Tích chập của một số phép biến đổi tích phân với nhân lượng giác và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
− − − − − − − − −
BÙI THỊ GIANG
TÍCH CHẬP CỦA MỘT SỐ
PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN
VỚI NHÂN LƯỢNG GIÁC VÀ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 62 46 01 01
TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Hà Nội - 2012
Công trình được hoàn thành tại: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại
học Quốc gia Hà Nội
Cán bộ hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Nguyễn Minh Tuấn
Phản biện 1: GS. TSKH. Đinh Dũng
Phản biện 2: PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
Phản biện 3: TS. Nguyễn Văn Ngọc
Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp nhà nước họp tại
Trường ĐHKHTN
vào hồi 9 giờ 00 ngày 26 tháng 6 năm 2012
Có thể tìm hiểu luận án này tại: - Thư viện Quốc Gia Việt Nam
- Trung tâm thông tin thư viện- ĐHQGHN.
MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
LỜI CẢM ƠN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
MỤC LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
CÁC KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN . . . . . . . . . . . . . . 6
MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Chương 1. TÍNH CHẤT TOÁN TỬ CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN
DẠNG FOURIER 19
1.1 Phép biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.1.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . 20
1.1.2 Định lý ngược và định lý duy nhất . . . . . . . . . . . . 27
1.1.3 Định lý Plancherel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.2 Phép biến đổi Hartley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.3 Phép biến đổi Fourier-cosine và Fourier-sine . . . . . . . . . . . 45
1.4 Đặc trưng đại số của phép biến đổi dạng Fourier . . . . . . . . 51
Chương 2. TÍCH CHẬP ĐỐI VỚI PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN DẠNG
FOURIER 55
2.1 Định nghĩa tích chập và tích chập suy rộng . . . . . . . . . . . 57
2.2 Tích chập đối với phép biến đổi tích phân Fourier với phép biến
đổi hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.2.1 Tích chập đối với phép biến đổi Fourier với dịch chuyển 58
2.2.2 Tích chập đối với phép biến đổi Fourier với đồng dạng . 60
2.2.3 Tích chập đối với phép biến đổi Fourier với nghịch đảo . 62
2.3 Tích chập liên kết giữa phép biến đổi Fourier và Fourier ngược 63
2.4 Tích chập đối với phép biến đổi Fourier-sine và Fourier-cosine . 67
2.4.1 Tích chập không có trọng đối với phép biến đổi Fourier-
sine và Fourier-cosine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.4.2 Tích chập đối với phép biến đổi Fourier-sine và Fourier-
cosine với hàm trọng lượng giác . . . . . . . . . . . . . 71
2.5 Tích chập đối với phép biến đổi Hartley liên kết với Fourier . . 76
4
2.5.1 Tích chập đối với phép biến đổi Hartley H
1
. . . . . . . 76
2.5.2 Tích chập đối với phép biến đổi Hartley H
2
. . . . . . . 82
2.5.3 Tích chập đối với Hartley liên kết với Fourier . . . . . . 84
Chương 3. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH CHẬP 92

3.1 Các cấu trúc vành định chuẩn trên L
1
(R
d
) . . . . . . . . . . . 93
3.2 Phương trình tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.2.1 Phương trình tích phân với nhân Toeplitz-Hankel hỗn hợp 98
3.2.2 Phương trình tích phân với nhân Toeplitz-Hankel hỗn
hợp có dịch chuyển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.2.3 Phương trình tích phân dạng tích chập tổng quát với
nhân Toeplitz-Hankel hỗn hợp . . . . . . . . . . . . . . 113
3.2.4 Phương trình tích phân với nhân Gaussian . . . . . . . 116
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ ĐÃ CÔNG
BỐ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . 130
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
−5−
CÁC KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN
Các không gian:
• L
1
(R) = {f : R → C | f khả tích Lebesgue trên R}.
• L
2
(R) = {f : R → C | |f|
2
khả tích Lebesgue trên R}.
• f
p
=



R
|f(x)|
p
dx

1/p
, p = 1, 2.
• C
0
(R)là không gian Banach của các hàm liên tục trên R và triệt tiêu tại
vô cùng với chuẩn sup.
• S là không gian Schwartz, là tập hợp tất cả các hàm f khả vi vô hạn
trên R sao cho
sup
n≤m
sup
x∈R
(1 + |x|
2
)
m
|(D
n
f)(x)| < ∞
với mọi m, n = 0, 1, 2, . . . .
• L
0
(X): tập các toán tử tuyến tính từ không gian X vào X sao cho

dom X = X.
• D(R) là không gian các hàm khả vi vô hạn trên R với giá compact.
Các toán tử:
• D
n
:=

1
i
d
dx

n
.
• H
n
(x) := (−1)
n
e
x
2

d
dx

n
e
−x
2
, đa thức Hermite bậc n.

• Φ
n
(x) := (−1)
n
e
1
2
x
2

d
dx

n
e
−x
2
, hàm Hermite.
• (F f)(x) :=
1
(2π)
d
2

R
d
e
−ix,y
f(y)dy, phép biến đổi Fourier.
6

• (F
−1
f)(x) :=
1
(2π)
d
2

R
d
e
ix,y
f(y)dy, phép biến đổi Fourier ngược.
• (F
h
f)(x) :=
1
(2π)
d
2

R
d
e
−ix+h,y
f(y)dy, phép biến đổi Fourier với phép
dịch chuyển.
• F
−1
h


F
h
f(y)

(x) :=
1
(2π)
d
2

R
d
e
ix,y+h
(F
h
f)(y)dy, phép biến đổi ngược
của phép biến đổi Fourier với phép dịch chuyển.
• (F
α
f)(x) :=
|α|
(2π)
d
2

R
d
e

−iα·x,y
f(y)dy, phép biến đổi Fourier với phép
đồng dạng.
•

F
−1
α
(F
α
f)

(x) :=
d

j=1
α
j
|α|(2π)
d
2

R
d
e
iα·x,y
(F
α
f)(y)dy, phép biến đổi ngược của
phép biến đổi Fourier với phép đồng dạng.

