Sáng kiến kinh nghiệm –Kĩ năng giải phương trình cho HS lớp 9

MụC LụC
tt NộI DUNG TRANG
phần I: Đặt vấn đề
I Lý do chọn đề tài 2
II Thuận lợi - Khó khăn 3
1 Thuận lợi
3
2 Khó khăn
3
III
Cơ sở lý luận và thực tiễn
4
1 Cơ sở lý luận 4
2 Cơ sở thực tiễn 5
Phần II: Giải quyết vấn đề
6
I Kết quả khảo sát đầu năm môn Toán 6
II Biện pháp tiến hành 6
III Kiến thức liên quan 8
IV Giải phơng trình bằng quy tắc giải 10
1 Phơng trình bậc nhất 1 ẩn 10
2 Giải phơng trình tích 12
3 Giải phơng trình chứa ẩn ở mẫu thức 16
4 Phơng trình có hệ số chữ 17
5 Phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối 19
phần iii: kết thúc vấn đề
22
I những kết quả đạt đợc 22
II Bài học kinh nghiệm 22
III Đề xuất kiến nghị 23
IV Giải pháp trong thời gian tới 23

1
Phần I: Đặt vấn đề
I - Lí do chọn đề tài
Môn Toán là một môn khoa học tự nhiên có vai trò hết sức to lớn trong đời
sống và trong khoa học kĩ thuật. Đồng thời môn Toán còn là công cụ thiết yếu
giúp học sinh học tốt các môn khác. Thông qua bộ môn Toán đặc biệt là phân
môn đại số học sinh phát triển các năng lực t duy và phẩm chất trí tuệ. Chính có
điều kiện thế từ xa, nay, Toán học luôn là môn quan trọng trong quá trình học
của học sinh.
Giai đoạn hiện nay, đòi hỏi con ngời phải có khả năng t duy tích cực, nhanh
nhẹn, linh hoạt có khả năng thích ứng với mọi điều kiện sống để giải quyết một
cách hiệu quả các vấn đề đã và đang tồn tại trong cuộc sống hàng ngày. Chính vì
vậy mà việc trang bị cho học sinh những phơng pháp học Toán là kĩ năng giải
toán là hết sức quan trọng.
Là một giáo viên trực tiếp giảng dạy môn Toán ở trờng THCS. Chúng tôi
nhận thấy học sinh gặp rất nhiều kk khi giải toán, đặc biệt là kĩ năng giải phơng
trình và giải bài toán bằng cách lập phơng trình. Đây là một vấn đề khó và hắc
búa đối với học sinh, nhất là với đối tợng học sinh yếu. Chính vì vậy để nâng cao
chất lợng dạy và học môn đó, cụ thể là phần giải phơng trình chúng tôi đã chọn
đề tài " rèn kỹ năng giải phơng trình cho học sinh lớp 8.
2
II - Thuận lợi - khó khĂN
1/ Thuận lợi
- Phòng trờng luôn chú ý tới việc đổi mới.
- Khi thực hiện đề tài hiện nay tôi đang đợc tiếp giảng dạy ở khó 8 là 70
học sinh, ở 2 lớp 8 C và 8H.
- Các gia đình công nhân, viên chức rất quan trọng đến việc học tập của các
em.
- Mỗi lớp đều có đội ngũ cán sự toán nhiệt tình, năng động và tự giác học tập .
2- Khó khăn:

- Trình độ tiếp thu kiến thức của học sinh không đều.
- Học sinh còn lời học, và một số chỉ học vẹt cha biết cách áp dụng, ý thức
vơn lên cha cao.
- Một số gia đình cha thực sự quan tâm đến việc học tập của con mình.

3
III - Cơ sở lí luận và thực tiễn
1/ Cơ sở lí luận
Rèn kĩ năng giải toán là một trong những vấn đề trọng tâm của phơng pháp
giảng dạy bởi lẽ việc giải toán là một việc mà cả ngời học lẫn ngời dạy thờng
xuyên phải làm trong chơng trình phổ thông, trong các cấp học đặc biệt là trong
chơng trình khối lớp 8 thì việc giải toán là hình thức chủ yếu của việc học toán.
Giải toán là một hình thức vận dụng những kiến thức đã biết vào mà vấn đề
cụ thể vào thực tế, vào các vấn đề mới. Trong quá trình giải toán ngời giải toán
đã hổi tởng hay nhớ lại huy động và tổ chức những kiến thức toán học đã biết,
lựa chọn và kết hợp những kiến thức khác nhau để vận dụng. Do đó qua qúa trình
giải toán, kiến thức toán học của ngời giải đợc củng cố đào sâu mở rộng và trở
lên "sống động". Trong phân môn đại số có rất nhiều bài toán liên quan giải ph-
ơng trình, học sinh không giải đợc không chỉ với nhiều học sinh học toán kém,
học sinh lời học, không nắm vững kiến thức cơ bản đã dành còn có nhiều học
sinh chịu khó học bài thuộc bài nhng cũng không làm đợc hoặc làm sai bài tập vì
học sinh cha đọc kĩ để bàn cha hiểu rõ bài toán và không biết bắt đầu từ đâu,
không biết vận dụng các quy tắc, thuật giải, các phơng pháp không chịu tìm
kiếm các cách giải
Bên cạnh đó là một phần do lỗi của giáo viên cha trang bị cho học sinh các
phơng pháp cơ bản, cha tạo cho học sinh thói quen tiến hành đầy đủ các bớc cần
thiết, cha coi trọng phơng pháp suy nghĩ, cha trú trọng đến việc phân tích bài
toán theo nhiều khía cạnh để tạo ra các phơng pháp và lời giải khác nhau. Đặc
biệt là cha chú trọng rèn luyện cho học sinh những kĩ năng thực hành, kĩ năng
tính toán, kĩ năng biến đổi và kĩ năng suy luận, cha chú ý đến việc lựa chọn một

