Môt số tích chập suy rộng với hàm trọng Hermite của các biến đổi tích phân dạng Fourier và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
− − − − − − − − −
NGUYỄN THỊ THU HUYỀN
MỘT SỐ TÍCH CHẬP SUY RỘNG
VỚI HÀM TRỌNG HERMITE CỦA CÁC BIẾN ĐỔI
TÍCH PHÂN DẠNG FOURIER VÀ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 62 46 01 01
TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Hà Nội - 2012
Công trình được hoàn thành tại: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên,
Đại học Quốc gia Hà Nội
Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Nguyễn Minh Tuấn
Phản biện 1: GS.TSKH. Lê Hùng Sơn
Trường Đại học Bách khoa Hà Nội
Phản biện 2: PGS.TS. Hà Tiến Ngoạn
Viện Toán học, Viện KH&CN Việt Nam
Phản biện 3: TS. Cung Thế Anh
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội
Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng cấp nhà nước chấm luận án
tiến sĩ họp tại Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia
Hà Nội vào hồi giờ ngày tháng năm
Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện:
- Thư viện Quốc gia Việt Nam
- Trung tâm Thông tin thư viện, Đại học Quốc gia Hà Nội
2
MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
LỜI CẢM ƠN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
MỤC LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

CÁC KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN . . . . . . . . . . . 6
MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Chương 1. BIẾN ĐỔI FOURIER, FOURIER-SINE, FOURIER-COSINE
VÀ HARTLEY 15
1.1. Biến đổi tích phân Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.1.1. Định nghĩa và các tính chất cơ bản . . . . . . . . . 15
1.1.2. Tích chập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.2. Biến đổi tích phân Fourier-sine, Fourier-cosine . . . . . . . 28
1.3. Biến đổi Hartley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Chương 2. TÍCH CHẬP SUY RỘNG ĐỐI VỚI MỘT SỐ PHÉP BIẾN
ĐỔI TÍCH PHÂN DẠNG FOURIER 49
2.1. Tích chập suy rộng đối với các biến đổi Fourier và Fourier
ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.2. Tích chập suy rộng liên kết giữa các biến đổi Fourier và
Hartley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.3. Tích chập suy rộng đối với các biến đổi Fourier-sine và
Fourier-cosine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.4. Tích chập suy rộng với hàm trọng là một tổ hợp tuyến tính
hữu hạn các hàm Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Chương 3. ỨNG DỤNG 97
3.1. Cấu trúc vành định chuẩn trên L
1
(R
d
) . . . . . . . . . . . 97
3.2. Giải phương trình tích phân dạng chập với nhân Hermite . 104
3.3. Đánh giá bán kính phổ của một số toán tử tích phân . . . 131
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN
QUAN ĐẾN LUẬN ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

4
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5
CÁC KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN
• d là một số nguyên dương cho trước.
• x, y ∈ R
d
: x = (x
1
, x
2
, . . . , x
d
), y = (y
1
, y
2
, . . . , y
d
),
−x = (−x
1
, −x
2
, . . . , −x
d
), x + y = (x
1
+ y
1

, x
2
+ y
2
, . . . , x
d
+ y
d
).
• L
1
(R
d
) := {f : R
d
→ C :

R
d
|f(x)|dx < +∞}, tích phân lấy theo
độ đo Lebesgue.
• L
2
(R
d
) := {f : R
d
→ C :

R

d
|f(x)|
2
dx < +∞}, tích phân lấy theo
độ đo Lebesgue.
• Với f(x) ∈ L
1
(R
d
), f =
1
(2π)
d
2

R
d
|f(x)|dx.
•
ˇ
f(x) := f(−x).
• xy := x, y = x
1
y
1
+x
2
y
2
+···+x

d
y
d
là tích vô hướng của x, y ∈ R
d
,
|x|
2
:= x, x = x
2
1
+ x
2
2
+ ··· + x
2
d
.
• cas xy := cos xy + sin xy.
• α = (α
1
, . . . , α
d
) ∈ N
d
là một đa chỉ số, |α| := α
1
+ ··· + α
d
.

• S = {f ∈ C
∞
(R
d
) : sup
|α|≤N
sup
x∈R
d
(1 + |x|
2
)
N
|(D
α
f)(x)| < ∞, ∀ N =
0, 1, 2, . . . } là không gian Schwartz (không gian các hàm giảm nhanh
tại vô cùng).
•
Φ
α
(x) := (−1)
|α|
e
1
2
|x|
2
D
α

x
e
−|x|
2
là hàm Hermite đa chiều, trong đó D
α
x
=
∂
|α|
∂x
α
1
1
···∂x
α
d
d
.
• C
∞
(R
d
) = {f : R
d
→ C : D
α
f ∈ C(R
d
), ∀α là một đa chỉ số}.

