bài tập giới hạn hàm biến hai số

Học phần: Giải tích 2 – Lớp Lý 1SP – 2007 – 2008

GV biên soạn: Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Tổ Toán – Lý – Khoa Vật lý – ðHSP
Bài tập
GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ HAI BIẾN SỐ

Bài 1: Xét các giới hạn của các hàm số sau khi (x, y) → (0; 0)
1.
2 2
2 2
( )xy x y
x y
−
+
2.
2 2
2 2
x y
x y
−
+
3.
2 2
x y
x y
+
+
4.
( )
2
2 2

x y
x y
+
+

5.
2 2
4 4
x y
x y
+
+
6.
3 3
2 2
x y
x y
−
−
7.
2 2
2
3 2
x y
x y
+
+
8.
2
2 2

3 2
x y
x y+

9.
2 2
3 2
xy
x y+
10.
3 2
6 4
2x y
x y+
11.
3
2 2
3 2x y
x y
+
+
12.
2
4 2
3
x y
x y+

13.
3 2

3 2
3
3 2
x y
x y
− −
+
14.
4 4
2 2
3
x y
x y
+
+
15.
2 5
4 10
2 3
x y
x y+
16.
2 2
2 4
2 3
x y
x y+

Bài 2
: Tính các gi

ớ
i h
ạ
n l
ặ
p c
ủ
a hàm s
ố
khi (x, y) → (0; 0)
1.
x y
x y
−
+
2.
3
sin( )
1 1
xy
xy− +
3.
2
ln(1 )x y x
x
+ +

4.
y
x

5.
y x
x y+
6.
3 3
3
2 2
x y x y
x y
+ − −
+

Bài 3:
Ch
ứ
ng t
ỏ
r
ằ
ng hàm s
ố

1 1
( , ) sin sin
f x y x y
y x
= +
có gi
ớ
i h

ạ
n kép khi x
→
0, y
→
0
nh
ư
ng 2 gi
ớ
i h
ạ
n l
ặ
p không t
ồ
n t
ạ
i.
Bài 4:
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng hàm s
ố

2 2
2 2 2
( , )

( )
x y
f x y
x y x y
=
+ −
có:
0 0 0 0
limlim ( , ) limlim ( , ) 0
x y y x
f x y f x y
→ → → →
= =
Nh
ư
ng không có gi
ớ
i h
ạ
n kép
( ; ) (0;0)
lim ( , )
x y
f x y
→
.
Bài 5:
Cho hàm s
ố

a.
3 3
2 2
cos ;( ; ) (0;0)
( , )
;( ; ) (0;0)
x y
x y
f x y
x y
a x y

 
+
≠

 
=
+

 

=

b.
2 2
2 2
;( ; ) (0;0)
( , )
;( ; ) (0;0)

x y
x y
f x y
x y
a x y

−
≠

=
+


=


Ch
ọ
n a b
ằ
ng bao nhiêu
ñể
f(x;y) liên t
ụ
c t
ạ
i (0;0)?