Phát huy tính tích cực trong giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình và phương trình bậc hai

Trường THCS An Xuyên 1

Sáng kiến kinh nghiệm

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc Lập -Tự Do- Hạnh Phúc

An Xuyên ngày 20 tháng 02 năm 2013

BÁO CÁO SÁNG KIẾN
Tên sáng kiến: “Phát huy tính tích cực trong giải bài tốn bằng cách lập hệ
phương trình, phương trình bậc 2”.
Người thực hiện : Mai Thị Minh Tâm
Thời gian đã được triển khai thực hiện: Từ ngày 28/10/2010 đến ngày
31/12/2013
I- SỰ CẦN THIẾT, MỤC ĐÍCH CỦA VIỆC THỰC HIỆN SÁNG KIẾN:
Mục tiêu cơ bản của giáo dục nói chung cũng như giáo dục ở địa phương
nói riêng, nhằm nâng cao chất lượng dạy và học để đào tạo và xây dựng thế hệ
học sinh trở thành những con người phát triển tồn diện có phẩm chất đạo đức, có
năng lực trí tuệ để đáp ứng với tình hình thực tế hiện nay. Để thực hiện mục tiêu
đó trước hết người giáo viên phải biết áp dụng những phương pháp dạy học hiện
đại và biết kết hợp hài hòa các phương pháp để bồi dưỡng cho học sinh có năng
lực tư duy sáng tạo, suy luận có logic.
II- PHẠM VI TRIỂN KHAI THỰC HIỆN: Tổ chun mơn Tốn – Lý
III- MƠ TẢ SÁNG KIẾN:
Hầu hết học sinh năng lực tư duy suy luận cịn hạn chế, nhất là những bài
tốn có lời văn. Mặc dù, những dạng toán này các em đã làm quen ở bậc tiểu học
và bậc THCS như lớp 6, 7 phần số học, lớp 8 phần giải bài toán bằng cách lập
Người viết: Mai Thị Minh Tâm

Trang 1

Trường THCS An Xuyên 1

Sáng kiến kinh nghiệm

phương trình bậc nhất một ẩn. Nhưng khi đến lớp 9 vấn đề giải bài tốn bằng
cách lập hệ phương trình, phương trình bậc 2 các em vẫn gặp rất nhiều khó khăn,
bối rối không biết bắt đầu từ đâu, căn cứ như thế nào để đi đến hệ phương trình,
phương trình bậc 2, mặc dù cách giải ở SGK các em đã thuộc lịng. Ngồi những
cách giải như SGK hoặc một số sách tham khảo, bản thân tơi có kinh nghiệm nhỏ
trong q trình giải bài tốn bằng cách lập hệ phương trình, phương trình bậc 2.
Phương pháp này vừa mang tính chất đơn giản, nhẹ nhàng, không gây rắc rối cho
học sinh, nhưng có tính suy luận cao, giúp học sinh rèn luyện óc phân tích, tổng
hợp, biểu thị những mối liên quan của các đại lượng trong bài và có số ít bài tốn
dựa vào câu hỏi của đề để chọn ẩn khơng phù hợp do đó cần chọn phương pháp
để giúp học sinh có phương hướng giải đó là “ Phát huy tính tích cực trong giải
bài tốn bằng cách lập hệ phương trình, phương trình bậc 2”. Sau đây là một số ví
dụ để thể hiện phương pháp đó.
A- Giải bài tốn bằng cách lập hệ phương trình:
Theo như cách giải ở SGK gồm 3 bước như sau:
Bước 1: Lập hệ phương trình (phương trình bậc 2)
- Chọn ẩn, đặt điều kiện bài toán
- Biểu thị mối quan hệ trong bài tốn lập hệ phương trình (hay phương trình
bậc 2)
- Lập hai phương trình (một phương trình bậc 2) biểu thị mối quan hệ giữa
các đại lượng.
Người viết: Mai Thị Minh Tâm

