tóm tắt luận án tiến sĩ các đinh lý giớ hạn cho martingale.

MỞ ĐẦU
Từ những năm 1950 trở lại đây, các định lý giới hạn đã được nghiên cứu cho dãy
biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach. Tuy nhiên việc mở rộng
khái niệm martingale cho mảng nhiều chỉ số cũng như cho các martingale toán tử
ngẫu nhiên vẫn chưa được nhiên cứu nhiều.
Với các lí do trên chúng tôi quyết định chọn đề tài nghiên cứu cho luận án của
mình là: Các định lý giới hạn cho martingale.
Luận án nghiên cứu các định lý giới hạn như luật mạnh số lớn, các định lý về
hội tụ hoàn toàn, hội tụ hoàn toàn theo nghĩa trung bình, tốc độ hội tụ của tổng
các trường hiệu martingale, các định lý về hội tụ cho dãy các martingale toán tử
ngẫu nhiên cũng như tích vô hạn của dãy toán tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong
không gian Banach. Luận án được trình bày trong bốn chương.
Chương 1 trình bày các khái niệm cơ bản phục vụ cho các nghiên cứu ở các
chương tiếp theo.
Chương 2 thiết lập luật mạnh số lớn dạng Kolmogorov và Marcinkiewicz -
Zygmund cho trường hộp các α-hiệu martingale, luật số lớn dạng Brunk-Prokhorov
cho trường các hiệu martingale, luật yếu số lớn cho trường α−tương thích mạnh.
Chương 3 gồm ba mục, mục 3.1 đưa ra các điều kiện cho hội tụ hoàn toàn cho
tổng trung bình trượt của các hiệu martingale, từ đó đi đến các luật mạnh số lớn
của tổng trung bình trượt cũng như đánh giá tốc độ hội tụ của luật mạnh số lớn.
Mục 3.2 trình bày các kết quả về hội tụ hoàn toàn trung bình, các điều kiện của
hội tụ hoàn toàn trung bình cũng như mối quan hệ giữa hội tụ hoàn toàn trung
bình với hội tụ h.c.c. và hội tụ trung bình, sau đó áp dụng để nghiên cứu luật số
lớn, hội tụ trung bình, và tốc độ hội tụ của trường các hiệu martingale E-giá trị.
Mục 3.3 trình bày về tốc độ hội tụ của chuỗi các trường hiệu martingale.
Chương 4 thiết lập các điều kiện hội tụ của dãy các toán tử ngẫu nhiên, toán
tử ngẫu nhiên mở rông, và dãy hiệu martingale toán tử ngẫu nhiên bị chặn trong
không gian Banach, và nghiên cứu các điều kiện hội tụ của tích vô hạn các toán
tử ngẫu nhiên độc lập không bị chặn.
1
CHƯƠNG 1

CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ VÀ KHÁI NIỆM CƠ BẢN
1.1 Kiến thức chuẩn bị
Kì vọng có điều kiện
Không gian Banach p-khả trơn
Không gian Banach có tính chất Radon-Nikodym
Các bổ đề chuẩn bị
1.2 Một số dạng hội tụ của trường các biến ngẫu nhiên
1.2.1 Hội tụ hầu chắc chắn
1.2.1 Bổ đề. Cho {S
n
; n  1} là một trường các biến ngẫu nhiên E- giá trị.
Thì,
1) S
n
→ 0 h.c.c. khi ||n|| → ∞ nếu và chỉ nếu với mỗi ε > 0, thì
lim
n→∞
P

sup
kn
S
k
 > ε

= 0. (1.1)
2) S
n
→ 0 h.c.c. khi |n| → ∞ nếu và chỉ nếu với mỗi ε > 0, thì
lim

n→∞
P

sup
kn
S
k
 > ε

= 0.
1.2.2 Bổ đề. Cho {S
n
; n  1} là trường các biến ngẫu nhiên E-giá trị. Thì,
S
n
hội tụ h.c.c. n → ∞ nếu và chỉ nếu ε > 0,
lim
n→∞
P

sup
k0
S
n+k
− S
n
 > ε

= 0. (1.2)
1.2.2 Hội tụ hoàn toàn

1.2.3 Định nghĩa. Một trường các biến ngẫu nhiên E-giá trị {S
n
; n  1} được
gọi là hội tụ hoàn toàn tới không nếu với mọi ε > 0, thì

n1
1
|n|
P (S
n
 > ε) < ∞
2
3
1.2.3 Hội tụ hoàn toàn trung bình
1.2.4 Định nghĩa. Một trường các biến ngẫu nhiên E-giá trị {S
n
; n  1} được
gọi là hội tụ hoàn toàn trung bình cấp p tới không nếu

n1
ES
n

p
< ∞
Rõ ràng rằng hội tụ hoàn toàn trung bình cấp p tới không thì sẽ hội tụ h.c.c.
cũng như hội tụ trung bình cấp p về không.
1.3 Trường các hiệu martingale
Cho (Ω, F, P ) là một không gian xác suất, E là một không gian Banach khả ly, và
B(E) là σ-đại số Borel trên E.

1.3.1 Định nghĩa. Cho {X
n
, 1  n  N} là một trường các biến ngẫu nhiên E-
giá trị và {F
n
, 1  n  N} là một trường các σ- đại số con của F tương ứng với
quan hệ thứ tự  trên N
d
, và đặt F
∗
n
= σ{F
l
: ∨
d
i=1
(0 ≤ l
i
≤ n
i
)}, với 0  n  N
(với quy ước F
n
= {∅, Ω} với |n| = 0)
1) Một trường {X
n
, F
n
, 1  n  N} được gọi là trường tương thích nếu X
n

là
F
n
-đo được với mọi 1  n  N.
2) Một trường tương thích {X
n
, F
n
, 1  n  N} được gọi là trường các hiệu
martingale nếu
E(X
n
|F
∗
n−1
) = 0 với mọi 1  n  N (1.3)
3) Một trường các hiệu martingale {X
n
, F
n
, 1  n  N} được gọi là trường các
hiệu martingale mạnh nếu E(X
n
I
A
|F
∗
n−1
) là F
n