• C
0
(R
d
) là không gian các hàm liên tục trên R
d
, triệt tiêu tại vô cùng
lấy giá trị trong C với chuẩn ||f||
∞
= sup
x∈R
d
|f(x)|.
6
• Cho Φ
α
là một hàm Hermite. Đặt N
α
:=
1
(2π)
d
2

R
d
|Φ
α
(x)|dx. Rõ
ràng, N

α
> 0. Các chuẩn (0), (1) của f ∈ L
1
(R
d
) lần lượt được định
nghĩa như sau:
f
0
:=
N
α
(2π)
d
2

R
d
|f(x)|dx, (0)
f
1
:=
2N
α
(2π)
d
2

R
d

|f(x)|dx. (1)
• γ(x) = Φ
0
(x) = e
−
1
2
|x|
2
(hàm dạng Gauss).
7
MỞ ĐẦU
1. Lịch sử vấn đề và lý do lựa chọn đề tài
Lý thuyết tích chập đối với các biến đổi tích phân đã được nghiên cứu
trong một thời gian dài, và được áp dụng trong nhiều lĩnh vực của toán
học, vật lý, y học, sinh học. Cho đến nửa đầu của thế kỷ 20, các tích chập
được tìm thấy là những tích chập không có hàm trọng cho một biến đổi
tích phân, và đối với nhiều biến đổi tích phân quen biết vẫn chưa tìm được
tích chập cho nó.
Sang nửa sau của thế kỷ 20, rất nhiều tích chập suy rộng đối với các
biến đổi tích phân và ứng dụng của chúng đã được nghiên cứu thành công
bởi nhiều tác giả. Đặc biệt, I. N. Sneddon (xem [24]) là người đầu tiên
xây dựng thành công tích chập suy rộng cho phép biến đổi tích phân và
xem xét các ứng dụng của chúng. Đó là tích chập suy rộng của hai hàm f
và g xác định trên (0, +∞) đối với các biến đổi tích phân Fourier-sine và
Fourier-cosine
(f ∗
1
g)(x) =
1

√
2π

+∞
0
f(y)[g(|x − y|) − g(x + y)]dy, x > 0.
Tích chập đó thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa
F
s
(f ∗
1
g)(x) = (F
s
f)(x)(F
c
g)(x), ∀ x > 0,
trong đó phép biến đổi Fourier-sine (F
s
), và biến đổi Fourier-cosine (F
c
)
của hàm f xác định trên (0, +∞) lần lượt cho bởi các công thức sau (xem
[8])
(F
s
f)(x) =

2
π


+∞
0
f(y) sin(xy)dy,
(F
c
f)(x) =

2
π

+∞
0
f(y) cos(xy)dy, x > 0.
Ý tưởng xây dựng tích chập sau đó được Y. Ya. Vilenkin phát triển vào
năm 1958, lần đầu tiên xây dựng được tích chập với hàm trọng đối với
biến đổi tích phân Mehler Fox (xem [55]).
8
Gần 10 năm sau, năm 1967 V. A. Kakichev đã đề xuất phương pháp
kiến thiết để xác định tích chập cho biến đổi tích phân K với hàm trọng
δ(x) dựa trên đẳng thức nhân tử hóa
K(f
δ
∗ g)(x) = δ(x)(Kf)(x).(Kg)(x).
Năm 1998, V. A. Kakichev và N. X. Thảo đưa ra một kỹ thuật xây
dựng tích chập suy rộng đối với ba biến đổi tích phân K
1
, K
2
, K
3

(theo
thứ tự đó), trong đó đòi hỏi K
1
phải là phép biến đổi với nhân k
1
(x, y) và
nó có phép biến đổi ngược K
−1
1
với nhân k
−1
1
(u, v) xác định (xem [28]).
Nói chung, mỗi tích chập là một biến đổi mới và có thể là một đối
tượng mới để nghiên cứu. Ví dụ, biến đổi Hilbert là tích chập của hàm
f(t) với hàm g(t) = 1/(πt), và biến đổi Weierstrass chính xác là tích chập
của hàm f(t) với hàm dạng Gauss e
−
1
4
t
2
(xem [38]).
Ta biết rằng tích của hai hàm số thuộc L
1
(R
d
) thì chưa chắc thuộc
L
1

(R
d
). Ví dụ sau đây sẽ minh chứng cho kết luận đó.
Ví dụ: Cho hàm số
f(x) =









1
√
|x|
, nếu x = 0, |x| ≤ 1
0, nếu x = 0
1
x
2
, nếu |x| > 1.
Dễ dàng kiểm tra được f ∈ L
1
(R), nhưng f
2
∈ L
1
(R).

