Rèn luyện cho học sinh kĩ năng giải một số dạng phương trình lượng giác_SKKN toán THPT

PHẦN I : ĐẶT VẤN ĐỀ .
Phương trình lượng giác là một trong những dạng toán thường xuất hiện
trong đề thi đại học và thi học sinh giỏi. Đa số học sinh đã giải quyết được
những dạng phương trình lượng giác cơ bản, tuy nhiên học sinh chưa thực sự
giải quyết tốt khi gặp các phương trình lượng giác trong đề thi. Việc cung cấp
cho học sinh một số phương pháp giải phương trình lượng giác là một việc làm
cần thiết. Chính vì thế tơi chọn đề tài “ Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải
một số dạng phương trình lượng giác”
PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1.Cơ sở lý luận của vấn đề
a) Phương trình lượng giác cơ bản:
x = α + k 2π

(k ∈ z ).
+) sinx= m ⇔ 
x = π − α + k 2π
Với m ≤ 1 và sin α =m (có thể lấy α = arcsinm).
+) cosx= m ⇔ x = ±α + k 2π (k ∈ z ).
Với m ≤ 1 và cos α =m (có thể lấy α = arccosm).
+) tanx= m ⇔ x= α + kπ , với tan α =m ( có thể lấy α =arctanm) (k ∈ z ).
+) cotx= m ⇔ x= α + kπ , với cot α = m ( có thể lấy α = arccotm) (k ∈ z ).
b) Một số dạng phương trình lượng giác đơn giản.
+) Phương trình bậc nhất hoặc bậc hai đối với f(x) ( f(x) là một biểu thức lượng
giác nào đó). Đặt ẩn phụ: t= f(x)
+)Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx: asinx+ bcosx= c (a2+b2 ≠ 0)
Biến đổi vế trái về dạng: Csin(x+ α ) hoặc Ccos(x+ β )
+) Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx.
asin2x+ bsinxcosx+ ccos2x= 0 ( a2+ b2+ c2 ≠ 0)
Chia hai vế cho cos2x( với cosx ≠ 0), hoặc chia hai vế cho sin2x( với sinx ≠ 0)
+) Phương trình dạng: asin2x+bsinxcosx+ ccos2x= d. (a2+b2+c2 ≠ 0 ).
Viết: d= d(sin2x+ cos2x) rồi đưa về dạng phương trình thuần nhất bậc hai đối

với sinx và cosx.
+) Phương trình dạng: a(sinx+ cosx)+ bsinxcosx+ c= 0
Đặt: t= sinx+ cosx=

2 sin( x +

π
π
) = 2 cos( x − )
4
4

(đk: t ≤ 2 )

1


⇒ sin x cos x =

t 2 −1
⇒ phương trình bậc hai ẩn t.
2

+) Phương trình dạng: a(sinx- cosx)+ bsinxcosx+ c= 0
Đặt: t= sinx- cosx=

2 sin( x −

π
4

) = − 2 cos( x +

π
4

) (đk: t ≤ 2 ).

1− t2 ⇒
phương trình bậc hai ẩn t.
⇒ sin x cos x =
2
Phương pháp giải phương trình lượng giác thơng qua sơ đồ sau
Phương pháp giải phương trình lượng giác

Phương pháp giải
phương trình lượng giác
đưa về phương trình tích

Biến đởi
tởng
thành
tích

Biến đởi
tích
thành
tởng

Phương pháp giải phương

trình lượng giác: Đại sớ
hóa bằng cách đặt ẩn phụ

Phương trình
bậc 1, bậc 2
đối với các
hàm số lượng
giác

Phương
trình bậc 1
đới với sinx
và cosx

Phương pháp giải
phương trình
khơng mẫu mực

Phương
trình th̀n
nhất bậc 2
đới với sinx
và cosx

Phương pháp giải phương
trình đưa về phương trình
lượng giác đã biết cách giải

Phương
trình đới

xứng đơí
vơí sinx,
cosx

Phương trình lượng giác cơ bản

2. Thực trạng vấn đề .
Khi gặp bài toán giải lượng giác ở phức tạp, học sinh rất lúng túng trong
cách giải quyết.Tuy nhiên khi nắm bắt được quy luật của một số dạng tốn thì
khó khăn sẽ được giải quyết.
3. Giải pháp và tổ chức thực hiện
Để thực hiện đề tài này, tôi phân thành 4 phương pháp. Mỗi phương pháp
tôi đưa ra một số các ví dụ và các bài tập áp dụng, các ví dụ này chủ yếu trong

2


các đề thi đại học, đề thi học sinh giỏi các năm gần đây và một số bài tập tương
tự. Sau đây là một số phương pháp giải phương trình lượng giác
1.Phương pháp1: Sử dụng các biến đổi lượng giác đưa về phương trình
lượng giác đã biết cách giải.Rất nhiều phương trình lượng giác chỉ cần sử dụng
các cơng thức lượng giác như các cơng thức hạ bậc, góc nhân đơi, cơng thức
biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng thì sẽ biến đổi đưa về phương trình
lượng giác đã biết cách giải.
Ví dụ 1.(Đại học khối D - 2007) .Giải phương trình
x
2

x
2

(sin +cos )2 + 3 cosx =2

(1a)