-đo được với mọi 1  n  N,
1 ≤ i ≤ d và A ∈ σ(X
n
).
1.3.2 Nhận xét. Khi d = 1 (chỉ số một chiều) nếu {X
n
, F
n
: 1 ≤ n ≤ N} là
một dãy các hiệu martingale, bởi vì E(X
n
I
A
|F
∗
n−1
) = E(X
n
I
A
|F
n−1
) ∈ F
n−1
,
nên {X
n
, F
n
: 1 ≤ n ≤ N} là dãy các hiệu martingale mạnh. Tuy nhiên trong

trường hợp d > 1 (chỉ số nhiều chiều) thì một trường hiệu martingale không
nhất thiết là trường hiệu martingle mạnh, bởi vì E(X
n
I
A
|F
∗
n−1
) có thể không
là F
n
-đo được.
1.4 Toán tử ngẫu nhiên
1.4.1 Định nghĩa. Cho E; H là hai không gian Banach khả ly.
1) Một ánh xạ tuyến tính liên tục A : E → L
H
0
(Ω) từ E vào L
H
0
(Ω) được gọi là
toán tử ngẫu nhiên từ X vào Y . Một toán tử ngẫu nhiên từ E vào E được
gọi là toán tử ngẫu nhiên trên E.
4
2) Một toán tử ngẫu nhiên A : E → L
H
0
(Ω) được gọi là bị chặn nếu tồn tại một
biến ngẫu nhiên không âm k(ω) sao cho với mỗi x ∈ X,
Ax(ω)  k(ω)x h.c.c. (1.4)

Chú ý rằng miền xác định h.c.c. trong (1.4) là phụ thuộc vào x.
Nếu E = R
n
; H = R
m
là các không gian hữu hạn chiều thì mọi toán tử ngẫu
nhiên A : E → L
H
0
(Ω) là bị chặn và khi đó, nó chính là ma trận ngẫu nhiên n × m.
Trong trường hợp tổng quát, một toán tử có thể không bị chặn.
1.4.2 Định lý. Một toán tử ngẫu nhiên A : E → L
H
0
(Ω) là bị chặn nếu và chỉ
nếu tồn tại ánh xạ T
A
: Ω → L(E, H) sao cho
Ax(ω) = T
A
(ω)x h.c.c. (1.5)
Dễ thấy rằng ánh xạ T
A
là xác định duy nhất theo nghĩa: nếu T
(1)
A
, T
(2)
A
thỏa

mãn (1.5) thì T
(1)
A
(ω) = T
(2)
A
(ω) h.c.c. Hơn nữa, ta có bổ đề sau
1.4.3 Bổ đề. T
A
 là các biến ngẫu nhiên thực.
Trong trường hợp với dãy toán tử, ta sẽ định nghĩa các khái niệm hội tụ như
sau đây,
1.4.4 Định nghĩa. Cho E, H là các không gian Banach khả ly, A, A
n
(n ≥ 1) :
E → L
H
0
(Ω) là các toán tử ngẫu nhiên.
1) A
n
được gọi là hội tụ tới A h.c.c. nếu với mỗi x ∈ E,
lim
n
A
n
x(ω) = Ax(ω) h.c.c.
2) Giả sử rằng Ax, A
n
x ∈ L

H
p
(Ω), ∀x ∈ E. Thì A
n
được gọi là hội tụ tới A theo
trung bình cấp p nếu với mỗi x ∈ E,
lim
n→∞
EA
n
x − Ax
p
= 0 với mọi x ∈ E.
3) Giả sử A, A
n
(n ≥ 1) là các toán tử bị chặn. Thì A
n
được gọi là hội tụ đều A
h.c.c. nếu
lim
n→∞
T
A
n
(ω) − T
A
(ω)
L(E,H)
= 0 h.c.c.
và được gọi là hội tụ đều tới A trong L

p
(hội tụ đều theo trung bình cấp p)
nếu
lim
n→∞
ET
A
n
− T
A

p
L(E,H)
= 0.
5
1.4.5 Định nghĩa. Cho A là một toán tử ngẫu nhiên từ E vào H vàF(A)
được ký hiệu là σ-trường sinh bởi họ {Ax, x ∈ E} các biến ngẫu nhiên H-giá
trị.
1) Ta nói rằng A và biến ngẫu nhiên u ∈ L
E
0
(Ω) là độc lập nếu F(A) và F(u) là
độc lập, ở đây ký hiệu F(u) là σ-trường sinh bởi u.
2) Ta nói rằng A và σ-trường con G của F là độc lập nếu F(A) và G là độc lập.
3) Lấy {A
k
}
n
k=1
là dãy các toán tử ngẫu nhiên từ E vào K. Dãy toán tử ngẫu

nhiên {A
k
}
n
k=1
được gọi là độc lập nếu các σ-trường {F
1
(A)}
n
k=1
là độc lập.
4) Lấy {A
n
, n ≥ 1} là dãy các toán tử ngẫu nhiên từ E vào H, đặt F
n
= F(A
n
).
Dãy toán tử ngẫu nhiên {A
n
, n ≥ 1} được gọi là dãy các martingle toán tử
nếu E(A
n+1
x|F
n
) = A
n
x với mọi x ∈ E, n ≥ 1.
CHƯƠNG 2
LUẬT SỐ LỚN CHO TRƯỜNG CÁC HIỆU MARTINGALE

Trong chương này chúng tôi trình bày các kết quả về luật số lớn cho trường hộp
các α-hiệu Martingale E-giá trị, luật số lớn dạng Brunk-Prokhorov cho trường các
hiệu Martingale E-giá trị và luật yếu số lớn cho trường các biến ngẫu nhiên E-giá
trị, tương thích mạnh.
2.1 Luật mạnh số lớn cho trường hộp các α hiệu Martingale
2.1.1 Định nghĩa. Cho {X
k
, F
k
, n  k  m} là một trường tương thích các
biến ngẫu nhiên E- giá trị đặt F
∗
k
= σ{F
l
: ∨
d
i=1
(l
i
< k
i
)}, với n  k  m.
1) {X
k
, F
k
, n  k  m} được gọi là trường các α-hiệu martingale nếu
E(X
k

|F
∗
k−α(k)
) = 0 với mọi n  k  m
Trong trường hợp α(n) = M với mọi n  k  m ta gọi {X
k
, F
k
, n  k  m}
là trường các M-hiệu martingale.
Khi M = 1 ta được khái niệm trường các hiệu martingale đã định nghĩa ở
chương 1.
2) Trường các α-hiệu martingale (M-hiệu martingale) {X
n
, F
n
, m  n  M}
được gọi là các α-hiệu martingale mạnh (M-hiệu martingale mạnh) nếu
E(X
k
I
A
|F
k−1
) là F
k
-đo được với mọi n  k  m và A ∈ σ(X
k
).
3) Trường tương thích {X

n
, F
n
, n ∈ N
d
} gọi là hộp các α-hiệu martingale
(tương ứng, hộp các M-hiệu martingale, hộp các hiệu martingale, hộp các
α-hiệu martingale mạnh, hộp các M-hiệu martingale mạnh) tương ứng với
các hộp {∆
n
, n ∈ N
d
} nếu mỗi n ∈ N
d
, {X
n
, F
n
, n ∈ ∆
n
} là một α-hiệu
martingale (tương ứng, M-hiệu martingale, hiệu martigale, α-hiêu martingale
mạnh, M-hiệu martingale mạnh).
2.1.2 Định lý. Cho 1 ≤ p ≤ 2, và E là một không gian Banach đầy đủ, thì
các khẳng định sau là tương đương:
(i) E là p-khả trơn.
6
7
(ii) Tồn tại hằng số C sao cho với mọi trường các α-hiệu martingale
{X

k
, F
k
: n  k  m} trong E. Ta có
E max
nkm


nik
X
i

p
≤ C|α
p−1
(m)|

nkm
EX
k

p
. (2.1)
2.1.3 Định lý. Cho 1 ≤ p ≤ 2, và E là một không gian Banach khả ly, thì các
khẳng định sau tương đương:
(i) E là p-khả trơn.
(ii) Với mọi trường hộp các α-hiệu martingale {X
n
, F
n