Như vậy, phép nhân hai hàm là không đóng kín trong L
1
(R
d
).
Bên cạnh đó, phương trình tích phân dạng chập thuộc lĩnh vực được quan
tâm trong lý thuyết phương trình tích phân của toán học. Đặc biệt là
phương trình tích phân với nhân là các hàm dạng Gauss đã thu hút sự
quan tâm của nhiều tác giả như:
[10] F. Garcia-Vicente, J. M. Delgado, and C. Rodriguez (2000), "Exact
analytical solution of the convolution integral equation for a general profile
fitting function and Gauss detector kernel", Phys. Med. Bio, (45), 645–650.
[17] G. Arfken (1985), Mathematical Methods for Physicists, Academic
Press.
[34] P. S. Cho, H. G. Kuterdem, and R. J. Marks II (1998), "A spherical
dose model for radio surgery plan optimization", Phys. Med. Bio, (43),
3145–3148.
9
[48] T. Kailath, B. L, L. Ljung, M. Morf (1978), "Fast time-invariant imple-
mentations of Gauss signal detectors", IEEE Trans. Information Theory,
24 (4), 469–477.
Các phương trình tích phân với nhân là các hàm dạng Gauss có nhiều ứng
dụng trong vật lý như: ứng dụng trong truyền sóng bức xạ, lý thuyết lọc
tuyến tính, thủy lực học, và một số lĩnh vực của y học, sinh học.
Từ kết quả của các công trình liên quan đến tích chập, tích chập suy
rộng mà ta nhắc đến ở trên cho thấy các biến đổi tích phân Fourier, Fourier-
sine, Fourier-cosine và Hartley có ứng dụng trong hầu hết các lĩnh vực của
khoa học kỹ thuật.
Các biến đổi Fourier, Fourier ngược, Fourier-cosine, Fourier-sine và
Hartley trong không gian L

1
(R
d
) lần lượt được định nghĩa như sau (xem
[8, 26, 35, 52])
ˆ
f(x) = (F f)(x) :=
1
(2π)
d
2

R
d
f(y)e
−ixy
dy,
(F
−1
f)(x) :=
1
(2π)
d
2

R
d
ˆ
f(y)e
ixy

dy,
(T
c
f)(x) :=
1
(2π)
d
2

R
d
cos(xy)f(y)dy,
(T
s
f)(x) :=
1
(2π)
d
2

R
d
sin(xy)f(y)dy,
(H
1
f)(x) :=
1
(2π)
d
2


R
d
cas(xy)f(y)dy.
Dễ dàng kiểm tra được
(F
ˇ
f)(x) = (F
−1
f)(x) và (F f)(x) = (F
−1
ˇ
f)(x).
Ngoài ra, ta thấy các biến đổi Fourier, Hartley là tổng đại số của hai biến
đổi độc lập Fourier-sine và Fourier-cosine. Mối liên hệ giữa các biến đổi đó
được thể hiện qua công thức Euler sau
T
c
=
F + F
−1
2
,
T
s
=
iF − iF
−1
2
,

H
1
=
(1 + i)F + (1 −i)F
−1
2
.
10
Vì những lý do trên nên ta gọi chung các biến đổi Fourier, Fourier ngược,
Fourier-cosine, Fourier-sine và Hartley là các biến đổi tích phân dạng
Fourier.
Xung quanh những biến đổi này, nhóm nghiên cứu V. A. Kakichev,
V. K. Tuấn, N. X. Thảo, N. M. Khoa đã xây dựng một số tích chập, tích
chập suy rộng và nghiên cứu các ứng dụng của chúng đối với các biến
đổi Fourier-sine, Fourier-cosine trong không gian L
1
(R
+
) và một số không
gian hàm có trọng khác (xem [42, 44, 50]). R. N. Bracewell đã đưa ra
tích chập đối với biến đổi Hartley trong không gian L
1
(R) (xem [35, 36]).
Các kết quả trong luận án của B. T. Giang đã xây dựng tích chập, tích
chập suy rộng và nghiên cứu các ứng dụng của chúng cho các biến đổi
Fourier, Fourier-sine, Fourier-cosine, Hartley trong không gian L
1
(R
d
) với

hàm trọng là các hàm lượng giác (xem [12, 13, 14, 15]).
Từ khi lý thuyết tích chập đối với các biến đổi tích phân ra đời, ngoài
các công trình ta liệt kê ở trên, một lượng lớn các bài báo, sách trình bày
về tích chập, tích chập suy rộng, đa chập và các ứng dụng của chúng đã
được xuất bản bởi nhiều tác giả như R. N. Bracewell, L. E. Britvina, R.
V. Churchill, H. J. Glaeske, S. Saitoh, S. B. Yakubovich, V. K. Tuấn, N.
X. Thảo, N. M. Tuấn, B. T. Giang, (xem [6, 7, 18, 20, 25, 27, 29, 35, 36,
39, 40, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 49, 50, 51, 54, 56]). Qua các công trình đó ta
thấy nổi bật lên là các nhóm nghiên cứu:
1. L. E. Britvina, Jorge J. Betancor và các cộng sự với một số công trình
liên quan đến các biến đổi Hankel, Fourier-cosine (xem [29, 31]).
2. S. B. Yakubovich, Y. Luchko với các công trình liên quan đến biến
đổi Kontorovich Lebedev (xem [40, 41]).
3. V. A. Kakichev, V. K. Tuấn, N. X. Thảo, N. M. Khoa, Trịnh Tuân,
N. Thanh. Hồng với các công trình về tích chập suy rộng liên quan
đến các biến đổi Fourier, Fourier-cosine, Fourier-sine, Hankel, Kon-
torovich Lebedev, Stieltjes và biến đổi I trên nửa không gian (xem
[21, 27, 32, 42, 43, 44, 45, 49, 50, 51, 56]). Quan tâm đến các biến
đổi này ở Việt Nam còn có Phan Tăng Đa (xem [6]).
4. S. Saitoh cùng các cộng sự với một số công trình liên quan đến các
biến đổi Weierstrass, Laplace (xem [38, 39, 47, 54]).
11
5. R. N. Bracewell với một số công trình liên quan đến biến đổi Hartley
trong không gian một chiều (xem [35, 36]).
6. N. M. Tuấn, N. V. Mậu, B. T. Giang, P. D. Tuấn với một số công
trình liên quan đến các biến đổi Fourier, Fourier-cosine, Fourier-sine
và Hartley trong không gian R
d
(xem [12, 13, 14, 15, 16, 46]).
Như vậy, chúng ta có thể thấy được những ứng dụng rộng rãi của các

