- Trang chủ >>
- Khoa học tự nhiên >>
- Vật lý
Khử phân kỳ hồng ngoại trong lý thuyết trường lượng tử
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.05 MB, 65 trang )
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
====== ======
TRẦN VĂN QUANG
KHỬ PHÂN KỲ HỒNG NGOẠI
TRONG LÝ THUYẾT TRƯỜNG LƯỢNG TỬ
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Hà Nội -2011
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
====== ======
TRẦN VĂN QUANG
KHỬ PHÂN KỲ HỒNG NGOẠI
TRONG LÝ THUYẾT TRƯỜNG LƯỢNG TỬ
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán
Mã số: 60 44.01
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Cán bộ hướng dẫn: GS. TSKH. Toán-lý Nguyễn Xuân Hãn
Hà Nội -2011
MỤC LỤC
- 1 -
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU:……………………….…………………………….…… … Trang 2
CHƢƠNG 1: QUÁ TRÌNH TÁN XẠ ELECTRON Ở TRƢỜNG ĐIỆN TỪ
NGOÀI…………………………………………………………………….…….7
1.1. Tán xạ của electron trong trường điện từ ngoài ở gần đúng bậc nhất….……9
1.2. Bổ chính photon ảo cho biên độ tán xạ gần đúng bậc nhất……………… 18
CHƢƠNG 2: TIẾT DIỆN TÁN XẠ ĐỘC LẬP VỚI PHÂN KỲ HỒNG
NGOẠI…………………………………………………………… … ….… 28
2.1. Bổ chính photon thực cho biên độ tán xạ gần đúng bậc nhất………………28
2.2. Phương pháp
min
……………………………… …….………………… 33
2.3. Tiết diện tán xạ vi phân 43
KẾT LUẬN…………………………………………………………………….45
TÀI LIỆU THAM KHẢO………………………… …………………… …47
PHỤ LỤC A: KHỬ PHÂN KỲ BẰNG ĐIỀU CHỈNH THỨ NGUYÊN…… 48
PHỤ LỤC B: CÁC QUÁ TRÌNH TÁN XẠ ELECTRON Ở TRƯỜNG
NGOÀI……………………………………………………………………… 54
- 2 -
MỞ ĐẦU
Lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến và sự tái chuẩn hoá khối lượng điện tích
của electron trong điện động lực học lượng tử (QED) kết hợp lại đã cho phép ta
tính toán các quá trình tương tác điện từ với kết quả phù hợp khá tốt với số liệu
thực nghiệm /1-4/. Sự tái chuẩn hoá các đại lượng vật lý (ví dụ: Trong QED là sự
tái chuẩn hoá khối lượng và điện tích của electron) đòi hỏi để loại bỏ các tích
phân phân kỳ trong các giản đồ Feynman ở vùng các xung lượng của các hạt ảo
lớn thuộc đường trong /1-4/. Các phân kỳ loại này được gọi là các phân kỳ tử
ngoại. Để giải quyết khó khăn này đến nay tồn tại ba phương pháp khử phân kỳ
chủ yếu trong lý thuyết trường lượng tử /2/: Phương pháp Pauli-Vallars,
phương pháp điều chỉnh thứ nguyên, phương pháp cắt xung lượng lớn. Các
phương pháp này giúp chúng ta biểu diễn các biểu thức cho các yếu tố S-ma trận
thành tổng: một phần hữu hạn có ý nghĩa vật lý và phần kia vô hạn riêng biệt mà
sau này ta gộp vào các đại lượng cần tái chuẩn hóa thành các đại lượng vật lý.
Khối lượng và điện tích trong các phương trình trường tụ do của các electron và
photon trong QED khi chưa tương tác người ta gọi là khối lượng “trần” m
0
và
điện tích “trần” e
0
. Khi tương tác cả khối lượng và điện tích đều thay đổi. Các
phân kỳ trong QED tại từng bậc của lý thuyết nhiễu loạn được tách thành các
phần riêng biệt
m
và
e
. Các phần phân kỳ
m
và
e
sẽ được gộp với khối
lượng “trần” m
0
và điện tích “trần” e
0
. Các giá trị mới thu được
0
m m m
vaät lyù
,
0
e e e
vaät lyù
chúng ta đồng nhất với khối lượng vật lý và
điện tích vật lý, mà người ta có thể đo được trên thực nghiệm. Việc gộp các giá
trị “trần” với các phần phân kỳ trong tính toán các giản đồ Feynman, được gọi là
quá trình tái chuẩn hoá /1,2,3/.
