tài liệu Ôn thi cấp tốc toán tuyển sinh vào lớp 10
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.3 MB, 121 trang )
!"
#$%&'()*++,'')-
A.1. Kiến thức cơ bản
A.1.1. Căn bậc hai
a. Căn bậc hai số học
- Với số dơng a, số
a
đợc gọi là căn bậc hai số học của a
- Số 0 cũng đợc gọi là căn bậc hai số học của 0
- Một cách tổng quát:
x
x a
x a
=
=
b. So sánh các căn bậc hai số học
- Với hai số a và b không âm ta có:
a b a b< <
A.1.2. Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức
A A=
a. Căn thức bậc hai
- Với A là một biểu thức đại số , ngời ta gọi
A
là căn thức bậc hai của A, A đợc
gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dới dấu căn
-
A
xác định (hay có nghĩa)
A
0
b. Hằng đẳng thức
A A=
- Với mọi A ta có
A A=
- Nh vậy: +
A A=
nếu A
0
+
A A=
nếu A < 0
A.1.3. Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phơng
a. Định lí: + Với A
0 và B
0 ta có:
A B A B=
+ Đặc biệt với A
0 ta có
A A A= =
b. Quy tắc khai phơng một tích: Muốn khai phơng một tích của các thừa số không
âm, ta có thể khai phơng từng thừa số rồi nhân các kết quả với nhau
c. Quy tắc nhân các căn bậc hai: Muốn nhân các căn bậc hai của các số không âm,
ta có thể nhân các số dới dấu căn với nhau rồi khai phơng kết quả đó
A.1.4. Liên hệ giữa phép chia và phép khai phơng
a. Định lí: Với mọi A
0 và B > 0 ta có:
A A
B
B
=
b. Quy tắc khai phơng một thơng: Muốn khai phơng một thơng a/b, trong đó a
không âm và b dơng ta có thể lần lợt khai phơng hai số a và b rồi lấy kết quả thứ
nhất chí cho kết quả thứ hai.
c. Quy tắc chia các căn bậc hai: Muốn chia căn bậc hai của số a không âm cho số
b dơng ta có thể chia số a cho số b rồi khai phơng kết quả đó.
A.1.5. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai
a. Đa thừa số ra ngoài dấu căn
- Với hai biểu thức A, B mà B
0, ta có
A B A B=
, tức là
+ Nếu A
0 và B
0 thì
A B A B=
+ Nếu A < 0 và B
0 thì
A B A B=
b. Đa thừa số vào trong dấu căn
+ Nếu A
0 và B
0 thì
A B A B=
+ Nếu A < 0 và B
0 thì
A B A B=
c. Khử mẫu của biểu thức lấy căn
- Với các biểu thức A, B mà A.B
0 và B
0, ta có
A AB
B B
=
d. Trục căn thức ở mẫu
- Với các biểu thức A, B mà B > 0, ta có
A A B
B
B
=
- Với các biểu thức A, B, C mà
A
và
A B
, ta có
C C A B
A B
A B
=
- Với các biểu thức A, B, C mà
A B
và
A B
, ta có
C A B
C
A B
A B
=
A.1.6. Căn bậc ba
a. Khái niệm căn bậc ba:
- Căn bậc ba của một số a là số x sao cho x
3
= a
- Với mọi a thì
a a a= =
b. Tính chất
- Với a < b thì
a b<
- Với mọi a, b thì
ab a b=
- Với mọi a và
b
thì
a a
b
b
=
A.2. Kiến thức bổ xung (*) Dành cho học sinh khá giỏi, học sinh ôn thi chuyên
A.2.1. Căn bậc n
a. Căn bậc n (
n N
) của số a là một số mà lũy thừa n bằng a
b. Căn bậc lẻ (n = 2k + 1)
Mọi số đều có một và chỉ một căn bậc lẻ
Căn bậc lẻ của số dơng là số dơng
Căn bậc lẻ của số âm là số âm
Căn bậc lẻ của số 0 là số 0
c. Căn bậc chẵn (n = 2k )
Số âm không có căn bậc chẵn
Căn bậc chẵn của số 0 là số 0
Số dơng có hai căn bậc chẵn là hai số đối nhau kí hiệu là
k
a
và
k
a
d. Các phép biến đổi căn thức.
