Diện tích đa giác_Khóa luận tốt nghiệp khoa GDTH.

Khoá luận tốt nghiệp Trờng ĐHSP Hà Nội 2
Trờng Đại học s phạm hà Nội 2
khoa: Giáo dục tiểu học
=====***=====
Hoàng thị ớc
diện tích đa giác
Khoá luận tốt nghiệp đại học
Chuyên ngành: Toán

Hà nội 2008
Trờng Đại học s phạm hà Nội 2
khoa: Giáo dục tiểu học
=====***=====
Hoàng thị ớc
Hoàng Thị Ước - K30A - GDTH
1
Khoá luận tốt nghiệp Trờng ĐHSP Hà Nội 2
diện tích đa giác
Khoá luận tốt nghiệp đại học
Chuyên ngành: Toán
Ngời hớng dẫn khoa học :
GV. Bùi Văn Bình

Hà nội 2008
Lời cảm ơn
Trong thời gian nghiên cứu hoàn thành khoá luận, tôi đã nhận đợc sự
giúp đỡ tận tình của các thầy cô giáo trong khoa Giáo dục Tiểu học, các thầy
cô trong khoa Toán - Trờng Đại học S phạm Hà Nội 2. Tôi xin bày tỏ lòng biết
ơn chân thành tới các thầy cô, đặc biệt là thầy giáo Bùi Văn Bình đã trực tiếp
hớng dẫn tôi trong thời gian qua.
Tôi chân thành cảm ơn những ý kiến đóng góp của các bạn sinh viên

khoa Giáo dục Tiểu học đã giúp tôi hoàn thiện khoá luận này.
Lần đầu nghiên cứu khoa học, chắc chắn đề tài của tôi không tránh khỏi
thiếu sót. Vì vậy, tôi rất mong đợc sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và các
bạn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 5 năm 2008
Sinh viên
Hoàng Thị Ước
Hoàng Thị Ước - K30A - GDTH
2
Khoá luận tốt nghiệp Trờng ĐHSP Hà Nội 2
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan những kết quả nghiên cứu trong khoá luận này là thành quả
của riêng tôi. Nội dung khoá luận không trùng với bất cứ một công trình
nghiên cứu nào.
Hà Nội, tháng 5 năm 2008
Sinh viên
Hoàng Thị Ước
Hoàng Thị Ước - K30A - GDTH
3
Khoá luận tốt nghiệp Trờng ĐHSP Hà Nội 2
Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Tiểu học là bậc học nền tảng, đặt cơ sở ban đầu cho việc hình thành và
phát triển nhân cách con ngời, đặt nền tảng vững chắc cho giáo dục phổ thông
và cho toàn bộ hệ thống giáo dục quốc dân. Vì vậy, ở Tiểu học các em học
sinh đợc tạo điều kiện phát triển toàn diện, tối đa với các môn học thuộc tất cả
các lĩnh vực: Tự nhiên, Xã hội và Con ngời.
Trong các môn học ở trờng Tiểu học thì môn Toán có một ý nghĩa và vị
trí đặc biệt quan trọng. Toán học với t cách là một khoa học nghiên cứu một số

mặt của thế giới hiện thực, nó có một hệ thống khái niệm, quy luật và có ph-
ơng pháp riêng. Hệ thống này luôn phát triển trong quá trình nhận thức thế
giới và đa ra kết quả là những tri thức toán học. Những tri thức toán học, kĩ
năng toán học cùng phơng pháp toán học đã trở thành công cụ để học tập tốt
những môn học khác. Kĩ năng tính toán, vẽ hình, ớc lợng và sử dụng công cụ
toán học giúp học sinh ứng dụng khoa học vào thực tiễn, đồng thời phát triển
t duy và nhân cách học sinh.
Toán học nghiên cứu các quan hệ số lợng và các hình dạng không gian
vốn có trong các sự vật hiện tợng của thế giới khách quan. Vì thế mà trong ch-
ơng trình toán ở Tiểu học, cùng với việc học các kiến thức về số, đại lợng
học sinh còn đợc học các kiến thức về hình học. Trong hình học thì các bài
toán diện tích chiếm một số lợng khá lớn. Tuy nhiên, các bài toán diện tích ở
sách giáo khoa chỉ đáp ứng đợc yêu cầu phổ cập, các bài toán đó vẫn hớng tập
trung vào việc rèn luyện kĩ năng tính toán theo công thức, trong khi đó một bộ
phận học sinh khá giỏi còn có nhu cầu tìm hiểu nhiều hơn, sâu hơn về các bài
toán nâng cao nói chung và các dạng bài toán diện tích đa giác nói riêng. Mặt
khác, trong tơng lai tôi sẽ trở thành một ngời giáo viên Tiểu học, đồng thời với
việc dạy cho học sinh các kiến thức về số học, đại lợng thì còn có các kiến
thức về yếu tố hình học mà trọng tâm là mạch kiến thức về diện tích đa giác.
Vì vậy, xuất phát từ những lí do trên, tôi quyết định chọn đề tài Din tớch a
giỏc để nghiên cứu. Tôi mong muốn rằng qua quá trình nghiên cứu tôi sẽ
hiểu sâu, hiểu kĩ về các bài toán diện tích đa giác ở Tiểu học để sau này giảng
dạy cho tốt.
Hoàng Thị Ước - K30A - GDTH
4
Khoá luận tốt nghiệp Trờng ĐHSP Hà Nội 2
2. Mục đích nghiên cứu
Phân loại các dạng toán và phơng pháp giải các bài toán diện tích đa
giác ở Tiểu học để giúp học sinh, phụ huynh và giáo viên tham khảo nhằm góp
phần nâng cao hiệu quả của việc dạy và học các yếu tố hình học nói riêng và

hiệu quả dạy và học môn toán ở Tiểu học nói chung.
3. Nội dung và nhiệm vụ nghiên cứu
3.1. Nghiên cứu nội dung chơng trình và phơng pháp giải các bài toán diện
tích đa giác ở Tiểu học.
3.2. Phân loại các bài tập và phơng pháp giải nhằm rèn luyện kĩ năng cho
học sinh trong việc giải các bài toán diện tích đa giác.
4. Đối tợng và phạm vi nghiên cứu
4.1. Nghiên cứu các bài toán diện tích đa giác cùng với cách giải các bài
toán đó trong chơng trình Tiểu học.
4.2. Phạm vi của đề tài: các bài toán diện tích đa giác trong chơng trình
môn Toán ở Tiểu học.
5. Phơng pháp nghiên cứu
5.1. Nghiên cứu lí luận: nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo, một số
đề thi học sinh giỏi môn Toán ở Tiểu học có liên quan đến đề tài.
5.2. Thực hành giải toán: giải các bài toán trong sách giáo khoa, sách tham
khảo, các để thi học sinh giỏi môn Toán ở Tiểu học.
Nội dung
Chơng 1: Các công thức tính diện tích và các phơng pháp
thờng sử dụng khi giải bài toán về diện tích đa giác ở Tiểu
học.
1.1. Các công thức tính diện tích đa giác ở Tiểu học
ở Tiểu học, học sinh đợc làm quen với các hình đa giác và học cách xây
dựng các công thức tính diện tích của các đa giác sau: hình chữ nhật, hình
vuông, hình bình hành, hình tam giác, hình thoi và hình thang.
Công thức tính diện tích của các đa giác:
1.1.1 Công thức tính diện tích hình chữ nhật có các cạnh lần lợt là a và b:
S = a x b
1.1.2 Công thức tính diện tích hình vuông có cạnh là a:
Hoàng Thị Ước - K30A - GDTH
5