hệ thống bài tập đa dạng, cha gây đợc hứng thú cho học sinh thông qua giải các
bài toán. Chính vì vậy trong quá trình rèn kĩ năng giải toán cho học sinh tìm ra
lời giải của bài toán khó, phơng pháp giải mới, độc đáo của bài toán gây lên sự
hào hứng, phấn chấn, khoái trí điều đó có nghĩa là vun đắp lòng say mê học toán
và ớc mơ vơn tới vinh quang.
2/ Cơ sở thực tiễn
Năm học 2006-2007, tôi đợc BGH phân công giảng dạy 2 lớp 8C và 8H và
chủ nhiệm 8C. Trong đó số học sinh của 2 lớp đa phần là nông nghiệp. Các em
4
học sinh nông thôn thì tiếp thu bài chậm học sinh thụ động, nhng đợc cái chăm
chỉ chịu khó, nhng không tự mình tìm tòi suy nghĩ để tìm ra cách giải bài toán
còn một số học sinh công nghiệp thì tiếp thu bài nhanh hơn, càng có điều kiện và
chịu khó tìm tòi hơn nhng lại hơn nhanh ẩu đoảng. Các em học sinh hầu nh việc
tự giác học tập và rèn luyện cha tốt, thậm chí một số em lời không chuẩn bị bài ở
nhà, về nhà thì mải chơi không làm bài. Nếu có thì làm qua loa đại khái không
cần kiểm tra đúng sai, cách trình bày bài không khoa học, vở cha đợc sạch đẹp,
làm cha đầy đủ các bớc. Các em cha xác định nhanh các dạng toán đã học.
Chính vì vậy bằng cách đi sâu vào nghiên cứu và giúp các em học sinh giải đợc
nhiều bài toán trong một tiết dạy để rèn kỹ năng giải các phơng trình thông qua
quy tắc giải bên cạnh việc sử dụng các đồ dùng dạy học hiện đại thì sử dụng các
bảng phụ vừa tiện, đơn giản, hiệu quả vì cùng một lúc kiểm tra đợc nhiều đối t-
ợng học sinh. Từ đó nhằm nâng cao chất lợng học bộ môn toán nói chung và
phân môn đại số nói riêng và đặc biệt áp dụng vào việc rèn kỹ năng giải các ph-
ơng trình trong chơng trình lớp 8.
Phần II : Giải quyết vấn đề
I- Kết quả khảo sát đầu năm môn Toán:
Ngay từ tháng đầu của năm học nhà trờng đã tiến hành kiểm tra khảo sát
chất lợng hai bộ môn chính. Đó là bộ môn Văn và môn Toán để giáo viên bộ
môn lên kế hoạch và phơng án cho công tác giảng dạy trong năm học 2006-
2007. Kết quả cụ thể điểm Toán nh sau:

Lớp Sĩ số
Trên TB Dới TB
Số lợng Tỉ lệ % Số lợng Tỉ lệ %
8H + 8C 70 34 48,6 36 51,4%
5
Nhìn vào kết quả điểm thi khảo sát trên thì rõ ràng tỉ lệ học sinh điểm dới
TB cha đạt đợc 50%, mà trong khi đó kết quả thi học kỳ II năm học 2005-2006
lớp vẫn đạt trên 70% điểm trên TB. Vậy sau 3 tháng nghỉ hè mà kiến thức các
em đã mai một đi ít nhiều.
Qua đó tôi thấy việc học tập là phải thờng xuyên, liên tục kể cả đợt nghỉ hè
bản thân các em vẫn phải có kế hoạch và lịch học ôn tập kiến thức cũ cho tốt và
tìm hiểu thêm kiến thức mới sắp tới sẽ học và đề nghị gia đình học sinh phải
kiểm tra một cách chặt chẽ.
II- Biện pháp tiến hành.
1- Biện pháp chuyên môn :
Để tìm lời giải của bài toán Đại hay Hình đợc tốt thì ngời giáo viên cũng
nh học sinh phải thực hiện đúng và theo các bớc sau. Đó cũng là thể hiện tính
đơn trị của thuật giải:
(ở đây xin trình bày các bớc thực hiện để giải phơng trình cho tốt).
* Bớc 1: Tìm hiểu đề bài:
Yêu cầu đầu tiên của việc tìm hiểu đề bài là học sinh phải đọc kỹ đề, chép
chính xác đề. Thậm chí cần thiết phải thuộc đề bài .
Nếu đối với giải phơng trình dễ thì tìm hiểu đề bài nhanh, không phức tạp
lắm, nhng đối với giải những phơng trình khó thì việc tìm hiểu đề bài sẽ rất lâu
và phức tạp.
Thông thờng học sinh hay không chú ý đến việc này do vậy không phán
đoán đợc hớng giải phơng trình hoặc giải ra kết quả nhng phơng hớng sai hoặc
cha hợp lý.
ở bớc này thông thờng học sinh phải đặt các hệ thống câu hỏi sau:
- Phơng trình này ở dạng nào? ẩn là x hay y hay z.

