Ổn định phi tuyến của tấm có cơ tính biến thiên, không hoàn hảo

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN



Nguyễn Thị Nga



ỔN ĐỊNH PHI TUYẾN CỦA TẤM CÓ CƠ TÍNH BIẾN THIÊN,
KHÔNG HOÀN HẢO



BẢN TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC







Hà Nội – 2011

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN



Nguyễn Thị Nga

ỔN ĐỊNH PHI TUYẾN CỦA TẤM CÓ CƠ TÍNH BIẾN THIÊN,
KHÔNG HOÀN HẢO


Chuyên ngành: Cơ học vật thể rắn
Mã số: 60 44 21

BẢN TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TS. ĐÀO VĂN DŨNG



Hà Nội – 2011
1

Mục lục
MỞ ĐẦU ………………………………………………………………………………2
CHƢƠNG 1. ỔN ĐỊNH PHI TUYẾN CỦA TẤM FGM …………………………… 5
1.1. Đặc trƣng cơ học của vật liệu FGM ……………………………………… 5
1.2. Tiêu chuẩn ổn định tĩnh …………………………………………………….7
1.3. Các hệ thức cơ bản và hệ phƣơng trình ổn định ……………………………8
1.4. Phƣơng pháp giải………………………………………………………… 13
1.4.1. Phân tích ổn định của tấm chịu tải cơ ……………………………16
1.4.2. Phân tích ổn định của tấm chịu tải nhiệt………………………….17
1.4.3. Phân tích ổn định của tấm chịu đồng thời tải cơ nhiệt………… 21
CHƢƠNG 2. KHẢO SÁT BẰNG SỐ …………………………………………… 23

2.1. So sánh với kết quả của Shen …………………………………………… 23
2.2. Khảo sát ảnh hƣởng của tỷ phần thể tích k và k
1
.………………………….25
2.3. Khảo sát ảnh hƣởng của điểu kiện biên……………………………………26
2.4. Khảo sát ảnh hƣởng của độ không hoàn hảo………………………………28
2.5. Khảo sát ảnh hƣởng của nhiệt độ ………………………………………….30

KẾT LUẬN ………………………………………………………………………… 31
TÀI LIỆU THAM KHẢO ……………………………………………………………32
PHỤ LỤC ……………………………………………………………………………37

2

Mở đầu

Vật liệu có cơ tính biến thiên (FGM) là loại vật liệu mới đang đƣợc các nhà
khoa học quan tâm đặc biệt hiện nay và đƣợc sử dụng nhiều trong kỹ thuật, nhất là
trong các môi trƣờng nhiệt độ cao nhƣ lò phản ứng hạt nhân và công nghiệp vũ trụ
[20]. Do vậy, nghiên cứu về ổn định nhƣ ứng xử vồng và sau vồng của kết cấu FGM là
một trong những mối quan tâm chính vì sự an toàn trong sử dụng và tối ƣu trong thiết
kế. Javaheri và Eslami [17

19], Shariat và Eslami [34] đã nghiên cứu ổn định của
các tấm chữ nhật FGM chịu tải cơ và tải nhiệt dựa trên lý thuyết tấm cổ điển [17, 19]
và lý thuyết biến dạng trƣợt bậc cao [18, 34]. Họ đã sử dụng phƣơng pháp năng lƣợng
và tìm đƣợc lời giải giải tích về tải tới hạn. Ảnh hƣởng của sự không hoàn hảo hình học
ban đầu đến tải tới hạn đã đƣợc Shariat và nhóm nghiên cứu (NNC) [30, 33] nghiên
cứu. Nhóm tác giả Najafizadeh và Eslami đã nghiên cứu sự ổn định nhiệt đàn hồi của
tấm tròn có cơ tính biến thiên [27, 32]. Ma và Wang đã sử dụng lý thuyết biến dạng

trƣợt bậc ba và lý thuyết tấm cổ điển để giải gần đúng bài toán uốn đối xứng trục và
vồng của tấm có cơ tính biến thiên [25]. Tác giả Lanhe [21] dùng lý thuyết biến dạng
trƣợt bậc nhất để dẫn ra đƣợc liên hệ giải tích của gia số nhiệt tới hạn của tấm hơi dầy,
chữ nhật có cơ tính biến thiên, tựa bản lề. Phân tích tới hạn nhiệt ba chiều với cơ tính
biến thiên bằng phƣơng pháp phần tử hữu hạn đã đƣợc Na và Kim đề cập đến [26].
Yang và Shen [16] đã đƣa ra phân tích phi tuyến của tấm FGM chịu tải vuông góc và
tải nằm trong mặt trung bình. Một số kết quả về ứng xử sau tới hạn của tấm có cơ tính
biến thiên với các phƣơng pháp khác nhau cũng đã đƣợc nghiên cứu bởi Shen [35, 36]
bằng phƣơng pháp nhiễu; Zhao và Liew [39] bằng phƣơng pháp phần tử tự do kp-Ritz;
Liew và NNC của ông [23, 24] bằng phƣơng pháp cầu phƣơng vi phân. Reddy và Chin
3