Khoá luận tốt nghiệp Trờng ĐHSP Hà Nội 2
S = a x a
1.1.3 Công thức tính diện tích hình bình hành có độ dài đáy a và chiều cao h:
S = a x h
1.1.4 Công thức tính diện tích hình tam giác có độ dài đáy a và chiều cao h:
a h
S
2
ì
=
1.1.5 Công thức tính diện tích hình thoi có độ dài hai đờng chéo là m và n:
m n
S
2
ì
=
1.1.6 Công thức tính diện tích hình thang có độ dài hai đáy là a và b,
chiều cao h:
(a b) h
S
2
+ ì
=
Chú ý: Trong các công thức trên, các đại lợng đợc tính trong cùng một hệ đơn
vị đo.
1.2. Các phơng pháp thờng đợc sử dụng khi giải các bài toán diện tích đa
giác ở Tiểu học
Khi giải các bài toán, học sinh không chỉ cần phải nắm vững các kiến
thức mang tính chất công cụ đã nêu ở phần 1 mà còn phải biết tới các phơng
pháp giải toán để lựa chọn đợc phơng pháp giải phù hợp cho từng bài.

Đối với các bài toán diện tích đa giác thì sử dụng hầu hết các phơng pháp
giả toán, trong đó có một số phơng pháp đợc sử dụng nhiều hơn nh: phơng
pháp diện tích, phơng pháp giả thiết tạm, phơng pháp suy luận, phơng pháp
dùng đơn vị quy ớc, phơng pháp sơ đồ diện tích.
1.2.1. Phơng pháp diện tích
Phơng pháp diện tích là phơng pháp giải các bài tập liên quan tới diện
tích các hình.
Khi giải các bài tập sử dụng phơng pháp này, ngời ta thờng:
Vận dụng công thức tính diện tích các hình bằng cách: áp dụng trực tiếp
công thức tính diện tích khi đã biết độ dài các đoạn thẳng là các thành phần
của công thức tính diện tích hoặc nhờ công thức tính diện tích mà tính độ dài
một đoạn thẳng là yếu tố của hình.
Hoàng Thị Ước - K30A - GDTH
6
Khoá luận tốt nghiệp Trờng ĐHSP Hà Nội 2
Dùng tỉ số: trong một bài toán diện tích đa giác, ngời ta có thể dùng tỉ
số các số đo đoạn thẳng, tỉ số các số đo diện tích nh một phơng tiện để giải
toán, giải thích, lập luận cũng nh trong thao tác so sánh các giá trị về độ dài
đoạn thẳng, về diện tích. Điều này thờng đợc thể hiện dới những hình thức
sau: cụ thể đối với hình tam giác:
- Khi diện tích không đổi thì độ dài đáy và chiều cao là hai đại lợng tỉ lệ
nghịch với nhau.
- Khi độ dài đáy không đổi thì diện tích và chiều cao là hai đại lợng tỉ lệ
thuận với nhau.
- Khi chiều cao không đổi thì diện tích và độ dài đáy là hai đại lợng tỉ lệ
thuận với nhau.
Đối với một số hình đa giác khác tam giác cũng có thể dùng tỉ số dới
những thể hiện tơng tự.
Thực hiện phép tính trên số đo diện tích và các thao tác phân tích tổng
hợp trên hình:

Có những bài toán diện tích đa giác đòi hỏi phải biết vận dụng các thao
tác phân tích, tổng hợp trên hình đồng thời với việc tính toán trên số đo diện
tích. Điều này đợc thể hiện nh sau:
- Nếu một hình đợc chia thành nhiều hình nhỏ thì diện tích của hình đó
bằng tổng diện tích các hình nhỏ đợc chia.
- Hai hình có diện tích bằng nhau mà có phần chung thì hai phần còn lại
sẽ có diện tích bằng nhau.
- Nếu ghép thêm một hình vào hai hình có diện tích bằng nhau thì sẽ đ-
ợc hai hình mới có diện tích bằng nhau.
Ví dụ: Một hình thang có đáy bé dài 12 dm, đáy lớn bằng
4
3
đáy bé. Khi
kéo dài đáy lớn thêm 5 dm thì diện tích hình thang tăng thêm 20 dm
2
. Tính
diện tích ban đầu.
Lời giải:
Hoàng Thị Ước - K30A - GDTH
7
Khoá luận tốt nghiệp Trờng ĐHSP Hà Nội 2
Độ dài đáy DC là:
12 : 3 x 4 = 16 (dm)
Chiều cao BH của tam giác BCE là:
20 x 2 : 5 = 8 (dm)
Diện tích hình thang ABCD là:
(16 + 12)x 8 : 2 = 112 (dm
2
)
Đáp số: 112 dm

2
Nhận xét: ở ví dụ trên, trong khi giải bài toán đã sử dụng phơng pháp
diện tích, nhờ đó lời giải ngắn gọn và chính xác.
1.2.2. Phơng pháp giả thiết tạm
Thờng sử dụng với bài toán trong đó đề cập đến hai đối tợng ngời, vật
có tính chất biểu thị bằng hai số lợng chênh lệch nhau. Ta thử đặt ra một trờng
hợp không xảy ra, không phù hợp với điều kiện của bài toán, một khả năng
không có thật, thậm chí vô lí. Tất nhiên,giả thiết ấy chỉ là tạm thời nhng phải
tìm đợc giả thiết ấy nhằm đa bài toán về một tình huống quen thuộc đã biết
cách giải hoặc dựa trên cơ sở đó để tiến hành lập luận mà suy ra đợc cái phải
tìm.
Phơng pháp này đợc tiến hành nh sau:
- Thay một giả thiết bằng một giả thiết tạm vợt ra ngoài dữ kiện của bài
toán nhng vẫn tôn trọng các dữ kiện khác của bài toán.
- Từ dữ kiện hay giả thiết thay đổi đó dẫn đến các dữ kiện liên quan tới
nó, cũng có sự thay đổi theo điều kiện bài toán.
- Phân tích sự thay đổi đó rồi đối chiếu với dữ kiện của bài toán, phát
hiện nguyên nhân của sự thay đổi và tìm ra phơng pháp điều chỉnh thích hợp
để đáp ứng toàn bộ điều kiện.
Ví dụ:
Ngời ta mở rộng một cái ao hình vuông
về bốn phía nh hình vẽ. Sau khi mở rộng,
diện tích ao tăng thêm 320m
2
.
Tính diện tích ao khi cha mở rộng.
Lời giải
Ta chuyển ao cũ về một góc của ao mới sao cho hai cạnh của ao cũ trùng
với hai cạnh của ao mới và chia phần diện tích mở rộng thành 2 hình chữ nhật
Hoàng Thị Ước - K30A - GDTH

