SKKN Rèn luyện cho học sinh kỹ năng khai thác hình chiếu của điểm trên đường thẳng để giải quyết một số bài toán cực trị hình học

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI:
"RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH KỸ NĂNG KHAI THÁC HÌNH
CHIẾU CỦA ĐIỂM TRÊN ĐƯỜNG THẲNG ĐỂ GIẢI QUYẾT
MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC"

1

PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ
Bài toán cực trị hình học là những bài toán khó đối với học sinh THPT chính vì vậy
trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy học sinh thường ngại làm những bài tập dạng này.
Để học sinh tiếp cận tốt mảng bài tập về cực trị hình học thì trước hết phải làm cho học
sinh thấy được một số bài toán cực trị hình học thực chất là những bài toán hình học
phẳng cơ bản dễ khai thác với kiến cơ bản dễ áp dụng chứ không phải là những bài tập
phức tạp trừu tượng khó giải quyết. Chính vì vậy tôi chọn đề tài : “Rèn luyện cho học
sinh kĩ năng khai thác hình chiếu của điểm trên đường thẳng để giải một số bài toán cực
trị hình học”.Với những khai thác rất cơ bản về tính chất hình chiếu của điểm trên đường
thẳng đã mở ra các hướng giải quyết rất đơn giản cho một số bài toán cực trị có liên quan
đến khoảng cách. Từ đó sẽ làm cho học sinh có cách nhìn khác vễ các bài toán cực trị
hình học tạo hứng thú trong học tập, tăng khả năng tìm tòi, sáng tạo khai thác các tính
chất hình học vào giải toán. Quy các bài toán lạ, phức tạp về các bài toán đã biết cách
giải.
PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1. Thực trạng vấn đề.
Khi gặp các bài toán về cực trị hình học học sinh thường lúng túng trong hướng giải
quyết và ngại học phần này.
2. Phương pháp nghiên cứu.
Đề tài đã sử dụng phương pháp phân tích và tổng hợp.
3. Đối tượng.
ôn tập cho học sinh lớp 10 và ôn thi đại học cho học sinh lớp 12 trường THPT Ba

Đình.

2

4. Cách thức thực hiện.
Để thực hiện đề tài này, tôi phân thành hai dạng bài tập tương ứng với các hướng vận
dụng của hình chiếu của điểm trên đường thẳng.
5. Nội dung.
A. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1. Cho đường thẳng
∆
, điểm A thuộc
∆
, điểm M không thuộc
∆
.
Gọi H là hình chiếu của M trên
∆
.
Khi đó: d(M;
∆
)= MH
≤
MA.
Suy ra:
+d(M;
∆
) lớn nhất bằng MA khi điểm A trùng với điểm H hay A là hình chiếu của điểm
M trên đường thẳng
∆

.
+ MA nhỏ nhất bằng MH khi điểm A trùng với điểm H hay A là hình chiếu của điểm M
trên đường thẳng
∆
.
Đó là hai hướng khai thác linh hoạt từ tính chất cơ bản d(M;
∆
)
≤
MA.
2. Phương pháp tìm toạ độ hình chiếu của điểm trên đường thẳng
Cho đường thẳng
∆
và điểm M, gọi H là hình chiếu của M trên
∆
. Điểm H được xác định
như sau:
Cách 1:
. +Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và vuông góc với
∆
.
+Toạ độ giao điểm của đường thẳng d và
∆
chính là điểm H cần tìm.

3
A
M
∆

Cách 2:
+Gọi toạ độ điểm H(x;y). Do H
∈
∆
nên toạ độ H biểu thị theo một biến x.
+Do HM
⊥
∆
nên
0. =uMH
(
u
là một vectơ chỉ phương của
∆
).
Suy ra toạ độ điểm H.
B. Một số dạng toán cơ bản
Khai thác tính chất của hình chiếu của điểm trên đường thẳng có nhiều bài toán cực trị về
hình học phẳng đã được giải quyết rất ngắn gọn và độc đáo dễ vận dụng tạo cho học sinh
hứng thú hơn trong học tập. Giúp phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh .
Các bài tập được chọn trong đề tài này có thể bắt nguồn từ các bài tập trong sách giáo
khoa và sách bài tập. Mức độ bài tập được nâng dần lên, quy lạ thành quen và có sự tổng
quát hóa bài toán sau mỗi dạng toán. Các dạng toán được phân chia sao cho học sinh dễ
tiếp thu và vận dụng linh hoạt trên cơ sỏ hai hướng khai thác cơ bản từ tính chất d(M;
∆
)
≤
MA.
Dạng 1: Tìm toạ độ điểm.
1.Bài toán 1: Cho đường thẳng

∆
và hai điểm A, B. Tìm điểm M thuộc đường thẳng
∆
sao cho vectơ
MBbMAau +=
(a+b
0≠
) có độ dài nhỏ nhất.
Phương pháp: Chọn điểm I sao cho
0=+ IBbIAa
suy ra điểm I cố định.
Ta có
MIbaIBMIbIAMIaMBbMAau )()()( +=+++=+=

MIbau +=⇒
.

u
nhỏ nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất hay điểm M là hình chiếu của điểm I trên
đường thẳng
∆
.