đã xét bài toán phân tích cơ nhiệt của trụ và tấm FGM [29]. Lý thuyết phi tuyến hình
học của tấm composite lớp đẳng hƣớng ngang và sử dụng lý thuyết này vào việc phân
tích sau tới hạn cũng đã đƣợc Librescu và Stein nghiên cứu [22].
Trong những năm gần đây, ở nƣớc ta đã có một số kết quả nghiên cứu quan
trọng về lĩnh vực này. Các tác giả Đào Huy Bích và Lê Khả Hòa [6] nghiên cứu dao
động phi tuyến của vỏ cầu thoải có cơ tính biến thiên. Đáp ứng đối xứng trục phi tuyến
của vỏ cầu thoải có cơ tính biến thiên chịu áp lực ngoài có tính đến nhiệt độ đƣợc
nghiên cứu bởi các tác giả Đào Huy Bích và Hoàng Văn Tùng [5]. Phân tích động lực
phi tuyến của vỏ thoải không hoàn hảo có cơ tính biến thiên đƣợc các tác giả Đào Huy
Bích, Vũ Đỗ Long [2] và Đào Văn Dũng, Vũ Hoài Nam [9] nghiên cứu. Các tác giả
Đào Văn Dũng, Lê Khả Hòa [10] đã nghiên cứu phân tích phi tuyến sự vồng và sau
vồng của panel trụ có cơ tính biến thiên bị nén dọc trục với hệ số Poisson thay đổi theo
bề dày.
Tuy nhiên, các kết quả tiếp cận giải tích về ổn định phi tuyến của tấm có cơ tính
biến thiên chịu tải cơ nhiệt đồng thời vẫn còn ít và do vậy những nghiên cứu về vấn đề
này cần đƣợc quan tâm. Gần đây, kết quả về phân tích phi tuyến về sự ổn định của tấm
FGM chịu tải cơ và nhiệt đã đƣợc các tác giả Hoàng Văn Tùng và Nguyễn Đình Đức
xem xét [38]. Họ đã trình bày cách tiếp cận giải tích để nghiên cứu ổn định của tấm

FGM và thu đƣợc biểu thức hiển của tải vồng và đƣờng cong tải - độ võng sau vồng.
Tuy nhiên các tác giả đó chỉ xét với hệ số Poisson

không đổi. Với hệ số Poisson


thay đổi theo bề dày
z
, cũng đã có những nghiên cứu của [4, 8, 28, 37], [11

15],
chẳng hạn Fung và Chen [11] đã nghiên cứu ảnh hƣởng của tính không hoàn hảo đến
sự dao động phi tuyến của tấm FGM, Navazi và NNC đã đƣa ra lời giải giải tích cho sự
uốn phi tuyến của tấm FGM [28], Chen và Tan đã trình bày về phân tích độ nhạy của
sự không hoàn hảo đến sự dao động phi tuyến của tấm FGM có ứng suất ban đầu [4].
Darabi và NNC phân tích ổn định động phi tuyến của vỏ trụ FGM chịu tải dọc trục
4

tuần hoàn [8]. Sofiyev và NNC đã xem xét sự ổn định của nón cụt composite ba lớp
FGM chịu áp lực phân bố không đều [37]. Đặc biệt các tác giả Huang và Han đã
nghiên cứu sự vồng và sau khi vồng của vỏ trụ FGM chịu tải trọng tĩnh và động [12


15] với hệ số
()z


theo quy luật lũy thừa của
z
, nhƣng các hệ số độ cứng

ij
A
đƣợc
xác định dƣới dạng tích phân, chƣa đƣợc giải tích hóa. Vì vậy, luận văn này sẽ nghiên
cứu giải tích gần đúng về ứng xử vồng phi tuyến của tấm chữ nhật, không hoàn hảo có
cơ tính biến thiên, kể cả hệ số Poisson

cũng thay đổi theo quy luật lũy thừa của
z
,
chịu tải nén cơ ở mặt giữa của tấm hoặc chịu tải nhiệt hoặc chịu tải cơ - nhiệt đồng
thời. Giả thiết độ chênh lệch nhiệt
T
không đổi. Sử dụng lý thuyết tấm cổ điển trong
đó tính phi tuyến hình học theo nghĩa von Karman và phƣơng pháp Bubnov - Galerkin,
để xây dựng hệ thức cho phép tìm lực tới hạn đối với ba trƣờng hợp tải tƣơng ứng ở
trên. Dẫn ra phƣơng trình liên hệ tải - độ võng sau tới hạn. Tính toán các hệ số độ cứng
ij
A
dƣới dạng giải tích hiển. Khảo sát ảnh hƣởng của điều kiện biên, tỷ phần thể tích,
độ không hoàn hảo và nhiệt độ đến các đặc trƣng ổn định của tấm.