Trang 2

Trường THCS An Xuyên 1

Sáng kiến kinh nghiệm

Bước 2: Giải hệ hai phương trình (phương trình bậc 2) nói trên.
Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình (hay
phương trình bậc 2), nghiệm nào thích hợp với bài tốn và kết luận.
Nhiều học sinh khó hình dung được mối quan hệ phụ thuộc giữa các đại
lượng để diễn tả mối quan hệ đó chuyển lời văn thành ngơn ngữ tốn học.
Phần lớn bài tốn ở câu hỏi hỏi gì thì chọn ẩn theo câu hỏi đó và cách đi ít phân
tích để giúp học sinh phát triển tư duy và học sinh khó có hướng giải. Do đó, khi
giải bài tốn bằng cách lập hệ phương trình giáo viên nên cho học sinh đọc kỹ đề,
trong bài tốn bao giờ cũng có 2 câu văn (1 câu có dữ kiện đơn giản, 1 câu có dữ
kiện phức tạp) có đủ dữ kiện để đi đến phương trình. Cho học sinh tóm tắt 2 câu
đó rồi giáo viên hướng dẫn học sinh tóm tắt thành biểu thức dùng ngơn ngữ tốn
học để dựa vào đó, giúp học sinh biết phân tích, tổng hợp bài tốn, biết tìm mối
quan hệ các đại lượng trong bài tốn để đi đến hệ phương trình.
1 - Dạng tốn về quan hệ các số:
Trước khi đi dạng này giáo viên cần nhắc lại phần phân tích một số thành
tổng ở lớp 6 đã học ở dạng thông số cho học sinh nhớ, để sử dụng trong một số
trường hợp dạng thông số.
Bài toán 1: Tổng 2 số bằng 59, 2 lần số này bé hơn 3 lần số kia là 7. Tìm 2 số đó.
Giáo viên đặt câu hỏi để dẫn học sinh phân tích bài tốn đưa về 2 biểu thức
có lời văn:
Tổng 2 số bằng 59
Người viết: Mai Thị Minh Tâm

Trang 3

Trường THCS An Xuyên 1

Sáng kiến kinh nghiệm

2 lần số này bé hơn 3 lần số kia là 7.
Giáo viên đặt câu hỏi dẫn dắt học sinh tóm tắt bằng biểu thức. (Tổng 2 số
có nghĩa là như thế nào, 2 lần số này bé hơn 3 lần số kia là 7 có nghĩa là như thế
nào)
Số này + số kia = 59
3.số kia – 2.số này = 7
Lúc này biểu thức chỉ còn lại 2 đại lượng dựa vào đây học sinh chọn ẩn
một cách dễ dàng và đi lập hệ phương trình, giải hệ và đối chiếu với điêù kiện trả
lời khơng có gì khó khăn.
Bài tốn 2: Cho một số có 2 chữ số. Nếu đổi 2 chữ số của nó thì ta được số lớn
hơn số đã cho là 63. Tổng của số đã cho và số mới tạo thành bằng 99. Tìm số đã
cho.
Nếu đổi cho 2 chữ số thì được 1 số lớn hơn số đã cho là 63.
Tổng của số đã cho và số mới tạo thành bằng 99.
Giáo viên đặt câu hỏi hướng dẫn học sinh phân tích bài tốn đưa về 2 biểu
thức có lời văn, trong biểu thức chỉ cịn lại 2 đai lượng cần tìm. (nếu đổi chỗ 2
chữ số được số lớn hơn số đã cho là 63 có nghĩa như thế nào, tổng số mới và số
đã cho bằng 99 có nghĩa là thế nào)
Số mới – số đã cho = 63
Số đã cho + số mới = 99
Qua đây học sinh chọn ẩn, đặt điều kiện một cách nhẹ nhàng và đi đến lập
hệ phương trình, giải hệ và đối chiếu với điều kiện trả lời.
2 - Dạng bài toán chuyển động:
Cũng giống như dạng quan hệ 2 số nhưng ở đây khi viết được mối liên hệ

trong bài tốn bằng biểu thức thì phải tiến hành đi thêm bước là áp dụng công
thức vật lý (S = ?, V = ?, t = ?).
Người viết: Mai Thị Minh Tâm

Trang 4


Trường THCS An Xuyên 1

Sáng kiến kinh nghiệm

Bài toán: Hai ô tô đi từ 2 tỉnh A và B cách nhau 150km ngược chiều nhau. Khởi
hành cùng 1 lúc và gặp nhau sau 2 giờ. Nếu ô tô đi từ A tăng thêm 5km/h và vận
tốc ô tô đi từ B giảm 5km/h thì vận tốc ơ tơ đi từ A bằng 2 lần vận tốc ô tô đi từ
B. Tính vận tốc mỗi ơ tơ.
Giáo viên hướng dẫn tóm tắt bài tốn:
Sau 2h gặp nhau
Ơ tơ A tăng vận tốc 5km/h; ơ tơ đi từ B giảm 5km/h thì vận tốc ô tô đi từ A
gấp 2 lần vận tốc ô tô đi từ B.
Giáo viên hướng dẫn đặt nội dung câu hỏi để viết biểu thức mối tương
quan giữa các đại lượng trong bài toán (Gặp nhau sau 2 giờ có nghĩa là thế nào,
nếu ơ tơ đi từ A tăng vận tốc 5km/h, ô tô đi từ B giảm vận tốc 5 km/h thì vận tốc
ơ tơ đi từ A gấp 2 lần vận tốc ô tô đi từ B có nghĩa là thế nào)
 S A + S B = 150