Giải:
Phương trình (1a) tương đương với :
cos 2

x
x
x
x
+ sin 2
+2sin cos + 3 cosx =2
2
2
2
2

⇔ 1+ sinx + 3 cosx ⇔

1
1
π
1
3
sinx + cosx = ⇔ cos(x- ) =
2
2

6
2
2

π
 π π

 x − 6 = 3 + k 2π
 x = 2 + k 2π
⇔ 
⇔ 
(k∈ z)
 x − π = − π + k 2π
 x = − π + k 2π


6
6
3



Vậy nghiệm của phương trình là : x=

π
π
+k2 π , x= - +k2 π
2
6

(k∈ z ) .

Ví dụ 2 . Giải phương trình :
sin2xcosx + 3 cos3x =2- cos2xsinx

(3a)

Giải:
Phương trình (3a) tương đương với :
1
1
(sin3x +sinx ) + 3 cos3x = 2- (sin3x - sinx)
2
2
⇔ sin3x + 3 cos3x= 2 ⇔
⇔ cos(

1
3
sin3x + cos3x = 1
2
2

π
π
π k 2π
− 3 x )= 1 ⇔ − 3 x = k2 π ⇔ x = (k∈ z)
6
6
18

3

Vậy phương trình có nghiệm là:

x=

π k 2π
18
3

(k∈ z)

Ví dụ 3 (Đại học khối A - 2005). Giải phương trình:
cos23xcos2x - cos2x = 0

(4a)
3


Giải
Phương trình (4a) tương đương với :
(1 + cos6x) cos2x - (1 + cos2x) = 0
⇔ cos2x + cos6x cos2x - 1- cos2x = 0
⇔ cos6x cos2x -1= 0 ⇔

1
(cos4x + cos8x )- 1= 0
2

⇔ cos8x+ cos4x- 2= 0

3

cos 4 x = − 2 ⇒ cos 4 x = 1 .
⇔ 2cos 4x + cos4x - 3 = 0 ⇔

cos 4 x = 1
2

+) cos4x = 1 ⇔ 4x = k2 π ⇔ x =

kπ
2

(k∈ z).

Vậy phương trình có nghiệm là: x=

kπ
(k∈ z).
2

Ví dụ4 (Đại học dự bị khối B- 2003).
Giải phương trình:

x π
(2 − 3 ) cos x − 2 sin 2 ( − )
2 4 =1
2 cos x − 1

(5a)

Giải
Đk: cosx ≠

1
2

(*)

Phương trình (5a) tương đương với:
π
2

(2- 3 )cosx - [1- cos(x- )] = 2cosx- 1
⇔ (2- 3 )cosx - 1+ cos(x⇔ (2-

π
) = 2cosx - 1
2

3 )cosx - 1+ sinx = 2 cosx -- 1

⇔ 2 cosx - 1- 3 cosx + sinx = 2 cosx - 1
⇔ sinx =

3 cosx ⇔ tanx =

3 ⇔ x=

π

+ k π ( k∈ z ).
3

Kết hợp với điều kiện (*)
Vậy phương trình có nghiệm là: x=

π
+(2k’+ 1) π
3

( k’∈ z).

Ví dụ 5 (Dự bị khối A- 2002 ).Giải phương trình :
cos( 2x+

π
π
) + cos( 2x- )+ 4sinx = 2+
4
4

2 (1- sinx)

(6a)

4


Giải:
Phương trình (6a) tương đương với :

2 cos2x.cos
⇔

π
+ 4 sinx + 2 sinx - 2 4

2 cos2x + ( 4 -

2 )sinx - 2 -

2 =0

2=0

⇔ 2 2 sin2x - (4 + 2 ) sinx + 2 = 0 (*)

π

1

x = + k 2π

sin x =
1
6
⇔
2 ⇔ sin x = ⇔ 
(k∈ z).

5π

2
x =
+ k 2π
sin x = 2



6
Vậy phương trình có nghiệm là: x=

π
5π
+ k 2π , x=
+ k 2π (k ∈ z).
6
6

Ví dụ 6:(HSG-2011)
Giải phương trình.
(1+ sinx) (1- 2sinx)+ 2(1+ 2sinx) cosx= 0.
Giải.
Phương trình(7a) tương đương với:
1- sinx-2sin2x+ 2cosx+ 2sin2x= 0
⇔ cos2x+ 2sin2x= sinx2- 2cosx
⇔