5

Chương 1
Ổn định phi tuyến của tấm FGM

1.1 Đặc trưng cơ học của vật liệu FGM
Vật liệu composite là vật liệu cấu thành từ hai hay nhiều vật liệu khác nhau
nhằm đạt đƣợc các tính ƣu việt nhƣ khối lƣợng nhẹ và độ bền cao, khả năng chống
nhiệt, chống ăn mòn hóa học tốt, …
Gần đây, một số vật liệu composite có chức năng thông minh đã ra đời nhằm
đáp ứng nhu cầu thực tiễn trong việc chế tạo các kết cấu hiện đại và thỏa mãn các điều
kiện làm việc khắc nghiệt nhƣ là các vật liệu gia cƣờng sợi SMA, vật liệu cơ tính biến
thiên, …
Vật liệu có cơ tính biến thiên là một loại vật liệu composite không thuần nhất
đƣợc tạo ra từ hỗn hợp kim loại (metal) và gốm (ceramic) với các tính chất cơ học biến
thiên trơn và liên tục từ mặt này đến mặt kia của lớp vật liệu. Bằng sự thay đổi liên tục
về tỷ lệ thể tích của các thành phần gốm và kim loại ngƣời ta có thể thu đƣợc loại vật
liệu FGM có các đặc trƣng vật liệu biến đổi dần theo bề dày. Do sự liên tục về đặc
trƣng vật liệu mà FGM đã tránh đƣợc hiện tƣợng tập trung ứng suất, sự bong tách giữa
các lớp nhƣ loại vật liệu composite lớp truyền thống. Vật liệu có cơ tính biến thiên
thƣờng đƣợc sử dụng ở kết cấu phẳng nhẹ và chịu nhiệt độ cao.
Các vật liệu cơ tính biến thiên cấu thành từ gốm và kim loại trong đó tỷ phần thể
tích của mỗi phần biến đổi một cách liên tục từ mặt này sang mặt kia của kết cấu.
6

Chúng khắc phục đƣợc những nhƣợc điểm của các loại vật liệu kim loại truyền thống
và composite thông thƣờng về khả năng chịu nhiệt và chịu lực. Do thành phần gốm có
mođun đàn hồi 𝐸 cao và có các hệ số truyền nhiệt 𝐾, hệ số dãn nở nhiệt 𝛼 thấp làm cho
vật liệu cơ tính biến thiên có độ cứng cao và khả năng chịu nhiệt tốt. Còn thành phần

kim loại làm cho vật liệu FGM trở nên mềm dẻo hơn, bền hơn và khắc phục đƣợc sự
rạn nứt có thể xảy ra do tính giòn của vật liệu ceramic khi chịu nhiệt độ cao. Sau đây là
một số vật liệu thành phần với các tính chất cơ lý đƣợc cho bởi bảng 1.1 và 1.2.


Vật liệu
Các tính chất

2
( / )E N m





1
()
o
C




( / )K W mK

 
3
/kg m


Kim loại
Nhôm
()Al

70,0. 10
9

0,30
23.10
−6

204
2707
64Ti Al V

105,7. 10
9

0,298
6,9.10
−6

18,1
4429
Ceramic

Zirconi
2
()ZrO

151. 10
9

0.30
10. 10
−6

2,09
3000
Nhôm oxit
320. 10
9

0.26
7,2. 10
−6

10,4
3750

Bảng 1.1. Tính chất của một số vật liệu thành phần của vật liệu có cơ tính biến
thiên.


Vật liệu

Các tính chất
E
(GPa)


(1/K)


7

SUS304
207,7
0,3177

6
15,32.10


34
Si N

322,2
0,24
6
7,4746.10



Bảng 1.2. Các tính chất vật liệu của tấm FGM (
300TK
) [4, 37].
Một trong những công nghệ chế tạo của vật liệu có cơ tính biến thiên đƣợc minh
họa ở mô hình sau đây:

Hình 1.1. Một ví dụ về mô hình vật liệu cơ tính biến thiên FGM.
Trong mô hình vật liệu FGM (hình 1.1) ta thấy mặt trên của kết cấu hoàn toàn là
ceramic, mặt dƣới hoàn toàn là kim loại (metal), phần trong kết cấu là sự pha trộn giữa
hai loại vật liệu theo tỷ phần thể tích.
1.2 Tiêu chuẩn ổn định tĩnh
Xét trạng thái cân bằng vô cùng gần trạng thái cân bằng xuất phát (hay trạng
thái cân bằng cơ bản). Với một giá trị nào đấy của lực ngoài có thể tồn tại dạng cân
bằng mới đồng thời với dạng cân bằng cơ bản. Nói một cách khác, với cùng giá trị của
tải có thể tồn tại nhiều dạng cân bằng khác nhau, có thể xem các dạng này là dạng
8

chuyển tiếp từ dạng cân bằng ổn định sang dạng mất ổn định. Giá trị lực ngoài nhỏ
nhất để tồn tại các dạng cân bằng khác nhau gọi là tải tới hạn [1].
1.3 Các hệ thức cơ bản và hệ phương trình ổn định
Xét tấm chữ nhật có cơ tính biến thiên với các cạnh dài
a
, rộng
b
và độ dày
.h

Chọn hệ tọa độ Đề các vuông góc
Oxyz
sao cho
 
,xy
thuộc mặt giữa của tấm và
Oz

theo hƣớng bề dầy

22
hh
z

  



(Hình 1.2).

