SKKN một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của bất đẳng thức_Toán THCS


A: ĐẶT VẤN ĐỀ


!"##$ %% &'%
 () *+%% &%",-'
,./%)0% &#)- *+
#*/##% &1
2#*/## (% &#)3
4506%78!9#*/###5+#1:6%
% &(#!9 *+#*/##)
;%#)#<+##*/##+#.1
=% & *+>!9!"
%)%,>#*/%#*/,#*/ 4
%,?@A0%(111 *+78!9
>#"111B>C7DE#)- *+
'E/%)% &1
E)!"CF*GH2I74#3
)%% &%
% &*G)JK#*/##
 ?7L ? *+*@)%1:4
>07H2I"E)3*!C*
<! 7$$%E>!9E
)!"%>#1
!0 L *+>#@,7<#*/
##C *+78!9% &*M!5 ?N
%E O*/ */!5% & P%E#*/###)
1111117<%>#>!9Q$#7%@$$
4#%C>!9% &$#7
( ?*@ *+#*/##$/
% &%1

R
S ((một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng
củabất đẳng thức ))<$#77<#*/
##% & T! UC
A'"E *+7#T0
C (  *+,/LV)/
W
B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
PHẦN I: ĐIỀU TRATHỰC TRẠNG TRƯỚC KHI NGHIÊN CỨU
X)!"C@#4#7<%>#% &C7
$$,%>#C ?*@ 4
%,7F %
,,(%>#! C

*@ C,DE#)*@!J77<
#*/##% &!90% &
,DE7 ($#7E%
& ,7%>#% &
PHẦN II: CÁC PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Y*/## 
Y*/## <
Y*/##,
PHẦN III: NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI
I : CÁC KIẾN THỨC CẦN LƯU Ý
1, Định nghĩa bất đẳng thức
ZA/%.,[%
Z@/%.,\%
ZA/4%Q%.,[%
Z@/4%Q%.,\%
2, Một số tính chất cơ bản của bất dẳng thức :

.]M\%[^\%[
%._M\%%\^\\
I<*+7`(A`(`(%`(CE`(
abccdR]bR
e
.bM\%[^\Z\%Z
H,)M\%[^\f\%f
Z\%[^\\%f
!.gM\%\!^\Z\%Z!
\%[!^\f\%f!
K.dM\%\c^\\%!
\%[c^\[%!
h.RM\%\ci\!\c^\\%!
.WM\%\c^\

\%

\%[^\

\%

@j1
.eM\%i%\c^\
3, Một số bất đẳng thức thông dụngM
= &27M
B@_7<!*/%M 
ab
ba
≥
+

_

k &L)CM^%
%= &=#LM
B@7<i%iLiCMlLZ%Cm
_

≤
l
_
Z%
_
mlL
_
ZC
_
m
k &L)C[^\
y
b
x
a
=

= &?C, <M

baba +≥+
k &L)CM%
≥
c

II : MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG
THỨC
1.Phương pháp 1 : Dùng định nghĩa
fXEM`(n\=La,nf=o
nf=\c1
fp*TMn
_

≥
c@ni!qq^qqL)Cn^c1
r
fB.!9M
Bài 1.1 :
B@7<MLCsQML
_
ZC
_
Zs
_
Zb
≥
_lLZCZsm
Giải :
La,MH^L
_
ZC
_
Zs
_
Zbf_lLZCZsm

^L
_
ZC
_
Zs
_
Zbf_Lf_Cf_s
^lL
_
f_LZ]mZlC
_
f_CZ]mZls
_
f_sZ]m
^lLf]m
_
ZlCf]m
_
Zlsf]m
_
klLf]m
_

≥
c@L
lCf]m
_

≥
c@C

lsf]m
_

≥
c@s
 ^\H
≥
c@LCs
HCL
_
ZC
_
Zs
_
Zb
≥
_lLZCZsm@LCs1
k%QL)C[^\L^C^s^]1
Bài 1.2M
2%!K7<M
2QM
_
Z%
_
Z
_
Z!
_
ZK
_