VA + 5 = 2(VB − 5)

V .t + V .t = 150
⇔ A A B B
⇔

VA + 5 = 2(VB − 5)

 2.VA + 2.VB = 150

VA + 5 = 2(VB − 5)

(1)

Dựa vào biểu thức (1) học sinh chọn ẩn, đặt điều kiện và lập hệ phương
trình, giải hệ và đối chiếu với điều kiện trả lời.
3 - Dạng toán về năng suất, làm chung, làm riêng:
Bài tốn: Hai cơng nhân cùng sơn cửa cho một cơng trình trong 4 ngày thì xong
việc. Nếu người thứ nhất làm 1 mình trong 9 ngày rồi người thứ 2 đến cùng làm
tiếp trong 1 ngày nữa thì xong việc. Hỏi mỗi người làm 1 mình trong bao lâu thì
xong việc.
Giáo viên hướng dẫn tóm tắt bài toán
Hai người cùng làm chung 4 ngày xong
Người thứ 1 làm 10 ngày, người thứ 2 cùng 1 ngày nữa thì xong
Ns người thứ 1+ Ns người thứ 2 = Ns 2 người làm chung
⇔

Người thứ nhất làm 10 ngày + người thứ 2 làm 1 ngày = xong công việc
Người viết: Mai Thị Minh Tâm

Trang 5


Trường THCS An Xuyên 1

Sáng kiến kinh nghiệm

Giáo viên hướng dẫn cho học sinh hiểu từ “năng suất”của từng người,
năng suất của 2 người chính là như thế nào, người thứ 1 làm trong 10 ngày, người
thứ 2 làm trong 1 ngày thì xong cơng việc, rồi viết thành biểu thức mối quan hệ
các lượng đại trong bài toán để đi đến biểu thức bằng ngơn ngữ tốn học
1

1

+

1

=

t1

t2

10

4

1
+

t1

= 1

t2

Giáo viên hướng dẫn cho học sinh dựa biểu thức trên để chọn ẩn và đặt
điều kiện để lập hệ phương trình, giải hệ và trả lời.
4 - Dạng tốn có nội dung hình học:
Bài tốn: Một sân vườn hình chữ nhật có chu vi 340m, ba lần chiều dài hơn bốn
lần chiều rộng là 20m. Tính kích thước hình chữ nhật.
Tóm tắt bài tốn
Chu vi = 340m
3 lần chiều dài hơn 4 lần chiều rộng là 20m
(Dài + Rộng).2 = 340
3 x Dài – 4 x Rộng = 20

⇔

D + R = 170
3 x D – 4 x R = 20

Dựa vào biểu thức trên học sinh chọn ẩn, đặt điều kiện đê lập hệ phương
trình, giải hệ và trả lời.
B- Giải bài tốn bằng cách lập phương trình bậc hai:
Thực chất cũng là giải hệ phương trình mà ta đã đi tắt 1 bước đó là giải hệ
bằng phương pháp thế, mà giải hệ thì khi thế từ phương trình này vào phương
trình khác thì đưa về phương trình bậc 1 một ẩn, nhưng giải bài toán bằng cách
Người viết: Mai Thị Minh Tâm

Trang 6


Trường THCS An Xuyên 1

Sáng kiến kinh nghiệm

lập phương trình bậc 2 khi giải ta đã thế từ phương trình này vào phương trình
khác thì đưa về phương trình bậc 2. Do đó cần rèn cho học sinh thành thạo giải
hệ phương trình bằng phương pháp thế một cách nhanh nhẹn .Cũng như giải bài
toán bằng cách lập hệ phương trình khi tóm tắt bài tốn cũng có những câu đưa
về được biểu thức trong đó có 1 câu là dùng để lập phương trình và những câu
cịn lại để tìm mối tương quan giữa các đại lượng trong bài.
1 - Dạng quan hệ các số:
Bài toán: Cho một số có 2 chữ số. Tổng hai chữ số của chúng bằng 10. Tích 2
chữ số ấy nhỏ hơn số đã cho là 12. Tìm số đã cho.
Giáo viên cho học sinh tóm tắt bài tốn
Tổng 2 chữ số = 10
Tích hai chữ số ấy nhỏ hơn số đã cho là 12
Cs hàng chục + Cs đơn vị = 10
Số đã cho – Cs hàng chục x Cs đơn vị = 12
Hai câu trên thường là những câu phức tạp dùng để lập phương trình, cịn
câu đơn giản là mối tương quan giữa các đại lượng. Khi tóm tắt bài tốn giáo
viên cho học sinh viết thành biểu thức bằng ngôn ngữ
 Cs hàng chục + Cs đơn vị = 10
⇒ Cs đơn vị = 10 – Cs hàng chục (1) (biểu thức quan hệ)

