Mô hình hiện tượng luận cho tán xạ đàn hồi các nucleon

1

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN






Chu Quang Tùng




MÔ HÌNH HIỆN TƢỢNG LUẬN
CHO TÁN XẠ ĐÀN HỒI CÁC NUCLEON





LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

Hà nội – 2012
2


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN




Chu Quang Tùng




MÔ HÌNH HIỆN TƢỢNG LUẬN
CHO TÁN XẠ ĐÀN HỒI CÁC NUCLEON

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán
Mã số: 60.44.01


LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC


NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. NGUYỄN NHƢ XUÂN

Hà nội - 2012
3


MỤC LỤC

MỞ ĐẦU
CHƢƠNG 1: MÔ HÌNH EIKONAL VÀ GIAO THOA COULOMB.
1.1. Biên độ tán xạ tổng quát cho hai tương tác
1.2. Pha eikonal trong gần đúng eikonal
1.3. Công thức West và Yennie
CHƢƠNG 2 : TÁN XẠ CÁC NUCLEON NĂNG LƢỢNG CAO TRONG MÔ
HÌNH EIKONAL.
2.1. Một số cách tiếp cận tán xạ nucleon trong mô hình phi eikonal
2.2. Biên độ tán xạ các nucleon trong mô hình eikonal
2.3. Giá trị trung bình của các tham số va chạm
CHƢƠNG 3 : CÁC DỮ LIỆU THỰC NGHIỆM VỀ THAM SỐ VA CHẠM
TRONG MÔ HÌNH TÁN XẠ PROTON – PROTON.
3.1. Mô hình tán xạ đàn hồi pp và các đặc trưng của nó
3.2. Dữ liệu về tham số va chạm cho quá trình tán xạ pp ở 53GeV
KẾT LUẬN
TÀI LIỆU THAM KHẢO
PHỤ LỤC A. HỆ SỐ DẠNG ĐIỆN TỪ CỦA NUCLEON
PHỤ LỤC B. CÁC PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH
SCHRODINGER TRONG CƠ HỌC LƢỢNG TỬ
B.1. Phương pháp khai triển theo sóng riêng phần
B.2. Phương pháp hàm Green
B.3. Phương pháp chuẩn cổ điển
B.4. Mối liên hệ giữa biên độ tán xạ sóng riêng phần về biên độ tán xạ eikonal

B.4.1 Phép chuyển đổi từ biên độ sóng riêng phần sang biên độ sóng eikonal
B.4.2 Phép chuyển đổi từ biên độ sóng eikonal sang biên độ sóng riêng phần
B.5 Sơ đồ mối liên hệ giữa các phương pháp của bài toán tán xạ
1

5
7
10


12
16
23


25
27
33
34
39

41
41
49
55
57
57
58
59

4


DANH MỤC HÌNH VẼ
Hình

Trang
Hình 2.1
Hình 2.2

Hình 3.1
Hình 3.2

Hình B.1
Hình B.2
Hình B.3









14
14

29

30

42
50
59


DANH MỤC BẢNG
Bảng

Trang
Bảng 2.1

Bảng 3.1
Bảng 3.2




19

31
32




5

MỞ ĐẦU

Tán xạ đàn hồi năng lượng cao của các nucleon được thực hiện nhờ
tương tác mạnh của các hadron, nhưng trong trường hợp các hadron tích điện
cần phải xét tương tác Coulomb giữa các hạt va chạm [16]. Sử dụng phép
gần đúng chuẩn cổ điển trong cơ học lượng tử, Bethe đã thu được công thức
cho tán xạ thế với góc tán xạ nhỏ của proton lên hạt nhân, trong đó có tính
đến sự giao thoa của các biên độ tán xạ Coulomb và biên độ tán xạ hạt nhân
[45]. Biên độ tán xạ đàn hồi được ký hiệu bằng
CN
F

và có thể biểu diễn một
cách hình thức dưới dạng tổng hai loại biên độ tán xạ sau [45]:

 
 
   
,
, , ,
i s t
C N C N
F s t e F s t F s t



. (0.1)
trong đó s là bình phương năng lượng trong hệ khối tâm (cms), t là bình
phương xung lượng truyền 4 chiều,
 
,
C

F s t
- biên độ tán xạ hoàn toàn
Coulomb được xác định trong điện động lực học lượng tử (QED),
 
,
N
F s t
-
biên độ tán xạ hoàn toàn hadron (liên quan tới tương tác mạnh),
1/137,036



là hằng số cấu trúc,
 
,st

là pha tương đối - sự lệch pha được dẫn ra bằng
tương tác Coulomb tầm xa.
Sử dụng mô hình tán xạ thế, Bethe đã có kết quả cụ thể cho pha [16]

 
2ln 1,06/ qa
. (0.2)
trong đó
q
là xung lượng truyền của hạt tán xạ, còn
a
là tham số đặc trưng
cho kích thước của hạt nhân.

Công thức của Bethe (0.2) có ý nghĩa quan trọng đối với lý thuyết và
thực nghiệm. Về lý thuyết phần thực của biên độ tán xạ kể trên cho phép ta
kiểm tra hệ thức tán sắc [34], hay dáng điệu tiệm cận khả dĩ của tiết diện tán
xạ toàn phần [15], hay việc kiểm nghiệm các mô hình lý thuyết khác nhau cho
tương tác mạnh. Việc đánh giá phần thực của biên độ tán xạ hạt nhân phía
trước ở vùng năng lượng thấp so với các số liệu thực nghiệm đã được thực
6

