sáng kiến kinh nghiệm giải pháp giúp học sinh lớp 12 học tốt tích phân

Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B
2
học tốt tích phân
A. MỞ ĐẦU:
1. Lí do chọn đề tài:
Phép tính tích phân là một phần quan trọng của giải tích toán học nói
riêng và trong toán học nói chung, không những như là đối tượng nghiên cứu
trọng tâm của giải tích mà còn đắc lực trong nghiên cứu lý thuyết về phương
trình, lý thuyết về hàm số.
Ngoài ra phép tính vi phân còn được sử dụng nhiều trong các khoa học
khác như vật lý thiên văn học, cơ học…nó như là một giải pháp hữu hiệu của
các mô hình toán học cụ thể.
Bài toán tích phân đổi biến dạng 1, từng phần chiếm tần suất cao trong
các đề thi nhưng học sinh lớp12 khi ôn thi Tốt nghiệp phổ thông, thi Đại học
– Cao đẳng thường gặp khó khăn khi giải các bài tập tích phân. Những người
mới học chưa có phương pháp tiếp cận lý thuyết, đặc biệt là khâu vận dụng
lý thuyết vào giải các bài toán thực tế
Một lý do không kém phần quan trọng là trong chương trình sách giáo
khoa giải tích lớp 12 (chuẩn) hiện hành được trình bày rất ít, hạn hẹp trong 4
tiết lý thuyết và 3 tiết luyện tập, giới thiệu sơ lược ví dụ và bài tập đưa ra sau
bài học rất hạn chế. Do số tiết phân phối chương trình nên trong quá trình
giảng dạy giáo viên không thể đưa ra được nhiều bài tập cho mỗi dạng để
hình thành kỹ năng giải cho học sinh. Nhưng trong thực tế để giải được bài
toán tích phân đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức, phải có tư duy ở
mức độ cao và phải có năng lực biến đổi toán học nhanh nhẹn, thuần thục.
Với tất cả những lí do trên thúc đẩy tôi chọn sáng kiến kinh nghiệm
“Giải pháp giúp học sinh lớp 12B
2
học tốt tích phân”
2. Đối tượng nghiên cứu:
- 1 -

Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B
2
học tốt tích phân
- Học sinh lớp 12B2 trường THPT Lộc Hưng.
- Giải pháp giúp học sinh học tốt Tích phân (theo chuẩn Toán 12 cơ
bản).
3. Phạm vi của đề tài:
Đề tài được nghiên cứu, thử nghiệm trong phạm vi lớp 12B2 trường
THPT Lộc Hưng.
4. Phương pháp nghiên cứu:
4.1 Nghiên cứu tài liệu:
Nghiên cứu những tài liệu có liên quan đến đề tài:
- Sách giáo khoa, sách giáo viên Giải tích lớp 12, tài liệu chuẩn kiến
thức kỹ năng
4.2 Điều tra:
- Nắm chất lượng học sinh:
Đa số là học sinh yếu, kém; khả năng tư duy không có. Các em thường
sợ tích phân, bỏ qua và không hứng thú. Các em thụ động và không biết bắt
đầu bài toán từ đâu.
Thường xuyên cho các em làm kiểm tra khoảng 5 – 7 phút (xác suất
hoặc cả lớp) vào đầu giờ để kịp thời phát hiện, điều chỉnh những sai sót của
các em trong tiếp thu, trình bày bài giải
- Đàm thoại:
- 2 -
Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B
2
học tốt tích phân
+ Trao đổi với đồng nghiệp để có kinh nghiệm và phương pháp dạy
phù hợp với phân môn.
+ Thường xuyên trao đổi với các em để biết được khả năng tiếp thu

bài, khả năng vận dụng lý thuyết vào giải bài tập của các em.
- Thực nghiệm và kiểm tra:
Trong quá trình nghiên cứu đề tài, tôi đã tiến hành thực nghiệm lớp
12B2 của trường như sau:
Lớp: 12B2 (2010-2011): thực nghiệm
Lớp: 12B2 (2009-2010): đối chứng
4.3 Giả thuyết khoa học:
Trong tiết dạy tích phân giáo viên hướng dẫn, giúp các em nhận dạng,
nêu rõ ràng về phương pháp giải của từng dạng từ đó học sinh sẽ hiểu bài,
làm bài tốt; kết quả kiểm tra một tiết, thi HKII khả quan hơn
B. Nội dung:
1. Cơ sở lí luận:
Định lí: (phương pháp đổi biến số)
Cho hàm số f(x) liên tục trên
[ ]
;a b
. Giả sử hàm số x =
( )
t
ϕ
có đạo
hàm liên tục trên đoạn
[ ]
;
α β
sao cho
( ) ( )
,a b
ϕ α ϕ β
= =

và
( )
a t b
ϕ
≤ ≤
với
mọi t
[ ]
;
α β
∈
Khi đó
( ) ( )
( )
( )
b
a
f x dx f t t dt
β
α
ϕ ϕ
′
=
∫ ∫
- 3 -
Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B
2
học tốt tích phân
Định lí: (phương pháp tích phân từng phần)
Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn

[a;b] thì
( ) '( )
b
a
u x v x dx
∫

( ( ) ( )) '( ) ( )
b
b
a
a
u x v x u x v x dx= −
∫
hay
b b
b
a
a a
u dv uv vdu= −
∫ ∫
Nếu lần đầu tiên tiếp xúc bài toán tích phân mặc dù có nhớ định lí học
sinh không biết bắt đầu từ đâu (do không nhận được dạng; không biết đó là
bài tích phân loại nào, cách giải ra sao)
Với đặc điểm, đặc thù như vậy, giáo viên cần giúp học sinh nhận đúng
dạng, nắm chắc phương pháp giải của từng dạng.
2. Cơ sở thực tiễn:
2.1 Thực trạng sách giáo khoa và sách giáo viên lớp 12:
- Sách giáo khoa: trình bày lý thuyết, cho ví dụ và bài tập nhưng ví dụ
và bài tập khác dạng

- Sách giáo viên: Có hướng dẫn cụ thể nhưng về chi tiết và thủ thuật
thì chưa cụ thể.
2.2 Thực trạng việc học của học sinh:
Đa số học sinh từ trung bình trở xuống
- Học sinh thường lúng túng.
- Kiến thức hệ thống bài tập cơ bản chưa nắm chắc
- Khả năng tưởng tượng, tư duy logic còn hạn chế.
- Ý thức học tập của học sinh chưa được tốt
- 4 -
Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B
2
học tốt tích phân
- Đa số học sinh có tâm lí sợ gặp bài toán tích phân
Chất lượng thực tế qua khảo sát chất lượng năm 2009-2010:
Lớp TSHS
Đạt yêu cầu Không đạt yêu cầu
TS % TS %
12B2 42 19 45.2 23 54.8
2.3 Sự cần thiết của đề tài:
Tích phân là môn học khó đòi hỏi sự tư duy phân tích của người học
và khó cho giáo viên trong việc truyền thụ kiến thức. Người dạy cần nắm rõ
đặc điểm, tình hình từng đối tượng học sinh để có biện pháp giúp đỡ, việc
này cần thực hiện ngay từ đầu và trong từng tiết học bằng biện pháp rèn
luyện tích cực: phân dạng và phương pháp giải cụ thể cho từng dạng
3. Nội dung vấn đề:
3.1 Vấn đề được đặt ra:
Điều quan tâm lớn nhất của người giáo viên làm sao giúp học sinh
phát triển năng lực và trí tuệ, rèn cho học sinh kỹ năng tư duy tích cực, độc
lập sáng tạo. Đối với đối tượng học sinh yếu kém để đạt được điều đó giáo
viên cần giúp học sinh nhận dạng cùng cách giải đối với những bài đơn giản

để từ đó hình thành kỹ năng cho các em; giúp nâng cao chất lượng học tập
cũng như chất lượng dạy trong từng tiết học.
3.2 Sơ lược quá trình thực hiện sáng kiến kinh nghiệm:
Để hoàn thành đề tài, chúng tôi đã tiến hành các bước sau:
- Chọn đề tài.
- Điều tra thực trạng.
- 5 -
Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B
2
học tốt tích phân
- Nghiên cứu đề tài.
- Xây dựng đề cương và lập kế hoạch.
- Tiến hành nghiên cứu.
- Thống kê so sánh.
- Viết đề tài.
3.3 Những giải pháp giúp học sinh lớp 12B2 trường THPT Lộc
Hưng học tốt Tích phân:
Do Tích phân khó đối với học sinh lớp 12 nên giáo viên cần phải nắm
vững thủ thuật giải toán, các cách giải khác nhau của cùng bài toán (nếu có)
Học sinh cần phải:
- Thuộc bảng nguyên hàm, định nghĩa, định lí
- Nắm từng dạng cùng cách giải
- Dùng máy tính bỏ túi để kiểm tra kết quả
3.3.1 Phương pháp đổi biến số dạng 1:
Khi đổi biến điều quan trọng là chọn được biến mới sao cho tích phân
theo biến mới đơn giản hơn so với tích phân ban đầu và gắn liền với việc
đổi biến là phải đổi cận
Trên tinh thần giúp cho học sinh nhận được dạng làm quen dần từ dễ đến
khó, tôi chia thành 4 dạng phổ thông thường gặp sau:
Dạng 1: Nếu hàm có chứa dấu ngoặc kèm theo lũy thừa thì ta đặt t là