4

Ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1: Cho đường thẳng
∆
: x-y-2 = 0 và hai điểm A(1;2), B(-1;0). Tìm toạ độ điểm M
thuộc đường thẳng

∆
sao cho vectơ
MBMAu +=
có độ dài nhỏ nhất.
Giải
Chọn điểm I sao cho
0=+ IBIA
⇒
I(0;1)
(điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB)
Ta có :
MIMBMAu 2=+=
MIu 2=⇒
.

u
nhỏ nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất hay điểm M là hình chiếu của điểm I trên đường
thẳng
∆
.
Phương trình đường thẳng d đi qua điểm I và vuông góc với đường thẳng
∆
là: x+ y-
1= 0
Toạ độ hình chiếu của điểm I trên đường thẳng
∆
là nghiệm của hệ :









−
=
=
⇒



=−−
=−+
2
1
2
3
02
01
y
x
yx
yx
.
Vậy M
)
2
1
;

2
3
(
−
là điểm cần tìm.
Ví dụ 2: Cho đường thẳng
∆
: 2x- y+1 = 0 và hai điểm A(-1;2), B(1;4). Tìm toạ độ điểm
M thuộc đường thẳng
∆
sao cho vectơ
MBMAu 32 −=
có độ dài nhỏ nhất.
Giải

5

Chọn điểm I sao cho
032 =− IBIA
⇒
I(5;8)
Ta có :
MIIBMIIAMIMBMAu −=+−+=−= )(3)(232
MIu =⇒
.

u
nhỏ nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất hay điểm M là hình chiếu của điểm I trên đường
thẳng
∆

.
Phương trình đường thẳng d đi qua điểm I và vuông góc với đường thẳng
∆
là: (x-
5)+2(y-8)=0
0212 =−+⇒ yx
Toạ độ hình chiếu của điểm I trên đường thẳng
∆
là nghiệm của hệ phương trình:







=
=
⇒



=+−
=−+
5
43
5
19
012
0212

y
x
yx
yx
.
Vậy M
)
5
43
;
5
19
(
là điểm cần tìm.
Nhận xét: Từ bài toán 1 ta có thể nâng mức độ khó của bài toán bằng cho thêm điểm C,
xét vectơ
MCaMBaMAau
321
++=
(a
1
+ a
2
+ a
3

0≠
)
và cũng câu hỏi như trên.
Ví dụ 3 (b.37sbt) Cho tam giác ABC và đường thẳng d. Tìm toạ độ điểm M trên đường

thẳng d sao cho vectơ
MCMBMAu 2++=
có độ dài nhỏ nhất.
Giải
Chọn điểm I sao cho
02 =++ ICIBIA
⇒
điểm I cố định.

6

Ta có :
MIMCMBMAu 42 =++=
MIu 4=⇒
.

u
nhỏ nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất hay điểm M là hình chiếu của điểm I trên đường
thẳng
∆
.
Nhận xét: Từ các ví dụ đó có thể giải quyết bài toán tổng quát :
Bài toán tổng quát:
Cho n điểm A
1
, A
2
, , A
n
(n

)1, >∈ nN
và đường thẳng
∆
. Tìm điểm M thuộc
∆
sao cho
vectơ
)0(
1
11
≠++=
∑
=
n
i
inn
aMAaMAau
có độ dài nhỏ nhất.
Hướng dẫn: Cách tìm điểm M như bài toán 1 với chọn điểm I sao cho

.0
11
=++
nn
IAaIAa
Nếu a
1
= a
2
= = a

n
thì điểm I xác định như trên là trọng tâm của hệ n điểm A
1
, A
2
, , A
n
.
Nhận xét: Có thể giải quyết dạng toán này bằng cách gọi toạ độ điểm M, do M thuộc
∆
nên có thể biểu thị toạ độ điểm M theo một biến. Do đó
u
là biểu thức bậc hai theo biến
đó. Từ đó tìm được giá trị nhỏ nhất của
u
và toạ độ của điểm M. Tuy nhiên cách này đôi
khi phức tạp về mặt tính toán, dễ sai sót còn cách trình bày trên học sinh dễ tiếp thu và
trình bày không phức tạp về mặt tính toán tạo hứng thú tìm tòi sáng tạo cho học sinh giải
toán.
*Các bài tập tương tự.
Cho các điểm A(-1;2), B(0;1), C(3;5), D(-4;3). Tìm các điểm M, N, E, F sao cho các
vectơ sau có độ dài nhỏ nhất:

7


MBMAu 52 −=

NCNBNAu 32 +−=

EDECEBEAu +++=

FDFCFBFAu 243 ++−=
2.Bài toán 2: Cho đường thẳng
∆
và hai điểm A, B. Tìm điểm M thuộc đường thẳng
∆
sao cho biểu thức :

22
bMBaMAX +=
( Với a+ b > 0 ) đạt giá trị nhỏ nhất.