hiện cho vùng có
22
| | 10t GeV


. Còn ở vùng
22
| | 10t GeV


sự tương thích giữa
lý thuyết và thực nghiệm còn chưa được nghiên cứu đầy đủ.
Mô hình eikonal là một công cụ mạnh thích hợp cho việc xem xét quá
trình tán xạ đàn hồi của các hadron năng lượng cao. Với cách tiếp cận theo
mô hình này cho phép chúng ta có thể đưa ra các giá trị về tham số va chạm
(ví dụ như phạm vi tác dụng của lực Coulomb và lực tương tác mạnh ở các
khoảng cách khác nhau), một đặc trưng vật lý quan trọng của quá trình tương
tác.
Việc giải thích đầy đủ quá trình tán xạ các nucleon trong hạt nhân đòi
hỏi không những tư duy logic mà còn cần cả tư duy hiện tượng luận dựa trên
các kết quả thực nghiệm. Hiện tượng luận trong khoa học là cách lập luận
xuất phát từ thực nghiệm, và kết quả được thực tế chấp nhận, chứ không

theo cách tư duy logic trong toán học. Hàm delta Dirac là một ví dụ, nó là
hàm suy rộng, xuất phát từ thực tiễn, chứ nó không hẳn được định nghĩa như
những hàm số thông thường. Hàm delta Dirac phải mất bẩy năm mới được
giới học thuật thừa nhận!
Mục đích của bản luận văn thạc sỹ khoa học là nghiên cứu quá trình tán
xạ đàn hồi của các nucleon tích điện trong mô hình eikonal ở mọi giá trị t theo
những mô hình hiện tượng luận đã được thừa nhận. Sự ảnh hưởng của hai
tương tác là tương tác mạnh giữa các hadron và tương tác Coulomb đến biên
độ tán xạ và pha tán xạ được rút ra dựa trên các số liệu thực nghiệm.
Nội dung luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, các phụ lục và kết luận.
Chƣơng 1: Mô hình eikonal và Giao thoa Coulomb.
Xuất phát từ mô hình eikonal cho tán xạ năng lượng cao, chúng tôi xây
dựng biên độ tán xạ tổng quát cho hai loại tương tác – tương tác Coulomb và
tương tác nucleon, trong đó pha eikonal được tính từ biên độ tán xạ trong gần
đúng Born. Trong mục 1.1 chúng tôi trình bầy vắn tắt việc tính biên độ tán xạ
7

cho hai loại tương tác trong gần đúng Born. Việc tính sự lệch pha cho biên độ
tán xạ Coulomb trong mô hình eikonal được dẫn ra ở mục 1.2 Công thức cho
lệch pha trong gần đúng eikonal thu được ở đây phù hợp với kết quả mà West
và Yennie thu được trong lý thuyết trường lượng tử bằng việc tính các giản đồ
Feynman cho bài toán này. Lưu ý ở đây có kể thêm hệ số dạng điện từ của
nucleon nhưng bỏ qua spin của nucleon. Mục 1.3 dành cho việc mở rộng công
thức về sự lệch pha của biên độ tán xạ Coulomb và tán xạ hạt nhân từ tán xạ
với xung lượng truyền nhỏ ra vùng xung lượng truyền lớn dựa trên các số liệu
thực nghiệm.
Chƣơng 2: Tán xạ các nucleon năng lượng cao trong mô hình
eikonal.
Chương 2 dành cho mô tả sự ảnh hưởng qua lại của hai loại tương tác
Coulomb và tương tác đàn hồi hadron trong va chạm giữa các nucleon. Trong

mục 2.1 một số phương án mở rộng biểu thức hàm pha West và Yennie từ
vùng xung lượng truyền nhỏ (khi cả hai loại tương tác Coulomb và tương tác
mạnh cùng tham gia và sự giao thoa giữa chúng) cho vùng xung lượng truyền
lớn (vùng mà tương tác Coulomb bị bỏ qua ) dựa vào các số liệu thực nghiêm.
Ở đây đã chỉ ra những hạn chế và sự không chuẩn xác nếu chúng ta mở rộng
công thức West và Yennie một cách đơn giản. Để khắc phục những bất cập
này trong mục 2.2 trong mô hình eikonal hiện tượng luận dựa vào hệ thức
giữa biên độ tán xạ và pha eikonal qua phép biến đổi Fourier – Bessel. Mục
2.3 dành cho việc tính các giá trị trung bình các tham số va chạm trong mô
hình này.
Chƣơng 3: Các dữ liệu thực nghiệm về tham số va chạm cho tán xạ
proton – proton trong mô hình eikonal hiện tượng luận.
Các giả thuyết về độ lệch quỹ đạo để đưa ra công thức đơn giản của
West và Yennie sẽ được phân tích dựa trên biên độ tán xạ eikonal đầy đủ.
8

Trong mục 3.1 các đặc trưng cho tán xạ proton-proton được giới thiệu vắn tắt.
Mục 3.2 mô hình eikonal hiện tượng luận được áp dụng để phân tích các dữ
liệu tán xạ đàn hồi pp ở năng lượng 53 GeV.
Trong phần kết luận ta hệ thống hóa những kết quả thu được và thảo luận
việc mở rộng những nghiên cứu tiếp theo cho bài toán tương tự trong lý
thuyết trường lượng tử.
Phần phụ lục A sẽ đưa cách tính hệ số dạng điện từ của tán xạ các
nucleon.
Phần phụ lục B, ta trình bầy cách thu nhận biểu thức Eikonal cho biên độ
tán xạ từ các cách giải khác nhau phương trình Schrodinger trong cơ học
lượng tử.
Trong luận văn này, hệ đơn vị nguyên tử

1c

và metric Feynman
được sử dụng. Các véctơ phản biến là tọa độ

 
 
0 1 2 3
, , , ,x x t x x x y x z t x

     

thì các véctơ tọa độ hiệp biến

   
0 1 2 3
, , , ,x g x x t x x x y x z t x

 
          
,
trong đó
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
gg















Các chỉ số Hy Lạp lặp lại có ngụ ý lấy tổng từ 0 đến 3.




