SKKN Hướng dẫn học sinh tìm hiểu về trực tâm tam giác trong chương trình toán 7

Sáng kiến kinh nghiệm: Hướng dẫn học sinh tìm hiểu về trực tâm tam giác
P H Ò N G G D & Đ T D I Ễ N C H Â U
TRƯỜNG THCS CAO XUÂN HUY
……………………
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:
ĐỀ TÀI:
HƯỚNG DẪN HỌC SINH TÌM HIỂU THÊM VỀ TÍNH CHẤT
TRỰC TÂM TAM GIÁC THÔNG QUA MỘT SỐ BÀI TOÁN
Người viết: Phan Thị Hương
Giáo viên trường THCS Cao Xuân Huy
Năm học:2008-2009

Người thực hiện: Phan Thị Hương-THCS Cao Xuân Huy
1
_F
_E
_D
_H
_A
_C
_B
Sáng kiến kinh nghiệm: Hướng dẫn học sinh tìm hiểu về trực tâm tam giác
Đề tài:
HƯỚNG DẪN HỌC SINH TÌM HIỂU THÊM VỀ TÍNH CHẤT
TRỰC TÂM TAM GIÁC THÔNG QUA MỘT SỐ BÀI TOÁN
Hướng dẫn học sinh tìm hiểu thêm về tính chất
Người thực hiện: Phan Thị Hương-THCS Cao Xuân Huy
2
Sáng kiến kinh nghiệm: Hướng dẫn học sinh tìm hiểu về trực tâm tam giác
trực tâm tam giác thông qua một số bài toán
A.NHẬN THỨC CŨ-GIẢI PHÁP CŨ:

- Khi học về các đường đồng quy trong tam giác ở chương trình hình học lớp 7 học
sinh biết được:
+3đường phân giác của tam giác đồng quy tại một điểm;
điểm đó cách đều 3 cạnh của tam giác.
+3đường trung trực của tam giác đồng quy tại một điểm;
điểm đó cách đều 3 đỉnh của tam giác.
+3đường trung tuyến của tam giác đồng quy tại một điểm (trọng tâm tam giác);
điểm đó cách đỉnh một khoảng bằng 2/3 đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh đó
+3đường cao của một tam giác đồng quy tại một điểm (trực tâm của tam giác).
- Trong chương trình hình học lớp 9, học sinh lại biết thêm:
+ Giao điểm của 3 phân giác của tam giác là tâm đường tròn nội tiếp tam giác.
+ Giao điểm 3 đường trung trực là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.
Với nội dung như thế học sinh chưa hiểu rõ được tính chất của trực tâm tam giác
như thế nào.
Vậy giao điểm của 3 đường cao của tam giác (trực tâm của tam giác) có tính chất gì
đặc biệt không? Có những bài toán liên quan đến trực tâm tam giác như thế nào?
Bài viết này tôi viết nhằm mục đích giúp các em trả lời câu hỏi đó.
B.NHẬN THỨC MỚI-GIẢI PHÁP MỚI:
Khi dạy hình học lớp 9, thông qua một số bài tập, tôi đã cho học sinh tìm hiểu thêm
về tính chất của trực tâm tam giác, từ đó học sinh thấy được trực tâm tam giác
cũng
có những tính chất rất đặc biệt và có nhiều bài toán hay liên quan đến trực tâm tam
giác; tạo cho học sinh tính say mê tìm tòi và hứng thú trong học tập.
Người thực hiện: Phan Thị Hương-THCS Cao Xuân Huy
3
C
B
A=H
F
E

D
H
A
C
B
F
E
D
H
A
C
B
F
E
D
H
A
C
B
2
1
1
1
Sáng kiến kinh nghiệm: Hướng dẫn học sinh tìm hiểu về trực tâm tam giác
.*.NỘI DUNG:
1/.Xét trực tâm tam giác trong 3 trường hợp:
-Tam giác vuông: -Tam giác nhọn: -Tam giác tù:

Cho HS rút ra nhận xét:
-Trực tâm tam giác vuông trùng với đỉnh góc vuông của tam giác
-Trực tâm tam giác nhọn nằm trong tam giác.
-Trực tâm tam giác tù nằm ngoài tam giác.
2/.Tìm hiểu trực tâm tam giác qua các bài toán cơ bản:
Bài toán 1: Gọi H là trực tâm tam giác nhọn ABC; 3 đường cao của tam giác lần
lượt là:AD; BE;CF. Hãy tìm các tứ giác nội tiếp có trên hình?
-Học sinh sẽ dễ dàng tìm được các tứ giác nội tiếp là: BFHD; AEHF; CDHE Nếu
nối các đoạn thẳng: EF; FD; DE; học sinh sẽ tìm thêm được các tứ giác nội tiếp:
BFEC; BDEA; AFDC.
Bài toán 2:
Cho tam giác nhọn ABC; 3 đường cao của tam giác lần lượt là: AD; BE; CF. Gọi H
là trực tâm tam giác đó.Chứng minh: H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF
Hướng dẫn học sinh
- Giáo viên hỏi: Để chứng minh H là tâm đường tròn
nội tiếp tam giác DEF ta phải chứng minh điều gì?
(Chứng minh: H là giao điểm của 3 đường phân giác
trong của tam giác DEF )
Người thực hiện: Phan Thị Hương-THCS Cao Xuân Huy
4
1
2
1
3
2
1
H
H

H
O
F
E
D
H
A
C
B
Sáng kiến kinh nghiệm: Hướng dẫn học sinh tìm hiểu về trực tâm tam giác
-Giáo viên gợi ý:- Chỉ cần chứng minh DH là phân giác
của góc EDF, việc chứng minh EH; FH là các phân giác
của tam giác DEF hoàn toàn tương tự.
-Dựa vào các tứ giác nội tiếp tìm được ở bài toán 1 em hãy chứng minh: D
1
= D
2
(Chứng minh D
1
= D
2
vì cùng bằng một góc thứ 3: B
1
hoặc C
1
do có các tứ giác
nội tiếp ở bài toán 2)
Như vậy qua bài toán này học sinh thấy được tính chất đặc biệt của trực tâm H:
vừa là trực tâm tam giác ABC vừa là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF
Bài toán 3:

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (0); H là trực tâm của tam giác.Gọi
H
1
,
H
2
, H
3
lần lượt là các giao điểm của các tia AH, BH, CH với đường tròn tâm 0.
Chứngminh: H
1
, H
2
, H
3
lần lượt đối xứng với H qua BC, AC, AB.
Hướng dẫn chứng minh:
Để chứng minh H
1
,H
2
,H
3
, lần lượt đối xứng với H qua
BC, AC, AB ta chứng minh BC, AC, AB lần lượt là các
trung trực của HH
1
, HH
2
, HH

3
. Chẳng hạn chứng minh
BC là trung trực của HH
1
:ta sẽ chứng minh CD vừa là
đường cao vừa là phân giác của
∆
CHH
1
như sau:

Ta có: C
1
= A
1
(vì tứ giác CDEA là tứ giác nội tiếp)

C
2
= A
1
(hai góc nội tiếp cùng chắn cung BH
1
)


⇒
C
1
= C

2
hay CD là phân giác của HCH
1
Trong
∆
CHH
1
: CD vừa là phân giác vừa là đường cao
⇒
∆
CHH
1
cân
⇒
CD là
trung trực của HH
1
Vậy H và H
1
đối xứng nhau qua CD hay BC
Chú ý: ở bài toán 3 này có thể thay đổi: Gọi H
1
, H
2
, H
3
lần lượt là các điểm đối
Người thực hiện: Phan Thị Hương-THCS Cao Xuân Huy
5
M

F
E
D
A
C
B
Sáng kiến kinh nghiệm: Hướng dẫn học sinh tìm hiểu về trực tâm tam giác
xứng với H qua BC, AC, AB. Chứng ninh: H
1
, H
2
, H
3
thuộc đường tròn ngoại tiếp
tam giác ABC
-Khi đó ta sẽ chứng minh
C1: Chứng minh ngược lại với chứng minh trên:
do H và H
1
đối xứng với nhau qua BC
nên tam giác CHH
1
cân C
1
= C
2
; mà C
1
= A
1

vì cùng phụ với ABC
⇒
C
2
=
A
1
tứ giác ABH
1
C nội tiếp. Hay H
1
thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
C2: Do tứ giác AFHE là tứ giác nội tiếp nên FAE + FHE = 180
0
(1)
Mà FHE = BHC (đối đỉnh); BHC = BH
1
C (do H và H
1
đối xứng nhau qua BC )