 Số đã cho viết thành : 10.Cs hàng chục + Cs đơn vị (2)
 Số đã cho – Cs hàng chục x Cs đơn vị = 12
Hay: 10 x Cs hàng chục + Cs đơn vị – Cs hàng chục x Cs đơn vị = 12 (3)

Thế biểu thức (1) và(2) biểu thức (3):
Người viết: Mai Thị Minh Tâm

Trang 7


Trường THCS An Xuyên 1

Sáng kiến kinh nghiệm

⇒ 10 x Cs hàng chục + 10 – Cs hàng chục – Cs hàng chục x (10 – Cs hàng chục)

= 12
Hay: 9 x Cs hàng chục + 10 – Cs hàng chục x (10 – Cs hàng chục) = 12 (4)
Dựa vào biểu thức (4) giáo viên hướng dẫn học sinh chọn ẩn đặt điều kiện
dựa vào biểu thức (1) để lập luận mối liên quan của các đại lượng giữa chữ số
hàng chục và chữ số hàng đơn vị và lập phương trình đưa về phương trình bậc 2
sau đó giải, đối chiếu điều kiện và trả lời.
2 - Dạng chuyển động:
Phần giải bài tốn bằng cách lập phương trình bậc 2 một ẩn phần lớn trong
bài toán một chuyển động hoặc hai chuyển động bao giờ cũng có một câu văn
căn bản mà chúng ta viết thành biểu thức vì thời gian để đi đến phương trình như
chuyển động “đi trước, đi sau, đến trước, đến sau…”, ta sử dụng biểu thức hiệu
hai thời gian rồi từ đó sử dụng cơng thức vật lý để tính tiếp tục suy luận ngược
viết thành biểu thức, trong bài tốn có thêm một dữ kiện là mối quan hệ về đại
lượng vận tốc ta đưa về cùng một đại lượng vận tốc của một chuyền động (bài
tốn có hai chuyển động) hoặc đưa về vận tốc dự định (bài tốn có một chuyển
động). Lúc này biểu thức chỉ còn một ẩn, dựa vào biểu thức để chọn ẩn, mỗi tỷ số
trong biểu thức là một câu lý luận tương ứng sau đó thay ẩn vào biểu thức ta đi
đến phương trình.
Bài tốn: Hai sân bay Hà Nội và Đà Nẵng cách nhau 600km. Một máy bay cánh
quạt từ Đà Nẵng đi Hà Nội. Sau đó 10 phút một máy bay phản lực từ Hà Nội bay
đi Đà Nẵng với vận tốc lớn hơn vận tốc của máy bay cánh quạt là 300km/h. Nó

đến Đà Nẵng trước khi máy bay kia đến Hà Nội 10 phút. Tính vận tốc của mỗi
máy bay.
Sau khi giáo viên tóm tắt bài tốn:
S = 600 km
- Máy bay phản lực bay sau 10 phút.
- Máy bay phản lực đến trước 10 phút so với máy bay cánh quạt.
Người viết: Mai Thị Minh Tâm

Trang 8


Trường THCS An Xuyên 1

Sáng kiến kinh nghiệm

- vận tốc máy bay phản lực nhanh hơn vận tốc máy bay cánh quạt là 300 km/h
Mối quan hệ vận tốc của hai máy bay là:
Vpl = Vcq+ 300 (biểu thức quan hệ) (1)
Giáo viên hỏi: Máy bay phản lực đến Hà Nội trước máy bay cánh quạt 10 phút và
bay sau máy bay cánh quạt 10 phút có nghĩa là như thế nào?
tcq – tpl =
⇔

1 1
+
6 6

600 600 1
−
= (2)