≥
l%ZZ!ZKm
Giải :
ta,MH^
_
Z%
_
Z
_
Z!
_
ZK
_
fl%ZZ!ZKm
^l
b
a
−
_
m
_
Zl
c
a
−
_
m
_
Zl

d
a
−
_
m
_
Zl
e
a
−
_
m
_
kl
b
a
−
_
m
_

≥
c@%
kl
c
a
−
_
m
_


≥
c@
kl
d
a
−
_
m
_

≥
c@!
kl
e
a
−
_
m
_
≥
c@K
^\H
≥
c@%!K
kqq^qqL)C[^\%^^!^K^
_
a
Bài 1.3 :2% &M


_
__
__






+
≥
+ baba
]c
Giải :
ta,MH^
_
__
__






+
−
+ baba
^
g
m_lml_

____
bababa ++−+
^
cml
g
]
m___l
g
]
_____
≥−=−−−+ baabbaba
1B@%1
kqq^qqL)C^%1
2. Phương pháp 2 ; Dùng phép biến đổi tương đương .
fXEM=E O% &D*/ */@
% & $4% & P *+ $1
f:7<% &*G!5M
lnZ=m
_
^n
_
Z_n=Z=
_
lnf=m
_
^n
_
f_n=Z=
_
lnZ=Z2m

_
^n
_
Z=
_
Z2
_
Z_n=Z_n2Z_=2
lnZ=m
b
^n
b
Zbn
_
=Zbn=
_
Z=
b
lnf=m
b
^n
b
fbn
_
=Zbn=
_
f=
b
uuuuuuuuuuu1
B.!9M

Bài 2. 1M2%7<!*/O%Q]12QM

b
g
]
]
]
]
≥
+
+
+ ba
Giải:
k5#a#%E O*/ */i
blZ]Z%Z]m
≥
glZ]ml%Z]m
r
≥
gl%ZZ%Z]mlZ%^]m
r
≥
g%Ze]
≥
g%lZ%m
_

≥
g%
 = &< $1IC #)1

Bài 2. 2M2%7<!*/)PMZ%Z^g
2QMlZ%ml%ZmlZm
≥

b
%
b

b

Giải:
 vMlZ%m
_

≥
g%lZ%Zm
_
^
[ ]
cbacba mlgml
_
+≥++
^\]R
≥
glZ%m^\]RlZ%m
≥
glZ%m
_

≥

]R%
^\Z%
≥
%
]]
*/M%Z
≥
%
Z
≥
%
^\lZ%ml%ZmlZm
≥

b
%
b

b

Bài 2.3M2% &M

b
bb
__







+
≥
+ baba
i \ci%\c
Giải :
k5#a#%E O*/ */MB@\ci%\c^\Z%\c

b
bb
__






+
≥
+ baba








+
≥+−







+
_
m1l
_
__
ba
baba
ba
1
_
_






+ ba

_
f%Z%
_

≥


_
_






+ ba
g
_
fg%Zg%
_

≥

_
Z_%Z%
_

b
_
fR%Zb%
_

≥
bl
_
f_%Z%

_
m
≥
c
= &<5 $i7CM
b
bb
__






+
≥
+ baba
Bài 2.4:
2_7<%)PZ%^]12:w
b
Z%
b
Z%
≥

_
]
Giải :
M
b

Z%
b
Z%
≥

_
]
[^\
b
Z%
b
Z%f
_
]

≥
c
[^\lZ%ml
_
f%Z%
_
mZ%f
_
]

≥
c
[^\
_
Z%

_
f
_
]
≥
c1BZ%^]
[^\_
_
Z_%
_
f]
≥
c
[^\_
_
Z_l]fm
_
f]
≥
cl%^f]m
[^\g
_
fgZ]
≥
c
[^\l_f]m
_

