SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 10 tìm hướng giải cho bài toán hình học tọa độ phẳng dựa trên bản chất của hình học phẳng

Sáng kiến kinh nghiệm 2014-1015
SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO VÀ BÌNH ĐỊNH
TRƯỜNG THPT BÌNH DƯƠNG
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MÔN
TOÁN
Đề tài: “tìm hướng giải cho bài toán hình học tọa
độ phẳng dựa trên bản chất của hình học phẳng”
Người thực hiện: Trần Thanh Phong
−
: 2014 2015Năm học

Người thực hiện: Trần Thanh PhongPage 1
Sáng kiến kinh nghiệm 2014-1015
A. PHẦN MỞ ĐẦU: 3
I. LỜI MỞ ĐẦU: 3
II. ĐẶT VẤN ĐỀ: 4
1. Thực trạng: 4
2. Ý nghóa và tác dụng: 4
B. NỘI DUNG: 5
I. MỤC TIÊU: 5
II. CÁC BIỆN PHÁP TỔ CHỨC THỰC HIỆN: 5
1. Nội dung được triển khai thông qua ba buổi học (khoảng 15 tiết học): 5
2.Các buổi học cụ thể: 5
-Buổi học thứ nhất: 5
Người thực hiện: Trần Thanh PhongPage 2
MỤC LỤC
Sáng kiến kinh nghiệm 2014-1015
A. PHẦN MỞ ĐẦU
I. LỜI MỞ ĐẦU:
Trong chương trình hình học phổ thông thì hình học 10 có một phần rất quan trọng đó là phương
pháp tọa độ phẳng trong mặt phẳng, đây là phần nối tiếp của hình học ở THCS nhưng khi đó nó được

nhìn dưới quan điểm đại số và giải tích, lên phổ thông nhiều bài toán tọa độ phẳng phức tạp nếu ta
dùng phương pháp đại số và giải tích để giải là một vấn đề khó khăn vì vậy phải dùng đến công cụ
hình học phẳng ta giải sẽ dễ dàng hơn. Như vậy mỗi bài toán hình học tọa độ trong mặt phẳng còn
mang bản chất của một bài toán hình học phẳng nào đó.
Tuy nhiên khi giải quyết bài toán hình học tọa độ phẳng học sinh thường không chú trọng đến
bản chất hình học của bài toán ấy, một phần vì học sinh có cảm giác lo ngại hình học phẳng, vì ở cấp
THCS các em chỉ dùng công cụ đại số và giải tích để giải mà còn khó khăn giờ lại dùng tới hình học,
một phần giáo viên khi dạy cũng không chú trọng khai thác hướng dẫn cụ thể cho học sinh. Do đó
hiệu quả giải toán cũng không cao mà sự phân loại dạng toán, phương pháp giải toán cũng không rõ
ràng.
Trong các kì thi các c p nh thi h c kì, thi đại học, thi h c sinh gi i c pấ ư ọ ọ ỏ ấ
tr ng, c p t nh, c p qu c gia, Olympic khu v c, Chúng ta thường thấy sự có mặt của bài toán ườ ấ ỉ ấ ố ự
hình học tọa độ phẳng nhằm phát hiện những học sinh có năng khiếu toán học.
Hiện nay các chuyên đề về hình học tọa độ phẳng đã có nhiều thầy cô tìm hiểu và viết về vấn
đề này, mỗi người có một phương pháp hay riêng.Tuy nhiên đặc điểm học sinh mỗi trường khác
nhauvà mỗi người dạy có một phương pháp khác nhau nên đem phương pháp của người này áp dụng
vào trường khác chưa được đạt hiệu quả như mong muốn.
Vì vậy, để học sinh nói chung và học sinh trường THPT Bình Dương nói riêng có một nền tảng
kiến thức vững mạnh, một hệ thống các phương pháp suy luận để giải một bài toán hình học tọa độ
phẳng tương đối dễ dàng. Với ý đònh đó, trong sáng kiến kinh nghiệm này tôi xin nêu ra một phương
pháp “tìm hướng giải cho bài toán hình học tọa độ phẳng dựa trên bản chất của hình học phẳng”
của bài toán đó.
Người thực hiện: Trần Thanh PhongPage 3
Sáng kiến kinh nghiệm 2014-1015
II. ĐẶT VẤN ĐỀ:
1. Thực trạng:
Hình học tọa độ phẳng là một bài toán quen thuộc đối với học sinh THPT, tuy nhiên công cụ để
giải bài toán hình học tọa độ phẳng rất ít,rất khó áp dụng để giải quyết. Vì vậy khi đứng trước một
bài toán hình học tọa độ phẳng học sinh thường lúng túng không đònh hướng được cách giải, một số
em có thói quen chưa đọc kỹ đề đã bắt tay vào giải đôi khi làm như vậy vẫn dẫn đến kết quả, tuy