•
k
A
+
x¸c ®Þnh víi
A∀
k
A
x¸c ®Þnh víi
A
∀ ≥
•
k
k
A A
+
+
=
víi
∀
A
k
k
A A=
víi
∀
A
•
k k
k
A B A B
+ +
+
=
víi
∀
A, B
k
k k
A B A B=
víi
∀
A, B mµ
A B
≥
•
k k
k
A B A B
+ +
+
=
víi
∀
A, B
k k
k
A B A B=
víi
∀
A, B mµ
B
≥
•
k
k
k
A A
B
B
+
+
+
=
víi
∀
A, B mµ B
≠
0
k
k
k
A
A
B
B
=
víi
∀
A, B mµ B
≠
0,
A B
≥
•
m
n mn
A A=
víi
∀
A, mµ
A
≥
•
m
m
n
n
A A=
víi
∀
A, mµ
A
≥
#./01"234#
5%67')
8#
A
- +
= +
- + + -
9#:
;<=>
A
- +
= +
- + + -
- +
= +
- + + -
- +
= +
- + + -
- + +
=
-
= =-
-
5%?)@9%AB()*+:
( )
−
+
−
+
−
x
x
xxx
8C DBE%FBG%H'IJ+EK')L5MN(9%AB()*+
9C %OP%J(MK+Q8IEA:
#
+C ROP%J(MKS-'')T(+B89%AB()*+:
x
;<=>
0 1x
< ≠
!
( )
( )
2
1 1 1
:
1
1
x x x
A
x
x x
x
+ + −
= =
−
−
"#
!$%
1 1 3 9
3 2 4
x
x x
x
−
= ⇔ = ⇔ =
!$&'(
)*
9
4
x =
!$%#
+ ,#-
x
1 1
9 9 1
x
x x
x x
−
− = − + +
÷
./0123!42!$5678$9$8:0;<2!
1 1
9 2 9 . 6x x
x x
+ ≥ =
=*>
6 1 5P
≤ − + = −
42!$5?@*>$
1 1
9
9
x x
x
= ⇔ =
)*2A!>BC$3!D"!$5
5P
= −
$
1
9
x =
5%U6C)@9%AB()*+
?
#
?
+
=
+
#7')P%J(MK+Q8G)%I:UV
?CN(PW'9%AB()*+
? ?
? ? ?
+
= +
÷
÷
+ − +
XL-%
? E? ≥ ≠
C
UC-%+J++Q89%AB()*+L5'Y%(MD'Z)[\(RO+J+P%J(MK+Q8I'PB\D'EAP%J
(MK+Q89%AB()*+X]6CS5^_'PB\D'
;<=>
?+$&'(?F+ #
36 4 10 5
8 4
36 2
+
= =
+
?
≥
?≠!
x( x 4) 4( x 4) x 2
x 16 x 16 x 16
− + +
+
÷
÷
− − +
(x 16)( x 2) x 2
(x 16)(x 16) x 16
+ + +
=
− + −
+
2 4 2 2 2
( 1) . 1 .
16 16 16
2 2
x x x
B A
x x x
x x
+ + +
= = =
ữ
ữ
+ +
"
( 1)B A
2*G?2*G!$%
16x
CH;D'HI
}
{
E
+ @22A!>B!;<252
16x
1
2
? J K
LM!$N/L
0, 16x x
"
( 1)B A
2*G!$%
}
{
EEJEKx
B5i 4: Cho biểu thức:
( ) ( )( )
yx
xy
xyx
y
yyx
x
P
+
++
+
=
a). Tìm điều kiện của x và y để P xác định . Rút gọn P.
b). Tìm x,y nguyên thỏa mãn ph`ơng trình P = 2.
;<=>
a). Điều kiện để P xác định là :;
EEE
+
yxyyx
.
( )
( ) ( ) ( )
x x y y xy x y
P
x y x y
+ +
=
+ +
( ) ( )
( ) ( ) ( )
x y x x y y xy x y
x y x y
+ + +
=
+ +
( ) ( )
( ) ( ) ( )
x y x y x xy y xy
x y x y
+ + +
=
+ +
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
x x y x y x x
x y
+ + + +
=
+
( )
x y y y x
y
+
=
( ) ( ) ( )
( )
x y y y y
y
+
=
x xy y= +
Vậy P =
yxyx
+
b) LO
EEE
+
yxyyx
P = 2
yxyx
+
= 2
( ) ( )
( )( )
=+
=++
yx
yyx
Ta có: 1 +
y
x
x
x = 0; 1; 2; 3 ; 4
Thay x = 0; 1; 2; 3; 4 vào ta cócác cặp giá trị x=4, y=0 và x=2, y=2 (thoả mãn).
B5i 5:Cho biểu thức M =
x
x
x
x
xx
x
+
+
+
+
+
a. Tìm điều kiện của x để M có nghĩa và rút gọn M
b. Tìm x để M = 5
c. Tìm x
Z để M
Z.
;<=>
M =
x
x
x
x
xx
x
+
+
+
+
+
a.ĐK
EE
xxx
0,5đ
Rút gọn M =
( )( ) ( )( )
( )( )
+++
xx
xxxxx
Biến đổi ta có kết quả: M =
( )( )
xx
xx
M =
( )( )
( )( )
+
=
+
x
x
M
xx
xx
( )
P
===
=
=+
=+
=
=
xx
x
xx
xx
x
x
Đối chiếu ĐK:
EE
xxx
Vậy x = 16 thì M = 5
c. M =
+=
+
=
+
xx
x
x
x
Do M
z
nên
x
là ớc của 4
x
nhận các giá trị: -4; -2; -1; 1; 2; 4
Lập bảng giá trị ta đợc:
{ }
EEEE
x
vì
x
{ }
EEE
x
5%V)@9%AB()*+:XC
?