phần bên trong dấu ngoặc nào có lũy thừa cao nhất
- 6 -
Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B
2
học tốt tích phân
Ví dụ1: Tính tích phân
1
2 3
0
( 1)( 2 1)I x x x dx= + + −
∫
Nhận xét đề bài có chứa hai ngoặc trong đó ngoặc có lũy thừa 3 cao
nhất, do đó ta đặt t = x
2
+ 2x – 1
Bài giải: Tính
1
2 3
0
( 1)( 2 1)I x x x dx= + + −
∫
Đặt t = x
2
+ 2x – 1
dt = ( 2x + 2)dx = 2( x + 1)dx
( )
1
2
dt
x dx⇒ + =

Đổi cận x = 0
⇒
t = -1; x = 1
⇒
t = 2
Do đó
1
2 3
0
( 1)( 2 1)I x x x dx= + + −
∫
=
( )
2
4
2
4 4
3
1
1
1
2 15
2 8 8 8 8
dt t
t
−
−
−
= = − =
∫

Ví dụ 2: Tính
( )
2
5
1
1J x x dx= −
∫
Tương tự ví dụ 1, ta thấy ngoặc chứa lũy thừa cao nhất là 5 nên đặt t =
1 – x
Đặt t = 1 – x
dt = - dx
dx dt⇒ = −
Đổi cận x = 1
⇒
t = 0; x = 2
⇒
t = -1
Nhưng khi thay vào J còn chứa hai biến x, t (không thỏa). Muốn vậy ta
thay x = 1 – t (vì đặt t = 1 – x)
Lúc đó:
( )
2
5
1
1J x x dx= −
∫
=
( )
1 0
5 5 6

0 1
(1 ) ( )t t dt t t dt
−
−
− − = −
∫ ∫
=
0
6 7
1
13
6 7 42
t t
−
 
= − = −
 ÷
 
- 7 -
Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B
2
học tốt tích phân
Ví dụ 3: Tính K =
( )
2
1
ln
( 2010)
2 ln
e

x
dx DHKB
x x
−
+
∫
Đặt t = 2 + lnx, dt =
1
dx
x
Đổi cận x = 1
⇒
t = 2; x = e
⇒
t = 3
Khi đó K =
3
3 3
2 2
2 2
2
2 1 2 2
ln
t
dt dt t
t t t t
−
   
= − = +
 ÷  ÷

   
∫ ∫
( )
2 3 1
ln3 ln2 1 ln
3 2 3
 
= + − + = −
 ÷
 
Lưu ý đối với bài này học sinh có thể đặt t = lnx, nhưng việc tính tích phân
khi chuyển về biến t phức tạp hơn
Ví dụ 4: Tính L =
2
3 2
3
sin cosx xdx
π
π
∫
Đối với bài này mặc dù mũ 3 cao nhất nhưng ta không đặt t = sinx
được (vì tích phân mới không chuyển hoàn toàn về theo biến t)
Gặp tích phân chứa hàm lượng giác đôi khi ta phải dùng các công thức
lượng giác cơ bản, công thức hạ bậc, nhân đôi, biến đổi tích thành tổng,
tổng thành tích …trước rồi mới đặt
Bài giải: L =
2
3 2
3
sin cosx xdx

π
π
∫
=
( )
2
2 2
3
1 cos cos sinx x xdx
π
π
−
∫
Đặt t = cosx, dt = -sinxdx
sin xdx dt⇒ = −
- 8 -
Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B
2
học tốt tích phân
Đổi cận: x =
3
π
1
2
t⇒ =
; x =
2
π
0t
⇒ =

Do đó L =
( ) ( )
1
0
2
2 2 2 4
1
0
2
1 ( )t t dt t t dt− − = −
∫ ∫
1
3 5
2
0
17
3 5 480
t t
 
= − =
 ÷
 
Bài tập tự luyện:
Tính các tích phân sau
a.
( )
3
2
3
0

2
1
x
dx
x+
∫
HD: đặt t = 1 + x
( )
ln 3
3
0
.
1
x
x
e
b dx
e +
∫
HD: đặt t = e
x
+
1

12
2
0
1
.
cos 3 (1 tan3 )

c dx
x x
π
+
∫
HD: đặt t = 1 + tan 3x
Dạng 2: Nếu hàm chứa mẫu số thì đặt t là mẫu số
Ví dụ 1: Tính I =
( )
1
0
1
1
x
x
e x
dx
xe
+
+
∫
Bài giải:
Đặt t = 1 + xe
x