nhiên xác suất rất là thấp. Với tình hình ấy giáo viên cần tạo cho học sinh một kỹ năng nhìn nhận
một bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau, khai thác các dữ kiện của bài toán để tìm phương pháp
giải.
Một câu hỏi đặt ra: khi đứng trước một bài toán hình học tọa độ phẳng học sinh có chòu tập trung
suy nghó, đào sâu thêm để tìm hướng giải cho bài toán hay không? Đa số học sinh không chòu chú ý
đến bản chất hình học phẳng nên có những dạng toán mặc dù làm đi làm lại rất nhiều lần nhưng khi
dạng toán đó xuất trong các đề thi học sinh lại bỡ ngỡ giống như mới gặp lần đầu, bởi không nhận
biết được dạng toán này đã từng làm.
2. Ý nghóa và tác dụng:
Vì hình học tọa độ phẳng là một bài toán quen thuộc đối với học sinh phổ thông nhưng học sinh
chỉ làm quen những bài toán có cấu trúc đơn giản. Còn khi gặp một bài toán khác cấu trúc đã gặp
một chút học sinh thường lúng túng không đònh hướng được cách giải. Dẫn đến học sinh đầu tư nhiều
thời gian cho bài toán đó mà ảnh hưởng đến các bài toán khác mà chưa chắc đã giải quyết được.
Trước thực trạng đó để học sinh giải nhanh một bài toán hình học tọa độ phẳng, tôi có ý tưởng là
cần chỉ cho học sinh thấy rõ bản chất hình học phẳng của bài toán đó. Để làm thực hiện ý tưởng đó,
trong quá trìnhï giải toán cho học sinh nói chung và giải về hình học tọa độ phẳng nói riêng song song
với các lời giải, tôi luôn yêu cầu cho học sinh chỉ rõ bản chất của bài toán hình học tọa độ phẳng
tương ứng.
Trong sáng kiến kinh nghiệm này tôi sẽ chỉ ra một trong nhiều nội dung được ứng dụng có hiệu
quả. Việc đưa nội dung này nhằm khai thác tính chất hình học phẳng để đònh hướng tìm lời giải bài
toán hình học tọa độ phẳng và xem việc chỉ ra bản chất hình học phẳng sẽ bổ trợ cho giải toán chứ
không phải là chúng ta giải một bài toán hình học phẳng.
Người thực hiện: Trần Thanh PhongPage 4
Sáng kiến kinh nghiệm 2014-1015
B. NỘI DUNG
I. MỤC TIÊU:
Rèn luyện kỹ năng đònh hướng giải toán của học sinh, yêu cầu học sinh phân tích được bản chất
của hình học phẳng cũng như đưa ra các hướng khai thác mở rộng cho bài toán. Trong đó yêu cầu học
sinh lựa chọn lời giải ngắn gọn chính xác là quan trọng.
Góp phần làm cho người dạy toán, học toán có một hành trang kiến thức phong phú hơn để giải