#XC-%8abL58c6
8C N(PW'9%AB()*+
9C RO8EAdb
;<=>
,-
-FQHR
2
2 2
2
2
a 1 a 1 a 1
P ( ) .( )
2
2 a a 1 a 1
a a 1 ( a 1) ( a 1)
P ( ) .
2 a ( a 1)( a 1)
a 1 a 2 a 1 a 2 a 1
P ( ) .
a 1
2 a
(a 1)4 a 1 a
P
4a
a
− +
= − −
+ −
− − − +
=
+ −
− − + − − −
=
−
− − −
= =
)*,
1 a
a
−
SFQHR
+%'",T
FQHRGF
,T-TF+PL
5%e)@9%AB()*+f:X6gC
8C N(PW'f
9C hJ+EK')P%J(MK+Q8fG)%8:U9
;<=>
UV!2W
X-
-
-
L$ ! X
5%i)@9%AB()*+
xyyx
yyxxyx
yx
yxyx
A
+
+++
++
+
+=
8CN(PW'j
9C%&(I\:6V#RO+J+P%J(MK+Q8IZ\EA+YP%J(MK')k')T(Z(ROP%J(MKEY#
;<=>
??F*F
xyyx
yyxxyx
yx
yxyx
A
+
+++
++
+
+=
( )( ) ( )
( )
yxxy
yxxyyxyxyx
xy
yx
yxxy
yx
+
+++−+
+
+
+
+
=
( )
( )
( )
yxxy
yxyx
xy
yx
xy
+
++
+
+=
( )
xy
yx
yx
xy
xy
yx
+
=
+
+
=
+
≥−+⇔≥
−
xyyxyx
xyyx
≥+⇔
Y9
==≥
+
=
xy
xy
xy
yx
A
Q%?*
)*'#$
x y
x y
xy
=
⇔ = =
=
5%)@9%AB()*+
−
+
−
−
−−
−
−
−−
=
xx
x
xx
x
xx
P
8CROE%FBG%H'EA+Y'P)l8#
9CN(PW'9%AB()*+#+C7')P%J(MK+Q8L-%
−=
x
#
;<=>
"!$5, 2$Z$QH$[$
≠−−
≠−
≥−
>
x
x
x
x
≠
≠
≥
⇔
≠
≠
≥
>
⇔
x
x
x
x
x
x
x
?
EE
≠≠≥
xxx
−
+
−
−
−−
−
−
−−
=
xx
x
xx
x
xx
P
( )
( )( )
( )
( )
( )( ) ( )
−
+
−
−
+−−−
+−−
−
−+−−
−+
=
xx
x
xxx
xx
xxxx
xx
( )
( )
( )
( )
( )
xx
xx
x
xx
xx
xx
−
−−
−−
+−−
−
−−
−+
=
( )
( ) ( )
( )
xx
x
x
xx
xx
xx
−
−−
−
+−−
−
+−
−+
=
( )
( )
( )
x
x
x
x
x
xxx
−
=
−−
=
−
−−−−+=
+$*
( )
−=−=
x
QH9"!$5
x
x
P
−
=
!
( )
( )
−
+−
=
−
−−
=
−
−−
=
P
+=
−
=
5%6b)@9%AB()*+
:
K
x x x
x
x x x x
−
+ −
−
+ −
8CN(PW'
9CROP%J(MK+Q8IEA:6
+CROOEAL-%OW%P%J(MKIa(8+Y
m x P x
− > +
;<=>
+
x x x x
− = −
• LO
x
x x
x x
x
≥
≠ >
⇔
− ≠ ≠
− ≠
• ?FQH
x
≠
!
,
K
x x x
x
x x x x
−
− −
−
+ −
K
K K
x x
x x x
x x x x
x x x x x
x x x x
− − −
− −
=
− + −
− − − − +
=
− + −
K
x x x
x x x x
− − − +
=
− + −
?
≠
?F?
x
≠ ≠
!$%,
x
x
−
,-
x
x
⇔ = −
−
L?F
x x
≠ ≠
x x
x x
⇔ = −
⇔ − − =
\!
x y
=
*F
+ /$;<2!>%$
y y− − =
A$8:--
y⇒ = −
$62!$9@'(LO*F
y =
!$9@'(LO*F
y x
= =
!$%?
