Đề thi học sinh giỏi thpt môn toán

Đề thi học sinh giỏi lớp 10 môn Toán:
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 05/04/2013
Câu 1 (2,5 điểm)
a) Cho hàm số y = x
2
- 3x + 2 và hàm số y = -x + m. Tìm m để đồ thị
các hàm số đó cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B đồng thời
khoảng cách từ trung điểm I của đoạn thẳng AB đến các trục tọa độ
bằng nhau.
b) Giải bất phương trình:
Câu 2 (2,5 điểm)
a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có B(1; 2).
Đường thẳng Δ là đường phân giác trong của góc A có phương
trình 2x + y - 1 = 0; Khoảng cách từ C đến Δ gấp 3 lần khoảng cách
từ B đến Δ. Tìm tọa độ của A và C biết C nằm trên trục tung.
b) Cho tam giác ABC vuông ở A, gọi α là góc giữa hai đường trung
tuyến BM và CN của tam giác. Chứng minh rằng
Câu 3 (2,5 điểm)
a) Cho tam giác ABC. Gọi D, E lần lượt là các điểm thỏa mãn:
; . Tìm vị trí của điểm K trên AD sao cho 3 điểm B,
K, E thẳng hàng.
b) Cho tam giác ABC vuông ở A; BC = a; CA = b; AB = c. Xác định
điểm I thỏa mãn hệ thức: ; Tìm điểm M sao cho
biểu thức (b
2
MB
2
+ c
2
MC

2
- 2a
2
MA
2
) đạt giá trị lớn nhất.
Câu 4 (2,5 điểm)
a) Giải phương trình:
b) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z = xyz.
Chứng minh rằng:
Câu I (1,5 điểm)
1) Xác định tính chẵn - lẻ của hàm số
2) Cho các nửa khoảng Với
điều kiện nào của các số thực a và b thì C là một đoạn? Tính độ dài
của đoạn C khi đó.
Câu II (2,0 điểm)
1) Tìm m để phương trình |x
2
- 1| = m
4
- m
2
+ 1 có bốn nghiệm phân
biệt.
2) Giải và biện luận (theo tham số m) bất phương
trình:
Câu III (2,5 điểm)
1) Giải phương trình
2) Giải hệ phương trình
Câu IV (3,0 điểm)

1) Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b và Các điểm M, N được
xác định bởi .Tìm hệ thức liên hệ giữa b và
c để AM và CN vuông góc với nhau.
2) Cho tam giác ABC. Trên các cạnh BC, CA và AB của tam giác
đó, lần lượt lấy các điểm và Gọi và S tương ứng là diện tích của
các tam giác và ABC. Chứng minh bất đẳng thức
.Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi nào?
Câu V (1,0 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn tâm O bán kính R (R
> 0, R không đổi). Gọi A và B lần lượt là các điểm di động trên trục
hoành và trục tung sao cho đường thẳng AB luôn tiếp xúc với
đường tròn đó. Hãy xác định tọa độ của các điểm A, B để tam giác
OAB có diện tích nhỏ nhất.
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Bài 1 (6 điểm).
a) Giải phương trình sau trên ¡:
b) Giải bất phương trình sau:
Bài 2 (3 điểm)
Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho hai số n + 26 và n - 11
đều là lập phương của hai số nguyên dương nào đó.
Bài 3 (3 điểm)
Cho tam giác ABC và điểm K thuộc cạnh BC sao cho KB = 2KC, L
là hình chiếu của B trên AK, F là trung điểm của BC, biết rằng KAB
= 2KAC. Chứng minh rằng FL vuông góc với AC.
Bài 4 (4 điểm)
Cho A là tập hợp gồm 8 phần tử, tìm số lớn nhất các tập con gồm 3
phần tử của A sao cho giao của 2 tập bất kỳ trong các tập con này
không phải là một tập hợp gồm 2 phần tử.
Bài 5 (4 điểm)
Cho các số dương x, y, z. Chứng minh bất đẳng thức:

Đề 2
Câu 1. (2 điểm)
1.Tính:
2. Xác định giá trị của a,biết đồ thị hàm số y = ax - 1 đi qua điểm
M(1;5)
Câu 2: (3 điểm)
1. Rút gọn biểu thức:
với a>0,a
2. Giải hệ phương trình:
3. Chứng minh rằng pt: x
2
+ mx + m - 1 =0 luôn có nghiệm với mọi
giá trị của m.
Giả sử x1,x2 là 2 nghiệm của pt đã cho, tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức: B = x
1
2
+ x
2
2
- 4(x
1
+ x
2
)
Câu 3: (1,5 điểm)
Một ôtô tải đi từ A đến B với vận tốc 40km/h. Sau 2 giờ 30 phút thì
một ôtô taxi cũng xuất phát đi từ A đến B với vận tốc 60 km/h và
đến B cùng lúc với xe ôtô tải. Tính độ dài quãng đường AB.
Câu 4: (3 điểm)

Cho đường tròn (O) và một điểm A sao cho OA=3R. Qua A kẻ 2
tiếp tuyến AP và AQ của đường tròn (O), với P và Q là 2 tiếp điểm.
Lấy M thuộc đường tròn (O) sao cho PM song song với AQ. Gọi N
là giao điểm thứ 2 của đường thẳng AM và đường tròn (O). Tia PN
cắt đường thẳng AQ tại K.
1.Chứng minh APOQ là tứ giác nội tiếp.
2.Chứng minh KA
2
=KN.KP
3.Kẻ đường kính QS của đường tròn (O).Chứng minh tia NS là tia
phân giác của góc.
4. Gọi G là giao điểm của 2 đường thẳng AO và PK . Tính độ dài
đoạn thẳng AG theo bán kính R.
Câu 5: (0,5điểm)
Cho a,b,c là 3 số thực khác không và thoả mãn:
Hãy tính giá trị của biểu thức:
Sở GD & ĐT Nghệ An ĐỀ CHỌN HỌC SINH
GIỎI TRƯỜNG MÔN TOÁN 10
Trường THPT Diễn Châu 2 NĂM HỌC 2011-2012
Đề chính thức Thời gian làm bài: 150 phút,
Không kể thời gian giao đề
Câu I. (3,0 điểm )
Cho phương trình: x
2
– 2x –
1−x
+ m = 0 ( m là tham số ) (1)
1) Giải phuơng trình (1) khi m = -1
2) Tìm m để phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt
Câu II. (1,0 điểm )

Giải bất phương trình : ( x – 3)
4+x

≤
x
2
– 9
Câu III. (2,0 điểm )
1) Giải phương trình:
32 +x
+
1+x
-
352 ++ xx
= 3x – 16 ( x
∈

R )
2) Biết rằng (x;y) là nghiệm của hệ phương trình
Câu IV. (3,0 điểm)
1) Cho tam giác ABC gọi A’ là trung điểm của cạnh BC và G là
trọng tâm của tam giác.
Chứng minh rằng với mọi điểm M ta luôn có :
2
.MA
'MA
+
MB
.
MC

= 3MG
2
-
6
cba ++
( biết a = BC, b = AC, c =
AB )
2) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho tam giác ABC
có M(-1;3) là trung điểm của cạnh AC. Đường trung tuyến và
đường cao xuất phát từ A có phương trình lần lượt là 3x-
y+1=0 và 7x+y-11=0. Viết phương trình đường thẳng AB.
Câu V. (1 điểm)
Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn điều kiện a+b+c=1.
Chứng minh rằng:
ab + bc + ca
≥
4(a
2
b
2
+ b
2
c
2
+ c
2
a
2
) + 5abc
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI – KHỐI 10 – MÔN TOÁN

Năm học : 2012-2013
Thời gian làm bài : 120 phút
( không kể thời gian phát đề)
I. PHẦN GIẢI TÍCH
Câu 1: a)(1.5đ) Giải phương trình:
2
2
1 1
2 3 16 0x x
x
x
   
