Phương pháp đường tròn trong Vật Lý

2012

ỨNG DỤNG LIÊN HỆ GIỮA CHUYỂN ĐỘNG TRÒN ĐỀU VÀ DAO ĐỘNG
ĐIỀU HÒA TRONG VIỆC GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN DAO ĐỘNG VÀ SÓNG
Tác giả: Phạm Ngọc Thiệu
Trường THPT Trần Phú – Vĩnh
Phúc
I. LÍ DO CHỌN CHUYÊN ĐỀ
Trong những năm gần đây Bộ GD-ĐT đã áp dụng hình thức thi trắc nghiệm
khách quan trong kì thi tốt nghiệp THPT cũng như tuyển sinh đại học, cao đẳng đối
với nhiều môn học trong đó có mộn vật lý. Hình thức thi trắc nghiệm khách quan đòi
hỏi học sinh phải có kiến thức rộng, xuyên suốt chương trình và có kĩ năng làm bài,
trả lời câu trắc nghiệm nhanh chóng. Hình thức thi này cũng kéo theo sự thay đổi
trong cách dạy học, ôn tập, luyện thi đại học cao đẳng của cả giáo viên và học sinh.
Nếu như trước đây giáo viên chỉ dạy các dạng bài tập tự luận, rèn cho học sinh cách
giải và cách trình bày bài tập như thế nào để đạt điểm cao nhất thì hiện nay ngoài việc
hướng dẫn học sinh làm các bài tập tự luận theo dạng, giáo viên đồng thời phải sưu
tầm tài liệu, đặc biệt là hệ thống bài tập trắc nghiệm phù hợp theo chuyên đề để học
sinh luyện tập thêm và hướng dẫn học sinh những cách giải bài tập trắc nghiệm
nhanh nhất trong quá trình làm bài thi....
Trong chương trình thi đại học cao đẳng nói chung và phần kiến thức dao động
điều hòa nói riêng, việc tìm thời gian, thời điểm hoặc các đại lượng có liên quan luôn
là một kiến thức khó đối với học sinh. Để giải bài toán loại này, một số giáo viên và
học sinh đã sử dụng những kiến thức liên quan đến phương trình lượng giác, tuy
nhiên phương pháp này thuần túy toán học, phức tạp và dễ gây nhầm lẫn. Để giúp các
em học sinh có phương pháp giải quyết nhanh chóng các loại bài tập này, đặc biệt là
trong bài thi trắc nghiệm, qua nhiều năm ôn luyện thi đại học phần dao động cơ, sóng
cơ, sóng điện từ, dòng điện xoay chiều, ...tôi đã hướng dẫn học sinh áp dụng mối liên
hệ giữa chuyển động tròn đều và dao động điều hòa để giải nhanh các bài toán liên
quan đến tìm thời gian, thời điểm đại lượng dao động đạt giá trị xác định, pha dao

động hoặc các đại lượng có liên quan đến thời gian dao động,...

2012

Chuyên đề đề này đề cập đến các dạng bài tập nâng cao thường gặp trong đề
thi TSĐH, CĐ. Trong phạm vi thời gian có hạn, chuyên đề tập trung nghiên cứu hai
vấn đề:
- Cơ sở lý thuyết và phương pháp giải từng loại bài toán.
- Giới thiệu một số trường hợp vận dụng.
Sau cùng là một số câu hỏi trắc nghiệm để bạn đọc tam khảo sau khi đọc phần bài tập
tự luận.
Với sự hạn chế về kinh nghiệm ôn luyện thi ĐH-CĐ của bản thân cũng như thời
gian nghiên cứu còn ít, chắc chắc những nội dung trong chuyên đề này sẽ còn nhiều
điểm cần bổ sung, chỉnh sửa cho phù hợp với nhiều đối tượng. Tác giả rất mong các
thầy cô giáo và các bạn đồng nghiệp đóng góp ý kiến để chuyên đề có thể hoàn thiện
hơn và trở thành tài liệu tham khảo của các bạn đồng nghiệp trong quá trình ôn luyện
thi Đại hoc, cao đẳng. Xin chân thành cảm ơn.