!$9@'(?
m\L-%I:
()R:6
m x P x
− > +
?FE
x x
≠ ≠
x
m x x
x
m x x
x
m
x
⇔ − > +
−
⇔ > +
+
⇔ >
Y9?F
• O]!
x x
x x x x
+
= + = +
x x x x
x x x
x x x
x x
x
x
− + −
=
− + −
− −
=
− −
=
−
?F+$9@'(LO
x
⇔ <
^/$_8:0;<2`2!a8:/$_8:H9 'b8:C$<!$%$&$<
K
x
x
x
⇔ <
⇔ + < +
⇔ + <
+$c9M!d@/$e!>G!
K
K
x
x
m
x
m
x
+
>
⇒ ≥
+
>
$&(SBm'
K
m x
≥ >
!$%
m x P x
− > +
#./01"n3o
C©u 1 Cho bi"u th5c :
x
x
xx
A −−
−
+
+
−
=
1) Tim iu kin cDa x " bi"u th5c A cã nghZa .
2) Rót gWn bi"u th5c A .
3) Gi@i ph;<ng tr×nh theo x khi A = -2 .
C©u2 Cho bi"u th5c :
++
+
−
−
−
+
=
xx
x
xxx
xx
A
UV!2W"!$5
+S$2A!>BD
A
$
+=
x
C©u3 Cho bi"u th5c :
xxxxxx
x
A
−++
+
=
a) UV!2W"!$5#
b) 9#CH$H'8:DM?Qfg!$$H' s: A .
C©u4 Cho bi"u th5c :
#
- ? x x x x
+ − +
÷ ÷
+ − + −
a) UV!gWn bi"u th5c A .
b) +S$2A!>BD#$?
J +
2A!>BH9D?!$%#h!2A!>B$&$3!
C©u 5 Cho bi"u th5c : A =
a a a a a
a
a a a a
− + +
−
÷
÷
−
− +
a. T×m §KX§
b) Rót gän biÓu thøc A
c) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña a ®Ó A nguyªn.
C©u 6 Cho bi"u th5c
? ?
,
?
? ? ? ? ?
= + − −
÷ ÷
+
− + − −
T%'LOQH>V!2W,
b) +%'2A!>B2*GD?"
, ?
−
$)2A!>B2*G
C©u 7 Cho
, E
+ −
= + − ≥ ≠
÷ ÷
+ − +
a) Rót gWn P.
b) T×m a biMt P >
−
.
c) T×m a biMt P =
.
C©u 8 Cho
( )
? ?
, E ?
?
− −
= ≠ ±
−
a) Ch5ng minh
,
?
−
=
−
b) TS$P khi
?
=
2.TS$
X
+ −
=
C©u 9 Cho bi"u th5c
? ? K ? ? ?
? ?
? ? ?
+ − − −
= − − −
÷ ÷
− −
− + −
a) RV! gWn B.
b) TS$2A!>B cDa B khi
?
= +
.
c) Ch5ng minh ring
≤
vi mWi gS trB cDa x th&'(
? E ?
≥ ≠
.
C©u 10 Cho
P
= + − +
÷
÷
+
−
a) +%'+O
UV!2W"!$5P
+S$2A!>BDP!h
=
+
C©u 11 Cho bi"u th5c:
E
≠≥
−
−
−
⋅
+
+
+
=
aa
a
aa
a
aa
A
.
UV!2W"!$5#
+%'jQHR!$9@'(42!$5#-
C©u 12 Cho bi"u th5c:
yxyx
yx
xy
xyx
y
xyx
y
S
≠>>
−
−
+
+
=
E
.
1. UV!2W"!$5!>G
+%'2A!>BD?QH*"=
C©u 13 Cho bi"u th5c:
E
≠>
+
⋅
−
−
−
++
+
= xx
x
x
x
x
xx
x
Q
.
a$52'$
−
=
x
Q
+%'8:2*G?C$3!"X 2A!>BCH8:2*G
C©u 14 Cho bi"u th5c:
E
≠≠>
−
+
−
−
+
−
−=
xxx
x
x
x
x
xx
A
.
UV!2W#
+%'?"#
C©u 6pUV!2W"!$5
E
>
−
−
+
+−
+
+−−
+
= a
a
aa
aa
aaa
a
A
.
C©u 16 Cho bi"u th5c:
E
≠>
−
+
−
++
+
+
−
+
=
xx
x
x
xx
x
xx
x
T
.
1UV!2W"!$5+
$52'$>i2Q'W?FQH?RC6 +Tk
C©u 17 Cho bi"u th5c:
( )
EE
≠≥
++
−
−
−
−
= xx
xx
x
x
x
M
1. UV!2W"!$5P
+%'?"Pj
5%6i$9"!$5
' '
# ' '
+ − +
÷
+
Q'jEj
UV!2W"!$5#
+%'2A!>BD#Q
'
= +
+%'2A!>B$&$3!D#
5%6)@9%AB()*+
( ) ( )
,
+ + +
= − +
÷
−
+ −
+ −
8CN(PW'#
9CRO8EA
, K
+
− ≥
5%?b$9"!$5
? ?