tích chập, tích chập suy rộng, đa chập trong nhiều lĩnh vực của toán học,
vật lý, y học, sinh học và thấy được các ứng dụng rộng rãi của các biến đổi
tích phân dạng Fourier trong các lĩnh vực của khoa học kỹ thuật. Trong
nhiều trường hợp, các ứng dụng đó thường được đưa về giải phương trình
tích phân với nhân là các hàm dạng Gauss.
Vì những lý do trên, chúng tôi lựa chọn đề tài với tên gọi là "Một số
tích chập suy rộng với hàm trọng Hermite của các biến đổi tích phân dạng
Fourier và ứng dụng" .
2. Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Luận án xây dựng một số tích chập suy rộng đối với một số biến đổi
tích phân dạng Fourier đã nói ở trên với hàm trọng là các hàm Hermite.
Sử dụng các tích chập đó, luận án xây dựng L
1
(R
d
) thành các vành định
chuẩn mà phép nhân được hiểu là phép nhân chập, giải một số phương
trình tích phân dạng chập với nhân là các hàm Hermite (trong trường hợp
đặc biệt thì các nhân này trở thành các hàm dạng Gauss), đưa ra cách
đánh giá bán kính phổ của một số toán tử tích phân và chỉ ra được không
gian trên đó một số phương trình tích phân được xét luôn có nghiệm duy
nhất.
3. Phương pháp nghiên cứu
Luận án sử dụng các kĩ thuật biến đổi tích phân, kĩ thuật đánh giá tích
phân trong L
1
(R
d
) để chứng minh sự tồn tại của các tích chập. Bên cạnh
đó, luận án còn sử dụng các kĩ thuật phép biến đổi Fourier, Fourier-sine,

Fourier-cosine và Hartley vào việc giải các phương trình tích phân với nhân
Hermite (bằng cách đưa các phương trình được xét về các phương trình,
hệ phương trình đại số). Ngoài ra, luận án còn sử dụng các kĩ thuật của
giải tích hàm để thu được đánh giá bán kính phổ của một số toán tử tích
phân.
4. Cấu trúc và các kết quả của luận án
12
Nội dung của luận án, ngoài phần mở đầu, phần kết luận gồm có ba
chương:
Chương 1. Trình bày một số tính chất cơ bản của các biến đổi Fourier,
Fourier-sine, Fourier-cosine và Hartley cùng tích chập đối với chúng. Trong
chương này, luận án có đưa ra các ví dụ cụ thể minh họa cho các tính chất
và các tích chập đã biết.
Chương 2. Xây dựng các tích chập suy rộng mới của một số biến đổi
tích phân dạng Fourier với hàm trọng là các hàm Hermite. Cụ thể là: xây
dựng các tích chập suy rộng đối với các biến đổi Fourier, Fourier ngược;
các tích chập suy rộng liên kết giữa các biến đổi Fourier và Hartley; các
tích chập suy rộng đối với các biến đổi Fourier-sine và Fourier-cosine.
Chương 3. Sử dụng các tích chập mới nhận được ở Chương 2 vào việc
xây dựng L
1
(R
d
) thành các vành định chuẩn và giải một lớp phương trình
tích phân với nhân là hàm Hermite (trong trường hợp đặc biệt thì nhân
là các hàm dạng Gauss). Khi so sánh việc giải một số phương trình tích
phân dạng chập với các tác giả (xem [19, 22, 23, 43, 50]), các tác giả đó đã
sử dụng định lý Wiener-Lèvy và thu được nghiệm ẩn. Ở đây, đối với mỗi
phương trình được xét với một vài hạn chế áp lên vế phải, luận án đã chỉ
ra điều kiện cần và đủ cho tính giải được cũng như nghiệm tường minh