Ngoài phân kỳ tử ngoại trong lý thuyết trường nói chung còn tồn tại một
loại phân kỳ khác, đó là phân kỳ hồng ngoại ở vùng các hạt thực cũng như hạt
ảo nhỏ so với xung lượng của hạt và xung lượng truyền giữa các hạt /3/.
- 3 -
Photon như vậy người ta còn gọi là photon “mềm”. Phân kỳ này liên quan đến
các trường mà lượng tử của nó có khối lượng nghỉ bằng không, ví dụ như photon
trong QED, graviton trong trường hấp dẫn lượng tử…Các đặc trưng cho kỳ dị
hồng ngoại xuất hiện không chỉ cho hàm Green, mà còn ở các yếu tố ma trận nếu
chúng được xác định bằng các phương trình của lý thuyết trường. Những khó
khăn phân kỳ hồng ngoại, mà chúng ta gặp phải ngay cả khi nghiên cứu các bài
toán bức xạ hấp thụ các photon với năng lượng nhỏ trong điện động lực học cổ
điển /3/.
Ví dụ, xác xuất bức xạ của photon ở vùng năng lượng thấp tỷ lệ nghịch
với tần số
d
dW
, tổng xác xuất bức xạ photon sẽ phân kỳ dạng loga khi
0
/3/. Nguyên nhân của phân kỳ hồng ngoại xuất hiện là do: việc sử dụng
lý thuyết nhiễu loạn thông thường dựa vào khái niệm S- ma trận theo chuỗi luỹ
thừa theo điện tích e là không hợp lý cho các quá trình vật lý có các photon với
bước sóng dài hay các photon mềm tham gia. Sự không hợp lý của việc áp
dụng lý thuyết nhiễu loạn được lý giải như sau: Số lượng các photon được các
electron bức xạ trong một khoảng đơn vị năng lượng khi
0
tiến tới vô
cùng. Khi đó, trong lý thuyết nhiễu loạn người ta lại giả thiết rằng: sự bức xạ
một photon có xác xuất lớn hơn sự bức xạ của hai hay một lượng lớn các
photon /3/.
Trong QED phân kỳ hồng ngoại xuất hiện khi chúng ta tính các lượng bổ
chính bậc cao cho các quá trình vật lý dựa vào lý thuyết nhiễu loạn. Thông
thường để vượt qua trở ngại này, người ta phải điều chỉnh lại các kỳ dị hồng
ngoại cho các S-ma trận bằng cách cho photon một khối lượng nhỏ
min
/3/. Các
kỳ di hồng ngoại ở đây xuất hiện cho cả các photon ảo và photon thực do quá
trình bức xạ hãm. Đáng chú ý, đóng góp của cả hai loại photon ảo và photon
thực sau khi lấy tổng cho chúng ta kết quả, trong đó các kỳ dị hồng ngoại bị triệt
- 4 -
tiêu lẫn nhau đối với bất cứ bậc nào của lý thuyết nhiễu loạn, tham số điều chỉnh
đã được đưa vào chúng ta có thể đặt bằng không trong biểu thức cuối cùng.
Sự giải thích vật lý và những lập luận sự loại trừ các kỳ dị hồng ngoại lẫn
nhau có thể tìm thấy ở nhiều tài liệu tham khảo hiện đại /1,2,3,4/. Vấn đề ở đây
là các kỳ dị hồng ngoại có thể tách ra khỏi khai triển nhiễu loạn thông thường và
viết dưới dạng nhân tử hàm mũ. Sự loại trừ lẫn nhau các kỳ dị hồng ngoại của
bậc thấp nhất có thể đảm bảo cho sự loại trừ lẫn nhau ở tất cả các bậc khác tiếp
theo, và sự tương đương của hai phương pháp khác nhau khử phân kỳ hồng
ngoại ở bậc thấp nhất vẫn còn có ý nghĩa tương đương đối với mọi bậc tiếp theo
của khai triển nhiễu loạn /5,6/.
