ĐỀ CƯƠNG ÔN THI TỐT NGHIỆP MÔN TOÁN(20142015)

Tài liệu tham khảo ôn tập toán 12
ĐỀ CƯƠNG ÔN THI TỐT NGHIỆP
MÔN TOÁN(2014-2015)
I/ LÝ THUYẾT
A.GIẢI TÍCH
1) Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan
2) Cực trị
3) Tìm GTLN, GTNN của hàm số
4) Các công thức lũy thừa và công thức lôgarít
5) Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarít
6) Phương trình mũ và lôgarít
7) Nguyên hàm tích phân.
8) Số phức
B. HÌNH HỌC
1) Quan hệ vuông góc, khoảng cách, góc
2) Tính diện tích, thể tích khối đa diện, hình nón, hình trụ, hình cầu.
3) phương pháp tọa độ trong không gian
Chương I :Ứng dụng của đạo hàm và khảo sát hàm số :
1) Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số:
a) Định lý: (Mở rộng)
Cho hs có đạo hàm trên K
 f’(x)
≥
0,
⇒∈∀
Kx
Hs f(x) đồng biến trên K
 f’(x)
≤
0,
⇒∈∀

Kx
Hs f(x) nghịch biến trên K
( Dấu “=”chỉ xãy ra tại một số hữu hạn điểm )
b) Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số y=f(x)
+ TXĐ D = ?
+ y’ = ? tìm các điểm x
i
(i=1,2,…n) mà tại đó y’(x)=0 hoặc y’(x) không xác định.
+ Lập BBT
+ Kết luận.
2) Cực trị của hàm số:
a)Qui tắc I ( Tìm điểm cực trị của hàm số y=f(x) )
+ Tìm TXD D= ?
+ y’(x) = ? tìm các điểm tại đó y’(x)=0 hoặc y’(x) không xác định
+ Lập BBT
+ Kết luận điểm cực trị của hàm số
b) Định lý:
Hs y=f(x) có đạo hàm tới cấp 2 trong khoảng (x
0
-h;x
0
+h), h>0

0
0
0
0)(''
0)('
* x
xy

xy
⇒



>
=
là điểm cực tiểu của hàm số
Trang 1
Tài liệu tham khảo ôn tập toán 12

0
0
0
0)(''
0)('
* x
xy
xy
⇒



<
=
là điểm cực đại của hàm số
c) Qui tắc II ( Tìm điểm cực trị của hàm số y=f(x))
+ Tìm TXD D= ?
+ y’(x) = ? giải pt y’(x)=0
⇒

x
1
, x
2
,…
+ y’’(x) = ? và tính y’’(x
1
); y’’(x
2
),…( Xem dấu của y’’ dương hay âm )
+ Kết luận điểm cực trị của hàm số
3) GTLN, GTNN của hàm số:
a) Đn :



=∈∃
≤∈∀
⇔=
MxfDx
MxfDx
xfM
D
)(:
)(:
)(max
00
;




=∈∃
≥∈∀
⇔=
mxfDx
mxfDx
xfm
D
)(:
)(:
)(min
00
b) Cách tìm GTLN, GTNN của hàm số y=f(x) trên khoảng (a;b)
+ Xét hàm số trên khoảng (a;b)
+ y’ = ? tìm các điểm x
i
(i=1,2,…n) mà tại đó y’(x)=0 hoặc y’(x) không xác định.
+ Lập BBT
+ Kết luận.
c) Cách tìm GTLN, GTNN của hàm số y=f(x) trên đoạn [a;b]
+ Xét hàm số trên đoạn [a;b]
+ y’ = ? tìm các điểm x
i
(i=1,2,…n) mà tại đó y’(x)=0 hoặc y’(x) không xác định.
+ Tính y(a)=?, y(x
1
)=?,….,y(b)=?
+ So sánh và kết luận :
?max
];[

=
y
ba

?min
];[
=
y
ba
4) Tiệm cận (xem SGK)
5) Sơ đồ khảo sát hàm số (SGK)
6) Phương trình tiếp tuyến của (C ) tại điểm M
0
(x
0
;y
0
)
∈
(C ) là :

000
))((' yxxxfy
+−=
( k=f’(x) là hệ số góc )
MỘT SỐ BÀI TOÁN THAM KHẢO :
Bài 1 : Cho hàm số y = x
3
–mx
2

+mx -1, (C
m
)
1) Khảo sát hàm số khi m= -1, kí hiệu đồ thị (C )
2) Viết PTTTT tại các giao điểm của (C ) với trục hoành
3) Biện luận theo k số nghiệm của PT : x
3
+ x
2
– x –k = 0
4) Tìm m để hàm số có cực trị
5) Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x = 2
6) Tìm m để hàm số đồng biến trên tập xác định
7) Tìm m để đồ thị (C
m
) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
Bài 2 : Cho hàm số
xmxmxy )2()1(
3
1
23
−−−−=
1) Khảo sát hs khi m= 2, kí hiệu đồ thị (C )
2) Tìm những điểm trên (C ) sao cho tiếp tuyến tại đó có hệ số góc nhỏ nhất
Bài 3 : Cho hàm số y = x
4
– 2(m+1)x
2
+2m – 1 ,(C
m

)
1) Khảo sát hàm số khi m = 1, kí hiệu đồ thị (C )
2) Viết PTTT của (C ) biết tiếp tuyến đó song song với trục hoành
Trang 2
Tài liệu tham khảo ôn tập toán 12
3) Biện luận theo a số nghiệm PT : -x
4
+4x
2
+a +1 = 0
4) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x= 1
5) Tìm m để hàm số có đúng 1 cực trị
6) Tìm m để hàm số có 3 cực trị
Bài 4 : Cho hàm số
2
5
−
+
=
x
mx
y
, ( C
m
)
1) Khảo sát hàm số khi m = 2, kí hiệu đồ thị (C)
2) Viết PTTT của (C ) biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng y = 9x +2012
3) Tìm m để hàm số nghịch biến trên tập xác định
4) CMR đồ thị (C) luôn cắt đường thẳng y = x +a tại 2 điểm phân biệt M và N.
Bài 5 : 1)Tìm GTLN, GTNN của hàm số

2
4
1
+
−+−=
x
xy
trên [-1;2]
2) Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = cos
3
x – cosx +2 trên [0;
2
π
]
3) Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = x
6
+ 4(1-x
2
)
3
trên [-1;1]
4) Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = 2
2x
+1 trên [0;2]
5) Tìm GTLN, GTNN của hàm số
)4(log
2
2
1
+=

xy
trên [-1;1]
Trang 3
Tài liệu tham khảo ôn tập toán 12
Chương II : HÀM SỐ LŨY THỪA, HS MŨ, HS
LÔGARIT
$1. Lũy thừa :
a)Lũy thừa với số mũ nguyên :
* a
0
= 1 ;
n
n
a
a
1
=
−
; 0
0
và 0
-n
vô
nghĩa
b) Tính chất căn bậc n :

( )
nk
n
k

n
m
m
n
n
n
n
n
nnn
aa
aa
b
a
b
a
abba
=
=
=
=
*
*
*
.*

c) Lũy thừa với số mũ hữu tỉ :
n
m
n
m

aa
=
*
( Với a > 0, n,m
∈
Z, n
≥
2)
n
n
aa
=
1
*
( với a>0 , n
∈
Z, n
≥
2)
d) Tính chất lũy thừa với số mũ thực :
Với a,b >0 và x,y
≥
∈
R ta có :

