GIÚP HỌC SINH VƯỢT QUA NHỮNG SAI LẦM TRONG LẬP LUẬN TOÁN HỌC: PHẦN HÌNH HỌC

CHƯƠNG 2
GIÚP HỌC SINH VƯỢT QUA NHỮNG SAI LẦM TRONG LẬP
LUẬN TOÁN HỌC: PHẦN HÌNH HỌC
CHỦ ĐỀ 1: SAI LẦM CỦA HỌC SINH TRONG VẼ HÌNH
Hình học không gian là một môn học về các vật thể trong không gian (hình hình học
trong không gian) mà các điểm hình thành nên vật thể đó thường không nằm trong
một mặt phẳng. Do đó HS thường hay gặp khó khăn trong việc vẽ hình biểu diễn và
vẽ hình không chính xác. Nguyên nhân chính là HS không đánh giá một cách đầy đủ
các giả thiết bài toán đặt ra, hoặc những nhận định, những kết luận do trực giác đưa
ra hoặc biểu thị sai các khái niệm như góc, khoảng cách... Và tất nhiên điều này sẽ
dẫn đến bế tắc trong cách giải hoặc lời giải không chính xác.
Sau đây là những bài tập cụ thể chỉ ra những sai lầm mà hầu hết HS mắc phải.
1.1. Sai lầm khi không đánh giá đầy đủ các giả thiết
 Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là một tam giác vuông có cạnh
huyền BC = a,
.ABC
α
∠ =
Các cạnh bên hợp với mặt đáy những góc bằng nhau và
bằng
.
β
Tính diện tích xung quanh của hình chóp.
• Dự kiến sai lầm
- HS sẽ xác định đường cao của hình chóp (hay chân đường cao của hình chóp)
không đúng. Tức là, HS sẽ lấy điểm H bất kỳ (H là chân đường cao của hình chóp)
trong mp (ABC) mà không dựa vào một sự ràng buộc nào của giả thiết bài toán.
- Kẻ
( )
,SH ABC
⊥

khi đó ta có:
SAH SBH SCH
β
∠ = ∠ = ∠ =
(1)
- Mặt khác: kẻ
; ; HI AB HJ AC HK BC
⊥ ⊥ ⊥
- Khi đó, theo định lý 3 đường thẳng vuông góc,
suy ra:
; ; SI AB SJ AC SK BC⊥ ⊥ ⊥
.
a
β
α
k
i
j
h
C
B
A
S
26
Vậy: S
xq
= S
SAB
∆
+ S

SBC
∆
+ S
SAC
∆
1 1 1
. . . . . .
2 2 2
S SI AB SK BC SJ AC
xq
⇒ = + +
- Ta có:
.AB a=
cos
α
;
.AC a=
sin
α
. Khi đó tính SI, SJ, SK theo
, ,
α β
a.
• Phân tích sai lầm
- Nhìn vào hình vẽ trên không có một gợi ý liên hệ nào giúp ta thực hiện tính toán.
- HS chưa sử dụng giả thiết: các cạnh bên hợp với
đáy những góc bằng nhau thì ta suy ra được điều
gì?
Ta chứng minh được:
SAH SBH SCH∆ = ∆ = ∆

Suy ra: HA = HB = HC
Vậy, H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đáy.
a
β
α
ij
h
C
B
A
S
Hình 1.1
- Xác định tâm của mặt đáy: Vận dụng giả thiết
ABC∆
là tam giác vuông tại A, nên
H là trung điểm cạnh huyền BC.
- Từ những phân tích trên ta có hình vẽ 1.1
- Do đó, ta tính được: SI; SJ; SH:
2 2
.tan ; . sin tan ,
2 2
a a
SH SI
β α β
= = +
2
2
os tan
2
a