II. MỘT SỐ CƠ SỞ LÝ THUYẾT ÁP DỤNG TRONG CHUYỂN ĐỀ
II.1. Chuyển động tròn đều:
* Chuyển động tròn là đều khi chất điểm đi được những cung tròn có độ dài bằng
nhau trong những khoảng thời gian bằng nhau tùy ý.
* Một số đại lượng đặc trưng của chuyển động tròn đều
- Chu kì,tần số của chuyển động tròn đều:
+ Chu kì là khoảng thời gian để chất điểm đi hết một vòng trên đường tròn. Kí hiệu T
+ Tần số là số vòng chất điểm quay được trong một đơn vị thời gian. Kí hiệu f
+ Liên hệ giữa chu kì và tần số:
1
T
f



- Tốc độ góc của chuyển động tròn đều: Tốc độ góc ω là góc quay được của bán kính
trong một đơn vị thời gian, đơn vị rad/s:
t






II.2. Mối liên hệ giữa chuyển động tròn đều và dao động điều hòa

2012

Độ dài đại số của hình chiếu trên trục x của véc tơ quay
OM
biểu diễn dao động
điều hòa chính là li độ x của dao động.
Nói cách khác: Khi véc tơ
OM
quay đều với tốc độ góc ω
quanh điểm O thì hình chiếu P của điểm M dao động điều hòa
trên trục x’Ox thuộc mặt phẳng quỹ đạo của M với li độ bằng
tọa độ hình chiếu của M, biên độ bằng độ dài OM, tần số góc
đúng bằng tốc độ góc ω và pha ban đầu φ bằng góc
xOM
ở thời
điểm t=0.
* Một số hệ quả:

- Nếu biểu diễn dao động điều hòa x=A.cos(ωt+φ) bằng véc tơ quay thì thì φ=
xOM
là
góc pha ban đầu của dao động với lưu ý:
+ Tại t=0, v
0
<0 thì
OM
ở trên Ox =>φ>0; v
0
>0 thì
OM
ở dưới Ox => φ<0.
+ Thời gian vật dao động điều hòa đi từ vị trí (x
1
; v
1
) đến vị trí (x
2
; v
2
) bằng thời gian
OM
quay đều được góc φ=
12
M OM
với tốc độ góc ω: φ=ω.Δt => Δt=φ /ω.
+ Nếu biết góc quay của
OM
trong thời gian Δt tính từ thời điểm đầu t=0 ta có thể

tìm được thời điểm vật qua vị trí có li độ x với vận tốc v, từ đó có thể tính được số lần
vật qua vị trí x trong thời gian t
0
hoặc tính được quãng đường vật dao động diều hòa
đi được trong thời gian Δt.
+ Phương pháp biểu diễn dao động điều hòa có thể áp dụng đối với sóng cơ học, sóng
điện từ và dao động điệu từ trong mạch RLC vì các đại lượng có chung một đặc tính
là biến thiên điều hòa.
Để minh họa các phương pháp trên chúng ta cùng xét các thí dụ sau đây.





M
O
x
P
φ

2012

III. MỘT SỐ THÍ DỤ ÁP DỤNG MỐI LIÊN HỆ GIỮA CHUYỂN ĐỘNG
TRÒN ĐỀU VÀ DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA.
III. 1. Tính thời gian đại lượng dao động điều hòa biến thiên và thời điểm
đại lượng đó đạt giá trị xác định.
III.1.1. Dao động cơ
Ví dụ 1:
Vật dao động điều hoà với phương trình x=4.cos(2πt) (cm)
a) Tính thời gian vật đi từ vị trí ban đầu đến vị trí có li độ x= - 2cm lần thứ nhất, lần