Hình 1.2.
Giả thiết rằng các tính chất vật liệu của tấm thay đổi theo quy luật lũy thừa nhƣ
sau [12, 14]
   
2
,
2
k
k
m c m m cm
zh
E E z E E E E E r
h


     


(1a)
   

1
1
2
,
2
k
k
m c m m cm
zh
zr
h
      


     


(1b)
   
2
,
2
k
k
m c m m cm
zh
zr
h
      



     


(1c)
trong đó
9

,
cm c m
E E E

2
,
2
zh
r
h



,
cm c m
  


,
cm c m
  


0,k 

1
0.k 
(2)
Các đại lƣợng
m
E
,
c
E
;
m

,
c

;
m

,
c

là các mođun Young; hệ số Poisson; hệ số dãn
nở nhiệt tƣơng ứng của kim loại và gốm.
Đối với tấm không hoàn hảo, các thành phần biến dạng ở mặt giữa với tính phi
tuyến hình học theo nghĩa von Karman là [3]
2*
, , , ,

2*
, , , ,
**
, , , , , , , ,
1
,
2
1
,
2
,
o
x x x x x
o
y y y y y
o
xy y x x y y x x y
u w w w
v w w w
u v w w w w w w



  
  
    
(3)
ở đây
     
, , , , ,u u x y v v x y w w x y  

tƣơng ứng là các chuyển dịch theo các trục
x
,
,y
z

và
 
**
,w w x y
là độ không hoàn hảo ban đầu của tấm. Đại lƣợng
*
w
đƣợc
giả thiết là nhỏ.
Biến dạng của điểm thuộc tấm ở khoảng cách
z
từ mặt giữa của tấm là
, , ,
, , 2 ;
, , .
o o o
x x x y y y xy xy xy
x xx y yy xy xy
z z z
w w w
        
  
     
     

(4)
Liên hệ ứng suất - biến dạng có kể đến nhiệt độ đối với tấm đƣợc xác định bởi
quy luật Hooke nhƣ sau
2
2
(1 ) ,
1
(1 ) ,
1
,
2(1 )
x x y
y y x
xy xy
E
T
E
T
E
   


    




    




    




(5)
10

ở đây giả thiết tấm chịu nhiệt độ thay đổi đều tức là
T
không đổi.
Lực dãn và mômen đƣợc biểu diễn dƣới dạng
   
   
/2
/2
/2
/2
, , , , ,
, , , , .
h
x y xy x y xy
h
h
x y xy x y xy
h
N N N dz
M M M zdz
  

  






(6)
Thay các liên hệ (3)

(5) vào (6), sau khi tính toán ta nhận đƣợc
10 20 11 21
1
20 10 21 11
2
30 31
11 21 12 22
1
21 11 22 12
2
31 32
00
00
0 0 0 0
0
00
00
0 0 0 0
2
0

o
x
x
o
y
y
o
xy
xy
x
x
y
y
xy
xy
N
A A A A
N
A A A A
N
AA
T
M
A A A A
M
A A A A
M
AA



























  
























,

(7)
ở đây các biểu thức của
ij
A

 
1,2,3; 0,1,2ij
và của
1


,
2

đƣợc xác định bởi
/2
1
2
/2
()
,
1 ( )
h
j
j
h
Ez
A z dz
z






/2
2
2
/2
( ) ( )
,

1 ( )
h
j
j
h
E z z
A z dz
z






(8)
 
/2
3 1 2
/2
1 ( ) 1
,
2 1 ( ) 2
h
j
j j j
h
Ez
A z dz A A
z



  



/2
1
/2
( ) ( )
,
1 ( )
h
h
E z z
dz
z








/2
2
/2
( ) ( )
; 0, 1, 2.
1 ( )

h
h
E z z
zdz j
z




  



11

Biểu thức giải tích hiển của
ij
A

và
1

,
2


đƣợc tính toán và cho ở phần phụ lục.
Phƣơng trình cân bằng của tấm không hoàn hảo có dạng [30, 31, 33]
,,
0,

x x xy y
NN
(9a)
,,
0,
xy x y y
NN
(9b)
     
* * *
, , , , , , , , ,
2 2 0.
x xx xy xy y yy x xx xx xy xy xy y yy yy
M M M N w w N w w N w w        
(9c)
Phƣơng trình tƣơng thích biến dạng cho tấm không hoàn hảo đƣợc viết nhƣ sau
2 * * *
, , , , , , , , , , , ,
2.
o o o
x yy y xx xy xy xy xx yy xy xy xx yy yy xx
w w w w w w w w w
  
      
(10)
Đƣa vào hàm ứng suất Airy
 
,f f x y
sao cho
,

,
x yy
Nf

,
,
y xx
Nf

,
.
xy xy
Nf
(11)
Dễ dàng thấy rằng hai phƣơng trình đầu (9a), (9b) tự động thỏa mãn.
Thế các liên hệ (11) vào các biểu thức (7) ta thu đƣợc
 
 
 
0 10 , 20 , 1 , 2 , 3 1
0 10 , 20 , 1 , 2 , 3 1
31 , , 30
,
,
2 / ,
o
x yy xx xx yy
o
y xx yy yy xx
o

xy xy xy
J A f A f J w J w J T
J A f A f J w J w J T
A w f A



     
     