một bài toán hình học tọa độ phẳng.
II. CÁC BIỆN PHÁP TỔ CHỨC THỰC HIỆN:
1. Nội dung được triển khai thông qua bốn buổi học (khoảng 15 tiết học):
-Buổi đầu tiên( khoảng 4 tiết học ): Hình thành cho học sinh kỹ năng giải toán.
-Buổi thứ 2+3 (khoảng 8 tiết học ): Tổ chức cho học sinh kỹ năng giải toán.
-Buổi cuối cùng(khoảng 3 tiết học): tổ chức kiểm tra để lấy kết quả nội dung triển khai và kỹ năng
mà học sinh đạt được.
2.Các buổi học cụ thể:
-Buổi học thứ nhất: giáo viên hình thành cho học sinh kỹ năng phân tích bản chất của một bài toán
hình học tọa độ phẳng, cách vận dụng để giải từng dạng toán cụ thể. Để làm được điều đó giáo viên
cho học sinh làm các bài tập mẫu gồm nhiều dạng khác nhau và chỉ cho học sinh mỗi bài toán khác
nhau có một cách giải khác nhau, do đó để chọn một phương pháp giải một bài toán nói chung và bài
toán hình học tọa độ phẳng nói riêng là có chọn lọc, ta chọn cách giải như thế nào tối ưu nhất chứ
không phải lựa chọn một cách ngẫu nhiên. Cũng chính vì điều đó mà việc phân tích một bài toán hình
học tọa độ phẳng một mặt giúp học sinh hiểu được bản chất của bài toán để khi đứng trước bài toán đó
học sinh giải quyết một cách dễ dàng, mặt khác giúp học sinh cảm thấy yêu thích học môn toán.
Để học sinh hiểu được bản chất của bài toán hình học tọa độ phẳng, tôi đã thực hiện ngay trong
quá trình học gần xong hình học tọa độ phẳng ở lớp 10. Để tăng cường tính chủ động cho học sinh tôi
đã cung cấp cho học sinh một hệ thống các bài tập mang tính chất nâng cao hơn so với các bài tập trong
sách giáo khoa. Yêu cầu học sinh về nhà tự phân loại dạng toán và đònh hướng cách giải.
*Sau đây là sơ lược cho học sinh nội dung học cho buổi học thứ nhất:
Bài toán hình học tọa độ phẳng là bài toán thường xuyên xuất hiện trong các đề thi đại học, thi
học sinh giỏi và mức độ tương đối khó. Vì vậy Để giải được dạng toán này chúng ta phải thực hiện từng
Người thực hiện: Trần Thanh PhongPage 5
Sáng kiến kinh nghiệm 2014-1015
bước. Bước đầu tiên chúng ta tìm hiểu bản chất cũng như xây dựng phương pháp tư duy giải toán đặc
trưng cho dạng toán này.
Trong 4 tiết đầu tiên chúng ta sẽ cùng nghiên cứu về một phương pháp giải toán đó là: “phân tích
bản chất hình học phẳng trong bài toán tọa độ phẳng tương ứng”
Các ví dụ:Một bài toán hình học tọa độ phẳng có rất nhiều cách giải và mỗi cách giải có một ưu

thế thế riêng nhưng theo tôi để giải bài toán này hiệu quả chúng ta cần khai thác các yếu tố hình học
phẳng để giải toán hình giải tích.
Để giải một bài toán hình học tọa độ phẳng có thể mô phỏng theo ba bước sau:
Bước 1: vẽ hình phẳng biểu thò cho bài toán. Trên cơ sở dữ kiện và yêu cầu của bài toán ta phân
tích các yếu tố hình học phẳng cần thiết để giải toán.
Bước 2: lập sơ đồ các bước giải.
Bước 3: trình bày lời giải bài toán theo sơ đồ bước 2.
Ví dụ 1:Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho
ABC∆
có trung điểm cạnh AB là M(-1;2), tâm
đường tròn ngoại tiếp tam giác là I(2;-1). Đường cao của tam giác kẻ từ A có phương trình 2x+y-1=0.
Tìm tọa độ đỉnh C.
Bước 1: vẽ hình phẳng biểu thò cho bài toán. Trên cơ sở dữ kiện và yêu cầu của bài toán ta phân tích các
yếu tố hình học phẳng cần thiết để giải toán.
Bước 2: lập sơ đồ các bước giải.
+ Tìm tọa độ đỉnh A.
Người thực hiện: Trần Thanh PhongPage 6
Sáng kiến kinh nghiệm 2014-1015
+ Lập phương trình cạnh BC rồi tìm C.
Bước 3: trình bày lời giải bài toán theo sơ đồ bước 2.
Phương trình đường thẳng AB qua M và nhận MI(-3;3) làm VTPT: (AB): x-y+3=0.
Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình:
3 0
2 1 0
x y
x y

