Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức
ĐẠI HỌC QUỐC GIA
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN





PHẠM THỊ LAN ANH


MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP
CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC



LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC








HÀ NỘI - 2013
Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

ĐẠI HỌC QUỐC GIA
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN


PHẠM THỊ LAN ANH

MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP
CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp
Mã số: 60.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC




Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS Phan Huy Khải




HÀ NỘI - 2013
Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

Mục lục
Lời nói đầu .
Chương 1: Mở đầu 1
1.1. Định nghĩa: 1
1.2. Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức: 1
Chương 2: Bất đẳng thức Cauchy 2
2.1. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy cơ bản. 2

2.1.1. Bất đẳng thức Cauchy: 2
2.1.2. Bất đẳng thức Cauchy cơ bản: 2
2.1.3. Các bài toán minh họa. 2
2.1.4. Một số bài tập tương tự. 7
2.2. Phương pháp sử dụng trực tiếp bất đẳng thức Cauchy 8
2.2.1. Bất đẳng thức Cauchy: 8
2.2.2. Các bài toán minh họa 8
2.2.3. Mt s    t 16
2.3. Phương pháp thêm bớt hằng số. 17
2.3.1. Phương pháp: 17
2.3.2. Các bài toán minh họa: 17
2.3.3. Một số bài toán tương tự 23
2.4. Phương pháp thêm bớt biểu thức chứa biến 24
2.4.1. Phương pháp: 24
2.4.2. Các bài toán minh họa: 24
2.4.3. Một số bài toán tương tự 38
Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

2.5. Phương pháp nhóm các số hạng 40
2.5.1. Phương pháp thứ 1. 40
2.5.1.1. Nội dung phương pháp: 40
2.5.1.2. Các ví dụ minh họa: 40
2.5.2. Phương pháp thứ 2 44
2.5.2.1. Nội dung phương pháp 44
2.5.2.2. Các ví dụ minh họa. 44
2.5.3. Một số bài toán tương tự 50
2.6. Phương pháp sử dụng kĩ thuật Cô-si ngược dấu 50
2.6.1. Phương pháp: 50
2.6.2. Các bài toán minh họa: 50
2.6.3. Các bài tập tương tự: 52

Chương 3: Phương pháp miền giá trị hàm số 53
3.1. Nội dung phương pháp. 53
3.2. Các bài toán minh họa. 53
3.3. Các bài tập tương tự. 55
Chương 4: Phương pháp lượng giác hóa 56
4.1. Nội dung phương pháp. 56
4.2. Các ví dụ minh họa. 56
4.3.  tp  t: 62
Chương 5: Phương pháp dùng chiều biến thiên hàm số 63
5.1. Nội dung phương pháp: 63
5.2. Các bài toán minh họa: 63
Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức
5.3. Các bài tập tương tự. 69
Chương 6: Phương pháp sử dụng hình học 70
6.1. Nội dung phương pháp. 70
6.2. Các bài toán minh họa. 70
6.3. Các bài tập tương tự. 74
Kết luận 75
Tài liệu tham khảo 76

Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

Lời nói đầu
Bất đẳng thức là một chuyên đề khá thú vị trong chương trình toán học phổ
thông và cũng có rất nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau của toán học.
Trong các đề thi chọn học sinh giỏi hay đề thi tuyển sinh vào Đại học, Cao đẳng những
năm gần đây thì bài toán bất đẳng thức thường xuất hiện như một dạng đề quen
thuộc và thường được hiểu như là một bài toán để lấy điểm tối đa vì việc giải quyết
trọn vẹn bài toán này không phải là đơn giản với phần lớn học sinh.
Lý thuyết về bất đẳng thức được trình bày ở rất nhiều cuốn sách khác nhau và

