Nội suy ảnh sử dụng các ràng buộc hình học

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ









NGUYỄN THÀNH TRUNG








NỘI SUY ẢNH
SỬ DỤNG CÁC RÀNG BUỘC HÌNH HỌC






LUẬN VĂN THẠC SĨ

HÀ NỘI 2011



ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ






NGUYỄN THÀNH TRUNG

NỘI SUY ẢNH
SỬ DỤNG CÁC RÀNG BUỘC HÌNH HỌC


Ngành: Công nghệ Điện tử -Viễn thông
Chuyên ngành: Kỹ thuật Điện tử
Mã số: 60 52 70

LUẬN VĂN THẠC SĨ




NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS.LÊ VŨ HÀ










HÀ NỘI – 2011

3
LỜI MỞ ĐẦU

Sự phát triển không ngừng của khoa học công nghệ đem lại cho con người cuộc

sống ngày càng tốt hơn. Trong sự phát triển đó có thể dễ dàng nhận ra sự có mặt của các
công trình khoa học liên quan đến lĩnh vực điện tử viễn thông và công nghệ thông tin.
Công nghệ thông tin và truyền thông trong đó có lĩnh vực xử lý ảnh đã đóng góp một
phần quan trọng, làm thay đổi căn bản, nâng cao chất lượng đời sống của con người.
Chính vì lẽ đó có rất nhiều nhà khoa học dành thời gian để nghiên cứu về lĩnh vực này. Là
học viên cao học đã được học một số môn liên quan và tôi cũng muốn thử sức mình trong
lĩnh vực khoa học có nhiều ứng dụng này vì thế tôi lựa chọn đề tài:”Nội suy ảnh sử dụng
các ràng buộc hình học” với mong muốn tiếp cận và dần dần có những công trình khoa
học có giá trị phục vụ cuộc sống của con người.
Mục tiêu của luận văn là:
1. Tìm hiểu một số phương pháp nội suy
2. Cài đặt thử nghiệm, đánh giá một giải thuật nội suy
Tôi đã hoàn thành luận văn tốt nghiệp của mình với nội dung chính sau:
Chương 1: Giới thiệu
Chương 2: Cơ sở lý thuyết về một số phương pháp nội suy
Chương 3: Thực nghiệm
Mặc dù đã rất cố gắng để hoàn thành luận văn tốt nghiệp đặc biệt là giai đoạn hoàn
thiện. Tuy nhiên tôi cũng không thể tránh khỏi những thiếu sót, sai sót. Kính mong nhận
được sự góp ý chân thành của các Thày cô, anh chị, bè bạn để tôi khắc phục và hoàn thiện
hơn luận văn tốt nghiệp của mình
Hà nội ngày 26/09/2011
Học viên



Nguyễn Thành Trung
Formatted: Centered, Line spacing:
Multiple 1,3 li

4

MỤC LỤC
CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU 6
1.1. Tổng quan về xử lý ảnh 6
1.1.1 Lịch sử về xử lý ảnh 6
1.1.2 Các bước cơ bản trong xử lý ảnh 8
1.2. Vấn đề nội suy trong xử lý ảnh 11
1.2.1 Sơ lược về một số phương pháp nội suy truyền thống 12
1.2.2 Nội suy theo hướng 13
1.3. Cấu trúc của luận văn 15
CHƯƠNG 2 16
CƠ SỞ LÝ THUYẾT VỀ CÁC PHƯƠNG PHÁP NỘI SUY 16
2.1 Nội suy tuyến tính 16
2.2 Nội suy song tuyến tính (bilinear) 17
2.3 Nội suy spline 20
2.4 Nội suy các điểm gần nhất 23
2.5 Đánh giá và nhận xét về các phương pháp nội suy ở trên 25
2.6. Nội suy ảnh theo hướng 27
2.6.1 Đặt vấn đề 27
2.6.2. Nội suy theo hướng và việc ước lượng thưa 29
2.6.3 Phân giải ảnh trên từ điển có cấu trúc 30

5
CHƯƠNG 3: THỰC NGHIỆM 33
3.1 Giới thiệu chung 33
3.2 Một số thực nghiệm đơn giản 34
3.2.1 Thực nghiệm phân tích phổ của một đường thẳng đơn 34
3.2.2 Thực nghiệm phân tích phổ của đường thẳng đứt nét 35
3.2.3 Phân tích ảnh của một đường thẳng dựa trên phép biến đổi wavlet 37
3.3 Xác định các hướng, các vị trí ở đó ảnh có tính chất đồng nhất 39
3.3.1. Xác định các hướng ở đó ảnh có tính chất đồng nhất 39