Vấn đề đặt ra ở đây là sự liên hệ giữa phân kỳ hồng ngoại và phân kỳ tử
ngoại như thế nào? Liệu có thể sử dụng các phương pháp điều chỉnh của phân
kỳ tử ngoại, áp dụng tiếp tục cho phân kỳ hồng ngoại được không? Vấn đề
này có ý nghĩa cho nghiên cứu các lý thuyết chuẩn, lý thuyết điện yếu Glashow-
Salam-Weinberg, lý thuyết thống nhất tương tác kể cả tương tác hấp dẫn /4/.
Muc đích của Bản Luận văn Thạc sĩ khoa học này là nghiên cứu khử
phân kỳ hồng ngoại trong lý thuyết trường lượng tử cho bài toán tán xạ ở
trường điện từ ngoài .
Bản Luận văn gồm: phần mở đầu, hai chương và phần kết luận. Phần mở
đầu chúng tôi vắn tắt nêu tổng quan các vấn đề liên quan đến các loại phân kỳ
thường gặp trong lý thuyết trường lượng tử, các giải pháp và nhiệm vụ của Luận
văn cần thực hiện.
Trong Chương I chúng tôi xem xét bài toán tán xạ electron ở trường
điện từ ngoài. Lagrangian tương tác điện từ
int
L ie A
, trong đó
là
trường spinơ-electron-positron, còn
A
là trường điện từ. Mục $1.1 chúng tôi
- 5 -
nghiên cứu giản đồ Feynman của quá trình tán xạ đàn tính của electron trong
trường điện từ ngoài ở gần đúng bậc nhất của lý thuyết nhiễu loạn, và tính tiết
diện tán xạ vi phân tương ứng với giản đồ này. Trong mục $1.2 chúng tôi
nghiên cứu đóng góp của các bổ chính photon ảo gần đúng bậc nhât. Trong quá
trình tính toán các giản đồ Feynman chúng tôi sử dụng phương pháp khử phân
kỳ bằng điều chỉnh thứ nguyên.
Chương II: Bổ chính các photon thực cho quá trình tán xạ electron ở
trường điện từ ngoài. Trong mục $2.1 chúng tôi xem xét đóng góp của các
photon thực cho quá trình tán xạ kể trên. Việc tính toán đóng góp bằng phương
pháp
min
được trình bày ở mục $2.2. Mục $ 2.3 dành cho việc lấy tổng các
đóng góp của các photon thực và photon ảo, kết quả cuối cùng là tiết diện tán xạ
độc lập với phần kỳ hồng ngoại.
Phần kết luận tóm tắt kết quả nhận được trong luận văn, và thảo luận vai
trò, triển vọng của phương pháp khử phân kỳ đối với việc nghiên cứu các lý
thuyết trường hiện đại ngày nay.
Trong Phụ lục A chúng tôi nêu vắn tắt những luận điểm cơ bản của
phương pháp khử phân kỳ bằng điều chỉnh thứ nguyên, dẫn các công thức tích
phân cần thiết cho tính toán các hiệu ứng vật lý sau này. Ở đây ta xét mô hình
trường vô hướng tự tương tác
3
int
Lg
(
là trường vô hướng) ở mục 1.1, và
tiến hành phép chia tách các phần hữu hạn, các phần phân kỳ tử ngoại cho giản
đồ năng lượng riêng của hạt thực vô hướng ở mục 1.2. Mô hình tương tác đơn
giản
3
int
Lg
cho phép chúng ta thực hiện các tính toán cụ thể và chi tiết, và dễ
hiểu được bản chất của vấn đề. Để nghiên cứu các quá trình tương tác điện từ
thực trong QED chúng tôi phải dẫn thêm sự tổng quát hoá một số công thức
thông dụng bao gồm các ma trận Dirac
cho các hạt có spin.
- 6 -
Phụ lục B xem xét bài toán tổng quát khử phân kỳ hồng ngoại theo lý
thuyết nhiễu loạn cho bài toán tán xạ hạt ở trường ngoài. Các kỳ dị hồng ngoại ở
đây xuất hiện cho cả các photon ảo và photon thực, sau khi lấy tổng cho chúng ta
kết quả tiết diện tán xạ vi phân là hữu hạn và độc lập với các kỳ dị đó.
Trong Luận văn này chúng tôi sẽ sử dụng hệ đơn vị nguyên tử
1c
và
metric Pauli
1 2 3 4
0 0 4 4 4 4
( , , , ) ;
; 1,2,3 ;
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
kk
x x x x y x z x ict it x
ab a b ab a b ab a b a b a b k
Các chỉ số Hy Lạp lặp lại có ngụ ý lấy tổng từ 1 đến 4.