⇒
dt = (1 + x)e
x
dx
Đổi cận: x = 0

⇒
t = 1, x = 1
⇒
t = 1 + e
Khi đó: I =
( )
1
0
1
1
x
x
e x
dx
xe
+
+
∫
=
1
1
1
1
1
ln ln(1 )
e
e
dt t e
t
+

+
= = +
∫
- 9 -
Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B
2
học tốt tích phân
Ví dụ 2: Tính J =
2
1
ln
e
e
dx
x x
∫
Nhận xét: ta có mẫu chứa xlnx nhưng ta không đặt hoàn toàn t = xlnx vì
như thế dt = (lnx + 1)dx không có trong đề bài.
Khi làm bài tập về đổi biến giáo viên nhắc nhở học sinh không đặt t = x và
không tham lam khi đặt; ta đặt biến t và thử nhẩm xem đạo hàm của t có
trong đề bài không, nếu có yên tâm khả năng chuyển hết về biến mới rất cao.
Bài giải: Tính J =
2
1
ln
e
e
dx
x x
∫

=
2
1 1
.
ln
e
e
dx
x x
∫
Đặt t = lnx; dt =
1
dx
x
Đổi cận: x = e
⇒
t = 1; x = e
2

⇒
t = 2
Khi đó J =
2
2
1
1
1
ln ln 2dt t
t
= =

∫
Bài tập tự luyện:
2
0
sin
.
1 3cos
x
a dx
x
π
+
∫
1
2
1
2
.
1
x
b dx
x
−
+
∫

3
2
2
2 1

.
2
x
c dx
x x
+
+ −
∫
Dạng 3: Nếu hàm có chứa căn thức, đặt t bằng căn thức (hoặc biểu thức
dưới dấu căn)
Ví dụ 1: Tính I =
ln6
ln4
1
x
x
e
dx
e −
∫
Đặt t =
1
x
e −
Suy ra 2tdt = e
x
dx
- 10 -
Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B
2

học tốt tích phân
Đổi cận: x = ln4
⇒
t =
3
; x = ln6
⇒
t =
5
Khi đó I =
5 5
5
3
3 3
2
2 2 2( 5 3)
tdt
dt t
t
= = = −
∫ ∫
Ví dụ 2: Tính J =
6
0
1 6sin cosx xdx
π
+
∫
Đặt t =
1 6sin x+

; t
2
= 1 + 6sinx
Suy ra 2tdt = 6cosxdx
⇒
cosxdx =
3
tdt
Đổi cận: x = 0
⇒
t = 1; x =
6
π

⇒
t = 2
Do đó J =
2
2
3
1
1
7
3 9 9
tdt t
t = =
∫
Ví dụ 3: Tính K =
9
3

1
1x xdx−
∫
Đặt t =
3
1 x−
, t
3
= 1 – x
⇒
x = 1 – t
3

Suy ra 3t
2
dt = - dx hay dx = - 3t
2
dt
Đổi cận: x = 1
⇒
t = 0; x = 9
⇒
t = -2
Do đó K =
( ) ( )
0
2 0
4 7
3 2 3 6
0 2

2
3 3 468
1 ( 3 ) 3 3 ( )
4 7 7
t t
t t t dt t t dt
−
−
−
− − = − = − = −
∫ ∫
Ví dụ 4: Tính H =
2
2 2
0
sin 2
cos 4sin
x
dx
x x
π
+
∫
(ĐHKA – 2006)
Đặt t =
2 2
cos 4sinx x+
thì dt = 3sin2xdx
- 11 -
Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B

2
học tốt tích phân
Đổi cận: khi x = 0 thì t = 1; x =
2
π
thì t = 4
Ta có: H =
4
4
1
1
1 2 2
3 3 3
dt
t
t
= =
∫
Ví dụ 5: Tính K =
3
3
1
ln
ln 1
e
x
dx
x x +
∫
(Dự bị khối D năm 2005)

Đặt t =
ln 1x +
, t
2
= lnx +1
⇒
lnx = t
2
– 1
1
2tdt dx
x
⇒ =
Đổi cận: khi x = 1 thì t = 1; x = e
3
thì t = 2
Khi đó K = 2
( )
3
2
2
1
1t dt−
∫
=
388
35
Bài tự luyện:
Tính các tích phân:
a.