3.3.2. Xác định các khu vực tương ứng với các hướng ở đó ảnh có tính chất đồng nhất
43
3.3 Nội suy theo hướng 49
3.4 Triển khai cài đặt chương trình 50
3.4.1 Mô tả về hoạt động của chương trình 50
3.4.2 Triển khai cài đặt 50
3.5.1 Thí nghiệm phóng to gấp đôi ảnh 64x64 52
3.5.2 Thí nghiệm trên ảnh Lena 512x512 53
KẾT LUẬN 55
TÀI LIỆU THAM KHẢO 56

6
CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU



1.1. Tổng quan về xử lý ảnh
1.1.1 Lịch sử về xử lý ảnh

Các phương pháp xử lý ảnh bắt nguồn từ hai ứng dụng: nâng cao chất lượng thông
tin hình ảnh đối với mắt người và xử lý số liệu cho máy tự động. Một trong những ứng
dụng đầu tiên của xử lý ảnh là nâng cao chất lượng ảnh báo, truyền qua cáp giữa London
và NewYork vào những năm 1920. Thiết bị đặc biệt mã hóa hình ảnh (báo), truyền qua
cáp và khôi phục lại ở phía thu.
Vấn đề nâng cao chất lượng hình ảnh (số) lúc đầu có liên quan đến việc lựa chọn
quá trình in và phân bố các mức sáng.
Hệ thống đầu tiên (Bartlane) có khả năng mã hóa hình ảnh với 5 mức sáng khả
năng này tăng lên 15 mức vào năm 1929.
Việc nâng cao chất lượng ảnh bằng các phương pháp xử lý để truyền ảnh được liên
tục nghiên cứu 35 năm sau đó. Do kỹ thuật máy tính phát triển, nên xử lý hình ảnh ngày

càng phát triển. Năm 1964, các bức ảnh chụp mặt trăng được vệ tinh Ranger 7 của Mỹ
truyền tải về trái đất, được xử lý để sửa méo (gây ra do camera truyền hình đặt trên vệ
tinh ở các góc độ khác nhau). Các kỹ thuật cơ bản cho phép nâng cao chất lượng hình ảnh
như làm nổi đường biên và lưu hình ảnh.
Từ năm 1964 đến nay, phạm vi xử lý ảnh và video(ảnh động) lớn mạnh không
ngừng. Các kỹ thuật xử lý ảnh số (digital image processing) hiện nay được sử dụng để
giải quyết hàng loạt vấn đề, nhằm nâng cao chất lượng thông tin hình ảnh.
Trong y học, xử lý ảnh nhằm nâng cao độ tương phản, hoặc mã hóa các mức sáng
thành các màu để nội suy ảnh X quang và các hình ảnh y sinh học dễ dàng Các nhà địa
vật lý sử dụng kỹ thuật tương tự để nghiên cứu các mẫu vật chất từ ảnh vệ tinh. Các thuật
toán làm nổi đường biên và khôi phục hình ảnh được sử dụng để xử lý hình ảnh bị giảm
chất lượng. Trong thiên văn học, các phương pháp xử lý ảnh nhằm khôi phục hình ảnh bị
nhiễu hoặc bị mất do bóng (antifacts) sau khi chụp. Trong vật lý và các lĩnh vực liên
quan, kỹ thuật máy tính nâng cao được chất lượng hình ảnh trong các lĩnh vực như plasma
và microcopy điện tử. Tương tự người ta đã ứng dụng xử lý ảnh có kết quả tốt trong viễn

7
thám, sinh học, y tế hạt nhân, quân sự, công nghiệp Nâng cao chất lượng (làm nổi đường
biên) và khôi phục ảnh bị nhiễu là quá trình xử lý ảnh dùng cho mục đích nội suy của mắt
người. Lĩnh vực ứng dụng quan trọng thứ hai là xử lý ảnh số gắn liền với việc cảm nhận
của máy. Trong lĩnh vực thứ hai, các cố gắng đều tập trung vào các quá trình trích thông
tin ảnh và chuyển thành dạng thích hợp cho xử lý máy tính. Ví dụ như thông tin dùng cho
máy tính là các moments thống kê, các hệ số biến đổi Fourier
Những vấn đề tiêu biểu của kỹ thuật xử lý ảnh (tĩnh) và video (ảnh động) được ứng
dụng nhiều trong thực tế, có thể kể như: tự động nhận dạng đặc trưng, máy nhìn công
nghiệp để điều khiển và kiểm tra sản phẩm, nhận dạng mục tiêu quân sự, tự động xử lý
vân tay, hiển thị lên màn hình ảnh X quang và các mẫu máu, xử lý bằng máy tính các hình
ảnh chụp từ vệ tinh để dự báo thời tiết, nén ảnh (tĩnh) và video (ảnh động) để lưu và
truyền được nhiều hơn tín hiệu ảnh và video số trong thông tin, máy tính, truyền hình
thông thường và truyền hình có độ phân giải cao. HDTV/ATV.

