bài tập nguyên hàm, tích phân

Nguyễn Dương ĐT: 0932528949
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
I : Đổi Biến Số
Chuyentoannt.net
1
Nếu hàm số có mẫu: đặt
t = mẫu
1/
3
3
2
0
1
x dx
I
x
=
+
∫
2/I =
2x
ln5
x
ln 2
e
dx
e 1−
∫
3/
4
0

1
2 1
I dx
x
=
+
∫
4/ I =
2
0
sin 2x.cosx
dx
1 cos x
π
+
∫
5/I =
2
0
sin 2x sin x
dx
1 3cosx
π
+
+
∫
6/I =
2
4
0

1 2sin x
dx
1 sin 2x
π
−
+
∫
7/I =
5 3
3
2
0
x 2x
dx
x 1
+
+
∫
8/I =
3
2
4
tgx
dx
cos x 1 cos x
π
π
+
∫
2. Nếu hàm số có căn đặt

t = căn
1 )
22
3
3
1
3 5I x dx= +
∫
2)
1
3 2
0
2I x x dx= −
∫
3)
1
1 ln
e
x
I dx
x
+
=
∫
4/I =
2
1
0
x
dx

(x 1) x 1+ +
∫
5)
4
0
1
2 1
I dx
x
=
+
∫
6)
1
0
2 1
xdx
I
x
=
+
∫
7)
2 3
2
5
4
dx
I
x x

=
+
∫
8/I =
4
2
2
1
dx
x 16 x−
∫
9*/I =
6
2
2 3
1
dx
x x 9
−
∫
10/I =
2
2 2
1
x 4 x dx
−
−
∫
9/I =
1

2
0
x
dx
4 x
−
∫
10/I =
3
7
3
2
0
x
dx
1 x+
∫
11/I =
2
3
0
x 1
dx
x 1
+
+
∫
12/I =
3
4

2
0
sin x
dx
cos x
π
∫
13/I =
2
0
sin 2x
dx
1 cos x
π
+
∫
14/I =
7
3
3
0
x 1
dx
3x 1
+
+
∫
15/I =
4
2

7
1
dx
x x 9
+
∫
16*/I =
2
3
1
1
dx
x 1 x
+
∫
17/I =
3
7
3
2
0
x
dx
1 x+
∫
11/I =
2
2 3
0
x (x 4) dx

+
∫
12/I =
2
4
4 3
3
x 4
dx
x
−
∫
13*/I =
2
2
2
2
x 1
dx
x x 1
−
−
+
+
∫
14/I =
ln 2
x
0
e 1dx−

∫
15/I =
1
0
1
dx
3 2x
−
∫
16/I =
2x
ln5
x
ln 2
e
dx
e 1−
∫
17/I =
2
1
x
dx
1 x 1
+ −
∫
18/I =
9
3
1

x. 1 xdx
−
∫
19/I =
2
3
0
x 1
dx
3x 2
+
+
∫
20/I =
2
4
0
sin xdx
π
∫
Nguyễn Dương ĐT: 0932528949
Chuyentoannt.net
2
3. hàm số có lũy thừa đặt
t = biểu thức trong lũy thừa
1 )
1
3 4 3
0
(1 )I x x dx= +

∫
2)
1
5 3 6
0
(1 )I x x dx= −
∫
3/ I =
2
3
0
cos xdx
π
∫
4/I =
2
5
0
sin xdx
π
∫
5/I =
1
3 4 5
0
x (x 1) dx
−
∫
6*/I =
0

2
2
sin 2x
dx
(2 sin x)
−π
+
∫
7/I=
2
2 3
0
sin 2x(1 sin x) dx
π
+
∫
8/I =
1
5 3 6
0
x (1 x ) dx−
∫
9/ I=
2
2
0
sin xcosx(1 cos x) dx
π
+
∫

10/I =
3
1
2 3
0
x
dx
(x 1)+
∫
11/ I=
1
2 3
0
(1 2x)(1 3x 3x ) dx
+ + +
∫
4. hàm số nằm trên hàm e mũ
t = biểu thức trên mũ
1/ I =
∫
+
4
0
2
2
cos
π
x
e
tgx

2/I =
2
2
sin x
4
e sin 2x dx
π
π
∫
3/I =
2
2
sin x 3
0
e .sin xcos xdx
π
∫
4/I =
2
sin x
0
(e cos x)cosx dx
π
+
∫
5*/I =
1
3x 1
0
e dx

+
∫
6/
2
/2
sin 3
0
sin cos
x
F e x xdx
π
=
∫
7/ I =
x
1
x x
0
e
dx
e e
−
+
∫
8/ I=
x
ln3
x x
0
e

dx
(e 1) e 1+ −
∫
9/I =
2x
2
x
0
e
dx
e 1
+
∫
10/I =
x
1
x
0
e
dx
e 1
−
−
+
∫
5. Hàm số có chứa Ln đặt
t = Ln
1/I =
e
1

sin(ln x)
dx
x
∫
2/I =
e
1
cos(ln x)dx
π
∫
3/I =
e
1
1 3ln x ln x
dx
x
+
∫
4/I =
2
e
e
ln x
dx
x
∫
5/I =
3
2
6

ln(sin x)
dx
cos x
π
π
∫
6/I =
3
0
sin x.ln(cosx)dx
π
∫
7/I =
2
e
2
1
cos (ln x)dx
π
∫
8/I =
3
2
e
1
ln x 2 ln x
dx
x
+
∫