2
2
3
1
3
6
x
dx
x x
+
+
∫
HD: đặt t =
23
6x x+
b.
2 3
2
5
4
dx
x x +
∫
HD: đặt t =
2
4x +
c.
ln 2
2
0

1
x
x
e dx
e +
∫
HD: đặt t =
1
x
e +
d.
2
3
1
ln 1 ln
e
x xdx
x
+
∫
HD: đặt t =
2
1 ln x+
Dạng 4: Tích phân dạng
( )
( )
b
u x
a
e u x dx

′
∫
. Đặt t = u(x)
- 12 -
Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B
2
học tốt tích phân
Ví dụ 1: Tính I =
tan
4
2
0
cos
x
e
dx
x
π
∫
Đặt t = tan x
⇒
dt =
2
1
cos
dx
x
Đổi cận: x = 0
⇒
t = 0; x =

4
π
⇒
t = 1
Khi đó I =
1
1
0
0
1
t t
e dt e e= = −
∫
Ví dụ 2: Tính J =
2
2
sin
4
sin 2
x
e xdx
π
π
∫
Đặt t = sin
2
x
⇒
dt = sin2xdx
Đổi cận:

1
; 1
4 2 2
x t x t
π π
= ⇒ = = ⇒ =
Khi đó J =
2
1
1
2
1
sin
2
1
2
1
4 2
sin 2
x t t
e xdx e dt e e e
π
π
= = = −
∫ ∫
Sau đây là các bài tập nâng cao, kết hợp nhiều dạng:
Bài1: Tính: I =
2
0
sin 2 sin

1 3cos
x x
dx
x
π
+
+
∫
(ĐHKA – 2005)
Đặt t =
1 3cos x+
,
2
1 3cos 2 3sint x tdt xdx= + ⇒ = −
Đổi cận:
0 2; 1
2
x t x t
π
= ⇒ = = ⇒ =
- 13 -
Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B
2
học tốt tích phân
I =
( )
2
1
2 3
2

0 2
1
sin 2cos 1
2 2 1 2 2 34
3 3 9 3 27
1 3cos
x x
t t
dx dt t
x
π
+
 
+
= − = + =
 ÷
+
 
∫ ∫
Bài 2: Tính: I =
ln 3
2
ln 2
1 2
x
x x
e
dx
e e− + −
∫

Đặt t =
2
x
e −
, t
2
= e
x
- 2
2
x
tdt e dx⇒ =
Đổi cận:
ln 2 0; ln3 1x t x t= ⇒ = = ⇒ =
I =
( )
1
1
2
2
2
0
0
2 1 1
2 1 2 ln 1 2 ln3
1 2 2
t t
t dt t t t
t t
 

+
   
− + = − + + + = − +
 ÷
 ÷  ÷
+ +
   
 
∫
Bài 3: Tính I =
3
0
3
3 1 3
x
dx
x x
−
+ + +
∫
Đặt t =
2
1 1 2x t x tdt dx+ ⇔ = + ⇒ =
Đổi cận khi x = 0, t = 1; x = 3, t = 2
Khi đó I =
3
0
3
3 1 3
x

dx
x x
−
+ + +
∫
( )
( )
2 2 2 2
2 3
2 2
1 1 1 1
2
2
2
1
1
4 2 8
2 2 6 6
3 2 3 2 1
3
6 6ln 1 6ln 3
2
t t t dt
tdt dt t dt
t t t t t
t t t
− −
= = = − +
+ + + + +
= − + + = −

∫ ∫ ∫ ∫
Bài 4: Tính I =
( )
4
2
0
1
1 2 1
x
dx
x
+
+ +
∫
Đặt t = 1 +
1 2x+

( )
1
1 2
dx
dt dx t dt
x
⇒ = ⇒ = −
+
và x =
2
2
2
t t−

- 14 -
Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B
2
học tốt tích phân
Đổi cận: khi x = 0, t = 2; khi x = 4, t = 4
Khiđó:I=
( )
4
2
0
1
1 2 1
x
dx
x
+
+ +
∫
( )
( )
2
4 4
3 2
2 2
2 2
4
4
2
2
2

2
2 2 1
1 1 3 4 2
2 2
1 4 2 1 2 1
3 3 4ln 2ln 2
2 2 2 4
t t t
t t t
dt dt
t t
t
t dt t t
t t t
− + −
− + −
= =
 
 
= − + − = − + + = −
 ÷
 ÷
 
 
∫ ∫
∫
3.3.2. Tích phân từng phần:
Công thức:
b b
b

a
a a
udv uv vdu= −
∫ ∫
Nhận dạng: hàm số dưới dấu tích phân thường là tích hai hàm số khác
nhau
Ý nghĩa: đưa một tích phân phức tạp về tích phân đơn giản hơn. Trong
nhiều trường hợp khi sử dụng tích phân từng phần sẽ giảm bớt hàm số
dưới dấu tích phân và chỉ còn một hàm số dưới dấu tích phân
Như vậy để tính
b
a
udv
∫
ta chuyển về tính
b
a
vdu
∫
, điều quan trọng nhất
khi tính tích phân từng phần là phải chọn u, v thích hợp đảm bảo hai
nguyên tắc cơ bản sau
- Chọn u,v sao cho du đơn giản, dv dễ tính
- 15 -
Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B
2
học tốt tích phân
- Tích phân
b
a