8
A B
E
D
H
C
12 dm
20 dm
2
5 dm
2m
2m
2m
2m
Khoá luận tốt nghiệp Trờng ĐHSP Hà Nội 2
có diện tích bằng nhau và 1 hình vuông nh hình vẽ.
Diện tích phần ao hình vuông là:
4 x 4 = 16 (m
2
)
Diện tích một phần ao hình chữ nhật là:
(320 - 16): 2 = 152 (m
2
)
Cạnh của ao khi cha mở rộng là:
152 : 4 = 38 (m)
Diện tích ao khi cha mở rộng là:
38 x 38 = 1444 (m
2
)

đáp số: 1444 m
2
Nhận xét: Bài toán trên có thể giải bằng nhiều phơng pháp khác nhau
nhng giải bằng phơng pháp giả thiết tạm kết hợp phơng pháp diện tích thì bài
toán sẽ trở nên đơn giản hơn và cho đáp số một cách nhanh chóng
1.2.3. Phơng pháp sơ đồ diện tích
Phơng pháp sơ đồ diện tích đợc dùng để giải các bài toán có nội dung
đề cập đến 3 đại lợng. Giá trị của 1 trong 3 đại lợng bằng tích các giá trị của 2
đại lợng còn lại. Dùng phơng pháp sơ đồ diện tích ta sẽ giải nhanh đợc các
bài toán đó vì đã đa đợc về các bài toán trực quan là bài toán diện tích hình
chữ nhật.
Ba đại lợng thờng thấy trong bài toán diện tích đa giác là:
a. Với hình chữ nhật: diện tích, chiều dài, chiều rộng:
Diện tích = chiều dài x chiều rộng
b. Với hình vuông: diện tích, cạnh, cạnh:
Diện tích = cạnh x cạnh
c. Với hình tam giác: diện tích, độ đài đáy, chiều cao:
Diện tích =
d. Với hình thang: Diện tích, độ dài hai đáy, chiều cao:
Diện tích =
e. Với hình bình hành: diện tích, độ dài đáy,chiều cao:
Diện tích = độ dài đáy x chiều cao
f. Với hình thoi: diện tích, độ dài đờng chéo 1, độ dài đờng chéo 2:
Hoàng Thị Ước - K30A - GDTH
9
độ dài đáy x chiều cao
2
(đáy lớn + đáy bé)x chiều cao
2
độ dài đ ờng chéo 1 x độ dài đ ờng chéo 2

2
4m
4m
Khoá luận tốt nghiệp Trờng ĐHSP Hà Nội 2
Diện tích =
Ví dụ: Ngời ta định lát một nền nhà bằng loại gạch vuông cạnh 20cm
nhng khi đi mua thì không còn loại gạch đó nên phải dùng loại gạch vuông
cạnh 15cm. Khi đó, số gạch cần dùng nhiều hơn lúc dầu dự định là 140 viên.
Hỏi ngời đó phải mua bao nhiêu viên gạch mới đủ lát nền.
Lời giải:
Diện tích một viên gạch cạnh 20cm là:
20 x 20 = 400 (cm
2
)
Diện tích một viên gạch cạnh 15cm là:
15 x 15 = 225 (cm
2
)
Gọi a là số viên gạch vuông cạnh 15cm đã mua thì số viên gạch lúc
đầu dự định mua sẽ là: a - 140
Ta có: S
nèn nhà
= S
viên gạch
x số viên gạch.
Khi đó: S
nèn nhà
= 400 x (a -140)
S
nèn nhà

= 225 x a
Ta có thể biểu diễn mối liên hệ giữa diện tích viên gạch, số lợng viên
gạch ở lúc đầu dự đinh va thực tế đã dùng trong cùng một sơ đồ nh sau:
S
0
, S
1
, S
2
là các phần diện
tích của nền nhà.
S
nèn nhà
= S
0
+ S
1
S
nèn nhà
= S
0
+ S
2
Từ sơ đồ trên ta có:
S
1
= (400 - 225) x (a - 140)
S
2
= 225 x 140

Vì diện tích nền nhà là không đổi nên:
S
1
+ S
0
= S
2
+ S
0
hay S
1
= S
2
Vậy ta có: (400 - 225)x (a - 140) =225 x 140
a = 320
Vậy cần 320 viên gạch vuông cạnh 15cm thì vừa đủ lát nền
Nhận xét: với việc sử dụng phơng pháp sơ đồ diện tích ta đã giải đợc bài
toán khá dễ dàng. Cách giải này rất dễ hiểu, phù hợp với t duy của học sinh.
Hoàng Thị Ước - K30A - GDTH
10
Diện tích viên gạch (cm
2
)
Số l ợng viên gạch
225
400
a - 140
a1
140
S

1
S
2
S
0
Khoá luận tốt nghiệp Trờng ĐHSP Hà Nội 2
1.2.4. Phơng pháp suy luận
Là phơng pháp giải toán mà học sinh phải biết suy luận đúng đắn, chặt
chẽ trên cơ sở vận dụng những kiến thức và kinh nghiệm sống của mình.
Để giải các bài toán bằng phơng pháp này, học sinh cần luyện tập cách
quan sát, cách lập luận, cách xem xét vấn đề, khả n`ăng bao quát tất cả các tr-
ờng hợp xảy ra của vấn đề và vận dụng những kiến thức đã học vào tình huống
cụ thể.
ở tiểu học, bài toán hình khi giải cần sử dụng phơng pháp suy luận là
bài toán chỉ có vỏ là hình còn nội dung là bài toán số.
Ví dụ: Cho hai hình vuông có số đo cạnh là số tự nhiên. Hiệu diện tích
của hai hình đó là 11cm
2
. Tính diện tích hai hình đó.
Bài giải
Gọi hình vuông lớn có cạnh a cm là ABCD;
hình vuông bé có cạnh b cm là MNPQ.
Ta giả thiết đặt hình vuông bé vào hình
vuông lớn sao cho cạnh MN trùng với cạnh AB;
cạnh MQ trùng với AD; đỉnh A trùng với đỉnh M
nh hình vẽ.
Chia phần diện tích hơn thành hai hình chữ nhật 1 và 2 rồi cắt ghép chúng,
chuyển 1 xuống sát hình 2 ta sẽ đợc hình chữ nhật mới có diện tích bằng hiệu
diện tích của 2 hình vuông và bằng 11cm
2