⇒
EHF = BH
1
C (2)
Từ (1) và (2)
⇒
FAE + BH
1

C = 180
0
⇒
tứ giác ABH
1
C nội tiếp. Hay H
1
thuộc
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Chứng minh tương tự thì H
2
, H
3
cũng thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Bài toán4:
Cho tam giác nhọn ABC.Tìm điểm M thuộc miền
Trong của tam giác sao cho:
MA.BC+MB.AC+MC.AB đạt giá trị bé nhất.
Hướng dẫn giải:
Vẽ BE
⊥
AM; CF
⊥
AM; tia AM cắt BC tại D
Ta có: MA.BC = MA.(BD+DC)
= MA.BD + MA.DC

≥
MA.BE + MA.CF

⇒
MA.BC
≥
2S
ABM
+ 2S
ACM
Tương tự ta có: MB.AC
≥
2S
MBC
+ 2S
MBA
MC.AB
≥
2S
MCA
+ 2S
MCB
Người thực hiện: Phan Thị Hương-THCS Cao Xuân Huy
6
1
2
1
3
2
1
H
H
H

O
F
E
D
H
A
C
B
1
Sáng kiến kinh nghiệm: Hướng dẫn học sinh tìm hiểu về trực tâm tam giác
⇒
MA.BC + MB.AC + MC.AB
≥
4(S
ABM
+ S
ACM
+ S
MCB
)=4S
ABC
(không đổi)
Dấu bằng xẩy ra khi MA
⊥
BC; MB
⊥
AC; MC
⊥
AB.
⇔

M là trực tâm tam giác ABC.
3/. Bài tập phát triển từ các bài toán cơ bản:
*Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (());
3đường cao của tam giác lần lượt AD; BE; CF. Gọi H là trực tâm tam giác đó.
a,Chứng minh các đường tròn ngoại tiếp các tam giác AHB, BHC, CHA có bán
kính
bằng nhau.
b, Chứng minh ED || H
1
H
2
; EF || H
2
H
3
; FD || H
1
H
3
c, Chứng minh OA
⊥
EF; OB
⊥
FD; OC
⊥
ED
d, Cho B,C cố định (O); A chuyển động trên cung lớn BC
-Tìm quỹ tích điểm H?
-Xác định vị trí điểm H để diện tích tam giác BHC đạt giá trị lớn nhất
-Tìm vị trí điểm A để chu

∆
DEF lớn nhất.
Hướng dẫn chứng minh:
a) Chứng minh: bán kính đường tròn ngoại tiếp
∆
BHC
bằng bán kinh đường tròn ngoại tiếp
∆
BH
1
C
(
∆
BHC=
∆
BH
1
C vì H và H
1
đối xứng qua BC).
Mà
∆
BH
1
C nội tiếp đường tròn tâm O

⇒
Bán kính đường tròn ngoại tiếp
∆
BHC bằng bán kính

đường tròn tâm O
Chứng minh tương tự
⇒
các bán kính đường tròn ngoại
tiếp
∆
AHC,
∆
AHB,
∆
BHC đều bằng nhau và bằng bán kính đường tròn tâm O
b)
Ta có E
1
= A
1
(do tứ giác AEDB nội tiếp)

A
1
= H
2
(hai góc nội tiếp cùng chắn cung BH
1
)

⇒
E
1
= H

2

⇒
ED || H
1
H
2
(Vì hai góc đồng vị bằng nhau)
Người thực hiện: Phan Thị Hương-THCS Cao Xuân Huy
7
Sáng kiến kinh nghiệm: Hướng dẫn học sinh tìm hiểu về trực tâm tam giác
Chứng minh tương tự
⇒
EF || H
2
H
3
; FD || H
3
H
4
c)Ta có: C
1
= C
2
(chứng minh ở bài toán 2)
⇒
cung BH
3
= cung BH

1
⇒
BH
3
= BH
1
Mặt khác OH
3
= OH
1
(bán kính đường tròn tâm O)
OB là trung trực của H
1
H
3

⇒
OB
⊥
H
1
H
3
Mà H
1
H
3
|| FD
⇒
BO

⊥
FD
Chứng minh tương tự
⇒
AO
⊥
EF; CO
⊥
ED.
(ở câu c ta đã sử dụng kết quả của câu b để chứng minh. Tuy nhiên nếu bài toán
chỉ ra mình câu này ta có thể chứng minh theo cách khác bằng cách kẻ tiếp tuyến
tại A của đường tròn(O) và chứng minh tiếp tuyến đó song song với EF;…)
d) Hướng dẫn học sinh:
*Tìm quỹ tích điểm H:
-Khi A chuyển động trên cung lớn BC thì H
1
sẽ chuyển động trên đường nào?
(H
1
chuyển động trên cung nhỏ BC)
-Ở bài toán 3: H đối xứng với H
1
qua BC, vậy H sẽ chuyển động trên đường nào?
(H chuyển động trên cung đối xứng với cung nhỏ BC qua BC:
cung chứa góc 180
0
- A dựng trên đoạn thẳng BC,cùng phía với A so với BC)
* Xác định vị trí điểm H để diện tích tam giác BHC đạt giá trị lớn nhất:
Do H chuyển động trên cung chứa góc 180
0