22
bMBaMAX +=
( Với a+ b < 0) đạt giá trị lớn nhất.
Phương pháp: Chọn điểm I sao cho
0=+ IBbIAa
suy ra điểm I cố định.
Ta có:
22
22
)()( IBMIbIAMIaMBbMAaX +++=+=


222
222
)(
).(2)(
bMBaMAMIba

MBbMAaIBbIAaMIMIba
+++=
+++++=

Do các điểm A, B, I cố định nên giá trị của biểu thức X phụ thuộc vào MI
Suy ra :
+)Nếu a+ b > 0 thì biểu thức X nhỏ nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất hay điểm M là hình
chiếu của điểm I trên đường thẳng
∆
.
+)Nếu a+ b < 0 thì biểu thức X lớn nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất hay điểm M là hình
chiếu của điểm I trên đường thẳng
∆
.
Ví dụ minh hoạ:

8

Ví dụ 1: Cho đường thẳng
∆
: 2x- y- 1 = 0 và hai điểm A(3;1), B(-2;2). Tìm toạ độ điểm
M thuộc đường thẳng
∆
sao cho biểu thức
22
2 MBMAX +=
đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải
Chọn điểm I sao cho
02 =+ IBIA

⇒
I(
3
4
;
3
4
)
Ta có :
22222
232 IBIAMIMBMAX ++=+=
.
Do các điểm A, B, I cố định nên biểu thức X nhỏ nhất khi và chỉ khi độ dài MI nhỏ nhất
hay điểm M là hình chiếu của điểm I trên đường thẳng
∆
.
Phương trình đường thẳng d đi qua điểm I và vuông góc với đường thẳng
∆
là:
0420)
3
4
(2)
3
4
(1 =−+⇒=−+− yxyx
Toạ độ hình chiếu của điểm I trên đường thẳng
∆
là nghiệm của hệ :








=
=
⇒



=−+
=−−
5
7
5
6
042
012
y
x
yx
yx
.
Vậy M
)
5
7

;
5
6
(
là điểm cần tìm.
Ví dụ 2: Cho đường thẳng d: x- 3y+ 2= 0 và hai điểm A(2;1), B(-3;2). Tìm toạ độ điểm
N thuộc đường thẳng d sao cho biểu thức
22
2MBMAY −=
đạt giá trị lớn nhất.
Giải
Chọn điểm I sao cho
02 =− IBIA
⇒
I(-8;3)
Ta có :
22222
22 IBIAMIMBMAY −+−=−=
.

9

Do các điểm A, B, I cố định nên biểu thức X lớn nhất khi và chỉ khi độ dài MI nhỏ nhất
hay điểm M là hình chiếu của điểm I trên đường thẳng
∆
.
Phương trình đường thẳng d đi qua điểm I và vuông góc với đường thẳng
∆
là:
02130)3.(1)8.(3 =++⇒=−++ yxyx

Toạ độ hình chiếu của điểm I trên đường thẳng
∆
là nghiệm của hệ :

.
2
3
2
13
0213
023







−
=
−
=
⇒



=++
=+−
y
x

yx
yx
Vậy M
)
2
3
;
2
13
(
−−
là điểm cần tìm.
Nhận xét: Từ bài toán 1 ta có thể nâng mức độ khó của bài toán bằng cho thêm điểm C và
xét biểu thức
2
3
2
2
2
1
MCaMBaMAaX ++=
và cũng câu hỏi như trên.
Ví dụ 3 Cho tam giác ABC với A(1;2), B(3;-2), C(5;3). Gọi M là trung điểm của AB, G
là trọng tâm của tam giác ABC. Tìm toạ độ điểm P trên đường thẳng BC sao cho biểu
thức
222
PMPGPAX ++=
đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải
Ta có M(2;0), G(3;1)

Phương trình đường thẳng BC: 5x- 2y- 19= 0
Chọn điểm I sao cho
0=++ IMIGIA
⇒
I(2;1) (I là trọng tâm tam giác AGM).
Ta có :
2222222
3 IMIGIAPIPMPGPAX +++=++=
.