: n  1} trong E với
các hộp tương ứng {∆
k
, k  1} và mọi trường các hằng số dương {a
n
, n  1}
thỏa mãn
1 < lim inf
n≺mn+1
a
Γ(m)
a
Γ(n)
≤ lim sup
n≺mn+1
a
Γ(m)
a
Γ(n)
< ∞. (2.2)
Nếu

n1
1
a
n
EX
n

p

< ∞, (2.3)
thì
1
a
n
φ
(p−1)/p
2
(n)
max
1kn
S
k
 → 0 h.c.c. khi|n| → 0. (2.4)
Xét trường các hàm Borel {ψ
n
, n  1} có tính chất sau
C
n
u
λ
n
v
λ
n
≤
ψ
n
(u)
ψ

n
(v)
≤ D
n
u
µ
n
v
µ
n
với mọi u ≥ v > 0, (2.5)
2.1.4 Định lý. Cho 1 ≤ p ≤ 2, và E là không gian Banach khả ly, các khẳng
định sau là tương đương:
(i) E là p-khả trơn.
(ii) Cho trường các hằng số dương {a
n
, n  1} thỏa mãn (2.2) và trường
các hàm Borel dương {ψ
mn
, (m, n)  (1, 1)} thỏa mãn (2.5). Khi đó với mọi
trường hộp các α-hiệu martingale mạnh {X
n
, F
n
: n  1} tương ứng với các
hộp {∆
k
, k  1}, nếu

n1

A
n
Eψ(X
n
)
ψ(a
n
)
< ∞, (2.6)
ở đây A
n
= max{
1
C
n
, D
n
}, thì ta có (2.4).
2.1.5 Định lý. Xét {X
n
, F
n
; n  1} là trường hộp các α-hiệu martingale
mạnh E-giá trị tương ứng với các hộp {∆
k
, k  1} nhận giá trị trong không
gian p-khả trơn E với 1 < p ≤ 2. với α
1
, . . . , α
d

là các hằng số dương thỏa
mãn min{α
1
. . . , α
d
} = 1, lấy q là số các số nguyên s sao cho α
s
= 1 =
8
min{α
1
. . . , α
d
}. Nếu {X
n
; n ∈ N
d
} bị chặn ngẫu nhiên bởi một biến ngẫu
nhiên X sao cho E(X log
q
X) < ∞. Thì
1
|n
α
|(φ
2
(n))
(p−1)/p
max
1kn

S
k
 → 0 h.c.c. khi |n| → 0. (2.7)
2.1.6 Định lý. Xét {X
n
, F
n
; n  1} là trường hộp các α-hiệu martingale mạnh
E-giá trị tương ứng với các hộp {∆
k
, k  1} nhận giá trị trong không gian p-
khả trơn E với 1 < p ≤ 2. với α
1
, . . . , α
d
là các hằng số dương thỏa mãn 1/p <
min{α
1
. . . , α
d
} < 1, lấy q là số các số nguyên s sao cho α
s
= min{α
1
. . . , α
d
}.
Nếu {X
n
; n ∈ N

d
} bị chặn ngẫu nhiên bởi một biến ngẫu nhiên X sao cho
E(X log
q−1
X) < ∞. Thì ta có (2.7).
2.2 Luật số lớn dạng Brunk-Prokhorov
2.2.1 Định lý. Cho q ≥ 1, E là một không gian Banach, {b
n
, n  1} và
{c
n
, n  1} là các trường các số thực dương sao cho b
n
≤ b
m
for all n 
m, ξ(n), n  1 là một hàm dương, {X
n
, F
n
; n  1} là một trường các hiệu
martingale E-giá trị thỏa mãn
lim inf
n→∞
max
n−1≺kn
ES
k

q

b
q
k
= 0. (2.8)
cùng với
ES
n

q
≤ C.ξ(n)

1kn
c
k
. (2.9)
Thì, điều kiện
min
1≤s≤d


n∈N
d
c
n
.ψ
s
(n)

< ∞ (2.10)
với ψ

s
(n) =

kn

1
b
q
k
−
1
b
q
(k,s,n
s
+1)

ξ(n), suy ra
S
n
b
n
→ 0 h.c.c. khi |n| → ∞. (2.11)
2.2.2 Định lý. Cho 1 ≤ p ≤ 2 và E là một không gian Banach khả ly. Thì các
khẳng định sau tương đương:
(i) E là p-khả trơn.
(ii) Cho {X
n
, F
n

; n ∈ N
d
} là một trường các hiệu martingale E-giá trị,
q ≥ 1, d ≥ 2, {b
n
, n  1} là một trường các hằng số dương sao cho b
n
≤
b
m
for all n  m. Nếu
9
1)
lim inf
n→∞
max
n−1≺kn
ES
k

pq
b
pq
k
= 0. (2.12)
2)
min
1≤s≤d



n∈N
d
EX
n

pq
.ϕ
s
(n)

< ∞, (2.13)
với ϕ
s
(n) =

kn

1
b
pq
k
−
1
b
pq
(k,s,n
s
+1)

|k|

q−1
;
thì ta có (2.11)
2.2.3 Định lý. Cho 1 ≤ p ≤ 2, q > 1, E là không gian Banach p-khả trơn và
{X
n
, F
n
; n ∈ N
d
} là một trường các hiệu martingale E-giá trị. Nếu
min
1≤s≤d

n1
EX
n

pq
n
s
|n|
pq−q
< ∞ (2.14)
thì
lim
|n|→0
S
n
|n|

= 0 h.c.c.
2.2.4 Hệ quả. Cho 1 ≤ p ≤ 2, q ≥ 1, E là một không gian Banach p-khả trơn
và {X
n
, F
n
; n ≥ 1} là một dãy các hiệu martigale E-giá trị sao cho

n≥1
EX
n

pq
n
pq−q+1
< ∞,
thì
lim
n→0
S
n
n
= 0 h.c.c.
2.3 Luật yếu số lớn cho trường các α hiệu Martingale
Trong phần này chúng tôi sử dụng các bất đẳng thức của trường các α-hiệu mar-
tingale để nghiên cứu luật yếu số lớn cho trường các biến ngẫu nhiên α-tương thích
mạnh nhận giá trị trong không gian Banach E.
2.3.1 Định lý. Cho E là một không gian Banach p-khả trơn (1 ≤ p ≤ 2). với
mọi trường các biến ngẫu nhiên α-tương thích mạnh {X
n