( )
( )
x
x
x

xx
x
xy
y
x
yx
y
x
yxyx
b
a
b
a
baba
aa
a
a
a
aaa
=






=
=
=
=

−
+
*
*
*
*
.*
e)So sánh lũy thừa :

βα
βα
βα
βα
aa
a
aa
a
>⇔



<
<<
>⇔



>
>
10

*
1
*
$2.Hàm số lũy thừa, hs mũ. Hs lôgarít
a)Các phép toán đạo hàm cơ bản:
*(C)’=0 ( C là hằng số )
*(u
±
v)’=u’
±
v’
*(k.u)’ = k.(u)’

uvvuvu '.'.)'.(*
+=
2
'
'.'.
*
v
uvvu
v
u
−
=







(v
≠
0)
b) Đạo hàm của hs đơn giản Đạo hàm của hs hợp
( )
( )
x
x
x
x
xx
2
1
*
11
*
.*
'
2
'
1
'
=
−=







=
−
αα
α
( )
( )
u
u
u
u
u
u
uuu
2
'
*
'1
*
' *
'
2
'
1
'
=
−=







=
−
αα
α
Trang 4
Tài liệu tham khảo ôn tập toán 12
( )
aaa
ee
xx
xx
ln.*
)'(*
'
=
=
( )
aaua
eue
uu
uu
ln.'.*
'.)'(*
'
=
=
( )

( )
ax
x
x
x
a
ln
1
log*
1
ln*
'
'
=
=
Lưu ý :
0log
10
10
1
1
* >⇒



<<
<<
∪




>
>
x
x
a
x
a
a
( )
( )
au
u
u
u
u
u
a
ln
'
log*
'
ln*
'
'
=
=
0log
1
10

10
1
* <⇒



>
<<
∪



<<
>
x
x
a
x
a
a
$3. Công thức lôgarít
a). Định nghĩa :
)1,0,(;log
≠>=⇔=
ababba
a
α
α
( log
a

b lô ga rít cơ số a của b )
b. Tính chất :
Cho a,b > 0 và a
≠
1 ta có :

α
α
=
=
=
=
a
ba
a
a
b
a
a
a
log*
*
1log*
01log*
log
c.Lô ga rít của một tích :
Định lí 1 :
Cho a,b,c >0, a
≠
1 ta có :

log
a
(b
1
b
2
) = log
a
b
1
+ log
a
b
2
Tổng quát :
log
a
(b
1
b
2
b
n
) = log
a
b
1
+log
a
b

2
+
+log
a
b
n
( b
1
,b
2
…b
n
>0, 0< a
≠
1 )
d.Lô ga rít của một thương :
Định lí 2 :
21
2
1
logloglog bb
b
b
aaa
−=
( b
1
, b
2
,a >0; a

≠
1)
Đặc biệt :
b
b
aa
log
1
log
−=
e.Lô ga rít của một lũy thừa :
Định lí 3:
Cho b,a > 0 , a
≠
1
bb
aa
loglog
α
α
=
Đặc biệt :
b
n
b
a
n
a
log
1

log
=
f.Đổi cơ số :
Định lí 4 :
bab
a
b
b
cca
c
c
a
logloglog
log
log
log
=⇔=
Đặc biệt :
bb
a
b
a
a
b
a
log
1
log
log
1

log
α
α
=
=
(
)1,;0,,0
≠>≠
baba
α
g. Lô ga rít thập phân, lô ga rít tự
nhiên
1. Lô ga rít thập phân :
log
10
b = logb = lgb ( lốc b)
2.Lô ga rít tự nhiên :
log
e
b = lnb ( lốc Nêper của b)
Trang 5
Tài liệu tham khảo ôn tập toán 12
$5. Phương trình mũ và PT lôgarít
I.Phương trình mũ :
1.Phương trình mũ cơ bản :

ba
x
=
(1 ) (với 0 < a

≠
1 )
Cách giải :
VNPTb )1(0*
⇒≤
*b > 0
⇒
PT(1 ) có nghiệm duy nhất
x=log
a
b

2. Cách giải của một số pt mũ đơn giản
:
a) Đưa về cùng cơ số :
a
f(x)
= a
g(x)
(với 0 < a
≠
1 )

⇔
f(x)= g(x)
b) Đặt ẩn phụ :
Đặt t = a
f(x)
> 0 dưa về pt dạng :
A.t

2
+ B.t + C = 0
Hoặc : A.t
3
+ B.t
2
+ C.t +D = 0 , …
c) Lô ga rít hóa :
VD4 : Giải các pt sau :
68.3)
12.3)
2
2
=
=
+x
x
x
xx
b
a
HD :
a)Lấy lô ga rít cơ số 3 hai vế ta được :





−=−=
=

⇔=+⇔
=+⇔
=
3log
2log
1
0
0)2log1(
02log3log
1log)2.3(log
2
3
3
33
33
2
2
x
x
xx
xx
xx
b)ttự
II. PT LÔ RA RÍT
1.PT lô ga rít cơ bản :
log
a
x = b ( 0 < a
≠
1)

b
ax
=⇔
( với
)Rb
∈
2.Cách giài một số PT lô ga rít đơn
giản :
a)Đưa về cùng cơ số :




=
>>
⇔
=
)()(
)0)(:(,0)(
)(log)(log
xgxf
xghayxf
xgxf
aa
b)Đặt ẩn số phụ :
Đặt t= log
a
x đưa pt về dạng :
* At
2

+Bt +C = 0
* At
3
+ Bt
2
+Ct +D = 0
Giải tìm t suy ra x
c)Mũ hóa :
VD4 : Giải pt
Log
2
(5-2
x
) = 2-x (1)
(SGK)
MỘT SỐ BÀI TOÁN THAM KHẢO :
Bài 7 : 1) Áp dụng công thức tính :
3
8
4
5
5log3
4
9log
4log
1
5816
++=
A

9log3
4
6log3log
1
835
32781
++=
B

3
7log
1
1,0log
1
5
5
−
+=
C
2) a) Biết log5=a. Tính log125000 ; log0,00625 ;
1000log
1
5
theo a
b) Viết biểu thức sau dưới dạng rút gọn lũy thừa với cố mũ hữu tỉ
6
5
3
3
bbb

Trang 6
Tài liệu tham khảo ôn tập toán 12
3) Cho y=e
x
lnx. CMR :
2
'''
x
exe
yy
xx
−
=−
Bài 8 : Vẽ đồ thị các hàm số : a)
3−
=
xy
b)
x
y
2
5
=
c)
x
y







=
5
1
Bài 9 : 1) Tìm tập xác định của hàm số a)
3
1
)62( −= xy
b) y = log
2
(4x+7) c) y= log
5
(5-x
2
) d)






−
−
=
x
x
y
4
32

log
7
2)Cho hs
42
7
22sin
)1(log2ln
++++=
xxey
x
. Tính y’(0)
Bài 10 : Rút gọn các biểu thức sau :
1)
2
5
75,0
)25,0(
16
1
−
−
+






=
A

2)








+








+
=
−
+−
4
1
4
3
4
1
3
2

3
1
3
4
aaa
aaa
B
với a>0
3)