- 7 -
CHƢƠNG 1.
QUÁ TRÌNH TÁN XẠ ELECTRON Ở TRƢỜNG ĐIỆN TỪ NGOÀI
Điện động lực học lượng tử ngày nay là một trong số các lý thuyết đầu
tiên khá hoàn chỉnh của lý thuyết trường lượng tử /9/. Chỉ dựa vào các quy luật
của nó người ta mới giải thích được nhiều hiện tượng khó hiểu trước đây, ví dụ
như sự dịch chuyển bổ chính các mức năng lượng nguyên tử, mômen từ dị
thường của electron ở trường ngoài và một loạt các kết quả quan trọng về những
tính chất của chất và trường. Những thành tựu rực rỡ này đã chứng minh sự tồn
tại một dạng mới của vật chất mà ta vẫn chưa biết: đó là chân không của trường
điện từ và chân không của trường electron-positron. Chân không trong lý thuyết
trường lượng tử là trạng thái có mức năng lượng cơ bản thấp nhất của trường hay
hệ các trường, mà trong đó không tồn tại hạt thực. Trong trạng thái chân không
của trường điện từ không có các photon thực, nhưng vẫn tồn tại những dao động
không của chân không mà chúng thể hiện trong một loạt các hiệu ứng vật lý. Sự
tồn tại các dao động không cũng đặc trưng với chân không của trường electron-
positron, mà trong đó không tồn tại các hạt thực là electron và positron.
Tất cả các hiện tượng trên đã chứng minh rằng chân không đã có những
tính chất vật lý phức tạp, chứ không thể coi nó như không gian “trống rỗng”
nguyên thuỷ. Khái niệm chân không vật lý là một đặc trưng vô cùng quan trọng
trong giai đoạn phát triển hiện đại về lý thuyết trường lượng tử. Nhờ có khái
niệm chân không vật lý mà sự tương tác giữa các hạt trong lý thuyết trường
lượng tử được coi là kết quả của việc trao đổi các lượng tử của các trường tương
ứng. Tương tác điện từ là kết quả của việc trao đổi photon ảo; tương tác mạnh –
các pimeson ảo.
- 8 -
Sự tồn tại chân không và sự tương tác của nó với các trường khác đã dẫn
đến những khó khăn đặc biệt nghiêm trọng trong điện động lực học lượng tử và
sự xuất hiện một loạt các phân kỳ gắn liền với việc áp dụng lý thuyết nhiễu loạn,
một công cụ chủ yếu của điện động lực học lượng tử khi nghiên cứu các hiệu
ứng kể trên ở bậc cao. Để vượt qua những khó khăn về phân kỳ này người ta
phải đưa vào ý tưởng bổ sung về sự tái chuẩn hoá lại các hằng số (khối lượng,
điện tích v.v…), mà chúng không có trong các cách phát biểu trong lý thuyết ban
đầu. Trong chương này chúng ta xem xét việc khử phân kỳ hồng ngoại cũng
bằng phương pháp điều chỉnh thứ nguyên. Cụ thể ta xem xét bài toán tán xạ của
electron ở trường điện từ ngoài. Trong gần đúng bậc nhất theo điện tích, chúng ta
xét hạt tán xạ trên thế tĩnh Coulomb. Tính các bổ chính tiếp theo cho tán xạ này
chúng ta gặp phải sự phân kỳ hồng ngoại. Để giải quyết bài toán này chúng ta
xét các photon ảo và thực “mềm” được bức xạ hay hấp thụ, và tiết diện tán xạ vi
phân toàn phần gồm: tiết diện tán xạ đàn tính và tiết diện tán xạ hãm tổng lại với
nhau sẽ độc lập với phân kỳ hồng ngoại.
- 9 -
1.1. Tán xạ của electron trong trƣờng điện từ ngoài ở gần đúng bậc nhất.
Chúng ta xét quá trình tán xạ đàn tính của electron ở trường điện từ ngoài.
Theo lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến, các quá trình tán xạ được mô tả bằng S-ma
trận:
ex
int int
01
int
4
44
exp ; ;
1; ;
t
ext
S T L x d x L x ieN A
S S T L x d x T ie N A x d x
(1.1)
trong đó T là T-tích, N la
̀
N-tích.