(Nguồn:[1] TS. Nguyễn Kim Sách, Xử lý ảnh và video số, Nhà xuất bản khoa học
và kỹ thuật-tr 5,6)

Có thể nói những công trình nghiên cứu về xử lý ảnh đã và đang góp phần không
nhỏ vào sự phát triển của khoa học kỹ thuật, đời sống vật chất, tinh thần của con người
đưa con người vươn xa ra ngoài vũ trụ. Cũng chính vì xử lý ảnh có nhiều ứng dụng và
đem lại nhiều lợi ích như vậy nên em đã lựa chọn đề tài luận văn tốt nghiệp liên quan đến
lĩnh vực này với mong muốn sau này có chút đóng góp nhỏ bé vào lĩnh vực này.

8

1.1.2 Các bước cơ bản trong xử lý ảnh

Hình 1.1. Các bước cơ bản trong xử lý ảnh[2]


1.1.2.1 Thu nhận ảnh (Image Acquisition)

Để thu nhận ảnh có thể sử dụng camera (màu hoặc đen trắng), máy quét hoặc các
loại cảm biến khác. Thông thường ảnh nhận qua camera là ảnh tương tự (loại camera ống
chuẩn CCIR với tần số 1/25, mỗi ảnh 25 dòng), cũng có loại camera đã số hoá (như loại
CCD – Change Coupled Device) là loại dùng các điốt quang tạo cường độ sáng tại mỗi
điểm ảnh.
Camera thường dùng là loại quét dòng ; ảnh tạo ra có dạng hai chiều. Chất lượng
một ảnh thu nhận được phụ thuộc vào thiết bị thu, vào môi trường (ánh sáng, phong cảnh)

1.1.2.2 Tiền xử lý (Image Processing)

Sau bộ thu nhận, ảnh có thể nhiễu, độ tương phản thấp nên cần đưa vào bộ tiền xử
lý để nâng cao chất lượng. Chức năng chính của bộ tiền xử lý là lọc nhiễu, nâng độ tương

phản để làm ảnh rõ hơn, nét hơn.

1.1.2.3 Phân đoạn (Segmentation) hay phân vùng ảnh

Phân vùng ảnh là tách một ảnh đầu vào thành các vùng thành phần để biểu diễn
phân tích, nhận dạng ảnh. Ví dụ: để nhận dạng chữ (hoặc mã vạch) trên phong bì thư cho
mục đích phân loại bưu phẩm, cần chia các câu, chữ về địa chỉ hoặc tên người thành các
từ, các chữ, các số (hoặc các vạch) riêng biệt để nhận dạng. Đây là phần phức tạp khó

9
khăn nhất trong xử lý ảnh và cũng dễ gây lỗi, làm mất độ chính xác của ảnh. Kết quả nhận
dạng ảnh phụ thuộc rất nhiều vào công đoạn này.

1.1.2.4 Biểu diễn ảnh (Image Representation)

Đầu ra ảnh sau phân đoạn chứa các điểm ảnh của vùng ảnh (ảnh đã phân đoạn)
cộng với mã liên kết với các vùng lận cận. Việc biến đổi các số liệu này thành dạng thích
hợp là cần thiết cho xử lý tiếp theo bằng máy tính. Việc chọn các tính chất để thể hiện ảnh
gọi là trích chọn đặc trưng (Feature Selection) gắn với việc tách các đặc tính của ảnh
dưới dạng các thông tin định lượng hoặc làm cơ sở để phân biệt lớp đối tượng này với đối
tượng khác trong phạm vi ảnh nhận được. Ví dụ: trong nhận dạng ký tự trên phong bì thư,
chúng ta miêu tả các đặc trưng của từng ký tự giúp phân biệt ký tự này với ký tự khác.

1.1.2.5 Nhận dạng và nội suy ảnh (Image Recognition and Interpretation)

Nhận dạng ảnh là quá trình xác định ảnh. Quá trình này thường thu được bằng cách
so sánh với mẫu chuẩn đã được học (hoặc lưu) từ trước. Nội suy là phán đoán theo ý
nghĩa trên cơ sở nhận dạng. Ví dụ: một loạt chữ số và nét gạch ngang trên phong bì thư có
thể được nội suy thành mã điện thoại. Có nhiều cách phân loai ảnh khác nhau về ảnh.
Theo lý thuyết về nhận dạng, các mô hình toán học về ảnh được phân theo hai loại nhận

dạng ảnh cơ bản:
- Nhận dạng theo tham số.
- Nhận dạng theo cấu trúc.
Một số đối tượng nhận dạng khá phổ biến hiện nay đang được áp dụng trong khoa
học và công nghệ là: nhận dạng ký tự (chữ in, chữ viết tay, chữ ký điện tử), nhận dạng
văn bản (Text), nhận dạng vân tay, nhận dạng mã vạch, nhận dạng mặt người…