, F
n
: n  1} nhận
giá trị trong không gian E, Nếu

1iu
n
P {X
i
 > b
ni
} → 0 khi |n| → ∞ (2.15)
10
và
|α(u
n
)|
p−1
a
p
n

1iu
n
|a
ni
|
p
EY
ni

− E(Y
ni
|F
∗
i−α(i)
)
p
→ 0 khi |n| → ∞, (2.16)
thì
max
1ku
n
1
a
n







1ik
a
ni
(X
i
− E(Y
ni
|F

∗
i−α(i)
)






P
−→ 0 khi |n| → ∞, (2.17)
2.3.2 Định lý. Cho E là một không gian Banach p-khả trơn (1 ≤ p ≤ 2) và
{τ
n
= (τ
1
(n), , τ
d
(n)); n  1} là một trường các biến ngẫu nhiên nhận giá trị
nguyên dương sao cho
lim
|n|→∞
P {τ
i
(n) > u
i
(n)} = 0 với mọi 1 ≤ i ≤ d. (2.18)
Giả thiết rằng {X
n
, F

n
: n  1} là một trường các biến ngẫu nhiên α-tương
thích mạnh nhận giá trị trong E thỏa mãn (2.15) và (2.16), thì
max
1kτ
n
1
a
n







1ik
a
ni
(X
i
− E(Y
ni
|F
∗
i−α(i)
))







P
−→ 0 khi |n| → ∞, (2.19)
2.3.3 Định lý. Lấy 1 ≤ r < p ≤ 2 và E là một không gian Banach p-khả trơn,
với mọi trường các biến ngẫu nhiên α-tương thích mạnh {X
n
, F
n
: n  1}
nhận giá trị trong E, giả sử {X
n
, n  1} bị chặn ngẫu nhiên bởi X sao cho
aP (X
r
> a) → 0 khi a → ∞. Lấy {τ
n
; n  1} là một trường các biến ngẫu
nhiên nhận giá trị nguyên dương thỏa mãn (2.18) và {a
ni
; 1  i  u
n
} (n  1)
là trường các số thực thỏa mãn
|α(u
n
)|
p−1
. sup

n1

1iu
n
|a
ni
|
r
< C với hằng số C > 0 (2.20)
và
sup
1iu
n
|a
ni
| → 0 khi |n| → ∞, (2.21)
thì
sup
1kτ
n

1ik
a
ni
(X
i
− E(Y
ni
|F
∗

i−α(i)
))
P
−→ 0 khi |n| → ∞
với Y
ni
= X
i
I{a
r
ni
X
i

r
≤ 1}
CHƯƠNG 3
HỘI TỤ HOÀN TOÀN VÀ TỐC ĐỘ HỘI TỤ CỦA TRƯỜNG CÁC HIỆU
MARTINGALE
Trong chương này chúng tôi trình bày các kết quả về sự hội tụ hoàn toàn, hội tụ
hoàn toàn trung bình, từ đó đánh giá tốc độ hội tụ của luật số lớn; hơn nữa, chúng
tôi cũng đạt được kết quả về tốc độ hội tụ của chuỗi ngẫu nhiên.
3.1 Hội tụ hoàn toàn
Cho {X
n
, F
n
; n ∈ Z
d
} là một trường các hiệu martingale E-giá trị. Trong phần

này, {a
n
; n ∈ Z
d
} luôn được giả thiết là trường các số thực khả tổng tuyệt đối và
T
i
=

k∈Z
d
a
i+k
X
k
hội tụ h.c.c. và đặt
S
n
=

1kn
T
k
Định lý sau là một đặc trưng của không gian Banach p-khả trơn.
3.1.1 Định lý. Cho 1 ≤ p ≤ 2, và E là một không gian Banach khả ly, thì hai
khẳng định sau là tương đương:
(i) E là p-khả trơn.
(ii) Với mọi trường các hiệu martingale E-giá trị {X
n
, F

n
; n ∈ Z
d
} và mọi
trường các số thực dương khả tổng {a
n
; n ∈ Z
d
} sao cho T
i
=

k∈Z
a
i+k
X
k
hội
tụ h.c.c. và mọi trường các hằng số {b
n
, n  1} sao cho b
n
≤ b
m
for all n  m
và
1 < inf
n1
b
2

n+1
b
2
n
≤ sup
n1
b
2
n+1
b
2
n
< ∞. (3.1)
Nếu

n∈Z
d
EX
n

p
.ϕ(n) < ∞
với ϕ(n) =

k1
a
n−k
b
p
k

. thì

n1
1
|n|
P {max
kn
S
k
 > b
n
} < ∞, (3.2)
11
12
với mọi  > 0.
Hơn nữa, ta có luật số lớn
1
b
n
max
1kn
S
k
 → 0 h.c.c. khi |n| → ∞ (3.3)
Cho {b
n
; n  1} là một trường các số dương. Ta đặt
N(x) = Card{n : b
n
≤ x},

và giả sử rằng N(x) < ∞, ∀x > 0.
khi đó hai hàm L(x) và R
p
(x) định nghĩa như sau:
L(x) =
x

0
N(t) log
d−1
+
N(t)
t
2
dt và R
p
(x) =
∞

x
N(t) log
d−1
+
N(t)
t
p+1
dt,
với x > 0 và p > 0. Khi đó ta có
3.1.2 Định lý. Cho {X
n

, F
n
; n ∈ Z
d
} là một trường các hiệu martingale nhận
giá trị trong không gian p-khả trơn E. Lấy {b
n
, n  1} là một trường các hiệu
martingale sao cho b
n
≤ b
m
với mọi n  m, và b
n
→ +∞ khi |n| → +∞.
Đặt N(x) = card{n; b
n
≤ x} với mọi x > 0
Nếu {X
n
; n ∈ Z
d
} bị chặn ngẫu nhiên bởi một biến ngẫu nhiên X sao cho
EX
p
R
p
(X) < ∞, EXL(X) < ∞,
thì


n1
1
|n|
P {max
kn
S
k
 > b
n
} < ∞. (3.4)
Hơn nữa, nếu sup
n1
b
2
n+1
b
2
n
< ∞, thì ta có luật số lớn
1
b
n
max
1kn
S
k
 → 0 h.c.c. khi |n| → ∞ (3.5)
Trong trường hợp b
n
= |n