9

CHƢƠNG 1:
MÔ HÌNH EIKONAL VÀ GIAO THOA COULOMB

Trong chương này ta xuất phát từ mô hình eikonal cho biên độ tán xạ
năng lượng cao và xung lượng truyền nhỏ (tán xạ phía trước), trong đó pha
eikonal được tính từ biên độ tán xạ Born. Trong mục 1.1, ta tính biên độ tán
xạ tổng quát cho hai tương tác – tương tác Coulomb và tương tác hạt nhân khi
sử dụng biên độ tán xạ Born, việc tính pha eikonal khi ta vận dụng gần đúng
eikonal cho tương tác Coulomb được trình bầy ở mục 1.2. Trong mục 1.3,
xây dựng công thức West và Yennie (WY) dạng tổng quát cho hàm pha tán
xạ
( , )st

dựa trên kỹ thuật giản đồ Feynman (trao đổi một photon).

1.1. Biên độ tán xạ tổng quát cho hai tƣơng tác.

Mô hình eikonal được thuận tiện sử dụng khi xem xét tán xạ của các hạt
với góc tán xạ nhỏ dựa trên phép gần đúng, coi quĩ đạo của các hạt tán xạ là
thẳng (còn gọi là gần đúng quĩ đạo thẳng). Trong quĩ đạo này thì pha của quá
trình tán xạ
 
b

sẽ chứa toàn bộ thông tin về quá trình tán xạ.

 
2 2 . 2 ( )
1
4
iq b i b
s
F q d be e
i






. (1.1)
Công thức (1.1) cho biên độ tán xạ ở vùng năng lượng cao tổng quát, với
ý nghĩa, nó không dựa vào cơ chế tương tác cụ thể nào. Tất cả động lực học
của quá trình trong mô hình eikonal được xác định, nếu cho trước dạng cụ thể

của pha
()b

. Pha này phụ thuộc vào tham số va chạm b và năng lượng của
khối tâm. Ở năng lượng siêu cao thì pha
()b

được xác định bởi biểu thức:

 
 
2 . 2
1
2
iq b
Born
b d qe F q
s





. (1.2)
10

Ở đây chúng ta đã bỏ qua sự phụ thuộc vào s của biên độ tán xạ Born.
Khi đó, biên độ tán xạ eikonal ở vùng năng lượng lớn là:

 

2 2 . 2 ( )
1
4
iq b i b
eik
s
F q d be e
i






. (1.3)
Chúng ta giả thiết rằng sẽ có 2 pha eikonal,
C

và
N

, tương ứng với 2
quá trình tán xạ: tán xạ Coulomb và tán xạ hạt nhân, vì thế biên độ tán xạ đầy
đủ sẽ là:

 
2 2 . 2 ( ( ) ( ))
1
4
CN

N C iq b i b b
s
F q d be e
i







. (1.4)
Nếu bỏ qua lực hạt nhân thì biên độ tán xạ Coulomb sẽ có dạng:

 
2 2 . 2 ( )
1
4
C
C iq b i b
s
F q d be e
i






. (1.5)

Còn nếu bỏ qua lực tương tác Coulomb thì chúng ta sẽ có biên độ tán xạ
các hadron trong hạt nhân:

 
2 2 . 2 ( )
1
4
N
N iq b i b
s
F q d be e
i






. (1.6)
Kết hợp các biểu thức trên, chúng ta viết lại biểu thức của biên độ tán xạ
(1.4) dưới dạng

     
2 2 2 2 . 2 ( ) 2 ( )
11
4
CN
N C C N iq b i b i b
s
F q F q F q d be e e

i



  
    
  


   
 


 
'
'
.
22
2 2 2
11
4
CN
i q q b
i b i b
C N iq b
s
F q F q d be e e e
i




   
    
   

(1.7)
 
 


2'2''222
)()()( qqFqFqd
s
i
qFqF
NCNC

.
Biểu thức (1.7) là biểu thức tổng quát hóa của biên độ tán xạ eikonal của
tán xạ các nuclon trong hạt nhân khi có sự giao thoa cả 2 loại, tương tác
Coulomb và tương tác hạt nhân.


11

1.2. Pha eikonal trong gần đúng eikonal.
Để có thể áp dụng biểu thức (1.7) này cho các bài toán về sau chúng ta
cần lấy gần đúng eikonal biên độ tán xạ Coulomb. Từ biểu thức (1.2), chúng
ta đưa vào khối một photon khối lượng nhỏ


để khử phân kỳ hồng ngoại:

 
2.
22
1
2
C iq b
s
b d be
sq











(1.8)

2.
0
22
11
( ) ln ( )
22

iq b
d be K b b O b
q

     



  

     








.
các số hạng dạng
()Ob

có thể được bỏ qua vì khối lượng photon đưa vào sẽ
tiến tới không. Như vậy:

 
























1
4
2
1
ln2
22


bi
bqiC

eebd
i
s
qF




 
2
2
2
1
42
i
i
iqb
se
d be bq
iq















(1.9)

   
2
2
0
0
1
22
i
i
se
dbbJ qb bq
iq















.
Sử dụng công thức tích phân sau [16]:

0
0
1
2
( ) 2
1
2
dx x J x
















. ( 1.10)

Chúng ta có biểu thức của biên độ tán xạ Coulomb trong gần đúng bậc
nhất của hằng số tương tác :

        
22
2 2 1
00
2
00
1
22
ii
ii
ee
dbbJ qb bq d qb bq J qb
q q q






   

   
   


12

2
21
2
1 (1 )
2
2 (1 )
i
i
ei
q q i












. (1.11)
2
2
()
2 1 2
22
(1 )
( ) 2

2 2 (1 )
C
eik
i
iq
Ci
s e i s
F q e
iq q i q




  