1
5

Đặt: sin α =

⇒

2

cos 2 x +
1
5

5
,

sin 2 x =
cos α =

1
5

sin x −

2
5

(7a)

cos x

2
5

sin α cos2x+ cos α sin2x= sin α sin2x- cos α cosx

⇔ sin(2 x + α ) = − cos(α + x) ⇔ sin(2 x + α ) = sin( x + α −

π

2 x + α = x + α − 2 + k 2π
⇔ 
2 x + α = π − x − α + π + k 2π

2


Vậy phương trình có nghiệm là: x=-

π
)
2

π

 x = − 2 + k 2π
⇔ 
 x = π − 2α + k 2π

3
3
3


(k∈ z )

π
π 2α k 2π
+ k 2π hoặc x= −
+
2
3
3
3

(k ∈ z )

*Một số bài tập tương tự
Giải các phương trình sau :
1.(Đại học khối B- 2004). 5 sinx- 2 = 3( 1 - sinx ) tan2x

5


2.( Đại học khối B- 2003 ) . cotx - tanx + 4 sin2x =

2
sin 2 x

(1 − 2 sin x) cos x

3. (Đại học khối A - 2009). (1 + 2 sin x)(1 − sin x) = 3
4.(Đại học khối D- 2009).

3 cos5x - 2 sin3x cos2x -sinx= 0

5.(Đại học khối A - 2002). Tìm nghiệm thuộc khoảng (0;2 π ) của phương
trình :

5( sinx +

cos 3 x + sin 3 x
) = cos2x +3
1 + 2 sin 2 x

6.(Đại học khối D - 2005) .
7.

x
4sin2 2 -

3

π
4

π
4

cos4x +sin4x +cos(x- ) .sin(3x- ) -

3
=0
2

3π
cos2x = 1 + cos ( x- 4 )
2

8.(Đại học khối B- 2009) . sinx + cosx.sin2x + 3 cos3x= 2 ( cos4x + sin3x)
9.

tanx= cotx+

2 cos 4 x
.
sin 2 x

2. Phương pháp2: Phương pháp đặt ẩn phụ.
Một số phương trình lượng giác có thể đưa ẩn phụ vào để chuyển về
phương trình đại số đã biết cách giảỉ, với cách đặt: t= sinu(x); t= cosu(x);
t= sinu(x)+ cosu(x)....( Chú ý đk ẩn phụ). Hoặc đưa ẩn phụ vào để chuyển về
phương trình lượng giác đơn giản hơn( ẩn phụ là biểu thức đại số ẩn x như:
t=

2x
π x
, t= + ... ).
3
6 2

Ví dụ 1. Giải phương trình :
3(sinx +cosx)+ 2sin2x+ 3= 0 (2b).
Giải.
Phương trình ( 2b) tương đương với:

3( sinx + cosx )+ 4 sinx cosx + 3 = 0
(2b/ )
Đặt sinx + cosx = t ( t ≤

2 ) ⇒ sinx.cosx =

t 2 −1
2

Phương trình ( 2b/ ) trở thành:
t = −1
(t / m )
3t + 2t - 2+3 = 0 ⇔ 2t +3t+ 1 = 0 ⇔ 
t = − 1

2
2

2

π
4

+) Với t= -1 ⇒ sinx + cosx = -1 ⇔ 2 sin( x + ) = - 1

6


π


x = − + k 2π
1
π
π
⇔ sin(x + ) = ⇔
2
= sin(- )

4
4
2
 x = π + k 2π

+)Với t = -

⇔ sin( x +

1
1
⇒ sinx + cosx = - ⇔
2
2

1
π
)=4
2 2


x =

⇔
x =



(k∈ z)

2 sin( x +

π
1
) =4
2

−π
1
+ arcsin(−
) + k 2π
4
2 2
3π
1
− arcsin(−
) + k 2π
4
2 2

Vậy phương trình có các nghiệm là:
π
2

x=- +k2 π , x= π +k2 π , x=

1
1
−π
3π
+ arcsin()+k2 π , x= +arcsin()
4
2 2
2 2
4

(k∈ z )
Ví dụ 2. Giải phương trình : sin2x+ 2tanx= 3

( 3b)

Giải:
ĐK: cosx ≠ 0
Đặt tanx= t ⇒ sin2x=

2t
. Phương trình (3b) trở thành:
1+ t2

2t
⇔ 2t3- 3t2+ 4t- 3= 0 ⇔ t= 1.
2 + 2t= 3
1− t

+) Với t= 1 ⇔ tanx= 1 ⇔ x =

π
+ kπ
4

Vậy phương trình có nghiệm là: x=

(k∈ z )
π
+ kπ
4

(k∈ z )

Ví dụ 3: Giải phương trình:
3cosx+ 4sinx+

6
=6
3 cos x + 4 sin x + 1

(4b)

Giải.
Đặt: 3cosx+ 4sinx+1= t ⇒ 3cosx+ 4sinx= t- 1( t ≠ o).
Phương trình (4b) trở thành: t- 1+