α
|, ta thu được điều kiện đủ mới để (3.2) đúng.
3.1.3 Định lý. Cho {X
n
, F
n
; n ∈ Z
d
} là một trường các hiệu martingale nhận
giá trị trong không gian p-khả trơn E với 1 < p ≤ 2. Lấy α
1
, . . . , α
d
là các hằng
số dương thỏa mãn 1/p < min{α
1
. . . , α
d
} < 1, lấy q là số các số nguyên s sao
cho α
s
= min{α
1
. . . , α
d
}. Nếu {X
n
; n ∈ Z
d
} là bị chặn ngẫu nhiên bởi biến

ngẫu nhiên X sao cho
E(X
r
log
q−1
X) < ∞, với r =
1
min{α
1
. . . , α
d
}
,
13
thì

n1
1
|n|
P { max
1k≺n
S
k
 > |n
α
|} < ∞ (3.6)
và ta có luật số lớn
1
|n
α

|
max
1kn
S
k
 → 0 h.c.c. khi |n| → ∞ (3.7)
3.1.4 Định lý. Cho {X
n
, F
n
; n ∈ Z
d
} là một trường các hiệu martingale nhận
giá trị trong không gian Banach p-khả trơn E với 1 < p ≤ 2. Lấy α
1
, . . . , α
d
là
các hằng số dương thỏa mãn min{α
1
. . . , α
d
} = 1, lấy q là số các số thực s sao
cho α
s
= min{α
1
. . . , α
d
}. Nếu {X

n
; n ∈ Z
d
} là bị chặn ngẫu nhiên bởi biến
ngẫu nhiên X sao cho E(X log
q
X) < ∞. Thì (3.6) đúng và luật số lớn
(3.7) đúng.
3.2 Hội tụ hoàn toàn trung bình
Đầu tiên, Ta đưa ra điều kiện để hội tụ hoàn toàn trung bình cấp p suy ra hội tụ
h.c.c. và hội tụ trong L
p
.
3.2.1 Định lý. Cho {X
n
; n  1} là một trường các biến ngẫu nhiên E-giá trị.
Giả sử
M = sup
n
b
2
n+1
b
2
n
< ∞, (3.8)
nếu
max
kn
S

k

|n|
1/p
b
n
c,L
p
→ 0 với 1 ≤ p ≤ 2, (3.9)
thì
max
kn
S
k

b
n
→ 0 h.c.c. và trong L
p
khi |n| → ∞. (3.10)
Định lý tiếp theo chỉ ra rằng tốc độ của hội tụ của luật mạnh số lớn có thể thu
được như một hệ quả của hội tụ hoàn toàn trung bình.
3.2.2 Định lý. Cho α ∈ R
d
và {X
n
; n  1} là một trường các biến ngẫu nhiên
E-giá trị. Nếu
1
|n

α/p
|b
n
max
kn
S
k

c,L
p
→ 0 với 1 ≤ p ≤ 2,
thì

n1
|n
−α
|P (b
−1
n
max
kn
S
k
 > ) < ∞ với mọi  > 0. (3.11)
14
Trong trường hợp α = (α
1
, , α
d
) với α

i
< 1 với mọi 1 ≤ i ≤ d và {b
n
; n  1}
thỏa mãn (3.8) thì (3.11) suy ra
P

sup
kn
S
k

b
k
> 

= o(
1
|m
1−α
|
) khi |n| → ∞ với mọi  > 0.
Tiếp theo ta sẽ đưa ra ước lượng điều kiện đủ cho hội tụ hoàn toàn trung bình
cấp p.
3.2.3 Định lý. Cho E là một không gian Banach p-khả trơn với 1 ≤ p ≤ 2.
{X
n
, F
n
; n  1} là một trường các hiệu martingale E-giá trị. Giả sử rằng


n1
b
−p
n
< ∞. (3.12)
Nếu

n1
ϕ(n)EX
n

p
< ∞, (3.13)
với ϕ(n) =

kn
b
−p
k
, thì
1
b
n
max
kn
S
k

c,L

p
→ 0. (3.14)
Định lý sau đây cung cấp một đặc trưng của không gian p-khả trơn bởi hội tụ
hoàn toàn trung bình.
3.2.4 Định lý. Cho 1 ≤ p ≤ 2 , E là một không gian Banach khả ly, các khẳng
định sau là tương đương:
(i) E là p-khả trơn.
(ii) Mọi trường các hiệu martingale E-giá trị {X
n
; F
n
n  1}, và trường các
hằng số dương {b
n
; n  1} với b
k
≤ b
n
với mọi k  n và thỏa mãn

kn
1
b
p
k
= O(
|n|
b
p
n

), (3.15)
điều kiện

n1
|n|
EX
n

p
b
p
n
< ∞, (3.16)
suy ra
1
b
n
max
kn
S
k

c,L
p
→ 0. (3.17)
(iii) Mọi trường các hiệu martingale E-giá trị {X
n
; F
n
n  1}, điều kiện


n1
EX
n

p
|n|
p
< ∞, (3.18)
15
suy ra
max
kn
S
k

n
p+1
p
c,L
p
→ 0. (3.19)
Với b
n
= |m
α+1/p
| (α = (α
1
, , α
d

) trong đó α
i
> 0 với mọi 1 ≤ i ≤ d) từ (ii)
của Định lý 3.2.3 ta thu được hệ quả sau.
3.2.5 Hệ quả. Cho E là không gian Banach p-khả trơn với 1 ≤ p ≤ 2, α =
(α
1
, , α
d
) trong đó α
i
> 0 với mọi 1 ≤ i ≤ d, {X
n
, F
n
; n  1} là một trường
các hiệu martingale E- giá trị. Nếu

n1
EX
n

p
|n
αp
|
< ∞,
thì
sup
kn

S
k

|n
α+1/p
|
c,L
p
→ 0.
Tiếp theo, là các áp dụng của hội tụ hoàn toàn trung bình cho luật số lớn của
trường các hiệu martingale E-giá trị.
3.2.6 Định lý. Cho E là không gian Banach p-khả trơn với 1 ≤ p ≤ 2 và
{X
n
, n  1} là một trường các hiệu martingle E-giá trị. Nếu

n1
EX
n

p
|n
αp
|
< ∞,
thì
max
kn
S
k


|m
α
|
→ 0 h.c.c. và L
p
khi |n| → ∞.
Định lý sau đây là luật mạnh số lớn dạng Marcinkiewicz-Zygmund cho trường
các hiệu martingale E-giá trị.
3.2.7 Định lý. Cho 1 ≤ α
1
≤ ≤ α
d−1
≤ q < α
d
< p ≤ 2, Elà một không gian
Banach p-khả trơn. Giả sử rằng {X
n
, n  1} là một trường các hiệu martingale
mạnh E-giá trị bị chặn ngẫu nhiên bởi biến ngẫu nhiên E-giá trị X
Nếu EX
α
d
< ∞, và gọi α = (α
1
, , α
d
) thì
max
kn