10

Do các điểm A, G, M cố định nên biểu thức X nhỏ nhất khi và chỉ khi độ dài PI nhỏ nhất
hay điểm P là hình chiếu của điểm I trên đường thẳng
∆
.
Phương trình đường thẳng d đi qua điểm I và vuông góc với đường thẳng
∆
là:
09520)1(5)2(2 =−+⇒=−+− yxyx
Toạ độ hình chiếu của điểm I trên đường thẳng
∆
là nghiệm của hệ:









=
=
⇒



=−−
=−+
29
7
29
113
01925
0952
y
x
yx
yx
.
Vậy M
)
29
7
;
29
113
(
là điểm cần tìm.
Nhận xét: Từ các ví dụ đó có thể giải quyết bài toán tổng quát :

Bài toán tổng quát:
Cho n điểm A
1
, A
2
, , A
n
(n
)1, >∈ nN
và đường thẳng
∆
.
Tìm điểm M thuộc
∆
sao cho biểu thức
2
1
2
11
MAaMAaX
n
++=
đạtgiá trị nhỏ nhất (nếu
0
1
>
∑
=
n
i

i
a
), đạt giá trị lớn nhất (nếu
0
1
<
∑
=
n
i
i
a
).
Hướng dẫn: Cách tìm điểm M như bài toán 1 với chọn điểm I sao cho

.0
11
=++
nn
IAaIAa
Nếu a
1
= a
2
= = a
n
thì điểm I xác định như trên là trọng tâm của hệ n điểm A
1
, A
2

, , A
n
.
Nhận xét: Có thể giải quyết dạng toán này bằng cách gọi toạ độ điểm M, do M thuộc
∆

nên có thể biểu thị toạ độ điểm M theo một biến. Do đó X là biểu thức bậc hai theo biến
đó. Từ đó tìm được giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của X và toạ độ của điểm M. Tuy nhiên

11

cách này đôi khi phức tạp về mặt tính toán, dễ sai sót còn cách trình bày trên học sinh dễ
tiếp thu và trình bày không phức tạp về mặt tính toán tạo hứng thú trong học tập, tăng khả
năng tìm tòi sáng tạo cho học sinh khi giải toán.
*Các bài tập tương tự.
Bài 1: Cho các điểm A(1;-2), B(3;1), C(-3;4), D(-1;2). Tìm các điểm M, N, E, F sao cho
các biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất:
a.
22
1
2MBMAX +=
b.
222
2
23 NDNCNBX +−=
c.
2222
3
32 EDECEBEAX +++=
Bài 2: Cho các điểm M(-1;-2), N1;3), P(-2;5), E(-3;2). Tìm các điểm I, K, F sao cho các

biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất:
a.
22
1
32 INIMX −=
.
b.
222
2
32 KEKMKPX −−=
.
c.
2222
3
34 FEFPFNFMX −+−=
.
Nhận xét: Hình chiếu của điểm có thể chính là điểm cần tìm của bài toán, tuy nhiên có
bài toán nó không trực tiếp là điểm cần tìm nhưng lại rất quan trọng hộ trợ cho việc tìm
điểm đối xứng với điểm qua đường thẳng từ đó khai thác tính chất hình học để giải bài
toán cực trị như hai dạng toán sau:
3.Bài toán 3: Cho đường thẳng
∆
và hai điểm A, B. Tìm điểm M thuộc đường thẳng
∆
sao cho MA+ MB đạt giá trị nhỏ nhất.
Phương pháp:

12
A
B

M
∆

+)Nếu hai điểm A, B nằm khác phía đối với
∆
thì MA+ MB
AB≥
.
Suy ra MA+ MB nhỏ nhất bằng AB khi M =
∆∩
AB
.

+)Nếu hai điểm A, B nằm cùng phía đối với
∆
Gọi A
1
là điểm đối xứng với A qua đường thẳng
∆
.
Ta có MA= A
1
M
⇒
MA+ MB = MA
1
+ MB
BA
1
≥

.
Suy ra MA+ MB nhỏ nhất bằng A
1
B khi
M=
∆∩BA
1
.
Ví dụ minh hoa:
Ví dụ 1: Cho đường thẳng
∆
: 3x- 4y+1= 0 và hai điểm A(1;2), B(-1;0).
Tìm điểm M thuộc đường thẳng
∆
sao cho MA+ MB đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải
Nhận thấy hai điểm A, B nằm cùng phía đối với
∆
. Gọi A
1
là điểm đối xứng với A qua
đường thẳng
∆
. Ta có MA = A
1
M
⇒
MA + MB = MA
1
+ MB

BA
1
≥
. Suy ra MA + MB nhỏ nhất bằng A
1
B
khi M =
∆∩BA
1
.