9/I =
e
2
1
ln x
dx
x(ln x 1)
+
∫
10/
2
2
1 1
ln ln
e
e
I dx
x x
 
= −
 ÷
 
∫
6.Hàm số có dạng
a
2
+ x
2
thì đặt x = a tanu
a

2
- x
2
thì đặt x = a sinu
x
2
- a
2
thì đặt x = a /sinu
1/I =
1
2 2
3
1
dx
x 4 x
−
∫
2/I =
2
2 2
1
x 4 x dx
−
−
∫
3/I =
2
2
0

4 x dx+
∫
4/I =
3
2
3
1
dx
x 3+
∫
5*/I =
3
2
2
1
dx
x 1
−
∫
6/I =
1
2
0
3
dx
x 4x 5
− −
∫
7/I =
0

2
1
1
dx
x 2x 9
−
+ +
∫
8/I =
2
2
1
4x x 5dx
−
− +
∫
9/I =
2
1
2
0
x
dx
4 x−
∫
10/I =
1
4
2
2

0
x
dx
x 1
−
∫
Nguyễn Dương ĐT: 0932528949
Chuyentoannt.net
3
Tích phân từng phần
1)
1
0
( 1)
x
I x e dx= +
∫
2)
1
0
x
I xe dx
=
∫
3)
1
2
0
( 2)
x

I x e dx= −
∫

4 )
2
1
lnI x xdx
=
∫

5)
2
0
( 1)sinxI x dx
π
= +
∫

6)
2
1
ln
e
I x xdx
=
∫
7)
2
1
ln

e
I x xdx
=
∫
8)
1
2
0
x
I x e dx=
∫
9)
1
2
0
(2 1)
x
I x x e dx= + +
∫
10)
( )
3
2
0
ln 3I x x dx= +
∫
11/I =
2x 2
0
e sin xdx

π
∫
12/I =
3
0
sin x.ln(cosx)dx
π
∫
13/I =
2
1
3 x
0
x e dx
∫
Tích phân hàm hữu tỉ
1/I =
3
3
2
1
x
dx
x 16−
∫
2/I =
1
0
2x 9
dx

x 3
+
+
∫
3/I =
1
3
0
4x
dx
(x 1)
+
∫
4/I =
2
1
0
x 3x 2
dx
x 3
+ +
+
∫
5/I =
3 2
1
2
0
x 2x 10x 1
dx

x 2x 9
+ + +
+ +
∫
6/I =
3
6 2
1
1
dx
x (1 x )
+
∫
7/I =
3
2
2
1
3x
dx
x 2x 1+ +
∫
8/I =
7
3
8 4
2
x
dx
1 x 2x

+ −
∫
9/I =
1
3 2
0
4x 1
dx
x 2x x 2
−
+ + +
∫
10*/I =
4
1
6
0
x 1
dx
x 1
+
+
∫
11*/I =
5
2
5
1
1 x
dx

x(1 x )
−
+
∫
12/I =
1
2
0
x 3
dx
(x 1)(x 3x 2)
−
+ + +
∫
Tích phân hàm trị tuyệt đối
1/I =
3
2
4
x 4 dx
−
−
∫
2/I =
2
3 2
1
x 2x x 2 dx
−
− − +

∫
3/I =
3
4
4
cos2x 1dx
π
π
+
∫
4/I =
0
cosx sin xdx
π
∫
5/I=
e
1
e
ln x dx
∫
6/I =
1
2
2
0
4x 1
dx
x 3x 2
−

− +
∫
7/
1
2
1
(| 2 1| | |)K x x dx
−
= − −
∫
8/
2
2
0
| 2 3|H x x dx
= + −
∫
9)
2
2
0
I x x dx= −
∫

10/I =
5
3
( x 2 x 2 )dx
−
+ − −

∫
11/I =
3
4
4
sin 2x dx
π
π
∫
Tích phân hàm lượng giác
1/I =
3
2
4
3tg xdx
π
π
∫

2 / I =
2
3
0
sin x dx
π
∫

3/I =
4
2

6
(2cotg x 5)dx
π
π
+
∫

4/I =
2
4
0
sin x dx
π
∫

5/ I =
∫
2
4
4
sin
1
π
π
x
dx
6/ I =
∫
4
0

6
cos
1
π
x
dx
7/I =
2
0
sin x.sin 2x.sin3xdx
π
∫
8/I =
3
3
2
0
sin x
dx
(sin x 3)
π
+
∫
9/I =
2
2
0
cos x.cos4xdx
π
∫

TÍCH PHÂN T ỪNG PHẦN
THỨ TỰ ƯU TIÊN U, V : x (x) : đứng trước làm V, đứng sau làm U – mũ lượng đa lốc