- Các hệ số dạng nh thế nào?
- Có ẩn ở mẫu thức không ? Có hệ số chữ không ?
- Có dấu giá trị tuyệt đối không?
- Yêu cầu của đề bài nh thế nào?
- Có những đặc điểm gì giống với các phơng trình đã học hay đã giải?
6
- Cần phải đa về dạng phơng trình nào đã học?
* Bớc 2: Hớng dẫn cách tìm lời giải:
Sau khi tìm hiểu đề bài là bớc phân tích, tìm phơng hớng giải phơng trình.
Bớc này thờng đặt các câu hỏi sau:
- Để thực hiện đợc mục đích và yêu cầu của đề bài thì ta phải áp dụng định
lý nào? Tính chất nào? Hệ quả nào?
- Phơng trình có mấy nghiệm?
- Căn cứ vào đầu để biết có mấy nghiệm?
- Cách giải nh thế nào cho hợp lý và tối u?
- Cần lu ý yếu tố nào?
- Có thể chia bài toán thành một bài toán nhỏ hơn để giải đợc không?
* Bớc 3: Cách giải:
Đi vào thực hiện giải, thực hiện các bớc giải theo quy tắc một cách nghiêm
túc, yêu cầu trình bày phải logic, có lý, các phép biến đổi phải tơng đơng.
Sau khi tìm đợc kết quả thì nên thực hiện các bớc thử lại xem kết quả có
đúng không, nếu sai thì kiểm tra lại các bớc xem đúng bớc nào, sai bớc nào
trong quy tắc giải? Kiểm tra lại những điều kiện ràng buộc của đề bài xem có vi
phạm không? Nếu vi phạm thì cách giải quyết nh thế nào?
* Bớc 4: Khai thác bài toán:
Việc này thờng dành cho giáo viên, có thể phát triển chơng trình thành dạng
nào tơng tự, hoặc đa ra quy tắc giải tổng quát cho từng dạng phơng trình, cho
từng loại bài
Bớc này thờng học sinh giỏi làm tốt, còn đối với học sinh trung bình hoặc
yếu thì cũng ít nghĩ đến. Do vậy chúng ta phải thờng xuyên hớng cho các em

dạng toán tơng tự cho đề về nhà nghiên cứu và tìm hiểu. Cuối cùng giáo viên có
thể giúp, gợi cho học sinh cách giải. Và đây cũng là t duy khái quát hoá rất tốt.
III- Kiến thức liên quan.
1- Các phép biến đổi tơng đơng của phơng trình:
Định nghĩa tập xác định của phơng trình; Tập xác định của một phơng trình
là tập hợp các giá trị của ẩn làm cho mọi biểu thức trong phơng trình có nghĩa.
2- Định nghĩa 2 phơng trình tơng đơng.
2 phơng trình gọi là tơng đơng nếu chúng có cùng một tập hợp nghiệm.
2 phơng trình vô nghiệm cũng đợc gọi là tơng đơng.
7
3- Định nghĩa 2 phơng trình hệ quả.
Nếu phơng trình (1) có tập hợp nghiệm là tập hợp con của tập hợp nghiệm
của phơng trình (2) thì phơng trình (2) là phơng trình hệ quả của phơng trình (1).
4- Biến đổi tơng đơng các phơng trình.
Dựa vào các tính chất cơ bản của đẳng thức số:
a- Phản xạ : a= a
b- Đối xứng: a = b=> b= a
c- Bắc cầu: a= b và b= c => a = c
d- Cộng 2 vế của phơng trình với 1 số c : a= b <=> a= c = b +c.
e- Nhân 2 vế của phơng trình với 1 số c
0
: a = b và c0 <=> a. c = b.c
* Định lý 1: Nếu cộng cùng 1 đá thức của ẩn vào 2 vế của 1 phơng trình thì
ta đợc 1 phơng trình mới tơng đơng với phơng trình đã cho.
* Hệ quả 1: Nếu chuyển vế 1 hạng tử từ vế này sang vế kia củ 1 phơng
trình, đồng thời đổi dấu của hạng tử đó thì ta đợc 1 phơng trình mới tơng đơng
với phơng trình đã cho.
* Hệ quả 2: Nếu xoá 2 hạng tử bằng nhau ở 2 vế của 1 phơng trình thì đợc
phơng trình mới tơng đơng với phơng trình đã cho.
* Định lý 2: Nếu nhân 1 số 0 vào 2 vế của 1 phơng trình thì ta đợc 1 ph-