của chúng.
Từ việc giải các phương trình tích phân đó, luận án chỉ ra rằng bài
toán đánh giá bán kính phổ của một số toán tử tích phân được dẫn đến bài
toán tìm mô đun lớn nhất của các hàm số liên tục, bị chặn và giảm nhanh
tại vô cùng trên không gian R
d
. Ngoài ra, luận án đã chỉ ra được không
gian trên đó một số phương trình tích phân được xét luôn có nghiệm duy
nhất.
5. Ý nghĩa của các kết quả của luận án
Sự khác biệt giữa các kết quả của luận án và các luận án trước đó theo
cùng hướng nghiên cứu của tác giả (xem [12, 13, 14, 15, 16, 46]) là luận
án xây dựng được một số tích chập với hàm trọng Hermite đối với một
số phép biến đổi tích phân dạng Fourier, sử dụng các tích chập xây dựng
được luận án chỉ ra rằng bài toán đánh giá bán kính phổ của một số toán
tử tích phân được dẫn đến bài toán tìm mô đun lớn nhất của các hàm số
liên tục, bị chặn và giảm nhanh tại vô cùng trên không gian R
d
. Ngoài ra,
luận án đã chỉ ra được không gian trên đó một số phương trình tích phân
được xét luôn có nghiệm duy nhất.
13
Các kết quả của luận án góp phần làm phong phú thêm về lý thuyết
tích chập đối với các biến đổi tích phân, lý thuyết phương trình tích phân
dạng chập, và có thể áp dụng để giải một số phương trình vi, tích phân
xuất hiện trong các lĩnh vực ứng dụng như xử lý tín hiệu số,
Nội dung trong Chương 2 và Chương 3 của luận án được viết dựa trên
các bài báo [1], [2], [3] (Danh mục công trình khoa học của tác giả liên
quan đến luận án), các kết quả này đã được báo các tại:
Seminar Giải tích đại số của trường ĐHKHTN - ĐHQG Hà Nội; Sem-

inar Giải tích của bộ môn Giải tích khoa Toán - Cơ - Tin học trường
ĐHKHTN - ĐHQG Hà Nội; Seminar của khoa Toán Tin ĐHBK Hà Nội.
14
Chương 1
BIẾN ĐỔI FOURIER, FOURIER-SINE,
FOURIER-COSINE VÀ HARTLEY
Các biến đổi tích phân Fourier, Fourier-sine, Fourier-cosine, Hartley
cùng tích chập đối với chúng được nghiên cứu và phát triển đã lâu và có
nhiều áp dụng trong các lĩnh vực khác nhau. Trong chương này, luận án
trình bày các tính chất cơ bản và tích chập đối với những biến đổi này.
1.1. Biến đổi tích phân Fourier
Trước hết, ta nhắc lại một số không gian hàm và các chuẩn trong nó.
Cho d là một số nguyên dương. Ký hiệu
L
1
(R
d
) := {f : R
d
→ C :

R
d
|f(x)|dx < +∞},
(tích phân lấy theo độ đo Lebesgue).
Với f ∈ L
1
(R
d
),

f :=
1
(2π)
d
2

R
d
|f(x)|dx.
C
0
(R
d
) là không gian các hàm liên tục trên R
d
lấy giá trị trong C và triệt
tiêu tại vô cùng với chuẩn
||f||
∞
= sup
x∈R
d
|f(x)|.
1.1.1. Định nghĩa và các tính chất cơ bản
Biến đổi Fourier và biến đổi Fourier ngược được định nghĩa như sau
(xem [8, 52]):
(F f)(x) : =
1
(2π)
d

2

R
d
f(y)e
−ixy
dy,
15
(F
−1
f)(x) : =
1
(2π)
d
2

R
d
f(y)e
ixy
dy.
Với mỗi x = (x
1
, x
2
, . . . , x
d
), ta ký hiệu −x = (−x
1
, −x

2
, . . . , −x
d
) và
ˇ
f(x) = f(−x).
Ta thấy rằng, f ∈ L
1
(R
d
) khi và chỉ khi
ˇ
f ∈ L
1
(R
d
). Dễ dàng kiểm tra
được
(F
ˇ
f)(x) = (F
−1
f)(x) và (F f)(x) = (F
−1
ˇ
f)(x).
Đôi khi, ta dùng ký hiệu (F f)(x) =
ˆ
f(x).
Sau đây là biến đổi Fourier của một số hàm số.

Ví dụ 1.1. Trong không gian R
d
, xét hàm số
f(x) = e
−|x|
2
.
Theo (xem [52]), ta có
1
(2π)
d
2

R
d
e
−
|x|
2
2
dx = 1. (1.1)
Vì vậy,
1
π
d
2

R
d
e

−|x|
2
dx = 1 (1.2)
và do đó f ∈ L
1
(R
d
). Thực hiện phép đổi biến
t
1
= y
1
+
ix
1
2
, t
2
= y
2
+
ix
2
2
, . . . , t
d
= y
d
+
ix

d
2
,
ta thu được
(F f)(x) =
1
(2π)
d
2

R
d
e
−ixy−|y|
2
dy
=
1
(2π)
d
2

+∞
−∞

+∞
−∞
···

+∞

−∞
e
−ix
1
y
1
−ix
2
y
2
−···−ix
d
y
d
×
× e
−y
2
1
−y
2
2
−···−y
2
d
dy
1
dy
2
···dy

d
=
e
−
x
2
1
+x
2
2
+···+x
2
d
4
(2π)
d
2

+∞
−∞
e
−(y
1
+
ix
1
2
)
2
dy

1

+∞
−∞
e
−(y
2
+
ix
2
2
)
2
dy
2
×
16
Hình 1.1: f(x), (F f)(x) khi d = 1
··· ×

+∞
−∞
e
−(y
d
+
ix
d
2
)