từ đó các phương pháp chứng minh bất đẳng thức cũng được đề cập để giải quyết
các bài toán bất đẳng thức đó. Trong phạm vi luận văn này, chúng tôi chỉ trình bày và
tổng hợp một vài phương pháp chứng minh bất đẳng thức quen thuộc để giải quyết
các bài toán của chương trình phổ thông, phục vụ quá trình dạy và học môn toán.
Trong luận văn này ngoài phần lời nói đầu và kết luận thì bố cục được trình bày
như sau:
- Chương 1: Mở đầu. Ở chương này đưa ra các khái niệm cơ bản về bất
đẳng thức cũng như các tính chất của bất đẳng thức.
- Chương 2: Bất đẳng thức Cauchy. Chương này trình bày một số phương
pháp chứng minh bất đẳng thức sử dụng bất đẳng thức Cauchy, trong đó đưa ra
các phương pháp như:
 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Cauchy cơ bản.
 Phương pháp sử dụng trực tiếp bất đẳng thức Cauchy.
 Phương pháp thêm bớt hằng số.
 Phương pháp thêm bớt biểu thức chứa biến.
 Phương pháp nhóm các số hạng.
 Phương pháp sử dụng kĩ thuật Cauchy ngược dấu.
- Chương 3: Phương pháp miền giá trị hàm số. Chương này trình bày
cách từ miền giá trị của biến số để tìm ra miền giá trị của hàm số, từ đó xác định
được điểm cực trị của hàm số trong miền giá trị để chứng minh bất đẳng thức.
Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

- Chương 4: Phương pháp lượng giác hóa. Chương này trình bày phương
pháp sử dụng các hệ thức lượng giác hoặc biến đổi bất đẳng thức trở thành các hệ
thức lượng giác quen thuộc để chứng minh bất đẳng thức.
- Chương 5: Phương pháp sử dụng chiều biến thiên hàm số. Chương này
trình bày phương pháp lựa chọn hàm số từ bất đẳng thức để từ đó qua đạo hàm
ta thấy được chiều biến thiên trong một khoảng xác định để chứng minh bất
đẳng thức ban đầu.
- Chương 6: Phương pháp sử dụng hình học. Chương này trình bày

phương pháp biến đổi bất đẳng thức trở thành các biểu thức chứa các yếu tố hình
học, từ các bất đẳng thức hình học quen thuộc ta chứng minh được bất đẳng
thức ban đầu.
Luận văn được hoàn thành với sự hướng dẫn của PGS.TS Phan Huy Khải, thầy
đã hướng dẫn và tạo mọi điều kiện cho tôi hoàn thành luận văn này, xin chân thành
cảm ơn Thầy.
Tôi cũng xin gửi lời cám ơn đến các thầy cô giáo khoa Toán – Tin và các cán bộ
giáo viên khoa sau đại học trường ĐH KHTN-ĐH QG HN cùng các bạn bè lớp cao học
toán khóa 2011-2013, những người đã dạy dỗ, hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong suốt
quá trình học tập tại trường.
Sau cùng tôi xin gửi lời tri ân tới cha mẹ, người thân đã tạo điều kiện tốt nhất
cho tôi hoàn thành chương trình thạc sĩ này.
Hà Nội, ngày 30 tháng 11 năm 2013

Phạm Thị Lan Anh
Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức
1

Chƣơng 1: Mở đầu
1.1. Định nghĩa:
Cho A, B là các biểu thức. Khi đó, bất đẳng thức là:
A > B A B > 0.
A < B A B < 0.
1.2. Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức:
1.2.1. Tính chất bắc cầu:
Nu a >   >   > .
1.2.2. Nu a >   >  :
ma >   > 0.
ma <   < 0.
1.2.3. Nu a > ; >   + > + .

1.2.4. Nu a > ; <   > .
1.2.5. Nu a > > 0; > > 0  > .
1.2.6. Nu a > > 0; > > 0 
a
d
>
b
c
.
1.2.7. Nu a > > 0  >  a
2
> b
2
.
1.2.8. Nu a >  a
3
> b
3
.
1.2.9.  bt  ng thc  quan n h s   logarit:
Nu a > 1  x
1
> x
2
a
x
1
> a
x
2

.
Nu 0 < < 1  x
1
> x
2
a
x
1
< a
x
2
.
Nu a > 1  > > 0  log
a
c > log
a
d.
Nu 0 < < 1  > > 0  log
a
c < log
a
d.
1.2.10.  bt  ng thc vi du  tr tuyt i:
Cho > 0.  :

A

> 

A > 

A < 

.

A

<  < < .

Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức
2

Chƣơng 2: Bất đẳng thức Cauchy
2.1. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy cơ bản.
2.1.1. Bất đẳng thức Cauchy.
Cho n s  : x
1
; x
2
; ; x
n
. Khi :
x
1
+ x
2
+ + x
n
n

x

1
x
2
x
n
n
.
Du "= " xy ra khi x
1
= x
2
= = x
n
.
2.1.2. Bất đẳng thức Cauchy cơ bản.
Ta gọi hai bất đẳng thức thông dụng sau là bất đẳng thức Cauchy cơ bản:
+

a + b


1
a
+
1
b

4; a > 0; b > 0.
+


a + b + c

.