SJ c
α β
= +
- Suy ra:
(
)
2
2 2 2 2
tan sin tan cos tan
4
a
S
xq
β α β α β
= + + + +
Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là một tam giác đều cạnh a. Một mặt bên
của hình chóp vuông góc với mặt đáy, hai mặt bên còn lại tạo với đáy những góc
bằng nhau và bằng
.
α
Tính diện tích xung quanh của hình chóp.
• Dự kiến sai lầm
- HS sẽ vẽ hình mà không thể hiện được:
Mặt phẳng
( ) ( )
,SAC ABC⊥
chưa vận dụng giả thiết hai mặt bên hợp với đáy những
góc bằng nhau.
27
- HS không phân biệt được khái niệm hình chóp đa giác đều với hình chóp có đáy là

một đa giác đều: hình chóp đa giác đều thì chân đường cao của hình chóp trùng với
tâm hình tròn ngoại tiếp đa giác đáy, còn hình chóp có đáy là đa giác đều thì chưa
chính xác, nên nhầm lẫn tính chất xác định chân đường cao của hình chóp.
Từ những sai lầm đó mà dẫn đến việc xác định chân đường cao H của hình chóp
không đúng, dẫn đến những tính toán thiếu chính xác.
- Kẻ
( )
SH ABC⊥
Vì
ABC
∆
đều nên H trùng với tâm của
đường tròn ngoại tiếp
ABC
∆
.
- Ta có:
; ; HI AB HJ BC HK AC
⊥ ⊥ ⊥
- Theo định lí 3 đường vuông góc ta có:
; ; SI AB SJ BC SK AC
⊥ ⊥ ⊥
K
α
α
J
I
H
C
B

A
S
Hình 2.1
- Hơn nữa,
3
6.cos
a
SI SJ
α
= =
và
.SIH SJH SKH∆ = ∆ = ∆
Nên
3
6.cos
a
SK
α
=
Do đó,
2
1 3 3
3. 3. . . .
2 6.cos 4.cos
a
S S S S S a a
xq
SAB SBC SAC SAB
α α
= + + = = =

∆ ∆ ∆ ∆
• Phân tích sai lầm
- Từ giả thiết
( ) ( )
SAC ABC
⊥
và
( )
SH ABC⊥
nên
( )
SH SAC⊂
và H nằm
trên AC.
- Vận dụng giả thiết hai mặt bên hợp với
mặt đáy những góc bằng nhau nên ta có:
SIH SIH
α
∠ = ∠ =
suy ra
SIH SJH∆ = ∆
=> HI = HJ.
Vậy H nằm trên đường phân giác góc B.
C
1
A
1
α α
J
I

H
C
B
A
S
Hình 2.2
- Hơn nữa,
ABC
∆
đều nên H là trung điểm của AC.
Do đó, ta có hình vẽ 2.2.
28
Ta tính được:
1
1 3
;
2 4
HI HJ AA a= = =
3
tan .
4
SH a
α
=
( )
3 3
. 2 sin
4.cos 8.cos
SI SJ a S
xq

α
α α
= = ⇒ = +
Bài tập 3: Cho hình chóp S.ABCD, SA = x, tất cả các cạnh còn lại đều bằng a. Tính
đường cao SH của hình chóp.
• Dự kiến sai lầm
- Tương tự như 2 bài tập trên, HS sẽ xác định H không chính xác.
Gọi H là giao của hai đường chéo, HS sẽ
suy ra rằng SH là đường cao của hình
chóp.
Ta có:
SBD∆
là tam giác cân nên
.SH BD⊥
Vậy SH là đường cao của
hình chóp.
Suy ra:
2
2
a
SH =
D
C
B
A
S
H
• Phân tích sai lầm
- SH được xác định như trên không phải là đường cao của hình chóp, vì
( )

SH ABCD⊥
.
- Nếu SH là đường cao sẽ dẫn đến mâu thuẫn:
SAC∆
là tam giác cân nên SA = SC
mà theo giả thiết
.x a≠
Lời giải đúng như sau:
Gọi O là giao của AC và BD.
- Ta có :
AC BD
SO BD
⊥
⊥
suy ra
( )
.BD SAC⊥