- A dựng trên BC nên lớn nhất
⇔
H là điểm chính giữa cung chứa góc 180
0
- A dựng trên BC
⇔
A là trung điểm cung lớn BC của đường tròn (O)
*Tìm vị trí của điểm A trên cung lớn BC để chu vi tam giác DEF lớn nhất
Do AO
⊥
EF, CO
⊥
ED, BO
⊥
FD
nên S
AEOF
=
2
1
AO.EF
Người thực hiện: Phan Thị Hương-THCS Cao Xuân Huy
8
I
F
E
D
A
B
O

H
C
Sáng kiến kinh nghiệm: Hướng dẫn học sinh tìm hiểu về trực tâm tam giác
S
BEOD
=
2
1
BO.FD
S
CDOE
=
2
1
CO.DE
Vì trường hợp này O ở trong tam giác ABC nên
S
AEOF
+ S
BEOD
+S
CDOE
= S
ABC
⇒
S
ABC
=
2
1

( AO.EF+ BO.FD+ CO.DE )
=
2
1
AO(EF+FD+DE) (vì AO=BO=CO)
Gọi R là bán kính đường tròn tâm O; P là chu vi tam giác DEF
⇒
S
ABC
=
2
1
R.P
⇒
P=
R
S
ABC
2
Vậy P lớn nhất
⇔
S
ABC
lớn

nhất (vì R không đổi)
Mà S
ABC
=
2

1
BC.AD. Vì BC không đổi nên S
ABC
lớn nhất
⇔
AD lớn nhất
⇔
A là điểm chính giữa của cung lớn BC.
4/.Một số bài toán có liên quan đến trực tâm tam giác
Bài 1:
Cho tam giác nhọn ABC.Đường tròn đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại E
vàF; CE và BF cắt nhau tại H. Gọi I là trung điểm của AH. Chứng minh:
a, Tứ giác AEHF là tứ giác nội tiếp.
b, AH
⊥
BC
c, EI và FI là các tiếp tuyến của đường tròn
Hướng dẫn chứng minh:
a)-E, F thuộc đường tròn đường kính BC ta suy ra điều gì?
( BEC = BFC = 90
0
)
-Từ đó chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp như thế nào?
(tổng hai góc đối diện bằng 180
0
)
b)-Hãy xét vai trò của CE và BF trong tam giác ABC?
(CE và BF là các đường cao trong tam giác ABC,
Người thực hiện: Phan Thị Hương-THCS Cao Xuân Huy
9

Sáng kiến kinh nghiệm: Hướng dẫn học sinh tìm hiểu về trực tâm tam giác
mà CE cắt BF tại H nên suy ra H là trực tâm của
tam giác ABC suy ra AH
⊥
BC)
c)-Hướng dẫn:
Để chứng minh EI là tiếp tuyến của đường tròn ta chứng minh góc IEO =90
0
bằng cách chứng minh góc IEH + HEO = 90
0
.Hoặc chứng minh: AIE + BEO = 90
0
C1: Do I là trung điểm của AH nên EI là trung tuyến thuộc cạnh huyền của tam
giác vuông AEH
⇒
EI = IH
⇒
IEH = IHE; mà IHE = CHD (vì đối đỉnh)


⇒
IEH = CHD (1)

` Ta lại có: HEO = HCO (2) vì tam giác EOC cân (do OE và OC là các bán kính
của đường tròn (O)
Mà CHD + HCO = 90
0
(3) vì
∆
CHD vuông tại D (do AH

⊥
BC tại
D)
Từ (1) (2) (3) IEH + HEO = 90
0
. Hay IE
⊥
EO. Hay EI là tiếp tuyến của đường
tròn (O) tại E.
C2: Ta có: BEO = EBO (vì
∆
BOE, cân do BO = EO)
IEA = IAE (vì
∆
AIE cân)

⇒
BEO + IEA = EBO + IAE
Mà EBO + IAE =90
0
(vì
∆
ABD vuông, do AH
⊥
BC )
⇒
BEO + IAE = 90
0
⇒
IEO = 90

