Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức tt

Một số phương pháp chứng minh bất đẳng
thức

Phạm Thị Lan Anh

Trường đại học Khoa học Tự nhiên. Đại học Quốc gia Hà Nội
Luận văn Thạc sĩ ngành: Toán học; Mã số: 60 46 01 13
Người hướng dẫn: PGS.TS. Phan Huy Khải
Năm bảo vệ: 2013


Abstract. Trình bày các khái niệm cơ bản về bất đẳng thức cũng như các tính chất
của bất đẳng thức. Trình bày một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức sử
dụng bất đẳng thức Cauchy, trong đó đưa ra các phương pháp như: Phương pháp sử
dụng bất đẳng thức Cauchy cơ bản; Phương pháp sử dụng trực tiếp bất đẳng thức
Cauchy; Phương pháp thêm bớt hằng số; Phương pháp thêm bớt biểu thức chứa
biến; Phương pháp nhóm các số hạng; Phương pháp sử dụng kĩ thuật Cauchy ngược
dấu. Trình bày cách từ miền giá trị của biến số để tìm ra miền giá trị của hàm số, từ
đó xác định được điểm cực trị của hàm số trong miền giá trị để chứng minh bất đẳng
thức. Trình bày phương pháp sử dụng các hệ thức lượng giác hoặc biến đổi bất đẳng
thức trở thành các hệ thức lượng giác quen thuộc để chứng minh bất đẳng thức.
Trình bày phương pháp lựa chọn hàm số từ bất đẳng thức để từ đó qua đạo hàm ta
thấy được chiều biến thiên trong một khoảng xác định để chứng minh bất đẳng thức
ban đầu. Trình bày phương pháp biến đổi bất đẳng thức trở thành các biểu thức chứa
các yếu tố hình học, từ các bất đẳng thức hình học quen thuộc ta chứng minh được
bất đẳng thức ban đầu

Keywords. Phương pháp toán sơ cấp; Bất đẳng thức; Toán học

Content

Mục lục
Lời nói đầu .
Chương 1: Mở đầu 1
1.1. Định nghĩa: 1
1.2. Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức: 1
Chương 2: Bất đẳng thức Cauchy 2
2.1. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy cơ bản. 2
2.1.1. Bất đẳng thức Cauchy: 2
2.1.2. Bất đẳng thức Cauchy cơ bản: 2
2.1.3. Các bài toán minh họa. 2
2.1.4. Một số bài tập tương tự. 7
2.2. Phương pháp sử dụng trực tiếp bất đẳng thức Cauchy 8
2.2.1. Bất đẳng thức Cauchy: 8
2.2.2. Các bài toán minh họa 8
2.2.3. Một số bài toán tương tự 16
2.3. Phương pháp thêm bớt hằng số. 17
2.3.1. Phương pháp: 17
2.3.2. Các bài toán minh họa: 17
2.3.3. Một số bài toán tương tự 23
2.4. Phương pháp thêm bớt biểu thức chứa biến 24
2.4.1. Phương pháp: 24

2.4.2. Các bài toán minh họa: 24
2.4.3. Một số bài toán tương tự 38

2.5. Phương pháp nhóm các số hạng 40
2.5.1. Phương pháp thứ 1. 40
2.5.1.1. Nội dung phương pháp: 40
2.5.1.2. Các ví dụ minh họa: 40
2.5.2. Phương pháp thứ 2 44
2.5.2.1. Nội dung phương pháp 44
2.5.2.2. Các ví dụ minh họa. 44
2.5.3. Một số bài toán tương tự 50
2.6. Phương pháp sử dụng kĩ thuật Cô-si ngược dấu 50
2.6.1. Phương pháp: 50
2.6.2. Các bài toán minh họa: 50
2.6.3. Các bài tập tương tự: 52
Chương 3: Phương pháp miền giá trị hàm số 53
3.1. Nội dung phương pháp. 53
3.2. Các bài toán minh họa. 53
3.3. Các bài tập tương tự. 55
Chương 4: Phương pháp lượng giác hóa 56
4.1. Nội dung phương pháp. 56
4.2. Các ví dụ minh họa. 56
4.3. Bài tập tương tự: 62
Chương 5: Phương pháp dùng chiều biến thiên hàm số 63
5.1. Nội dung phương pháp: 63
5.2. Các bài toán minh họa: 63
5.3. Các bài tập tương tự. 69
Chương 6: Phương pháp sử dụng hình học 70
6.1. Nội dung phương pháp. 70
6.2. Các bài toán minh họa. 70

6.3. Các bài tập tương tự. 74
Kết luận 75
Tài liệu tham khảo 76




Tài liệu tham khảo
Tiếng Việt:
1. Trần Phương (2011), Những viên kim cương trong bất đẳng thức toán học,
NXB Tri Thức
2. Phạm Kim Hùng (2007), Sáng tạo bất đẳng thức, NXB Tri Thức.
3. Nguyễn Văn Mậu (2005), Bất đẳng thức và một số vấn đề liên quan-tài liệu bồi
dưỡng giáo viên THPT chuyên
4. Võ Quốc Bá Cẩn, (2011), Sử dụng AM-GM để chứng minh bất đẳng thức, NXB
Đại học Sư Phạm.
5. Phạm Văn Thuận, Lê Vĩ (2007), Bất đẳng thức-Suy luận và khám phá, NXB Đại
học Quốc gia Hà Nội
Tiếng Anh:
1. J. Michael Steele (2004), The Cauchy-Schwarz master class, Cambridge
University Press.
2. T. Andreescu, V. Cartoaje, G. Dospinescu, M. Lascu, Old and new inequalities,
3. D. J. H. Garling, (2007) Inequalities - A Journey into Linear Analysis, Cambridge
University Press.