2
dy
d
=
e
−
x
2
1
+x
2
2
+···+x
2
d
4
(2π)
d
2

+∞
−∞
e
−t
2
1
dt
1

+∞

−∞
e
−t
2
2
dt
2
···

+∞
−∞
e
−t
2
d
dt
d
=
e
−
x
2
1
+x
2
2
+···+x
2
d
4

(2π)
d
2

R
d
e
−|t|
2
dt
=
1
2
d
2
e
−|x|
2
4
.
Dễ thấy, trong ví dụ này Ff ∈ L
1
(R
d
).
Ví dụ 1.2. Xét hàm số
f(x) =




e
−x
, nếu x > 0
0, nếu x ≤ 0.
Vì

R
|f(x)|dx = 1
nên f ∈ L
1
(R). Theo công thức biến đổi Fourier, ta có
(F f)(x) =
1
√
2π

R
f(y)e
−ixy
dy
17
=
1
√
2π

+∞
0
e
−y

e
−ixy
dy
=
1
√
2π(1 + ix)
.
Suy ra
|(F f)(x)| =
1
√
2π
|
1
1 + ix
| =
1
√
2π
1
√
1 + x
2
.
Do đó,
ˆ
f ∈ L
1
(R).

Như vậy, tuy là f ∈ L
1
(R), nhưng
ˆ
f ∈ L
1
(R).
Ví dụ 1.3. Xét hàm số
Π(x) =



1, nếu |x| <
1
2
0, nếu |x| >
1
2
.
Π(x) còn có tên gọi hàm Rectangle (xem [35]). Vì
Hình 1.2: Π(x), (F Π)(x)

+∞
−∞
|Π(x)|dx = 1
nên Π ∈ L
1
(R). Ta có
(F Π)(x) =
1

√
2π

R
Π(y)e
−ixy
dy =
1
√
2π

1
2
−
1
2
e
−ixy
dy,
18
hay
(F Π)(x) =



2
√
2π
sin
x

2
x
, nếu x = 0
1
√
2π
, nếu x = 0.
Dễ thấy,
ˆ
Π ∈ L
1
(R).
Nhận xét. Ta thấy, nếu f ∈ L
1
(R
d
) thì không phải lúc nào cũng có
ˆ
f ∈ L
1
(R
d
). Ta có kết quả sau đây.
Định lý 1.1 ([8, 52]). F là một ánh xạ tuyến tính liên tục từ L
1
(R
d
) vào
C
0

(R
d
) và ||F f||
∞
≤ ||f||.
Nhận xét. Ở Ví dụ 1.1, hiển nhiên ta có
ˆ
f ∈ C
0
(R
d
). Trong các Ví
dụ 1.2, 1.3 ở trên, ta đã biết các hàm ảnh
ˆ
f,
ˆ
Π ∈ L
1
(R). Tuy nhiên, ta có
ˆ
f,
ˆ
Π ∈ C
0
(R), và
||F f||
∞
= ||f|| =
1
√

2π
,
||F Π||
∞
= ||Π|| =
1
√
2π
.
Hàm Hermite đa chiều trong không gian R
d
được định nghĩa như sau
(xem [8, 52]):
Φ
α
(x) := (−1)
|α|
e
1
2
|x|
2
D
α
x
e
−|x|
2
,
trong đó ta ký hiệu

D
α
x
=
∂
|α|
∂x
α
1
1
···∂x
α
d
d
là toán tử vi phân. Dễ dàng kiểm tra được
Φ
α
(−x) = (−1)
|α|
Φ
α
(x). (1.3)
Kết quả sau sẽ được sử dụng thường xuyên trong luận án.
Định lý 1.2 ([8, 52]). Biến đổi Fourier của hàm Hermite Φ
α
(x) là hàm
(−i)
|α|
Φ
α

(x).
Nhận thấy rằng (F
−1
Φ
α
)(x) = i
|α|
Φ
α
(x).
Từ phần sau, đẳng thức hàm f(x) = g(x) trong không gian L
1
(R
d
) có
nghĩa dấu bằng xảy ra tại hầu khắp nơi x ∈ R
d
. Tuy nhiên, ta có kết luận
sau.
19
Mệnh đề 1.1. Nếu f = g trong không gian L
1
(R
d
) và nếu f, g liên tục
thì f(x) = g(x) với mọi x ∈ R
d
.
Chứng minh. Giả sử ngược lại, tồn tại x
0

∈ R
d
sao cho f(x
0
) = g(x
0
). Đặt
|f(x
0
) −g(x
0
)| = 2ε > 0.
Từ tính liên tục của f và g, dẫn đến ∃ δ > 0 thỏa mãn:
∀x ∈ R
d
và |x
0
− x| < δ
thì
|f(x) −g(x)| > ε.
Khi đó,
f −g =
1
(2π)
d
2