0
. Hay EI là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại E.
Chứng minh tương tự ta cũng có FI là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại F.
(Lưu ý: ở bài này có thể ra cho học sinh khá: Cho H là trực tâm của tam giác
ABC; đường tròn đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tạ E và F.
Người thực hiện: Phan Thị Hương-THCS Cao Xuân Huy
10
A'
K
C'
B'
L
I
A
B
H
C
Sáng kiến kinh nghiệm: Hướng dẫn học sinh tìm hiểu về trực tâm tam giác
Chứng minh: B, H, Fthẳng hàng; C, H, E thẳng hàng.
Gọi I là trung điểm của AH. Chứng minh I thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác
EOF
Hoặc gọi I là giao điểm của hai tiếp tuyến của đường tròn tại E và F. Chứng minh
I, H, A thẳng hàng). Phần chứng minh dựa vào chứng minh ở bài toán trên.
Bài 2:
Cho tam giác nhọn ABC,các đường cao AA’, BB’, CC’. Gọi H là trực tâm tam
giác. K là trung điểm của AH và I là giao điểm của B’C’ với AH. Gọi L là điểm
đối xứng với H qua A. Chứng minh:
a, Tứ giác KBLB’ là tứ giác nội tiếp.
b, I là trực tâm tam giác KBC.
Hướng dẫn chứng minh:

a)Tam giác AB’H vuông, K là trung điểm của AH
KB’H = KHB’

Mà KHB’ = LHB (đối đỉnh)

Và LHB = BLH
⇒
BLH = KB’H tứ giácKB’LB là tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh :I LCB’ là tứ giác nội tiếp ( ILC +LCB = 90
0
;mà IB’A +C’B’B =
90
0
và LCB = C’CB = C’B’B;
⇒
ILC = IB’A)
⇒
KBH = ACI
⇒
CI
⊥
BK
Vậy I là trực tâm tam giác KBC
Bài 3:
Cho tam giác nhọn ABC.Vẽ đường tròn tâm (O) đường kính BC.Vẽ AD là đường
cao của tam giác ABC, các tiếp tuyến AM,AN với đường tròn(O). AB cắt đường
tròn (O) tại E (M,N là các tiếp điểm); MN cắt AD tại E; cắt AO tại I.
Người thực hiện: Phan Thị Hương-THCS Cao Xuân Huy
11
F

N
I
M
E
D
A
B
O
C
Sáng kiến kinh nghiệm: Hướng dẫn học sinh tìm hiểu về trực tâm tam giác
a, Chứng minh AE.AD=AF.AB.
b, Chứng E là trực tâm tam giác ABC.
Hướng dẫn chứng minh:
a) Chứng minh
AF.AB = AM
2
(
∆
AMF ~
∆
ABM theo trường hợp:g-g )
AE.AD = AI.AO
(Hai tam giác vuông AIE và ADO đồng dạng )

⇒
AI.AO = AM
2
( Hệ thức lượng trong tam giác vuông AMO )
⇒
AE.AD = AF.AB.

b) Từ câu a)
⇒

∆
AEF ~
∆
ADB (c-g-c )
⇒
AFE = ADB. Mà ADB = 90
0

⇒
AFE = 90
0
.
Hay EF
⊥
AB. Mặt khác CF
⊥
AB
⇒
C, E, F thẳng hàng
Xét
∆
ABC: CF và AD là các đường cao cắt nhau tại E
⇒
E là trực tâm của
∆
ABC.
Bài 3:(Bài đảo của bài 2)

Cho tam giác nhọn ABC, H là trực tâm. Từ A vẽ các tiếp tuyến AM, AN với
đường tròn (O) đường kính BC.( M, N là các tiếp điểm). Chứng minh H, M, N
thẳng hàng.
Hướng dẫn chứng minh:
Từ bài 2
⇒
nếu MN cắt AD tại H’ thì H’ là trực tâm tam giác ABC
⇒
H
≡
H’
⇒
H, M, N thẳng hàng.
Bài 4:
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm (O;R); 3 đường cao AD,
BE, CF cắt nhau tại H, đường kính qua A cắt đường tròn (O) tại M.
a, Chứng minh HM đi qua trung điểm I của BC.
b, Chứng minh AH=2OI.
c, Cho BC= R
3
.Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF
Hướng dẫn chứng minh:
a) Chứng minh BHCM là hình bình hành
Người thực hiện: Phan Thị Hương-THCS Cao Xuân Huy
12
Sáng kiến kinh nghiệm: Hướng dẫn học sinh tìm hiểu về trực tâm tam giác
( Hai cặp cạnh đối song song:
BH, MC cùng
⊥
AC; CH, MB cùng