+







+=
−
−
− 1
1
1
2
)2(
2
2
a
b
a
bC
4)
( )
12
2
5435
13
13
1
.
.
−
−−
+
−







+=
a
a
aa
a
D
Bài 11 : a) Cho m = log
5
2 và n = log
5
3. Hãy phân tích
432log
5
theo m và n
b) Cho a= log
7
12 và log
12
24 = b. Hãy phân tích log
5
168 theo a và b.
Bài 12 : Giải các pt
1)6
x
-5 = 0 ; 2) 25
x

+5 = 0 ;3) 6
2x-3
= 1
4) 2
2x+1
+4
x+1
= 5 ;5)25
x
= 5
10
;6) (0,5)
x-21
= 4
x
;
1
319
2
3
)5,1)(7
+
−






=

x
x
8)25
x
-5
x+1
-6 = 0 ; 9) 144
x
-12
x+1
+11 = 0 ; 10) 27
x
-9
x +1
+8 = 0
Bài 13 : Giải các PT sau :
1)
17
)3)(2(
=
−−
xx
2)
)98(35
3
4
4
3
−−







=






xx
3) 81
x
+ 9
x+1
-10 = 0 4) 2
x
+ 2
x-1
+2
x-2
= 56
5)
1
2
3
694
+

+
=+
xx
x
6)
055.45.5
)1(
=−+
+−
xx
7) log
3
x +log
3
(x-2) = 1
8)
6loglog)8(log
22
2
2
+=+ xx
9)
09log28log3
3
2
3
=+−
xx

10)

1)42log()8log(
23
=++−− xxx
11)
1
1log
1
log
1
22
=
−
−
xx

12) log
2
(x-1)+log
2
(x-3) = 3 ; 13) log
2
x +log
4
x +log
8
x = 22
14)
0)4)(log3)(log
04log4loglog)
01)2(log6)2(log5)

03log4log)
2
2
2
7
5
2
5
3
5
2
2
2
3
2
3
=−−
=+−−
=+−+−
=+−
xxd
xxxc
xxb
xxa


Trang 7
Tài liệu tham khảo ôn tập toán 12
CHƯƠNG III: NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
Nguyên hàm của những hàm số cần nhớ

( )
a,b a 0∈ & ≠¡
:
dx x C
= +
∫
1
ln
dx
ax b C
ax b a
= + +
+
∫
( )
1
1
1
,
x
x dx C
α
α
α
α
+
= + ≠ −
+
∫
x x

e dx e C
= +
∫
sin cosxdx x C
= − +
∫
1
ax ax
e dx e C
a
= +
∫
cos sinxdx x C= +
∫
1
sin cosaxdx ax C
a
= − +
∫
2
2
,
cos
dx
tgx C x k
x
π
π
= + ≠ +
∫

1
cos sinaxdx ax C
a
= +
∫
2
cot ,
sin
dx
gx C x k
x
π
= − + ≠
∫
2
1
2
,
cos
dx
tgx C x k
ax a
π
π
= + ≠ +
∫
( )
0ln ,
dx
x C x

x
= + ≠
∫
2
1
cot ,
sin
dx
gax C x k
ax a
π
= − + ≠
∫
TÍCH PHÂN :
1). Định nghĩa :
( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a
= = −
∫
2). Tính chất :
a. TC1:
( ) ( )
b a
a b
f x dx f x dx
= −

∫ ∫
b. TC2:
( ) ( )
0( )
b b
a a
kf x dx k f x dx k
= ≠
∫ ∫
c. TC3:
( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
± = ± 
 
∫ ∫ ∫
d. TC4:
( ) ( ) ( )
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx
= +
∫ ∫ ∫
Trang 8
Tài liệu tham khảo ôn tập toán 12
e. TC5: Nếu
( )
[ ]
0, ;f x x a b≥ ∀ ∈

thì
( )
0
b
a
f x dx ≥
∫
f. TC6: Nếu
( ) ( )
[ ]
, ;f x g x x a b≥ ∀ ∈
thì
( ) ( )
b b
a a
f x dx g x dx≥
∫ ∫
g. TC7: Nếu
( )
[ ]
, ;m f x M x a b
≤ ≤ ∀ ∈
thì
( ) ( ) ( )
b
a
m b a f x dx M b a
− ≤ ≤ −
∫
3). Bài tập :

 Ghi nhớ:
− Muốn tính tích phân bằng định nghĩa ta phải biến đổi hàm số dưới dấu tích phân thành tổng
hoặc hiệu của những hàm số đã biết nguyên hàm.
− Nếu hàm số dưới dấu tích phân là hàm số hữu tỷ có bậc của tử lớn hơn hoặc bằng bậc của
mẫu ta phải thực hiện phép chia tử cho mẫu.
− Nếu hàm số dưới dấu tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối (GTTĐ), ta phải xét dấu biểu
thức nằm trong dấu GTTĐ. Tiếp theo phân đoạn cần tính tích phân thành những đoạn con sao cho trên
mỗi đoạn con biểu thức nằm trong dấu GTTĐ không đổi dấu. Áp dụng định nghĩa GTTĐ để khử dấu
GTTĐ.
MỘT SỐ BÀI TOÁN THAM KHẢO :
. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ:
1). Công thức tổng quát :
( ) ( ) ( )
.
b
a
f x x dx f t dt
β
α
ϕ ϕ
′
= 
 
∫ ∫
Công thức trên, tích phân cần tính là tích phân ở vế trái. Hàm số dưới dấu tích phân có dạng
tích của
( )
f x
ϕ
 

 
(hàm số theo biến là
( )
x
ϕ
) với đạo hàm của hàm
( )
x
ϕ
. Áp dụng công thức
trên vào các trường hợp thường gặp, ta có cách đặt cụ thể như sau:
a). TH1:
( )
sin .cosf x xdx
β
α
∫
.
→ Đặt
sint x=

→ hoặc
sint p x q= +

( )
,p q∈¡

→ hoặc
sin
n

t p x q= +
nếu như biểu thức
sinp x q+
nằm trong
n
.
b). TH2:
( )
cos .sinf x xdx
β
α
∫
.
→ Đặt
cost x=

→ hoặc
cost p x q= +

( )
,p q∈¡

→ hoặc
cos
n
t p x q= +
nếu như biểu thức
cosp x q+
nằm trong
n

.
Trang 9
Tài liệu tham khảo ôn tập toán 12
c). TH3:
( )
1
ln .f x dx
x
β
α
∫
.
→ Đặt
lnt x=

→ hoặc
lnt p x q= +

( )
,p q∈¡

→ hoặc
ln
n
t p x q= +
nếu như biểu thức
lnp x q+
nằm trong dấu
n
.

d). TH4:
( )
2
1
.
cos
f tgx dx
x
β
α
∫
.
→ Đặt
t tgx=

→ hoặc
t ptgx q= +

( )
,p q∈¡

→ hoặc
n
t ptgx q= +
nếu như biểu thức
ptgx q+
nằm trong dấu
n
.
e). TH5:

( )
2
1
.
sin
f cotgx dx
x
β
α
∫
.
→ Đặt
t cotgx=

→ hoặc
t pcotgx q= +

( )
,p q∈¡

→ hoặc
n
t pcotgx q= +
nếu như biểu thức
pcotgx q+
nằm trong
n
.
MỘT SỐ BÀI TOÁN THAM KHẢO :
Bài 1:Tính caùc tích phaân sau:

a)
∫
π
0
cos
sin. xdx
x

b)
∫
2
0
sin
cos.
π
xdx
x

c)
∫
1
0
2
dxx
x

d)
∫
+
1

0
2
1. dxxx
e)
∫
+
1
0
1. dxxx
f)
∫
+
1
0
3
43
.1. dxxx
g)
2
3 2
0
cos xsin xdx
π
∫
h)
2
5
0
cos xdx
π