6

= 6 ⇔ t2- t+ 6= 6t
t

t = 6
⇔ t2 -7t+ 6= 0 ⇔ 
t = 1

+) Với t= 6 ⇒ 4sinx+ 3cosx+ 1= 6 ⇔ 4sinx+ 3cosx= 5
7


⇔

3
4
3
4
cos x + sin x = 1 ⇔ sin α cos x + cos α sin x = 1 (sin α = , cos α = )
5
5
5
5

⇔ sin(x+ α ) = 1 ⇔ x + α =

π
π
+ k 2π ⇔ x= - α + + k 2π (k ∈ z )
2
2

3
5

4
5

+)Vớit=1 ⇒ 3cosx+4sinx=0 ⇔ cos x + sin x = 0 ⇔ sin( x + α ) = 0
(sin α =

3
4
, cos α = ) ⇒ x + α = kπ ⇒ x = −α + kπ (k∈ z ) .
5
5

Vậy phương trình có nghiệm là: x=- α +
Ví dụ4:

π
+ k 2π , x=- α + kπ (k ∈ z )
2

Giải phương trình:
sin3x - 6 sin2xcosx + 11sinxcos2x - 6 cos3x =0
Giải:

(4b)

π
2

+) Nếu cosx = 0 ⇒ x= +k π (k∈ z)
Phương trình trở thành : ± 1 = 0 vô lý . Vậy cosx ≠ 0 .
Chia cả 2 vế của phương trình ( 4b) cho cos3x ≠ 0
khi đó phương trình (4b) trở thành:
tan3x- 6tan2x+11tanx-6=0
(4b/)
Đặt: tanx=t.
(4b/) ⇔ t3 - 6t2 +11t - 6 = 0 ⇔ ( t- 1)( t2 - 5t +6) =0
t = 1
t = 2

t = 3


⇔ (t- 1) (t-2) ( t- 3) = 0 ⇔

π
+k π
4
+)Với t =2 ⇒ tanx = 2 ⇒ x= α + l π
+)Với t= 3 ⇒ tanx= 3 ⇒ x= β +m π

+)Với t=1 ⇒ tanx =1 ⇒ x=

(k∈ z)
(l ∈ z , tan α =2)
(m ∈ z ,tan β = 3)

π

+k π , x= α +l π , x= β +m π
4
( k, l, m ∈ z ; tan α =2 ;tan β =3).

Vậy nghiệm của phương trình là: x=

π
6

π
6

Ví dụ5. Giải phương trình: sin(2x+ ) = cos( x − ) − 1
Giải.
Đặt: x-

π
π
π
= t ⇒ 2 x + = 2t +
6
6
2

8


π
sin( 2t + ) = cos t − 1 ⇔ 2 cos 2 t − cot = 0
2

 π
cos t = 0
t = 2 + kπ
⇔
1⇒
cos t =
t = ± π + kπ

2


3
+) t=

π
π π
2π
+ kπ ⇒ x − = + kπ ⇒ x =
+ kπ
2
6 2
3

+) t=

π
π π
π
+ k 2π ⇒ x − = + k 2π ⇔ x = + k 2π
3

6 3
2

+) t=-

π
π
π
−π
+ k 2π ⇒ x − = − + k 2π ⇔ x =
+ k 2π
3
6
3
6

(k∈ z )

Vậy các nghiệm của phương trình là:

x=

2π
π
−π
+ kπ , x = + k 2π , x =
+ k 2π (k ∈ z ).
3
2
6

Ví dụ6 (HSGT-2009)
Giải phương trình: sin(3x −

π
π
) = sin 2 x.sin( x + )
4
4

Giải.

π
.Phương trình đã cho trở thành:
4
π
sin(3t − π ) = sin( 2t − ) sin t ⇔ − sin 3t = − cos 2t sin t
2
sin t = 0
⇔ sin 3 t − sin t = 0 ⇔  2
⇔ sin t. cos t = 0
sin t = 1

Đặt: t = x +

⇔ sin 2t = 0 ⇔ t = k

π
π
π

⇒ x=− +k
2
4
2

Vậy các nghiệm của phương trình là:

x=−

π
π
+ k (k ∈ z ).
4
2

. (*) Một số bài tập tương tự:
Bài 1: Giải các phương trình sau:

9


1. (HVQHQT- 2000) . cos2x + cos22x + cos23x + cos24x =

3
2

2. ( Đại học dự bị khối B- 2004). 4(sin3x + cos3x) = cosx + 3sinx
3. (ĐHGTVT - 2001) . sin4x + sin4( x+

π

π
9
) + sin4(x - ) = .
4
4
8

4. (ĐHQGNH - 2000) . 2sinx + cotx = 2sin2x + 1
5. 2sin3x + 4 cos3x = 3sinx
π
3

6. 8 cos3( x+ ) = cos3x
7. 4cos3x +3 2 sin2x = 8 cosx
8.