1
a
+
1
b
+
1
c

9 ; a > 0; b > 0, c > 0.
Chú ý : Dạng tương đương của 2 bất đẳng thức trên là:
1
a
+
1
b

4
a + b
. a > 0; b > 0.
1
a
+
1
b
+

1
c

9
a + b + c
. a > 0; b > 0, c > 0.
Dạng bất đẳng thức Cauchy cơ bản tổng quát
(a
1
+ a
2
+ + a
n
)

1
a
1
+
1
a
2
+ +
1
a
n

n
2
. a

i
> 0; i = 1, n





.


1
a
1
+
1
a
2
+ +
1
a
n

>
n
2
a
1
+ a
2
+ + a

n
. a
i
0; i = 1, n





.
Du =  xy ra khi a
1
= a
2
= = a
n
.
2.1.3. Các bài toán minh họa.
Bài toán 1.
Cho x > 0; y > 0; z > 0  tha  u kin
1
x
+
1
y
+
1
z
= 4.
Chng minh rng:

1
2x + y + z
+
1
x + 2y + z
+
1
+ + 2
1.
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cơ bản cho 4 số x; x; y; z ta được:
Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức
3

1
2+ + 
=
1
+ + ++ 

1
4
2

1

+
1

+

1

+
1


=
1
4
2

2

+
1

+
1


.
Du =  xy ra khi x = x = y = z x = y = z.
 t ta c:

1
x + 2y + z
=
1
x + x + +y + z


1
16

1
x
+
2
y
+
1
z

.
Du =  xy ra khi x = y = z.
1
x + y + 2z
=
1
x + x + +y + z

1
16

1
x
+
1
y
+
2

z

.
Du =  xy ra khi x = y = z.
Cộng 2 vế của 3 bất đẳng thức trên ta được:
1
2x + y + z
+
1
x + 2y + z
+
1
x + y + 2z

1
16

4
x
+
4
y
+
4
z

.
Du =  xy ra  x = y = z.

1

x
+
1
y
+
1
z
= 4 
1
2x + y + z
+
1
x + 2y + z
+
1
x + y + 2z
1 .
Du =  xy ra khi x = y = z =
3
4
.
Bài toán 2.
Cho 3 số dương a, b, c. Chứng minh rằng:
a
b + c
+
b
c + a
+
c

a + b

3
2
.
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cơ bản ta có:


c + a

+

b + c

+

a + b


1
c + a
+
1
b + c
+
1
a + b



1
9
.
2

a + b + c


1
c + a
+
1
b + c
+
1
a + b


1
9
.
2

1 +
a
b + c
+ 1 +
b
c + a
+ 1 +

c
a + b


1
9
.

a
b + c
+
b
c + a
+
c
a + b

3
2
.
Du =  xy ra khi b + c = c + a = a + b a = b = c.
Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức
4

Bài toán 3:
Cho x > 0; y > 0; z > 0  tha  u kin x + y + z = 1.
Chng minh rng:
x
x + 1
+

y
y + 1
+
z
z + 1

3
4
.
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cơ bản cho các số x+1; y+1; z+1 ta được:
1
x + 1
+
1
y + 1
+
1
z + 1

9
x + 1 + y + 1 + z + 1
=
9
x + y + z + 3
=
9
4
.


1
x + 1

1
y + 1

1
z + 1

9
4
.
1 
1
x + 1
+ 1 
1
y + 1
+ 1 
1
z + 1
3 
9
4
.

x
x + 1
+
y

y + 1
+
z
z + 1

3
4
.
Du =  xy ra khi x + 1 = y + 1 = z + 1 x = y = z =
1
3
.
Bài toán 4.
Cho x > 0; y > 0; x + y < 1 .
Chng minh rng:
x
2
1 x
+
y
2
1 y
+
1
x + y
+ x + y 
5
2
.
Lời giải:

Bất đẳng thức đã cho tương đương với:
x 1 +
1
1 x
y 1 +
1
1 y
+
1
x + y
+ x + y 
5
2
.

1
1 x
+
1
1 y
+
1
x + y

9
2
.