(12)
trong đó
22
0 10 20
1/( ),J A A
1 10 11 20 21
,J A A A A

2 10 21 20 11
,J A A A A

3 10 20
.J A A
(13)
Thế lần nữa biểu thức của
ij

ở (12) vào hệ thức của momen
ij
M

ở (7) và sau
đó thay
ij
M
vào phƣơng trình (9c) với lƣu ý (11) dẫn đến
     
4 4 * * *
3 4 , , , , , , , , ,
2 0,
yy xx xx xy xy xy xx yy yy
C f C w f w w f w w f w w         
(14)
12

ở đây
 
3 0 2 4 0 11 1 21 2 12
; ;C J J C J A J A J A   

4 4 4 4 2 2 4 4
/ 2 / / .x x y y          

Phƣơng trình (14) này có hai hàm cần tìm là
w
và
f
, do vậy cần phải tìm thêm
phƣơng trình thứ hai liên quan đến hai hàm này, bằng cách sử dụng phƣơng trình tƣơng
thích biến dạng (10). Muốn vậy, thế các biểu thức ở trên của
ij


trong (12) vào phƣơng
trình (10), thu đƣợc
 
4 4 2 * * *
1 2 , , , , , , , , ,
2 0,
xy xx yy xy xy xx yy yy xx
f C w C w w w w w w w w w        

(15)

trong đó
1 2 10
/,C J A

2 0 10
1/ .C J A

Hai phƣơng trình (14) và (15) là các phƣơng trình chủ đạo dùng để nghiên cứu
sự ổn định phi tuyến của tấm có cơ tính biến thiên.
Trƣờng hợp
*
0w 
, từ (14) và (15), ta đƣợc các phƣơng trình ổn định cơ bản
của tấm hoàn hảo có cơ tính biến thiên.
Lƣu ý rằng các phƣơng trình (12), (14) và (15) tƣơng tự nhƣ các phƣơng trình
trong bài báo [12], nhƣng các hệ số
ij
A

và
1

,
2

ở đây đã đƣợc giải tích hóa dƣới dạng
hiển.



1.4 Phương pháp giải
Giả thiết xét ba trƣờng hợp điều kiện biên sau đối với tấm chữ nhật nhƣ sau [22,
38]
13

Trường hợp (1). Tất cả các cạnh của tấm tựa bản lề và có thể di chuyển tự do (FM)
trong mặt phẳng của tấm, tức là
0
0,
xx xy x x
w M N N N   

tại
0, ,x x a

(16)
0
0,
yy xy y y

w M N N N   

tại
0, .y y b

Trường hợp (2). Tất cả các cạnh của tấm tựa bản lề nhƣng không dịch chuyển đƣợc
(IM) trong mặt phẳng của tấm, tức là
0
0,
xx x x
w u M N N   

tại
0, ,x x a

(17)
0
0,
yy y y
w v M N N   
tại
0, .y y b



Trường hợp (3). Tất cả các cạnh của tấm tựa bản lề. Tải tác động theo trục
x
. Hai
cạnh
0, ,x x a

có thể di chuyển đƣợc trong mặt phẳng của tấm, còn hai cạnh
0, .y y b
thì không di chuyển đƣợc. Điều kiện biên trong trƣờng hợp này là
0
0,
xx xy x x
w M N N N   

tại
0, ,x x a

(18)
0
0,
yy y y
w v M N N   

tại
0, .y y b

ở đây
0
,
x
N

0y
N
là các lực trƣớc vồng tƣơng ứng theo hƣớng
x

và
y
đối với trƣờng
hợp (1) và (3a) và chúng là các phản lực trên các cạnh không đƣợc dịch chuyển của
tấm (trƣờng hợp (2) và trƣờng hợp (3b)).

Điều kiện biên ở trên sẽ đƣợc thỏa mãn đối với
w
và theo nghĩa trung bình đối
với
f
nếu nhƣ độ võng
w
và hàm ứng suất
f
đƣợc biểu diễn bằng [22, 38]
sin sin
mn
w W x y



(19a)

14

trong đó
,,
mn
mn

ab



, 1,2, mn
là số bán sóng tƣơng ứng theo hƣớng
x
và
,y
còn
W
là biên độ của độ võng.


Liên quan đến độ không hoàn hảo ban đầu
 
**
,w w x y
, ta giả thiết nó có
dạng giống nhƣ độ lệch
w
của tấm, tức là
 
**
, sin sin ; , 1, 2,
mn
w w x y h x y m n
  
  
(19b)

ở đây hệ số
[0,1]


biểu thị cỡ của độ không hoàn hảo của tấm.
Bằng cách thay các biểu thức (19a) và (19b) vào phƣơng trình (15), ta tìm đƣợc
 
 
2
4 2 2 2 2
12
1
sin sin 2 cos2
2
m n m n m n m
f CW x y C W W h x
       
    


 
22
2
1
2 cos2 0
2
m n n
C W W h y
   
  

.
Nghiệm của phƣơng trình này đƣợc tìm dƣới dạng
22
00
11
cos2 cos2 sin sin .
22
m n m n x y
f A x B y C x y N y N x
   