thứ hai và các thời điểm vật qua vị trí x=-2cm theo chiều dương và theo chiều âm.
b) Tính số lần vật đi qua vị trí x=-2 cm theo chiều âm trong 2 giây và trong 3,25 s.
d) Tại thời điểm t vật ở li độ 2cm. Xác định trạng thái dao động (x, v) ở thời điểm
(t+6) s và (t+
1
3
) s.
e) Tìm thời điểm vật qua vị trí x=-2cm theo chiều âm lần thứ 2011 và 2014.
Hướng dẫn
a) Véc tơ quay biểu diễn dao động của vật ở thời điểm ban đầu, thời
điểm vật qua vị trí x=-2cm lần thứ nhất và lần thứ như hình vẽ 1:
- Từ hình vẽ ta có: t
1
= φ
1
/ω; φ
1
=
01
M OM
=2π/3 => t
1
=1/3 s
t
2
= φ
2
/ω; φ
2
=

02
M OM
=4π/3ω=2/3 s
- Chu kì dao động là T=1s.
- Sau một chu kì vật lại quay lại trạng thái ban đầu nên các thời điểm vật đị qua vị trí
x nói trên theo chiều dương và âm là: t
a
=t
1
+kT =
1
3
+ k ; t
d
= t
2
+kT =
2
3
+ k (k=1, 2, 3,
4,…)
b) Tính số lần vật đi qua vị trí x=-2cm theo chiều dương và theo chiều âm.
- Trong t=2s: véc tơ
OM
quay góc: φ=ω.t=4π rad. Mỗi vòng quay
(2π) vật qua vị trí (x,v) 2 lần => Trong 2s vật qua vị trí nói trên 4
lần.
O
x
P

M

M
0
-2

4

H.2
O
x
P
M
1
M
0
-2

4

M
2
H.1

2012

- Trong t=3,25s: = ω.t=6,5π rad= 6π + 0,5π. Vẽ véc tơ quay ở hai vị trí đầu và cuối
như hình vẽ 2, dễ dàng suy ra vật qua vị trí trên 6 lần.
c) Xác định vị trí sau thời gian


t:
- Khi t =6s: Véc tơ OM quay góc φ=ω.t =12π: Véc tơ OM đã
quay 6 vòng và trở lại vị trí đầu, do đó x(t+6s)=x(t) =2cm.
- Khi t=1/3s: Véc tơ OM quay góc φ=ω.t=2π/3=>Có hai khả
năng:
+ Tại thời điểm t vật có x=2cm; v>0: Vị trí véc tơ ở hai thời điểm t
và t+1/3s được biểu diễn như hình vẽ 3. Từ hình vẽ suy ra: x(t+1/3s)
=2 cm và đang chuyên động theo chiều âm.
+ Tại thời điểm t vật có x=2cm và v<0: Vị trí các véc tơ như hình vẽ
4. Từ hình vẽ suy ra: x(t+1/3s) = -4 cm và đang ở biên âm.
e). Tìm thời điểm vật qua vị trí (x, v) lần thứ n:
- Với n=2011. Tách 2011 =2010 +1 (lần). Sau 2010 lần đã hết 1005 chu kì và véc tơ
OM trở về đúng vị trí ban đầu OM
0
, Từ hình vẽ 1 ta suy ra:
t
2011
=1005T +t
1
= 1005.1+
1
3
=
3016
3
s
- Với n=2014: Tách 2014=2012+2 lần. Ta thấy sau 2012 lần đã hết 1006 chu kì và
vật lại trở về đúng vị trí ban đầu OM
0
. Từ hình vẽ suy ra:

t
2014
=1006T +t
2
= 1006.1+
2
3
=
3020
3
s
.
Tổng quát: Thời điểm vật đi qua vị trí (x,v) lần thứ n:

(Trong đó t
1
; t
2
là thời điểm vật qua vị trí (x,v) lần thứ
nhất và lần thứ 2)