• (F
v
f)(x) :=



1
(2π)
d
2

R
d
e
−iy,
1
x

f(y)dy nếu x
i
= 0 ∀i = 1, . . . , d,
0 nếu x
i
= 0,
phép biến đổi Fourier với phép nghịch đảo.
• cos xy := cosx, y; sin xy := sinx, y, trong đó x, y là tích vô hướng
của x, y trong R
d
.
• (T

c
f)(x) :=
1
(2π)
d
2

R
d
cos xyf(y)dy, phép biến đổi Fourier-cosine.
• (T
s
f)(x) :=
1
(2π)
d
2

R
d
sin xyf(y)dy, phép biến đổi Fourier-sine.
• Phép biến đổi Hartley:
(H
1
f)(x) :=
1
(2π)
d
2


R
d
cas xyf(y)dy,
(H
2
f)(x) :=
1
(2π)
d
2

R
d
cas(−xy)f(y)dy,
trong đó cas xy := cos xy + sin xy.
Các hàm số.
−7−
• γ
1
(x) := e
−
1
2
|x|
2
.
• γ
2
(x) :=


e
−
1
2
|
1
x
|
2
nếu x
i
= 0 ∀i = 1, . . . , d,
0 nếu x
i
= 0.
• γ
3
(x) := cas x.
• α(x) := e
−ix,h
, α
1
(x) := e
−ix,h
1

, α
2
(x) := e
−ix,h

2

.
• β(x) = e
ix,h
.
• γ(x) = cosx, h.
• δ(x) = sinx, h.
• δ
1
(x) := cos xh
1
.
• δ
2
(x) := sin xh
1
.
• δ
3
(x) := cos xh
2
.
• δ
4
(x) := sin xh
2
.
−8−
MỞ ĐẦU

Phép biến đổi tích phân là một trong những chủ đề được phát triển sớm
trong lịch sử của giải tích toán học, và chiếm vị trí quan trọng trong toán học do
mỗi phép biến đổi tích phân có thể dùng để giải phương trình vi phân, phương
trình đạo hàm riêng, và áp dụng cho những bài toán của vật lý, cơ học, y học,
. . . Phép biến đổi tích phân được ra đời sớm nhất là phép biến đổi tích phân
Fourier được xác định bởi công thức sau:
(F f)(x) =
1
√
2π

R
e
−ixy
f(y)dy. (0.1)
Phép biến đổi tích phân Fourier có phép biến đổi ngược
(F
−1
f)(x) =
1
√
2π

R
e
ixy
f(y)dy. (0.2)
Về mặt toán học, phép biến đổi tích phân Fourier được phát triển từ chuỗi
Fourier đó là việc biểu diễn một hàm bất kỳ thành chuỗi các hàm lượng giác
đơn. Về mặt lịch sử, nhà toán học Joseph Fourier (1768-1830) là người đầu tiên

biểu diễn thành công một hàm thành chuỗi của các hàm lượng giác khi ông
nghiên cứu quá trình truyền nhiệt của vật chất. Trải qua hai thế kỷ phát triển,
một lý thuyết toán học được gọi ngắn gọn là Giải tích Fourier đã và đang
được phát triển mạnh mẽ, do lý thuyết đó có những ứng dụng trong nhiều lĩnh
vực của toán học và của nhiều ngành khoa học ứng dụng khác.
Ngoài phép biến đổi tích phân Fourier kể trên, người ta còn xét đến phép
biến đổi Fourier-cosine và Fourier-sine được xác định bởi các công thức sau đây:
(T
c
f)(x) =
1
√
2π

R
cos xyf(y)dy := g
c
(x), (0.3)
(T
s
f)(x) =
1
√
2π

R
sin xyf(y)dy := g
s
(x). (0.4)
Hai phép biến đổi T

c
, T
s
này có một tính chất khác biệt so với phép biến đổi
tích phân Fourier là ở chỗ: nếu miền xác định của T
c
, T
s
là L
1
(R), thì đó là các
toán tử không khả nghịch do chúng đều là những ánh xạ không đơn ánh, trong
9
khi phép biến đổi tích phân Fourier F có phép biến đổi ngược trong L
1
(R),
và hơn thế nữa, F là toán tử tuyến tính khả nghịch liên tục trong không gian
Hilbert L
2
(R).
Người ta thường gọi những phép biến đổi tích phân mà hàm nhân (hàm
dưới dấu tích phân) có dạng
k(x, y) = a cos xy + b sin xy, a, b ∈ C
là phép biến đổi tích phân dạng Fourier.
Trong số các phép biến đổi tích phân dạng Fourier, cần phải kể đến một
phép biến đổi tích phân do Ralph Vinton Lyon Hartley là một kỹ sư vô tuyến
điện đề xuất vào năm 1942, được xác định bởi công thức sau
(Hf)(x) =
1
√

2π

R
cas(xy)f(y)dy, (0.5)
ở đây hàm nhân dưới dấu tích phân được biết đến là hàm cas (cosine-and-sine)
được xác định bởi công thức: cas xy = cos xy + sin xy (xem [5, 18]). Phép
biến đổi Hartley là một phép biến đổi dạng Fourier, và có mối liên hệ rất gần
gũi với phép biến đổi tích phân Fourier. Thật vậy, hàm nhân trong phép biến
đổi Hartley có thể biểu diễn được qua các nhân của phép biến đổi Fourier và
Fourier ngược:
cas(xy) := cos(xy) + sin(xy) =
1 − i
2
e
ixy
+
1 + i
2
e
−ixy
,
và hàm nhân của phép biến đổi Fourier lại biểu diễn qua nhân của phép biến
đổi Hartley:
e
−ixy
=
1 + i
2
cas(xy) +
1 − i