,
?
? ? ? ? ?
= + − −
÷ ÷
+
− + − −
+%'LOQHUV!2W,
+%'A2A!>B2*GD?"
, ?
−
$)2A!>B2*G
?;q"./r0
#$s <
I. Định nghĩa : Phơng trình bậc hai một ẩn là phơng trình có dạng
? ? + + =
trong đó x là ẩn; a, b, c là những số cho trớc gọi là các hệ số và
II. Công thức nghiệm của phơng trình bậc hai :
Phơng trình bậc hai
? ? + + =
=
*) Nếu
>
phơng trình có hai nghiệm phân biệt :
? E ?
+
= =
*) Nếu
=
phơng trình có nghiệm kép :
? ?
= =
*) Nếu
<
phơng trình vô nghiệm.
III. Công thức nghiệm thu gọn :
Phơng trình bậc hai
? ? + + =
và
l=
l l =
mNếu
l >
phơng trình có hai nghiệm phân biệt :
l l l l
? E?
+
= =
*) Nếu
l =
phơng trình có nghiệm kép :
l
? ?
= =
*) Nếu
l <
phơng trình vô nghiệm.
IV. Hệ thức Vi - Et và ứng dụng :
1. Nếu x
1
; x
2
là hai nghiệm của phơng trình
? ? + + =
thì :
? ?
? ?
+ =
=
2. Muốn tìm hai số u và v, biết u + v = S, uv = P, ta giải phơng trình :
? =? , + =
(Điều kiện để có u và v là
= ,
)
3. Nếu a + b + c = 0 thì phơng trình
? ? + + =
có hai nghiệm :
? E?
= =
Nếu a - b + c = 0 thì phơng trình
? ? + + =
có hai nghiệm :
? E?
= =
J+9tE%FBG%H'EAu)`v'P(MR')+Y'P)%HO()k8O['Ew+E%AO+)@(M`-+
Tìm điều kiện tổng quát để phơng trình ax
2
+bx+c = 0 (a 0) có:
1. Có nghiệm (có hai nghiệm) 0
2. Vô nghiệm < 0
3. Nghiệm duy nhất (nghiệm kép, hai nghiệm bằng nhau) = 0
4. Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau) > 0
5. Hai nghiệm cùng dấu 0 và P > 0
6. Hai nghiệm trái dấu > 0 và P < 0 a.c < 0
7. Hai nghiệm dơng(lớn hơn 0) 0; S > 0 và P > 0
8. Hai nghiệm âm(nhỏ hơn 0) 0; S < 0 và P > 0
9. Hai nghiệm đối nhau 0 và S = 0
10.Hai nghiệm nghịch đảo nhau 0 và P = 1
11. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn
a.c < 0 và S < 0
12. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm dơng có giá trị tuyệt đối lớn hơn
a.c < 0 và S > 0
#./01"234
Bài 1. Giải các phơng trình sau :
k ? K =
k ? ? =
c k ? ? ? + =
k ? ? + + =
0 k ? ? + =
?
n k
? ?
+
+ =
Giải
k ? K ? K ? ? = = = =
Vậy phơng trình có nghiệm
? =
?
?
k ? ? ??
?
?
=
=
=
=
=
Vậy phơng trình có nghiệm
? E?
= =
k ? ? + + =
Nhẩm nghiệm :
Ta có : a - b + c = - 2 - 3 + 5 = 0 => phơng trình có nghiệm :
? E?
= = =
0 k ? ? + =
Đặt
! ? ! =
. Ta có phơng trình :
! ! + =
a + b + c = 1 + 3 - 4 = 0
=> phơng trình có nghiệm :
! = >
(thỏa mãn);
!
= = <
(loại)
! ? ? = = =
Vậy phơng trình có nghiệm
? =
c k ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
?
? ?
? ?
?
+ = + + = + + = + =
=
+ = =
= =
=
Vậy phơng trình có nghiệm
? E? = =
?
n k
? ?
+
+ =
(ĐKXĐ :
? E?
)
Phơng trình :
?
? ?
+
+ =
? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ?
K E J
+
+ =
+ + =
+ + =
+ + =
= = + = > =
=> phơng trình có hai nghiệm :
J
?
+
= =
(thỏa mãn ĐKXĐ)
J
?
= =
(thỏa mãn ĐKXĐ)
Bài 2. Cho phơng trình bậc hai ẩn x, tham số m :
? '? ' + + + =
(1)
a/ Giải phơng trình với m = - 2.
b/ Gọi x
1
; x
2
là các nghiệm của phơng trình. Tính
? ? E? ?+ +
theo m.
c/ Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x
1
; x
2
thỏa mãn :
? ? + =
.
d/ Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x
1
; x
2
thỏa mãn : 2x
1
+ 3x
2
= 5.
e/ Tìm m để phơng trình có nghiệm x
1
= - 3. Tính nghiệm còn lại.
f/ Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu.
g/ Lập hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phơng trình không phụ thuộc vào giá
trị của m.