  



.
với
2
2
2
( ) ln
C
eik

q
q






. (1.12)
Do tính kì dị của
()
C2
Fq
tại
2
q0
vì thế có thể viết lại biểu thức (1.7) như
sau:
'2
2 2 2 2 ' '2 2 '2
2
([ ] )
( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1
()
N
N C C N C C
N
i i F q q
F q F q F q d q F q d F q
s s F q







    







(1.13)
Trong mẫu số của biểu thức dưới dấu tích phân thứ 2, chúng ta đã cho
0


. Tóm lại chúng ta có thể viết:
 
 
 
2
22
2
c
eik
iq
N C N

s
F q e F q
q




  

   
 
'2 '2
2
'
2 ' 2 '
2
'2 2 '2
11
cc
eik eik
N
i q i q
N
F q q
i s i s
d q e d q e
s q s q
Fq
 


  









   




   

   


   







Nhân cả hai vế phương trình với
2

()
eik
iq
e


ta có:
 
 
 
2
2
()
2
2
2
'
2
2 2 ' 2 '
2
'2 2 '2 '2
()
1
eik
C
eik
iq
NC
N
i

iq
N
N
s
F q e
q
F q q
i s q i s
F q e d q d q
s q q s q
Fq





  
















   




   


   


   








2
2
()
2
2
2 '2
()
2 2 ' 2 '

'2 2 '2 ' 2 2
()
()
( ) 1
[ ] ( )
C
eik
C
eik
iq
NC
i
QQ
N
iq
N
N
s
F q e
q
i s q i s F q
F q e d q d q
s q q s q q F q





  




  

   
   


    


   


   
   



(1.14)
13

Trong biểu thức này, chúng ta chỉ lấy cận trên của tích phân là Q để
nhằm khử các phân kỳ xuất hiện khi lấy riêng rẽ từng tích phân ở vùng xung
lượng q
2
lớn. Sau khi lấy tổng hai tích phân này và lấy giới hạn
2
Q 
sẽ thu

được biểu thức hữu hạn. Tổng của hai số hạng đầu tiên trong biểu thức (1.14)
là:
 
 
 
2
2
22
2 ' 2 '
1
'2 2 '2 2
'2 2
C
eik
i
ii
iq
i
q
i s q i
e d q d q
s q q q
q




  
  





   


  
   



   




2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
1 ln
i i i i
Q Q Q
i
q q q q q
   


   
       
     
       

       
. (1.15)
Từ đó biểu thức (1.14) sẽ là:

   
2
2 '2
()
2 2 '2
2 2 2 '2 2
0
1 ( )
1 ln 1
| | ( )
C
eik
Q
N
iq
N C N
N
s Q F q
F q e F q i i dq
q q q q F q









     







.
(1.16)
chú ý rằng:

2
' '2 2 '2
0
12
2 cos | |
d
qq q q q







. (1.17)
Biểu thức dưới dấu tích phân trong (1.16) không có kì dị tại q = q’. So

sánh biểu thức (1.16) và (0.1), chúng ta suy ra được pha eikonal bằng:

2
2
2 '2
'2
2 2 '2 2
0
1 ( )
lim ln 1
| | ( )
Q
N
eik
N
Q
Q F q
dq
q q q F q





  










2
2
2 '2
'2
2 2 '2 2
0
1 ( )
lim ln 1
| | ( )
Q
N
eik
N
Q
q F q
dq
Q q q F q





   








(1.18)
Kết quả này phù hợp với kết quả thu được của West và Yennie bằng
phương pháp giản đồ Feynman mà chúng ta sẽ đề cập ở phần tiếp theo.



14

1.3. Công thức West và Yennie.
Dạng tổng quát của hàm pha
( , )st

trong phương trình (0.1) đã được
West và Yennie xây dựng dựa trên kỹ thuật giản đồ Feynman (trao đổi một
photon). Trong trường hợp các hạt tích điện biểu thức của hàm pha này có
dạng:

2
0
4
( , ')
( , ) ln 1
' ( , )
N
WY
N

p
t dt F s t
st
s t t F s t





  







, (1.19)
Việc giản ước pha tán xạ này liên quan đến cả độ lớn (module) và pha
của biên độ tán xạ đàn hồi hadron xác định bởi công thức:

( , )
( , ) ( , ) ,
N
N N i s t
F s t i F s t e



(1.20)

Khi xây dựng công thức (1.19), West và Yennie không có các số liệu
thực nghiệm về tiết diện tán xạ vi phân
d
dt

ở vùng |t| lớn mà chỉ dựa trên hai
giả thuyết chính sau:
- Sự phụ thuộc của độ lớn biên độ đàn hồi hadron vào t được biểu
diễn như là một hàm mũ của các biến động lực học theo t.
- Cả phần thực và phần ảo của biên độ tán xạ đàn hồi hadron đều phụ
thuộc vào t theo cùng một dạng hàm mũ của các biến động lực học của t.
Vì thế tỉ số của hai phần này là hằng số.
Cùng với hai giả thiết này và sử dụng một vài phép gần đúng khác (xem
tài liệu tham khảo [15,45-46]), về mặt nguyên tắc chúng ta có thể thu được
công thức (1.19) và (1.20) áp dụng cho vùng tương tác và giao thoa Coulomb.
Tất nhiên, chúng ta không thể chắc chắn ý nghĩa thực tế của các tham số thu
được bằng cách khớp các số liệu thực nghiệm bởi vì rằng có thể chúng phụ
thuộc mạnh vào giá trị |t| khi nó lớn. Tuy nhiên công thức (1.19), (1.20) hoàn
toàn có thể được sử dụng để khớp các số liệu thực nghiệm xác định tiết diện
tán xạ vi phân trong mọi thí nghiệm tán xạ đàn hồi hadron ở vùng |t| nhỏ mà
15

không cần để ý đến sự phụ thuộc của biên độ tán xạ đàn hồi vào t ở vùng |t|
lớn.