3 sin 2

x
x
3π x
x
x
x
x π
x
+
3 sin 2
+
22

2
+sin ( 2 2 )cos 2
2 cos( 2 2 ) +
2 cos 2 =sin 2 cos

Bài 2: Cho phương trình:
cos6x + sin6x = msin2x
a) Giải phương trình khi m=1
b) Tìm m để phương trình có nghiệm
Bài 3:
Cho phương trình :
(2sinx-1)( 2cos2x +2 sinx + m) =3 - 4cos2x
a) Giải phương trình khi m=1
b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có đúng 2 nghiệm thoả
mãn: 0 ≤ x ≤ π
Bài 4: Cho phương trình .
m(sinx+ cosx) +1+

1
1
1
(tanx +cotx+
+
) =0
2
sin x cos x

a) Giải phương trình khi m=

1

2

b) Xác định m ngun để phương trình có nghiệm trong khoảng (0;

π
).
2

3.Phương pháp3: Giải phương trình lượng giác đưa về phương trình tích.
Rất nhiều phương trình lượng giác chỉ cần biến đổi lượng giác cơ bản để
nhóm thừa số chung đưa về phương trình tích, đây là hướng ra đề chủ yếu trong
các đề thi đại học mấy năm gần đây. Phương pháp này khơng phức tạp về tính
tốn, về thủ thuật biến đổi nhưng đòi hỏi phải vận dụng linh hoạt các công thức
lượng giác để tạo các biến thức chung.
Một số kỹ năng nhóm thừa số chung đơn giản nhưng rất hiệu quả:
10


+) cos2x = 1 -sin2x =( 1- sinx)(1+ sinx)
+) sin2 x = 1- cos2x =( 1- cosx)(1+ cosx)
+) cos2x = cos2x - sin2x =(cosx-sinx)(cosx+sinx)
+) 1+ sin2x =1+2sinxcosx=( sinx+cosx)2
+) 1- sin2x = 1- 2 sinxcosx =(sinx-cosx)2
Ví dụ 1: (Đại học khối D- 2008). Giải phương trình :
2sinx( 1 + cos2x)+sin2x = 1+2cosx (3a)
Giải.
Phương trình (3a) tương đương với:
2sinx( 1+ 2cos2x - 1) + 2sinxcosx =1 +2cosx
⇔ 4sinxcos2x + 2sinxcosx =1+ 2 cosx
⇔ 2 sinxcosx ( 1+ 2cosx) = 1 + 2cosx

⇔ (1 + 2 cosx) (2 sinxcosx - 1) = 0
2π

x=
+ k 2π

3

1

cos x = −
2 cos x + 1 = 0
2π
⇔ 
⇔
+ k 2π (k∈ z)
2 ⇔ x = −


3
2 sin x cos x − 1 = 0

sin 2 x = 1
 x = π + kπ

4


Vậy các nghiệm của phương trình là:
x=

2π
2π
+k2 π , x=- +k2 π ,
3
3

π
4

x= +k π ( k∈ z)

Ví dụ 2: (ĐHkB-2002 ) Giải phương trình:
sin23x - cos24x = sin25x - cos26x
Giải.
Phương trình (3b) tương đương với:
sin23x + cos2 6x = sin25x + cos24x
⇔

(3b)

1 − cos 6 x
1 + cos12 x 1 − cos10 x
1 + cos 8 x
+
=
+
2
2
2

2

⇔ cos12x - cos6x = cos8x - cos10x
⇔ - 2sin9x.sin3x = 2sin9x.sinx
⇔ 2sin9x ( sinx+ sin3x ) =0

11


π

x=k

9
9 x = kπ

π
sin 9 x = 0
⇔ 
⇔  x = −3 x + k 2π
⇔ x = k
(k∈ z).


sin x = − sin 3 x
2
 x = π + 3x + k 2π 

π
 x = kπ +

2

kπ ∈
kπ
Vậy các nghiệm của phương trình là: x =
, x=
(k z).
9
2
Ví dụ 3: (Đại học khối A- 2003 ). Giải phương trình .
cotx -1 =

cos 2 x
1
+sin2x - sin2x
1 + tan x
2

(3c)

Giải.
Điều kiện xác định:

tan x ≠ 1

cos x ≠ 0
sin x ≠ 0


(*)

Với điều kiện (*) phương trình (3c) tương đương với:
cos x
1
cos 2 x − sin 2 x
-1=
+ sin2x - 2sinxcosx
sin x
2
1 + tan x

cos x[ (cos x − sin x)(cos x + sin x)]
- sinx(cosx- sinx)
cos x + sin x

⇔

cos x − sin x
sin x

⇔

cos x − sin x
= cosx ( cosx - sinx) -sinx (cosx -sinx)
sin x

=

⇔ (cosx - sinx) ( 1 -sinxcosx + sin2x) = 0
cos x − sin x = 0

⇔ 
2
1 − sin x cos x + sin x = 0

+) cosx -sinx = 0 ⇔ tanx = 1 ⇔ x=
+) 1 - sinxcosx +sin2x = 0 ⇔ 1 -

π
+ k π (k∈ z)
4

1
sin2x + sin2x = 0
2

⇔ 2 - sin2x + (1 - cos2x) = 0 ⇔ sin2x + cos2x = 3 (vơ nghiệm)