2
cas(−xy)
(xem [5, 18]). Trong cuốn sách về các phép biến đổi tích phân [29], K. J.
Olejniczak đã viết: ". có lẽ một trong những đóng góp giá trị nhất của Hartley
là một phép biến đổi tích phân đối xứng được phát triển khởi đầu từ những vấn
đề của truyền tải sóng điện thoại. Mặc dù phép biến đổi này bị quên lãng gần
40 năm, nhưng nay nó đã được nghiên cứu lại trong thập kỷ qua bởi hai nhà
toán học Wang và Bracewell những người đã tạo ra lý thuyết hấp dẫn về đề tài
này. . ." Bằng chứng về tuyên bố trên là một danh sách dài những công trình đã
công bố về những ứng dụng của phép biến đổi Hartley (xem [5, 6, 7, 18, 27, 43]
−10−
và tài liệu tham khảo ở đó). Trong những công trình kể trên, các tác giả chỉ
ra nhiều ứng dụng hiệu quả của phép biến đổi Hartley trong các bài toán của
thực tế như: xử lý tín hiệu, khôi phục ảnh, xử lý âm thanh, xử lý tín hiệu số,
v.v. . . Mặt khác, toán tử tích phân Hartley là một toán tử thực và đối xứng.
Do vậy, ưu việt của phép biến đổi Hartley so với phép biến đổi Fourier, về mặt
tính toán số, là ở chỗ phép biến đổi Hartley của một hàm thực là hàm thực,
trong khi phép biến đổi Fourier của một hàm thực là hàm phức, và do máy
tính (computer) làm việc với số thực thuận tiện và nhanh hơn với số phức.
Liên quan đến lý thuyết của phép biến đổi tích phân, một lý thuyết khác
cũng được nghiên cứu và phát triển, tuy là ra đời muộn hơn. Đó là lý thuyết
tích chập của các phép biến đổi tích phân, và lý thuyết của các toán tử tích
chập. Lý thuyết tích chập và các toán tử tích chập được xây dựng khởi đầu
từ nửa đầu của thế kỷ 20, sau đó được phát triển mạnh mẽ trong những năm
gần đây vì chúng có nhiều ứng dụng không chỉ vào nhiều lý thuyết khác nhau
của toán học như: phương trình tích phân, phương trình đạo hàm riêng, đại
số Banach, mà còn được ứng dụng hiệu quả trong nhiều lĩnh vực khoa học và
công nghệ.
Tích chập được xây dựng và nghiên cứu đầu tiên là của phép biến đổi tích
phân Fourier

(f ∗
F
g)(x) =
1
√
2π

R
f(x − y)g(y)dy. (0.6)
Đối với tích chập (0.6), điều đáng nhấn mạnh ở đây là đẳng thức sau được thỏa
mãn, thường được gọi là đẳng thức nhân tử hóa
F (f ∗
F
g)(x) = (F f)(x)(F g)(x).
Tiếp sau tích chập (0.6) của phép biến đổi tích phân Fourier, Churchill đã xây
dựng thành công một tích chập khác của phép biến đổi Fourier-cosine, được
xác định bởi công thức sau đây
(f ∗
F
c
g)(x) =
1
(2π)
d
2

+∞
0
f(y)[g(|x − y|) + g(x + y)]dy. (0.7)
Đẳng thức nhân tử hóa của tích chập này là

F
c
(f ∗
F
c
g)(x) = (F
c
f)(x)(F
c
g)(x),
−11−
trong đó F
c
là phép biến đổi Fourier-cosine:
(F
c
f)(x) =

2
π

+∞
0
f(y) cos xydy
(xem [12, 14]).
Ta xét thêm một phép biến đổi tích phân quen thuộc nữa là phép biến đổi
Laplace được xác định bởi công thức:
(Lf)(x) =

∞

0
e
−xy
f(y)dy.
Người ta cũng tìm được một tích chập của phép biến đổi Laplace này là phép
biến đổi tích phân
(f ∗
L
g)(x) =

x
0
f(x − y)g(y)dy.
Đẳng thức nhân tử hóa của tích chập này là
L(f ∗
L
g)(x) = (Lf)(x)(Lg)(x).
Năm 1941, Churchill là người đầu tiên xây dựng được tích chập của hai
phép biến đổi tích phân khác nhau, đó là tích chập của hai phép biến đổi
Fourier-cosine và Fourier-sine được xác định bởi công thức dưới đây
(f ∗
1
g)(x) =
1
(2π)
d
2

+∞
0

f(y)[g(|x − y|) −g(x + y)]dy. (0.8)
Ký hiệu F
s
là phép biến đổi tích phân Fourier-sine:
(F
s
f)(x) =

2
π

+∞
0
f(y) sin xydy.
Khi đó, đẳng thức nhân tử hóa của tích chập (0.8) là
F
s
(f ∗
1
g)(x) = (F
s
f)(x)(F
c
g)(x)
(xem trong [12, 14]).
−12−
Cho đến nửa trước của thế kỷ 20, mới chỉ có một số lượng rất hạn chế của
các tích chập, phần lớn là tích chập không hàm trọng của các phép biến đổi
tích phân Fourier, Fourier-cosine, Laplace, Mellin,
Năm 1967, Kakichev [21] đưa ra một phương pháp tổng quát cho xây dựng

tích chập của phép biến đổi tích phân K bất kỳ với hàm trọng γ(x) cho trước
dựa trên đẳng thức nhân tử hóa
K(f
γ
∗ g)(x) = γ(x)(Kf)(x)(Kg)(x).
Sau thời điểm này, rất nhiều tích chập có trọng của các phép biến đổi tích phân
đã được tìm thấy như tích chập của phép biến đổi Fourier-sine, Fourier-cosine,
Hankel, Kontorovich- Lebedev, Stieltjes, Chẳng hạn, tích chập với hàm trọng
γ(x) = sin x của phép biến đổi Fourier-sine được giới thiệu bởi Kakichev
(f
γ
∗
F
s
g)(x) =
1
2
√
2π