1 x

+

1 y

+

x + y


1
1 x
+
1
1 y
+
1
x + y

9 .

bt ng thc  

.
Du =  xy ra khi 1 x = 1 y = x + y x = y =
1
3
.
Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

5

Bài toán 5.
Cho 3 s  a, b, c  abc = ab + bc + ca. Chng minh rng:
1
a + 2b + 3c
+
1
2a + 3b + c
+
1
3a + b + 2c
<
3
16
.
Lời giải:
 dng bt ng thc Cauchy  bn ta c:

1
a + 2b + 3c
=
1

a + c

+ 2

b + c



1
4

1
a + c
+
1
2

b + c




1
4

1
4

1
a
+
1
c

+
1
2

.
1
4

1
b
+
1
c

.

1
a + 2b + 3c

1
16

1
a
+
1
2b
+
3
2c

.
Du =  xy ra khi


a + c = 2

b + c

a = c
b = c
a = b = c = 0 .


 thun gi thit a, b, c .
Du =   xy ra do  ta 
1
a + 2b + 3c
<
1
16

1
a
+
1
2b
+
3
2c

.
 t ta :
1
b + 2c + 3a

<
1
16

1
b
+
1
2c
+
3
2a

.
1
c + 2a + 3a
<
1
16

1
c
+
1
2a
+
3
2b

.

Cộng 2 vế các bất phương trình trên ta có
1
a + 2b + 3c
+
1
2a + 3b + c
+
1
3a + b + 2c
<
1
16

1 +
1
2
+
3
2

1
a
+
1
b
+
1
c

.

Do abc = ab + bc + ca 
1
a
+
1
b
+
1
c
= 1.

1
a + 2b + 3c
+
1
2a + 3b + c
+
1
3a + b + 2c
<
3
16
.




Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức
6

  .
Cho ABC  tam  nhn. Chng minh rng:
1
cosA
+
1
cosB
+
1
cosC

1
sin
A
2
+
1
sin
B
2
+
1
sin
C
2
.
Lời giải:
 ABC nhn 0 < A, B, C <

2

cos A, cosB, cosC > 0.
 dng bt ng thc Cauchy  bn ta c:
1
cosA
+
1
cosB
>
4
cosA + cosB
=
4
2 cos
A+B
2
cos
AB
2
=
2
sin
C
2
cos
AB
2

2
sin
C

2
.
Du =  xy ra khi cos
A B
2
= 1 A = B.
 t ta :
1
cosB
+
1
cosC

2
sin
A
2
. Du =  xy ra khi cos
B C
2
= 1 B = C.
1
cosC
+
1
cosA

2
sin
B

2
. Du =  xy ra khi cos
C A
2
= 1 C = A.
Cng 2 v ca 3 bt ng thc  ta :
2


1
cosA
+
1
cosB
+
1
cosC


2
sin
A
2
+
2
sin
B
2
+
2

sin
C
2
.

1
cosA
+
1
cosB
+
1
cosC

1
sin
A
2
+
1
sin
B
2
+
1
sin
C
2
.
Du =  xy ra khi A = B = C hay ABC u.

   .
Chng minh rng: Trong mi ABC ta :
ab sin
C
2
+ bc sin
A
2
+ ca sin
B
2
2S

3. Vi S  di n  ABC.
Lời giải:
 v = ab sin
C
2
+ bc sin
A
2
+ ca sin
B
2
.
Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức
7

=

2S
sinC
sin
C
2
+
2S
sinA
sin
A
2
+
2S
sinB
sin
B
2
.
=
S
cos
C
2

+
S
cos
A
2
+

S
cos
B
2
= S

1
cos
C
2
+
1
cos
A
2
+
1
cos
B
2

.
Trong ABC ta   0 <
A
2
,
B
2
,
C

2
<

2
.
cos
A
2
, cos
B
2
, cos
C
2
> 0.
 dng bt ng thc Cauchy  bn ta :
1
cos
A
2
+
1
cos
B
2
+
1
cos
C
2


9
cos
A
2
+ cos
B
2
+ cos
C
2
.
 mi ABC  cos
A
2
+ cos
B
2
+ cos
C
2

3

3
2
.
Do 
1
cos

A
2
+
1
cos
B
2
+
1
cos
C
2

9
3

3
2
= 2

3. Vy v 2

3.
Du =  xy ra khi cos
A
2
= cos
B
2
= cos

C
2
=

3
2
A = B = C.
Hay ABC u.
2.1.4. Một số bài tập tƣơng tự.
 1: Cho x > 0, y > 0  x + y =
5
4
. Chng minh rng:
4
x
+
1
4y
5.
 2: Gi s x, y, z   s thc   tha  u kin:
x
2
+ y
2
+ z
2
= 3xyz.
Chng minh rng:
x
x + 1

