x D
∈
.Đặt
( )

( )
( )
f x
h x
g x
=
và giả thiết tồn tại các giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
các hàm số h(x),f(x),g(x) trên D. Ta có
max ( )
max ( )
min ( )
x D
x D
x D
f x
h x
g x
∈
∈
∈
≤
(1)
min ( )
min ( )
max ( )
x D
x D
x D
f x
h x

g x
∈
∈
∈
≥
(2)
Dấu bằng trong (1) xảy ra khi và chỉ khi tồn tại
0
x D=
sao cho
0 0
max ( ) ( );min ( ) ( )
x D
x D
f x f x g x g x
∈
∈
= =

Dấu bằng trong (1) xảy ra khi và chỉ khi tồn tại
0
x D=
sao cho
0 0
min ( ) ( );max ( ) ( )
x D
x D
f x f x g x g x
∈
∈

= =
Tính chất 8:
1. Giả sử f(x) là hàm số xác định trên miền D.Khi đó với mọi n nguyên dương
ta có
( ) ( )
2 1 2 1
2 1 2 1
max ( ) max ( ) ;min ( ) max ( )
n n
n n
x D
x D x D x D
f x f x f x f x
+ +
+ +
∈
∈ ∈ ∈
= =
2.Nếu thêm vào giả thiết f(x)
x D
≥ ∀ ∈
.Khi đó với mọi n nguyên dương, ta có :
( ) ( )
2 2
2
2
max ( ) max ( ) ;min ( ) min ( )
n n
n
n

x D x D
x D x D
f x f x f x f x
∈ ∈
∈ ∈
= =
.
Chứng minh tính chất này suy trực tiếp từ định nghĩa của giá trị lớn nhất và giá
trị nhỏ nhất của hàm số, cũng như các tính chất về lũy thừa của một bất đẳng
thức.
24
Giải pháp "Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất"
Trong thực tế, người ta rất hay sử dụng một trường hợp riêng của tính chất 9
như sau:
Nếu
( ) 0f x x D≥ ∀ ∈
thì
( ) ( )
2 2
max ( ) min ( ) ;max ( ) min ( )
x D x D
x D x D
f x f x f x f x
∈ ∈
∈ ∈
= =
Điều này rất có ích để giải các bài toán thuộc dạng căn bậc hai hoặc có chứa
biểu thức với dấu giá trị tuyệt đối
Xét ví dụ minh họa sau đây:
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: f(x)=

1 sin 1 cos ,x x x R+ + + ∈
do f(x)>0
x R
∀ ∈
, nên theo tính chất 9 ta có
( ) ( )
2 2
max ( ) m ax ( ) ;m ax ( ) max ( )
x D x D x D x D
f x f x f x f x
∈ ∈ ∈ ∈
= =
(1)
Ta có
2
( ) 2 (sin cos ) 2 1 (sin cos ) sin xcosf x x x x x x= + + + + + +
Đặt
2
1
sin os x sinx cos à có 2 2
2
t
t x c x v t
−
= + ⇒ = − ≤ ≤
Xét hàm số f(t)
2
1
2 2 1 2 2 | 1|
2

t
t t t t t
−
= + + + + = + + +
, với
2 2t− ≤ ≤
ta có bảng biến thiên:
t
2−
1
2
F(t)
( )
1 2 2 2t− + −
( )
1 2 2 2t− + +
F'(t)
1 2−

2 1+
F'(t)
−
+
F(t)
25