vdu
∫
dễ tính hơn so với
b
a
udv
∫
Giáo viên lưu ý khi tính tích phân từng phân không có bước đổi cận
Sau đây là một số dạng (thường được dùng trong tích phân từng phần)
1. Dạng 1: I =
( )
( )ln
b
k
a
P x f x dx
∫
Chọn
( )
1
ln ( ).
ln ( )
( )
( )
( )
k
k
f x
du k f x dx
u f x

f x
dv P x dx
v P x dx
−
′

=
 
=
⇒
 
=


=

∫
Ví dụ 1: Tính I =
2
1
4 lnx xdx
∫
(HKII 2008 - 2009)
Lời giải:
Đặt
2
1
ln
4
2

du dx
u x
x
dv xdx
v x

=
=


⇒
 
=


=

I =
2
1
4 lnx xdx
∫
=
( ) ( )
2
2 2
2
2 2 2
1
1 1

1
2 ln 2 2 ln 8ln 2 3x x xdx x x x− = − = −
∫
Ví dụ 2: Tính J =
( )
2
2
1
ln
e
x x xdx+
∫

Lời giải:
Đặt
( )
2
3 2
1
ln
3 2
du dx
u x
x
dv x x dx
x x
v

=
=



 
⇒
 
= +



= +


- 16 -
Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B
2
học tốt tích phân
J=
( )
2
2
1
ln
e
x x xdx+
∫


2
2
2

2
3 2 2
1
1
3 2 3 2
1
1
6 4
ln
3 2 3 2
ln
3 2 9 4
5 3 13
9 4 36
e
e
e
e
x x x x
x dx
x x x x
x
e e
 
   
= + − +
 
 ÷  ÷
   
 

 
   
= + − +
 
 ÷  ÷
   
 
= + +
∫
Ví dụ 3: Tính K =
( )
3
2
2
ln x x dx−
∫
(ĐHKD – 2004)
Lời giải:
Đặt
( )
2
2
2 1
ln
x
u x x
du dx
x x
dv dx
v x

−


= −
=
 
⇒
−
 
=



=

K =
3
3
2
2
2
2 1
ln( )
1
x
x x x dx
x
−
− −
−

∫
=
3
3
2
2
2
1
ln( ) 2
1
x x x dx
x
 
− − +
 ÷
−
 
∫
= 3ln3 – 2
Ví dụ 4: Tính L =
2
3
1
ln x
dx
x
∫
Lời giải:
Đặt
3

2
1
ln
1
2
u x
du dx
x
dx
dv
v
x
x

=
=


 
⇒
 
=
 
= −



L =
2 2 2
2 2

3 2 3 2 2
1 1 1
1 1
ln ln ln 1 3 2ln 2
2 2 2 4 16
x x dx x
dx
x x x x x
− − −
= + = − =
∫ ∫
- 17 -
Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B
2
học tốt tích phân
Nhận xét: do không có công thức nguyên hàm của lnx nên mục đích đặt là
khử lnx, nên số lần tính tích phân phụ thuộc vào k
Chẳng hạn: H =
3 2
1
ln
e
x xdx
∫

Đặt
2
4
3
1

2 ln
ln
4
du xdx
u x
x
x
dv x dx
v

=


=
 
⇒
 
=

 
=


H =
3 2
1
ln
e
x xdx
∫

4
2 3
1
1
1
(ln . ) ln
4 2
e
e
K
x
x x xdx= −
∫
14 2 43
Tính K =
3
1
ln
e
x xdx
∫
Đặt
3
4
1
ln
4
du dx
u x
x

dv x dx
x
v

=

=


⇒
 
=


=


K =
3
1
ln
e
x xdx
∫
4 3
1
1
(ln . )
4 4
e

e
x x
x dx= −
∫

4 4 4
1 3 1
4 16 16 16 16
e e e
 
= − − = +
 ÷
 
Do đó H =
4
5 1
32
e −
Đôi khi gặp các bài phải kết hợp phương pháp đổi biến lẫn từng phần
Chẳng hạn Tính L =
2
0
sin ln(1 cos )x x dx
π
+
∫
Đặt t = 1 + cosx; dt = - sinxdx
- 18 -
Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B
2

học tốt tích phân
Đổi cận: x = 0
2; 1
2
t x t
π
⇒ = = ⇒ =
Do đó L =
2
0
sin ln(1 cos )x x dx
π
+
∫
=
2
1
lntdt
∫
= 2ln2 – 1
Bài tập tự luyện: Tính M =
1
2
0
ln( 1)
( 2)
x
dx
x
+