≥
c

= &<5 $1B>C
b
Z%
b
Z%
≥

_
]
kqq^qqL)C^%^
_
]
]_
Bài 2.5 :2% &M
b
bb
__






+
≥
+ baba

 M\c%\c1
Giải :
B@\c%\c^\Z%\c

M
b
bb
__






+
≥
+ baba
[^\
( )
_
__
__
1
_






+







+
≥+−






+ baba
baba
ba
[^\
_
__
_






+
≥+−
ba
baba
[^\g
_

fg%Zg%
_

≥

_
Z_%Z%
_

[^\bl
_
f_%Z%
_
m
≥
c
[^\blf%m
_

≥
c1= &C $
^\
b
bb
__







+
≥
+ baba
kqq^qqL)C^%1
Bài 2.6MB@\c%\c12% &M

a
b
a
−

≥

a
b
b −
Giải :
k5#a#%E O*/ */M

a
b
a
−

≥

a
b
b −

l
mlm baabbbaa +−+
≥
c

[ ]
cmlmlml
bb
≥+−+ baabba

cmlmmll ≥+−+−+ baabbababa

cm_mll ≥+−+ bababa

cmmll ≥−+ baba
= &< $i7CM
a
b
a
−

≥

a
b
b −

3. Phương pháp 3: dùng bất đẳng thức quen thuộc .
]b
f  XE    M  k5    %  &    K    *  M  27  

=#L% &!?C, < (%E O

:7<,)v% &ML
_
ZC
_

≥
_LC
B@%\c
_≥+
a
b
b
a
2.!9M
Bài 3.1Mx)78%7<!*/QM

_>
+
+
+
+
+ ba
c
ac
b
cb
a


Giải
#!9=`2CM
Zl%Zm
ml_ cba +≥

cba
a
cb
a
++
≥
+
_
*/ *+M

cba
b
ac
b
++
≥
+
_

cba
c
ba
c
++
≥

+
_
k%Q0%=`( oGL)C M
^%Z%^Z^Z%Z%Z^cl@)E% 
7<!*/m1
v 7CM
_>
+
+
+
+
+ ba
c
ac
b
cb
a
Bài 3.2:
2LC_7<)PM

L
_
ZC
_
^
__
]] xyyx −+−
 2QMbLZgC
≤
d

Giải :
y#!9% &=#LM
lL
_
ZC
_
m
_
^l
__
]] xyyx −+−
m
_
l
]≤x
i
]≤y
m

≤
lL
_
ZC
_
ml]fC
_
Z]fL
_
m
^\L

_
ZC
_

≤
]
"MlbLZgCm
_

≤
lb
_
Zg
_
mlL
_
ZC
_
m
≤
_d
^\bLZgC
≤
d
]g
`&L)C








=
>>
=+
gb
cc
]
__
yx
yx
yx






=
=
d
g
d
b
y
x
`,M
_
d

_
b
≤≤ x
Bài 3. 3:2%
≥
ciZ%Z^]12QM

R≤+++++ accbba
%
db]]] <+++++ cba
Giải
y#!9%!&=#L@_%b7<M
( )
( )
( ) ( ) ( )






+++++++≤+++++
___
]]]]1]1]1 accbbaaccbba
^\
( )
Rm__1lb
_
=++≤+++++ acbaaccbba
^\

R≤+++++ accbba
1
kqq^qqL)CM^%^^
b
]
%y#!9% &27M

]
__
]m]l
] +=
++
≤+
aa
a
*/M
]
_
] +≤+
b
b
i
]
_
] +≤+
c
c
2vE0b% & *+M

dbb

_
]]] =+
++
≤+++++
cba
cba
k &L)C^%^^c@)EMZ%Z^ ]
B>CM
db]]] <+++++ cba
Bài 3.4M27<!*/%)PMZ%Z^]1
2QM
r
]]]
≥++
cba
Giải :
M
c>+
a
b
b
a
%\c
M
=++
cba
]]]
m
]]]
l

cba
++
1]^
m
]]]
l
cba
++
1lZ%Zm
^
]]] ++++++++
b
c
a
c
c
b
a
b
c
a
b
a
]d
^
≥++++++ mlmlmlb
c
a
a
c

b
c
c
b
a
b
b
a
bZ_Z_Z_^r
^\
r
]]]
≥++
cba
kqq^qqL)CM^%^^
b
]
Bài 3.5
2LC\c12QM
yxyx +
≥+
g]]


Giải
y#!9% &27M
xyyx _≥+


yx

]]
+

≥

xy
_
^\lLZCml
yx
]]
+
m
≥
g
^\
yx
]]
+

≥

yx +
g
4. Phương pháp 4 ; Dùng các tính chất của bất đẳng thức :
fXEMk5. P *+ (>!9)
%>#1
2.!9M
Bài 4.1 :2_7<LC)P ,MLZC^_1
2QML
g