và có hai cạnh là:
Chiều rộng = a - b
Chiều dài = a + b
Diện tích= (a - b) x (a + b) = 11 (cm
2
)
Độ dài hai cạnh là số tự
nhiên nên: 11 = 11 x 1 = 1 x 11
Cũng vì độ dài hai cạnh của
hai hình vuông là các số tự nhiên nên a + b > a - b.
Vậy ta có: a - b = 1 và a + b = 11
(ở đây đã đa về bài toán quen thuộc là: tìm hai số khi biết tổng và hiệu)
Độ dài cạnh a của hình vuông lớn là: a = (11 + 1): 2 = 6 (cm)
Độ dài cạnh b của hình vuông bé là: b = 11 - 6 = 5 (cm)
Diện tích hình vuông lớn là: 6 x 6 = 36 (cm
2
)
Hoàng Thị Ước - K30A - GDTH
11
A
M N
B
Q
D
P
C
K
b cm
1
2

B
N
1
a +b cm
a - b cm
A
M N
B
Q
D
P
C
a cm
b cm
1
2
Khoá luận tốt nghiệp Trờng ĐHSP Hà Nội 2
Diện tíc hình vuông bé là: 5 x 5 = 25 (cm
2
)
Đáp số: 36 cm
2
và 25 cm
2
Nhận xét: Ta thấy rằng ở bài toán này khi sử dụng phơng pháp suy luận bài
toán sẽ đơn giản hơn và cách lập luận này rất phù hợp, dễ hiểu đối với học
sinh Tiểu học vì đã đa về dạng toán điển hình quen thuộc đó là tìm hai số khi
biết tổng và hiệu.
1.2.5. Phơng pháp dùng đơn vị quy ớc
Trong thực tế và trong toán học chúng ta đã gặp trờng hợp các bài toán

lấy một số nào đó, một vật nào đólàm đơn vị để tính. Chẳng hạn: khi đong
gạo nhiều nơi lấy bát, lấy ống sữa bò hoặc một vật nào đó để đong. Nhiều bài
toán số học cũng lấy một số làm đơn vị quy ớc để tính.
Trong bài toán hình học cũng có một số bài toán phải lấy một đoạn
thảng nh cạnh của một hình hay đờng chéo của một hình hoặc lấy một diện
tích nào đó làm đơn vị quy ớc để tính.
Các bài toán dùng đơn vị quy ớc thờng sử dụng trong trờng hợp: chọn
một hình nhỏ nào đó, lấy diện tích của hình đó làm đơn vị để tính xem những
phần diện tích còn lại bằng bao nhiêu lần diện tích hình vừa chọn làm đơn vị
quy ớc.
Ví dụ: Một cái bể hình vuông đợc xây dựng trên một cái sân hình
vuông, chu vi sân gấp chu vi đáy bể 6 lần. Diện tích đáy bể là 3 m
2
. Tính diện
tích sân.
Lời giải:
Gọi cạnh đáy bể là b, khi đó chu vi đáy bể là 4 x b
Gọi cạnh sân là a, chu vi sân lúc đó là 4 x a
Mà chu vi sân bằng 6 lần chu vi đáy bể nên:
4 x a = 6 x (4 x b)
suy ra: a = 6 x b
Vì sân và đáy bể đều là hình vuông do vậy diện tích đáy bể là bxb (m
2
)
thì diện tích sân là a x a = (6 x b) x (6 x b) (m
2
)
Suy ra a x a = (b x b) x 36
Vậy diện tích sân là: 3 x 36 = 108 (m
2

)
Đáp số: 108 m
2
Hoàng Thị Ước - K30A - GDTH
12
Khoá luận tốt nghiệp Trờng ĐHSP Hà Nội 2
Nhận xét: Khi dùng phơng pháp này lời giải rõ ràng, rành mạch và dễ hiểu.
đây là phơng pháp hay gặp trong khi giải bài toán diện tích, nhất là những bài
cho cạnh, chu vi, diện tích của một hình này gấp bao nhiêu lần hình kia.
Chơng 2: Một số dạng bài toán diện tích đa giác
ở Tiểu học
2.1. Bài toán vận dụng công thức tính diện tích
Trong các bài toán ở dạng này, học sinh muốn giải đợc phải ghi nhớ công
thức tính diện tích các đa giác đã đợc học và biết cách vận dụng chúng. Các
bài toán ở dạng này hoặc đã cho sẵn các yếu tố, học sinh chỉ cần đa vào công
thức để tính ra kết quả hoặc phải dựa vào công thức tính diện tích để rút ra
một thành phần cha biết của công thức đó nh: chiều dài, chiều rộng
2.2.1. Bài toán áp dụng trực tiếp công thức
Ví dụ 1: Một thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi là 210m. Chiều dài hơn
chiều rộng 45m. Tính diện tích thửa ruộng.
Lời giải:
Nửa chu vi của thửa ruộng đó là:
210 : 2 = 105 (m)
Ta có: chiều dài + chiều rộng = 105m
Ta lại có: chiều dài - chiều rộng = 45m
Nên: Chiều dài thửa ruộng đó là:
(105 + 45): 2 = 75 (m)
Chiều rộng thửa ruộng đó là:
(105 - 45): 2 = 30 (m)
Diện tích thửa ruộng đó là:

75 x 30 = 2250 (m
2
)
Đáp số: 2250 m
2
Hoàng Thị Ước - K30A - GDTH
13
Khoá luận tốt nghiệp Trờng ĐHSP Hà Nội 2
Nhận xét: Ví dụ 1 đã áp dụng trực tiếp công thức tính diện tích hình chữ
nhật. Thực chất, đây là bài toán ở dạng điển hình tìm hai số khi biết tổng và
hiệu mà học sinh đã biết cách giải.
Ví dụ 2: Một hình chữ nhật, nếu tăng chiều rộng để bằng chiều dài thì
diện tích tăng thêm 20m
2
, còn khi giảm chiều dài cho bằng chiều rộng thì diện
tích giảm 16m
2
. Tính diện tích của hình chữ nhật đó.
Lời giải:
Ta có hình chữ nhật ABCD (hình bên)
+ Khi tăng chiều rộng để bằng chiều dài thì
đợc hình vuông ABMN. Lúc đó, diện tích
hình chữ nhật DCMN là 20m
2
.
+ Khi giảm chiều dài để bằng chiều rộng
thì ta đợc hình vuông APDQ. Lúc đó, diện
tích hình chữ nhật PBCQ là 16 m
2
.