;<=>
a/ Thay m = - 2 vào phơng trình (1) ta có phơng trình :
? ?
?
?
?
+ =
=
=
=
Vậy với m = - 2 phơng trình có nghiệm duy nhất x = 1.
kPhơng trình :
? '? ' + + + =
+
' ' ' ' = + =
Phơng trình có nghiệm
? E ?
Khi đó theo định lý Vi-et, ta có :
? ? '
? ? '
+ =
= +
*)
? ? ? ? ? ? ' ' ' ' + = + = + =
*)
? ? ? ? ? ? ? ? ' ' ' ' ' '+ = + + = + = + +
c/ Theo phần b : Phơng trình có nghiệm
? E ?
Khi đó
? ? ' ' + =
Do đó
? ? ' ' ' ' + = = =
' '
l E = = + = > =
=> phơng trình có hai nghiệm :
' E'
+
= = = =
Thử lại : +) Với
' J = = <
=> loại.
+) Với
'
= = >
=> thỏa mãn.
Vậy với m = - 3 thì phơng trình có hai nghiệm x
1
; x
2
thỏa mãn :
? ? + =
.
d/ Theo phần b : Phơng trình có nghiệm
? E ?
Khi đó theo định lý Vi-et, ta có :
? ? '
? ? '
+ =
= +
Hệ thức : 2x
1
+ 3x
2
= 5 (c)
Từ (a) và (c) ta có hệ phơng trình :
? ? ' ? ? ' ? ' ? '
? ? ? ? ? ' ? ? '
+ = + = = =
+ = + = = = +
Thay
? '
? '
=
= +
vào (b) ta có phơng trình :
'
' ' '
' ' ' '
' ' K
' '
+ = +
= +
=
+ + =
= = >
=> phơng trình có hai nghiệm phân biệt :
'
J
'
+
= =
= =
Thử lại : +) Với
'
= =
=> thỏa mãn.
+) Với
J
'
= = >
=> thỏa mãn.
Vậy với
J
' E'
= =
phơng trình có hai nghiệm x
1
; x
2
thỏa mãn : 2x
1
+ 3x
2
= 5.
e/ Phơng trình (1) có nghiệm
? ' ' ' ' = + + + = + = =
Khi đó :
? ? ' ? ' ? ? ? + = = = =
Vậy với m = 6 thì phơng trình có nghiệm x
1
= x
2
= - 3.
f/ Phơng trình (1) có hai nghiệm trái dấu
' ' ' < + < + < <
Vậy với m < - 3 thì phơng trình có hai nghiệm trái dấu.
g/ Giả sử phơng trình có hai nghiệm x
1
; x
2
. Khi đó theo định lí Vi-et, ta có :
? ? ' ' ? ?
? ? ? ?
? ? ' ' ? ?
+ = =
=
= + =
)*$!$5CG$2ox
1
; x
2
$62/$1!$pQH9'CHx
1
.x
2
x
1
+ x
2
7
Bài 3:
Cho phơng trình (m-1)x
2
+ 2x - 3 = 0 (1) (tham số m)
a) Tìm m để (1) có nghiệm
b) Tìm m để (1) có nghiệm duy nhất? tìm nghiệm duy nhất đó?
c) Tìm m để (1) có 1 nghiệm bằng 2? khi đó hãy tìm nghiệm còn lại(nếu có)?
;<=>
a) + Nếu m-1 = 0 m = 1 thì (1) có dạng 2x - 3 = 0 x =
(là nghiệm)
+ Nếu m R 1. Khi đó (1) là phơng trình bậc hai có:
=1
2
- (-3)(m-1) = 3m-2
(1) có nghiệm
= 3m-2 0 m
+ Kết hợp hai trờng hợp trên ta có: Với m
thì phơng trình có nghiệm
b) + Nếu m-1 = 0 m = 1 thì (1) có dạng 2x - 3 = 0 x =
(là nghiệm)
+ Nếu m R 1. Khi đó (1) là phơng trình bậc hai có:
= 1- (-3)(m-1) = 3m-2
(1) có nghiệm duy nhất
= 3m-2 = 0 m =
(thoả mãn m R 1)
Khi đó x =
=
=
m
+Vậy với m = 1 thì phơng trình có nghiệm duy nhất x =
với m =
thì phơng trình có nghiệm duy nhất x = 3
c) Do phơng trình có nghiệm x
1
= 2 nên ta có:
(m-1)2
2
+ 2.2 - 3 = 0 4m 3 = 0 m =
Khi đó (1) là phơng trình bậc hai (do m -1 =
-1=
R 0)
Theo đinh lí Viet ta có: x
1
.x
2
=
==
=
x
m
Vậy m =
và nghiệm còn lại là x
2
= 6
Bài 4: Cho phơng trình: x
2
-2(m-1)x - 3 - m = 0
a) Chứng tỏ rằng phơng trình có nghiệm x
1
, x
2
với mọi m
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu
c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng âm
d) Tìm m sao cho nghiệm số x
1
, x
2
của phơng trình thoả mãn x
1
2
+x
2
2
10.