10


1.1.2.6 Cơ sở tri thức (Knowledge Base)

Ảnh là một đối tượng khá phức tạp về đường nét, độ sáng tối, dung lượng điểm
ảnh, môi trường để thu ảnh phong phú kéo theo nhiễu. Trong nhiều khâu xử lý và phân
tích ảnh ngoài việc đơn giản hóa các phương pháp toán học đảm bảo tiện lợi cho xử lý,
người ta mong muốn bắt chước quy trình tiếp nhận và xử lý ảnh theo cách của con người.
Trong các bước xử lý đó, nhiều khâu hiện nay đã xử lý theo các phương pháp trí tuệ con
người. Vì vậy, ở đây các cơ sở tri thức được phát huy.

1.1.2.7 Biểu diễn và mô tả

Ảnh sau khi số hoá sẽ được lưu vào bộ nhớ, hoặc chuyển sang các khâu tiếp theo
để phân tích. Nếu lưu trữ ảnh trực tiếp từ các ảnh thô, đòi hỏi dung lượng bộ nhớ cực lớn
và không hiệu quả theo quan điểm ứng dụng và công nghệ. Thông thường, các ảnh thô đó
được đặc tả (biểu diễn) lại (hay đơn giản là mã hoá) theo các đặc điểm của ảnh được gọi
là các đặc trưng ảnh (Image Features) như: biên ảnh (Boundary), vùng ảnh (Region). Một
số phương pháp biểu diễn thường dùng:
• Biểu diễn bằng mã chạy (Run-Length Code)
• Biểu diễn bằng mã xích (Chaine -Code)
• Biểu diễn bằng mã tứ phân (Quad-Tree Code)

Trên đây là các bước cơ bản trong xử lý ảnh trên thực tế không nhất thiết các ứng
dụng liên quan đến xử lý ảnh phải trải qua tất cả các bước trên. Tùy vào yêu cầu của ứng
dụng mà một số bước có thể bỏ qua. Hình vẽ dưới đây là một sơ đồ thể hiện khá chi tiết
về phân tích, xử lý ảnh:
(Nguồn[2] TS. Nguyễn Quang Hoan, Xử lý ảnh, Học viện công nghệ bưu chính
viễn thông, 2006)

11

Hình 1.2. Sơ đồ phân tích và xử lý ảnh và lưu đồ thông tin giữa các khối[2]

1.2. Vấn đề nội suy trong xử lý ảnh

Trong chế bản hay những công việc có liên quan đến hình ảnh đều gặp phải một
trở ngại đó là việc phóng to ảnh sẽ dẫn đến tình trạng ảnh bị bể nên không thể in và chỉnh
sửa được. Muốn phóng to ảnh người ta thường dùng phương pháp chụp rửa hình, dùng
máy quét để quét ảnh với độ phân giải cao. Nhưng làm như thế rất mất thời gian lại không
kinh tế. Hiện tại có rất nhiều nhà sản xuất phần mềm đã khắc phục vấn đề này bằng cách
dùng các phương pháp nội suy ảnh và bù đắp sự tương quan của màu sắc trong quá trình
biến đổi ảnh.

Có thể dễ dàng nhận thấy sự có mặt của nội suy trong các máy ảnh kỹ thuật số, trong
các phần mềm xem ảnh, trong các phần mềm chỉnh sửa hình ảnh. Một ví dụ cụ thể là
trong phần mềm xem ảnh, khi chúng ta muốn phóng to/thu nhỏ hình ảnh thì là lúc cần
dùng đến nội suy. Một ví dụ khác là khi chúng ta quay ảnh hoặc biến dạng hình ảnh thì
cũng có thể dùng nội suy. Phần dưới đây trình bày về một số phương pháp nội suy hay
được sử dụng. Những phương pháp nội suy này khi áp dụng vào nội suy ảnh thì “cư xử”
như nhau đối với các ảnh tức là nội suy không thích nghi, không dựa vào thông tin hình
ảnh.
Formatted: DMC1

12

1.2.1 Sơ lược về một số phương pháp nội suy truyền thống

Một số phương pháp nội suy hay được dùng trong xử lý ảnh:

-Nội suy các điểm gần nhất
-Nội suy song tuyến tính
-Nội suy ghép trơn

Nội suy các điểm gần nhất thực chất là không có tính toán gì chỉ đơn giản gán giá
trị điểm ảnh cần nội suy với giá trị điểm ảnh gần nó nhất. Nội suy các điểm gần nhất có
ưu điểm là đơn giản dễ cài đặt nhưng có nhiều nhược điểm cụ thể là nếu dùng nội suy các
điểm gần nhất để phóng to ảnh có thể gây ra các đướng ziczac hoặc tạo những ô vuông
lớn trong ảnh làm cho hình ảnh thô, không được mịn màng. Hình vẽ dưới đây minh họa
việc phóng to một ảnh sử dụng nội suy các điểm gần nhất. Các ảnh được hiển thị dưới
dạng ma trận số để thể hiện rõ bản chất của phương pháp nội suy:


Hình 1.3. Ảnh ban đầu


Hình 1.4. Ảnh phóng to sử dụng nội suy các điểm gần nhất

Formatted: DMC2

13
Không giống như nội suy các điểm gần nhất trong nội suy song tuyến, điểm ảnh
được nội suy có tính toán dựa trên một số điểm lân cận nó. Gọi là nội suy song tuyến

tính nhưng thực chất nội suy song tuyến tính không phải là nội suy tuyến tính. Tính theo
một biến thì nội suy song tuyến tính là tuyến tính song nếu tính trên tất cả các biến thì nội
song tuyến tính không phải là nội suy tuyến tính. Nội suy song tuyến tính có quy luật nội
suy phức tạp hơn nội suy các điểm gần nhất và do nó xét tới ảnh hưởng của 4 điểm gần
nhất xung quanh nó nên có thể nói về cơ bản sử dụng nội suy song tuyến tính tuyến tính
là lựa chọn tốt hơn so với nội suy các điểm gần nhất.

So với nội suy song tuyến tính và nội suy các điểm gần nhất thì nội suy ghép trơn
có quy luật phức tạp nhất trong nội suy ghép trơn (spline) điểm cần nội suy chịu ảnh
hưởng của nhiều điểm xung quanh nó. Cài đặt nội suy ghép trơn khó hơn nhưng kết quả
nội suy tốt hơn.

1.2.2 Nội suy theo hướng

Nếu chỉ sử dụng đơn thuần các phương pháp nội suy đã trình bày ở trên trong việc
nội suy ảnh thì ảnh sau nội suy xuất hiện những chi tiết lạ mà ảnh gốc không có điều này
có thể làm giảm độ sắc nét của hình ảnh. Tìm cách hạn chế được tối đa các chi tiết lạ đó
thì ảnh sau nội suy sẽ tốt hơn.

Trong miền không gian ảnh xuất hiện các chi tiết lạ thì chắc chắn khi chuyển sang
miền tần số thì cũng có những thành phần phổ lạ tương ứng. Có thể nhìn thầy một vấn đề
là nếu những phổ lạ này được khử đi được hoặc hạn chế thì ảnh sau nội suy sẽ không còn
xuất hiện hoặc hạn chế được sự xuất hiện của các chi tiết lạ. Nhưng không phải trong
trường hợp nào cũng khử đi được thành phần phổ lạ. Thành phần phổ lạ chỉ khử được khi
nó có sự tách biệt không chồng lấn với các phổ khác.

Trường hợp đơn giản nhất là khi ta đem hạ mẫu một ảnh với hệ số hạ mẫu là 2, nếu
ảnh này chỉ có các thành phần tần số trong
2
-,

22




thì ảnh hạ mẫu xuất hiện các phổ lạ
nhưng các thành phần phổ lạ chắc chắn không đè lên các thành phần phổ của ảnh gốc vì
vậy hoàn toàn có thể dùng bộ lọc thông thấp để loại bỏ thành phần phổ lạ từ ảnh hạ mẫu
và ta lại thu được ảnh gốc ban đầu.
Formatted: DMC2

14

Vấn đề đặt ra là cũng trong trường hợp trên nhưng nếu ảnh đem hạ mẫu có các
thành phần tần số vượt ra ngoài
2
-,
22




thì thành phần phổ lạ nhiều khả năng bị đè lên
thành phổ giống phổ ảnh gốc điều này dẫn tới việc không thể dùng bộ lọc thông thấp như
trên đề khôi phục. Nhưng nếu thành phần phổ lạ không chồng lấn lên thành phần phổ
giống phổ của ảnh gốc thì có thể tách nó ra được. Liệu có ảnh nào có tính chất như vậy
không? Guoshen Yu đã đưa ra một trường hợp đó là ảnh của một đường thẳng.