+∞
0
f(u)

sign(x + u − 1)g(|x + u −1|)
+ sign(x − u + 1)g(|x −u + 1|) − g(x + u + 1)
− sign(x − u −1)g(|x −u −1|)

du. (0.9)
Đẳng thức nhân tử hóa của tích chập này là

F
s
(f
γ
∗
F
s
g)(x) = sin y(F
s
f)(x)(F
s
g)(x)
(xem [21]).
Trong hai chục năm gần đây, nhiều công trình liên quan đến các tích chập,
tích chập suy rộng của các phép biến đổi tích phân và những ứng dụng của
chúng đã được công bố (xem [10, 11, 34, 35, 36, 37, 38, 42]). Tùy thuộc vào tích
chập cụ thể mà chúng có thể ứng dụng vào phương trình tích phân và cấu trúc
vành định chuẩn. Sau đây, ta xét hai ứng dụng của lý thuyết tích chập vào giải
phương trình tích phân, và vào cấu trúc các vành định chuẩn cho không gian
L
1
(R) và các đại số Banach.
Xét phương trình tích phân
λϕ(x) +

R
k(x −y)ϕ(y)dy = f(x), (0.10)
trong đó λ ∈ C, k( ) là hàm số cho trước, còn ϕ( ) là ẩn hàm (trong không
gian thích hợp nào đó). Theo tích chập (0.6), phương trình (0.10) viết được
−13−

dưới dạng
λϕ(x) + (k ∗
F
ϕ)(x) = f(x). (0.11)
Tác động toán tử Fourier F vào hai vế của đẳng thức (0.11) và sử dụng đẳng
thức nhân tử hóa của tích chập này ta thu được
λ(F ϕ)(x) + (F k)(x)(F ϕ)(x) = (F f)(x),
hay

λ + (F k)(x)

(F ϕ)(x) = (F f)(x).
Theo bổ đề Lebesgue-Riemann, λ + (F k)(x) là hàm số liên tục trên R và triệt
tiêu tại vô cùng. Bởi vậy, nếu hàm số λ + (F k)(x) = 0 với mọi x ∈ R, thì
phương trình cuối viết được dưới dạng
(F ϕ)(x) =
(F f)(x)
λ + (F k)(x)
.
Sử dụng phép biến đổi Fourier ngược, ta nhận được công thức nghiệm của
phương trình (0.10)
ϕ(x) = F
−1

(F f)(x)
λ + (F k)(x)

. (0.12)
Cần phải lưu ý rằng quá trình giải phương trình (0.10) như trình bày ở trên
là hoàn toàn hình thức, vì rằng ta chưa xác định không gian nghiệm cũng như

các điều kiện cho đẳng thức nhân tử hóa và điều kiện cho phép lấy biến đổi
Fourier ngược. Tuy vậy, những điều lo ngại vừa nêu được giải quyết rất tốt đẹp
nếu ta chọn không gian L
1
(R) hoặc L
2
(R), và sử dụng định lý Wiener-Lèvy
để đảm bảo cho việc tồn tại ánh xạ Fourier ngược như đã thể hiện trong công
thức (0.12).
Bây giờ, ta đề cập đến một ứng dụng khác của tích chập.
Nhắc lại rằng nếu hai hàm f(x), g(x) khả tích Lebesgue trên R (nghĩa là f, g ∈
L
1
(R)) thì nói chung, hàm số tích f(x)g(x) không khả tích trên R (fg có thể
không thuộc không gian L
1
(R)). Tình hình này sẽ thay đổi nếu tích thông
thường vừa nêu của hai hàm f, g được thay thế bởi phép toán nhân ∗ được xác
định theo (0.6). Nói cụ thể hơn, người ta chứng minh được rằng nếu f, g ∈ L
1
(R)
thì hàm tích chập f ∗
F
g ∈ L
1
(R). Hơn nữa, phép toán ∗ là giao hoán, có tính kết
hợp, và phép nhân này thỏa mãn quy tắc phân phối đối với phép cộng thông
−14−
thường của các hàm số. Biểu thị dưới dạng các công thức, ta có thể phát biểu
lại như sau:

f ∗
F
g = g ∗
F
f ∈ L
1
(R), ∀f, g ∈ L
1
(R),
f ∗
F
(g
1
+ g
2
) = f ∗
F
g
1
+ f ∗
F
g
2
, ∀f, g
1
, g
2
∈ L
1
(R).

Cùng với một định nghĩa chuẩn thích hợp cho mỗi hàm f ∈ L
1
(R)
f
1
=
1
√
2π

R
|f(x)|dx, (0.13)
không gian véc tơ L
1
(R) trở thành một vành định chuẩn giao hoán với phép
toán nhân tích chập vừa nêu.
Khẳng định. Không gian véc tơ L
1
(R), được trang bị bởi phép nhân tích chập
(0.6) và chuẩn (0.13), trở thành một vành định chuẩn giao hoán.
Trên đây là hai ứng dụng của phép nhân tích chập. Thực ra, phép nhân tích
chập có rất nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực toán học khác nhau như: tính
toán số, xử lý tín hiệu số, phương trình đạo hàm riêng, . . . (xem thêm [5, 6, 20]
và các tài liệu tham khảo ở đó).
Có thể dễ dàng liệt kê một danh sách dài các tác giả và những công trình
công bố của họ liên quan đến tích chập của các phép biến đổi tích phân và
ứng dụng: V. A. Kakichev, O. I. Marichev, S. B. Yakubovich, V. K. Tuan, S.
Saitoh, L. E. Britvina, I. Feldman, I. Gohberg, H. J. Glaeske, H. M. Srivastava,
B. Silbermann, N. Krupnik, D. T. Duc, N. X. Thao, Tr. Tuan, N. M. Khoa,
. . . (xem trong tài liệu tham khảo của luận án). Trong số này, có nhiều nhà toán