ZC
g

≥
_
Giải
K.%-DMlL
_
fC
_
m
≥
cL
g
ZC
g

≥
_L
_
C
_
_lL
g
ZC
g
m
≥
lL
_

ZC
_
m
_
l]m
MlLfCm
_

≥
cL
_
ZC
_

≥
_LC
_lL
_
ZC
_
m
≥
lLZCm
_
_lL
_
ZC
_
m
≥

gBMLZC^_
L
_
ZC
_

≥
_l_m
vl]ml_mML
g
ZC
g

≥
_
kqq^qqL)CL^C^]1
Bài 4.2:
]R
2c[%![]12QM
l]fml]f%ml]fml]f!m\]ff%ff!1
Giải :
Ml]fml]f%m^]ff%Z%
k%\c%\c^\l]fml]f%m\]ff%1
k[]]f\c^\l]fml]f%ml]fm\l]ff%ml]fm
l]fml]f%ml]fm\]ff%fZZ%1
k%!\c]f!\ciZ%\ci!Z%!Z!\c
^\l]fml]f%ml]fm\]ff%f
^\l]fml]f%ml]fml]f!m\l]ff%fml]f!m
^\l]fml]f%ml]fml]f!m\]ff%ff!Z!Z%!Z!
^\l]fml]f%ml]fml]f!m\]ff%ff!1

Bài 4.3 :2c[%[]12QM
_
b
Z_%
b
Z_
b
[bZ
_
%Z%
_
Z
_

Giải :
k%[]^\
b
[
_
[[]i%
b
[%
_
[%[]iM
l]f
_
ml]f%m\c^\]Z
_
%\
_

Z%
^\]Z
_
%\
b
Z%
b
C
b
Z%
b
[]Z
_
%1
*/M%
b
Z
b
[]Z%
_
i
b
Z
b
[]Z
_
1
^\_
b
Z_%

b
Z_
b
[bZ
_
%Z%
_
Z
_

5.phương pháp 5 : Dùng bất đẳng thức tổng quát chứa luỹ thừa các số tự
nhiên
Bài 5.1: 2\%\c2:wM

]rrR ]rrR
]rrR ]rrR
a b
a b
−
+
\
]rrd ]rrd
]rrd ]rrd
a b
a b
−
+
x)M
`(% &% &
7E\%\c7<\

m m n n
m m n n
a b a b
a b a b
− −
>
+ +
l]m
>>C!5#a#%E O*/ */ (
l]m
⇔
_ _
m m m n n n
m m n n
a b b a b b
a b a b
+ − + −
>
+ +

⇔
]f
_ _ _ _
]
m n m n
m m n n m m n n
b b b b
a b a b a b a b
> − ⇔ − > −
+ + + +

]W
m n
m n
m n
m m n n
m m n n
m m n n
b b
b b
b b
a b a b
a b a b
b b b b
⇔ < ⇔ <
+ +
+ +
] ]
] ]
m n
m n
a a
b b
⇔ <
+ +
] ]
m n
m n
a a
b b
⇔ + > +

l m l m
m n
m n
m n
a a a a
b b b b
⇔ > ⇔ >
l_m
= &l_m $\%\c
]
a
b
>
\>C% &
l]m $
y#!9% &
m m n n
m m n n
a b a b
a b a b
− −
>
+ +
<\%\c\
^]rrR  ^]rrd     %  &    #)z        $
]rrR ]rrR
]rrR ]rrR
a b
a b
−

+
\
]rrd ]rrd
]rrd ]rrd
a b
a b
−
+
6. phương pháp 6: Dùng bất đẳng thức về 3 cạnh của tam giác
% !%"0
⇔
[%Zl]m
%[Zl_m
[Z%lbm
vb% &O%"07C *+b% &
,"
[%Zl]m
a b c⇒ − <
lgm
%[Zl_m
b c a⇒ − <
ldm
[Z%lbm
c a b⇒ − <
lRm
Bài 6.1M
2n=2_#^Z%Zl% !"0 
m12QM

_

]]]
≥
−
+
−
+
− cpbpap
m
]]]
l
cba
++
x)M
M#f^
c
_
>
−+ acb
*/M#f%\ci#f\ci
#!9E)%>#l3.5) *+i
cbpapbpap
g
mlml
g]]
=
−+−
≥
−
+
−

*/M
acpbp
g]]
≥
−
+
−
]e

bcpap
g]]
≥
−
+
−
^\
m
]]]
lgm
]]]
l_
cbacpcpap
++≥
−
+
−
+
−
^\ #)1
kqq^qqL)CM#f^#f%^#f^%^1