∫
i)
e
1
1 lnx
dx
x
+
∫

j)
e
2
1
1 ln x
dx
x
+
∫
k)
1
5 3 6
0
x (1 x ) dx
−
∫

Bài 2: Tính các tích phân sau đây:
a.
( )

6
3
0
2 1
cos
sin
xdx
x
π
+
∫
b.
2
3
6 1cos sinx xdx
π
π
+
∫
c.
( )
1
3 2ln
e
dx
x x +
∫
d.
19
2

3
0
8
xdx
x +
∫
Trang 10
Ti liu tham kho ụn tp toỏn 12
Bi 3: Tớnh cỏc tớch phõn sau õy:
a.
( )
1
2
0
2
4 5
x dx
x x

+

b.
2
4
2
0
cos
tgx
e dx
x

c.
( )
2
2
6
3 1cot sin
dx
gx x


+

d.
4
2 1
1
x
dx
e x
+

Bi 4: Tớnh cỏc tớch phõn sau õy:
a.
3
3
0
cos
tgxdx

x


b.
2
2 3
6
sin cosx xdx



c.
6
4 4
0
2sin
cos sin
xdx
x x



d.
( )
4
2
0
2cos
sin cos
xdx

x x

+

TNH TCH PHN BNG PHNG PHP TNG PHN:
Cụng thc tng quỏt :
( )
b b
b
a
a a
uv dx uv vu dx

=

hay
( )
b b
b
a
a a
udv uv vdu
=

(1)
Cỏc bc thc hin:
Bc 1:
( ) ( ) ( )
ẹaởt
( ) ( ) (nguyeõn haứm)

u u x du u x dx ẹaùohaứm
dv v x dx v v x

= =




= =

Bc 2: Th vo cụng thc (1).
Bc 3: Tớnh
( )
b
a
uv
v suy ngh tỡm cỏch tớnh tip
b
a
vdu


(tớch phõn ny cú th tớnh bng nh ngha hoc i bin s hoc tớch phõn tng phn tựy tng
bi toỏn c th m ta phi xem xột).
Cỏc dng tớch phõn tớnh bng phng phỏp tng phn:
Tớch phõn tng phn thng c ỏp dng tớnh cỏc tớch phõn cú dng nh sau:
Trang 11
Tài liệu tham khảo ôn tập toán 12
a). Dạng 1:
( ) ( )

.
b
a
p x q x dx
∫
Trong đó
( )
p x
là hàm số đa thức, còn
( )
q x
là hàm
sin ( )x
α
hoặc
cos ( )x
α
.
→ Trong trường hợp này ta đặt:
( )
( )
u p x
dv q x dx
 =

=

 Ghi nhớ : Trong trường hợp này nếu đặt ngược lại thì khi thế vào công thức ta được
b
a

vdu
∫
phức tạp hơn
b
a
udv
∫
ban đầu.
b). Dạng 2:
( ) ( )
.
b
a
p x q x dx
∫
Trong đó
( )
p x
là hàm số đa thức, còn
( )
q x
là hàm logarit.
→ Trong trường hợp này ta đặt:
( )
( )
u q x
dv p x dx
 =

=


Ghi nhớ: Trong trường hợp này nếu đặt ngược lại thì ta gặp khó khăn khi suy ra
v
từ
dv
.
MỘT SỐ BÀI TOÁN THAM KHẢO :

Bái 1: Tính caùc tích phaân sau:
a)
( )
∫
+
π
0
sin.3 xdxx
b)
∫
3
0
.3 dxx
x

c)
( )
∫
−
π
0
3cos.1 xdxx

d)
∫
2
0
cos.
π
xdxx
d)
∫
1
0
. dxx
x

e)
∫

1
ln. xdxx
Bài 2: Tính caùc tích phaân sau:
1)
2
5
1
lnx
dx
x
∫
2)
2

2
0
xcos xdx
π
∫
3)
1
x
0
e sinxdx
∫
4)
2
0
sin xdx
π
∫
5)
e
2
1
xln xdx
∫
6)
3
2
0
x sinx
dx
cos x

π
+
∫
8)
4
2
0
x(2cos x 1)dx
π
−
∫
9)
2
2
1
ln(1 x)
dx
x
+
∫
10)
1
2 2x
0
(x 1) e dx
+
∫

11)
2

0
cosx.ln(1 cosx)dx
π
+
∫
12)
2
1
ln
( 1)
e
e
x
dx
x +
∫
13)
∫
−
1
0
2
)2( dxex
x
Trang 12
Tài liệu tham khảo ôn tập toán 12
14)
∫
+
1

0
2
)1ln( dxxx
15)
∫
e
dx
x
x
1
ln
16)
∫
++
2
0
)1ln()72( dxxx

Bài 3: Tính các tích phân sau đây:
a.
( )
0
2 1 sinx xdx
π
+
∫
b.
( )
2
0

2 cosx x xdx
π
+
∫
c.
4
2
0
cosx xdx
π
∫
d.
4
2
0
cos
xdx
x
π
∫
e.
( )
1
2
2
0
1
x
x e dx+
∫

f.
1
0
3 2
x
x
dx
e
−
∫
g.
1
0
3 2( )
x
x dx−
∫
h.
( )
1
2
0
x
x e dx+
∫
Bài 4: Tính các tích phân sau đây:
a.
( )
3
2

1
3 1 lnx xdx+
∫
b.
( )
1
0
1lnx x dx+
∫
c.
2
1
ln
e
xdx
∫
d.
( )
1
2
0
1lnx x dx+
∫
.
CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢP VỀ TÍCH PHÂN:
Tính các tích phân sau đây:
a.
( )
2
2

6
1 cos
sin
x dx
x
π
π
−
∫
b.
( )
2
2
1
ln
x
x x e dx
x
+
∫
c.
( )
2
2
2
6
2cot sin
sin
g x x dx
x

π
π
+
∫
d.
2
0
2
3 1
sin
cos
x xdx
x
π
 
+
 ÷
+
 
∫
e.
2
0
1
sin cos
cos
x xdx
x
π
+

∫
f.
1
2
0
1 1
2
x
xdx
x e
 
−
 ÷
+
 
∫
g.
0
2
2 2
2 3
cos cos
sin
x xdx
x
π
 
+
 ÷
+

 
∫
h.
1
2
0
3 1lnx x dx+
∫
DIỆN TÍCH CỦA HÌNH PHẲNG:
Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi :
( ) ( ) ( ) ( )
1 2
: ; : ; ;C y f x C y g x x a x b= = = =

(trong đó hai đường thẳng
;x a x b= =
có thể thiếu một hoặc cả hai).
Trang 13
Tài liệu tham khảo ôn tập toán 12
a). Công thức:
( ) ( )
b
a
S f x g x dx
= −
∫
(2)
b). Các bước thực hiện:
• Bước1: Nếu hai đường
,x a x b= =