+
y
y + 1
+
z
z + 1

3
2
.
 3: Cho  s thc  x, y, z sao cho xyz = 1.
Chng minh rng:
1
xy + x
+
1
yz + y
+
1
zx + z

3
2
.
 4: Cho 3 s  x, y, z Chng minh rng:
P =
x
2x + y + z
+
y

x + 2y + z
+
z
x + y + 2z

3
4
.
Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức
8

 5: Chng minh rng: trong mi ABC ta ab + bc + ca 4

3S .
vi S  din  ABC .
2.2. Phƣơng pháp sử dụng trực tiếp bất đẳng thức Cauchy
2.2.1. Bất đẳng thức Cauchy:
Cho n s   a
1
, a
2
, , a
n
khi :
(a
1
+ a
2
+ + a
n

)
n


a
1
a
2
a
n
n
.
Du =  xy ra khi a
1
= a
2
= = a
n
.
2.2.2. Các bài toán minh họa
Bài toán 1.
Cho 3 số dương x, y, z và xyz=1. Chứng minh rằng:
P =

1 + x
3
+ y
3
xy
+


1 + y
3
+ z
3
yz
+

1 + z
3
+ x
3
zx
3

3 .
Lời giải:
 dng bt ng thc Cauchy cho 3 s 1, x
3
, y
3
ta c:

1 + x
3
+ y
3
xy



3

1. x
3
. y
3
3
xy
=

3
xy
.
Du =  xy ra khi 1 = x
3
= y
3
x = y = 1 .
 t ta 

1 + y
3
+ z
3
yz


3
yz
.

Du =  xy ra khi 1 = y
3
= z
3
y = z = 1.


1 + z
3
+ x
3
zx


3
zx
.
Du =  xy ra khi 1 = z
3
= x
3
z = x = 1.
Cng 2 v  bt ng thc ta 
P 

3
xy
+

3

yz
+

3
zx


3 . 3


1
xy
.
1
yz
.
1
zx
3
= 3

3 .
 P 3

3 .
Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức
9

Du =  xy ra khi


x = y = z = 1

1
xy
=

1
yz
=

1
zx

x = y = z = 1.
Bài toán 2.
Chng minh rng: x  ta :

12
5

x
+

15
4

x
+

20

3

x
3
x
+ 4
x
+ 5
x
.
Lời giải:
x 

12
5

x
> 0;

15
4

x
> 0;

20
3

x
> 0.

 dng bt ng thc Cauchy ta c:


12
5

x
+

15
4

x
2


12
5

x

15
4

x
= 2.3
x
.
Du =  xy ra khi


12
5

x
=

15
4

x
x = 0.
 t ta :

15
4

x
+

20
3

x
2.5
x
. Du =  xy ra khi

15
4


x
=

20
3

x
x = 0.

20
3

x
+

12
5

x
2.4
x
. Du =  xy ra khi

20
3

x
=

12

5

x
x = 0.
Cng 2 v  bt ng thc ta :

12
5

x
+

15
4

x
+

20
3

x
3
x
+ 4
x
+ 5
x
.
Dấu “=” xảy ra khi x=0.

Bài toán 3.
Cho 3 s   x, y, z 
1
1 + x
+
1
1 + y
+
1
1 + z
= 2.
Chng minh rng xyz 
1
8
.
Lời giải:
T gi thit ta 
Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức
10

1
1 + x
= 2 
1
1 + y

1
1 + z
=
y

1 + y
+
z
1 + z
2

yz

y + 1

z + 1

.
Du =  xy ra 
y
1 + y
=
z
1 + z
y = z.
 t ta 
1
1 + y
 2

zx

x + 1

z + 1


. Du =  xy ra  x = z.

1
1 + z
 2

xy

x + 1

y + 1



. Du =  xy ra  x = y.
 v u  ,   v vi nhau ta 
1

1 + x

1 + y

1 + z

8

x
2
y

2
z
2

x + 1

2

y + 1

2

z + 1

2

=
8xyz

x + 1

y + 1

z + 1

.
xy 
1
8
. Du =  xy ra x = y = z.