học đứng đầu nhóm nghiên cứu tiềm năng ở các trung tâm nghiên cứu toán
học trên khắp thế giới, họ đã và đang tạo ra những khám phá thú vị của lý
thuyết tích chập của các phép biến đổi tích phân: S. B. Yakubivich (Porto, Bồ
Đào Nha), V. K. Tuan (Hoa kỳ), S. Saitoh (Aveiro, Bồ Đào Nha và Nhật Bản),
L. E. Britvina (Ukraine), I. Gohberg (Israel), H. M. Srivastava (Canada), B.
Silbermann (Đức). Một nguyên nhân khác mà lý thuyết tích chập đã thu hút
sự quan tâm của các nhà nghiên cứu toán học là, mỗi một tích chập lại là một
phép biến đổi tích phân mới và do đó có thể lại là một đối tượng nghiên cứu
mới (xem [10, 33, 42]). Thực vậy, nói nôm na, các phép biến đổi quen biết như
phép biến đổi tích phân kỳ dị Cauchy, phép biến đổi Weierstrass là tích chập
−15−
của hàm
k
1
(t) =
1
2πit
, k
2
(t) = e
−
1
2
t
2
với hàm ϕ(t) tương ứng.
Trong luận án này, chúng tôi xây dựng tích chập của phép biến đổi Fourier
và phép biến đổi Fourier với các phép biến đổi hình học, phép biến đổi Hartley,
hai phép biến đổi Fourier-cosine và Fourier-sine, và xét những ứng dụng của
tích chập đã xây dựng được. Sử dụng các tích chập đó, chúng tôi thu được tính

giải được cho một lớp phương trình tích phân dạng tích chập, phương trình
tích phân với nhân Toeplitz-Hankel, với nhân Toeplitz-Hankel có dịch chuyển,
và phương trình tích phân với nhân Gaussian. Hơn nữa, luận án còn thu được
điều kiện cần và đủ để những lớp phương trình kể trên có nghiệm, và công thức
nghiệm tường minh.
So sánh những gì thu được trong Chương 2 và 3 của luận án này với những
kết quả trong các công trình [34, 35, 36, 37, 38, 39], có hai điểm khác biệt nổi
bật sau đây:
• Thứ nhất, tất cả các tích chập được xây dựng trong luận án đều dùng
được cho việc cấu trúc vành định chuẩn cho không gian L
1
(R), và phần
lớn trong số đó là giao hoán. Nghĩa là, L
1
(R), được trang bị bởi một
trong các phép nhân tích chập trong luận án này cùng với chuẩn thích
hợp, trở thành một vành định chuẩn; phần lớn các vành trong số đó là
giao hoán. Tuy nhiên, L
1
(R) không thể được trang bị bởi phép nhân tích
chập trong các công trình vừa trích dẫn vì chúng là các phép toán không
có tính kết hợp.
• Thứ hai, luận án thu được các điều kiện cho tính giải được của phương
trình tích phân; những điều kiện giải được là tự nhiên do nó phù hợp
với tính giải chuẩn của toán tử Fredholm (Noether), và điều kiện cần và
đủ để phương trình tích phân có nghiệm duy nhất và công thức nghiệm
tường minh, trong khi một số công trình khác chỉ thu được điều kiện đủ
cho tính giải được và công thức nghiệm ẩn của phương trình.
Luận án được chia thành ba chương, và được kết cấu như sau.
Chương 1 trình bày định nghĩa và các tính chất cơ bản của các phép biến

đổi tích phân Fourier và phép biến đổi ngược, phép biến đổi Fourier-cosine
và Fourier-sine, và phép biến đổi Hartley. Mục 1.1 đề cập đến phép biến đổi
−16−
Fourier và phép biến đổi Fourier ngược, định lý duy nhất và định lý Plancherel
của phép biến đổi Fourier và một số tính chất toán tử cơ bản của toán tử tích
phân Fourier. Mục 1.2 trình bày các tính chất cơ bản của phép biến đổi Harley,
phép biến đổi ngược, và chứng minh một số đặc trưng toán tử của toán tử tích
phân Hartley. Mục 1.3 trình bày phép biến đổi Fourier-cosine và Fourier-sine
và các tính chất toán tử của hai toán tử tích phân này. Trong Mục 1.4, luận
án thu được một số đặc trưng đại số của các toán tử tích phân T
c
, T
s
, F, H đã
được xét đến trong các Mục 1.1, 1.2, và 1.3.
Chương 2 xây dựng tích chập của các phép biến đổi tích phân dạng Fourier
và mở rộng cho phép biến đổi Fourier với các phép biến đổi hình học. Trong mục
đầu tiên của chương, luận án đưa ra một phát biểu về tích chập của các toán tử
tuyến tính trên cơ sở các định nghĩa đã biết của các toán tử tích phân. Trong
Mục 2.2, luận án xây dựng tích chập của phép biến đổi Fourier với các phép
biến đổi hình học: phép tịnh tiến, phép đồng dạng, và phép nghịch đảo. Trong
Mục 2.3, luận án xây dựng tích chập và tích chập có trọng của phép biến đổi
Fourier. Tích chập và tích chập có trọng của các phép biến đổi Fourier-cosine
và Fourier-sine được trình bày trong Mục 2.4. Trong Mục 2.5, luận án trình
bày tích chập của phép biến đổi Hartley, và tích chập liên kết giữa hai phép
biến đổi tích phân Hartley và Fourier.
Chương 3 trình bày ứng dụng của các tích chập đã xây dựng ở Chương 2.
Mục 3.1 nghiên cứu ứng dụng của tích chập vào việc trang bị cho không gian
tuyến tính L
1