đề bài cho thiếu một hoặc cả hai thì giải phương
trình
( ) ( )
f x g x=
(PTHĐGĐ của
( )
1
C
và
( )
2
C
) để tìm.
• Bước 2: Áp dụng công thức (2).
• Bước 3: Rút gọn biểu thức
( ) ( )
f x g x−
, sau đó xét dấu của hiệu này.
• Bước 4: Dùng phép phân đoạn tích phân và áp dụng định nghĩa GTTĐ để khử dấu GTTĐ.
c). Chú ý: Nếu bài toán này được cho chung trong bài khảo sát hàm số thì ta dùng hình vẽ để
khử dấu GTTĐ sẽ dễ dàng hơn. Có nghĩa là, nếu trên một đoạn tích phân nào đó mà trên hình vẽ,
( )
1
C
nằm trên
( )
2
C
thì hiệu
( ) ( )

0f x g x− ≥
, và
( )
1
C
nằm dưới
( )
2
C
thì hiệu
( ) ( )
0f x g x− ≤
.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường không rơi vào trường hợp 1:
• Bước 1: Vẽ hình (không cần phải khảo sát).
• Bước 2: Chia hình cần tính thành các hình nhỏ sao cho mỗi hình nhỏ tính được diện tích
bằng công thức (2).
• Bước 3: Dùng công thức (2) tính diện tích các hình nhỏ sau đó tính tổng diện tích tất cả các hình nhỏ.
3). Thể tích của hình tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây quanh trục Ox:

( ) ( )
: ; ; ;C y f x Ox x a x b= = =
(trong đó hai đường thẳng
;x a x b= =
có thể thiếu một hoặc cả hai).
a). Công thức:
( )
2
b
a

V f x dx
π
=  
 
∫
(3)
b). Các bước thực hiện:
• Bước 1: Nếu hai đường
,x a x b= =
đề bài cho thiếu một hoặc cả hai thì giải phương
trình
( )
0f x =
(PTHĐGĐ của
( )
C
và trục Ox) để tìm.
• Bước 2: Áp dụng công thức (3).
MỘT SỐ BÀI TOÁN THAM KHẢO :
Bài 1: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong
( )
2
6 5
2 1
:
x x
C y
x
− +
=

−
và trục Ox.
Bài 2: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong
( ) ( )
2
3:C y x x= −
và trục Ox.
Bài 3: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong
( )
4 2
:C y x x= −
và trục Ox.
Bài 4: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong
( )
3
3 1:C y x x= − +
và đường
thẳng
3:d y =
.
Trang 14
Tài liệu tham khảo ôn tập toán 12
Bài 5: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
( )
2
2 2
1
:
x x
C y

x
+ +
=
+
; đường
tiệm cận xiên của
( )
C
; Ox;
1x e= −
.
Bài 6: Cho đường cong
( )
3 2
3 4:C y x x x= − +
. Viết phương trình tiếp tuyến
d
của
( )
C
tại
gốc tọa độ O. Từ đó tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi
( )
C
và
d
.
Bài 7: Cho parabol
( )
2

6 5:P y x x= − +
.
a. Viết phương trình các tiếp tuyến của
( )
P
tại các giao điểm của
( )
P
với trục Ox.
b. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi
( )
P
và các tiếp tuyến nói ở câu a.
Bài 8: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
( )
:C y x=
;
2:d y x= −
và trục Ox.
Bài 9: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi parabol
( )
2
4:P y x=
và đường thẳng
2 4:d y x= −
.
Bài 10: Cho parabol
( )
2
4:P y x=

.
a. Viết phương trình tiếp tuyến của
( )
P
tại điểm tung độ bằng 4.
b. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
( )
P
, trục Ox và tiếp
tuyến nói ở câu a.
Bài 11: Cho đường cong
( )
2 1
1
:
x
C y
x
+
=
+
. Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường:
( )
; ;C Ox Oy
. Tính thể tích của hình tròn xoay được sinh ra khi quay (H) xung quanh trục Ox.
Bài 12: Cho đường cong
( )
4 2
:C y x x= −
. Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi

( )
C
và trục
Ox. Tính thể tích của hình tròn xoay được sinh ra khi quay (H) xung quanh trục Ox.

SỐ PHỨC
Trang 15
Tài liệu tham khảo ôn tập toán 12
I.Số phức – các công thức cơ bản :
1) Định nghĩa và các phép tính cơ bản:
• Số ảo i là số thoả:
2
1i = −
.
• Số phức z có dạng:
z a bi= +
trong đó a được gọi là phần thực, b gọi là phần
ảo.
Cho 2 số phức
1 1 1 2 2 2
,z a b i z a b i= + = +
. Khi đó:
•
1 2
1 2
1 2
a a
z z
b b
=


= ⇔

=

•
( ) ( )
1 2 1 2 1 2
z z a a b b i± = ± + ±
•
( ) ( ) ( )
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1
. .z z a bi a b i a a b b a b a b i= + + = − + +
.
•
( ) ( )
( ) ( )
( )
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1
1 1 1
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
a bi a b i a a bb b a b a i
z a b i
z a b i a b i a b i a b
+ − + + −
+
= = =
+ + − +
(Các phép toán với số phức vẫn thực hiện y như với số thực, chỉ cần nhớ thêm

2
1i = −
).
• Với số phức
z a bi= +
thì đại lượng
2 2
a b+
gọi là môđun của số phức z. Ký
hiệu
2 2
z a b= +
. Ý nghĩa của
z
sẽ được làm rõ trong các phần tiếp theo.
• Số phức
a bi
−
gọi là số phức liên hợp của z và được ký hiệu là
z
. Ta có:
2
.z z z=
.
Công thức 2 (Công thức De - Moivre):
( )
cos sin cos sin
n
x i x nx i nx
+ = +

MỘT SỐ BÀI TOÁN THAM KHẢO :
Bài 1: Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau:
a/. (1-i)(3+2i) b/.
( )
2
32 i−
c/.
( )
3
52 i−
d/.
( )( )
2132 −+ iii
Bài 2: Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau:
a/.
i
i
21
3
+
−
b/.
i
i
21
23
−
+
+
i

i22 +
Bài 3: thực hiện phép tính:
a/.
i
i
i 32
1
32
1
+
+
+
−
b/.
( )( )
[ ]
i
ii
32
11
2
+
−+
c/.
( )
5
1 i+
(nc) d/.
( )
6

1 i−
(nc)
Bài 4: Giải phương trình:
a/.
0342
2
=+− zz
b/.
0122
2
=+− zz
c/.
06
2
=+− zz
d/.
022
36
=+− zz
e/.
054
2
=+− iziz
f/.
08
3
=−z
Bài 5; Giải phương trình:(nc)
a/.
( )

085
2
=−+−− iziz
b/.
02
23
=−+ zz
c/.
( ) ( )
012121
23
=+−+−+ ziziz
B.HÌNH HỌC:
B
1
) Lý thuyết :
Trang 16
Tài liệu tham khảo ôn tập toán 12
1) Thể tích khối đa diện
a)Thể tích khồi lập phương :
V=a
3

b)Thể tích khối hộp chữ nhật :
V= a.b.c

a
b
c
c) Thể tích khối lăng trụ :

V= B.h

h

(B diện tích đáy, h chiều cao)
d) Thể tích khối chóp :

hBV .
3
1
=

h
e) Tỉ số thể tích của khối chóp S.ABC
và khối chóp S.A’B’C’ là :

SC
SC
SB
SB
SA
SA
V
V
ABCS
CBAS
'
.
'
.