X n=2 1
Bài 6.2M
2% !%"02:wM
lZ%fml%ZfmlZf%m
≤
%
Giải:
= &%"0E

_ _ _
c l mb c a a b c a− < ⇒ < − − ≤

_ _ _
c l mc a b b c a b− < ⇒ < − − ≤

_ _ _
c l ma b c c a b c− < ⇒ < − − ≤
v 
_ _ _ _ _ _ _ _ _
l m l m l ma b c b c a c a b a b c− − − − − − ≤

⇔
lZ%fmlf%Zml%fZml%ZfmlfZ%mlZf%m
_ _ _
a b c≤
⇔
lZ%fm
_
l%Zfm
_

lZf%m
_
_ _ _
a b c≤
⇔
lZ%fml%ZfmlZf%m
≤
%
B%%"0
Z%f\c
%Zf\c
Zf%\c%\c
B>C% &!J *+
7. Phương pháp 7 : Chứng minh phản chứng .
fXEMx)78#)% &  $
PC)78%!& 77 >!9E P%E)
E0 % (7C T1
`T(@)E4' *+
v 7C &D $1
:7<% &M
Zk5,  )
ZY0 ?o7C @)E1
]r
ZY0 ?o7C@ z $1
ZY0 ?o7C zz*+1
ZY0 ?o7CE>1
2.!9M
Bài 7. 1 :
2c[%![]12Qi.% &7
7M_l]f%m\]

b%l]fm\_
el]f!m\]
b_!l]fm\b
Giải:
x)78*+")%< &  $1{Vvi
M_1b1e1b_l]f%m%l]fml]f!m!l]fm\_1b
 ^\
[ ][ ][ ][ ]
_dR
]
m]lm]lm]lm]l >−−−− ddccbbaa
l]m
:4#!9% &27M

_
]
_
]
m]l =
−+
≤−
aa
aa
^\l]fm
≤

g
]
*/M%l]f%m
≤


g
]
l]fm
≤

g
]
!l]f!m
≤

g
]
{Vv% &iM

[ ][ ][ ][ ]
_dR
]
m]lm]lm]lm]l >−−−− ddccbbaa
l_m
vl]ml_m7CT1
`T A.g% & D%
71
Bài 7.2 :
lY0 ?o7C *+m
2Qb7<!*/%)P)%% &
7M
_
]
<+

b
a
i
_
]
<+
c
b
i
_
]
<+
a
c
_c
Giải
x)78o"b7<!*/%)P)b% &M

_
]
<+
b
a
i
_
]
<+
c
b
i

_
]
<+
a
c
2KvE0b% & *+M

R
]]]
<+++++
a
c
c
b
b
a

Rm
]
lm
]
lm
]
l <+++++
c
c
b
b
a
a

l]m
B%\cM
_m
]
l ≥+
a
a
i
_m
]
l ≥+
b
b
i
_m
]
l ≥+
c
c
^\
Rm
]
lm
]
lm
]
l ≥+++++
c
c
b

b
a
a
`CVJ@l]m
B>Co"b7<!*/%)P)b% &
1^\ #
Bài 7.3 :
2Q7<!*/%)P)b% &
7M
 gl]f%m\]ig%l]fm\]igl]fm\]1
Hướng dẫn :*/*%_M
Bài 7.4M
lY0 ?o7C@  $m
 2
b
Z%
b
^_12QMZ%
≤
_1
Giải :
x)78MZ%\_^\lZ%m
b
\e
^\
b
Z%
b
Zb%lZ%m\e
^\_Zb%lZ%m\elBM

b
Z%
b
^_m
^\%lZ%m\_
^\%lZ%m\
b
Z%
b
lBM
b
Z%
b
^_m
2)E7<!*/% *+M
%\
_
f%Z%
_
^\c\lf%m
_
BT
B>CMZ%
≤
_
8. Phương pháp 8 : Đổi biến số
_]
fXEM,#*/## O%E7<Q *% P
!" /)//!"'% P%E)111
2.!9M

Bài 8. 1M
2QM{E%\cM

_
b
≥
+
+
+
+
+ ab
c
ac
b
cb
a
Giải:
`4M%Z^LZ^CZ%^s
^\Z%Z^
_
zyx ++
^\^
_
xzy −+
%^
_
yxz −+
^
_
zyx −+