Hình 1.5. a)Đường thẳng có độ phân giải cao và phổ của nó b)Đường thẳng có độ phân

giải thấp và phổ của nó[5]


Quan sát phổ của một đường thẳng có độ phân giải cao và phổ của đường thẳng hạ
mẫu từ đường thẳng có độ phân giải cao ta thấy ngoài thành phần phổ giống với phổ của
đường thẳng có độ phân giải cao (phổ gốc), trong phổ của đường thẳng có độ phân giải
thấp còn xuất hiện các thành phần phổ lạ, điều đáng chú ý là có thành phần phổ lạ này
tách rời so với phổ gốc. Nếu có một bộ lọc chỉ ưu tiên các thành phần phổ gốc không ưu
tiên các thành phần tần số lạ thì có thể nội suy để thu được đường thẳng có độ phân giải
cao từ đường thẳng có độ phân giải thấp bằng cách sử dụng bộ lọc này. Phương pháp nội
suy này được đặt tên là nội suy theo hướng.

Từ đây tôi thấy nếu có thể phân rã ảnh ra thành các đường thẳng thì trong nội suy có
thể lợi dụng việc nội suy theo hướng từng đường thẳng vào việc nội suy ảnh và tôi đã
triển khai ý tưởng này để cài đặt một chương trình nội suy ảnh có sử dụng ý tưởng nội suy
theo hướng. Ý tưởng chính trong chương trình tôi đã cài đặt như sau:

15
-Phân tích ảnh cần nội suy để thu được thành phần ảnh tần số cao, thành phần ảnh tần
số thấp
-Nội suy theo phương pháp thông thường đối với thành phần ảnh tần số thấp
-Nội suy theo hướng được áp dụng đối với thành phần ảnh tần số cao
-Tổ hợp các ảnh để thu được ảnh đầu ra.

1.3. Cấu trúc của luận văn

Sau một thời gian nghiên cứu tài liệu, cài đặt chương trình, chỉnh sửa tôi đã hoàn
thành luận văn “Nội suy ảnh sử dụng các ràng buộc hình học”. Luận văn có cấu trúc 3
chương:
Chương 1: Giới thiệu

Chương 2: Cơ sở lý thuyết về các phương pháp nội suy

Chương 3: Thực nghiệm

Sau những lần chỉnh sửa tôi đã hoàn thành luận văn tốt nghiệp của mình các nội
dung trong luận văn là do tôi tự viết theo suy nghĩ của mình dựa trên các tài liệu tham
khảo mà tôi thu thập được. Ngoài ra tôi có một số nội dung lý thuyết từ các tài liệu khác
tôi đã chỉ rõ nguồn trích dẫn.



Formatted: DMC1
Formatted: mucchuong

16
CHƯƠNG 2
CƠ SỞ LÝ THUYẾT VỀ CÁC PHƯƠNG PHÁP NỘI SUY



Trong toán học việc nội suy với mục đích tìm ra những giá trị chưa biết của một
hàm dựa trên những giá trị đã biết của hàm đó tại một số giá trị của biến số. Như ta đã
biết một tín hiệu bất kì có thể được biểu diễn bởi một hàm của một hoặc nhiều biến độc
lập. Vì vậy, rõ ràng ta có thể sử dụng các thuật toán nội suy trong toán học vào mục đích
nội suy tín hiệu trong đó có nội suy ảnh. Chương 2 bắt đầu từ việc trình bày về một số
thuật toán nội suy trong toán học và sử dụng chúng trong nội suy ảnh, tiếp theo là trình
bày về nội suy theo hướng - phương pháp nội suy có khai thác thông tin hình ảnh cụ thể là
có sử dụng ràng buộc hình học. Sử dụng phương pháp nội suy ảnh này cho kết quả tốt
hơn đối với một số dạng ảnh.

2.1 Nội suy tuyến tính

Trong nội suy tuyến tính thì hàm nội suy được tìm ra dựa trên việc coi mối quan hệ
giữa hàm và biến là quan hệ tuyến tính.
Trường hợp đơn giản là cần tìm các giá trị của hàm f(x) tại các giá trị của x thuộc
khoảng (x
0
,x
1
) khi biết f(x
0
) = y
0
và f(x
1
) = y
1
trong trường hợp này hàm nội suy chính là
phương trình đường thẳng đi qua (x
0
,y
0
); (x
1
,y
1
)

Hình 2.1 Minh họa nội suy tuyến tính dựa trên 2 điểm đã biết[8]
Formatted: DMC1
Formatted: Justified, Indent: First
line: 1,27 cm, Line spacing: Multiple
1,3 li
Formatted: Centered, Indent: First
line: 1,27 cm, Line spacing: Multiple
1,3 li