+ Do đó: diện tích hình vuông ABMN hơn
diện tích hình vông APQD là 20 + 16 = 36 m
2
Diện tích hình chữ nhật DQRN bằng diện tích hình chữ nhật PBCQ và bằng
16 m
2
.
Vì vậy, diện tích hình vuông QCMR là: 20 - 16 = 4 (m
2
)
Khi đó, cạnh QC hoặc CM dài là 2m (vì 2 x 2 = 4)
Chiều dài BC của hình chữ nhật PBCQ là: 16 : 2 = 8 (m)
Chiều dài DC của hình chữ nhật DCMN là: 20 : 2 = 10 (m)
Diện tích hình chữ nhật ABCD ban đầu là: 10 x 8 = 80 (m
2
)
Đáp số: 80 m
2
Nhận xét: Ví dụ 2 lại là một ví dụ thể hiện sự áp dụng trực tiếp công
thức tính diện tích hình chữ nhật. ở ví dụ này, học sinh cần phải rút ra đợc
nhận xét: nếu tăng chiều rộng để bằng chiều dài và giảm chiều dài để bằng
chiều rộng thì độ dài hai khoảng tăng, giảm đó phải bằng nhau để từ đó có đ-
ợc lời giải nhanh gọn.
Ví dụ 3: Hợp tác xã Hòa Bình có một thửa ruộng hình thang vuông đáy
lớn 60 m, đáy bé 30m, chiều cao là 40m. Hợp tác xã đào một con mơng rộng
8m chạy dọc theo đáy lớn. Tính diện tích còn lại của thửa ruộng.
Hoàng Thị Ước - K30A - GDTH
14
A
P

B
D
Q
N
R
C
M
Khoá luận tốt nghiệp Trờng ĐHSP Hà Nội 2
Lời giải:
Con mơng lấy của thửa ruộng mảnh đất hình thang vuông HECD.
Phần còn lại của thửa ruộng chính là hình thang vuông ABEH.
Ta có diện tích hình thang vuông ABCD là:

( )
2
60 30 40
1800m
2
+ ì
=
Độ dài AH là: 40 - 8 = 32 (m)
Diện tích tam giác ABE là:
2
30x32
480(m )
2
=
Vì CDHE là hình thang nên:
S
CED

= S
CHD
=
2
60x8
240(m )
2
=
Vậy: S
ADE
= S
ABCD
- S
ABE
- S
CED
= 1800 - 480 - 240
= 1080 (m
2
)
Suy ra, chiều cao EH dài là
ADE
2xS
1080x2
EH 54(m)
AD 40
= = =
Vậy diện tích còn lại của thửa ruộng là:
2
ABEH

(54 30)x32
S 1344(m )
2
+
= =
Đáp số: 1344 m
2
Nhận xét: Ví dụ 3 thể hiện sự áp dụng trực tiếp công thức tính diện tích
hình thang. Điều quan trọng trong bài toán này là tìm đợc các tam giác có thể
tính đợc diện tích để từ đó tìm ra kết quả. Vì vậy cần nắm chắc các công thức
tính diện tích các đa giác để có thể sử dụng linh hoạt các công thức đó trong
các bài toán.
Bài tập đề nghị
Bài 1: Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi là 120m, chiều rộng bằng

5
7
chiều dài. Tính diện tích mảnh đất.
Bài 2: Cho hình tam giác ABC có cạnh đáy BC = 25cm. Kéo dài cạnh
đáy BC một đoạn CD bằng 15 cm thì diện tích tam giác tăng thêm 150cm
2
.
Tính diện tích tam giác ABC.
Hoàng Thị Ước - K30A - GDTH
15
A
B
D
C
E

H
30 m
40 m
60 m
8 m
Khoá luận tốt nghiệp Trờng ĐHSP Hà Nội 2
Bài 3: Một mảnh vờn hình chữ nhật có chu vi 84m.Tính diện tích của
mảnh vờn đó, biết rằng, nếu tăng chiều rộng của vờn thêm 3m và giảm chiều
dài đi 3m thì vờn đó trở thành hình vuông.
Bài 4: Một miếng đất hình thang vuông có chiều cao bằng 5m và đáy
lớn gấp 3 lần dấy bé. Nếu mở rộng thành miếng đất hình chữ nhật mà vẫn giữ
nguyên đáy lớn thì diện tích sẽ tăng thêm 50m
2
. Tính diện tích của miếng đất
khi cha mở rộng.
Bài 5: Một cái ao hình vuông đợc lấp đi một phần để trồng rau. Ngời ta
quyết định lấp hai cạnh kề nhau, mỗi cạnh lấp vào 5m. Do đó, diện tích ao
giảm đi 100m
2
. Tính diện tích ao lúc đầu.
Gợi ý, đáp số
Bài 1: Đáp số: 875m
2
Bài 2: Gợi ý:

2x150
AK 20(cm)
15
= =
AK cũng là đờng cao của tam giác ABC nên

diện tích tam giác ABC là:
2
ABC
1
S x20x25 250(cm )
2
= =
Đáp số: 250 cm
2
Bài 3: Gợi ý:
Gọi mảnh vờn hình chữ nhật là AKID.
Khi chiều dài giảm đi 3m và chiều rộng tăng
lên 3m thì chu vi của hình không đổi.
Hình vuông ABGE cũng có chu vi bằng 84m.
Vậy cạnh của hình vuông ABGE là:
84 : 4 = 21 (m)
Chiều dài hình chữ nhật AKID ban đầu là:
21 + 3 = 24 (m)
Chiều rộng hình chữ nhật AKID ban đầu là:
21 - 3 = 18 (m)
Diện tích hình chữ nhật AKID ( hay diện tích mảnh vờn) là:
24 x 18 = 378 (m
2
)
Đáp số: 378 m
2
Bài 4: Gợi ý
Hoàng Thị Ước - K30A - GDTH
16
A

D
B
K
C
25 cm
15 cm
150 cm
2
A
B
D
E
K
G
H
C
I
3 m
3 m
A
B
E
C
D
50 m
2
Khoá luận tốt nghiệp Trờng ĐHSP Hà Nội 2
Ta có
2x50
BE 20(m)

5
= =
Vậy AB =
1
xBE
2
=10(m)
DC =
3
2
xBE = 30 (m)
Diện tích miếng đất khi cha mở rộng là:
( )
2
10 30 5
100(m )
2
+ ì
=
Đáp số: 100 (m
2
)
Bài 5: Gợi ý
Diện tích ao bị lấp đợc chia thành một hình
vuông và hai hình chữ nhật có diện tích bằng nhau.
Diện tích mỗi hình chữ nhật là:
(100 - 5x5): 2 = 37,5 (m
2
)
Chiều dài của mỗi hình chữ nhật là:

37,5 : 5 = 7,5 (m)
Cạnh của cái ao hình vuông lúc đầu là:
7,5 + 5 = 12,5 (m)
Diện tích của ao lúc đầu là:
12,5 x 12,5 =156,25 (m
2
)
Đáp số: 156,25 (m
2
)
2.1.2. Bài toán nhờ công thức diện tích tính độ dài một đoạn thẳng là yếu tố
của hình.
ở tiểu học, học sinh đợc cung cấp các công thức, quy tắc tính diện tích
của các hình đa giác đồng thời đợc làm các bài tập vận dụng để ghi nhớ và
khắc sâu các công thức này. Học sinh, ngoài việc làm các bài tập y nguyên
công thức đó còn đợc làm các bài tập vận dụng các công thức tính ngợc để rèn
luyện t duy và kĩ năng phân tích, tổng hợp, so sánhCác công thức tính ngợc
ấy chính là các công thức tính độ dài một đoạn thẳng nh chiều dài, chiều rộng,
chiều caocủa các hình đa giác đợc suy ra từ công thức tính diện tích.
Ví dụ:
Công thức tính chiều dài của hình chữ nhật:
Hoàng Thị Ước - K30A - GDTH
17
A B
H
E
D
G
C
K

F
5m
5m
5m
5m
Diện tích
Chiều rộng
Khoá luận tốt nghiệp Trờng ĐHSP Hà Nội 2
Chiều dài =
Công thức tính chiều cao của tam giác:
Chiều cao =
Các bài toán tính độ dài một đoạn thẳng là yếu tố của hình dựa vào công
thức tính diện tích ở tiểu học rất phong phú, đa dạng. Học sinh khi đã biết làm
thành thạo các bài toán vận dụng các công thức tính xuôi thì sẽ không gặp
nhiều khó khăn khi giải các bài tập vận dụng các công thức tính ngợc này.
Ví dụ 1: Một hình chữ nhật có chiều rộng là 20cm và có diện tích bằng
diện tích hình vuông cạnh 45cm. Hãy tính chiều dài của hình chữ nhật ấy.
Lời giải
Diện tích hình vuông có cạnh 45cm là :
45 x 45 = 2025 (cm
2
)
Diện tích của hình chữ nhật bằng diện tích của hình vuông và bằng 2025 (cm
2
)
Chiều dài của hình chữ nhật đó là:
2025 : 20 = 101,25 (cm)
Đáp số: 101,25 cm
Nhận xét:
Ví dụ này là một ví dụ đơn giản minh họa cho dạng toán tính độ dài một

đoạn thẳng là yếu tố của hình dựa vào công thức tính diện tích.
ở bài toán này đã áp dụng công thức tính chiều dài của hình chữ nhật đợc
suy ra từ công thức tính diện tích hình chữ nhật nh sau:

Chiều dài =
Ví dụ 2:
Một thửa ruộng hình thang có diện tích 1155 m
2
và có đáy bé kém đáy
lớn 33 m ngời ta kéo dài đáy bé thêm 20 m và kéo dài đáy lớn thêm 5m về
cùng một phía để đợc hình thang mới. Diện tích hình thang mới này bằng diện
tích của một hình chữ nhật có chiều rộng là 30m và chiều dài 51m.
Hãy tính đáy bé, đáy lớn của thửa ruộng hình thang ban đầu.
Hoàng Thị Ước - K30A - GDTH
18
2 x Diện tích
Độ dài đáy
Diện tích
Chiều rộng
Khoá luận tốt nghiệp Trờng ĐHSP Hà Nội 2
Lời giải:
Hình thang AEGD có diện tích bằng diện tích của một hình chữ nhật có chiều
rộng 30m và chiều dài 51m. Do đó diện tích hình thang AEGD là:
51 x 30 = 1530 (m
2
).
Diện tích phần tăng thêm là:
1530 - 1155 = 375 (m
2
).

Chiều cao BH của hình thang
BEGC là:
C
A
B
E
G
H
D
20 m
5m
=
+
375 x 2
30
20 5
(m).
Chiều cao BH cũng chính là chiều cao của hình thang ABCD.
Do đó tổng hai đáy AB và CD là:
1155 x 2 :30 = 77 (m)
Vì hiệu hai đáy CD và AB là 33m nên đáy bé là:
(77- 33) : 2 = 22 (m)
Đáy lớn là: 33 +22 = 55 (m)
Đáp số: Đáy bé 22 m
Đáy lớn 55 m
Nhận xét : Ví dụ 2 yêu cầu tìm đáy lớn và đáy bé của hình thang ban đầu.
Đề bài đã cho sẵn hiệu hai đáy là 33m, ta cần tìm một mối liên hệ nữa giữa hai
đáy đó là tổng hai đáy. Khi ấy, bài toán này trở về bài toán quen thuộc tìm hai
số khi biết tổng và hiệu mà học sinh đã biết cách giải.
Ví dụ 3: Trên một mảnh đất hình vuông ngời ta đào một cái ao cũng hình

vuông sao cho một cạnh của ao nằm chính giữ cạnh của mảnh đất. Diện tích
còn lại là 1564 m
2
. Khoảng cách gần nhất từ cạnh ao đến cạnh mảnh đất còn
lại 17m. Tính cạnh mảnh đất và cạnh ao.
Lời giải
Giả sử cái ao đợc đào vào chính giữa vào chính giữ mảnh đất nh hình vẽ.
Phần còn lại đợc chia thành 4 hình chữ nhật bằng nhau. Các hình chữ nhật này
có cùng chiều rộng là 17m.
Hoàng Thị Ước - K30A - GDTH
19
1155m
2
Khoá luận tốt nghiệp Trờng ĐHSP Hà Nội 2
Diện tích mỗi hình chữ nhật là:
1564 : 4 = 391 (m
2
)
Chiều dài mỗi hình chữ nhật là:
391 : 17 = 23 (m)
Cạnh hình vuông MNPQ hay
cạnh ao là: 23 - 17 = 6 (m)
A
B
C
D
M
N
P
Q