− + =

+ − =



4
3
5
3
x
y

= −


⇔


=



4 5
( ; )
3 3
A⇒ −

M(-1;2) là trung điểm của AB nên
2 7
;
3 3
B
 

−
 ÷
 

Đường thẳng BC qua B và nhận
(2;1)n
r
làm CTCP nên có phương trình:
2
2
3
7
3
x t
y t

= − +




= +



Giả sử
2 7
2 ;
3 3
C t t BC

 
− + + ∈
 ÷
 
Ta có IB=IC
( )
2 2 2
2
8 8 10
2 10
3 3 3
t t
     
⇔ − + + = +
 ÷  ÷  ÷
     

⇔

( )
0
4
5
t loại vì C B
t

= ≡


=




Vậy
14 47
;
15 15
C
 
 ÷
 

Ví dụ 2: trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với A(1;-2), đường thẳng CH:
x-y+1=0, phân giác trong BN: 2x+y+5=0. Tìm tọa độ các đỉnh BC và tính diện tích tam giác ABC.
Bước 1: Vẽ hình phẳng biểu thò cho bài toán. Trên cơ sở dữ kiện và yêu cầu của bài toán ta phân tích các
yếu tố hình học phẳng cần thiết để giải toán.
Người thực hiện: Trần Thanh PhongPage 7
Sáng kiến kinh nghiệm 2014-1015
Bước 2: lập sơ đồ các bước giải.
+ Lập phương trình AB, suy ra tọa độ điểm B.
+ Lấy A’ đối xứng với A qua BN, rồi lập phương trình AA’.
+ Gọi I là giao điểm của AA’ và BN tìm tọa độ điểm I suy ra tọa độ A’.
+ Lập phương trình cạnh BC rồi tìm tọa độ điểm C.
+ Tính BC và khoảng cách từ A đến BC, rồi tính diện tích
ABC
∆
.
Bước 3: trình bày lời giải bài toán theo sơ đồ bước 2.
Do AB
⊥

CH nên phương trình đường thẳng AB: x+y+1=0.
+)
B BN AC
= ∩ ⇒
tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình:
2 5 0
1 0
x y
x y

+ + =

+ + =


4
( 4;3)
3
x
B
y

= −
⇔ ⇒ −

=


Người thực hiện: Trần Thanh PhongPage 8
Sáng kiến kinh nghiệm 2014-1015

+) Lấy A’ đối xứng với A qua BN thì A’
∈
BC. Phương trình của đường thẳng AA’ là:
2 5 0x y
− − =
.
Gọi
'I A BN= ∩
. Giải hệ:
2 5 0
2 5 0
x y
x y

+ + =

− + =

. Suy ra I(-1;3)
⇒
A’(-3;-4).
+) Phương trình BC: 7x+y+25=0. Giải hệ:
: 7 25 0
: 1 0
BC x y
CH x y