R
d
|f(x) −g(x)|dx

≥
1
(2π)
d
2

|x
0
−x|<δ
|f(x) −g(x)|dx >
1
(2π)
d
2

|x
0
−x|<δ
εdx
=
δε
(2π)
d
2
> 0.
Điều này mâu thuẫn với f −g = 0 (do giả thiết f = g trong không gian
L
1
(R
d

)). Vì vậy, điều giả sử trên là sai và ta suy ra f(x) = g(x) ∀ x ∈ R
d
.
Mệnh đề được chứng minh.
Định lý 1.3 dưới đây cho ta thấy biến đổi Fourier là một song ánh liên
tục và là một toán tử đại số từ S vào S.
Định lý 1.3 ([8, 52]). (a) Nếu f ∈ S thì
f(x) =
1
(2π)
d
2

R
d
(F f)(y)e
ixy
dy, ∀x ∈ R
d
. (1.4)
(b) Biến đổi Fourier là một song ánh tuyến tính liên tục từ S vào S và
F
4
= I trên S.
Định lý 1.4 ([8, 52], định lý ngược). Nếu f ∈ L
1
(R
d
), F f ∈ L
1

(R
d
) và
nếu
f
0
(x) =
1
(2π)
d
2

R
d
(F f)(y)e
ixy
dy,
thì f(x) = f
0
(x) với hầu khắp nơi x ∈ R
d
.
20
Hệ quả 1.1 ([52]). Nếu f ∈ L
1
(R
d
) và nếu F f = 0 trong L
1
(R

d
), thì
f = 0 trong L
1
(R
d
).
Ký hiệu I là toán tử đồng nhất trong L
2
(R
d
). Ta nhắc lại định lý
Plancherel cho biến đổi Fourier. Định lý này giúp ta chỉ ra tập phổ của
toán tử mở rộng của toán tử F trong L
2
(R
d
).
Định lý 1.5 ([8, 52], định lý Plancherel). Tồn tại duy nhất đẳng cự tuyến
tính
F : L
2
(R
d
) → L
2
(R
d
)
thỏa mãn

F f = F f, ∀f ∈ S.
Hơn nữa, toán tử mở rộng F thỏa mãn đẳng thức
F
4
= I.
Ký hiệu l.i.m là giới hạn theo chuẩn, tức là giới hạn theo chuẩn trong
L
2
.
Hệ quả 1.2 ([8, 52]). Với f ∈ L
2
(R
d
), khi đó phép biến đổi F được định
nghĩa như sau:
(F f)(x) = l.i.m
R→∞
1
(2π)
d
2

|y|≤R
e
−ixy
f(y)dy. (1.5)
Hơn nữa, nếu (1.5) thỏa mãn thì
f(x) = l.i.m
R→∞
1

(2π)
d
2

|y|≤R
e
ixy
(F f)(y)dy,
với x ∈ R
d
hầu khắp nơi.
Định nghĩa 1.1 ([52]). Cho X là không gian tuyến tính định chuẩn trên
trường số phức C,
A : X → X
là toán tử tuyến tính liên tục.
(i) λ ∈ C là giá trị chính quy của A nếu toán tử
A
λ
:= λI + A
khả nghịch và liên tục trên X. Tập tất cả các giá trị chính quy của A ký
hiệu là ρ(A).
21
(ii) Phổ của toán tử A được ký hiệu là σ(A) và σ(A) = C\ρ(A).
Ký hiệu
r(A) := sup
λ∈σ(A)
|λ|
là bán kính phổ của toán tử A.
Định lý 1.6. σ(F ) = {−1, 1, −i, i}.
Chứng minh. Giả sử λ ∈ {−1, 1, −i, i}. Dựa vào đẳng thức F

4
= I, ta dễ
dàng chứng minh được
(λI + F )
−1
=
λ
3
I − λ
2
F + λF
2
− F
3
λ
4
− 1
.
Mặt khác, Định lý 1.2 chỉ ra mỗi hàm Hermite thuộc L
2
(R
d
) là các hàm
riêng của toán tử F tương ứng với các giá trị riêng -1 hoặc 1 hoặc i hoặc
−i. Do đó, các toán tử −I +F , I +F , iI +F , −iI +F không là các đơn ánh.
Suy ra bốn toán tử đó không khả nghịch. Vì vậy, σ(F ) = {−1, 1, −i, i}.
Định lý được chứng minh.
1.1.2. Tích chập
Tích chập, tích chập suy rộng với hàm trọng được xây dựng dựa trên
đẳng thức nhân tử hóa.