Bài toán 4.
Cho 3 s  x, y, z  xy

xy + xz

xz + yz

yz = 1.
Chng minh rng:
x
6
x
3
+ y
3
+
y
6
y
3
+ z
3
+
z
6
z
3
+ x
3


1
2
.
Lời giải:
t X = x
3
, Y = y
3
, Z = z
3
=> X, Y, Z > 0 .
Khi     cho tr :
Cho X, Y, Z  3 s  tha 

XY +

YZ +

ZX = 1 .
CMR: S =
X
2
X + Y
+
Y
2
Y + Z
+
Z
2

Z + X

1
2
.
 dng bt ng thc Cauchy ta :

X
2
X + Y
+
X + Y
4
2

X
2
X + Y
.
X + Y
4
= X.
Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức
11

Du =  xy ra khi
X
2
X + Y
=

X + Y
4
X = Y x = y.
 t ta 

Y
2
Y + Z
+
Y + Z
4
Y. Du =  xy ra khi Y = Z y = z.
Z
2
Z + X
+
Z + X
4
Z. Du =  xy ra khi Z = X z = x .
Cng  v ta  S +
X + Y + Z
2
X + Y + Z.
S 
X + Y + Z
2
.
Du =  xy ra khi X = Y = Z .
Ta thy X + Y + Z 


XY +

YZ +

ZX = 1.
Du =  xy ra khi X = Y = Z =
1
3
x = y = z =
1

3
3
.

Vy S 
1
2
. Du =  xy ra khi x = y = z =
1

3
3

Bài toán 5.
Cho 3 s  x, y, z  x
2
+ y
2
+ z

2
= 1.
Chng minh rng:
x
y
2
+ x
2
+
y
z
2
+ x
2
+
z
x
2
+ y
2

3

3
2
.
Lời giải:
Ta : x, y, z > 0  x
2
+ y

2
+ x
2
= 1
 ta    v chng minh rng
x
1 x
2
+
y
1 y
2
+
z
1 z
2

3

3
2

 dng bt ng thc Cauchy ta :
2 = 2x
2
+

1 x
2


+

1 x
2

3

2x
2

1 x
2

1 x
2

3

8 27. 2x
2

1 x
2

1 x
2


x


1 x
2


2
3

3
.
Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức
12


x
1 x
2

3

3
2
x
2
. Du =  xy ra x =

3
3
.
 t ta :

y
1 y
2

3

3
2
y
2
. Du =  xy ra y =

3
3
.
z
1 z
2

3

3
2
z
2
. Du =  xy ra z =

3
3
.

Cng tng v  bt ng thc  ta :

x
1 x
2
+
y
1 y
2
+
z
1 z
2

3

3
2

x
2
+ y
2
+ z
2

=
3

3

2
.
Du =  xy ra khi x = y = z =

3
3
.
Bài toán 6.
Cho x > 0, y > 0  x + y 4.
Chng minh rng:
3x
2
+ 4
4x
+
2 + y
3
y
2

9
2
.
Lời giải:
Ta thy:
3x
2
+ 4
4x
+

2 + y
3
y
2
=
x
4
+
1
x
+ 2

1
y
2
+
y
8
+
y
8

+
x + y
2
.
Theo bt  ng thc Cauchy ta :
x
4
+

1
x
2

x
4
.
1
x
= 1.
1
y
2
+
y
8
+
y
8
3

1
y
2
.
y
8
.
y
8

3
=
3
4
.
Du =  xy ra 

x
4
=
1
x
1
y
2
=
y
8



x = 2
y = 2

.
Theo gi thit
x + y
2
2.
Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

13

Do 
3x
2
+ 4
4x
+
2 + y
3
y
2
1 +
3
4
+ 2 =
9
2
.
Du =  xy ra khi x = y = 2.
Bài toán 7.
Cho 3 s  x, y, z  xyz = 1. Chng minh rng:
S =
x
3