13
1
A
A
M
B
∆

Phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng
∆
là: 4(x-1)
+ 3(y-2) = 0
⇒
4x + 3y - 10 = 0
Toạ độ hình chiếu H của điểm A trên đường thẳng
∆
là nghiệm của hệ :
)
25

34
;
25
37
(
25
34
25
37
0143
01034
H
y
x
yx
yx
⇒







=
=
⇒




=+−
=−+
.
Do H là trung điểm của AA
1
nên A
1
(
25
18
;
25
49
).
Phương trình đường thẳng A
1
B là: 9x - 37y + 9 = 0
Toạ độ điểm M cần tìm là nghiệm của hệ :








=
−
=
⇒




=+−
=+−
25
6
75
1
0143
09379
y
x
yx
yx
.
Vậy M(
25
6
;
75
1−
) là điểm cần tìm.
Ví dụ 2:(b.3sgk tr 118) Cho đường thẳngd: x - y + 2 = 0 và điểm A(2;0).
Tìm điểm M thuộc đường thẳng d sao cho chu vi tam giác OMA đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải
Chu vi tam giác OAM bằng: OA + OM + AM.
Vì OA = 2 không đổi nên chu vi tamgiác OAM nhỏ nhất khi OM + MA nhỏ nhất.
Nhận thấy hai điểm O, A nằm cùng phía đối với d.

14

Gọi O
1
là điểm đối xứng với O qua đường thẳng d. Ta có MO= MO
1

⇒
MA+ MO =
MO
1
+ MA
AO
1
≥
. Suy ra MA + MO nhỏ nhất bằng O
1
A khi M =
dAO ∩
1
.
Phương trình đường thẳng d
1
đi qua điểm O và vuông góc với đường thẳng d là:
x + y = 0
Toạ độ hình chiếu H của điểm O trên đường thẳng d là nghiệm của hệ :

)2;2()1;1(
1
1

02
0
1
−=⇒−⇒



=
−=
⇒



=+−
=+
OH
y
x
yx
yx

Phương trình đường thẳng O
1
A là: x + 2y- 2 = 0
Toạ độ điểm M cần tìm là nghiệm của hệ :








=
−
=
⇒



=+−
=−+
3
4
3
2
02
022
y
x
yx
yx
.
Vậy M(
3
4
;
3
2−
) là điểm cần tìm.
*Các bài tập tương tự.

Bài 1: Cho các điểm A(2;4), B(-4;7) C(-1;0).
a.Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng AB sao cho MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất.
b.Tìm toạ độ điểm N thuộc đường thẳng AC sao cho NA + NC đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 2: Cho tam giác A(-2;1), B(4;5), C(-1;0). Gọi H là trực tâm của tam giác
a.Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng AB sao cho chu vi tam giác MHC đạt giá trị nhỏ
nhất.
b.Tìm toạ độ điểm N thuộc đường thẳng AC sao cho chu vi tam giác NBO đạt giá trị nhỏ
nhất.

15

4.Bài toán 4: Cho đường thẳng
∆
và hai điểm A, B. Tìm điểm M thuộc đường thẳng
∆
sao cho
MBMA −
đạt giá trị lớn nhất.
Phương pháp:
+)Nếu hai điểm A, B nằm cùng phía đối với
∆
thì
ABMBMA ≤−
.
Suy ra
MBMA −
lớn nhất bằng AB
khi M =
∆∩AB
.

+)Nếu hai điểm A, B nằm khác phía đối với
∆
gọi A
1
là điểm đối xứng với A qua đường thẳng
∆
.
Ta có MA = A
1
M
⇒
BAMBMAMBMA
11
≤−=−
.
Suy ra
MBMA −
lớn nhất bằng A
1
B khi M =
∆∩BA
1
.
Ví dụ minh hoa:
Ví dụ 1:(b.40bsbt -tr106)
Cho hai điểm P(1;6), Q(-3;-4) và đường thẳng
∆
: 2x- y- 1 = 0.
Tìm toạ độ điểm N trên
∆

sao cho
NQNP −
lớn nhất.
Giải
Nhận thấy hai điểm P, Q nằm cùng phía đối với
∆
.
Ta có
PQNBNA ≤−
. Suy ra
NQNP −
lớn nhất bằng PQ khi N=
∆∩PQ
.
Phương trình đường thẳng PQ là: 5x- 2y + 7 = 0.
Toạ độ điểm N là nghiệm của hệ phương trình:

16
A
B
M
∆
.
A
B
M
∆
A
1

.
19
9
012
0725



−=
−=
⇔



=−−
=+−
y
x
yx
yx
Vậy N(-9;-19) là điểm cần tìm.
Ví dụ 2: Cho đường thẳng d: 2x- y +1 = 0 và điểm A(1;2), B(0;3). Tìm điểm M thuộc
đường thẳng d sao cho
MBMA −
lớn nhất.
Giải
Nhận thấy hai điểm A, B nằm khác phía đối với d
Gọi A
1

là điểm đối xứng với A qua đường thẳng d. Ta có MA = A
1
M
⇒
BAMBMAMBMA
11
≤−=−
.
Suy ra
MBMA −
lớn nhất bằng A
1
B khi M =
∆∩BA
1
.
Gọi H là hình chiếu của A trên d, toạ độ H(x; 2x+1). Suy ra:
).
5
11
;
5
3
(
5
3
0. HxuAH
d
⇒=⇒=
(

)2;1(=
d
u
là một vectơ chỉ phương của d)
Do H là trung điểm của AA
1
nên A
1
(
5
12
;
5
1
).
Phương trình đường thẳng A
1
B là: 3x + y- 3 = 0
Toạ độ điểm M cần tìm là nghiệm của hệ :








=
=
⇒




=−+
=+−
5
9
5
2
033
012
y
x
yx
yx
.

17

Vậy M(
5
9
;
5
2
) là điểm cần tìm.
*Các bài tập tương tự.
Bài1: Cho các điểm A(0;1), B(-3;8), C(-3;3), D(9;5)
a.Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng AB sao cho
MOMC −

lớn nhất
b.Tìm toạ độ điểm N thuộc đường thẳng CD sao cho
NBNA −
nhỏ nhất.
Bài 2: Cho tam giác A(-1;1), B(-4;3), C(0;1). Gọi H, K lần lượt là chân đường cao, chân
đường phân giác kẻ từ đỉnh A và đỉnh C, I là trung điểm của AC.
a.Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng AC sao cho
MKMH −
lớn nhất.
b.Tìm toạ độ điểm N thuộc đường thẳng BI sao cho
NKNH −
lớn nhất.
DạngII: Viết phương trình đường thẳng
1.Bài toán 1: Cho hai điểm A, B. Viết phương trình đường thẳng
∆
đi qua điểm A sao
cho khoảng cách từ B đến
∆
là lớn nhất.
Phương pháp:
Gọi H là hình chiếu của B trên
∆
.
Ta có:
ABBHBd ≤=∆);(

Suy ra
);( ∆Bd
lớn nhất bằng AB khi và chỉ khi
A trùng với H hay đường thẳng

∆
đi qua A
và vuông góc với AB.
Ví dụ minh hoạ:

18
A
B
∆

Ví dụ 1: Cho hai điểm A(1:2), B(-1;3). Viết phương trình đường thẳng
∆
đi qua điểm A
sao cho khoảng cách từ B đến
∆
là lớn nhất.
Giải
Gọi H là hình chiếu của B trên
∆
.
Ta có:
ABBHBd ≤=∆);(

Suy ra
);( ∆Bd
lớn nhất bằng AB khi và chỉ khi A trùng với H hay đường thẳng
∆
đi qua
A và vuông góc với AB.
⇒

Phương trình đường thẳng
∆
là: 2x - y = 0.
Vậy đường thẳng
∆
: 2x - y = 0 thoả mãn yêu cầu.
Ví dụ 2(b.41 sbt-tr106): Cho đường thẳng
m
∆
: (m-2)x+ (m-1)y+ 2m-1 = 0
và điểm A(2;3).
a.Chứng minh rằng
m
∆
luôn đi qua một điểm cố định với mọi m.
b.Tìm m để khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng
m
∆
là lớn nhất.
Giải
a.Giả sử
m
∆
luôn đi qua điểm cố định M(x
o
;y
o
) với mọi m.
Khi đó: (m-2)x
o

+ (m-1)y
o
+ 2m-1= 0
m∀




−=
=
⇔



=−−−
=++
⇔
∀=−−−++⇔
3
1
012
02
012)2(
o
o
oo
oo
oooo
y
x

yx
yx
myxmyx
.
Vậy
m
∆
luôn đi qua điểm cố định M(1;-3) với mọi m.
b.Gọi H là hình chiếu của A trên
m
∆


19

Ta có :
AMAHAd
m
≤=∆ );(

Suy ra
);(
m
Ad ∆
lớn nhất bằng AM khi và chỉ khi H trùng với M hay
m
AM ∆⊥
Lại có
)6;1(−=AM
,

m
∆
có vectơ chỉ phương
)2;1( −−= mmu
.
5
11
0. =⇔=⇔∆⊥ muAMAM
m
Vậy
5
11
=m
là giá trị cần tìm.
Ví dụ 3: Cho điểm A(-1;0) và đường tròn (c): (
4
107
)1()
2
9
(
22
=−++ yx
.
Một đường thẳng
∆
thay đổi đi qua A cắt đường tròn (c) tại M, N. Hãy viết phương trình
của
∆
sao cho đoạn thẳng MN ngắn nhất.