Cho U
1
, U
2
, U
3
là các không gian tuyến tính trên trường số K và V là
một đại số giao hoán trên K. Giả sử K
1
∈ L(U
1
, V ), K
2
∈ L(U
2
, V ),
K
3
∈ L(U
3
, V ) là các toán tử tuyến tính từ U
1
, U
2
, U
3
vào V tương ứng.
Gọi δ là một phần tử của đại số V .
Định nghĩa 1.2 ([14, 28]). Ánh xạ song tuyến tính
∗ : U

1
× U
2
:−→ U
3
được gọi là tích chập suy rộng với trọng δ đối với K
3
, K
1
, K
2
(theo thứ tự
đó) nếu
K
3
(∗(f, g)) = δK
1
(f)K
2
(g) với mọi f ∈ U
1
, g ∈ U
2
.
Ta gọi
K
3
(∗(f, g)) = δK
1
(f)K

2
(g)
là đẳng thức nhân tử hóa của tích chập.
22
Ảnh ∗(f, g) được ký hiệu là f
δ
∗
K
3
,K
1
,K
2
g. Khi δ là đơn vị của đại số V
và K
1
= K
2
= K
3
= K thì tích chập suy rộng đó được gọi ngắn gọn là
tích chập đối với biến đổi K, và ký hiệu là f ∗
K
g.
Trong suốt luận án này, ta xét U
1
= U
2
= U
3

= L
1
(R
d
), và V là đại số
tất cả các hàm đo được Lebesgue trên R
d
.
Nếu f, g ∈ L
1
(R
d
) thì (xem [8, 52])
(f ∗
F
g)(x) =
1
(2π)
d
2

R
d
f(x −y)g(y)dy.
Đây là tích chập đối với phép biến đổi Fourier, và ta có đẳng thức nhân
tử hóa:
F (f ∗
F
g)(x) = (F f)(x)(F g)(x).
Tích chập đó thỏa mãn một số tính chất sau:

(i) Tính giao hoán
f ∗
F
g = g ∗
F
f.
(ii) Tính kết hợp
f ∗
F
(g ∗
F
h) = (f ∗
F
g) ∗
F
h.
(iii) Tính phân phối đối với phép cộng
f ∗
F
(g + h) = f ∗
F
g + f ∗
F
h.
Ta xét một số ví dụ sau.
Ví dụ 1.4. Xét hai hàm số
Π(x) =




1, nếu |x| <
1
2
0, nếu |x| >
1
2
,
và
∧(x) =



1 −|x|, nếu |x| < 1
0, nếu |x| > 1.
23
∧(x) có tên gọi là hàm Tritangle (xem [35]).
Vì

+∞
−∞
| ∧(x)|dx = 1,
nên ∧ ∈ L
1
(R) và Π ∈ L
1
(R). Ta có
(Π ∗
F
∧)(x) =
1

√
2π

+∞
−∞
Π(x −y) ∧(y)dy. (1.6)
Vế phải của (1.6) chỉ có thể khác 0 khi |y| < 1 và |x −y| <
1
2
. Vì vậy,
Hình 1.3: Π(x), ∧(x)
(Π ∗
F
∧)(x) =















1

√
2π

x+
1
2
−1
(1 −|y|)dy, nếu −
3
2
≤ x < −
1
2
1
√
2π

x+
1
2
x−
1
2
(1 −|y|)dy, nếu −
1
2
≤ x <
1
2
1

√
2π

1
x−
1
2
(1 −|y|)dy, nếu
1
2
≤ x ≤
3
2
0, nếu |x| >
3
2
.
Tính các tích phân trên, ta nhận được
(Π ∗
F
∧)(x) =














1
8
√
2π

4x
2
+ 12x + 9

, nếu −
3
2
≤ x < −
1
2
1
4
√
2π
(−4x
2
+ 3), nếu −
1
2
≤ x <
1

2
1
8
√
2π
(4x
2
− 12x + 9), nếu
1
2
≤ x ≤
3
2
0, nếu |x| >
3
2
.
24
Hình 1.4: (Π ∗
F
∧)(x)
Dễ dàng kiểm tra được Π ∗
F
∧ ∈ L
1
(R).
Ví dụ 1.5. Xét hai hàm số
f(x) =




sin x, nếu |x| <
π
2
0, nếu |x| >
π
2
,
và
g(x) =



cos x, nếu 0 < x < π
0, nếu x ∈ (0, π).
Hiển nhiên f, g ∈ L
1
(R). Ta có
(f ∗
F
g)(x) =
1
√
2π

+∞
−∞
f(x −y)g(y)dy. (1.7)
Hàm dưới dấu tích phân vế phải của (1.7) bằng 0 khi y /∈ (0, π) và
|x −y| >

π
2
. Vì vậy,
(f ∗
F
g)(x) =







1
√
2π

x+
π
2
0
sin(x −y) cos ydy, nếu −
π
2
≤ x <
π
2
1
√
2π


π
x−
π
2
sin(x −y) cos ydy, nếu
π
2
≤ x <
3π
2
0, nếu x ∈ [−
π
2
,
3π
2
].
25
Hình 1.5: f(x), g(x)
Hình 1.6: (f ∗
F
g)(x)
Thực hiện các phép tính tích phân, ta thu được
(f ∗
F
g)(x) =








1
2
√
2π
[(x +
π
2
) sin x − cos x], nếu −
π
2
≤ x <
π
2
1
2
√
2π
[(−x +
3π
2
) sin x + cos x], nếu
π
2
≤ x <
3π
2

0, nếu x ∈ [−
π
2
,
3π
2
].
Dễ dàng thấy f ∗
F
g ∈ L
1
(R).
26