X M
B^
ab
c
ac
b
cb
a
+
+
+
+
+
^
z
zyx
y
yxz
x
xzy
___
−+
+
−+
+
−+
^
_
b
_

b
]]]
_
b
ml
_
]
ml
_
]
ml
_
]
=−++≥−+++++
z
y
y
z
z
x
x
z
y
x
x
y
Bài 8.2M
2Qi@7<LC% &M
 f
g

]
m]lm]l
m]mll
g
]
____
____
≤
++
−
≤
yx
yxyx
GiảiM
`4M^
m]ml]l
__
__
yx
yx
++
−
%^
m]ml]l
]
__
__
yx
yx
++

−
^\%^
____
____
m]lm]l
m]mll
yx
yxyx
++
−−
!|C@%Mf
__
ml
g
]
ml
g
]
baabba +≤≤−
 :Mlf%m
_
^
_
_
]
_
]







+
−
x
lZ%m
_
^
_
_
]
_
]






+
−
y
ICMf
g
]

≤
%
≤


g
]
1
Bài 8.3M
2%\ciZ%Z
≤
]12QM
__

r
_
]
_
]
_
]
___
≥
+
+
+
+
+ abccabbca
GiảiM
`4M
_
Z_%^Li%
_
Z_^Ci

_
Z_%^s
X MLZCZs^
_
Z_%Z%
_
Z_Z
_
Z_%
^lZ%Zm
_

≤
]
=FM2LCs\cLZCZs
≤
]1
2QM

r
]]]
≥++
zyx
  *+MlLZCZsml
rm
]]]
≥++
zyx
K% &27
:MLZCZs

≤
]7C
r
]]]
≥++
zyx
1
9.Phương pháp 9: Dùng phép quy nạp toán học .
fXEM`(% & $@\]%Q
#*/##C"#EM
ZX(% & $@^]l^
c
m
Zx)78% & $@^\]l\
c
m
Z2% & $@^Z]
ZXE>% & $@\]l\
c
m
fB.!9M
Bài 9.1 :
2Q@7<C!*/
≥
b
_

\_Z]l}m
Giải :
ZB@^bM_


^_
b
^ei_Z]^_1bZ]^Wie\W1B>C &
l}m $@^b1
Zx)78l}m $@^l
∈
{i
≥
bmM_

\_Z]
#)M_
Z]
\_lZ]mZ]
CM_
Z]
\_Zbl}}m
Z>>CM_
Z]
^_1_

_

\_Z]lK)EC"#m
_b
! M_
Z]
\_l_Z]m^l_ZbmZl_f]m\_ZblBM_f]\cm
B>Cl}}m $@

≥
b1
ZXE>M_

\_Z]@7<C!*/
≥
b1
Bài 9.2M1
2QM

_
]
1
g
b
1
R
d
111
n
n
_
]_ −
≤

]b
]
+n
l}ml7<C!*/m
 GiảiM

ZB@^]MB^BY^
_
]
1B>Cl}m $@^]1
Zx)78l}m $@^
≥
]M
_
]
1
g
b
1
R
d
111
k
k
_
]_ −
≤

]b
]
+
k
Dl}m $@^Z]M

_
]

1
g
b
1
R
d
111
k
k
_
]_ −
1
≤
+
+
m]l_
]_
k
k

]b
]
+
k
1
m]l_
]_
+
+
k

k
! ~DM
]b
]
+
k
m]l_
]_
+
+
k
k

≤

]m]lb
]
++k
!5#a#%E O*/ */M
l_Z]m
_
lbZgm
≤
lbZ]mglZ]m
_

]_
b
Z_e
_

Z]rZg
≤
]_
b
Z_e
_
Z_cZg

≥
c1^\l}}m $@
≥
]1
B>Cl}m!$@7<C!*/1
10.Phương pháp 10 : Chứng minh bất đẳng thức trong hình học phẳng
Bài 10.1M2:wOCE0@
/gD%. *G"E#
G
C1
B
A
C
0
A1
B1
Giải:
x% !% *GCEw%. *G
"E#
∆
n=2#)Z%Z\gw
_g

B
∆
n=2V *G"E#Q
n=2ExVn=2VcQF
%xn=xn2x=21x)78Vc
Qxn=cnZc=^_wxnZx=\_wxn^
_
b
nn
]
^
_
b
x=^
_
b
==
]
^
_
b
%
{xnZx=\_w
⇒
_
b
lZ%m\_w
⇒
Z%\bw
:c22