Vcq Vpl 3

Thay 1 vào 2 ta có
600
600
1
−
=
Vcq Vcq + 300 3
600

600

1

Lúc này học sinh dựa vào biểu thức cuối cùng V − V + 300 = 3 để chọn ẩn, đặt
cq
cq
điều kiện, lập luận để đi đến lập phương trình, giải và đối chiếu điều kiện trả lời.
3 - Dạng có nội dung hình học:
Bài tốn: Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là 280m. Người ta mở lối đi
quanh vườn (thuộc đất của vườn) rộng 2m, diện tích cịn lại để trồng trọt 4256m 2.
Tính kích thước của vườn.
Giáo viên cho học sinh phân tích mối liên hệ trong bài toán:
Chu vi bằng 280m
(Chiều dài – 4) x (Chiều rộng – 4) = 4256
Hướng dẫn cho học sinh viết biểu thức dưới dạng bằng ngôn ngữ (Chu vi bằng
280m, lối đi xung quanh vườn qua đó có nghĩa gì)
(D + R).2 = 280

⇔

(D – 4)(R – 4) =4256

D + R = 140
(D – 4)(R – 4) = 4256

(1)
(2)

Từ (1) suy ra D = 140 – R (3)
Thay biểu thức (3) vào (2) ta có:
(140 – R – 4)(R – 4) = 4256
Người viết: Mai Thị Minh Tâm

Trang 9


Trường THCS An Xuyên 1

Sáng kiến kinh nghiệm

⇔ (136 – R)(R – 4) = 4256

Học sinh dựa vào biểu thức (136 – R)(R – 4) = 4256 để chọn ẩn, đặt điều
kiện, dựa vào biểu thức (3) tìm mối quan hệ giữa chiều dài và chiều rộng sau đó
lập phương trình giải, đối chiếu điền kiện và trả lời.
Mặc dù bước đầu áp dụng cách này cũng rất mất thời gian nhưng khi học
sinh đã quen các em đi vào hệ phương trình, phương trình bậc 2 nhanh và chính
xác, do đó kết quả đạt được khi áp dụng cách này rất khả quan.

IV- KẾT QUẢ, HIỆU QUẢ MANG LẠI:
- Biết tóm tắt bài tốn, viết biểu thức mối quan hệ giữa các đại lượng và biết
lập hệ phương trình, phương trình bậc 2 đạt 80%.
- Biết lập hệ phương trình, phương trình bậc 2 nhưng biện luận chưa chặt chẽ
đạt 15%.
- Cịn 5% lập được 1 phương trình trong phần giải hệ, trong phương trình bậc
2 viết được những biểu thức tìm mối quan hệ.
Trong quá trình áp dụng phương pháp này giúp học sinh có tiền đề và hướng
đi đúng đắn khi giải một bài toán lập hệ phương trình, phương trình bậc 2. Qua
đây học sinh biết dựa vào biểu thức để chọn ẩn, đặt điều kiện, biết lập luận logic
tìm mối liên hệ các đại lượng trong bài đi đến hệ phương trình, phương trình bậc
2 một cách chắc chắn không sợ sai lầm. Chất lượng được nâng lên rõ rệt.
V- PHẠM VI ẢNH HƯỞNG CỦA SÁNG KIẾN:
- Rèn tính chịu khó suy luận, mối quan hệ trong các đại lượng của những bài
toán.
- Khi các em có lịng tự tin khi giải tốn bằng cách lập hệ phương trình,
phương trình bậc 2 ở bậc THCS là tiền đề hành trang cho các em thi vào các
trường THPT.
- Một số em quen tính suy luận, logic chặt chẽ trong mọi bài khác.
- Khi có sự hứng thú trong học tập giúp các em có niềm đam mê trong các
môn học khác.
Người viết: Mai Thị Minh Tâm

Trang 10


Trường THCS An Xuyên 1

Sáng kiến kinh nghiệm

VI- KIẾN NGHỊ, ĐỀ XUẤT:
Chúng tôi mong Hội đồng xét, công nhận sáng kiến khi những sáng kiến
công nhận đạt loại khá trở lên được triển khai và áp dụng rộng rãi trong ngành để
các đồng nghiệp học hỏi và áp dụng trong quá trình giảng dạy.
Qua kinh nghiệm nhỏ này bản thân tôi không tránh khỏi những hạn chế
nhất định, tôi rất chân thành đón nhận được những đóng góp quý báu của các
đồng chí.

Ý kiến xác nhận của

An Xuyên ngày 20 tháng 02 năm 2013

thủ trưởng đơn vị

Người thực hiện

MAI THỊ MINH TÂM

Người viết: Mai Thị Minh Tâm

Trang 11