(R
d
) sao cho nó có thể trở thành vành định chuẩn. Ứng dụng của
các tích chập để giải phương trình tích phân được trình bày trong Mục 3.2.
Có bốn lớp phương trình tích phân được nghiên cứu trong mục này. Mục 3.2.1
nghiên cứu tính giải được và công thức nghiệm của phương trình tích phân với
nhân Toeplitz-Hankel hỗn hợp. Mục 3.2.2 là một mở rộng cho lớp phương trình
trong Mục 3.2.1, đó là các lớp phương trình tích phân với nhân Toeplitz-Hankel
có dịch chuyển và có trễ. Mục 3.2.3 trình bày lớp các phương trình tích phân
dạng tích chập được khái quát từ hai lớp phương trình đã nghiên cứu trong
các Mục 3.2.1, 3.2.2. Trong Mục 3.2.4, nhờ các tích chập của phép biến đổi tích
phân Fourier với các phép biến đổi hình học, luận án nghiên cứu được tính giải
được và công thức nghiệm tường minh của một số lớp phương trình tích phân
với nhân dạng Gauss.
Những nội dung chủ yếu của luận án đã được công bố trên các công trình
được liệt kê ở mục Danh mục công trình đã công bố liên quan đến luận án và
−17−
được báo cáo tại các hội nghị và xêmina dưới đây:
- Xeminar Giải tích - Đại số, Trường đại học Khoa học Tự nhiên - ĐHQGHN.
- Xeminar bộ môn Toán Giải tích, Trường đại học Khoa học Tự nhiên -
ĐHQGHN.
- Xeminar bộ môn Toán học tính toán, Trường đại học Khoa học Tự nhiên
- ĐHQGHN.
- Hội nghị toán học toàn quốc, Đại hội Toán học toàn quốc, Quy Nhơn -
2008
- Hội nghị khoa học, Khoa Toán-Cơ-Tin học, Trường đại học Khoa học Tự
nhiên - ĐHQGHN, 2010.
−18−
Chương 1
TÍNH CHẤT TOÁN TỬ CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI

TÍCH PHÂN DẠNG FOURIER
Chương này trình bày định nghĩa, các tính chất cơ bản, định lý tồn tại
phép biến đổi ngược của các phép biến đổi Fourier, Hartley, Fourier-cosine và
Fourier-sine. Mục 1.1 nhắc lại định nghĩa phép biến đổi Fourier, các tính chất cơ
bản và ví dụ minh họa. Trong mục này, luận án nhắc lại định lý ngược, định lý
tồn tại, định lý duy nhất và định lý Plancherel của phép biến đổi Fourier. Mục
1.2 trình bày định nghĩa, các tính chất cơ bản và các định lý tồn tại của phép
biến đổi Hartley. Mục 1.3 trình bày phép biến đổi Fourier-cosine và Fourier-sine
và một số tính chất cơ bản. Luận án không trình bày định lý ngược, định lý
Placherel cho phép biến đổi Fourier-cosine và Fourier-sine vì chúng không đẳng
cự và không đơn ánh trong L
2
(R). Mục 1.4 trình bày đặc trưng đại số của các
phép biến đổi dạng Fourier.
Nhấn mạnh rằng, chương này trình bày một số tính chất cơ bản của phép
biến đổi tích phân Fourier, Hartley, Fourier-cosine và Fourier-sine của hàm một
biến (hàm xác định trên R), mục đích là để cho các ví dụ minh họa sẽ được
tính toán trực tiếp và rõ ràng hơn. Tuy thế, tất cả các tính chất trong chương
này vẫn còn đúng cho những phép biến đổi đó của hàm nhiều biến (R
d
) mà
không có sự khác biệt nào về bản chất, ngoại trừ một vài hệ số có thể có trong
từng đẳng thức hoặc từng công thức tích phân.
1.1 Phép biến đổi Fourier
Trước hết, luận án trình bày định nghĩa một số không gian hàm cơ bản
được sử dụng trong luận án.
Không gian L
1
(R), L
2

(R) được định nghĩa như sau
L
1
(R) = {f : R → C | f là khả tích Lebesgue (tuyệt đối) trên R},
19
L
2
(R) = {f : R → C | |f|
2
là khả tích Lebesgue trên R}.
Ký hiệu
f
p
=


R
|f(x)|
p
dx

1/p
, p = 1, 2,
là các chuẩn trong L
p
(R), p = 1, 2.
1.1.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản
Mục này trình bày định nghĩa của phép biến đổi Fourier, các tính chất cơ
bản và một số ví dụ minh họa.
Định nghĩa 1.1.1 ([26]). Phép biến đổi Fourier của hàm f được kí hiệu (F f)(x)

hoặc
ˆ
f(x) và được xác định bởi tích phân
(F f)(x) =
1
√
2π

R
e
−ixy
f(y)dy :=
ˆ
f(x). (1.1)
Khi xét đến không gian xác định và không gian ảnh, F được gọi là toán tử tích
phân Fourier.
Phép biến đổi Fourier nhiều chiều được định nghĩa như sau
(F f)(x) =
1
(2π)
d
2

R
d
e
−ix,y
f(y)dy :=
ˆ
f(x). (1.2)