1 + y

1 + z


+
y
3

1 + z

1 + x

+
z
3

1 + x

1 + y


3
4
.
Lời giải:
Theo bt  ng thc Cauchy ta :

x
3

1 + y

1 + z


+
1 + y
8
+
1 + z
8
3

x
3

1 + y

1 + z

.
1 + y
8
.
1 + z
8
3
=
3
4
x.
Du =  xy ra khi
x
3


1 + y

1 + z

=
1 + y
8
=
1 + z
8


y = z
1 + y = 2x


 t ta 

y
3

1 + z

1 + x


3
4
y.
Du =  xy ra khi

y
3

1 + z

1 + x

=
1 + z
8
=
1 + x
8


x = z
1 + z = 2y



z
3

1 + x

1 + y


3
4

z.
Du =  xy ra khi
z
3

1 + x

1 + y

=
1 + x
8
=
1 + y
8


x = y
1 + x = 2z


.
Cng tng v  bt ng thc ta c:
S +
3
4
+
x + y + z
4


3
4

x + y + z

.
S 
x + y + z
2

3
4

3

xyz
3
2

3
4
=
3
2

3
4
=
3
4

.
Du =  xy ra 

x = y = z
1 + x = 2z
1 + y = 2x
1 + z = 2y


x = y = z = 1.
Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức
14

Bài toán 8.
Cho x > > 0. Chng minh rng: x +
4

x y

y + 1

3.
Lời giải:
x > > 0 

x y > 0
y + 1 > 0



 dng bt ng thc Cauchy ta :

x y

+
y + 1
2
+
y + 1
2
+
4

x y

y + 1

2
4


x y

.
y + 1
2
.
y + 1
2
.

4

x y

y + 1

2
4

x + 1 +
4

x y

y + 1

2
4.
x +
4

x y

y + 1

2
3.
Du =  xy ra  x y =
y + 1
2

=
4

x y

y + 1

2


x = 2
y = 1


.
Bài toán 9.
Cho x > 1, y > 1, z > 1, x + y + z = xyz.
Chng minh rng 
y 2
x
2
+
z 2
y
2
+
x 2
z
2



3 2.
Lời giải:
T gi thit ta 
1
xy
+
1
yz
+
1
zx
= 1.
Ta :
y 2
x
2
+
z 2
y
2
+
x 2
z
2
=
y 2 + x
x
2
+

z 2 + y
y
2
+
x 2 + z
z
2


1
x
+
1
y
+
1
z


=
y 1 + x 1
x
2
+
z 1 + y 1
y
2
+
x 1 + z 1
z

2


1
x
+
1
y
+
1
z


Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức
15

=

x 1

.

1
x
2
+
1
z
2


+

y 1

.

1
y
2
+
1
x
2

+

z 1

.

1
z
2
+
1
y
2




1
x
+
1
y
+
1
z

.
Do x 1 > 0, y 1 > 0, z 1 > 0 .
  dng bt ng thc Cauchy ta :

x 1

.

1
x
2
+
1
z
2



x 1

. 2


1
x
2
.
1
z
2
=
2

x 1

xz
.
Du =  xy ra 
1
x
=
1
z
x = z .
 t ta :

y 1

.

1
y

2
+
1
x
2


2

y 1

yx
. Du =  xy ra khi y = x.

z 1

.

1
z
2
+
1
y
2


2

z 1


zy
. Du =  xy ra khi z = y.
Do  cng  v bt ng thc ta 

y 2
x
2
+
z 2
y
2
+
x 2
z
2

2

x 1

xz
+
2

y 1

yx
+
2


z 1

zy


1
x
+
1
y
+
1
z



y 2
x
2
+
z 2
y
2
+
x 2
z
2

1

x
+
1
y
+
1
z
2.
Ta 

1
x
+
1
y
+
1
z

2
3

1
xy
+
1
yz
+
1
zx


= 3

1
x
+
1
y
+
1
z


3.
Du =  xy ra khi
1
x
=
1
y
=
1
z
=

3
3
.
Vy
y 2

x
2
+
z 2
y
2
+
x 2
z
2


3 2.
Du =  xy ra khi

x = y = z =

3
x + y + z = xyz

x = y = z =

3.
Bài toán 10.
Chng minh rng trong mi ABC ta  :
Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức
16

1 + cos A cos B cos C 9 sin
A

2
sin
B
2
sin
C
2
.
Lời giải:
Vi mi ABC ta   0 < A, B, C <  0 <
A
2
,
B
2
,
C
2
<

2

0 < cos
A
2
, cos
B
2
, cos
C

2
< 1.
 c 2 v ca bt ng thc cn chng minh vi 8. cos
A
2
cos
B
2
cos
C
2
ta c:
8. cos
A
2
cos
B
2
cos
C
2