Yếu tố ma trận của quá trình tán xạ ở trường ngoài theo lý thuyết nhiễu
loạn hiệp biến có thể viết :
' ' ' ' ' ' 4
| | | | |
ext
p r S pr p r pr ieT p r N A x d x pr
; (1.2)
trong đó
'
'
ex ex 4
i p p x
tt
A p p e A x d x
: là thế điện từ;
'
,pp
: xung lượng của electron ở trạng thái đầu và cuối ;
'
,rr
: hình chiếu spin của electron ở trạng thái đầu và cuối lên phương của
xung lượng;
- 10 -
Quá trình tán xạ này có thể mô tả bởi các giản đồ Feynman / 2,3,4/ theo lý
thuyết nhiễu loạn hiệp biến và tương ứng với công thức (1.2) . Giản đồ Feynman
trong gần đúng bậc thấp nhất (a) theo điện tích e, và các giản đồ Feynman tiếp theo
mô tả các bậc cao (bổ chính) cho quá trình tán xạ này (xem Hình 1.1).
Hình 1.1: Giản đồ Feynman diễn tả quá trình tán xạ electron trong trường điện từ
ngoài.
đường electron
trường điện từ ngoài
đường photon
ext
A
p
'p
a
b
c
d
e
f
g
h
m
- 11 -
Giải thích hình vẽ 1.1: Giản đồ (1.1a) electron có xung lượng p bay vào
vùng có trường điện từ bị tán xạ bay ra với xung lượng p’ ở gần đúng bậc thấp
nhất . Giản đồ(1.1b) là giản đồ diễn tả quá trình electron tương tác với trường
điện từ ngoài ở gần đúng bậc bậc 3 (bổ chính bậc 3). Electron xung lươ
̣
ng p bay
vào vùng có trường điện từ bức xạ một photon ảo xung lượng k lệch hướng bay ,
hấp thu
̣
photon đa
̃
bư
́
c xa
̣
trươ
́
c đo
́
rồi bay ra kho
̉
i trươ
̀
ng điê
̣
n tư
̀
vơ
́
i xung lươ
̣
ng
p’. Các giản đồ(1.1a,1.1b,1.1c,1.1d ) là các “giản đồ thang” và trong luận văn
này chúng ta chỉ nghiên cứu các giản đồ loại này. Các giản đồ
(1.1e,1.1f,1.1g,1.1h,1.1m…) mô tả các bổ chính bậc cao cho tương tác của
electron với trường điện từ ngoài .
Yếu tố ma trận trong bậc thấp nhất của lý thuyết nhiễu loạn, tương ứng
với giản đồ (1.1a) theo quy tắc Feynman có thể viết như sau:
4
1
''
|| , | ( ) ( ) ( )| ,
ext
p r S pr e d x p r N x x A x p r
. (1.3)
Vì
()
ext
Ax
là hàm số nên ta có thể bỏ ra ngoài
''
| |p r pr
, đồng thời
khai triển các toán tử
()x
và
()x
thành các toán tử sinh hủy hạt.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )N x x N
,
với:
()
x
:toán tử hủy
e
;
()
x
:toán tử hủy
e
;
()
x
:toán tử sinh
e
;
()
x
:toán tử sinh
e
.
Vì
( ) ( )
( ) ( )
NN
- 12 -
nên
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
.
N x x N
Xét yếu tố ma trận:
'
||, | , 0 ( ') ( )|0
r r
N c Np r p r p c p
'
| , ( )|0 ;| ', ' ( ')|0
r
r
p r c p p r c p
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
''
''
||
||
0 ( ') ( )| 0 0 ( ') ( )| 0
0 ( ') ( )| 0 0 ( ') ( )| 0 .
rr
rr
rr
rr
cc
cc
p c p p c p
p c p p c p
(1.4)
Khi chuyển các toán tử sinh electron
()
r
cp
từ phải sang trái và chuyển các
toán tử hủy electron
'
( ')
r
c p
từ trái sang phải thì các số hạng thứ nhất, thứ ba và
thứ tư của (1.4) bị triệt tiêu chỉ còn số hạng thứ hai cho đóng góp vào yếu tố ma
trận.