17

Khi biết nhiều hơn hai giá trị của f(x) thì việc nội suy được thực hiện bằng cách
nội suy tuyến tính trong từng cặp giá trị kề nhau của x. Cụ thể là nếu biết f(x) tại các giá
trị của x là x
0,
x
1
, x
2
, ,x
n
thì hàm f(x) là tổ hợp của các phương trình đường thẳng đi qua
các cặp điểm [(x
0
,y
0
) (x
1
,y
1

)]; [(x
1
,y
1
) (x
2
,y
2
)]; [(x
2
,y
2
) (x
3
,y
3
)], ,[(x
n-1
,y
n-1
),(x
n
,y
n
)]

Hình 2.2 Minh họa nội suy tuyến tính[8]

Thực chất nội suy tuyến tính khi biết giá trị của hàm tại nhiều điểm là nội suy
tuyến tính từng khúc. Tức là sự tuyến tính chỉ xảy ra ở phạm vi cục bộ. Tập các giá trị đã

biết của hàm có ảnh hưởng đến hàm nội suy.

2.2 Nội suy song tuyến tính (bilinear)

Nếu như nội suy tuyến tính áp dụng với hàm một biến thì nội suy song tuyến tính
được dùng trong việc nội suy hàm hai biến.
Giả sử biết giá trị của hàm f tại các điểm Q11, Q12, Q21, Q22 cần tìm giá trị của
hàm tại điểm P(x,y). Với P nằm trong hình vuông tạo bởi Q11, Q12, Q21, Q22 việc nội
suy được thực hiện qua hai bước:
Bước 1: Nội suy theo trục x để tìm ra f(R
1
), f(R
2
)
Bước 2: Nội suy theo trục y để tìm ra f(P)
Việc nội suy theo trục x trước hay nội suy theo trục y trước đều cho cùng một kết quả.
Formatted: Justified, Indent: First
line: 1,27 cm, Line spacing: Multiple
1,3 li
Formatted: Font: 13 pt, Subscript
Formatted: Font: 13 pt, Subscript
Formatted: Font: 13 pt, Subscript
Formatted: Font: 13 pt, Subscript
Formatted: Font: 13 pt, Subscript
Formatted: Font: 13 pt, Subscript
Formatted: Font: 13 pt, Subscript
Formatted: Font: 13 pt, Subscript
Formatted: Font: 13 pt, Subscript
Formatted: Font: 13 pt, Subscript
Formatted: Font: 13 pt, Subscript

Formatted: Font: 13 pt, Subscript
Formatted: Font: 13 pt, Subscript
Formatted: Font: 13 pt, Subscript
Formatted: Font: 13 pt, Subscript
Formatted: Font: 13 pt, Subscript
Formatted: Centered, Indent: First
line: 1,27 cm, Line spacing: Multiple
1,3 li
Formatted: Centered, Indent: First
line: 1,27 cm, Line spacing: Multiple
1,3 li
Formatted: Justified, Indent: First
line: 1,27 cm, Line spacing: Multiple
1,3 li
Formatted: DMC1
Formatted: Justified, Line spacing:
Multiple 1,3 li

18

Hình 2.3 Minh họa nội suy song tuyến tính[10]

Ta có thể áp dụng nội suy song tuyến tính vào việc nội suy ảnh vì nội suy song
tuyến tính là nội suy cho hàm hai biến mà ảnh số cũng có thể biểu diễn dưới dạng hàm hai
biến.
Thực hiện một thực nghiệm nhỏ trên matlab để quan sát kết quả của việc nội suy
ảnh sử dụng nội suy song tuyến tính. Nội dung của thực nghiệm như sau:
+Đọc ảnh Lena
+Hạ mẫu với hệ số 2
+Nội suy phóng to ảnh hạ mẫu theo kiểu bilinear

+Hiển thị ảnh gốc và ảnh nội suy
+Quan sát và so sánh
Thực nghiệm cho ta hai ảnh như hình vẽ dưới đây:

Formatted: Centered, Line spacing:
Multiple 1,3 li
Formatted: Justified, Indent: First
line: 1,27 cm, Line spacing: Multiple
1,3 li
Formatted: Justified, Indent: First
line: 1,27 cm, Line spacing: Multiple
1,3 li

19

Hình 2.4 Ảnh Lena nội suy bilinear

Formatted: Centered, Indent: First
line: 1,27 cm, Line spacing: Multiple
1,3 li

20


Hình 2.5 Ảnh Lena gốc


Quan sát hai ảnh ta thấy độ sắc nét của ảnh nội suy không thể bằng so với ảnh gốc,
ngoài ra trên ảnh nội suy xuất hiện những chi tiết lạ mà ảnh gốc không có. Điều này có
thể giải thích là do việc hạ mẫu đã làm xuất hiện những phổ lạ và chính những phổ lạ này

phát sinh ra những chi tiết lạ mà ảnh gốc không có.