Ba đại lượng
,
tot
B


và

(ở các giá trị năng lượng tương ứng) được thiết
lập dựa trên công thức (1.19), (1.20) cùng với các số liệu thực nghiệm ở vùng
giá trị nhỏ của |t| (trong vùng tương tác Coulomb, giao thoa và một phần nhỏ
kế tiếp của vùng tương tác hadron). Khi |t| lớn (ở vùng tương tác hadron) sự
ảnh hưởng của tán xạ Coulomb thường bị bỏ qua hoàn toàn và quá trình tán
xạ đàn hồi được mô tả bởi biên độ tán xạ hiện tượng luận hadron
( , )
N
F s t
,
biên độ này thường phụ thuộc một cách tương đối phức tạp vào t hơn so với
công thức (1.20). Như vậy, tiết diện tán xạ vi phân ở các vùng khác nhau
được biểu diễn bởi hai công thức khác nhau (dựa trên các giả thuyết không
tương thích) điều này chứng tỏ một sự thiếu hụt quan trọng của lý thuyết.

16

CHƢƠNG 2:
TÁN XẠ CÁC NUCLEON NĂNG LƢỢNG CAO TRONG MÔ
HÌNH EIKONAL

Biên độ tán xạ đầy đủ của các nucleon đã được xác định bởi Locher [34]
và West và Yennie [15] (bỏ qua sự ảnh hưởng của spin các hạt vào biên độ
tán xạ) được suy ra nhờ giả thiết rằng t phụ thuộc vào biên độ tán xạ đàn hồi
hadron và sử dụng một số phép tính gần đúng ở năng lượng cao. Về mặt lý
thuyết các biểu thức này có vẻ hợp logic toán học và khi West và Yennie đưa
ra các công thức đó thì hoàn toàn không có số liệu nào về cấu trúc nhiễu xạ
trong tán xạ đàn hồi của các nucleon. Tuy nhiên hiện nay câu hỏi nảy sinh là

các số liệu thực nghiệm đưa ra là không phù hợp với các công thức đó.
Trong mục 2.1 một số phương án mở rộng biểu thức hàm pha West và
Yennie từ vùng xung lượng truyền nhỏ (khi cả hai loại tương tác Coulomb và
tương tác mạnh cùng tham gia và sự giao thoa giữa chúng) cho vùng xung
lượng truyền lớn (vùng mà tương tác Coulomb bị bỏ qua ) dựa vào các số liệu
thực nghiêm. Ở đây đã chỉ ra những hạn chế và sự không chuẩn xác nếu
chúng ta mở rộng công thức West và Yennie [15] một cách đơn giản. Để khắc
phục những bất cập này trong mục 2.2 trong mô hình eikonal hiện tượng luận
dựa vào hệ thức giữa biên độ tán xạ và pha eikonal qua phép biến đổi Fourier
– Bessel. Mục 2.3 dành cho việc tính các giá trị trung bình các tham số va
chạm trong mô hình này.

2.1. Một số cách tiếp cận tán xạ nucleon trong các mô hình phi eikonal.
Trong một số bài báo [20,10], biên độ tán xạ đầy đủ
( , )
CN
F s t

thu được
nhờ công thức chứa các pha chuẩn West và Yennie (WY) và biên độ tán xạ
17

đàn hồi hadron
( , )
N
F s t
được xây dựng dựa trên cơ sở của một số ý
tưởng hiện tượng luận chưa chuẩn từ hai công thức (1.19) và (1.20).
Ban đầu biên độ tán xạ hadron thu được từ (1.20) có vẻ đúng nếu chỉ
theo công thức (1.19). Tuy nhiên điều này lại là không thể vì rằng nếu pha

( , )
WY
st

là thực với mọi giá trị của t như đã giả thiết trong [16] thì phần ảo
của biểu thức (1.19) phải bằng không:

 
2
0
4
( , ')
( , ) 0 ln 1 0
' ( , )
N
WY
N
p
s dt F s t
im s t im
t t t F s t







    











(2.1)
Theo công thức (1.20) thì:

 
   
( , ') ( , ')
1 1 exp ( , ) ( , ')
( , ) ( , )
( , ')
1 ( , ) ( , ') sin ( , ) ( , ')
( , )
NN
NN
NN
N
N N N N
N
F s t F s t
i s t s t
F s t F s t
F s t

cos s t s t i s t s t
F s t

   

   


    

,
do đó:
 
 
2
0
4
( , ')
( , ) . sin ( , ) ( , ')
' ( , )
N
NN
WY
N
p
dt F s t
im s t s t s t
t t F s t
  


  


.
Như vậy, để biểu thức (2.1) xảy ra thì:
   
2
0
4
sin ( , ) ( , ') sin ( , ) ( , ')
' | ( , ')| ' | ( , ')| 0
''
N N N N
t
NN
t
p
s t s t s t s t
dt F s t dt F s t
t t t t
   





(2.2)
Điều kiện này biểu diễn tính kì dị phi tuyến của phương trình tích phân
Cauchy loại 1 của các hàm số không liên tục có tham số. Rõ ràng rằng, phương
trình này có một nghiệm tầm thường:

( , ) ( , ') 0 ( , ) ( , ')
N N N N
s t s t s t s t
   
   
(2.3)
Một câu hỏi nảy sinh là liệu phương trình này có nghiệm duy nhất hay không. Và
câu trả lời đã có. Theo [47] thì phương trình (2.3) đã được chứng minh bằng giải
tích rằng nó có nghiệm duy nhất điều đó có nghĩa rằng pha tán xạ hadron
( , ) ( , ')
NN
s t s t


không phụ thuộc vào t và giới hạn bởi điều kiện:
18


( , )
N
st


(2.4)
Điều này có nghĩa rằng hệ số pha tương đối
( , )
WY
st


chỉ có thể là thực khi
pha của biên độ tán xạ hadron là không phụ thuộc vào t trong toàn bộ vùng các
biến động học các giá trị của |t| [47]. Cũng có nghĩa là đại lượng
( , )st

là hằng số
trong toàn bộ khoảng xác định của t. Như vậy nếu
( , )st

phụ thuộc vào t thì pha
( , )
WY
st

phải là đại lượng phức.
Điều này cũng được củng cố khi thực hiện phép tính số xác định phần ảo của
pha
( , )
WY
st

trong tích phân (2.1) bằng cách chọn đại lượng
( , )st

hoặc pha tán
xạ đàn hồi hadron
( , )
N
st


phụ thuộc vào t.














Hình 2.1, vẽ đồ thị sự phụ thuộc vào t của pha biên độ tán xạ đàn hồi
hadron trong hai trường hợp khác nhau (tán xạ trung tâm (central) và tán xạ
ngoài (peripheral)) khi trong quá trình tán xạ pp ở mức năng lượng 53GeV
(xem [48]).
Hình 2.2: Phần ảo
( , )
WY
st

khác không
của pha tương đối WY ứng với phép tính số
pha tán xạ hadron ở hình 2.1
Hình 2.1: Hai sự phụ thuộc khác nhau của
pha tán xạ hadron
( , )

N
st

vào t:
 Đướng thứ nhất (chấm gạch) dẫn đến
bức tranh tán xạ trung tâm của tán xạ
đàn hồi pp với năng lượng 53 GeV.
 Đường thứ hai (nét liền) đưa ra bức
tranh tán xạ ngoài
19

Ở đường thứ nhất, đầu tiên pha tán xạ thay đổi rất nhanh (tiến đến /2)
khi – t ~ 1,4 GeV dẫn đến bức tranh tán xạ trung tâm của quá trình tán xạ đàn
hồi các hadron trong không gian các tham số va chạm. Tương ứng với nó là
sự phụ thuộc của phần ảo pha tán xạ vào t được vẽ ở hình 2 (đường nét đứt).
Tại vùng |t| nhỏ, phần ảo của pha tán xạ WY là khác không và do đó pha tán
xạ WY là số phức.
Ở đường thứ 2, tán xạ ngoại vi (peripheral scattering) đàn hồi các
hadron, sự phụ thuộc vào t của pha tán xạ đàn hồi hadron
( , )
N
st

bị giới hạn
bởi điều kiện rộng hơn
( , ) 2
N
st



, phần ảo tương ứng của pha này được vẽ
ở hình 2.2 (đường nét liền). Phần ảo trong trường hợp này dao động quanh giá
trị không ở các giá trị |t| nhỏ. Trong trường hợp này pha tương đối WY cũng
là phức.
Tuy nhiên mô hình hiện tượng luận cho tán xạ đàn hồi các nucleon năng
lượng cao dựa theo các số liệu thực nghiệm tạm thời đã chỉ ra một cách thuyết
phục rằng đại lượng
( , )st

là phụ thuộc vào t. Vì thế, chúng ta có thể kết luận
rằng tích phân trong biểu thức (2.1) chưa đủ để mô tả quá trình tán xạ đàn hồi
của các hadron.
Mặc cho thực tế này thì một số tác giả vẫn thử mở rộng biểu thức của
biên độ tán xạ đầy đủ WY cho các vùng của t lớn hơn với bất kỳ biên độ tán
xạ đàn hồi hadron
( , )
N
st

nào phụ thuộc vào t (có nghĩa là cả
( , )
N
F s t
và
pha
( , )
N
st

đều phụ thuộc vào t), sau đó đưa ra một số bổ chính hiệu chỉnh

cho pha tán xạ WY. Điều này có thể làm được, [7], khi sự hiệu chỉnh dẫn đến
dạng tích phân Gauss của thừa số dạng (form factor) điện từ và của biên độ
tán xạ hadron. Như vậy, thực tế là chỉ có sự lệch dạng của lũy thừa các biến
phụ thuộc vào t là đáng quan tâm. Tuy nhiên, trong luận văn này cũng không
đề cập đến sự phụ thuộc của đại lượng
( , )st

vào t.
20

Một cách tiếp cận khác được sử dụng trong tài liệu [36]. Ở đây hai giả
thuyết được đưa ra rất tự nhiên nhưng lại rất chi tiết. Đầu tiên, sử dụng công
thức biểu diễn tham số va chạm cho biên độ tán xạ, nó không có giá trị ở năng
lượng hữu hạn nhưng lại có nghĩa ở năng lượng vô hạn. Tiếp theo, sử dụng sự
phụ thuộc vào t của thừa số dạng lưỡng cực biểu diễn sự đóng góp riêng của
các điện tích nucleon để khai triển thành 3 số hạng: hai số hạng là các số hạng
gần đúng Born của pha tương đối đến bậc 2 và số hạng còn lại là bổ chính
pha WY, các số hạng này chứa các biểu thức biên độ tán xạ phức hadron ở
dạng tổng quát phức thu được bằng cách khai triển biểu thức tổng quát. Kết
quả của việc tính số hạng bổ chính của pha tương đối thực WY là phức. Như
vậy, pha tương đối trở thành phức và nó mất đi ý nghĩa vật lý.
Như vậy, cả hai cách tiếp cận trên gần như không thể là công cụ thích
hợp để mô tả sự ảnh hưởng chung của tán xạ Coulomb và hadron mà biểu
hiện tổng quát sự phụ thuộc của độ lớn và pha của biên độ tán xạ đàn hồi vào
xung lương truyền t. Điều này đòi hỏi cần phải đưa ra một mô hình mới phù
hợp hơn để mô tả quá trình tán xạ này đó chính là mô hình eikonal. Trong
phần tiếp theo, chúng tôi sẽ chứng minh mô hình eikonal là thích hợp và là
lợi thế hơn so với các tiếp cận của West và Yennie để mô tả quá trình tán xạ
đàn hồi các nucleon.
2.2. Biên độ tán xạ các nucleon trong mô hình eikonal.