( ) ( )
'
||, | , 0 ( ') ( )|0
r
r
Ncp r p r p c p
( ) ( )
|, | ,p r p r
( ) ( )
||, |0 0 | ,p r x x p r
3
3
2
2
1
1
'
2
2
'
0
0
'
'
11
2
2
r
r
ip x ipx
mm
u p u p
p
p
ee
1
'
2
3'
00
'
2
.
'
1
2
r
r
i p p x
m
u p u p
pp
e
(1.5)
- 13 -
Thay (1.5) vào (1.3) ta được yếu tố ma trận cho quá trình tán xạ đàn tính của
electron ở trường điện từ ngoài trong bậc thấp nhất của lý thuyết nhiễu loạn :
1
'
2
ex
'
00
2
1
' ' ' '
||
r
tr
m
p r S pr e u p u p A p p
pp
, (1.6)
trong đó:
r
up
: spinơ của electron ở trạng thái đầu ;
4
'
'
''
.
r
r
u p u p
;
Chú ý có thể viết yếu tố ma trận (1.6) dưới dạng tương tự:
1 0 0 fi
p' r' S pr ( p' p )R
(1.7)
trong đó
fi
R
được xác định bằng công thức:
12
2
00
2
/
r' r ext
fi
m
R e. u ( p') u ( p)A ( p' p)
p p'
, (1.8)
và được gọi là biên độ tán xạ của electron trong trường điện từ ngoài tĩnh
(trường thế Coulomb) trong gần đúng bậc nhất của lý thuyết nhiễu loạn theo
electron.
Giữa
fi
R
và xác xuất của phép dời chuyển từ trạng thái ban đầu đến trạng thái
cuối do tương tác
fi
M
có mối liên hệ như sau:
fi f i fi
R (P P )M
trong đó
i
P
và
f
P
là xung lượng của trạng thái đầu và trạng thái cuối.
Vì hạt ở trong trường ngoài không đổi, nên xung lượng của hạt không bảo toàn,
mà chỉ có năng lượng bảo toàn nên công thức (1.7) khác công thức
1
1
f i fi
f S i ( P P )R
ở thừa số
3
( p' p)
vì
43
00
p' p p' p ( p' p )
.
- 14 -
Vậy dạng của yếu tố ma trận hạt tán xạ trên trường ngoài (1.7) có thể được
coi như là tổng quát.
Trong trường hợp tán xạ của electron trên thế Coulomb, thì
fi
M
có dạng:
2
r'
r ext
fi
me
M u ( p') u ( p)A ( p' p)
. (1.9)
Thay (1.9) vào công thức tổng quát cho tiết diện tán xạ vi phân hạt trên
trường ngoài
d
, đồng thời chú ý
0
p
v
p
ta có:
22
2
00
4
0
1
1
2
11
2
aa
r'
r ext
'
r r'
m e d p'
d u ( p') u ( p)A ( p' p ) p' p
p
p
.
(1.10)
Lưu ý
ext
A
là thực khi
1 2 3,,
và là ảo khi
4
, đồng thời
k
(k=1,2,3) phản
giao hoán với
4
nên:
4
*
*
r'
r * r' r
u ( p') u ( p) u ( p') u ( p)
4 4 4 4
*
*
r
r * r' r'
u ( p) u ( p') u ( p) u ( p')
44
rr
r' r'
u ( p) u ( p') u ( p )O u ( p')
,
trong đó
44
4
khi =k=1,2,3
O
khi =4
(1.11)
Song
2
44
A A V ;
vậy:
2
r' r' r
r r * ext ext
vv
u ( p') u ( p ) u ( p') u ( p ) u ( p')A ( p' p )A ( p' p )
. (1.12)
- 15 -
Chú ý hệ thức /9/
2
r
r
r
p im
u ( p )u ( p ) ( p)
im
, (1.13)
22
2
2
2
24
ext ext
vv
me
d Sp p im p' im A ( p' p )A ( p' p )
pm
00
0
d p'
p' p
p'
. (1.14)
Theo định luật bảo toàn năng lượng
00
p' p
suy ra
p' p
, trong toạ độ cầu,
chúng ta tính tích phân:
2
2
00
00
p' d p' d
dp'
p' p d p' p' d p' d d
p' p' p' p'
, (1.15)
trong phép biến đổi trên, chú ý rằng:
2
2 2 2 2
0
2
22
0 0 0
p m p p m
p p m p dp p d p
Chú ý từ công thức (1.15) thì tiết diện vi phân của quá trình tán xạ có thể được
viết dưới dạng:
2
2
82
ext ext
vv
de
Sp p im p' im A ( p' p )A ( p' p )
d
. (1.16)