17m
Cạnh hình vuông ABCD hay cạnh mảnh đất là: 6 + 17 x 2 = 40 (m)
Đáp số: Cạnh ao: 6m
Cạnh mảnh đất: 40 m
Nhận xét: Bài toán ở ví dụ 3 có nhiều cách giải, ngoài cách giải này còn có
cách giải khác nh sau:
Cách 2: Giả sử ao không đào chính giữa vờn hay chính giữa một cạnh v-
ờn mà đào đúng góc vờn sao cho hai cạnh ao trùng
với hai cạnh mảnh vờn nh hình vẽ.
Khi đó phần đất còn lại đợc chia thành
một hình vuông (hình 4) có cạnh là: 17 x 2 = 34 (m)
và hai hình chữ nhật (hình 1 và hình 3) có cùng
chiều dài là 34m, chiều rộng là cạnh của ao.
Diện tích mảnh đất hình vuông 4 là:
34 x 34 = 1156 (m
2
)
Diện tích một mảnh đất hình chữ nhật là:
(1164 - 1156): 2 = 204 (m
2
)
Cạnh của ao là: 204 : 34 = 6 (m)
Cạnh của mảnh đất là: 6 + 34 = 40 (m)
Đáp số: Cạnh ao: 6m
Cạnh mảnh đất : 40m
Bài tập đề nghị
Bài 1: Một mảnh đất hình thang có diện tích 1610m
2
, chiều cao 20m.
Biết rằng đáy lớn hơn đáy nhỏ 14m. Tính đáy lớn và đáy nhỏ của mảnh đất ấy.

Bài 2: Cho hình bên, diện tích của hình tứ giác ABED
lớn hơn diện tích của hình tam giác BEC là
13,6 cm
2
. Tính chiều cao của hình tam giác BEC,
biết EC = 6,8 cm và tỉ số diện tích của hình
Hoàng Thị Ước - K30A - GDTH
20
A
M B
P
CD
N
1 2
4
3
A
B
D
E
C
Khoá luận tốt nghiệp Trờng ĐHSP Hà Nội 2
tam giác BEC và diện tích hình tứ giác ABED là
2
3
.
Bài 3: Một thửa ruộng hình thang có diện tích 4200m
2
, đáy lớn hơn đáy
bé 4m. Nếu đáy bé đợc tăng thêm 25m thì diện tích thửa ruộng sẽ tăng thêm

750m
2
. Tính độ dài mỗi đáy của thửa ruộng.
Bài 4: Giữa một miếng đất hình vuông ngời ta đào một cái ao cũng hình
vuông, phần còn lại rộng 2400m
2
dùng để trồng trọt. Tổng chu vi mảnh đất và
chu vi ao là 240m. Tính cạnh mảnh đất và cạnh ao.
Bài 5: Hợp tác xã có một sân phơi hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi
chiều rộng. Vừa qua, hợp tác xã đã mở rộng mỗi chiều thêm 2m thành một sân
phơi mới cũng hình chữ nhật có diện tích hơn sân cũ là 64m
2
. Tính chiều dài,
chiều rộng của sân cũ.
Gợi ý đáp số
Bài 1. Đáp số: đáy lớn 87,5 m
đáy nhỏ 73,5 m
Bài 2. Đáp số: 8 cm
Bài 3. Gợi ý:
Từ hình vẽ ta có:
2x750
CF 60(m)
25
= =
Tổng hai đáy của thửa ruộng là:

4200x2
140(m)
60
=

Hiệu của hai đáy là 4 m nên ta có:
Đáy lớn của thửa ruộng là:
(140 + 4): 2 = 72 (m)
Đáy bé của thửa ruộng là:
(140 - 4): 2 = 68 (m)
Đáp số: đáy lớn: 72m
đáy bé: 68m
Bài 4. Gợi ý
Giả sử ta chuyển cái ao hình vuông về một góc
của miếng đất sao cho hai cạnh của ao trùng với hai cạnh
của miếng đất. Phần còn lại đợc chia thành hai hình
Hoàng Thị Ước - K30A - GDTH
21
A
B
F
E
C
D
4200 m
2
750 m
2
25 m
Khoá luận tốt nghiệp Trờng ĐHSP Hà Nội 2
thang bằng nhau (nh hình vẽ)
Diện tích mỗi hình thang là: 2400 : 2 = 1200 (m
2
)
Mỗi hình thang này có chiều cao bằng hiệu hai cạnh của miếng đất và

cái ao, tổng hai đáy là tổng hai cạnh của hai hình vuông.
Tổng hai đáy của hình thang là: 240 : 4 = 60 (m)
Chiều cao hình thang là: 1200 x 2 : 60 = 40 (m)
Cạnh của miếng đất là: (60 + 40): 2 = 50 (m)
Cạnh của cái ao là: 60 - 50 = 10 (m)
Đáp số: Cạnh miếng đất: 60 m
Cạnh của ao: 10 m
Bài 5. Gợi ý:
Diện tích mở rộng thêm chia thành hai hình chữ nhật (1) và (2) có cùng
chiều rộng và một hình vuông cạnh 2m.
Tổng diện tích của hai hình chữ nhật (1) và (2) là:
64 - (2 x 2) = 60(m
2
)
Tổng hai chiều dài của hai hình chữ nhật (1)
và (2) cũng chính là tổng chiều dài và chiều
rộng của hình chữ nhật ban đầu.
Vậy ta có BC + DC = 60 : 2 = 30 (m)
Theo bài ra, chiều dài hình chữ nhật ban đầu lại gấp đôi chiều rộng nên:
DC = 2 x BC.
Từ đó ta tính đợc: chiều dài chủa sân phơi là 20m, chiều rộng là 10m
2.2. Bài toán tính diện tích không áp dụng trực tiếp công thức tính
Các bài toán ở dạng này đòi hỏi phải biết vận dụng các thao tác phân
tích, tổng hợp trên hình đồng thời với việc tính toán trên số đo diện tích. Việc
giải quyết các bài toán này dựa vào các tính chất cơ bản sau:
1. Nếu một hình đợc chia thành nhiều hình nhỏ thì diện tích của hình đó
bằng tổng diện tích các hình nhỏ đợc chia.
2. Hai hình có diện tích bằng nhau mà có phần chung thì hai phần còn
lại sẽ có diện tích bằng nhau.
3. Nếu ghép thêm một hình vào hai hình có diện tích bằng nhau thì sẽ

đợc hai hình mới có diện tích bằng nhau.
Ví dụ 1: Hãy tính diện tích của mảnh đất đợc
Hoàng Thị Ước - K30A - GDTH
22
A B
I
H
G
F
C
D
E
(1)
(2)
B
C
E
A
D
N
M
14 m
7 m
6 m
Khoá luận tốt nghiệp Trờng ĐHSP Hà Nội 2
tạo bởi hình chữ nhật ABCD và hình vuông
CEMN có kích thớc nh hình vẽ
Lời giải:
Diện tích của mảnh đất bằng tổng diện tích của
hình chữ nhật ABCD và hình vuông CEMN.