Vậy nghiệm của phương trình là: x=

π
+ kπ
4

(k∈ z)

Ví dụ 4: (ĐHQG--HN-99). Giải phương trình.
cos6x + sin6x = 2( cos8x + sin8x)

(3d)
12

Giải.
Phương trình (3d) tương đương với:
2cos8x + 2sin8x - cos6x -sin6x = 0
⇔ cos6x ( 2 cos2x - 1) - sin6x ( 1- 2sin2x) = 0
⇔ cos6x .cos2x - sin6x .cos2x = 0
⇔ cos2x ( cos6x - sin6x ) = 0
⇔ cos2x ( cos2x - sin2x )( 1- sin2x.cos2x) =0
⇔ cos22x ( 1 - sin2x.cos2x) = 0 ⇔ cos22x (1 ⇔ cos2x = 0 ⇔ 2x =

1
sin22x) = 0
4

π
π
π
+k π ⇔ x= + k ( k∈ z)
2
4
2

Vậy phương trình có nghiệm là: x =
Ví dụ5. (Đại học khối A- 2011).

π
π
+ k (k∈ z).
4

2

Giải phương trình:

1 + sin 2 x + cos 2 x
= 2 sin x sin 2 x
1 + cot 2 x

(3e)

Giải.
ĐK: x ≠ k π
( k ∈ z)
Phương trình (3e) tương đương với:
sin2x( 1+ sin2x+ cos2x ) = 2 sinxsin2x
⇔ sinx ( 2cosx + 2sinxcosx ) = 2 2 sinxcosx

π
π


x = 2 + kπ
x = 4 + kπ
 cos x = 0
⇔
⇔ 
⇔ 
(m, k ∈ z ) .
sin( x + π ) =1
x = π + 2mπ

 cos x + sin x = 2



4

Vậy phương trình có nghiệm là: x =




4

π
π
+ kπ , x = + 2mπ
4
4

(m, k ∈ z ).

Ví dụ 6. (Đại học khối B- 2011). Giải phương trình:
sin2xcosx +sinxcosx = cos2x+ sinx+ cosx
Giải:
sin2xcosx +sinxcosx = cos2x+ sinx+ cosx
⇔ 2sinxcos2x- sinx+ sinxcosx= cos2x+ cosx
⇔ sinx(2cos2x-1)+ cosx(sinx-1)- cos2x=0
⇔ cos2x(sinx-1)+ cosx(sinx-1)= 0
⇔ (cos2x+ cosx)(sinx-1) = 0
13

π
2π

x= +k

cos 2 x = − cos x
3
3
⇔
⇔
sin x = 1
 x = π + k 2π


2
π
π
2π
(k ∈ z ).
Vậy các nghiệm của phương trình là: x = + k 2π , x = + k
2
3
3
Ví dụ7 (HSGT-2010). Giải phương trình:
cos2x+ cos3x- sinx- cos4x= sin6x.
Giải.
(3f) ⇔ (cos2x-cos4x)- sinx+ (cos3x-2sin3x.cos3x)
⇔ (2sinxsin3x- sinx)- (2sin3xcos3x- cos3x)= 0.

⇔ (2sin3x- 1)(sinx- co3x) = 0
π
2π


⇔

1

sin 3 x =

2

 cos 3x = cos( π − x)


2

⇔

x

x


x


x


=
+k
18
3
5π
2π
=
+k
18
3

π

=

8

+k

π

=−

4

π

(3f)

(k∈ z ) .

2

+kπ

Vậy phương trình có nghiệm là:
x=

π
2π
5π
2π
+k
+k
, x=
,
18
3
18
3

x=

π
π
π
+ k , x=- + kπ
8
2

4

(k∈ z).

(*) Một số bài tập tương tự:
Giải các phương trình sau:
1. Đại học khối A-2010).
2 ( Đại học khối D- 2011) .

(1 + sin x + cos x) sin( x +
1 + tan x

π
1
cosx
4 =
2

sin 2 x + 2 cos x − sin x − 1
tan x + 3

=0

3.(Đại học khối D-2004) . (2cosx - 1) (2 sinx+ cosx) =sin2x - sinx
4.(Đại học khối B - 2005) . 1+ sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0
5. (Đại học khối D - 2010). sin2x - cos2x + 3 sinx - cosx - 1 = 0
6. (Đại học khối A- 2007) . (1 + sin2x) cosx + ( 1+ cos2x) sinx=1+sin2x
7. (Đại học khối B-2010). (sin2x + cos2x) cosx + 2 cos2x -sinx = 0
14