+
∫
.
Hướng dẫn đặt
( )
2
ln( 1)
2
u x
dx
dv
x
= +



=

+

. Kết quả:
1 4
ln 2 ln
3 3
− +
2. Dạng 2: Dạng
( )cos( )
b
a
P x ax b dx+

∫
đặt
( )
cos( )
u P x
dv ax b dx
=


= +

hoặc
( )sin( )
b
a
P x ax b dx+
∫
đặt
( )
sin( )
u P x
dv ax b dx
=


= +

Ví dụ1: Tính I =
4
0

cos2x xdx
π
∫
Lời giải:
Đặt
1
cos2
sin 2
2
du dx
u x
dv xdx
v x
=

=


⇒
 
=
=



I=
4 4
4 4
0 0
0 0

.sin 2 1 .sin 2 cos 2 1
cos2 sin 2
2 2 2 4 8 4
x x x x x
x xdx xdx
π π
π π
π
   
= − = + = −
 ÷  ÷
   
∫ ∫
- 19 -
Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B
2
học tốt tích phân
Ví dụ 2: Tính J =
( )
2
0
2 1 sinx xdx
π
+
∫
Lời giải:
Đặt
2 1 2
sin cos
u x du dx

dv xdx v x
= + =
 
⇒
 
= = −
 
( )
( )
2
2
0
0
2
2
0
0
2 1 cos 2cos
2 1 cos 2sin 1 2 3
J x x xdx
x x x
π
π
π
π
= − +  +
 
= − +  + = + =
 
∫

Trước khi sử dụng tích phân từng phần, cần biến đổi để đưa về tích phân có
dạng trên
Ví dụ 3: Tính K =
( )
2
2
0
2 1 cosx xdx
π
−
∫
Lời giải:
K =
( ) ( )
2 2
2
0 0
1 cos 2
2 1 cos 2 1
2
x
x xdx x dx
π π
+
 
− = −
 ÷
 
∫ ∫
( ) ( )

2 2
0 0
1 1
2 1 2 1 cos2
2 2
x dx x xdx
π π
= − + −
∫ ∫
Tính L
1
=
( )
2
2
2
2
0
0
1 1
2 1
2 2 8 4
x dx x x
π
π
π π
 
− = − = −
 
∫

Tính L
2
=
( )
2
0
1
2 1 cos2
2
x xdx
π
−
∫
- 20 -
Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B
2
học tốt tích phân
Đặt
1
(2 1)
2
1
sin 2
cos2
2
du dx
u x
v x
dv xdx
=

 
= −
 
⇒
 
=
 
=
 
2
2
2
0
0
1 1 1
( (2 1)sin 2 ) sin2
4 2 2
L x x xdx
π
π
= − − = −
∫
Do đó: K =
2
1
8 4 2
π π
− −
Ví dụ 4: Tính L =
2

0
sin cos2x x xdx
π
∫
=
( )
2
0
3 sin
2
x
sin x x dx
π
−
∫
Lời giải:
Đặt
( )
1
2
2
1
sin3 sin
cos3 cos
3
x
du dx
u
dv x x dx
v x x



=

=
 
⇒
 
 
= −
= − +



2
2
0
0
1 1 1
cos3 cos cos3 cos
2 3 2 3
x
L x x x x dx
π
π
−
   
= + − − +
 ÷  ÷
   

∫
= 0 +
2
0
1 1 5
sin3 sin
18 2 9
x x
π
 
− = −
 ÷
 
Bài tập tự luyện: Tính
( )
2
4 4
0
sin cosM x x x dx
π
= +
∫
KQ:
2
3
32
π
3. Dạng 3:
( )
( )

b
f x
a
P x e dx
∫
Đặt
( )
( )
f x
u P x
dv e dx
=


=

- 21 -
Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B
2
học tốt tích phân
Ví dụ1: Tính
1
0
(2 1)
x
I x e dx= +
∫
Lời giải:
Đặt
2 1 2

x x
u x du dx
dv e dx v e
= + =
 
⇒
 
= =
 
Do đó
1
0
(2 1)
x
I x e dx= +
∫
=
( )
1
1
0
0
2 1 2 1
x x
x e e dx e
 
+ − = +
 
∫
Ví dụ2: Tính

1
2
0
( 2)
x
J x e dx= −
∫
Lời giải:
Đặt
2
2
2
1
2
x
x
du dx
u x
v e
dv e dx
=

= −


⇒
 
=
=




Do đó
1
2
0
( 2)
x
J x e dx= −
∫
=
( )
1
1
2
2 2
0
0
1 1 5 3
2
2 2 4
x x
e
x e e dx
−
− − =
∫
Ví dụ 3: Tính K =
2
1

3
0
x
x e dx
∫
(Dự bị 1 Khối D 2003)
Đặt
2
2
2
2
1
2
x
x
du xdx
u x
v e
dv xe dx
=