+ + + − =
 ÷  ÷
   
b) (1.5đ) Tìm m để tổng các bình phương các nghiệm của
phương trình:

( )
2
2 1 4 3 0x m x m− − − − =
là nhỏ nhất.
Câu 2: (1.5đ) Tìm tập hợp các giá trị của x để biểu thức sau có
nghĩa:
2 2
3 2x 3x 11
1 3x 2x 5
x
y
x

− + +
=
− + − −
Câu 3: (1.5đ) Cho bốn số nguyên dương bất kì
, , ,a b c d
. Chứng minh
rằng số
a b c d
A
a b c a b d b c d a c d
= + + +
+ + + + + + + +
không phải là một
số nguyên.
II. PHẦN HÌNH HỌC
Câu 4: (4đ) Cho tam giác ABC, gọi M là trung điểm của BC, G là
trọng tâm tam giác ABC, lấy D đối xứng với A qua M, I là trọng tâm
của tam giác MCD.
a. Chứng minh rằng:
1
IG AB DM
3
= +
uur uuur uuuur
.
b. Lấy J thỏa
2CJ 2AB JM= +
uur uuur uuur
. Chứng minh rằng IJ song song với
AB.

c. Giả sử
AB a, BC 2a= =
và
·
0
ABC 60=
. Tính độ dài của
u AB 2AC= +
r uuur uuur
.
d. Xác định tập hợp điểm E thỏa mãn:
2EA 3EB 5EC 2 ED EG− + = +
uuur uuur uuur uuur uuur
.
Câu 1: a)
2
2
1 1
2 3 16 0x x
x
x
   
+ + + − =
 ÷  ÷
   

(1)
ĐK:
0x ≠
Đặt

1
t x
x
= +
2 2
2
1
2x t
x
⇒ + = −
(1)
2
2 3 20 0t t⇔ + − =
4
5
2
t
t

= −

⇔

=


•
4 2 3t x= − ⇒ = − ±
•
5

2
t =
2
1
2
x
x

=

⇒

=


b)
( )
2
2 1 4 3 0x m x m− − − − =
(2)
• (2) có nghiệm
0
⇔ ∆ ≥
2
4 12 13 0m m⇔ + + ≥
( )
2
2 3 4 0,m m⇔ + + ≥ ∀
• Theo viet:
1 2

1 2
2 1
4 3
x x m
x x m

+ = −


= − −


•
( )
2
2 2 2
1 2
4 4 7 2 1 6 6A x x m m m
= + = + + = + + ≥
•
1
minA 6
2
m= ⇔ = −
.
Câu 4:
Câu 2:
2 2
3 2x 3x 11
1 3x 2x 5

x
y
x
− + +
=
− + − −
y có nghĩa
2
2 2
3 2x 0
3x 11 0
1 0
1 3x 2x 5 0
x
x

− ≥

+ ≥

⇔

− ≥


− + − − ≠

2
2
3

2
11
3
1
1 0
3x 2 x 5 0
x
x
x
x

≤



≥ −

⇔

≤



− >



− − ≠




1 1x
⇔ − < <
.
a.
( )
1
IG AG AI AB AC AC AD AM
3
= − = + − − −
uur uuur uur uuur uuur uuur uuur uuuur
( )
1 1
AB 2DM DM AB DM
3 3
= + + = +
uuur uuuur uuuur uuur uuuur
b.
2CJ JM 2AB 2AJ 2AC AM AJ 2AB= + ⇔ − = − +
uur uuur uuur uur uuur uuuur uur uuur
5
3AJ 2AB 2AC AM 5AM AJ AM
3
⇔ = + + = ⇒ =
uur uuur uuur uuuur uuuur uur uuuur
Mà M là trung điểmcủa AD nên
MJ
2
JD
=