Điều kiện đủ để hàm f(x) có phép biến đổi tích phân Fourier (1.1) hay (1.2)
là f khả tích tuyệt đối trên R, hay trên R
d
tương ứng.
Trong luận án này, miền xác định của phép biến đổi Fourier sẽ được giới
hạn trong không gian các hàm khả tích tuyệt đối. Việc giới hạn này là quá
mạnh cho nhiều ứng dụng trong vật lý và cơ học. Một số hàm đơn giản như
các hàm hằng, hàm lượng giác như sin ax, cos ax, hay hàm mũ e
x
đều không có
phép biến đổi Fourier nhưng chúng lại rất hay sử dụng. Tích phân (1.1) không
hội tụ khi f(x) là một trong số các hàm trên. Đây là đặc điểm hạn chế của lý
thuyết Fourier. Tuy nhiên, sự hạn chế này được giải quyết bằng cách mở rộng
định nghĩa của phép biến đổi Fourier trong không gian các hàm suy rộng.
Trong phạm vi của luận án, chúng ta chỉ xét các hàm cổ điển, cụ thể các hàm
được xét trong luận án này thuộc một trong các không gian L
1
(R), L
2
(R).
Sau đây ta xét một số ví dụ.
−20−
Ví dụ 1.1.2. Xét hàm f(x) = e
−ax
2
, trong đó a > 0. Dễ thấy rằng hàm
e
−ax
2
∈ L

1
(R). Theo định nghĩa, ta có
(F f)(x) =
1
√
2π

+∞
−∞
e
−ixy−ay
2
dy
=
1
√
2π

+∞
−∞
e
−a(y+
ix
2a
)
2
−
x
2
4a

dy
=
1
√
2π
e
−x
2
4a

+∞
−∞
e
−az
2
dz =
1
√
2a
e
−x
2
4a
:=
ˆ
f(x),
trong đó chúng ta đã thực hiện đổi biến
z = y +
ix
2a

.
Trong trường hợp này
ˆ
f ∈ L
1
(R).
Nếu a =
1
2
thì ta thu được
f =
ˆ
f.
Hàm này được gọi là hàm tự nghịch đảo đối với phép biến đổi Fourier.
Ví dụ 1.1.3. Xét hàm số f(x) được xác định như sau
f(x) =

1, |x| ≤ a
0, |x| > a,
trong đó a > 0 cho trước.
Xét x = 0. Dễ dàng tính được
(F f)(0) =
2a
√
2π
=
ˆ
f(0).
Xét x = 0. Ta có
(F f)(x) =

1
√
2π

+∞
−∞
e
−ixy
f(y)dy
=
1
√
2π

+a
−a
e
−ixy
dy =

2
π

sin ax
x

=
ˆ
f(x).
Trong trường hợp này, hàm f ∈ L

1
(R). Tuy nhiên, phép biến đổi Fourier của
nó (hàm ảnh
ˆ
f(x)) lại không thuộc không gian L
1
(R). Ta sẽ chứng minh điều
−21−
này. Dễ dàng thấy rằng hàm số
ˆ
f(x) liên tục trên đoạn [−1, 1]. Do đó
ˆ
f(x) khả
tích trên đoạn này. Với |x| ≥ 1, ta có




sin ax
x




=
|sin ax|
|x|
≥
sin
2

ax
|x|
=
1 − cos 2ax
2|x|
=
1
2|x|
−
cos 2ax
2|x|
.
Ta thấy

−1
−∞
cos 2ax
2|x|
dx và

+∞
1
cos 2ax
2|x|
dx
hội tụ, nhưng

−1
−∞
1

2|x|
dx và

+∞
1
1
2|x|
dx
là phân kỳ. Vậy hàm số
(F f)(x) =

2
π

sin ax
x

không khả tích tuyệt đối, nên nó không thuộc không gian L
1
(R).
Qua hai ví dụ trên, ta thấy rằng nếu f ∈ L
1
(R) thì hàm ảnh (F f)(x) có thể
thuộc hoặc không thuộc không gian L
1
(R).
Ví dụ 1.1.4. Xét hàm
f(x) =




sin ax
x
, nếu x = 0
a, nếu x = 0.
trong đó a > 0 cho trước. Dễ dàng chứng minh f ∈ L
2
(R). Thật vậy, dễ thấy
f liên tục trên đoạn [−1, 1]. Trên mỗi khoảng (−∞, −1] và [1, +∞), ta có




sin ax
x




2
≤
1
x
2
.
Hàm g(x) =
1
x
2
khả tích tuyệt đối trên các khoảng vô hạn nói trên, nên

f ∈ L
2
(R). Theo Ví dụ 1.1.3, f ∈ L
1
(R). Tuy nhiên, hàm f vẫn có phép biến
−22−
đổi Fourier. Thật vậy, ta có
(F f)(x) =

+∞
−∞
e
−ixy
sin ay
y
dy
=

π
2
, |x| < a
0, |x| > a
:=
ˆ
f(x).
Dễ dàng thấy rằng
ˆ
f ∈ L
1
(R) ∩ L

2
(R).
Một số tính chất của phép biến đổi Fourier.
Tính chất 1.1.5 ([26]). Ký hiệu (F f)(x) =
ˆ
f(x). Khi đó ta có các tính chất
sau
1.
ˆ
f
y
(x) = e
−ixy
ˆ
f(x), trong đó f
y
(x) = f(x − y).
2.
ˆ
f
a
(x) =
1
|a|
ˆ
f(
x
a
), trong đó f
a

(x) = f(ax).
3.
ˆ
f
0
(x) =
ˆ
f(x − a), trong đó f
0
(x) = e
iax
f(ax).
4.
ˆ
ˆ
f(x) = f(−x).
5.

+∞
−∞
ˆ
f(x)g(x)e
ixy
dx =

+∞
−∞
f(ξ)ˆg(ξ − y)dξ, trong đó ˆg(x) = (F g)(x).
Tính chất 1.1.6 ([26]). Nếu hàm f khả tích tuyệt đối trên R thì ảnh Fourier
của f là hàm liên tục và bị chặn trên R.