e) Tìm hệ thức liên hệ giữa x
1
và x
2
không phụ thuộc vào m
f) Hãy biểu thị x
1
qua x
2
;<=>
a) Ta có:
= (m-1)
2
( 3 m ) =
+
m
Do
m
với mọi m;
>
> 0 với mọi m
Phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt
Hay phơng trình luôn có hai nghiệm (đpcm)
b) Phơng trình có hai nghiệm trái dấu a.c < 0 3 m < 0 m > -3
Vậy m > -3
c) Theo ý a) ta có phơng trình luôn có hai nghiệm
Khi đó theo định lí Viet ta có: S = x
1
+ x
2
= 2(m-1) và P = x
1.
x
2
= - (m+3)
Khi đó phơng trình có hai nghiệm âm S < 0 và P > 0
<
<
<
>+
<
m
m
m
m
m
Vậy m < -3
d) Theo ý a) ta có phơng trình luôn có hai nghiệm
Theo định lí Viet ta có: S = x
1
+ x
2
= 2(m-1) và P = x
1.
x
2
= - (m+3)
Khi đó A = x
1
2
+x
2
2
= (x
1
+ x
2
)
2
- 2x
1
x
2
= 4(m-1)
2
+2(m+3) = 4m
2
6m + 10
Theo bài A 10 4m
2
6m 0 2m(2m-3) 0
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
Vậy m
hoặc m 0
e) Theo ý a) ta có phơng trình luôn có hai nghiệm
Theo định lí Viet ta có:
=
=+
+=
=+
mxx
mxx
mxx
mxx
x
1
+ x
2
+2x
1
x
2
= - 8
Vậy x
1
+x
2
+2x
1
x
2
+ 8 = 0 là hệ thức liên hệ giữa x
1
và x
2
không phụ thuộc m
f) Từ ý e) ta có: x
1
+ x
2
+2x
1
x
2
= - 8 x
1
(1+2x
2
) = - ( 8 +x
2
)
K
x
x
x
+
+
=
Vậy
K
x
x
x
+
+
=
(
x
)
Bài 5: Cho phơng trình: x
2
+ 2x + m-1= 0 ( m là tham số)
a) Phơng trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x
1
; x
2
thoả mãn 3x
1
+2x
2
= 1
c) Lập phơng trình ẩn y thoả mãn
x
xy +=
;
x
xy +=
với x
1
; x
2
là nghiệm
của phơng trình ở trên
;<=>
a) Ta có
= 1
2
(m-1) = 2 m
Phơng trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau
l
=
=
=
=
m
m
m
m
m
P
Vậy m = 2
b) Ta có
= 1
2
(m-1) = 2 m
Phơng trình có nghiệm 0 2 m 0 m 2 (*)
Khi đó theo định lí Viet ta có: x
1
+ x
2
= -2 (1); x
1
x
2
= m 1 (2)
Theo bài: 3x
1
+2x
2
= 1 (3)
Từ (1) và (3) ta có:
=
=
=+
=
=+
=+
=+
=+
J
x
x
xx
x
xx
xx
xx
xx
Thế vào (2) ta có: 5(-7) = m -1 m = - 34 (thoả mãn (*))
Vậy m = -34 là giá trị cần tìm
d) Với m 2 thì phơng trình đã cho có hai nghiệm
Theo định lí Viet ta có: x
1
+ x
2
= -2 (1) ; x
1
x
2
= m 1 (2)
Khi đó:
m
m
mxx
xx
xx
xx
xxyy
=
+=
+
++=+++=+
(mR1)
=+
+=++=++=
m
m
m
m
xx
xx
x
x
x
xyy
(mR1)
y
1
; y
2
là nghiệm của phơng trình: y
2
-
m
m
.y +
m
m
= 0 (mR1)
Phơng trình ẩn y cần lập là: (m-1)y
2
+ 2my + m
2
= 0
#./01"n3o
Bài 1Cho phơng trình (m - 1)x
2
- 2mx + m + 1 = 0 (1).
Tìm tất cả các số nguyên m để phơng trình (1) có nghiệm nguyên.
HDẫn : * m = 1 : -2x + 2 = 0
=
x
* m
: m - 1 + (-2m) +m +1 = 0
= x
;
+=
+
=
mm
m
x
{ }
EEEE = mm
Bài 2: Cho phơng trình x
2
+ (2m - 5)x - 3n = 0 .
Xác định m và n để phơng trình có 2 nghiệm là 3 và -2.