=
 
⇒
 
=
=





Do đó K =
2
1
3
0
x
x e dx
∫
=
2 2 2
1 1
1
2
0 0
0
1 1 1 1
2 2 2 2
x x x
x e xe dx e e− = − =
∫
Bài tậptự luyện:
2
2
0
(3 4).
x
x e dx
−

−
∫

- 22 -
Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B
2
học tốt tích phân
HD: Ñaët
4
2
3 4
7 5
4
x
u x
e
KQ
dv e dx
−
−
= −

− −

⇒ =

=


4. Dạng 4:

cos
b
kx
a
e mxdx
∫
hoặc
sin
b
kx
a
e mxdx
∫
Đặt:
1
cos
sin
kx
kx
du ke dx
u e
dv mxdx
v mx
m

=

=

⇒

 
=
=




hoặc đặt
1
sin
cos
kx
kx
du ke dx
u e
dv mxdx
v mx
m

=

=

⇒
 
=
= −




Ví dụ: Tính K =
2
2
0
cos3
x
e xdx
π
∫
Đặt
2
2
2
1
cos3
sin3
3
x
x
du e dx
u e
dv xdx
v x

=

=

⇒
 

=
=



K =
2
2
0
cos3
x
e xdx
π
∫
=
2
2
2 2
0
0
1 2
sin3 sin 3
3 3
x x
L
e x e xdx
π
π
−
∫

1 44 2 4 43
Tính L =
2
2
0
sin3
x
e xdx
π
∫
Đặt
2
2
2
1
sin3
cos3
3
x
x
du e dx
u e
dv xdx
v x

=

=

⇒

 
=
= −



- 23 -
Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B
2
học tốt tích phân
L =
2
2
0
sin3
x
e xdx
π
∫
=
2
2
2 2
0
0
1 2
cos3 cos3
3 3
x x
K

e x e xdx
π
π
− +
∫
1 44 2 4 43

2
2
0
1 2
cos3
3 3
1 2 4
3 9 9
3 2
13
x
e x K
K e K
e
K
π
π
π
= − +
⇒ = − − −
− −
⇒ =
Nhận xét:

- Ta cũng có thể đặt
2
2
3sin 3
cos3
1
2
x
x
du xdx
u x
v e
dv e dx
= −

=


⇒
 
=
=



, vẫn cho kết quả
như vậy
-
cos
b

kx
a
e mxdx
∫
bao giờ cũng phải dùng tích phân từng phần hai lần, song
điều chú ý là trong hai lần dùng phải thống nhất một kiểu đặt, nếu
không thì sau hai lần sử dụng tích phân lại trở về ban đầu
Bài tập tự luyện: Tính M =
2
3
0
sin5
x
e xdx
π
∫
HD: Đặt
3
3
3
1
sin5
cos5
5
x
x
du e dx
u e
dv xdx
v x


=

=

⇒
 
=
= −



KQ: M =
3
2
3 5
34
e
π
+
3.4 Kết quả cụ thể:
Qua thực hiện sáng kiến kinh nghiệm, tôi nhận thấy các em có nhiều
tiến bộ qua tiết học, lớp được dạy thử nghiệm 12B2.
- 24 -
Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B
2
học tốt tích phân
Đối tượng học sinh 12B
2
(2009-2010) có trình độ ngang nhau (đối

chứng) với 12B2
Ở lớp thử nghiệm, đa số các em nhận biết dạng cùng hướng giải bài
toán, khả năng giải hoàn chỉnh bài toán cao.
Với những biện pháp đã áp dụng, sau khi thử nghiệm và đối chứng đề
tài ở lớp, tôi thu được kết quả sau:
Lớp TSHS
Đạt yêu cầu Không đạt yêu cầu
TS % TS %
12B
2
42 19 45.2 23 54.5
Lớp TSHS
Đạt yêu cầu Không đạt yêu cầu
Ghi chú
TS % TS %
12B
2
42 28 66.7 14 33.3 Thử nghiệm
Với kết quả trên, tôi thấy học sinh có tiến bộ qua kiểm tra. Nhiều em
yếu, kém giải rất tốt toán tích phân. Tạo điều kiện cho tôi tiếp tục áp dụng
kết quả đạt được cho những năm học sau.
C- KẾT LUẬN:
Để có thể đạt được mục đích đề ra của sáng kiến kinh nghiệm là giúp
học sinh 12B2 trường THPT Lộc Hưng học tốt tích phân, Tôi nghiên cứu tìm
hiểu thêm các tài liệu chuyên môn, chọn lọc sắp xếp bài tập cùng dạng từ dễ
đến khó; học tập kinh nghiệm từ đồng nghiệp
1. Bài học kinh nghiệm:
- 25 -