Giải
Nhận thấy điểm A nằm trong đường tròn (c) nên đường thẳng
∆
đi qua A luôn cắt (c) tại
hai điểm phân biệt.
Đường tròn (c) có tâm I(
)1;
2
9−
, bán kính R=
2
107
Gọi H là trung điểm của MN thì
MNIH ⊥
. Ta có MN= 2MH= 2
22
IHR −
Do đó MN nhỏ nhất khi và chỉ khi IH lớn nhất.
Mà
IAIH
≤
nên IH lớn nhất khi và chỉ khi H trùng với A hay
IH
⊥∆
.
Suy ra phương trình đường thẳng
∆
là : 7x - 2y + 7 = 0.
Vậy đường thẳng
∆

cần tìm là :7x - 2y + 7 = 0.

20

Nhận xét: Từ bài toán 1 ta có thể thay đổi cách hỏi để làm bài toán phức tạp hơn nhưng
bản chất vẫn là bài toán 1 như ví dụ 3. Sự thay đổi như vậy làm cho học sinh linh hoạt
hơn, tư duy sáng tạo hơn.
* Các bài tập tương tự.
Bài 1: Cho đường thẳng
m
∆
: mx+ (m-1)y- 1= 0 và điểm A(2;3).
Tìm m để khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng
m
∆
là lớn nhất.
Bài 2: Cho đường tròn (c):
042
22
=+−+ yxyx
và điểm M(1;-1)
Viết phương trình đường thẳng d đi qua M sao cho cắt đường tròn (C) tại hai điểm P, Q
phân biệt sao cho chu vi tam giác IPQ nhỏ nhất (I là tâm của đường tròn (C)).
Từ bài toán 1 ta có thể nâng mức độ khó của bài toán lên ở bài toán 2 sau đây
Bài toán 2: Cho ba điểm A, B, C. Viết phương trình đường thẳng
∆
đi qua điểm A sao
cho d(B;
∆
)+ d(C;

∆
) lớn nhất.
Phương pháp:
Xét hai trường hợp:
+)Nếu B, C nằm về hai phía so với
∆
.
Gọi M = BC
∆∩
.
Ta có : d(B;
∆
)+ d(C;
∆
)
BCCMBM =+≤
.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi BC
∆⊥
.
+)Nếu B, C nằm về một phía so với
∆
.
Gọi N là trung điểm của BC.

21
B
∆
N
C

∆
B
C
M
A

Suy ra: d(B;
∆
)+ d(C;
∆
)=
NANd 2);(2 ≤∆
.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi NA
∆⊥
.
So sánh giá trị của BC và 2NA suy ra đường thẳng
∆
cần tìm.
Ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1: Cho ba điểm A(1;1), B(-2;2), C(8;6). Viết phương trình đường thẳng
∆
đi qua
điểm A sao cho d(B;
∆
)+ d(C;
∆
) lớn nhất.
Giải:
Xét hai trường hợp:

+)Nếu B, C nằm về hai phía so với
∆
.Gọi M=BC
∆∩
.
⇒
d(B;
∆
)+ d(C;
∆
)
BCCMBM =+≤
.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi BC
∆⊥
.
+)Nếu B, C nằm về một phía so với
∆
.Gọi N là trung điểm của BC,
toạ độ N(3;4)
⇒
d(B;
∆
)+ d(C;
∆
)=
NANd 2);(2 ≤∆
.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi NA
∆⊥

.
Ta có BC=
116
, 2NA=
132
. Suy ra d(B;
∆
)+ d(C;
∆
) lớn nhất bằng
116
khi và chỉ
khi BC
∆⊥
.
Phương trình đường thẳng
∆
là : 5(x-1)+ 2(y-1)= 0
⇒
5x+ 2y- 7= 0
Vậy phương trình đường thẳng
∆
cần tìm là : 5x+ 2y- 7= 0.
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC với A(1;1), B(3;2), C(7;10). Viết phương trình đường thẳng
∆
đi qua điểm A sao cho d(B;
∆
)+ d(C;
∆
) lớn nhất.