Do đó
( ) ( )
.SAC SBD⊥
- Kẻ
,SH AC⊥
H thuộc AC, SH thuộc
( )
.SAC
Vậy
( )
SH SBD SH BD⊥ ⇒ ⊥
o

H
A
B
C
D
S
29
Vậy
( )
SH ABCD⊥
. Hay SH là đường cao của hình chóp S.ABCD.
Xét xem
SAC
∆
có đặc điểm gì không? Vận dụng các đại lượng đã cho ta có:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2
; SO SD OD a OD OC CB OD a OD
OA AB OB a OD
= − = − = − = −
= − = −
Vậy OS = OA = OC nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp của
.SAC∆
Hay
SAC∆
là
tam giác vuông tại S.
Suy ra:
2 2 2

2 2
1 1 1 ax
SH
SH SA SC
a x
= + ⇒ =
+
• Biện pháp khắc phục sai lầm
Những sai lầm trên đây là do thiếu sót một số hiểu biết cần thiết trong vẽ hình, chưa
xâu chuổi, kết hợp các yếu tố giả thiết nên dẫn đến những sai lầm, nhưng chủ yếu là
việc xác định sai đường cao của hình chóp. Để sửa chữa những sai lầm đó, chúng ta
cho HS làm quen một số hình quen thuộc sau đây:
1. Hình chóp đều
• Gọi
α
là góc giữa cạnh bên hợp với đáy,
β
là góc giữa mặt
bên hợp với đáy
• Gọi
γ
là góc giữa đường cao của hình chóp với mặt bên.
• Gọi SH là đường cao của hình chóp.
γ
β
α
h
C
B
A

S
γ
β
α
S
H
D
C
B
A
Hình chóp tam giác đều Hình chóp tứ giác đều
2. Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy
30
- Nếu hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy thì cạnh bên đó là đường cao
của hình chóp.
- Nếu hình chóp có hai mặt bên vuông góc với đáy thì cạnh bên là giao tuyến của hai
mặt bên đó vuông góc với đáy.
S
D
C
B
A
C
B
A
S
Hình chóp có
( )
SA ABCD⊥
Hình chóp có hai mặt bên

( )
SAC
và
( )
SAB
vuông góc với đáy, SA là đường
cao của hình chóp
3. Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy
Hình chóp có mặt bên vuông góc với
đáy thì chân đường cao của hình chóp
nằm trên giao tuyến của mặt bên và
đáy. Tuỳ theo giả thiết mà vị trí của
chân đường cao ở những vị trí đặc biệt.
H
S
C
B
A
Hình chóp có
( ) ( )
SAC ABC⊥
 Bài tập củng cố:
1) Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình thang cân, AD là đáy lớn
và
AB = BC = CD = a. Các cạnh bên của hình chóp đều bằng nhau và bằng b.
Tính thể tích và diện tich xung quanh của hình chóp.
31
2) Đáy của hình chóp S.ABC là tam giác cân, vuông tại đỉnh C. Hai
mặt bên (SAC) và (SBC) là những tam giác đều cạnh a. Mặt bên (SAB) có
ASB

∠ =
90
0
. Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình chóp.
1.2 Sai lầm khi vẽ hình biễu diễn của một hình trong không gian
Hình biểu diễn của một hình H trong không gian là hình chiếu song song của hình
H lên một mặt phẳng. Muốn vẽ hình biểu diễn thì ta phải áp dụng tính chất của
phép chiếu song song như: Hình biểu diễn của tam giác đều là một tam giác giác bất
kỳ, hình biểu diễn của hình vuông là một hình bình hành, đường tròn là một elip.
Song một số tính chất của hình đó vẫn được bảo toàn. Và học sinh đã không nắm rõ
điểm này, nên dẫn đến vẽ hình biểu diễn của hình H là không đúng.
Bài tập: Cho một elip là hình biểu diễn của một đường tròn có tâm O. Hãy vẽ hình
biểu diễn của:
a. Một tam giác đều nội tiếp trong (O);
b. Hình vuông nội tiếp trong (O);
c. Hai đường kính vuông góc của đường tròn;
d. Một dây cung và đường kính vuông góc với dây cung.
• Dự kiến sai lầm
HS sẽ vẽ một tam giác, hình bình hành, hai đường kính, dây cung và đường kính bất
kỳ để biểu diễn những hình yêu cầu trên, mà không có một mối ràng buộc nào biểu
thị dữ kiện bài toán đã cho.
a. Hình biểu diễn của một tam giác đều là một
tam giác bất kỳ, nên ta có hình biễu diễn tam
giác đều
ABC∆
như bên.
j
O
C
B