ơng trình mới tơng đơng với phơng trình đã cho.
* Chú ý: Nếu ta cộng cùng 1 biểu thức có chứa ẩn ở mẫu hoặc nhân 1 đa
thức của ẩn vào 2 vế của 1 phơng trình thì phơng trình mới có thể không tơng đ-
ơng với phơng trình đã cho.
Ngoài ra để giải phơng trình một cách nhuân nhuyễn và thành thạo và với
các dạng phơng trình phức tạp thì biểu thức liên quan đến. Đó là:
Cộng, trừ, nhân, chia các đơn thức, đa thức; hằng đẳng thức đáng nhớ. Các
phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử; quy đồng mẫu thức các phân thức;
các quy tắc đổi dấu của biểu thức đại số
* Nói tóm lại: Để học tốt và giải tốt phơng trình bằng quy tắc giải học sinh
phải nắm vững tất cả các kiến thức đã học trong chơng trình, do vậy giáo viên
giảng dạy phải thờng xuyên truyền thụ kiến thức mới học sinh mà còn phải củng
cố kiến thức đã học.
IV- Giải phơng trình bằng quy tắc giải:
8
1- Phơng trình bậc nhất 1 ẩn:
VD1: Giải các phơng trình: a) 2x + 32 = 0 b) 5x - 36 = 0
c) 0x -9 = 0 d) 0x - 0 = 0
* Tìm hiểu đề bài:
Đây là các phơng trình bậc nhất 1 ẩn, có ẩn là x, có các hệ số là các số, mà
các trờng hợp a 0 và b 0; a = 0 và b0 ; a= 0 và b= 0
* Hớng dẫn cách tìm lời giải:
Loại bài này nhằm mục đích chính là cho học sinh tập luyện hoạt động
khái quát hoá một quá trình diễn ra trên một đối tợng riêng lẻ thành 1 quá trình
diễn ra trên 1 lớp đối tợng. Mục đích này thể hiện ở chỗ tìm thuật giải cho cả 4
phơng trình trên. Ta có thể đặt ra những câu hỏi gợi ý nh sau:
- Về nghiệm của phơng trình ax + b =0 có thể chia thành mấy trờng hợp, đó
là những trờng hợp nào?
( Ba trờng hợp: Có 1 nghiệm duy nhất; vố số nghiệm và vô nghiệm).
- Điều kiện nào quyết định số nghiệm của phơng trình trong từng trờng

hợp?
( Có mấy nghiệm duy nấht khi a nh thế nào? Vô số nghiệm khi a nh thế
nào? và b nh thế nào? Vô nghiệm khi a nh thế nào? và b nh thế nào? )
- Hãy nêu các bớc gỉai phơng trình ax + b = 0 một cách tỉ mỉ?
* Cách giải:
+ Bớc 1: Xác định hệ số a, b của phơng trình .
+ Bớc 2: Nếu a 0 thì phơng trình có nghiệm duy nhất.
Nếu a= 0 và b0 thì phơng trình vô nghiệm.
Nếu a = 0 và b= 0 thì phơng trình có vô số nghiệm.
Dạy hoạt động khái quát hoá nh trên đã dựa trên cơ sở xét đầy đủ các trờng
hợp riêng (nghiệm duy nhất, vô số nghiệm, vô nghiệm). Một phơng án khác để
dạy hoạt động này trên cơ sở xuất phát từ một trờng hợp riêng. Trờng hợp này
cần lựa chọn sao cho học sinh dễ mắc sai lầm khi khái quát hoá. Lúc học sinh
mắc sai lầm, giáo viên giúp học sinh tự sửa chữa sai lầm là một tình huống s
phạm tốt đ lĩnh hội và phát triển kiến thức giải phơng trình bậc nhất một ẩn.
Theo phơng án đó là thì có thể hình thành quy tắc giải phơng trình
ax+b =0 thông qua bài toán sau:
9
*Khai thác bài toán:
VD2: Giải các phơng trình sau: 4x + 3 = 0; - 7x -6 = 0; 7x - 0=0
Nếu chúng ta nhìn vào các phơng trình đó ta thấy sẽ xảy ra các trờng hợp
có nghiệm duy nhất ở cả 3 phơng trình nên khi xây dựng thuật giải học sinh dễ
bỏ quên 2 trờng hợp.
Nếu a= 0 và b= 0 thì phơng trình có vố số nghiệm
Và nếu a = 0 và b 0 thì phơng trình vô nghiệm. Vì thế thuật giải sẽ không
đầy đủ và việc khái quát hoá sẽ không thành công.
VD3: Tính x biết rằng:

= 6)4
5
3
4
6
5
x
* Tìm hiểu đề bài
Bài này ẩn dấu dới dạng tìm x mà không hỏi là giải phơng trình, nhng thực
chất là giải phơng trình, ẩn là x.
* Hớng dẫn cách giải:
Muốn tìm x ta phải tính 4x
Muốn tính 4x ta phải tính
x4
5
3
4
x4
5
3
4
là biểu thức tính đợc.
* Cách giải:
Ta có thể giải nh sau:



= 6)4
5
3

4 x
:
6
5
<=>



= 6)4
5
3
4 x
x
5
6
<=>



= )4
5
3
4 x

5
36
<=> -4x =
5
23
5

36

<=> -4x =
5
13
10
<=> x =
)4(:
5
13

<=> x =
)
4
1
.(
5
13

<=> x =
20
13
Vậy nghiệm của phơng trình là x = -
20
13
2/ Giải phơng trình tích:
Ta đã gặp các phơng trình tích, tức là phơng trình dạng:
f(x). g(x) h(x) = 0 (1)
Ta biết rằng: Một tích bằng 0 khi và chỉ khi ít nhất 1 nhân tử bằng 0.
Do đó ta có:

f(x) . g(x) h(x) <=>
f(x) = 0
g(x) = 0

h(x)= 0
Nh vậy nghiệm của phơng trình tích (1) là tập hợp nghiệm của các phơng
trình : f9x) = 0 ; g(x) = 0 ; h (x) = 0
VD5; Giải phơng trình : (x-1). (2x+7). (x
2
+ 2) =0 (1)
* Tìm hiểu đề bài:
- Phơng trình nhà có tích 3 đa thức trong đó 2 đa thức bậc 1 và 1 đa thức
bậc 2, ẩn của phơng trình là x.
- Phơng trình sẽ có nhiều nhất 4 nghiệm nhng vì có đa thức (x
2
+ 2) luôn d-
ơng vậy phơng trình có 2 ẩn.
* Hớng dẫn cách tìm lời giải:
- Đa phơng trình về phơng trình tích đơn giản hơn gồm 2 tích của 2 đa thức
bậc nhất.
- Rút ra nhận xét nếu biểu thức có dạng x
2
+ a , a> 0 thì x
2
+ a >0 mọi x .
Cách giải:
Vì x
2
+ 2 >0 nên phơng trình <=> (x-1) . (2x + 7 ) =0
Nên phơng trình (1) <=> (x-1) = 0 (2)

11
(2x + 7) = 0 (3)
Đến bớc này ta lại quay về giải phơng trình bậc nhất 1 ẩn bằng thuật giải: h-
ớng cho học sinh tự tìm ra kết quả theo các bớc:
Giải phơng trình (2) ta tìm đợc x= 1
Giải phơng trình (3) ta tìm đợc x = -7/2
Kết luận: Phơng trình (1) có 2 nghiệm là x= 1 và x= -7/2.
* Khai thác bài toán:
Có thể phát triển bài toán thành giải phơng trình (3x -6). (2x + 5) x (x
2
+ a) = 0.
Với a>0 thì giải bài này cũng có cách giải tơng tự.
VD6: Giải phơng trình;
1
4
1
52
)1
1
23
2
++
=


+

xxx
x
x

* Tìm hiểu đề bài:
Có thể hỏi học sinh nh sau: Đây là dạng phơng trình gì? điều kiện của mẫu
nh thế nào? ẩn là x.
Các mẫu có gì liên hệ với nhau? Nó có phải là hằng đẳng thức không ?
* Hớng dẫn cách tìm lời giải:
Phơng trình này là phơng trình chứa ẩn ở mẫu nên áp dụng quy tắc giải ph-
ơng trình chứa ẩn ở mẫu.
* Cách giải:
Bớc 1: TX Đ: {x / x1}
Bớc 2: Ta quy đồng 2 vế của phơng trình : MTC = x
3
- 1
(x
2
+ x +1) + 2x
2
-5 = 4 (x-1)
x
2
+ x +1 + 2x
2
-5 = 4 x4
3x
2
+ x - 4x - 4 + 4 = 0
3x
2
- 3x = 0
3x (x-1) = 0

<=> 3x = 0 x= 0
x-1 =0 x = 1
Bớc 3: Đối c hiếu với tập xác định nên x= 1 (loại)
Vậy phơng trình có 1 nghiệm x = 0
12
* Khai thác bài toán.
Phơng trình này là phơng trình chứa ẩn ở mẫu sau khi rút gọn trở lại về ph-
ơng trình tích nên ta phải kết hợp nhuần nhuyễn các bớc giải của 2 loại phơng
trình trên.
VD 7: Giải các phơng trình tích:
a) (x
2
+ 5) (x -7) (9x + 27) = 0
b)-3y
2
+ 3y - 1 = 0
c) z
2
- 2z + 1 - 36 =0
* Tìm hiểu đề bài.
Các phơng trình đfã cho tuy có các số hạng bậc ba nh y3, bậc hai nh x
2
, y
2
,
z
2
nhng đều có thể biến đổi phơng trình đa về dạng phơng trình tích mà mỗi thừa
số ở vế trái là một nhị thức bậc nhất dạng ax + b, mà vế phải là 0.
* Hớng dẫn cách tìm lời giải.