'
.
'''.
=
2)Mặt tròn xoay :
a) Diện tích xung quanh của hình nón :

lrS
xq

π
=
(r bán kính, l đường sinh )
b) Diện tích toàn phần của hình nón:

2
rlrS
tp
ππ
+=
c) Thể tích khối nón :

hrV
3
1
2
π
=

r
h
l
(r bán kính, h chiều cao )
d) Diện tích xung quanh của hình trụ :

lrS
xq
2
π
=
e) Diện tích toàn phần của hình trụ :

2
.2.2 rrlS
tp
ππ
+=
f) Thể tích của khối trụ :

hrV
2
π
=

h
r
l
(r bán kính đáy, h chiều cao)
g) Diện tích của mặt cầu :

2
.4 rS
π
=
h) Thể tích khối cầu :

3
.
3
4
rV
π
=
Trang 17
Tài liệu tham khảo ôn tập toán 12

A
C
B
S
A'
B'
C'

r
A
O
B
B

2
) Bài tập :
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a . Góc giữa SC và mặt đáy
bằng 30
0
, SA vuông góc với ( ABCD) .
1) CM mặt bên SBC là tam giác vuông
2)Tính thể tích của khối chóp S. ABCD
Bài 2 : Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh 2a . Hình chiếu
của A’ lên (ABC) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC, góc giữa cạnh bên và mặt
đáy bằng 60
0
.
a) Tính diện tích toàn phần của lăng trụ
b) Tính thể tích khối lăng trụ
c) Tính tỉ số thể tích hình chóp A’.ABC và lăng trụ ABC.A’B’C’
Bài 3: Cho một hình trụ có chiều cao bằng 2 lần đường kính đáy , diện tích xung quanh
của hình trụ là 904 cm
2
1) Tính bán kính đáy
2) Tính thể tích của khối trụ .
Bài 4 : Cắt hình nón bởi mặt phẳng qua trục là tam giác vuông cân có cạnh 2a
3
Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón .
Bài 5 : Cho hình chop tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a.
1) Tính thể tích hình nón ngoại tiếp hình chóp
2) Tính diện tích toàn phần của hình nón
3) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và thể tích khối cầu đó
Bài 6 : Tính thể tích khối tứ diện ABCD, biết AB=a, AC=AD=BC=BD=CD=a
3

.


Trang 18
Tài liệu tham khảo ôn tập toán 12
ℑ1.
TỌA ĐỘ ĐIỂM VÀ VECTƠ
TỌA ĐỘ ĐIỂM VÀ VECTƠ
A/. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
I/. Tọa độ điểm : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz
1).
( )
M M M M M M
M x ; y ;z OM x i y j z k
⇔ = + +
uuuur r r r
2). Cho
( )
A A A
A x ;y ;z
và
( )
B B B
B x ;y ;z
ta có:
B A B A B A
AB (x x ;y y ;z z )
= − − −
uuur
2 2 2

B A B A B A
AB (x x ) (y y ) (z z )
= − + − + −
3). Nếu M chia đoạn AB theo tỉ số k
( )
MA kMB=
uuuur uuur
thì ta có :
A B A B A B
M M M
x kx y ky z kz
x ; y ; z
1 k 1 k 1 k
− − −
= = =
− − −
(Với k ≠ -1)
@/. Đặc biệt khi M là trung điểm của AB (k = – 1 ) thì ta có :
A B A B A B
M M M
x x y y z z
x ; y ;z
2 2 2
+ + +
= = =
II/. Tọa độ của véctơ : Trong không gian với hệ tọa độ Oyz
1).
1 2 3 1 2 3
a (a ;a ;a ) a a i a j a k
= ⇔ = + +

r r r r r

2). Cho
1 2 3
a (a ;a ;a )
=
r
và
1 2 3
b (b ;b ;b )
=
r
ta có :
•
1 1
2 2
3 3
a b
a b a b
a b
=


= ⇔ =


=

r r
•

1 1 2 2 3 3
a b (a b ;a b ;a b )
± = ± ± ±
r r
•
1 2 3
k.a (ka ;ka ;ka )
=
r
•
1 1 2 2 3 3
a.b a . b cos(a;b) a b a b a b
= = + +
r r r r r r

•
2 2 2
1 2 3
a a a a
= + +
r
III/. Tích có hướng của hai vectơ và ứng dụng:
1). Nếu
1 2 3
a (a ;a ;a )
=
r
và
1 2 3
b (b ;b ;b )

=
r
thì
2 3 3 1
1 2
2 3 3 1 1 2
a a a a
a a
a,b ; ;
b b b b b b
 
 
=
 ÷
 
 ÷
 
r r
Trang 19
Tài liệu tham khảo ôn tập toán 12
2). Vectơ tích có hướng
c a,b
 
=
 
r r r
vuông góc vơi hai vectơ
a
r
và

b
r
.
3).
a,b a b sin(a,b)
 
=
 
r r r r r r
.
4).
ABC
1
S [AB,AC]
2
=
uuur uuur
.
5). V
HộpABCDA’B’C’D’
=
[AB,AC].AA'
uuur uuur uuuur
.
6). V
Tứdiện ABCD =
1
[AB,AC].AD
6
uuur uuur uuur

.
IV/. Điều kiện khác:
1).
a
r
và
b
r
cùng phương
1 1
2 2
3 3
a kb
a,b 0 k R : a kb a kb
a kb
=


 
⇔ = ⇔ ∃ ∈ = ⇔ =

 

=

r r r r r

2).
a
r

và
b
r
vuông góc
1 1 2 2 3 3
a.b 0 a .b a .b a .b 0⇔ = ⇔ + + =
r r
3). Ba vectơ
a, b, c
r r r
đồng phẳng ⇔
a,b .c 0
 
=
 
r r r
(tích hỗn tạp của chúng bằng 0).
4). A,B,C,D là bốn đỉnh của tứ diện ⇔
AB, AC, AD
uuur uuur uuur
không đồng phẳng.
5). Cho hai vectơ không cùng phương
a
r
và
b
r
vectơ
c
r

đồng phẳng với
a
r
và
b
r
⇔ ∃k,l ∈R
sao cho
c ka lb= +
r r r
6). G là trọng tâm của tam giác ABC
A B C
G
A B C
G
A B C
G
x x x
x
3
y y y
y
3
z z z
z
3
+ +

=



+ +

⇔ =


+ +

=



7). G là trọng tâm của tứ diện ABCD ⇔
GA GB GC GD 0+ + + =
uuur uuur uuur uuur r
.
B/.BÀI TẬP:
Bài 1: Trong không gian Oxyz cho A(0;1;2) ; B( 2;3;1) ; C(2;2;-1)
a) Tính
F AB,AC .(OA 3CB)
 
= +
 
uuur uuur uuur uuur
.
b) Chứng tỏ rằng OABC là một hình chữ nhật tính diện tích hình chữ nhật đó.
c) Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
d) Cho S(0;0;5).Chứng tỏ rằng S.OABC là hình chóp.Tính thể tích hình chóp.
Bài 2: Cho bốn điểm A(1;0;0) , B(0;1;0) , C(0;0;1) , D(-2;1;-1)
a) Chứng minh rằng A,B,C,D là bốn đỉnh của tứ diện.