Ví dụ 2
O
x
M
1
2

M
2
4

H.3
O
x
M
1
2

M
2
-4

4

H.4
t = với n lẻ
t = với n chẵn

2012

Một vật dao động điều hoà theo phương trình: x = Acos(

t -
2

). Cho biết, từ
thời điểm ban đầu vật đến li độ x =

3
2
A
trong khoảng thời gian ngắn nhất là
s
60
1

và tại điểm cách VTCB 2(cm) vật có vận tốc
40 3

(cm/s). Xác định tần số góc và
biên độ A của dao động.
Hướng dẫn: Véc tơ quay biểu diễn vị trí đầu và cuối như
hình vẽ 5. Từ hình vẽ =>
6



=>∆ =



2
=
3

=>
20
t






rad/s => A =
cm
v
x 4
2
2
2


.
Ví dụ 3
Một lò xo có khối lượng không đáng kể có độ cứng k =100N/m, một đầu treo
vào một điểm cố định, đầu còn lại treo một vật nặng khối lượng 500g. Từ vị trí cân
bằng kéo vật xuống dưới theo phương thẳng đứng một đoạn 10cm rồi buông nhẹ cho
vật dao động điều hòa. Lấy g = 10m/s
2
. Xác định tỉ số thời gian lò xo bị nén và dãn
trong một chu kỳ.
Hướng dẫn
 =
m
k
= 10
2
(rad/s)

Độ dãn của lò xo ở vị trí cân bằng:
cmm
k
mg
l 505,0 
; A=10cm > ∆l
=> Thời gian lò xo nén t
1
là thời gian ngắn nhất để vật
đi từ vị trí lò xo không biến dạng đến vị trí cao nhất và trở về vị trí cũ.
Vậy: t
1
=



, với sin=
2
1


A
l
=>=
6

=>∆ = -2=
3
2


=> t
1
=
s
215210.3
2






l

dãn
O

-A

A

nén
(A > l)
O




x

M
1
M
2


H.6

x
-A

A




M
2



O
M
1
H.5


2012

Thời gian lò xo dãn t
2
là thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí lò xo không biến dạng
đến vị trí thấp nhất và trở về vị trí cũ: t
2
=
22
15 2.
s
  



=>
1
2
1
2
t
t




Ví dụ 4 (ĐH 2010)
Một con lắc lò xo dao động điều hòa với chu kì T và biên độ 5 cm. Biết trong
một chu kì, khoảng thời gian để vật nhỏ của con lắc có độ lớn gia tốc không vượt quá
100 cm/s
2
là

3
T
. Lấy

2
=10. Tính tần số dao động của vật.
Hướng dẫn
Vì gia tốc biến thiên điều hòa nên ta có thể biểu diễn gia tốc bằng một véc tơ
quay. Trong thời gian T/3 véc tơ OM quay góc: ∆ = ω.t =
2
3

=> Các véc tơ quay biểu diễn độ lớn của a không vượt
quá 100cm/s
2
như hình vẽ 7. Từ hình vẽ ta có: =π/3
=> A.ω
2
.cosπ/3=100 =>ω=2π => f=1Hz.
III.1.2. Sóng cơ
Ví dụ 1
Hai điểm M, N cùng nằm trên một phương truyền sóng cách nhau x = λ/3, sóng
có biên độ A, chu kì T=0,5s. Tại thời điểm t
1
= 0, có u
M
=+3cm và u
N
=-3cm. Ở thời
điểm t

2
liền sau đó có u
M
= +A, biết sóng truyền từ M đến N. Xác định A và t
2
.
Hướng dẫn
Ta có độ lệch pha giữa M và N là:
3
22





x
.
Vì li độ sóng cũng biến thiên điều hòa nên ta có thể mô tả dao động
của các phần từ bằng véc tơ quay. Khi đó véc tơ quay biểu diễn li độ
dao động của M và N tại thời điểm t như hình vẽ 8.
Từ hình vẽ ta có:
6



=> A =
32
cos



M
u
(cm); t
2
= t
1
+


; ω=2π/T =4π rad/s => t
2
=
1
24
s

Ví dụ 2
Aω
2
O
a
M
1

100

M
4
H.3
-Aω

2
M
2
M
3
-100


H.7

O
u
- 3

H.8
H.8

3