áp dụng tính chất của một số tích nhiều thừa số bằng 0 khi và chỉ khi một
trong các thừa số bằng 0.
ở câu a lu ý thừa số x
2
+ 5 luôn dơng. ở 2 câu b và c phải biến đổi vế trái
thành một tích. Lu ý câu b ở vế trái là hằng đẳng thức dạng (a - B)
3
và vế trái của
câu c có hằng đẳng thức dạng A
2
- B
2
* Cách giải :
a) Do tích của 3 thừa số bằng 0 nên 1 trong các thừa số bằng 0 và mỗi
nghiệm của phơng trình là một nghiệm của x
2
+ 5 = 0, của x -7 = 0, của 9x + 27
= 0.
Vì x
2
+ 5 luôn dơng hay phơng trình x
2
+ 5 = 0 vô nghiệm
Phơng trình x - 7 = 0 có nghiệm là x= 7
Phơng trình 9x + 27 = 0 có nghiệm là x = -3
Vậy phơng trình đã có 2 nghiệm là: x = 7 và x = -3.
b) áp dụng hằng đẳng thức ta có:
y
3
= 3y

2
+ 3y - 1 =(y - 1)
3
= 0
Vậy phơng trình có 3 nghiệm bằng nhau là y= 1.
c) z
2
- 2z + 1 - 36 = 0
Vế trái của phơng trình có thể viết: (z - 1)
2
- 6
2
Vậy ta có phơng trình có thể viết: (z- 1 + 6) (z - 1-6) = 0
Hay (z+ 5) (z-7) =0
13
Phơng trình có 2 nghiệm là z = -5, z = 7
Phơng trình tích có thể cho dới dạng chứa ẩn ở mẫu, chẳng hạn giải phơng
trình sau:
0
)8(
22121
2
2
=

+
x
xx
(1)
0

)1(16
9
2
2
=


y
yy
(2)
Để giải phơng trình ta phải tìm TXĐ. Phơng trình (1) có TXĐ : x 8, phơng
trình (2) có mẫu:
4
2
- ( y-1)
2
= 4 +y -1) (4-y+1) hay (y + 3) (5-y) nên ta tập xác định là: y -
3, y 5.
Nh vậy phơng trình (1) td với 121 - 22x + x2 = 0 hay (x-11) 2 = 0 mà
nghiệm là x = 11. Phơng trình (2) td với 9y
2
- y - 0 hay y (9y - 1) = 0 mà nghiệm
là y = 0 , y = 1/9. Các giá trị 11; 0 và 1/9 đều thuộc TXĐ của các phơng trình.
3/ Giải phơng trình chứa ẩn ở mẫu thức:
Các bớc giải phơng trình chứa ẩn ở mẫu thức:
Bớc 1: Tìm tập xác định của phơng trình.
Bớc 2: Quy đồng mẫu thức rồi khử mẫu
Bớc 3: Giải phơng trình có đợc sau khi khử mẫu thức
Bớc 4: Đối chiếu giá trị tìm đợc ở 3 bớc với tập xác định. Nghiệm của ph-
ơng trình là giá trị tìm đợc của x thuộc tập xác định.

VD4: Giải phơng trình sau:
)3)(1(
2
)1(2)3(2 +
=
+
+
xx
x
x
x
x
x
(1)
* Tìm hiểu đề bài:
Đây là phơng trình dạng chứa ẩn x ở mẫu, mà mẫu thức thứ 3 lại bằng tích
của hai mẫu thức thứ nhất và mẫu thức thứ 2.
*Hớng dẫn cách tìm lời giải:
Với bài này ta áp dụng quy tắc giải phơng trình chứa ẩn ở mẫu thức.
* Vậy ta có cách giải sau:
Bớc 1; Ta có: x - 3 0 => x 3
x+ 1 0 => x 1
Tập xác định: ( x / x 3 ; x - 1)
14
Bớc 2; 2 9x+1) (x - 3).
Quy đồng mẫu thức và rút gọn ta đa về phơng trình.
Bớc 3: Giải phơng trình 2x (x-3) = 0 (2)
Phơng trình 2có 2nghiệm là:x = 0 và x = 3
Bớc 4: Đối chiếu giá trị tìm đợc
So với điều kiện để các mẫu thức 0 thì nghiệm x = 3 (bị loại)