]
22
]
\c2
⇒
\w
k Z%Z\bwZw^gw1
B>CZ%Z\gw
Bài 10. 2M: *GE#L$@"0 ~
n" (=2jE#CE@ *G-"n=
n2":{Q
b
AB AC+
<
:=Z{2[
_
AB AC+
Giải

B
C
l
0
A
M
N
xzE# (0E#CE:{@ *G
Vc.E#C
:=^:z{2^{z
v :{^:=Z{2*n:{:{[n:Zn{

{_:{[n:Zn{Z=:Z2{^n=Zn2
⇒
:{[
_
AB AC+
{n:{;"C:{\n:
:{\n{
⇒
_:{\n:Zn{
B:{^=2Z2{
{b:{\n:Zn{Z=:Z2{! b:{\n=Zn2
⇒
:{\
b
AB AC+
B>C
b
AB AC+
<
:=Z{2[
_
AB AC+
_d
11 . Ngoài ra còn có một số phương pháp khác để chứng minh bất đẳng
thức như : Phương pháp làm trội , tam thức bậc hai ta phải căn cứ vào
đặc thù của mỗi bài toán mà sử dụng phương pháp cho phù hợp . Trong
phạm vi nhỏ của đề tài này không hệ thống ra những phương pháp đó .
III : ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC
1- Dùng bất đẳng thức để tìm cực trị .
fXEM{EhlLm

≥
hlLm?A1
{EhlLm
≤
:hlLm?@:1
   *G C # !9% &   !9*M27
=#L% &!?C, <1
X(*G+#L)C! & (?1
?0%(!" C78!9#*/
##%E O*/ */ O%E7<7<% &111
?0%(!?C, <>!9
% &!?C, <
2$TM
BABA +≥+

t)C!qq^qqn=
≥
c

c≥A
kqq^qqL)Cn^c
Bài 1 :?A0%(M=^
b
Z%
b
Z%i2%E%
)PMZ%^]1
Giải
=^lZ%ml
_

f%Z%
_
mZ%
^
_
f%Z%
_
Z%^
_
Z%
_

M_l
_
Z%
_
m
≥
lZ%m
_
^]^\
_
Z%
_

≥

_
]
B>C=^

_
]
^%^
_
]
Bài 2M?A0%(M
n^lL
_
ZLmlL
_
ZLfgm
%?A0%(M
=^fL
_
fC
_
ZLCZ_LZ_C
Giải
n^lL
_
ZLmlL
_
ZLfgm1`4M^L
_
ZLf_
^\n^lf_mlZ_m^
_
fg
≥
fg

k%QL)CM^cL
_
ZLf_^c
_R
lLf_mlLZ_m^cL^f_iL^]1
^\n^fgL^f_iL^]i
%*/

Bài 3 : ?A0%(1
2^
]_b_ −+− xx

%k^
Rb
__
−++++ xxxx

•^
gb_] −+−+−+− xxxx
Giải :
y#!9=`M
BABA +≥+
kqq^qqL)Cn=
≥
c1
^\2^
___]b__]b_ =−=−+−≥−+− xxxx
kqq^qqL)Cl_Lfbml]f_Lm
≥
c

_
b
_
]
≤≤ x

B>C2^_
_
b
_
]
≤≤ x
%*/Mk^rMfb
≤
L
≤
_
•^gM_
≤
L
≤
b
Bài 4 :2[%[[!M
:hlLm^
ax −
Z
bx −
Z
cx −
Z

dx −
Hướng dẫnM*/MhlLm^!Zf%f%
≤
L
≤

Bài 5M2%7<!*/LCs)PM
x+]
]
Z
y+]
]
Z
z+]
]

≥
_
?@0.MY^LCs
GiảiM

x+]
]

≥
l]f
y+]
]
mZl]f
z+]

]
m^
y
y
+]
Z
z
z
+]

≥
_
m]ml]l zy
yz
++
*/M
y+]
]

≥
_
m]ml]l zx
zx
++

z+]
]