S
k

|n
1/α
|
→ 0 h.c.c. và L
q
và |n| → ∞. (3.20)
Cuối cùng, ta sẽ ước lượng cho tốc độ hội tụ của luật mạnh số lớn.
16
3.2.8 Định lý. Cho 0 < r
i
< p với 1 ≤ i ≤ d và r = (r
1
, , r
d
), E là một
không gian Banach p-khả trơn với 1 ≤ p ≤ 2 và {X
n
; n  1} là trường các hiệu
martingale E-giá trị. Nếu

n1
EX
n

p
|n
p−r

|
< ∞,
thì
P

sup
kn
S
k

k
> 

= o(
1
|n
r
|
) khi |n| → ∞ với mọi  > 0. (3.21)
3.3 Tốc độ hội tụ của chuỗi ngẫu nhiên
Cho {X
n
, n  1} là trường các biến ngẫu nhiên E-giá trị, ta ký hiệu S
n
=

kn
X
k
,

với mọi n  1. Nếu

n1
X
n
được gọi là hội tụ h.c.c. tới S, khi đó ta đặt
T
n
= S − S
n
=

kn
X
k
(đặt S
0
= 0) ta thu được
sup
kn
T
k
 → 0 h.c.c
Các định lý sau đây cung cấp điều kiện đủ để có được sư hội tụ của chuỗi

n1
X
n
và tốc độ hội tụ về 0 của sup
kn

T
k
.
3.3.1 Định lý. Cho E là một không gian Banach p-khả trơn với 1 ≤ p ≤ 2,
{X
n
, F
n
; n ∈ N
d
} là một trường các hiệu martingale E-giá trị. Cho {b
n
}, {B
n
}
là các trường các hằng số dương, sao cho b
n
= o(1), B
n
= o(1).
1) Nếu

kn
EX
k

p
= O(b
p
n

) (3.22)
thì

n1
X
n
hội tụ h.c.c. và
sup
kn
T
k
 = O
P
(b
n
). (3.23)
2) Nếu

kn
EX
k

p
= o(B
p
n
), (3.24)
17
thì


n1
X
n
hội tụ h.c.c. và
sup
kn
T
k

B
n
P
→ 0. (3.25)
Tiếp theo, ta sẽ ước lượng tốc độ hội tụ của chuỗi các trường hiệu martingale
mạnh, với trường các hàm số Borel dương {φ
n
, n  1} với tính chất (2.5).
3.3.2 Định lý. Cho E là một không gian Banach p-khả trơn với 1 ≤ p ≤ 2,
{X
n
, F
n
; n ∈ N
d
} là trường các hiệu martingale mạnh E-giá trị. Lấy {Φ
n
; n  1}
là trường các hàm Borel dương thỏa mãn điều kiện (2.5) và Φ
n
(u) ≤ Φ

m
(u), với mọi n  m.
{b
n
}, {B
n
} là các trường các hằng số dương, sao cho Φ
n
(b
n
) = o(1), Φ
n
(B
n
) =
o(1).
1) Nếu

kn
A
k
EΦ
k
(X
k
) = O(Φ
n
(b
n
)), (3.26)

ở đây A
n
= max{
1
C
n
, D
n
}, thì

n1
X
n
hội tụ h.c.c. và tốc độ hội tụ về 0
của chuỗi {T
n
=

kn
X
k
}
sup
kn
T
k
 = O
P
(b
n

), (3.27)
2) Nếu

kn
A
k
EΦ
k
(X
k
) = o((Φ
n
(B
n
)), (3.28)
ở đây A
n
= max{
1
C
n
, D
n
}, thì

n1
X
n
hội tụ h.c.c. và chuỗi {T
n

=

kn
X
k
}
có tốc độ tiến tới không như sau
sup
kn
T
k

B
n
P
→ 0. (3.29)
Cuối cùng, ta ước lượng cho tốc độ hội tụ hoàn toàn của chuỗi đuôi các trường
hiệu martingale E-giá trị.
3.3.3 Định lý. Cho E là một không gian Banach p-khả trơn với 1 ≤ p ≤ 2,
{X
n
, F
n
; n ∈ N
d
} là một trường các hiệu martingale E-giá trị. Cho {a
n
} là
một trường các hằng số dương, sao cho hoặc a
n

≤ a
m
với mọi n  m hoặc
a
n
≥ a
m
với mọi n  m và sup
n
a
2
n
/a
2
n+1
≤ M < ∞. Nếu

n1
ϕ(n)EX
n

p
< ∞ (3.30)
18
ở đây ϕ(n) =

2
k
n
1

a
2
k
, với mọi ε > 0,

n1
1
|n|
P (sup
kn
T
k
 > εa
n
) < ∞. (3.31)
3.3.4 Hệ quả. Cho E là một không gian Banach p-khả trơn với 1 ≤ p ≤ 2,
{X
n
, F
n
; n ∈ N
d
} là một trường các hiệu martingale E-giá trị. Nếu

n1
EX
n

p
< ∞, (3.32)

thì với mọi α > 0, ε > 0,

n1
1
|n|
P (sup
kn
T
k
 > ε|n|
α
) < ∞. (3.33)
3.3.5 Hệ quả. Cho E là một không gian Banach p-khả trơn với 1 ≤ p ≤ 2,
{X
n
, F
n
; n ∈ N} là một dãy các hiệu martingale E-giá trị. Nếu
∞

n=1
EX
n

p
log
2
n < ∞, (3.34)
thì với mọi α > 0, ε > 0,
∞


n=1
1
n
P (sup
k≥n
T
k
 > ε) < ∞. (3.35)
CHƯƠNG 4
SỰ HỘI TỤ CỦA DÃY CÁC MARTINGALE TOÁN TỬ
Trong chương này, chúng tôi thiết lập các điều kiện để toán tử ngẫu nhiên, toán
tử ngẫu nhiên mở rộng và martingale toán tử ngẫu nhiên bị chặn hội tụ. Hơn nữa
chúng tôi định nghĩa tích các toán tử không bị chặn độc lập và sử dụng các kĩ
thuật hội tụ của martingale đưa ra điều kiện để tích vô hạn các toán tử ngẫu nhiên
độc lập không bị chặn hội tụ.
4.1 Hội tụ của dãy martingale toán tử
Hội tụ của dãy toán tử bị chặn
Cho {A
n
, n ≥ 1} là dãy các toán tử ngẫu nhiên bị chặn trên E. Khi đó tồn tại
T
n
: Ω −→ L(E; E) sao cho
A
n
x(ω) = T
n
(ω)x h.c.c.
4.1.1 Định lý. {A