Vậy phơng trình (1) có nghiệm là: x = 0
4/ Phơng trình có hệ số chữ:
Giải và biện luận phơng trình bậc nhất có hệ số bằng chữ (phơng trình có
tham số)
Cho phơng trình: ax + b = 0
1- nếu ao ta có phơng trình bậc nhất, phơng trình này có nghiệm duy nhất
x = - b/ a.
2- Nếu a = 0 ,phơng trình có dạng
0x + b = 0 hay 0x = -b.
a) Nếu b0 , ta có : 0x 0 phơng trình vô nghiệm
b) Nếu b= 0, ta có: 0x = 0: phơng trình có vô số nghiệm.
VD8: Giải và biện luận phơng trình
(m
2
- 9) x = m2 + 3m (m là tham số)
* Tìm hiểu đề bài:
ở đây phơng trình có biến là x, các hệ số là những biểu thức chứa chữ.
* Hớng dẫn cách tìm lời giải.
áp dụng quy tắc giải và biện luận phơng trình bậc nhất một ẩn.
* Cách giải:
1- Với m
2
- 9 0 tức m + 3: Phơng trình có nghiệm duy nhất là:
x =
3
)9(
3
2
2

=

+
m
m
m
mm
2. a) Với m = 3, phơng trình có dạng: 0x = 18 (vô nghiệm)
b) Với m = -3 , phơng trình có dạng 0. x = 0 (vô số nghiệm).
VD9: Giải phơng trình
15
x +
ax
a
b
a
b
+=
2

* Tìm hiểu đề bài:
Ngoài ẩn là x các hệ số trong phơng trình đã cho là các chữ a, b ( không
phải là các số ). Tất cả mẫu ở đây đều là chữ ( không chứa ẩn).
* Hớng dẫn cách tìm lời giải:
Khi giải một phơng trình có hệ số chữ ta theo 2 bớc nh giải phơng trình có
hệ số bằng chữ. Điều cần lu ý là khi biến đổi đến dạng Ax - B thì phép chia thực
hiện đợc khi số chia khác 0, do đó muốn tìm x thì phải có điều kiện A 0 để đợc
x = B/A.
Trớc tiên giải theo hai bớc vẫn phải tìm TXĐ của phơng trình. Đó là a 0.
* Cách giải :

TXĐ: a 0, MTC: a
Quy đồng rồi khử mẫu : b2.
ax + b
2

= bx + a
2
, hay ( a -b)x = a
2
- b
2
.
nếu a - b 0 tức là a b thì x - a + b.
Vậy với a 0, a b thì phơng trình có nghiệm là x = a + b.
VD 10: Giải phơng trình.
px
pm
px
p
mx
m


=
+

+
* Tìm hiểu đề bài :
Phơng trình này có chữa hệ số chữ mà còn chứa ẩn ở mẫu. Cả 3 mẫu đều
chứa ẩn x.

* Hớng dẫn cách tìm lời giải :
Trớc tiên phải tìm TXĐ của phơng trình.
Với mẫu chung là ( x + m ) ( x+ p ) (x - p).
* Cách giải
TXĐ: x m; x p; MTC: (x +m) (x+p) (x-p)
Quy đồng mẫu thức:
m (x+ p) (x-p) - p (x+m) (x-p) = (m-p) (x+m) (x+p)
hay
16
m(x
2
- p
2
) - (px + pm) (x-p)
= (mx + m
2
- px - mp) (x+p) mx
2
- mp
2
- px
2
+ p
2
x - mpx - mp
2

= mx
2
+ mpx + m

2
x + m
2
p - p
2
x - p
2
x - mpx - mp
2
.
(2p
2
- mp - m
2
) x =mp (m-p)
hay [(p-m) (2p+m)] x = mp (m-p)
Nếu m p và m -2p, p 0 thì x = - mp/(2p+m) với điều kiện p 0.
Vậy phơng trình có nghiệm x = - mp/ (2p+m) với x - m, x p, m p, m
- 2p, p 0.
5- Phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Để giải một phơng trình có ẩn nằm trong dấu giá trị tuyệt đối, ta cần làm
mất giá trị tuyệt đối, bằng cách xét giá trị của biến trong từng khoảng, dựa vào
định nghĩa của giá trị tuyệt đối.
A = A nếu A 0
- A nếu A < 0
Từ đó x+a = x+a nếu x - a
- (x+a) nếu x < - a
VD 11: Giải phơng trình x- 21 = x
* Tìm hiểu đề bài:
Phơng trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối mà ẩn nằm trong dấu đó, vế phải