.
Gọi K là trung điểm của CD, ta có
MI
2
IK
=
. Vậy ta có:
MJ MI
IJ // CD // AB
JD IK
= ⇒
.
c. Kẻ AH vuông góc với BC. Ta có:
0
a
BH AB.cos60
2
= =
,
0
a 3
AH AB.sin60
2
= =
.
F
H
G
J
I

R
D
M
B
C
A
Câu 3: Vì
, , ,a b c d Z
+
∈
nên
a b c d
A
a b c a b d b c d a c d
= + + +
+ + + + + + + +
a b c d
a b c d a b c d a b c d a b c d
> + + +
+ + + + + + + + + + + +
1=
Mà
, , 0
1
x y z
x
y

>



<


x x z
y y z
+
⇒ <
+
. Thật vậy,
1
x
y
<
x y
⇒ <
xz yz⇒ <
xy xz xy yz⇒ + < +
( ) ( )
x y z y x z⇒ + < +
x x z
y y z
+
⇒ <
+
Nên
a a d
a b c a b c d
+
<

+ + + + +

b b c
a b d a b c d
+
<
+ + + + +

c a c
b c d a b c d
+
<
+ + + + +

d d b
a c d a b c d
+
<
+ + + + +
Suy ra
2A <
Do đó
1 2A< <
A
⇒
không phải là một
số nguyên.
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI – KHỐI 11 – MÔN TOÁN
Năm học : 2012-2013
Thời gian làm bài : 120 phút

Bài 1 : Giải các phương trình sau :
1)
3
tg x tgx 1
4
π
 
− = −
 ÷
 
(1,5đ)
2)
3 3
cos x sin x
2cos 2x
sin x cos x
−
=
+
(1,5d)
Bài 2 : Chứng minh rằng :
( )
4 4 4
a b c abc a b c
+ + ≥ + +
(2đ)
Bài 3 : Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm K(3;4) và đường tròn
(C) : x
2
+ y

2
– 6x + 2y – 6 = 0 .
Viết phương trình đường tròn (C’) tâm K cắt (C) tại hai
điểm A , B sao cho AB
là cạnh hình vuông có 4 đỉnh thuộc (C) ( 2 điểm )
Bài 4 : Giải Hệ phương trình :
2
2 2
6x 4xy x y 1
x y 1

− + − =


+ =


(3đ)
Hết
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG – KHỐI 11 – MÔN TOÁN – NH 2012-2013
Bài 1 :
1)
( )
( )
( )
2
3
3
3
3 2

tgx 1
tgx 1
tg x tgx 1 tgx 1 tgx 1 1 0
4 tgx 1
tgx 1
tgx 1
tgx 1
tgx 0
tg x 4tg x 5tgx 0
 
−
 
π −
 
 
− = − ⇔ = − ⇔ − − =
 ÷
 ÷
+
 
 
−
 
 
=
=


⇔ ⇔



=
− + =


2) ĐK:
sin x 0
k2 x k2
cos x 0
2
≥

π
⇔ π ≤ ≤ + π

≥

( ) ( )
( )
( )
( )
PT cosx sin x 1 sin x cos x 2 cos x sin x sinx cos x 0
cos x sin x 0
1 sin x cos x 2 cos x sin x sinx cos x
 
⇔ − + − + + =
 
− =



⇔
+ = + +


Mà
( )
( )
sin x cos x 1; sin x cos x 1 2 cos x sin x sinx cos x 2
1 3
1 sin xcos x 1 sin 2x
2 2
+ ≥ + ≥ ⇒ + + ≥
+ = + ≤
Vậy PT có nghiệm duy nhất
x k2
4
π
= + π
Bài 2 : Ta có :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
4 4 2 2
4 4 2 2
4 4 2 2
4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
a b 2a b
b c 2b c
a c 2a c
2 a b c a b b c a b a c b c a c 2 ab c a bc abc 2abc a b c