n
, n ≥ 1} là hội tụ đều tới A theo trung bình cấp p thì
{Au, n ≥ 1} là hội tụ tới Au theo trung bình cấp p với mọi u ∈ L
E
p
(Ω) và u độc
lập với {A
n
, n ≥ 1}.
4.1.2 Định lý. 1) Nếu {A
n
, n ≥ 1} là hội tụ về A theo xác suất và họ
{T
n
, n ≥ 1} bị chặn theo xác suất, thì {A
n
u, n ≥ 1} là hội tụ về Au
theo xác suất với mọi u ∈ L
E
o
(Ω).
2) Nếu {A
n
, n ≥ 1} là hội tụ về A h.c.c. và họ {T
n
, n ≥ 1} bị chặn h.c.c.,
thì {A
n
u, n ≥ 1} là hội tụ về Au h.c.c. với mọi u ∈ L
E

o
(Ω).
4.1.3 Hệ quả. 1) Nếu {A
n
, n ≥ 1} là hội tụ đều về A theo xác suất, thì
{A
n
u, n ≥ 1} là hội tụ về Au theo xác suất với mọi u ∈ L
E
o
(Ω).
2) Nếu {A
n
, n ≥ 1} là hội tụ đều về A h.c.c., thì {A
n
u, n ≥ 1} là hội tụ về
Au h.c.c. với mọi u ∈ L
E
o
(Ω).
Hội tụ của dãy martingale toán tử bị chặn
Cho {A
n
, n ≥ 1} là dãy các martingle toán tử bị chặn từ E vào E. khi đó tồn tại
ánh xạ T
n
: Ω −→ L(E; E) sao cho
A
n
x(ω) = T

n
(ω)x h.c.c.
19
20
Ta có định lý sau.
4.1.4 Định lý. Giả sử rằng E có tính chất R-N, cho p ≥ 1, {A
n
, n ≥ 1} là
dãy các martingle toán tử bị chặn từ E vào E, thì
1) Nếu
sup
n≥1
ET
n
 < ∞
thì tồn tại một toán tử bị chặn A sao cho dãy toán tử {A
n
, n ≥ 1} là hội
tụ h.c.c. tới A. Hơn nữa, T
n
 là hội tụ h.c.c.
2) Nếu
sup
n≥1
ET
n

p
< ∞, p > 1,
thì tồn tại một toán tử bị chặn A sao cho dãy toán tử {A

n
, n ≥ 1} là hội
tụ trong L
p
tới A.
4.1.5 Định lý. Giả sử rằng E có tính chất R-N, cho p ≥ 1, {A
n
, n ≥ 1} là
dãy các martingle toán tử bị chặn từ E vào E, thì
1) Nếu
sup
n≥1
ET
n
 < ∞
thì tồn tại một toán tử bị chặn A sao cho dãy {A
n
u, n ≥ 1} là hội tụ h.c.c.
tới Au với mọi u ∈ L
E
1
(Ω, F
1
).
2) Nếu
sup
n≥1
ET
n


p
< ∞, (p > 1),
thì tồn tại một toán tử bị chặn A sao cho dãy {A
n
u, n ≥ 1} là hội tụ trong
L
p
tới Au với mọi u ∈ L
E
q
(Ω, F
1
) với
1
p
+
1
q
= 1.
3) Nếu
sup
n≥1
ET
n

p
< ∞, (q > 1),
thì tồn tại một toán tử bị chặn A sao cho dãy {A
n
u, n ≥ 1} là hội tụ trong

L
r
, (q > r > 1) tới Au với mọi u ∈ L
E
p
(Ω, F
1
) với
r
p
+
r
q
= 1.
Định lý tiếp theo cung cấp điều kiện để tích vô hạn các hiệu martigale toán tử
bị chặn là hội tụ. Cho {A
n
, n ≥ 1} là một dãy martingale toán tử bị chặn từ E
vào E, đặt
B
n
x = A
n
x − A
n−1
x
21
thì
E(B
n

x|F
n−1
) = 0
và
B
n
x := A
n
x − A
n−1
x = (T
n
− T
n−1
)x : τ
n
x,
ta gọi {B
n
, n ≥ 1} là dãy các hiệu martingale các toán tử bị chặn. Ta định nghĩa
V
n
= (I + B
1
)(I + B
2
) (I + B
n−1
)(I + B
n

)
Ở đây, ta nghiên cứu sự hội tụ của V
n
tức là sự hội tụ của tích
∞

k=1
(I + B
k
)
4.1.6 Định lý. Cho E là một không gian Banach có tính chất R-N, với p ≥ 1,
{B
n
, n ≥ 1} là một dãy các hiệu martingale toán tử bị chặn từ E vào E, thì
1) Nếu
sup
n≥1
n

k=1
EI + τ
k
 < ∞
thì tích

∞
k=1
(I + B
k
) hội tụ h.c.c

2) Nếu
sup
n≥1
n

k=1
E(I + τ
k
)
p
< ∞
thì tích

∞
k=1
(I + B
k
) hội tụ trung bình cấp p.
4.2 Sự hội tụ của tích các toán tử không bị chặn độc lập
Tích các toán tử không bị chặn độc lập
Cho A, B : E → L
E
0
(Ω) là các toán tử độc lập. Làm thế nào để định nghĩa tích
của A và B? Một cách tự nhiên ta xác định AB bởi
(AB)z = A(Bz).
Tuy nhiên Bz là một biến ngẫu nhiên E-giá trị, và độc lập với A mà với định nghĩa
của toán tử thì miền tác động của A không thể là các biến ngẫu nhiên E-giá trị
được. Chính vì vậy mà ta cần A mở rộng miền tác động của A lên tập các biến
ngẫu nhiên E-giá trị, độc lập của A. Trước hết ta cần bổ đề sau

22
4.2.1 Bổ đề. Với mỗi t > 0,  > 0 tồn tại r > 0 chỉ phụ thuộc vào t,  sao cho
nếu x
1
, , x
n
∈ E và α = (α
1
, , α
n
) là một biến ngẫu nhiên R
n
-giá trị độc
lập với A; ta có
P



i
α
i
Ax
i
 > t

<  + P {

i
α
i

x
i
 > r}. (4.1)
Lấy S ⊂ F là một σ-trường con độc lập với F(A) và V = L
X
0
(Ω, S, P ) ⊂ L
X
0
(Ω)
lấy V
0
⊂ V là không gian con tuyến tính bao gồm các biến ngẫu nhiên đơn giản
E-giá trị. Ta biết V
0
là trù mật trong V với sự hội tụ trong L
X
0
(Ω). Ta định nghĩa
ánh xạ
˜
A : V
0
→ L
Y
0
(Ω) xác định bởi
˜
Au =
n


i=1
1
E
i
Ax
i
nếu u(ω) =
n

i=1
1
E
i
x
i
, {E
i
}
n
i=1
∈ S là rời nhau.
Nếu u ∈ V , {u
n
, n ≥ 1} ⊂ V
0
và p − lim
n→∞
u
n