    

(20)

trong đó
,,A B C
là các hệ số cần xác định.
Thay (19a, b), (20) vào vế trái phƣơng trình (15) ta đƣợc
 
 
2
2
2
2
2
2
1
2
,
32

2
,
32
.
n
m
m
n
C W W h
A
C W W h
B
C CW









(21)
Thay (19a, b), (20) vào vế trái phƣơng trình (14) và sau đó áp dụng phƣơng
pháp Bubnov - Galerkin, ta nhận đƣợc phƣơng trình để xác định tải vồng và xây dựng
15

đƣờng cong sau vồng của tấm chữ nhật có cơ tính biến thiên chịu tải cơ, tải nhiệt và tổ
hợp tải cơ nhiệt.
 

   
   
 
 
  
2
2 2 2 2
1
4 1 3 0 0
44
22
2
23
32
3
16
2 2 0
3 16
mn
m n x m y n
mn
mn
C
C C C W N N W h W W h
ab
C
CC
W W h W W h W h
mn


     


  


      

     

(22)
ở đây
m
và
n
là các số lẻ.
Nhận xét:
 Nếu hệ số Poisson

là hằng số, thì
1
0k 
,
1
0,C 

3
0,C 

21

,CE

4
CD
.
Phƣơng trình (22) sẽ trùng với phƣơng trình đã đƣợc cho trong bài báo [38].
 Nếu hệ số không hoàn hảo
0


thì phƣơng trình (22) cho ta phƣơng trình dùng
để tìm tải tới hạn của tấm hoàn hảo có cơ tính biến thiên.
Sau đây, chúng ta sẽ xét một cách chi tiết ba bài toán tƣơng ứng với ba dạng tải
trọng đã nêu ở trên.



1.4.1 Phân tích ổn định của tấm chịu tải cơ
Xét tấm chữ nhật không hoàn hảo, có cơ tính biến thiên tựa bản lề tại bốn cạnh
và các cạnh có thể di chuyển tự do trong mặt phẳng của tấm (trƣờng hợp (1)) và tấm
chịu các lực nén trong mặt phẳng
x
P
và
y
P
phân bố đều dọc theo các cạnh
0, ,x x a

và

0, y y b
tƣơng ứng.
Trong trƣờng hợp này các lực nén trong giai đoạn trƣớc tới hạn cho bởi [3, 17]
16

0
,
xx
N Ph

0
.
yy
N Ph
(23)
Thế biểu thức này vào phƣơng trình (22) và đặt
/,W W h

/,
yx
PP



/ / ,
m n a
B m n



/
a
B b a
, ta nhận đƣợc
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
2 2 2
2
4 1 3
23
2 2 2 2 2 2 2 2
4 4 4
2
2
1
2 2 2 2 2 2 2 2
2
16
3
32

2
3
16
a
a
x
h a h a
a
a
h a h a
C C C m B n W
W
C C B mn
W
P
B m B n B m B n
WW
C m B n
C B mn
WW
W
B m B n B m B n










  









(24)
ở đây
3
1 2 4
1 2 3 4
23
, , , , .
h
C
C C C b
C C C C B
h h h h h
    

Phƣơng trình (24) có thể dùng để vẽ đƣờng cong tải - độ võng sau vồng của tấm có cơ
tính biến thiên chịu nén bởi tải cơ phẳng.
Với
const,



tức là
1
0k 
thì
1
0,C 

21
,CE

3
0,C 

4
,CD
phƣơng trình
(24) dẫn tới phƣơng trình đã đƣợc thiết lập của bài báo [38].
Với tấm hoàn hảo,
0


, từ phƣơng trình (24) ta thu đƣợc phƣơng trình cho
phép xác định tải nén tới hạn nhƣ sau
 
 
     
2
2 2 2
22

4 1 3
2 3 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
16 32
33
a
aa
x
h a h a h a
C C C m B n
C C B mn C B mn
PW
B m B n B m B n B m B n

  


  

  
  




 
 
4 4 4
2
2

2 2 2 2
.
16
a
ha
C m B n
W
B m B n






(25)
Trƣờng hợp
const


và
0W 
, phƣơng trình (25) trở thành phƣơng trình đã
đƣợc trình bày bởi Javaheri và Eslami [17]
17

 
 
2
2 2 2
2 2 2 2

.
a
xb
ha
D m B n
P
B m B n






(26)


1.4.2 Phân tích ổn định của tấm chịu tải nhiệt
Giả thiết tấm không hoàn hảo tựa bản lề với bốn cạnh không dịch chuyển đƣợc
trong mặt phẳng (trƣờng hợp (2)). Khi đó điều kiện tại các cạnh
0, x x a
và
0, y y b
sẽ đƣợc thỏa mãn theo nghĩa trung bình nhƣ sau [22, 36]
00
0,
ba
u
dxdy
x