A
b. Hình biểu diễn của hình vuông là hình bình
hành nên ta có hình biểu diễn hình vuông ABCD
như bên.
D
C
B
A
O
32
c. Vì qua phép chiếu song song không
bảo toàn góc nên ta có hình biểu diễn hai
đường kính AC và BD vuông góc nhau
như bên.

D
C
B
A
O
d. Lí luận tương tự như bên ta có hình
biểu diễn của một đường kính vuông góc
với dây cung.
N
M
B
A
O
• Phân tích sai lầm
- Khi vẽ hình biễu diễn một hình thì ta phải thể hiện được các tính chất mà được bảo

toàn qua phép chiếu song song. Và qua hình biểu diễn đó ta có thể nhận ra đó là tam
giác đều, hình vuông, hai đường kính vuông góc...
a. Trước hết ta vẽ tam giác đều ABC nội tiếp trong đường tròn (O).
Nhận xét: - A, O, H thẳng hàng, BC đi qua
trung điểm của OD.
-
,OA MN⊥
BC song song với MN, OA đi
qua trung điểm của MN.
O
H
D
I
N
M
C
B
A
Ta có hình biểu biễn như sau:
- Vẽ cung M’N’, lấy I’ là trung điểm của M’N’.
- Nối O’I’ cắt (O’) tại A’, D’.
- Lấy trung điểm H’ của đoạn O’D’.
Từ H kẻ B’C’ song song với M’N’
O
"
I
"
H
"
D

"
N
"
M
"
C
"
B
"
A
"
Tam giác A’B’C’ là hình biểu diễn của tam giác đều ABC.
b. Cũng như câu a, khi nhìn vào hình vẽ biểu diễn trên thì ta không biết đó là hình
biểu diễn của hình bình hành, hình chữ nhật hay là hình vuông. Bởi hình không thể
hiện một tính chất đặc trưng nào?
33
- Trước hết, ta có hình vuông ABCD nội tiếp trong
đường tròn (O) là:
Ta thấy: Tâm của hình vuông trung với tâm của
đường tròn.
Đường chéo của hình vuông luôn đi qua trung điểm
của dây cung mà song song với đường chéo còn lại.
D
I
N
M
O
C
B
A

Do đó hình biểu diễn của hình vuông ABCD nội tiếp trong đường tròn (O) là:
- Vẽ đường kính A’C’ biểu diễn đường kính AC;
- Vẽ dây M’N’ song song với A’C’ và gọi I’ là
trung điểm của nó;
- Nối O’I’ cắt đường (O’) tại B’, D’.
I'
D'
C'
B'
M'
N'
A'
O
Vậy A’B’C’D’ là hình biểu diễn của hình vuông ABCD nội tiếp trong đường tròn
(O).
c. d. tương tự như cách xác định ở câu b.
Ta có A’C’ và B’D’ là hai đường kính vuông góc, B’D’ và M’N’ là đường kính
vuông góc với dây cung.
• Biện pháp khắc phục sai lầm
Để vẽ hình biểu diễn chính xác ta cần thực hiện những bước sau:
- Nắm rõ các tính chất của phép chiếu song song;
- Vẽ hình đó trong phẳng rồi xét xem yếu tố nào không đổi khi qua phép chiếu song
song;
- Vẽ hình biểu diễn.
• Bài tập củng cố: Vẽ hình biểu diễn của lục giác đều, hình chữ nhật
nội tiếp trong đường tròn tâm (O).
1.3 Sai lầm của HS khi xác định góc
Khi giải những bài toán tính toán các yếu tố như độ dài đường vuông góc chung,
góc... Ngay cả khi không yêu cầu dựng thì trên thực tế ta cũng phải xác định các yếu
tố đó trên hình vẽ, sau đó mới tính toán.