= u, sau đó bởi Bổ đề 2.2 ta có
P (
˜
Au
n
−
˜
Au
m
 > t) = P(
˜
A(u
n
− u
m
) > t) ≤ ε + P (u
n
− u
m
 > r).
Vì {u
n
, n ≥ 1} là một dãy Cauchy trong L
X
0
(Ω) từ điều này ta suy ra dãy
{
˜
Au
n

, n ≥ 1} hội tụ trong L
X
0
(Ω). Giới hạn này là độc lập với phép chọn dãy
{u
n
, n ≥ 1} để xấp xỉ u và được ký hiệu là
˜
Au.
Từ bây giờ, để cho đơn giản ta viết Au thay cho
˜
Au. Au gọi là tác động của A
lên biến ngẫu nhiên S đo được X-giá trị u ∈ V = L
X
0
(Ω, S, P ).
Lấy A, B : E → L
E
0
(Ω) là hai toán tử độc lập. Thì F(A) và F(B) là độc lập.
Vì u = Bx là F(B)-đo được AB : E → L
E
0
(Ω) cho bởi
(AB)x = A(Bx)
là định nghĩa tốt.
4.2.2 Bổ đề. Ánh xạ AB : E → L
E
0
(Ω) là một toán tử ngẫu nhiên.

AB ta gọi tích của hai toán tử A và B.
Tích vô hạn các toán tử độc lập không bị chặn
Cho {A
n
: E → L
E
0
(Ω)}
∞
n=1
là dãy các toán tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không
gian Bannach. Đặt
U
n
= (I + A
n
)(I + A
n−1
) (I + A
2
)(I + A
1
),
V
n
= (I + A
1
)(I + A
2
) (I + A

n−1
)(I + A
n
).
Ở đây chúng ta đưa ra điền kiện để các dãy {U
n
} và {V
n
} hội tụ h.c.c. và L
E
p
(Ω)
tức là tích vô hạn tồn tại
23
4.2.3 Định lý. Giả sử rằng E có tính chất R-N và A
k
x ∈ L
E
1
(Ω) sao choE(A
k
x) =
0 với mọi k ≥ 1 và x ∈ X. Nếu
∞

k=1
A
k

1

< ∞
thì tích
1

k=∞
(I + A
k
) và tích
∞

k=1
(I + A
k
) hội tụ h.c.c.
Định lý tiếp theo, ta sẽ cung cấp điều kiện cho các tích trên là hội tụ trong L
p
(p ≥ 1).
4.2.4 Định lý. Giả sử E có tính chất R-N và A
k
x ∈ L
E
p
(Ω), (p ≥ 1) giả
sửE(A
k
x) = 0 với mọi k ≥ 1 và x ∈ E. Nếu
∞

k=1
A

k

p
< ∞
thì tích
1

k=∞
(I + A
k
) và tích
∞

k=1
(I + A
k
) là hội tụ L
p
.
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
I. Kết luận
Luận án nghiên cứu sự hội tụ của trường các hiệu maritngale nhận giá trị trong
không gian Banach p-khả trơn và nghiên cứu sự hội tụ của dãy toán tử ngẫu nhiên.
Kết quả chính của luận án là:
1. Thiết lập luật mạnh số lớn dạng Kolmogorov và Marcinkiewiz-Zygmund cho
trường hộp các α-hiệu martingale, luật số lớn dạng Brunk-Prokhorov cho trường
các hiệu Martingale nhận giá trị trong không gian Banach p-khả trơn và luật yếu
số lớn cho trường các biến ngẫu nhiên α-tương thích mạnh.
2. Thiết lập các kết quả về hội tụ hoàn toàn, hội tụ hoàn toàn trung bình, từ
đó đánh giá tốc độ hội tụ của luật số lớn, hơn nữa, chúng tôi cũng đạt được kết

quả về tốc độ hội tụ của chuỗi ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach
p-khả trơn.
3. Thiết lập các điều kiện để toán tử ngẫu nhiên, toán tử ngẫu nhiên mở rộng
và martingale toán tử ngẫu nhiên bị chặn hội tụ. Đồng thời đưa ra định nghĩa tích
các toán tử ngẫu nhiên không bị chặn độc lập, thiết lập các điều kiện để tích vô
hạn các toán tử ngẫu nhiên không bị chặn độc lập là hội tụ.
II. Kiến nghị
Trong thời gian tới chúng tôi mong muốn tiếp tục nghiên cứu những vấn đề sau:
1. Nghiên cứu định lí giới hạn trung tâm đối với dãy và trường các biến ngẫu
nhiên E-giá trị.
2. Nghiên cứu các định lý giới hạn và áp dụng các định lý giới hạn trong lý
thuyết toán tử ngẫu nhiên.
24
DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN
ĐẾN LUẬN ÁN
1. Ta Cong Son, Dang Hung Thang.(2013), "The Brunk-Prokhorov strong law of
large numbers for fields of martingale differences taking values in a Banach
space". Statistics and Probability letters, 83, 1901–1910.
2. Ta Cong Son, Dang Hung Thang (2013) "On the convergence of series of mar-
tingale differences with multidimensional indices", submitted to Acta mathe-
matica sinica english series.
3. Ta Cong Son, Dang Hung Thang, Le Van Dung (2012), "Rate of complete
convergence for maximums of moving average sums of martingale difference
fields in Banach spaces", Statistics and Probability letters 82(4), 1978-1985.
4. Ta Cong Son, Dang Hung Thang, Le Van Dung (2012), "Complete convergence
in mean for double arrays of random variables with values in Banach spaces",
Applications of Mathematics. Accepted.
5. Ta Cong Son, Dang Hung Thang, Phan Viet Thu. (2013), "Weak laws of large
numbers for fields of random variables in banach spaces", Journal of Probability
and Statistical Science,Accepted.

6. Ta Cong Son, Dang Hung Thang, Nguyen Duy Tien (2012), "On the strong law
of large numbers for block-wise(α, β)-martingale difference arrays in p-uniformly
smooth Banach spaces", submitted to Georgian Mathematical Journal.
7. Dang Hung Thang, Ta Cong Son (2013) "On the convergence of the product
of independent random operators", submitted to International Journal of
Mathematics
8. Dang Hung Thang, Ta Cong Son, (2013) "Convergence for martingale sequences
of random bounded operators"
25