- 16 -
Bây giờ ta tính vết ở công thức (1.16)
v v v
Sp p im p im Sp p i m p' i m
2
v v v v
Sp p p' im p' p m
2
vv
Sp p p' m
. (1.17)
Trong công thức (1.17) ta đã bỏ qua số hạng chứa im vì vết của một số lẻ các ma
trận Dirac
thì bằng không. Sử dụng các công thức tính vết thông thường:
4
vv
Sp
,
4
v v v v
Sp p p' p p' p p' pp'
, (1.18)
ta thu được kết quả:
2
44
v v v v
Sp p im p' im pp' m p p' p p'
. (1.19)
Thay các công thức (1.19) vào (1.16) ta có:
2
0
2
2
44
2
2
2
8
v v v v
Ze
de
p p' p p' pp' m
d
q
, (1.20)
trong đó
q
là xung lượng truyền và
q p' p
và ta có thể biểu diễn nó qua góc
tán xạ và độ lớn của xung lượng :
p' p p
2
2
2 2 2
2 1 4
2
q p' p p cos p sin
(1.21)
- 17 -
Thay (1.21) vào (1.20) và rút gọn ta được:
2
0
22
2
2
22
1
2
8
2
d Ze m p
cos
dm
p sin
. (1.22)
Trong phép gần đúng phi tương đối tính
22
pm
và động năng được ký hiệu
2
2
p
E
m
ta có:
2
0
2
2
16
2
d Ze
d
E sin
. (1.23)
Công thức (1.23) khác công thức Rutherford bởi bổ chính
2
2
2
2
p
cos
m
, nó được
giải thích như là sự đóng góp do sự tồn tại spin của electron. Vậy ta thu được kết
quả cho tán xạ của electron trên trường Coulomb chính xác hơn kết quả thu được
của Rutherford.
- 18 -
1.2. Bổ chính photon ảo cho biên độ tán xạ gần đúng bậc nhất.
Chúng ta nghiên cứu đóng góp của các bổ chính cho bài toán tán xạ trong
gần đúng bậc nhất đã xem xét ở trên. Bổ chính ở đây có hai loại: Loại thứ nhất
liên quan đến các photon ảo và loại thứ hai liên quan đến photon thực. Giản đồ
Feynman cho bổ chính photon ảo được đưa ra trong hình 1.2. Trong vùng hồng
ngoại chúng ta chỉ cần tính đối với giản đồ (1.2b) bởi vì tất cả các giản đồ còn lại
đều hội tụ /3/, không chứa phân kỳ.
Hình vẽ 1.2: Giản đồ Feynman cho bổ chính cho tán xạ đàn tính
của electron trong trường điện từ ngoài
Giải thích hình 1.2: Giản đồ (1.2a) diễn tả quá trình tán xạ của electron
trong trường điện từ ngoài gần đúng bậc nhất. Electron xung lượng p bay vào
vùng có trường điện từ và lệch hướng bay ra có xung lượng p’. Giản đồ (1.2b)
electron khi bay vào vùng có trường điện từ đã bức xạ ra một photon và lệch
hướng bay đồng thời hấp thụ photon đã bức xạ trước rồi ra khỏi vùng có trường
điện từ. Giản đồ (1.2c) diễn tả quá trình electron tương tác với trường điện từ
ngoài, sau quá tình tạo cặp và huỷ cặp electron và positron thành hai photon
ee
. Giản đồ này giúp chúng ta tái chuẩn hoá điện tích của electron
a
b
c
d
(e )
( f )
m
(h )
m
- 19 -
trong quá trình tán xạ. Giản đồ (1.2d, 1.2e) trong quá trình tương tác với trường
điện từ ngoài electron bức xạ và hấp thụ các photon, quá trình này xảy ra có thể
trước hoặc sau tương tác với trường ngoài. Giản đồ (1.2f, 1.2h) xuất hiện do việc
kể thêm các phản thành phần có chứa thừa số
m
trong Lagrangian tương tác để
tái chuẩn hoá khối lượng electron trong quá trình tán xạ.