4. Phương pháp 4 : Phương pháp đánh giá.
Xét phương trình: f(x)= g(x) (c).
 f ( x) = A
 g ( x) = A

Trong đó f(x) ≥ A; g(x) ≤ A , suy ra (c) ⇔ 

+)Chú ý một số bất đẳng thức cơ bản:
-1 ≤ sinx ≤ 1 ⇒ sinnx ≤ sin2x
-1 ≤ cosx ≤ 1 ⇒ cosnx ≤ cos2x
Ví dụ 1.
Giải phương trình sau:
cos2x + cos

(n ≥ 2)

3x
-2=0
4

(4a)

Giải.
Phương trình (4a) tương đương với:
cos2x + cos
Do: cos2x ≤ 1; cos

3x
=2

4
3x
3x
≤ 1 ⇒ cos2x + cos
≤ 2
4
4

 x = kπ
cos 2 x = 1
3x


⇒ cos2x + cos
⇔ 
k 8π
= 2 ⇔  3x
4
cos 4 = 1
x = 3



Vậy nghiệm của phương trình là:
Ví dụ 2. Giải phương trình sau:
sinx.cos4x = 1
Giải

⇔ x=k8 π (k ∈ z).

x=k8 π (k∈ z).

sinx.cos4x = 1 ⇔ sin 5 x − sin 3 x = 2
Do: -1 ≤ sin5x ≤ 1, -1 ≤ - sin3x ≤ 1 nên sin5x-sin3x ≤ 2
Phuwowng trình đã cho tương đương với:

π k 2π

x= +

sin 5 x = 1
π

10
5
⇔
⇒ x = + t 2π .

2
sin 3 x = −1
 x = − π + k 2π


6
3
Vậy phương trình có nghiệm là: x =
Ví dụ 3.

π
2

+ t 2π

(k∈ z).

Giải phương trình :
cos2012x + sin2012 x = 1
15


Ta có: sin x ( 1- sin x) ≥ 0
cos2x (1 - cos2010x ) ≥ 0
2

2010

Giải.
( vì -1 ≤ sinx ≤ 1)
( vì -1 ≤ cosx ≤ 1)

Nên sin2x ≥ sin2012x và cos2x ≥ cos2012x
Do đó : sin2012x + cos2012x ≤ sin2x + cos2x =1
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi :

sin 2 x = 0

2010
sin 2 x(1 − sin 2010 x) = 0
x =1
sin



⇔ 
⇔
 2
 cos x(1 − cos 2010 x) = 0
cos 2 x = 0



2010
x =1

cos
Vậy nghiệm của phương trình là :

x =k

sin x = 0
π
cos x = 0 ⇔ x = k 2 (k∈ z)


π
(k∈ z)
2

Qua ví dụ 3, ta có bài tốn tổng quát:
Giải phương trình :
sinnx + cosnx = 1 ( n ≥ 2, n∈ z).

Ví dụ 4.
Giải phương trình :
cos5x + sin5x + cos2x + sin2x = 1 + 2
Giải.
Ta có: cos2x + sin2x = 2 sin( 2x +

π
)≤
4

(4a)

2

cos2x( 1- cos3x ) ≥ 0 (vì -1 ≤ cosx ≤ 1)
sin2x ( 1 -cos3x ) ≥ 0 ( vì - 1 ≤ sinx ≤ 1)
Nên : cos5x + sin5x ≤ cos2x + sin2 x = 1
Phương trình (4a) dẫn tới hệ:
cos x = 0
cos 2 x(1 − cos 3 x) = 0

cos x + sin x = 1
 2

 sin x = 1
3
⇔ sin x (1 − sin x) = 0 ⇔ 


cos 2 x + sin 2 x = 2

cox = 1


cos 2 x + sin 2 x = 2
cos 2 x + sin 2 x = 2

5

5

Hệ phương trình vơ nghiệm, Phương trình đã cho vơ nghiệm .
Ví dụ 5.
Giải phương trình:
cos3x + 2 − cos 2 3x =2 (1+sin22x)

(4b)

Giải:
16


Ta có:

2(1+ sin22x) ≥ 2 ∀ x ( vì 0 ≤ sin22x ≤ 1)
1.cos3x+ 1. 2 − cos 2 3x ≤ (12 + 12 )(cos 2 3x + 2 − cos 2 3x) = 2 ∀ x.

(áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpki )
Phương trình (4b) dẫn tới hệ sau:

 2(1 + sin 2 2 x) = 2



 cos 3x + 2 − cos 2 3x = 2



⇔

π

x = k 2
 sin 2 x = 0

⇔
⇔
x = l 2π
 cos 3x = 1



 sin 2 x = 0


 cos 3x = 2 − cos 2 3 x

(k,l ∈ z) ⇔ x=2n π (n∈ z).