34
Song do không nắm kỹ các khái niệm mà học sinh thường gặp sai lầm trong phần
này, dẫn đến kết quả tính toán sai.
Bài tập 1: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, cạnh đáy bằng a và các mặt bên của
hình chóp hợp với đáy một góc
.
β
Dựng thiết diện tạo bởi mặt phẳng phân giác của
góc nhị diện cạnh BC với các mặt bên của hình chóp và tính diện tích của thiết diện.
• Dự kiến sai lầm
- HS sẽ gặp phải sai lầm khi xác định mặt phẳng phân giác của góc nhị diện đó là:
xác định phân giác của hai góc
SBA∠
và
,SCD∠
khi đó mặt phẳng phân giác được
tạo bởi hai đường phân giác đó và cạnh nhị diện.
- Trong mặt bên (SAB), dựng đường phân
giác góc
SBA∠
là BM.
- Trong mặt bên (SCD), dựng đường phân
giác góc
SCD∠
là CN.
Nối MN.
N
M
H
D

C
B
A
S
Khi đó tứ giác BCNM là mặt phẳng phân giác nhị diện cạnh BC cần tìm.
• Phân tích sai lầm
- Nhìn vào hình vẽ ta không thể tìm ra được một mối liên hệ nào để tính toán được
diện tích thiết diện BCNM.
- Ở đây ta có thể chứng minh được rằng mặt phẳng phân giác đó không đi qua hai
đường phân giác của hai góc
SBA
∠
và
SCD
∠
.
Ta có lời giải như sau:
Để dựng được mặt phẳng phân giác thì trước hết ta phải dựng được góc phẳng nhị
diện cạnh BC.
Từ H kẻ IJ song song với AB. Khi đó:
; SI BC SJ AD⊥ ⊥
. Do vậy
SIJ SJI
β
∠ = ∠ =
. Từ I kẻ phân giác IK cắt
SJ tại K, ta có:
2
KIJ
β

∠ =
. Từ K kẻ MN song
song với AD.
K
J
I
β
N
M
H
D
C
B
A
S
35
Nối BM, CN ta có mặt phẳng phân giác là: BCNM
Và thiết diện là hình thang vì MN // BC.
- Chỉ ra được BM, CN không phải là phân giác của
SBA∠
và
SCD∠
.
Thật vậy,
Ta có:
IS KS
IJ KJ
=
(1) (vì KI là phân giác của
SIJ

∠
Vì MN song song với AD nên:
KS MS
KJ
MA
=
(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
MS IS
IJ
MA
=
(3). Ta thấy:
IJ AB
BS IS





=
>
nên
IS BS
IJ
BA
<
(4).
Từ (3) và (4) suy ra:
MS BS

MA BA
≠
. Vậy BM không là phân giác của
SBA
∠
Tương tự ta chứng minh được CN không phải là phân giác của
SCD
∠
- Với cách dựng đó ta có:
; ; ;
2cos 2
a
IJ a SIJ SI SJ KIJ
β
β
β
= ∠ = = = ∠ =
Vì MN song song với AD nên:
MN SK
AD SJ
=
(5).
Mặt khác: IK là phân giác nên:
1
2cos
KS IS
KJ IJ
β
= =
(6)

Từ (5) và (6) suy ra:
1 2 os
a
MN
c
β
=
+
. Ta tính được:
. 2 2.cos

1 2.cos
a
KI
β
β
+
=
+
Do đó:
( )
( )
3
2
.
2
2 2.cos
. 2 2.cos
1

2 1 2.cos 1 2.cos
1 2.cos
.
a
a
a
S a
BCNM
β
β
β β
β
 
 ÷
 
+
+
= + =
+ +
+
Bài tập 2: Cho một hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ đáy ABC là một tam giác vuông
ở A, có AB = a, góc B bằng
.
α
Mặt phẳng đi qua cạnh BC và đỉnh A’ hợp với đáy
ABC một góc bằng
.
ϕ
Tính thể tích hình lăng trụ.
• Dự kiến sai lầm