22

Giải:
Xét hai trường hợp:
+Nếu B, C nằm về hai phía so với
∆
.Gọi M=BC
∆∩
.
⇒
d(B;
∆
)+ d(C;
∆
)
BCCMBM =+≤
.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi BC
∆⊥
.
+Nếu B, C nằm về một phía so với
∆
.Gọi N là trung điểm của BC,
toạ độ N(5;6)
⇒
d(B;
∆
)+ d(C;
∆

)=
NANd 2);(2 ≤∆
.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi NA
∆⊥
.
Ta có BC=
80
, AN=
45

⇒
BC< 2AN.
Suy ra d(B;
∆
)+ d(C;
∆
) lớn nhất khi và chỉ khi NA
∆⊥
.
Vậy phương trình đường thẳng
∆
cần tìm là: 4x+ 5y- 9= 0.
Nhận xét: Từ bài toán 2 có thể giải quyết bài toán phức tạp hơn sau đây:
Ví dụ 3: Cho ba điểm M(-1;0), N(-2;1), P(1;3). Viết phương trình đường thẳng
∆
đi qua
điểm M sao cho 2d(N;
∆
)+3d(P;

∆
) lớn nhất.

Giải:
Chọn hai điểm N
1
, P
1
sao cho:
MPMPMNMN 3,2
11
==
.

23


⇒
N
1
(-3;2), P
1
(5;9).
Ta có d(N
1
;
∆
)= 2d(N;
∆
), d(P

1
;
∆
) = 3d(P;
∆
)
Suy ra 2d(N;
∆
)+ 3d(P;
∆
)= d(N
1
;
∆
)+ d(P
1
;
∆
).
Do đó 2d(N;
∆
)+ 3d(P;
∆
) lớn nhất khi và chỉ khi
d(N
1
;
∆
)+ d(P
1

;
∆
) lớn nhất.
Xét hai trường hợp:
+Nếu N
1
, P
1
nằm về hai phía so với
∆
.
Gọi I = N
1
P
1
∆∩
.
⇒
d(N
1
;
∆
)+ d(P
1
;
∆
)
1111
PNNPIN =+≤
.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi N
1
P
1
∆⊥
.
+Nếu N
1
, P
1
nằm về một phía so với
∆
.
Gọi J là trung điểm của N
1
P
1
, toạ độ J(1;
2
11
)
⇒
d(N
1
;
∆
)+ d(P
1
;
∆

)
≤

JAJd 2);(2 ≤∆
.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi JA
∆⊥
.
Ta có N
1
P
1
=
113
, AJ=
2
137

⇒
N
1
P
1
< 2AJ.
Suy ra d(N
1
;
∆
)+d(P
1

;
∆
) lớn nhất khi và chỉ khi AJ
∆⊥
.
Phương trình đường thẳng
∆
là : 4(x+1) + 11(y-0) = 0
⇒
4x + 11y + 4 = 0
Vậy phương trình đường thẳng
∆
cần tìm là : 4x+11y+ 4 = 0.

24
M
P
P
1
N
N
1
∆
I
M
P
P
1
N
N

1
∆
J

Nhận xét: Cách giải khai thác tính chất hình học để giải quyết. Cách trình bày đơn giản
về tình toán, phát huy tính sáng tạo trong tư duy.
Các bài toán dạng này còn có thể giải quyết bằng cách biến đổi đưa về tìm giá trị lớn nhất
của hàm số.
*) Bài toán tổng quát:
Cho 3 điểm A, B, C. Viết phương trình đường thẳng
∆
đi qua A sao cho biểu thức ad(B;
∆
)+ bd(C;
∆
) đạt giá tri lớn nhất (a > 0, b > 0).
Hướng dẫn:
Chọn hai điểm B
1
, C
1
thỏa mãn :
ACbACABaAB ==
11
,
Suy ra: ad(B;
∆
)+ bd(C;
∆
)= d(B

1
;
∆
)+ d(C
1
;
∆
)
Bài toán trở thành: viết phương trình đường thẳng
∆
đi qua A sao cho biểu thức d(B
1
;
∆
)+
d(C
1
;
∆
) đạt giá tri lớn nhất(bài toán 1).
* Các bài tập tương tự.
Bài 1: Cho ba điểm M(2;-1), N(-2;0), P(5;-6). Viết phương trình đường thẳng
∆
đi qua
điểm A sao cho d(B;
∆
)+ d(C;
∆
) lớn nhất.
Bài 2: Cho tam giác ABC với A(-1;1), B(-3;4), C(2;5). Gọi M, N, P lần lượt là trung

điểm của AB, BC, AC.
a,Viết phương trình đường thẳng
1
∆
đi qua điểm M sao cho biểu thức
d(N;
1
∆
)+ 2d(P;
1
∆
) đạt giá trị lớn nhất.
b,Viết phương trình đường thẳng
2
∆
đi qua điểm A sao cho biểu thức 2d(N;
2
∆
)+ 5(P;
2
∆
)
đạt giá trị lớn nhất.

25