3

Vậy nghiệm của phương trình là: x= 2n π ( n∈ z)

Ví dụ 6:
(ĐH Y Thái Bình) . Giải phương trình:
sin2x +

sin 2 3x
(cos3x.sin3x + sin3x.cos3x) = sinx.sin23x.
3 sin 4 x

Giải:
Đk: sin4x ≠ 0 ⇒ x ≠ k

π
, k∈ z
4

Ta có: cos3x.sin3x + sin3x.cos3x =

3
sin4x
4

Khi đó phương trình đã cho trở thành:
sin2x +

1
1
1
sin23x = sinx.sin23x ⇔ (sinx- sin23x)2 + ( sin23x - sin43x) = 0
4
2

4

⇔ ( sinx -

Do (sinx -

1
1
sin23x)2 + sin23x.cos23x = 0
2
4

(4c)

1
sin23x)2 ≥ 0 Và sin23x.cos23x ≥ 0.
2

17


Nên phương trình (4c) dẫn tới hệ sau:

1

sin x − sin 2 3 x = 0

⇔
2


 2 3 x. cos 2 3 x = 0
sin


kπ


sin 3 x =0
sin 2 3 x =0
x


 =

⇔
⇔
x
3 ⇒ =mπ



 sin x =0
sin x =0


 =tπ
x




π kπ


x= +

.
6
3
 cos 2 3 x =0





π
⇔ x = +t 2π ( k , t , m ∈z )



1

6


 sin x = 2




x = 5π +t 2π





6


kết hợp điều kiện suy ra phương trình có nghiệm là:
π
6

x= +k2 π , x =

5π
+k2 π
6

π
6

(k∈ z)

Vậy nghiệm của phương trình là: x= +k2 π , x =

5π
+k2 π
6

(k∈ z).

(*) Bài tập tương tự:
Giải các phương trình sau:
1)
sin3x - cos10x =2
2)
cos8x + sin10x = 1
3)
sinnx +cosnx = 1 (n ≥ 2, n∈ z)
4)
sinnx + cosmx =1 (m,n ≥ 2, m,n ∈ z)
5)
(cos2x - sin4x)2 = 6 + 2sin3x
(ĐHAN -97)
6)
sin3x + cos3x = 2- sin4x
7)

sinx + 2 − sin 2 x + sinx 2 − sin 2 x = 3

4. Kiểm nghiệm
Để kiểm tra hiệu quả của đề tài tôi đã tiến hành kiểm tra trên hai đối tượng có
chất lượng tương đương là lớp 11M và 11N. Trong đó lớp 11N chưa được rèn

18


luyện kỹ về các phương pháp này, sau đó cho kiểm tra 45 phút với câu hỏi như
nhau.

ĐỀ KIỂM TRA(45 phút)

Giải các phương trình lượng giác sau:
1 (2đ). 5sinx - 2 = 3(1- sinx) tan2x
2 (2đ).
3 (2đ).

sin 2 x + 2 cos x − sin x − 1
tan x + 3

=0

1
x 1
x
+ cos 2 = sin 2
4
3 2
2

4 (2đ). cos3x+ sin3x = 1
5 (2đ) . 2cos(2x-

3π
5

π

) = 3sin(x+ 5 ) + 5.

Kết quả thu được như sau:
Lớp

Sĩ số

Điểm < 5

Điểm ∈[5; 8)

Điểm ≥ 8

Số lượng

%

Số lượng

%

Số lượng

%

11M

39

9

23,1%

20

51,3%

10

25,6%

11N

47

28

59,6%

17

36,2%

2

4,2%

PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT.
Trong quá trình dạy học, đối với mỗi thể loại kiến thức, nếu giáo viên biết tìm
ra những cơ sở lý thuyết, biết phát huy và sáng tạo cái mới và hướng dẫn học
sinh vận dụng một cách hợp lý vào việc giải các bài tập tương ứng thì sẽ tạo
được điều kiện để học sinh củng cố và hiểu sâu về lý thuyết cùng với việc thực

19

hành giải toán một cách hiệu quả hơn, tạo được sự hứng thú, phát huy được tính
chủ động và sự sáng tạo trong việc học của học sinh
Qua đề tài này tôi thu được một số bài học :
-Phải cho học sinh tiếp xúc với nhiều bài toán với những cách giải
khác nhau.
- Rèn luyện cho học sinh phân tích bài tốn để tìm lời giải tối ưu nhất.
- Rèn luyện cho học sinh cách trình bày một cách chặt chẽ , cô đọng.
Trên đây là một số kinh nghiệm mà tôi đã rút ra và áp dụng trong quá trình dạy
học nhằm ngày càng giúp ích được nhiều hơn trong học tập mơn tốn của học
sinh. Tuy nhiên cịn nhiều vấn đề cần hoàn thiện, rất mong được tiếp thu những
ý kiến đóng góp của các đồng nghiệp để bổ sung vào đề tài nhằm hoàn thiện đề
tài tốt hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn.

XÁC NHẬN CỦA
THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Nguyễn Tuấn Anh

Thanh Hóa, ngày 15 tháng 05 năm 2013
Tơi xin cam đoan đây là SKKN của mình
viết, khơng sao chép nội dung của người
khác.
Tác giả

Lê Thị Duyên

20