2.3 Nội suy spline

Trong nội suy việc lựa chọn quy luật biến thiên của hàm nội suy theo biến ảnh
hưởng tới kết quả nội suy. Người ta luôn cố gắng tìm ra các quy luật gần với tự nhiên.
Nội suy spline (nội suy ghép trơn) phỏng theo quy luật uốn cong của thước đàn hồi khi ta
ép nó chạy qua các điểm cố định.
Formatted: Justified, Indent: First
line: 1,27 cm, Line spacing: Multiple
1,3 li
Formatted: Line spacing: Multiple 1,3
li
Formatted: Justified, Indent: First
line: 1,27 cm, Line spacing: Multiple
1,3 li
Formatted: Justified, Line spacing:
Multiple 1,3 li
Formatted: DMC1
Formatted: Justified, Line spacing:
Multiple 1,3 li

21

Hình 2.6 Minh họa uốn cong thước đàn hồi qua các điểm cố định[10]

Thực chất nội suy spline là nội suy đa thức trong từng khúc. Những đa thức này
phải chịu một số ràng buộc và dựa vào chính những ràng buộc này ta có thể xác định
được hàm nội suy.
Quy luật nội suy spline phức tạp hơn so với quy luật trong nội suy tuyến tính

nhưng bằng thực nghiệm cho thấy nội suy spline cho ta các giá trị nội suy có sai số nhỏ
hơn.
Thực hiện một thực nghiệm nhỏ trên matlab. Nội dung của thực nghiệm như sau:
+Đọc ảnh Lena
+Hạ mẫu với hệ số 2
+Nội suy phóng to ảnh hạ mẫu theo kiểu spline
+Hiển thị ảnh gốc và ảnh nội suy
+Quan sát và so sánh
Thực nghiệm cho ta hai ảnh như hình vẽ dưới đây:
Formatted: Centered, Line spacing:
Multiple 1,3 li
Formatted: Justified, Indent: First
line: 1,27 cm, Line spacing: Multiple
1,3 li

22

Hình 2.7 Ảnh Lena gốc



23

Hình 2.8 Ảnh Lena nội suy ghép trơn
Quan sát ảnh gốc và ảnh thực nghiệm ta thấy ảnh nội suy bằng phương pháp spline
không tốt hơn ảnh gốc và cũng có những chi tiết lạ xuất hiện trong ảnh. Điều này có thể
được giải thích là khi ta hạ mẫu ảnh gốc xảy ra hiện tượng chồng phổ và phép nội suy
không tạo được ra ảnh có phổ như phổ của ảnh gốc dẫn tới việc ảnh nội suy xuất hiện các
chi tiết lạ.

2.4 Nội suy các điểm gần nhất

Thực chất là không có sự tính toán trong nội suy các điểm gần nhất. Nội suy các
điểm gần nhất chỉ đơn giản gán giá trị cần nội suy bằng với giá trị của điểm lân cận nó
nhất vì thế phép nội suy này khá đơn giản và nhanh.
Thực hiện một thực nghiệm đơn giản trên matlab như sau:
+Đọc ảnh lena
Formatted: DMC1

24
+Hạ mẫu với hệ số 2
+Nội suy các điểm gần nhất để phóng to ảnh
+Hiển thị ảnh gốc và ảnh nội suy
+Quan sát và so sánh
Kết quả thực nghiệm:

Hình 2.9 Ảnh Lena gốc


25

Hình 2.10 Ảnh Lena nội suy các điểm gần nhất

Quan sát ảnh nội suy các điểm gần nhất và ảnh gốc ta thấy ảnh nội suy các điểm
gần nhất có độ nét kém hơn nhiều so với ảnh gốc, trên ảnh nội suy xuất hiện nhiều chi
tiết là đặc biệt là ở những khu vực đường biên của ảnh. Điều này có thể giải thích như
sau: tại biên ảnh là nơi có sự chênh lệnh về giá trị điểm ảnh nếu ta thực hiện nội suy kiểu
các điểm gần nhất sẽ dẫn đến việc xuất hiện nhiều lỗi ở các khu vực biên.

2.5 Đánh giá và nhận xét về các phương pháp nội suy ở trên

Qua tìm hiểu các phương pháp nội suy và qua các thực nghiệm đơn giản ở trên ta
thấy các phương pháp nội suy ở trên làm phát sinh các chi tiết lạ, ảnh thu được sau nội
suy có độ sắc nét kém hơn ảnh gốc. Quy luật nội suy càng đơn giản thì kết quả nội suy
càng kém. Cụ thể là trong ba phương pháp kể trên nội suy ghép trơn (spline) có quy luật
nội suy phức tạp nhất tiếp đến là nội suy song tuyến tính và cuối cùng là nội suy các điểm