- HS thường xác định sai góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (CA’B)
36
Ta cú:
'A BA
l gúc gia hai mt phng
(ABC) v (ABC). Do ú
'A BA

=
.
Khi ú:
.tan ; ' .tanAC a AA a

= =
Vy th tớch hỡnh lng tr l:
3
1 1
. . .tan .tan .tan .tan
2 2
V a a a a

= =
C' B'
A
'


C
B
A

Phõn tớch sai lm
-
'A BA
khụng phi l gúc gia hai mt phng (ABC) v (ABC).
- Do trc giỏc v khụng nm rừ nh
ngha nờn ó xỏc nh gúc gia hai mt
phng (ABC) v (ABC) khụng chớnh
xỏc. Gúc gia hai mt phng l gúc
gia hai ng thng ln lt vuụng
gúc vi hai mt phng ú. Hoc xỏc
nh mt mp vuụng gúc vi giao tuyn
BC ca hai mt phng ú.
(Q)
(R)
(P)
Đường thẳng

, được xác
định bởi hai mp (Q), (R)
qua O và lần lượt vuông
góc với hai đt a, b cắt
nhau trên (P)

F
O
a
b
- xỏc nh gúc ny ta cn tỡm mt mp vuụng gúc vi
( ) ( )
'BC A BC ABC=

.
T A k
AI BC

.
Vy
( )
; 'AI BC AA ABC
suy ra:
'A I BC
(theo nh lớ ba ng vuụng gúc)
Vy
'A IA

=
l gúc phng nh din hp bi
hai mt phng (ABC) v (ABC).
I

C'
B'
A
'

C
B
A
Ta cú:
.tan ; .tanAC a AI a

= =
;
' .AA AI=
tan

=
.sina

.
tan

.
Vy
3
1
.
2
V a=
.
sin

.
tan

.
tan

.
Bin phỏp khc phc sai lm
37

Khi cần tính góc nhị diện (hay góc giữa hai mặt phẳng) nếu góc chưa có sẵn thì ta
phải dựng góc, sau đó áp dụng hệ thức lượng trong tam giác... để tính toán.
 Sau đây là phương pháp dựng góc giữa hai mặt phẳng (góc
phẳng nhị diện).
- Tìm c giao tuyến của hai mp
( )
α
và
( )
β
.
- Tìm mặt phẳng
( )
γ
vuông góc với c. Tìm
các giao tuyến của
( )
γ
với
( )
α
và
( )
β
.
Khi đó
( ) ( )
( )
·
;

α β
=
( )
·
,a b
với
( ) ( ) ( )
( )
;a b
γ α γ β
= ∩ = ∩
c
H
B
A
β
α
- Tìm mp
( )
γ
: + Tìm đường thẳng vuông góc với c, cắt
( )
α
và
( )
β
tại A và B.
+ Từ A (hay B) dựng đường vuông góc với c. Khi đó
AHB∠
là góc

giữa hai mặt phẳng cần tìm. Ta có:
( )
( )
AHB
γ
≡
.
 Chú ý
a) Nếu hai mặt của nhị diện lần lượt chứa
hai tam giác cân
∆
MAB và
∆
NAB có
chung đáy là AB thì
·
MIN
(I là trung
điểm của AB) là góc giữa hai mặt phẳng
đó.
I
M
N
B
A
 Dựng mặt phẳng phân giác của nhị diện
- Cần tìm 1 góc phẳng nhị diện của nhị
diện đó.
- Xác định phân giác của góc phẳng nhị
diện.

- Khi đó mặt phẳng phân giác là mặt
phẳng đi qua cạnh của nhị diện và phân
giác đó.
D
C
O
I
B
A
(OCD) là mặt phẳng phân giác của nhị
diện( A, CD, B)
38