Theo quy tắc Feynman ta có bổ chính cho giản đồ đỉnh (1.2b):
4
2
4
2 2 2
22
2
v
v
p' k im p k im
dk
p', p ie
k k p' k k pk
, (1.24)
trong đó p và p’ là xung lượng của electron vào và ra. Ở đây chúng ta lấy tích
phân n chiều và sử dụng các công thức đối với ma trận
:
2a n a
;
44ab ab n ab
; (1.25)
24abc cba n abc
;
khi đó ta xét các biểu thức dưới dấu tích phân (1.24) có dạng:
1 2 3
2 2 2
22
2
v
n
v
n
p' k im p k im
dk
p', p A I B I C I
k k p' k k pk
(1.26)
- Xét giá trị mẫu thức của (1.26). Sử dụng các công thức tham số hoá theo
Feynman:
11
3
1 2 3
00
1 2 3
11
2
11
! dx ydy
a a a
a xy a y x a x
, (1.27)
- 20 -
ta đặt:
2
1
2a k p' k
;
2
2
2a k pk
;
2
3
ak
thì biểu thức ở mẫu số (1.27) có thể viết lại:
2 2 2
1 2 3
1 1 2 2 1 1a xy a y x a x k p' k xy k pk y x k x
2
2k qx p ky
(1.28)
- Giá trị của (1.26) có thể viết lại:
v
v
N p k im p k im'
v v v v
v v v v
p im p im p im k k p im k k''
A B C
Tính A:
v
v
A p im p im'
v v v v
v v v v
p' p p' im im p im im
2 4 4 4 4 4p p' n p' p imp' n imp' im p n im p
2
2 nm
2 4 2p' q p q n p q p' q im p' p'
2
4 2 4 2n imp' im p p n im p n m
- 21 -
2 2 2 2 4 4 4p' p q p p' q q q n p p' n q p' n p q
4 2 4 2n q q im p' p' n imp' im p p
4n im p
2
2 nm
22
2 2 2 2 4 4 4m imq im q q q n m n imq n im q
4 2 4 2n q q im p' p' n imp' im p p
2
42n im p n m
2 2 2
2 2 2 2 4 4m im q p im p' q q q n m n m
22
4 4 4 2 2n im p' q n im p q n q q m m
22
22n m m
2
42m n q q
2
4 4 2n m q q
22
42A m n q
. (1.29)
Tính B
vv
vv
B p' im k k p im
v v v v
v v v v
p' k im k k p k im
2 4 4 4 2 4 4k p' n p' k im k n im k p k n k p imk
4n im
- 22 -
2 4 4 4 2k p q n p q k im k n im k p' q k
4 4 4n k p' q imk n k
2 2 4 4 2 4k p k q n p k n q k im k k n im k
2 2 4 4 2 4p' k q k n k p' n k q im k k n imk
2 4 2 4 2 4imk n imk im k k n im k im k n im k
2 4 2 4im k k n imk q k k q n q k k q
26B im k k n q k k q
. (1.30)
Tính C:
2 4 2
v
v
C (k ) (k ) k k n k k n k k
. (1.31)
Vậy ta có:
22
4 2 2 6 2N m n q im k k n q k k q n k k
(1.32)
Tính các tích phân (1.26) với A, B, C được xác định bởi các công thức tương
ứng (1.29), (1.30), (1.31) dựa và các tích phân (A.3) và (A.9) ở phần phụ lục ta
có:
- 23 -
1
3
2
1
3
2
1
3
1
2
3
2
2
2
n
n
nn
n
d k i
IC
k qx p y
. (1.33)
1
3
2
2
3
2
1
3
2
3
2
2
2
n
n
v
nn
v
n
k
d k i
I C y qx p
k qx p y
. (1.34)
1
3
2
3
3
2
11
3
32
2
2
2
n
n
v
nn
v
kk
d k i
I C n y qx p y qx p
k qx p y
11
2
22
v
nC
. (1.35)
Sử dụng các biểu thức
1 29 1 31
và tích phân
1 33 1 35
ta có:
1
3
22
2
1
1
3
2
42
3
2
n
n
n
i
A I m n q C
(1.36)
1
3
2
2
1
3
2
26
3
2
n
n
v
n
i
B I im k k n q k k q C y qx p
2 2 2 2 6 6imxy q imy p imxyq imyp n xyq q n yq p
1
3
2
1
3
2
46
3
2
n
n
n
i
n xyq q n yp q] C