00
0.
ab
v
dydx
y




(27)
Để giải bài toán này, trƣớc hết ta cần phải xác định
0
,
x
N
0y
N
sao cho đảm bảo
các cạnh của tấm không dịch chuyển đƣợc trong mặt phẳng. Các đại lƣợng
0
,
x
N
0y
N

này đƣợc tìm từ hệ phƣơng trình cân bằng sau
,,
,,
0,
0,
x x xy y
xy x y y
NN
NN


(28)
và điều kiện (27).
Vì đã đƣa vào hàm ứng suất Airy
 
,f x y
ở (11), nên hệ phƣơng trình (28) đƣợc
tự động thỏa mãn. Do vậy chỉ còn điều kiện (27) có thể dùng để tìm
0
,
x
N
0y
N
. Nhằm
mục đích này, từ các liên hệ (3) và (12) ta thu đƣợc các phƣơng trình sau





2*
, 0 10 , 20 , 1 , 2 , 3 1 , , ,
2*
, 0 10 , 20 , 1 , 2 , 3 1 , , ,
1
,
2
1
.
2
x yy xx xx yy x x x
y xx yy yy xx y y y
u J A f A f J w J w J T w w w
v J A f A f J w J w J T w w w


       
       

(29)

18

Thế biểu thức của
w
,
*
w
từ (19a, b) và

f
từ (20) vào (29), và sau đó vào điều
kiện (27), cho ta
 
 
2 2 2 2
11
0 1 10 20 10 20
2
10
2 2 2 2
11
0 1 10 20 10 20
2
10
41
( ) ( ) 2 ,
8
41
( ) ( ) 2 .
8
x m n m n
y n m n m
A
N T A A W A A W W h
mn A
A
N T A A W A A W W h
mn A
     


     

      
      
(30)
Nếu
const


thì biểu thức (30) dẫn đến kết quả của [38].
Nếu
const


và
0W 
thì biểu thức (30) trùng với kết quả của Javaheri và
Eslami [3], tức là
0 0 1
.
1
m
xy
N N T




   


(31)
Thay liên hệ (30) vào phƣơng trình (22), ta có
 
 
 
 
 
 
4 4 4 2 2 2
10 20
11 1
1
2 2 2
2 2 2 2
10
2
4 4 4 2 2 2
10 2 20
2 2 2 2
2
4 32

3 ( )
1
2 4 2
16
aa
a
a

a
aa
a
A m B n A m n B
mnB
AC
TW
A ab m B n
mnb m B n
A C m B n A m n B W W h
b m B n









   








    





 
 
 
 
2 2 2 2
2
23
4 1 3
2
2 2 2 2
2
16
.
3
a
a
a
m B n
W W h
C C mnB
W
C C C
W h b W h
b m B n






  


(32)
Mặt khác tham số nhiệt
1

của (8) đƣợc cho bởi (xem phần phụ lục)
 
1
00
11
11
11
m m n m cm cm m n
nn
h E a E E a
nk k nk
   


   

  



0
1
1
.
21
cm cm n
n
E a hP
k nk



  





(33)
19

Kết hợp (32) và (33) dẫn đến
 
   
4 4 4 2 2 2
2
10 20
11
1

2 2 2 2 2 2 2 2
10
2
4 32 1
.
3
aa
a
h a h a
A m B n A m n B
C mnB
A
TW
P
A
mnB m B n B m B n



  





 
 
   
 
4 4 4

2 2 2
10
2
20
2 2 2 2 2 2 2 2
2
4
1

2
16
a
a
h a h a
A C m B n
A m n B
W
W
P
B m B n B m B n


















 
 
 
 
 
 
2 2 2
2
23
1 3 4
2
2 2 2 2
2
16 1

3
a
a
h
ha
W
W
m B n

C C mnB
W
C C C
P P B
B m B n
WW






  




(34)
trong đó
10 20
11 1
11 10 20
1
22
, , , , , , ,
ah
AA
A b b W C
A A A B B W C
h h h a h h h

      
2
2
,
C
C
h


3
3
,
C
C
h


4
4
3
.
C
C
h


Phƣơng trình (34) biểu thị mối liên hệ giữa nhiệt độ và độ võng của tấm ở trạng
thái sau vồng và đƣợc dùng để vẽ đƣờng cong sau khi vồng của tấm FGM chịu tải
nhiệt.
Khi hệ số Poisson


là hằng số, ta có
1
0,C 
1
1
2
,
E
CE
h

3
0,C 
4
3
,
D
CD
h

  
11
11
10 20
2 2 2 2
1
,,
1 1 1 1
E E E E

AA
hh

   
   
   
2
11
22
1
1
E
A
h



2
2
,
1
E



.
1
P
P






Phƣơng trình (34) trở thành
20

 
 
 
 
 
 
2 2 2 4 4 2 2 2 4
2
2
2 2 2 2
1 4 2
11
1
a a a
h
ha
D m B n E m B m n B n
W
TW
B P P
mn B m B n
W
  




   
  




  
 
 
 
2 4 4 4 2 2 2
1
2 2 2 2
34
2
,
16 1
aa
ha
E m B n m n B
W
W
P
B m B n
  





  




(35)
trong đó
,
11
m cm cm m cm cm
mm
E E E
PE
kk
  


  