Diện tích của hình chữ nhật ABCD là:
14 x 6 = 84 (m
2
)
Diện tích hình vuông CEMN là:
7 x 7 = 49 (m
2
)
Vậy diện tích mảnh đất đó là:
84 + 49 = 133 (m
2
)
Đáp số: 133 m
2
Nhận xét: Ví dụ 1 là ví dụ đơn giản để minh hoạ cho dạng toán tính
diện tích không áp dụng trực tiếp công thức tính. Để tìm đợc đáp số chỉ cần
lấy tổng của hai diện tích thành phần: S
ABCD
và S
CEMN
.
Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD, M là điểm chính giữa cạnh BC, E là điểm
chính giữa cạnh AD. Hai đoạn thẳng AM với BE cắt nhau ở K, hai đoạn thẳng
DM với CE cắt nhau ở N. Diện tích tam giác ABK là 3cm
2
, diện tích tam giác
CDN là 5cm
2
. Tính diện tích tứ giác EKMN
Lời giải:

Ta có:
* S
ABM
= S
AMC
(vì có chung đờng cao hạ từ A
xuống BC, cạnh đáy BM = MC)
* S
CAE
= S
CDE
(vì có chung đờng cao hạ từ C
xuống AD, cạnh đáy AE = ED)
Suy ra: S
ABM
+ S
CDE
=
1
2
S
ABCD
(1)
Tơng tự ta cũng có:
* S
ABE
= S
EBD
(vì có chung đờng cao hạ từ B xuống AD, hai đáy AE = ED)
* S

DMC
= S
DBM
(vì có chung đờng cao hạ từ D xuống BC, hai đáy BM = MC)
Suy ra: S
ABE
+ S
DMC
=
1
2
S
ABCD

và S
EDMB
=
1
2
S
ABCD
(2)
Hoàng Thị Ước - K30A - GDTH
23
A
B
E
D
M
C

K
N
3 cm
2
5 cm
2
Khoá luận tốt nghiệp Trờng ĐHSP Hà Nội 2
Từ (1) và (2) ta suy ra: S
ABM
+ S
CDE
= S
EDMB

hay: S
AKB
+ S
BKM
+ S
EDN
+ S
DNC
= S
EKM
+ S
BKM
+ S
ENM
+ S
EDN

suy ra S
AKB
+ S
DNC
= S
EKM
+ S
EMN

Vậy: S
EKMN
= S
AKB
+ S
DNC
= 5 + 3 = 8 (cm
2
)
Đáp số: 8 cm
2
Nhận xét: Trong ví dụ 2, tứ giác EKMN đã đợc chia thành hai tam giác
EKM và EMN. Thông qua các mối quan hệ giữa các đa giác trong hình ta tìm
đợc mối liên hệ giữa hai tam giác này với các tam giác đã biết diện tích, đó là:
S
EKM
+ S
EMN
= S
AKB
+ S

DNC
. Từ đó, ta tìm đợc diện tích của tứ giác EKMN là 8
cm
2
.
Ngoài ra khi đã biết đợc mối quan hệ: S
AKB
+ S
DNC
= S
EKM
+ S
EMN
ta có
thể đặt ra một bài toán tơng tự nh sau: Cho tứ giác ABCD, M là điểm chính
giữa cạnh BC, E là điểm chính giữa cạnh AB. Hai đoạn thẳng AM với BE cắt
nhau ở K, hai đoạn thẳng DM với CE cắt nhau ở N. Biết diện tích tứ giác
EKMN là 8cm
2
, hãy tính S
AKB
+ S
DNC
.
Ví dụ 3: Cho hình thang ABCD có diện tích 30cm
2
. Kéo dài AB một
đoạn BE = AB, kéo dài DC một đoạn CG = BC, kéo dài CD một đoạn DH =
CD, kéo dài AD một đoạn AK = AD. Tính diện tích tứ giác EGHK
Lời giải:

Ta có: * S
DCG
= S
DCB
(1)
(Vì có chung đờng cao hạ từ D
xuống BC, cạnh đáy CG = BC)
* S
DCG
= S
DGH
( Vì
có chung đờng cao hạ từ G
xuống DC, cạnh đáy DH = DC)
Suy ra: S
CGH
= 2 x S
DCG
(2)
Từ (1) và (2) suy ra: S
CGH
= 2 x
S
DCB
(3)
Tơng tự ta cũng có:
Suy ra: S
KAE
= 2 x S
KAB

(4)
Mà S
KAD
= S
DAB
(5) ( Vì có chung đờng cao hạ từ B xuống AD, cạnh
đáy AD = AK)
Từ (4) và (5) ta có: S
KAE
= 2 x S
DAB
(6)
Mà S
ABD
+ S
DBC
= S
ABCD
(7)
Từ (3), (6), (7) ta suy ra:
Hoàng Thị Ước - K30A - GDTH
24
B
G
E
C
K
H
A
D

30cm
2
Khoá luận tốt nghiệp Trờng ĐHSP Hà Nội 2
S
CGH
+S
AKE
= 2 x (S
ABD
+S
DBC
) = 2 x S
ABCD
Chứng minh tơng tự ta cũng có:
+ =
BEG DKH ABCD
S S 2S
Mặt khác:
= + + + +
EGHK AKE GCH BEG KDH ABCD
S S S S S S

=
ABCD
5 x S
Suy ra:
= =
2
EGHK
S 5 x 30 150 (cm )

Đáp số:
2
150 cm
Nhận xét: Cách giải trên là cách giải thờng gặp nhất ở học sinh Tiểu
học. Với cách giải này, học sinh chủ yếu dựa vào các tỷ số của các đoạn thẳng
tù đó suy ra đợc các cặp tam giác có diện tích bằng nhau. Diện tích của tứ giác
EGHK bằng tổng diện tích của các đa giác thành phần và bằng 5 lần diện tích
hình thang ABCD. Ngoài ra ta cũng có thể dựa vào công thức tính diện tích
tam giác để giải bài toán này nh sau:
Gọi đờng cao hình thang ABCD là h.
Khi đó đờng cao của tam giác CGH hạ
từ G xuống CH cũng bằng h, đờng cao
của tam giác AKE hạ từ K xuống AE
cũng bằng h còn đờng cao của tam giác
HDK hạ từ K xuống HD và đừờng cao của
tam giác BEG hạ từ G xuống BE đều bằng 2 x h.
Do đó ta có:
= = =
CHG
1 1
S x h x CH x h x 2 x CD h x CD
2 2

= =
BGE
1
S x 2h x BE h x AB
2

= = =

AKE
1 1
S x h x AE x h x 2 x AB h x AB
2 2

HDK
1
S x 2h x HD h x DC
2
= =
Vậy
+ + + = +
CHG BGE AKE HDK
S S S S 2 x h x (CD AB)
Ta lại có:
Hoàng Thị Ước - K30A - GDTH
25
B
G
E
C
K
H
A
D
h
2h
2h