+ + =

− + =


13 9
( ; )
4 4
C⇒ −

+)
2 2
13 9 450
4 3
4 4 4
BC
   
= − + + + =
 ÷  ÷
   
;
( )
2 2
7.1 1.( 2) 25
; 3 2
7 1
d A BC
+ − +
= =
+

Suy ra:
( )
1 1 450 45

; . .3 2. (đvdt)
2 2 4 4
ABC
S d A BC BC= = =

Phân tích bản chất của bài toán: Trong bài toán trên A’ là điểm đối xứng với A qua BN là mấu chốt để
giải bài toán. Như vậy, hiểu được bản chất của hình học tọa độ phẳng rất quan trọng. Cụ thể bài toán
trên để tìm được điểm B là điều dễ dàng hầu như học sinh nào cũng làm được, tuy nhiên để tìm tọa độ
điểm C và tính được diện tích
ABC∆
nếu không hiểu được dụng ý của đề bài cho đường phân giác trong
thì không thể tìm được tọa độ điểm C và tính diện tích tam giác ABC.
Ví dụ 3: trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C):
2 2
2 4 3 0.x y x y
+ − + − =
Viết
phương trình đường tròn có tâm K(1;3) cắt đường tròn (C) tại hai điểm A, B sao cho diện tích tam giác
IAB bằng 4, với I là tâm đường tròn (C).
Bước 1: vẽ hình phẳng biểu thò cho bài toán. Trên cơ sở dữ kiện và yêu cầu của bài toán ta phân
tích các yếu tố hình học phẳng cần thiết để giải toán.
Người thực hiện: Trần Thanh PhongPage 9
Sáng kiến kinh nghiệm 2014-1015

(trường hợp 1) (trường hợp 2)
Ở bước này đa số học sinh chỉ vẽ hình cho trường hợp 1 mà bỏ sót mất trường hợp 2 khi giải toán.
Bước 2: lập sơ đồ các bước giải.
+) Từ giả thuyết diện tích tam giác IAB bằng 4, tính AH.
+) Tính KA và lập (K).
Bước 3: trình bày lời giải bài toán theo sơ đồ bước 2.

Đường tròn (C) có tâm I(1;-2) bán kính
2 2R
=
. Gọi H là trung điểm của AB.
Khi đó:
2 2
. 4 .
ABI
S IH AH R AH AH= ⇔ = −

2 2
16 (8 ).AH AH
⇔ = −

2
4 2AH AH⇔ = ⇔ =

Ta có:
Trường hợp 1: I, K nằm khác phía so với đường thẳng AB
Ta có:
( )
2
2 2 2 2 2
2 3 13AK HA KH HA KI IH= + = + − = + =

Do đó đường tròn cần tìm có phương trình:
( ) ( )
2 2
1 3 13x y
− + − =

Trường hợp 2: I, K nằm cùng phía so với đường thẳng AB
Ta có:
( )
2
2 2 2 2 2
2 7 53AK HA KH HA KI IH= + = + + = + =

Người thực hiện: Trần Thanh PhongPage 10
Sáng kiến kinh nghiệm 2014-1015
Do đó đường tròn cần tìm có phương trình:
( ) ( )
2 2
1 3 53x y
− + − =

Nhận xét rút kinh nghiệm: sau khi học sinh đã tiếp cận với các bước giải đã được đònh hướng ta sẽ trình
bày lời giải để rút gọn thời gian.
Ví dụ 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C):
( ) ( )
2 2
2
x a y b R− + − =
và điểm
M(x
0
;y
0
). Tìm tọa độ điểm N nằm trên (C) sao cho MN có độ dài lớn nhất hoặc nhỏ nhất.
Ví dụ 4 trên là một bài toán hoàn toàn có thể giải bằng hình học tọa độ và nó tỏ ra ưu thế hơn khi giải

nó theo quan điểm hình học phẳng. Từ bài toán này chỉ ra cho học sinh thấy rằng: “Không có phương
pháp nào là tối ưu cho mọi bài toán, mỗi bài toán có mỗi phương pháp giải tương thích và trở nên tối
ưu khi ta lựa chọn phương pháp giải thích hợp.”
Người thực hiện: Trần Thanh PhongPage 11
Sáng kiến kinh nghiệm 2014-1015
Cách 1: giải theo quan điểm hình học phẳng
(Hình 1) (Hình 2)
TH 1: M nằm trên (C)
Khi đó:
+) MN có độ dài nhỏ nhất bằng 0 khi N trùng với M.
+) MN có độ dài lớn nhất là 2R khi N là đầu mút còn lại của đường kính MN.
C. KẾT LUẬN
Người thực hiện: Trần Thanh PhongPage 12