⊥
AB)
⇒
I là trung điểm của BC đồng thời cũng là trung
điểm của HM. Hay HM đi qua trung điểm I của BC.
b)Từ câu a) OI là đường trung bình của
∆
AMH
⇒
AH=2OI
c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF là đường
tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF
Mà tứ giác AEHF là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AH
⇒
ta cần tính AH.
Theo câu b)AH = 2OI
⇒
ta cần tính OI.
Xét tam giác vuông BOI ta sẽ tính được OI theo định lý Pitago
(với BO=R; BI=
2
1
BC=
2
1
R
3
)
Bài 5: Cho tam giác ABC với trực tâm H (H
≠

A,B,C) và
M là trung điểm của BC. Đường thẳng đi qua H vuông góc
với HM cắt đường thẳng AB ở E và cắt đường thẳng AC ở
F. Chứng minh tam giác MEF cân.
Hướng dẫn chứng minh:
Kẻ đường kính AD của đường tròn ngoại tiếp tam
giácABC
-Chứng minh BHCD là hình bình hành
⇒
H, M, D thẳng hàng
-Chứng minh
∆
EDF cân (HFD = HBD; HED= HCD;
mà HBD = HCD:do HBDC là hình bình hành HFD = HED
⇒
DH là đường cao vừa là trung trực của
∆
MEF, mà M thuộc HD nên ME = MF.
Hay
∆
MEF là tam giác cân. (Đpcm)
Bài 6:
Gọi H là trực tâm tam giác ABC. Một đường thẳng qua trực tâm H cắt AB, AC tại
P và Q sao cho HP= HQ. Chứng minh đường thẳng vuông góc với PQ kẻ từ H luôn
luôn đi qua trung điểm của BC.
Người thực hiện: Phan Thị Hương-THCS Cao Xuân Huy
13
Sáng kiến kinh nghiệm: Hướng dẫn học sinh tìm hiểu về trực tâm tam giác
Hướng dẫn chứng minh:
C1: Dựa vào bài 5 để chứng minh

C2:Lấy I
∈
BC (BI = IC )
Kẻ PQ
⊥
HI tại H. Ta chứng minh HP = HQ.
Trên tia BH lấy C’sao cho H là trung điểm của BC’
⇒
HI là đường trung bình của
∆
BCC’
HI || CC’
Mà HI
⊥
PQ

⇒
CC’
⊥
PQ hay HQ
⊥
CC’ (1)
Mà C’H
⊥
CD (2) ( do BH
⊥
AC )
Từ (1) và (2)
⇒
Q là trực tâm

∆
CC’H
⇒
C’Q
⊥
CH
Mà CH
⊥
AB
⇒
C’Q || AB
∆
HC’Q =
∆
HBP (g-c-g)
⇒
HP=HQ
Bài 7:
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Hai đường cao BB’ và CC’ của
tam giác cắt nhau tại H (B’
∈
AC; C’
∈
AB ). Chứng minh:
a, B’C’
⊥
OA.
b, HA+ HB + HC <
3
2

(AB + BC + AC )
Hướng dẫn chứng minh:
a) Qua A kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn;
Để chứng minh B’C’
⊥
OA
ta sẽ chứng minh Ax || B’C’:
Do tứ giác BCC’B’là tứ giác nội tiếp nên AC’B’=ACB
Mà ACB = BAx ( =sđ cung nhỏ AB )

⇒
BAx = AC’B’
⇒
Ax || B’C’
Mà Ax
⊥
AO ( do Ax là tiếp tuyến của đường tròn (O) )
Người thực hiện: Phan Thị Hương-THCS Cao Xuân Huy
14
Sáng kiến kinh nghiệm: Hướng dẫn học sinh tìm hiểu về trực tâm tam giác
⇒
B’C’
⊥
AO
b) Qua H kẻ HE || AB: HF || AC (E
∈
AC; F
∈
AB )
⇒

HB
⊥
HF
HB < BF
HC < CE
HA < AE + FA
⇒
HA + HB + HC < AF + BF + CE + AE
⇒
HA + HB + HC < AB + AC (1)
Tương tự ta có:
HA + HB + HC < BC + AC (2)
HA + HB + HC < AB + BC (3)
Cộng từng vế (1) (2) (3) ta có 3( HA + HB + HC ) < 2( AB + BC + AC )
Hay: HA + HB + HC <
3
2
( AB + BC + AC ) (Đpcm)
Bài 8: Cho tam giác ABC, kẻ các đường cao AA’, BB’, CC’. Gọi H là trực tâm
của tam giác.
Chứng minh hệ thức:
1
'
'
'
'
'
'
=++
CC