b) Tìm tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD.
c) Tính các góc của tam giác ABC.
Trang 20
Tài liệu tham khảo ôn tập toán 12
d) Tính diện tích tam giác BCD.
e) Tính thể tích tứ diện ABCD và độ dài đường cao của tứ diện hạ từ đỉnh A.
Bài 3: Cho
a (0;1;2); b (1;2;3); c (1;3;0); d (2;5;8)= = = =
r r r r
a) Chứng tỏ rằng bộ ba vectơ
a, b, c
r r r
không đồng phẳng.
b) Chứng tỏ rằng bộ ba vectơ
a, b, d
r r r
đồng phẳng, hãy phân tích vectơ
d
r
theo hai vectơ
a, b
r r
.
c) Phân tích vectơ
( )
u 2;4;11
=
r
theo ba vectơ
a, b, c

r r r
.
Bài 4: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’biết A(0,0,0), B(1;0;0), D(0;2;0), A’(0;0;3),
C’(1;2;3).
a) Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp.
b) Tính thể tích hình hộp.
c) Chứng tỏ rằng AC’ đi qua trọng tâm của hai tam giác A’BD và B’CD’.
d) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của D lên đoạn A’C.
Bài 5: Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm A(2;3;4). Gọi M
1
, M
2
, M
3
lần lượt là hình chiếu
của A lên ba trục tọa độ Ox;Oy,Oz và N
1
, N
2
, N
3
là hình chiếu của A lên ba mặt phẳng tọa độ
Oxy, Oyz, Ozx.
a) Tìm tọa độ các điểm M
1
, M
2
, M
3
và N

1
, N
2
, N
3
.
b) Chứng minh rằng N
1
N
2
⊥ AN
3
.
c) Gọi P,Q là các điểm chia đoạn N
1
N
2
, OA theo tỷ số k xác định k để PQ//M
1
N
1
.
ℑ2. MẶT PHẲNG
A/. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
I/. Phương trình mặt phẳng :
1). Trong không gian Oxyz phương trình dạng Ax + By + Cz + D = 0 với A
2
+B
2
+C

2
≠0 là phương
trình tổng quát của mặt phẳng, trong đó
n (A;B;C)=
r
là một vectơ pháp tuyến của nó.
2). Mặt phẳng (P) đi qua điểm M
0
(x
0
;y
0
;z
0
) và nhận vectơ
n (A;B;C)=
r
làm vectơ pháp tuyến có
dạng :
A(x – x
0
) + B(y – y
0
) + C(z – z
0
) = 0 .
3). Mặt phẳng (P) đi qua M
0
(x
0

;y
0
;z
0
) và nhận
1 2 3
a (a ;a ;a )
=
r
và
1 2 3
b (b ;b ;b )
=
r
làm cặp vectơ
chỉ phương thì mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến :

2 3 3 1
1 2
2 3 3 1 1 2
a a a a
a a
n a,b ; ;
b b b b b b
 
 
= =
 ÷
 
 ÷

 
r r r
.
II/. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
1). Cho hai mặt phẳng (P): Ax+By+Cz+D=0 và (Q):A’x+B’y+C’z+D’=0
• (P) cắt (Q) ⇔ A : B : C ≠ A’: B’: C’
• (P) // (Q) ⇔ A : A’ = B : B’ = C : C’ ≠ D : D’
• (P) ≡ (Q) ⇔ A : B : C : D = A’: B’: C’: D’
Trang 21
Tài liệu tham khảo ôn tập toán 12
2). Cho hai mặt phẳng cắt nhau : (P): Ax + By + Cz + D = 0 và (Q): A’x + B’y + C’z
+ D’= 0 . Phương trình chùm mặt phẳng xác định bởi (P) và (Q) là:
m(Ax + By + Cz + D) + n(A’x + B’y + C’z + D’) = 0 (trong đó m
2
+ n
2
≠ 0)
III/. Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng:
Khoảng cách từ M
0
(x
0
;y
0
;z
0
) đến mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0 cho bởi công thức :
0 0 0
0
2 2 2

Ax By Cz D
d(M , )
A B C
+ + +
α =
+ +
IV/. Góc gữa hai mặt phẳng
Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng : (P): Ax + By + Cz + D = 0 và (Q): A’x + B’y + C’z
+ D’= 0.
Ta có :
P Q
P Q
2 2 2 2 2 2
P Q
n .n
A.A' B.B' C.C'
cos cos(n ,n )
n . n
A B C . A' B' C'
+ +
ϕ= = =
+ + + +
uur uur
uur uur
uur uur
(0
0
≤φ≤90
0
)

•
0
P Q
90 n nϕ = ⇔ ⊥
uur uur
⇔ hai mặt phẳng vuông góc nhau.
• Trong phương trình mặt phẳng không có biến x thì mặt phẳng song song Ox, không có biến y
thì song song Oy, không có biến z thì song song Oz.
B/. BÀI TẬP:
Bài 1: Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A( 3;-2;-2), B(3;2;0), C(0;2;1), và D( -1;1;2).
a) Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
b) Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AC.
c) Viết phương trình mặt phẳng (P)chứa AB và song song với CD.
d) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa CD và vuông góc với mp(ABC).
Bài 2: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 2x – y + 2z – 4 = 0, (Q): x – 2y – 2z + 4 = 0.
a) Chứng tỏ rằng hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc nhau.
b) Viết phương trình tham số đường thẳng (∆) là giao tuyến của hai mặt phẳng đó.
c) Chứng minh rằng đường thẳng (∆) cắt trục Oz .Tìm tọa độ giao điểm.
Bài 3: Trong không gian Oxyz, cho một mặt phẳng (P): 2x + y – z – 6 = 0.
a) Viết phương trình mp (Q) đi qua gốc tọa độ và song song với mp (P).
b) Viết phương trình tham số ,chính tắc ,tổng quát đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và
vuông góc với mặt mp(P).
c) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng (P).
Bài 4: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + y – z + 5 = 0 và (Q): 2x – z = 0 .
a) Chứng tỏ hai mặt phẳng cắt nhau,tính góc giữa chúng.
b) Lập phương trình mặt phẳng (α) qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) đi qua A(-1;2;3).
c) Lập phương trình mặt phẳng (β) qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) và song song với Oy.
d) Lập phương trình mặt phẳng (χ) đi qua gốc tọa độ O và vuông góc với hai mặt phẳng (P) và (Q).
Bài 5: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) : 2x + 2y – z + 2 = 0 và điểm M(2;1;-1).
a) Tính độ dài đoạn vuông góc kẽ từ M đến mặt phẳng (P).

b) Viết phương trình đường thẳng (d) qua M vuông góc với mặt phẳng (P).
c) Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M song song Ox và hợp với mặt phẳng (P) một góc
45
0
.
Trang 22
Tài liệu tham khảo ôn tập toán 12
Bài 6: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 2x + ky + 3z – 5 = 0 và (Q): mx – 6y – 6 z + 2 = 0.
a) Xác định giá trị k và m để hai mặt phẳng (P) và (Q) song song nhau,lúc đó hãy tính
khoảng cách giữa hai mặt phẳng.
b) Trong trường hợp k = m = 0 gọi (d) là giao tuyến của (P) và (Q) hãy tính khoảng cách
từ A(1;1;1) đến đường thẳng (d).
ℑ3. ĐƯỜNG THẲNG
A/. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
I/. Phương trình đường thẳng :
1). Phương trình tổng quát của đường thẳng :
Ax By Cz D 0
A'x B'y C'z D' 0
+ + + =


+ + + =

(với A : B : C ≠ A’ : B’ : C’)
2). Phương trình ttham số của đường thẳng :
0 1
0 2
0 3
x x a t
y y a t (t R)

z z a t
= +


= + ∈


= +

Trong đó M
0
(x
0
;y
0
;z
0
) là điểm thuộc đường thẳng và
1 2 3
a (a ;a ;a )
=
r
là vectơ chỉ phương của đường thẳng.
3). Phương trình chính tắc của đuờng thẳng :
0 0 0
1 2 3
x x y y z z
a a a
− − −
= =