≥
_

m]ml]l yx
xy
++
v 7CMY^LCs
≤

e
]
:LY^
e
]
L^C^s^
_
]
_W
Bài 6 : 2b7<!*/%)PMZ%Z^]1?A
0%(M€^
___
m
]
lm
]
lm
]
l
c
c
b
b
a

a +++++

Giải:
M€^l
_
Z%
_
Z
_
mZl
___
]]]
cba
++
mZR
B>!9% &=#LM
l1]Z%1]Z1_m
_

≤
bl
_
Z%
_
Z
_
m
^\
_
Z%

_
Z
_

≥

b
]
*/M
_
m
]]]
l
cba
++

≤
b
m
]]]
l
___
cba
++
:4M
=++
cba
]]]
l
cba

]]]
++
m1]^l
cba
]]]
++
mlZ%Zm
^bZl
a
b
b
a
+
mZl
b
c
c
b
+
mZl
c
a
a
c
+
m
≥
bZ_Z_Z_^r
^\
cba

]]]
++

≥
r
^\
_
m
]]]
l
cba
++

≥
e]
^\
m
]]]
l
___
cba
++

≥
_W
€
≥

b
]

Z_WZR^bb
kqq^qqL)CM^%^^
b
]
B>C:€^bb
b
]
M^%^^
b
]
1
Bài 7M2x^
xyz
zxyyzxxyz b_] −+−+−
?@0xM
Giải :>#L ?ML
≥
]iC
≥
_is
≥
b
Mx^
x
x ]−
Z
y
y _−
Z
z

z b−
K=`27M
_
]]
]
+−
≤−
x
x
^\
x
x ]−

_
]
≤
_e
*/M
__
]
_
≤
−
y
y
i
b_
]b
≤
−

z
z
^\x
≤

b_
]
__
]
_
]
++
B>C:Lx^
b_
]
__
]
_
]
++
 " *+L^_iC^_is^R
Bài 8?A0H^
]−x
x
@L\]1
%1?@0X^
_
]1 xx −

HDM#!9% &27*/*%dM

2 - Dùng bất đẳng thức để giải phương trình .
fXEM{G.0% &#*/
##% &%E OElBBYm0#*/
7 7C> (~,0#*/1
 {EB^BY"47<? 0•l)P
t`m
^\#*/,1
{EB\BY4B[BY"?0•1
^\#*/,1
f2.!9M
Bài 1Mx)#*/M
]b
]−x
Zr
]+x
^]RL
GiảiM
`,ML
≥
]l}m
2]M#!9% &27M]b
]−x
Zr
]+x
^]b1_1
]
_
]
−x
Zb1_1

]
_
b
+x

≤
]blLf]Z
g
]
mZblLZ]Z
g
r
m^]RL
kqq^qqL)C






=+
=−
_
b
]
_
]
]
x
x

L^
g
d
)Pl}m
_r
Y*/l]m,!qq^qqFl_mL)C
B>Cl]m,L^
g
d
1

Bài 2M?@0p^
b_ −x
Z
x_d −
%1x)#*/M
b_ −x
Z
x_d −
fL
_
ZgLfR^cl}m
Giải :
1-Ml
b_ −x
Z
x_d −
m
_


≤
_l_LfbZdf_Lm^g

b_ −x
Z
x_d −

≤
_
^\:Lp^_L^_1
%1t`M
_
d
_
b
≤≤ x

l}m
b_ −x
Z
x_d −
^L
_
fgLZR
BY^lLf_m
_
Z_
≥
_!qq^qqL)CL^_1
^\@L^_l)Pt`mB^BY^_1

^\#*/l}m,L^_1
Bài 3 :x)#*/M

x−R
Z
_+x
^L
_
fRLZ]b
Giải : t`Mf_
≤
L
≤
R1
BY^lLfbm
_
Zg
≥
g1kqq^qqL)CL^b1
B
_
^l
x−R
1]Z
_+x
1]m
_

≤
lRfLZLZ_ml]Z]m^]R

^\B
≤
g!qq^qqL)C
x−R
^
_+x
L^_1
^\?0L (B^BY^\Y*/,
Bài 4Mx)#*/M

]R]_b
_
+− xx
Z
]bg
_
+− yy
^d
HD M
]R]_b
_
+− xx
≥
_i
]bg
_
+− yy
≥
b^\B
≥

d1
kqq^qqL)CM



=−
=−
c_
c_
y
x




=
=
_
_
y
x

^\#*/,ML^_iC^_1

3 - Dùng bất đẳng thức để giải hệ phương trình :
bc