+ ≥

+ ≥


+ ≥

⇒ + + ≥ + + + + + ≥ + + = + +
ĐỀ THI TUYỂN HỌC SINH GIỎI 12 NĂM 2012-2013
Môn: Toán
Thời gian: 120 phút
A. Phần giải tích
Bài 1. (2 điểm) Chứng minh x
5
+ (1 – x)
5
≥ . (∀x ∈ R)
Bài 2. (2 điểm) Định m để (Cm): y = x
4
+ 2mx
2
+ m
2
+ m có 3 điểm
cực trị của đồ thị A, B, C và ∆ABC cân và có 1 góc bằng 120
0
.
Bài 3. (2 điểm) Giải hệ phương trình (x, y ∈ R):
( ) ( )
( )

2 2
2
3
3 7
1
2 3
x y x y
x y
x
x y

+ + − + =

+



+ =

+

B. Phần hình học
Bài 5. (1 điểm) Cho tứ diện SABC có SA ⊥ (ABC). Gọi E, F là hai
chân đường cao của hai ∆SAB, ∆SAC, vẽ từ A. Chứng minh
=
Bài 6. (1 điểm) Cho tứ diện ABCD. Gọi G là giao điểm của các
đường thẳng nối mỗi đỉnh đến trọng tâm mặt đối diện. Chứng minh các
hình chóp đỉnh G với các mặt đáy của tứ diện có thể tích bằng nhau.
Bài 7. (2 điểm) Trong tất cả các lăng trụ tam giác đều có cùng diện
tích toàn phần S. Tìm cạnh bên và cạnh đáy của lăng trụ có thể tích lớn

nhất.
Hết
(Lưu ý các em làm 2 phần giải tích và phần hình học ra giấy riêng)
Đề thi học sinh giỏi lớp 10
Môn Toán
Thời gian: 150 phút
Câu 1(3 điểm) : Cho hàm số: f(x) = x
2
2x -1
a) Vẽ đồ thị hàm số y= f(x) từ đó suy ra đồ thị hàm số
( )y f x=
b) Tìm m để phơng trình
2
2 1 1x x m = +
có 4 nghiệm phân
biệt
Câu 2 (2 điểm):
a) Chứng minh rằng:
( ) ( ) ( )A B C A B A C =
b) Cho:
{
= xA
với x là bội của 2 và 3
}
{
= xB
với x là bội của 6
}
Chứng minh rằng: A = B
Câu3 (2 điểm)

a) Giải phơng trình:
2
2 2x x+ =
b) Giải hệ bất phơng trình:
{
2 3
2 4
x y
x y
+

Câu 4 (2 điểm): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(1;1) và
điểm B(3;2). Tìm điểm C trên trục Ox sao cho:
a) Tam giác ABC vuông tại A. Tính độ dài đờng cao AH khi
đó
b) Chu vi của tam giác ABC đạt giá trị nhỏ nhất
Câu 5 (1 điểm): Chứng minh rằng với
[ ]
1;1x
ta có:
3 32 2 3 3 4 4
4 4
1 1 1 1 1 1 6x x x x x x+ + + + + + + +
Hết
Đáp án
Câu 1(3 điểm) :
a.
Vẽ đúng ĐTHS:
2
( ) 2 1y f x x x= =

có
Đỉnh (1;-2), trục đối xứng là đờng thẳng x=1.
( nh hình vẽ) 1,0 điểm
Suy ra đồ thị hàm số
( )y f x=
gồm hai phần
- Phần 1: Từ ĐTHS y=f(x) lấy phần trên trục hoành
- Phần 2: Lấy đối xứng phần vừa vẽ qua trục hoành
Đồ thị hàm số nh hình vẽ 1,0 điểm
b. Số nghiệm của phơng trình
2
2 1 1x x m = +
là số giao điểm của
ĐTHS
( )y f x=
và đờng thẳng y = m+1
Dựa vào đồ thị trên hình vẽ ta có: ĐTHS
( )y f x=
giao với đờng
thẳng
y = m+1 tại 4 điểm phân biệt khi:
0 1 2 1 1m m
< + < < <
` 1,0
điểm
Câu 2 (2 điểm):
a. Chứng minh :
( ) ( ) ( )A B C A B A C =
Ta có:
( )x A B C