Trong đó M
0
(x
0
;y
0
;z
0
) là điểm thuộc đường thẳng và
1 2 3
a (a ;a ;a )
=
r
là vectơ chỉ phương của đường
thẳng.
II/. Vị Trí tương đối của các đường thẳng và các mặt phẳng:
1). Vị trí tương đối của hai đường thẳng :
Cho hai đ.thẳng (∆) đi qua M có VTCP
a
r
và (∆’) đi qua M’ có VTCP
a '
ur
.
• (∆) chéo (∆’) ⇔
a,a ' .MM' 0
 
≠
 
r ur uuuuur

• (∆) cắt (∆’) ⇔
a,a ' .MM' 0
 
=
 
r ur uuuuur
với
a,a ' 0
 
≠
 
r ur r
• (∆) // (∆’) ⇔
[a,a ']=0
M '



∉∆


r ur r
• (∆) ≡ (∆’) ⇔
[a,a ']=0
M '



∈∆



r ur r
2). Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng:
Cho đường thẳng (∆) đi qua M(x
0
;y
0
;z
0
) có VTCP
1 2 3
a (a ;a ;a )
=
r
và mặt phẳng (α): Ax + By
+ Cz + D = 0 có VTPT
n (A;B;C)=
r
.
• (∆) cắt (α) ⇔
a.n 0≠
r r
• (∆) // (α) ⇔
a.n 0
M ( )

=


∉ α



r r
Trang 23
Tài liệu tham khảo ôn tập toán 12
• (∆) nằm trên mp(α) ⇔
a.n 0
M ( )

=


∈ α


r r
III/. Khoảng cách :
1). Khoảng cách từ M đến đuờng thẳng (∆) đi qua M
0
có VTCP
a
r
.

∆ = =
Y
uuuuur r
r
0
[M M,a]

S
d(M, )
c.ñaùy
a
2). Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau :
(∆) đi qua M(x
0
;y
0
;z
0
) có VTCP
a
r
, (∆’) đi qua M’(x’
0
;y’
0
;z’
0
) có VTCP
a '
ur

∆ ∆ = =
r ur uuuuur
r ur
hoäp
ñaùy
[a,a'].MM'

V
d( , ')
S
[a,a']

IV/. Góc :
1). Góc giữa hai đường thẳng :
(∆) đi qua M(x
0
;y
0
;z
0
) có VTCP
1 2 3
a (a ;a ;a )
=
r
(∆’) đi qua M’(x’
0
;y’
0
;z’
0
) có VTCP
1 2 3
a (a ' ;a ' ;a ' )
=
r
1 1 2 2 3 3

2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
a.a'
a .a ' a .a' a .a '
cos cos(a,a')
a . a '
a a a . a ' a ' a'
+ +
ϕ= = =
+ + + +
r ur
r ur
r ur
2). Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng :
(∆) đi qua M
0
có VTCP
1 2 3
a (a ;a ;a )
=
r
, mp(α) có VTPT
n (A;B;C)=
r
.
Gọi φ là góc hợp bởi (∆) và mp(α)
1 2 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3
Aa +Ba +Ca

sin cos(a,n)
A B C . a a a
ϕ= =
+ + + +
r r

B/. BÀI TẬP:
Bài 1:
a) Viết phương trình tham số chính tắc tổng quát đường thẳng qua hai điểm A(1;3;1) và
B(4;1;2).
b) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M(2;-1;1) vuông góc với mặt phẳng (P) : 2x –
z + 1=0 . Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P).
c) Viết phương trình tham số chính tắc của đuờng thẳng có phương trình
2 4 0
2 2 0
x y z
x y z
+ − + =


− + + =

Bài 2 : Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(0;1;1), B(-1;0;2), C(3;1;0) và một đường thẳng (∆)
có phương trình
4 2 1 0
3 5 0
x y z
x z
+ − + =



− + =

a) Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua ba điểm A,B,C.
b) Viết phương trình tham số chính tắc tổng quát đường thẳng BC.Tính d(BC,∆).
Trang 24
Tài liệu tham khảo ôn tập toán 12
Bài 3: Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật có các đỉnh A(3;0;0), B(0;4;0), C(0;0;5),
O(0;0;0) và D là đỉnh đối diện với O.
a) Xác định tọa độ đỉnh D.Viết phương trình tổng quát mặt phẳng (A,B,D).
b) Viết phương trình đường thẳng đi qua D và vuông góc với mặt phẳng (A,B,D).
c) Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (A,B,D).
Bài 4: Cho hai đường thẳng:
x 2 t
x 2z 2 0
( ): ( ') : y 1 t
y 3 0
z 2t
= +

+ − =


∆ ∆ = −
 
− =


=


a) Chứng minh rằng hai đường thẳng (∆) và (∆’) không cắt nhau nhưng vuông góc nhau.
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng (∆)và (∆’).
c) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua (∆) và vuông góc với (∆’).
d) Viết phương trình đường vuông góc chung của (∆)và (∆’).
Bài 5: Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(-1;-2;0), B(2;-6;3), C(3;-3;-1), D(-1;-5;3).
a) Lập phương trình tổng quát đường thẳng AB.
b) Lập phương trình mp (P) đi qua điểm C và vuông góc với đường thẳng AB.
c) Lập phương trình đường thẳng (d) là hình chiếu vuông góc của đường thẳng CD xuống mặt phẳng (P).
d) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD.
Bài 6: Trong không gian Oxyz cho A(3;-1;0), B(0;-7;3), C(-2;1;-1), D(3;2;6).
a) Tính các góc tạo bởi các cặp cạnh đối diện của tứ diện ABCD.
b) Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
c) Viết phương trình đường thẳng (d) qua D vuông góc với mặt phẳng (ABC).
d) Tìm tọa độ điểm D’ đối xứng D qua mặt phẳng (ABC).
e) Tìm tọa độ điểm C’ đối xứng C qua đường thẳng AB.
Bài 7: Cho đường thẳng
2x y z 5 0
( ) :
2x z 3 0
− + + =

∆

− + =

và mp (P) : x + y + z – 7 = 0
a) Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
b) Tìm tọa độ giao điểm của (∆) và (P).
c) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của (∆) trên mp(P).
Bài 8: Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng (∆) và (∆’) lần lượt có phương trình:

2x y 1 0 3x y z 3 0
;
x y z 1 0 2x y 1 0
+ + = + − + =
 
 
− + − = − + =
 
.
a) Chứng minh rằng hai đường thẳng đó cắt nhau tìm tọa độ giao điểm.
b) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (α) đi qua hai đường thẳng (∆) và (∆’).
Bài 9: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(5;0;0), B(0;5/2;0), C(0;0;5/3) và đường thẳng
x 5 t
y 1 2t
z 4 3t
= +


= − +


= − +

.
a) Lập phương trình mặt phẳng (α) di qua A , B, C. Chứng minh rằng (α) và (∆) vuông góc
nhau, tìm tọa độ giao điểm H của chúng.
b) Chuyển phương trình của (∆) về dạng tổng quát. Tính khoảng cách từ M(4;-1;1) đến (∆).
c) Lập phương trình đường thẳng (d) qua A vuông góc với (∆), biết (d) và (∆) cắt nhau.
Trang 25