HC
BB
HB
AA
HA
Hướng dẫn chứng minh:
S
ABC
=
2
1
AA’.BC =
2
1
BB’.AC =
2
1
CC’.AB
S
HBC
=
2
1
HA’.BC ; S
HAC
=
2
1
HB’.AC; S
HAB

=
2
1
HC’.AB
ABC
HBC
S
S
AA
HA
=
'
'
;
ABC
HAC
S
S
BB
HB
=
'
'
;
ABC
HAB
S
S
CC
HC

=
'
'
1
'
'
'
'
'
'
==
++
=++
ABC
ABC
ABC
HABHACHBC
S
S
S
SSS
CC
HC
BB
HB
AA
HA
(đpcm)
Bài 9: Cho tam giác nhọn ABC, kẻ các đường cao AA’, BB’, CC’. Gọi H là trực
tâm của tam giác.

Chứng minh:
9
'
'
'
'
'
'
≥++
HC
CC
HB
BB
HA
AA
Hướng dẫn chứng minh:
Người thực hiện: Phan Thị Hương-THCS Cao Xuân Huy
15
Sáng kiến kinh nghiệm: Hướng dẫn học sinh tìm hiểu về trực tâm tam giác
Ta có:
1
'
'
'
'
'
'
=++
CC
HC

BB
HB
AA
HA
( Bài 8 )
.(1
'
'
'
'
'
'
=++
HC
CC
HB
BB
HA
AA
'
'
'
'
'
'
HC
CC
HB
BB
HA

AA
++
)
=(
'
'
'
'
'
'
CC
HC
BB
HB
AA
HA
++
).(
'
'
'
'
'
'
HC
CC
HB
BB
HA
AA

++
)
Đặt
a
AA
HA
=
'
'
;
b
BB
HB
=
''
'
;
c
CC
HC
=
'
'
.Ta có:
'
'
'
'
'
'

HC
CC
HB
BB
HA
AA
++
= ( a+b+c).(
cba
111
++
) = 3 +
b
c
c
b
a
c
c
a
a
b
b
a
+++++
≥
3 + 2 + 2 +2 = 9
( vì
2≥+
a

b
b
a
;
2≥+
a
c
c
a
;
2≥+
b
c
c
b
: theo bất đẳng thức Cô-si )
Hay:
9
'
'
'
'
'
'
≥++
HC
CC
HB
BB
HA

AA
.
Dấu “=” xẩy ra
⇔
a=b=c

⇔
=
'
'
AA
HA

=
'
'
BB
HB

'
'
CC
HB
=
3
1
(vì
1
'
'

'
'
'
'
=++
CC
HC
BB
HB
AA
HA
) ( Đpcm )
Bài 10: ( đường thẳng Euler trong tam giác )
Chứng minh rằng trong một tam giác thì trọng tâm,
trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp là 3 điểm thẳng hàng.
Hướng dẫn chứng minh:
C1:-Chứng minh :
∆
MON ~
∆
AHB (do N
1
= B
1
; M
1
= A
1
)

⇒

=
HA
OM
=
AB
MN
2
1
mà
=
AB
MN
GA
GM
=
2
1

⇒
=
HA
OM
GA
GM
Nối G với H; G với O
-Chứng minh:
∆
AGH ~

∆
MOG ( do A
2
= M
2
;

=
HA
OM
GA
GM
)
⇒
G
1
= G
2
⇒
3 điểm G, H, O thẳng hàng. (Đpcm)
Người thực hiện: Phan Thị Hương-THCS Cao Xuân Huy
16
Sáng kiến kinh nghiệm: Hướng dẫn học sinh tìm hiểu về trực tâm tam giác
C2: Kẻ đường kính BK
⇒
CK
⊥
BC ; AH
⊥
BC

AK
⊥
AB; CH
⊥
AB
⇒
AK // CH
⇒
AHCK là hình bình hành
⇒
AH = CK
OI =
2
1
CK
⇒
OI =
2
1
AH
∆
AHG ~
∆
IOG (c.g.c)
⇒
chứng minh tiếp như C1
C3: Giả sử trung tuyến AM cắt HO tại G,
ta chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC.
Gọi Q,N,P lần lượt là các trung điểm của BH, AH, AG.
⇒

∆
NHQ =
∆
MKO (c.g.c)
⇒
NH=OM
Mà NH=AN
⇒
NA= OM
∆
ANP=
∆
MOG
⇒
GM=AP
mà AP = PQ
⇒
GM = AP = PG hay AG =
3
1
AM
⇒
G là trọng tâm ABC
Bài 11:
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn với trực tâm H. Dựng hình bình hành BHCD và
gọi I là giao điểm của 2 đường chéo.
a, Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp được.
b, So sánh BAH và OAC, trong đó O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC.
c, AI cắt OH tại G. Chứng minh G là trọng tâm tam giác ABC.