12
12
2
, .
EE
EE
hh


Kết quả đƣợc cho bởi Tung và Duc [38].
Nếu độ không hoàn hảo
0


và
0W 
thì từ biểu thức (35) ở trên cho ta
 
 
2 2 2
2
1
1
.
a
b
h
D m B n
T
BP




(36)
Phƣơng trình này đƣợc dẫn ra bởi các tác giả bài báo [19]. Dễ dàng thấy rằng
b
T

nhỏ nhất khi
1,mn
tức là
 
 
2
2
1
1
.
a
bcr
h
B
D
T
PB





(37)

1.4.3 Phân tích ổn định của tấm chịu đồng thời tải cơ nhiệt
Xét tấm chữ nhật không hoàn hảo có cơ tính biến thiên, chịu tác động đồng thời
bởi trƣờng nhiệt độ và lực nén dọc trục
x
P
phân bố đều tại các cạnh

0, xa
. Giả thiết
rằng tấm tựa bản lề với các
0, xa
có thể dịch chuyển đƣợc,
0, yb
không dịch
chuyển trong mặt phẳng của tấm (trƣờng hợp (3)). Sử dụng
0xx
N P h
và phƣơng
trình thứ hai của (27), (29), ta thu đƣợc
21

 
22
20 20 3
0 1 1
2
10 10 10 0 10 10
4
( ) 2 .
8
nn
yx
A A J
N P h J W W W h T
A mn A A J A A





      

Thay các biểu thức của
0x
N
,
0y
N
này vào phƣơng trình (22), có tính đến biểu thức
1

ở
(33), dẫn đến
 
 
 
 
 
   
2
2 2 2
2
10
10
23
1 3 4
2 2 2 2 2 2 2 2
10 20 10 20

2
16
3
a
a
x
h a h a
W
W
A m B n
C C A mnB
W
P C C C
B A m B A n W B A m B A n W






  
   


   
22
3
2
11 10 20
10

1
2 2 2 2 2 2 2 2
10 10 20 10 20
4
32
3
a
h a h a
n A A A
C A mnB
W
mA B A m B A n B A m B A n













 


 
 

22
4
10 10 20
2
44
10
2
2 2 2 2 2 2 2 2
10 20 10 20
2
2
16
a
h a h a
C A A A n
C A m B
WW
B A m B A n B A m B A n











  








 
2
10 20
2 2 2
10 20
a
A A n
PT
A m B A n




(38)

trong đó
P

đƣợc tính bởi (33).
Phƣơng trình (38) đƣợc dùng để vẽ đƣờng cong tải - độ võng sau vồng của tấm
FGM không hoàn hảo chịu đồng thời tải cơ và tải nhiệt. Có thể thấy nhiệt độ thay đổi
có thể làm dịch chuyển các đƣờng cong
 

x
PW
dọc trục
x
P
một lƣợng
 
2
10 20
2 2 2
10 20
x
a
A A n
P P T
A m B A n

  


và ngƣợc lại các đƣờng cong
 
TW
cũng có thể bị dịch
22

chuyển dọc theo trục
T
một lƣợng
 

 
2 2 2
10 20
2
10 20
ax
A m B A n P
Pn A A




do ảnh hƣởng của tải nén
x
P
.
Nếu

là hằng số thì phƣơng trình (38) về trùng với kết quả của [27]. Thật vậy
trong trƣờng hợp này ta có
1 2 3
1
0, , 0,C C E C  
4
,CD

2
11
2
,

1
E
A



1
10
2
,
1
E
A




1
20
2
,.
11
EP
AP





Thay các giá trị này vào phƣơng trình (38), ta

đƣợc
 
 
 
 
2
2 2 2
3
2
2 2 2 2 2 2 2 2
4
a
x
h a h a
D m B n
W E n
PW
B m B n mB m B n
W









 
 

 
4 4 4
2
1
2 2 2
2 2 2 2
3
2.
16
a
a
ha
E m B n
n P T
WW
m B n
B m B n







  



(39)
Đây chính là kết quả của [38].

Chương 2
Khảo sát bằng số

23

Trong phần này, chúng ta sử dụng các hệ thức đã xây dựng để nghiên cứu ảnh
hƣởng của các tham số nhƣ chỉ số mũ vật liệu
1
k = k
, độ không hoàn hảo ban đầu ξ và
các điều kiện biên lên ứng xử vồng và sau vồng của tấm có cơ tính biến thiên (FGP).
Các tính chất vật liệu của tấm có cơ tính biến thiên đƣợc cho bởi [4, 37] với
T 300 K
nhƣ trên bảng 1.2.

2.1 So sánh với kết quả của Shen
Để kiểm tra độ chính xác của phƣơng pháp đã đề xuất, các kết quả số thu đƣợc
cho tấm vuông đẳng hƣớng hoàn hảo và không hoàn hảo chịu nén dọc trục đƣợc so
sánh với các kết quả của Shen trong [35] và [36]. Ta thấy rằng các kết quả nhận đƣợc
(trong hình 2.1.1 và hình 2.1.2) là phù hợp với các kết quả của Shen.


Hình 2.1.1. So sánh các đường cong sau vồng của tấm mỏng đẳng hướng chịu
nén theo một trục.