Trong bài báo của Adachi và các cộng sự [42] đã chỉ ra rằng biên độ tán
xạ đàn hồi
( , )
NC
F s t

có thể được liên hệ với biên độ tán xạ đàn hồi eikonal
( , )
CN
sb


nhờ phép biến đổi Fourier Besel sau:

2 2 . 2 ( , )
( , ) 1
4
CN
b
C N iq b i s b
s
F s q t d be e
i






   



, (2.5)
với
b

là không gian Euclide các tham số va chạm
b
hai chiều. Nếu công
thức này được áp dụng cho năng lượng hữu hạn thì một bài toán xuất hiện là
21

biên độ tán xạ
( , )
NC
F s t

chỉ được xác định ở vùng hữu hạn của t. Về mặt toán
học, khi sử dụng biến đổi Fourier - Besel (FB) thì sẽ tồn tại biến đổi FB
ngược. Điều đó dẫn đến các giá trị của biên đội tán xạ rơi vào vùng không có
ý nghĩa vật lý, nơi mà biên độ tán xạ đàn hồi các hadron là không xác định
[42]. Vấn đề này đã được giải quyết nhờ Islam[29, 30] dựa trên tính liên tục
giải tích của biên độ tán xạ đàn hồi các hadron
( , )
N
F s t
từ vùng của t không có
ý nghĩa vật lý đến vùng có ý nghĩa vật lý. Khi đó biên độ tán xạ đàn hồi
hadron trong không gian các tham số va chạm sẽ gồm hai số hạng:

min
min
12
0
00
( , ) ( , ) ( , )
11
( , ) ( ) ( , ) ( )
44
el
t
NN
t
h s b h s b h s b
dtF s t J b t dtF s t J b t
p s p s

  
   

(2.6)

Biểu thức tương tự cho biên độ tán xạ không đàn hồi
( , )
inel
g s b
trong
không gian các tham số va chạm cũng được xác định theo [23]. Do tính đơn
trị của của phương trình trong không gian các tham số va chạm có thể viết
gần đúng [42, 29]

2
1 1 1
( , ) ( , ) ( , )h s b h s b g s b  
(2.7)
và tiết diện tán xạ toàn phần bằng tổng tiết diện tán xạ đàn hồi và không đàn
hồi theo biểu thức:

1
2
11
00
( ) 8 ( , ),
( ) 8 ( , ) , ( ) 8 ( , ).
tot
o
el inel
s bdb h s b
s bdb h s b s bdbg s b

   






(2.8)
Các hàm
1

( , )h s b
và
2
1
( , )h s b
biểu diễn hai dữ liệu chính của các tham số va
chạm (tán xạ toàn phần và tán xạ đàn hồi) và mô tả cường độ va chạm giữa
hai hạt trong sự phụ thuộc nhau của các tham số va chạm.
22

Biên độ tán xạ đàn hồi eikonal đầy đủ
( , )
CN
F s b

có thể được biểu diễn
như là tổng của hai biên độ tán xạ eikonal Coulomb
( , )
C
F s b
và tán xạ eikonal
hadron
( , )
N
F s b
ở cùng một giá trị của tham số va chạm:

( , ) ( , ) ( , )
C N C N
s b s b s b

  


(2.9)
và các biên độ eikonal riêng rẽ có thể được xác định như là tích phân của các
thế tương tác tương ứng [30].
Như vậy, biên độ tán xạ eikonal đầy đủ có thể được viết dưới dạng

 
 
'
2
2
( , ) ( , ) ( , ) ' ( , ' ) , '
q
C N C N C N
i
F s t F s t F s t dq F s q F s q q
s



   

.(2.10)
Phương trình này chứa các tích phân chập, khác hẳn so với phương trình
thu được bởi Locher [34] và West và Yennie [15]
1
. Tiến hành biến đổi thu
được biểu thức cuối cùng của biên độ tán xạ phụ thuộc vào các giá trị bất kỳ

của s và t, đồng thời chỉ chứa các số hạng tuyến tính của hằng số cấu trúc :

 
12
( , ) ( ) ( ) ( , ) 1 ( , )
C N N
s
F s t f t f t F s t i G s t
t



   
, (2.11)
với:

 
2
0
12
4
' 1 ( , ')
( , ) ' ln ( ') ' 1 ( , ')
' 2 ( , )
N
N
p
t d F s t
G s t dt f t f t I t t
t dt F s t







    









, (2.12)
và
2
12
0
( '') ( '')
( , ') '' , '' ' 2 'cos ''
''
f t f t
I t t d t t t tt
t


   


. (2.13)

1
Biên độ tán xạ đầy đủ của các nucleon được viết dưới dạng

 
( , ) ( ) /2
12
()
( , ) ( ) ( ). ( )
4
C N i s t B s t
tot
s
s
F s t f t f t e p s s i e
t






   
. (2.10a)
Số hạng đầu tiên trong biểu thức này tương ứng với biên độ tán xạ Coulomb (dấu cộng ứng với tán xạ của hai
hạt tích điện cùng dấu, còn dấu trừ là tán xạ của hai hạt tích điện trái dấu), số hạng thứ hai tương ứng với
biên độ tán xạ các hadron. Hai thừa số dạng (form factor) f
1