Hướng dẫn chứng minh:
a) Chứng minh tổng 2 góc đối diện =180
0
:
Do tứ giác AFHE nội tiếp FAE + FHE =180
0
(1)
Người thực hiện: Phan Thị Hương-THCS Cao Xuân Huy
17
Sáng kiến kinh nghiệm: Hướng dẫn học sinh tìm hiểu về trực tâm tam giác
Mà FHE = BHC (đối đỉnh)

BHC = BDC (hai góc đối của hình bình hành)
⇒
FHE = BDC (2)
Từ (1) và (2) ta có FAE + BDC =180
0

Hay BAC + BDC = 180
0
⇒
Tứ giác ABDC nội tiếp
b) Chứng minh BAH và OAC cùng bằng CBD
c) Chứng minh G là trọng tâm của
∆
AHD (HO và AI là các tiếp tuyến )
⇒
AG =
3
2

AI
⇒
G cũng là trọng tâm của
∆
ABC (Đpcm)
C.KẾT QUẢ SAU KHI ÁP DUNG:
-Qua những năm dạy toán lớp 9, tôi đã cho học sinh tìm hiểu về trực tâm tam giác
và các bài toán có liên quan đến trực tâm tam giác thông qua các bài toán trên; các
em đã nhận thấy rằng không những trọng tâm, giao điểm 3 trung trực, giaođiểm 3
phân giác của tam giác có tính chất đặc biệt mà trực tâm của tam giác cũng có
những tính chất rất đặc biệt mà SGK chưa nêu thành tính chất cụ thể.
- Việc dạy nội dung trên cho học sinh đã giúp các em hệ thống và nắm được các
bài toán liên quan đến trực tâm tam giác, đây là những bài toán rất hay gặp trong
chương trình hình học lớp9 và cũng rất hay gặp trong các kỳ thi tốt nghiệp, thi vào
THPT,thi học sinh giỏi.Vì vậy trong các kỳ thi đó, học sinh của tôi đã biết làm
được các bài toán về trực tâm tam giác.
Người thực hiện: Phan Thị Hương-THCS Cao Xuân Huy
18
Sáng kiến kinh nghiệm: Hướng dẫn học sinh tìm hiểu về trực tâm tam giác
-Cách xây dựng hệ thống các bài toán trên đã gây hứng thú cho học sinh trong học
toán, tạo cho học sinh niềm say mê học tập và học sinh thấy rằng nếu chịu khó tìm
hiểu khám phá một vấn đề nào đó thì sẽ tìm được những điều rất thú vị trong toán
học cũng như trong cuộc sống.
D.BÀI HỌC KINH NGHIỆM:
-Các bài toán trên chỉ xét trường hợp tam giác ABC có 3 góc nhọn. Đối với mỗi
bài sau khi giải xong GV nên cho học sinh tìm hiểu xem các trường hợp tam giác
có 1 góc tù, hoặc tam giác vuông thì bài toán có còn đúng không.(có những bài
chỉđúng trong trường hợp tam giác có 3 góc nhọn )
-Qua mỗi bài toán nên cho học sinh tìm hiểu xem trực tâm tam giác trong bài đó có
tính chất gì, để học sinh có thể nắm vững được nội dung bài toán đó hơn.

*Trên đây là nhữngbài toán mà tôi đã hệ thống lại qua nhiều năm để dạy cho học
sinh về vấn đề trực tâm tam giác, có thể chưa được đầy đủ, chưa hay, tôi mong các
đồng nghiệp đọc tham khảo và góp ý thêm để hệ thống bài tập trên được hoàn
thiện hơn.Tôi xin chân thành cảm ơn!
Diễn Châu, ngày 15 tháng 5 năm 2007
Người viết:
PHAN THỊ HƯƠNG
Người thực hiện: Phan Thị Hương-THCS Cao Xuân Huy
19