{
x B
x C
x A







{
x A
x B
x A
x C









{
x A B
x A C

( ) ( )x A B A C

đpcm 1,0 điểm
b. Cm: Giả sử
x A

ta có: x là bội của 2 và 3 nên x=2k=3l (
,k l Z
)
Vì 2 không phải là bội của 3 nên k là bội của 3 ta có: k=3k
1
(
1
k Z
)
Do vậy: x= 6k
1

x B
ta có
A B
(1)
Mặt khác:
x B


x= 6m

x A

ta có
B A
(2)
Từ (1) và (2) suy ra A = B 1,0
điểm
Câu3 (2 điểm)
c) Giải phơng trình:
2
2 2x x+ =
điều kiện
2x
Đặt
2 0y x= +
ta có hệ
{
2
2
2
2
x y
y x
= +
= +
, trừ từng vế của mỗi phơng
trình ta đợc:
( )( 1) 0x y x y + + =

x-y=0(*) hoặc x+y+1=0(**)

- Rút x từ phơng trình(*) thay vào 1 trong 2 phơng trình của hệ,
kết hợp với các điều kiện , phơng trình đã cho có nghiệm x=2
- Rút x từ phơng trình(**) thay vào 1 trong 2 phơng trình của
hệ, kết hợp với các điều kiện , phơng trình đã cho có nghiệm
1 5
2
x

=
Vởy phơng trình đã cho có 2 nghiệm x=2 và
1 5
2
x

=
1,0
điểm
d) Giải hệ bất phơng trình:
{
2 3
2 4
x y
x y
+

Đa ra miền nghiệm của hệ bpt là miền không gạch (kể cả đờng
biên)
1,0 điểm
Câu 4 (2 điểm): Điểm C trên trục Ox có tọa độ C(c;0) Ta có:
(2;1)AB =

uuur
;
( 1; 1)AC c=
uuur
.
a.Tam giác ABC vuông tại A
3
. 0 2 3 0
2
AB AC c c = = =
uuur uuur
Vậy điểm C có tọa độ C
3
( ;0)
2
AH.BC=AB.AC
.
1
AC AB
AH
BC
= =
1,0
điểm
b.Chu vi tam giác ABC: 2p = AB+AC+BC
Gọi A
/
là điểm đối xứng với A qua Ox, khi đó Ox là đờng trung
trực của AA
/

nên: AC= A
/
C. Vì AB không đổi nên chu vi nhỏ
nhất khi A
/
C+CB nhỏ nhất

B,C, A
/
thẳng hàng.
Tọa độ A
/
(1;-1). Phơng trình đờng thẳng BA
/
: 3x-2y-5=0
Tọa độ C là nghiệm của hệ:
{
3 2 5 0
0
x y
y
=
=

C
5
( ;0)
3
1,0
điểm

Câu 5 (1 điểm): Với
[ ]
1;1x
áp dụng bất đẳng thức côsi ta có:
2
2 2 2
1 2
1 1.(1 ) (1 1 )
2 2
x
x x x
+
+ = + + + =
2
2 2 2
1 2
1 1.(1 ) (1 1 )
2 2
x
x x x

= + =
3
3 3 3 3
3
1 3
1 .1.1.(1 ) (1 1 1 )
3 3
x
x x x

+
+ = + + + + =
3
3 3 3 3
3
1 3
1 .1.1.(1 ) (1 1 1 )
3 3
x
x x x

= + + =
4
4 4 4
4
4
1 4
1 1.1.1.(1 ) (1 1 1 1 )
4 4
x
x x x
+
+ = + + + + + =
4
4 4 4
4
4
1 4
1 1.1.1.(1 ) (1 1 1 1 )
4 4

x
x x x

= + + + =
Cộng từng vế của các bất đẳng thức

đpcm. Dấu = xảy ra khi
x=0
1,0 điểm
Hết