(t) và f
2
(t) mô tả cấu trúc điện từ của các nucleon
(thường ở dạng lưỡng cực) là:
2
2
||
( ) 1
0,71
i
t
ft
GeV





(2.10b)
23

Thay thế các đại lượng B và

độc lập với t bằng các đại lượng phụ
thuộc vào t được xác định bởi biểu thức:

2
( , ) ln ( , )
( , )
N

N
N
d d d
B s t F s t
dt dt dt
F s t





, (2.14)
và:
Re ( , )
( , )
Im ( , )
N
N
F s t
st
F s t


(2.15)
Tiết diện tán xạ vi phân toàn phần được suy ra nhờ định lý quang cho bởi
biểu thức:

4
( ) Im ( , 0)
N

tot
s F s t
ps



. (2.16)
Các hệ số dạng
1
()ft
và
2
()ft
phản ánh cấu trúc điện từ của các nucleon
va chạm và tạo nên một phần biên độ của tán xạ Coulomb từ lúc bắt đầu
tương tác. Do tích phân theo các biến động học được lấy trong vùng xác định
của t ở phương trình (2.12) nên sự tham số hóa thực tế mô tả cấu trúc điện từ
của proton trong vùng lớn nhất có thể của t. Đó là lý do vì sao thay cho việc
sử dụng hệ số dạng lưỡng cực như đã làm trong phương trình ở phần chú
thích
1
(công thức (2.10b)) thì chúng ta có thể sử dụng một công thức thích
hợp hơn [11,12]:

4
1
( ) , 1,2
1
k
j

k
k
g
f t j





. (2.17)
với các giá trị của tham số g
k
và

k
được lấy từ [12], giá trị tái chuẩn hóa của
nó được cho trong bảng 1.
k
1
2
3
4
g
k
0,0301
0,8018
-1,0882
0,2642

k

0,1375
0,5848
1,7164
6,0042
Dạng của các hệ số dạng cho phép tính toán giải tích tích phân trong
(2.13):
24


4
,1
( , ')
j k jk jk
jk
I t t g g W I



. (2.18)
trong đó khi
jk
thì:

 
  
 
 
 
 
 

 
2
2
2
1
1
1
2
j
k
jk
j j k j k j k k j k
P
P
U
I
P P P P U P P P U P U U P U P






  

     

.
(2.19)
Khi j = k thì

 
 
 
 
 
2
2
22
3/2
1 2 3
1
2
2
j j J J
jj
J j j
P P P U PU
U
I
P P U U U P


   







, (2.20)
với:
 
 
2
2
2
2
'
'
,
'
'
j
j
j
tt
tt
P U =
tt
tt



   
  



  

   

, (2.21)
và

   
22
2
1
' ' '
jk
jk
W
t t t t t t


   

          

   

   
. (2.22)
Biểu diễn sự ảnh hưởng của tán xạ Coulomb trong va chạm đàn hồi các
proton là bài toán khá phức tạp. Cấu trúc điện từ của proton thường được xác
định quá trình tán xạ đàn hồi electron – proton. Tiết diện tán xạ vi phân của
nó được cho bởi công thức Rosenbluth [32] (trong trao đổi một photon):

2 2 2 2 2 2

00
( , ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( )
EM
NS
dd
E E a q G q b q G q
dd

  




, (2.23)

2 2 2 2
1
( ) , ( , ) 2 tan / 2
11
a q b q

   


  



,

2
2
, (0) (0) 1
4
EM
q
G G
m

  
. (2.24)
25

Ở đây
0
( , )
NS
d
E
d



là tiết diện tán xạ đàn hồi giữa một electron Dirac và một
proton tích điện khối lượng m (cả hai hạt đều coi là hạt điểm) với năng lượng
tới E
0
và góc tán xạ

(trong gần đúng Born) . Công thức chứa hệ số dạng

điện
2
()
E
Gq
và hệ số dạng từ
2
()
M
Gq
đã được đưa ra bởi Sachs [38]. Nên nhớ
rằng cả hai hệ số dạng đều chỉ phụ thuộc vào bình phương xung lượng truyền
2
tq
.
Sự phụ thuộc vào t của hệ số dạng điện đã được mô tả gần đúng theo
kinh nghiệm bằng cách đưa ra một lưỡng cực để fit phương trình (2.10b):

 
2
2
1
( ) ( ) ,
(1 / 0,71)
Dj
G t f t t GeV
t

  


(2.25)
trong khi đó số hạng dạng từ có dạng đầy đủ là:

()
()
M
E
Gt
Gt


(2.26)
với µ là mô men từ của proton. Theo tài liệu [11, 12] số liệu về tán xạ đàn hồi
electron- proton ở một vài mức năng lượng đã được phân tích nhờ công thức
tiết diện tán xạ vi phân Rosenbluth với hai hệ số dạng đều phụ thuộc vào t và
được tham số hóa theo công thức Borkowski (2.17). Cách tốt nhất khi sử dụng
4 lưỡng cực để fit 3 tham số đã chỉ ra rằng các hệ số dạng điện và từ của
proton có giá trị khác nhau và có sự sai khác so với phương trình (2.26) (xem
bảng 4 tài liệu [12]). Kết quả của việc fit các số liệu thực nghiệm đã chỉ ra
rằng tiết diện tán xạ vi phân đàn hồi được mô tả theo hệ số dạng điện
Borkowski là lớn hơn nhiều so với mô tả bằng hệ số dạng lưỡng cực. Thực tế
thì kết luận này củng cố các kết luận tương tự của các tài liệu [16,19] với độ
sai lệch của tỉ số
()
()
E
D
Gt
Gt
là đáng kể so với 1. Đặc biệt trong vùng

(0,1;5,85)t
GeV
2
. Như vậy sử dụng cách tham số hóa Borkowski (2.17) là