Chứng minh. Ta có
|
ˆ
f(x)| ≤
1
√
2π

+∞
−∞
|e
−ixy
||f(y)|dy
=
1
√
2π

+∞
−∞
|f(y)|dy =
c
√
2π
,
trong đó
c =

+∞
−∞

|f(y)|dy < ∞.
−23−
Vậy
ˆ
f bị chặn.
Để chứng minh
ˆ
f liên tục, ta xét
|
ˆ
f(x + h) −
ˆ
f(x)| ≤
1
√
2π

+∞
−∞
|e
−ihy
− 1||f(y)|dy
≤

1
2π

+∞
−∞
|f(y)|dy.

Do lim
h→0
|e
−ihy
− 1| = 0 với mọi y ∈ R, ta có
lim
h→0
|
ˆ
f(y + h) −
ˆ
f(y)| ≤ lim
h→0

+∞
−∞
|e
−ihy
− 1||f(y)|dy = 0.
Vậy
ˆ
f liên tục và bị chặn trên R. ✷
Định lý 1.1.7 ([32], Bổ đề Riemann-Lebesgue). Biến đổi Fourier của hàm f(x)
tiến dần về 0 khi |x| → +∞. Nghĩa là lim
|x|→∞
|
ˆ
f(x)| = 0.
Chứng minh. Dễ thấy rằng e
−ixy

= −e
−ixy−iπ
. Khi đó
ˆ
f(x) = −
1
√
2π

+∞
−∞
e
−ix(y+
π
x
)
f(y)dy
= −
1
√
2π

+∞
−∞
e
−ixy
f(y −
π
x
)dy.

Do đó
ˆ
f(x) =
1
2

1
√
2π


+∞
−∞
e
−ixy
f(y)dy −

+∞
−∞
e
−ixy
f(y −
π
x
)dy

=
1
2
1

√
2π

+∞
−∞
e
−ixy
[f(y) − f(y −
π
x
)]dy.
Suy ra
|
ˆ
f(x)| ≤
1
2
√
2π

+∞
−∞
|f(y) − f(y −
π
x
)|dy.
Vậy
lim
|x|→∞
|

ˆ
f(x)| ≤
1
2
√
2π
lim
|x|→∞

+∞
−∞
|f(y) − f(y −
π
x
)|dy = 0.
Định lý được chứng minh. ✷
−24−
Tính chất 1.1.8 ([26]). Nếu hàm f khả vi liên tục trên R và f(x) → 0 khi
|x| → ∞ thì
(
ˆ
f

)(x) = (ix)(
ˆ
f)(x).
Chứng minh. Ta có
(
ˆ
f


)(x) =
1
√
2π

+∞
−∞
e
−ixy
f

(y)dy.
Lấy tích phân từng phần ta được
(
ˆ
f

)(x) =
1
√
2π
[f(y)e
−ixy
]
+∞
−∞
+
ix
√

2π

+∞
−∞
e
−ixy
f(y)dy
= (ix)
ˆ
f(x).
✷
Nhận xét 1.1.9. Nếu hàm f khả vi liên tục đến cấp n và f
(k)
(x) → 0 khi
|x| → ∞ với k = 1, 2, . . . , (n − 1), thì biến đổi Fourier của đạo hàm cấp n là
(
ˆ
f
(n)
)(x) = (ix)
n
ˆ
f(x).
Định lý 1.1.10 ([26]). Nếu f, g ∈ L
1
(R), thì phép biến đổi tích phân (1.3)
dưới đây xác định tích chập của phép biến đổi Fourier
(f ∗
F
g)(x) =

1
√
2π

+∞
−∞
f(x − u)g(u)du, (1.3)
và đẳng thức nhân tử hoá
F (f ∗
F
g)(x) = (F f)(x)(F g)(x).
Chứng minh. Đầu tiên ta chứng minh f ∗
F
g ∈ L
1
(R). Thật vậy, ta có

R
|(f ∗
F
g)(x)|dx =
1
√
2π

R






R
[f(x − u)g(u)du




dx
≤
1
√
2π

R
|g(u)|du

R
|f(x − u)|dx
−25−
≤
1
√
2π

R
|g(u)|du

R
|f(x)|dx < +∞.
Suy ra f ∗

F
g ∈ L
1
(R). Bây giờ ta chứng minh đẳng thức nhân tử hóa. Ta có
(F f)(x)(F g)(x) =
1
√
2π

R

R
e
−ixu
e
−ixv
f(u)g(v)dudv
=
1
√
2π

R

R
e
−ix(u+v)
f(u)g(v)dudv
=
1

√
2π

R

R
e
−ixt
f(t − y)g(y)dtdy = F (f ∗
F
g)(x).
Định lý được chứng minh. ✷
Ta xét một số ví dụ minh họa.
Ví dụ 1.1.11. Xét các hàm số
f(x) =

cos x, nếu |x| ≤ 1
0, nếu |x| > 1,
và
g(x) = e
−a|x|
,
trong đó a > 0 cho trước. Ta có
(f ∗
F
g)(x) =

+∞
−∞
f(x − ξ)g(ξ)dξ =


+1
−1
cos(x − ξ)e
−a|ξ|
dξ
=

0
−1
cos(x − ξ)e
−a|ξ|
dξ +

1
0
cos(x − ξ)e
−aξ
dξ
=

1
0
cos(x + ξ)e
−a|ξ|
dξ +

1
0
cos(x − ξ)e

−aξ
dξ
= 2 cos x

1
0
cos ξe
−aξ
dξ =
2 cos x(e
−a
sin 1 − ae
−a
cos 1)
(1 + a
2
)
.
Ví dụ 1.1.12. Xét hàm số
f(x) = χ
[a,b]
(x),
−26−