của phơng trình thì không có.
* Hớng dẫn cách tìm lời giải.
Từ đó x- 21 = x - 21 khi x - 21 0 hay x 21
- (x-21) khi x - 21 <0 hay x < 21.
* Cách giải
Phơng trình đã cho có dạng:
x - 21 = x khi x - 21 0 hay x 21
hoặc - (x-21) = x khi x - 21 <0 hay x < 21.
Với phơng trình x - 21 = x hay 0x = 21 thì phơng trình vô nghiệm.
Với phơng trình - x + 21 = x hay 2x = 21, x = 21/2 thoả mãn điều kiện
x<21.
17
Vậy phơng trình đã cho có nghiệm x = 21/2.
VD 12: Giải phơng trình: 1- 2x= x+ 1
* Tìm hiểu đề bài:
Phơng trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối mà ẩn nằm trong dấu đó ở 2 vế của
phơng trình.
* Hớng dẫn cách tìm lời giải:
Nếu A= B thì A = B hoặc A = - B.
* Cách giải:
Phơng trình đã cho có dạng:
1- 2x = x + 1 hoặc 1- 2x = - x- 1
Giải: 1- 2x = x + 1 ta có 3x = 0, suy ra x = 0.
Giải: 1- 2x = - x- 1 ta có x = 2.
Vậy phơng trình đã cho có 2 nghiệm x = 0, x = 2.
Khai thác bài toán:
Có thể ra bài 12-5x= 5-x thì cách giải sẽ tơng ứng nh ví dụ 11. Nhng nếu
phát triển thành giải phơng trình.
x-6
= 0

x
2
- 36
thì học sinh có thể lúng túng vì thờng là dấu giá trị tuyệt đối là cả vế trái hoặc vế
phải của phơng trình.
Khi đó ta có thể giải phơng trình đó nh sau:
TXĐ: x 6. Từ x - 6 = 0 hay x = 6. Vậy x = 6. Do đó phơng trình
vô nghiệm.
18
Phần III: Kết thúc vấn đề
I- Những kết quả đạt đợc:
1- Qua thực tế cho thấy:
ở lớp tôi từ khi áp dụng kinh nghiệm hớng dẫn trên để giải phơng trình
thông qua bớc giải đến nay hầu nh học sinh lớp tôi giải đợc các dạng này một
cách rất tốt. Qua nhiều năm thực hiện học sinh lớp tôi có chuyển biến rõ rệt.
Năm học này số học sinh nắm đợc và biết giải phơng trình tăng từ 34 học sinh
lên đến 57 học sinh. Cụ thể nh sau:
Thời gian
Tổng số
học sinh
Làm đúng Làm sai hoặc thiếu
Số lợng % Số lợng %
Cha áp dụng 70 34 48,6% 36 41,4%
Khi đã vận dụng 70 57 81% 13 19%
2- Sau 9 năm ra trờng công tác, lớp do tôi chủ nhiệm hàng năm đều lên
lớp 100%. Chất lợng giáo dục bộ môn toán đạt kết quả cao, tỉ lệ học sinh giỏi bộ
môn chiếm 5% đến 7% và các em rất thích học bộ môn toán. Đặc biệt là chơng
III về Giải phơng trình và bất phơng trình.
II- Bài học kinh nghiệm:
Sau khi áp dụng vào thực tế giảng dạy, tôi rát ra một số bài học:

1- Phải tìm ra cách phân tích thích hợp ở mỗi dạng phơng trình để có phơng
pháp gợi mở thích hợp với trình độ học sinh của mình để đạt hiệu quả cao.
2- Phải thực sự quan tâm tới học sinh.
3- Thực hiện tốt hai biện pháp hành chính về chuyên môn và thực hiện quy
trình giải toán theo các bớc giải một cách nghiêm ngặt.
4- Đặc biệt phải có đồ dùng trực quan khi giảng bài để giúp học sinh hiểu
và vận dụng vào giải phơng trình.
III- Đề xuất kiến nghị:
Đề nghị Phòng GDĐT huyện Đông Anh có nhiều cuộc hội thảo để trao đổi,
học tập những phơng pháp hay trong giảng dạy và chủ nhiệm.
IV- Giải pháp trong thời gian tới:
- Tiếp tục nghiên cứu, tìm tòi các biện pháp hay, phơng pháp hớng dẫn ngắn
gọn, dễ hiểu giúp học sinh giải tốt các dạng phơng trình bậc nhất 1 ẩn.
- Tiếp tục án dụng các biện pháp vào thực tế giảng dạy.
Trên đây là một vài kinh nghiệm của tôi trong năm học 2006 - 2007 tôi đã
áp dụng và đạt kết quả cao trong việc hớng dẫn học sinh"Kinh nghiệm rèn kĩ
19
năng giải toán cho học sinh thông qua giải phơng trình bằng quy tắc giải".
Qua sự hớng dẫn của tôi thì các em rất tự tin khi gặp dạng phơng trình này và
giải rất tốt.
Tôi rất mong các cấp lãnh đạo, các đồng chí, đồng nghiệp tham gia góp ý để
tôi có những kinh nghiệm tốt hơn. Để từ đây tôi thực hiện tốt hơn nữa việc giảng
dạy bộ môn toán nói riêng và các môn học khác nói chung. Thực hiện tốt sự
nghiệp "Trồng ngời". Thoả lòng mong ớc của Bác Hồ: "Non sông Việt Nam có
trở nên tơi đẹp hay không, dân tộc Việt Nam có bớc tới đài vinh quang để
sánh vai với các cờng quốc năm châu đợc hay không, chính là một phần lớn ở
công học tập của các em".
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Nguyên Khê, ngày 20 tháng 4 năm 2007.
Ngời viết

Tô Ngô Tầm
20