1 + cos A cos B cos C

8. cos
A
2
cos
B
2

cos
C
2
. 9 sin
A
2
sin
B
2
sin
C
2
.
 trong mi ABC ta  d  chng minh c  h thc ng sau:
sin A + sin B + sin C = 4 cos
A
2
cos
B
2
cos
C
2
.
sin
2
A + sin
2
B + sin
2

C = 2

1 + cos A cos B cos C

.
Thay  bt ng thc ta :

sin A + sin B + sin C

sin
2
A + sin
2
B + sin
2
C

9 sin A sin B sin C.
Trong ABC ta  : sin A, sin B, sin C > 0
 dng bt ng thc Cauchy ta :
sin A + sin B + sin C 3

sin A sin B sin C
3
.
sin
2
A + sin
2
B + sin

2
C 3

sin
2
A sin
2
B sin
2
C
3
.
 2 v ta c u cn chng minh.
Du =  xy ra khi sin A = sin B = sin C A = B = C hay ABC u.
2.2.3.      :
 1: Cho 3 s  x, y, z  xyz = 1.
Chng minh rng
2
x
3

y + z

+
2
y
3

z + x


+
2
z
3

x + y

3.
 2: Cho 3 s  x, y, z  xyz = 1.
Chng minh rng
1
xy
+
1
yz
+
1
xz
+
3
x + y + z
4.
 3: Cho 2 s  x, y  xy = 1.
Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức
17

Chng minh rng x
2
+ 3x + 3y + y
2

+
9
x
2
+ y
2
+ 1
11.
 4: Cho 3 s  a, b, c  abc = 1.
Chng minh rng
1
a
2
+ 2b
2
+ 3
+
1
b
2
+ 2c
2
+ 3
+
1
c
2
+ 2a
2
+ 3


1
2
.
 5:Chng minh rng trong mi ABC ta :
1
sin
2
A
+
1
sin
2
B
+
1
sin
2
C

1
2 sin
A
2
sin
B
2
sin
C
2

.
2.3. Phƣơng pháp thêm bớt hằng số.
2.3.1. Phương pháp:
Nhiều bài ta nhìn ra ngay bất đẳng thức Cauchy mà phải thêm bớt hằng số để xuất
hiện bất đẳng thức Cauchy.
2.3.2. Các bài toán minh họa:
Bài toán 1.
Cho 3 s   a, b, c. Chng minh rng:

ab
3
+

bc
3
+

ca
3
1 
2
3

a + b + c

.
Lời giải:
Ta 

ab

3
=

ab. 1
3

1
3

a + b + 1

. Du =  xy ra khi a = b = 1.
 t

bc
3

1
3

b + c + 1

. Du =  xy ra khi b = c = 1.

ca
3

1
3


c + a + 1

. Du =  xy ra khi c = a = 1.
Cng  v ta :

ab
3
+

bc
3
+

ca
3

1
3

a + b + 1 + b + c + 1 + c + a + 1


=
2
3

a + b + c

+ 1.



ab
3
+

bc
3
+

ca
3
1 
2
3

a + b + c

,
Du =  xy ra khi a = b = c = 1.
Bài toán 2.
Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức
18

Cho x 2, y 3, z 1. Chng minh rng:
xy


z 1

+ yz



x 2

+ zx


y 3

xyz

1
2

1 +
1

2
+
1

3

.
Lời giải:
Ta : VT =
xy


z 1


+ yz


x 2

+ zx


y 3

xyz

=


z 1

z
+


x 2

x
+


y 3


y
.



z 1

z
=


z 1

. 1
z

z 1 + 1
2z
=
1
2
.
Du =  xy ra khi z 1 = 1 z = 2.
 t


x 2

x


x 2 + 2
2x

2
=
1
2

2
.
Du =  xy ra khi x 2 = 2 x = 4.


y 3

y

y 3 + 3
y

3
=
1
2

3
.
Du =  xy ra khi y 3 = 3 y = 6.
Cng  v ta 



z 1

z
+


x 2

x
+


y 3

y

1
2
+
1
2

2
+
1
2

3

= VP.
Du =  xy ra khi x = 4, y = 6, z = 2.

Bài toán 3.
Cho 3 s  x, y, z  x + y + z = 1.
Chng minh rng: x +

xy +

xyz
3

4
3
.
Lời giải:
Ta bin i v : VT = x +

xy +

xyz
3
= x +

x. 4y
2
+

x. 4y. 16z
3

4
.
Theo bt  ng thc Cauchy ta :