HDẫn :
=+
=
nm
nm
=
=
n
m
Bài 3: Tìm m, n để phơng trình bậc hai sau đây có nghiệm duy nhất là
:
mx
2
+ (mn + 1)x + n = 0
HDẫn :
( )
=+++
=
nmn
m
m
=
=
n
m
Bài 4: Cho hai phơng trình : x
2
- 3x + 2m + 6 = 0 (1) và x
2
+ x - 2m - 10 = 0 (2)
CMR : Với mọi m, ít nhất 1 trong 2 phơng trình trên có nghiệm .
HDẫn :
=+
26 > 0
có 1 biệt số không âm .
Bài 5: Cho hai phơng trình : x
2
+ (m - 2)x +
m
= 0 (1)
và 4x
2
- 4(m - 3)x + 2m
2
- 11m + 13 = 0 (2)
CMR với mọi m, ít nhất 1 trong 2 phơng trình trên có nghiệm .
HDẫn :
= mm
;
= mm
= mm
có 1 biệt số không âm .
Bài 6: Tìm giá trị của m để hai phơng trình sau đây có ít nhất 1 nghiệm chung.
x
2
+ 2x + m = 0
x
2
+ mx + 2 = 0
HDẫn : (m -2)x
= m - 2 : + m =2 : hai phơng trình có dạng : x
2
+ 2x +2 = 0 ( vô nghiệm)
+ m
2 : x
= 1 ; m = -3
Bài 7: Tìm giá trị của m để hai phơng trình sau đây có ít nhất 1 nghiệm chung.
x
2
+ (m - 2)x + 3 = 0
2x
2
+ mx + (m + 2) = 0
HDẫn : (m - 4)x
= m - 4 : + m = 4 : hai phơng trình có dạng : x
2
+ 2x +3 = 0 ( vô
nghiệm)
+ m
4 : x
= 1 ; m = -2
Bài 8 : Gọi
x
và
x
là những nghiệm của phơng trình : 3x
2
- (3k - 2)x - (3k + 1) = 0 (1)
Tìm những giá trị của k để các nghiệm của phơng trình (1) thoả mãn :
= xx
HDẫn : *
+= kk
*
=
=
k
k
(t/m)
Bài 9 : Cho phơng trình : x
2
- (2m + 1)x + m
2
+ 2 = 0. Xác định m để giữa hai
nghiệm
xx
ta có hệ thức :
J
=++ xxxx
HDẫn : *
J
J = mm
*
=
=
m
m
loại m =
Bài 10: Cho phơng trình
( )
=+++ mxmx
. Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng
trình. Tìm giá trị của m để
( ) ( )
mxxxx =+
HDẫn : *
l
=
>+
+m
*
( ) ( )
mxxxx =+
( )
=
=
=+=+
m
m
mmmxxxx
Bài 11: Cho phơng trình
( )
J
=+ mxmx
(1)
Gọi hai nghiệm của phơng trình (1) là x
1
, x
2
. hãy tìm m để
m
xx
=
+
+
+
HDẫn : *
=
( )
m
*
m
xx
=
+
+
+
J
J
==+ mmm
Bài 11: Cho phơng trình x
2
- ( 2m + 1)x + m
2
+ m = 0. Tìm các giá trị của m để phơng
trình có hai nghiệm thoả mãn: - 2<x
1
<x
2
<4
HDẫn : *
= 1>0 * x
1
= m , x
2
= m + 1
x
1
< x
2
Do đó:
<<
<
>
<
>
m
m
m
x
x
Bài 12: Tìm các giá trị của tham số a sao cho phơng trình: x
2
+ 2ax + 4 = 0 (1) có các
nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn điều kiện
+
x
x
x
x
HDẫn : *
l
= a
2
- 4
0
a
a
*
+=
+
x
x
x
x
x
x
x
x
( )
+
xx
xxxx
K
a
( vì
a
a
nên 4a
2
- 8 > 0 )
k
mtaa ++
Bài 13: Cho phơng trình bậc hai
( )
=+ mxmmx
1-Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm đối nhau. ( m =
)
2-Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm nghịch đảo nhau.
( )
=m
Bài 14: Tìm giá trị m để phơng trình:
a) 2x
2
+ mx + m - 3 = 0
Có 2 nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dơng. ( 0<m <3)
b) x
2
- 2(m - 1)x + m - 3 = 0
Có 2 nghiệm trái dấu và bằng nhau về giá trị tuyệt đối. (m = 1)
Bài 15: Xác định m để phơng trình x
2
- (m + 1)x + 2m = 0 có hai nghiệm phân biệt sao
cho x
1
, x
2
là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 5.
=
==
>
>
+><
=+
>
>
>
E
KEK
m
mm
m
m
mm
xx
P
S
Bài 16: Số đo hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông là nghiệm của phơng trình bậc hai
:
( ) ( )
=+ mxmxm
.
Hãy xác định giá trị của m để số đo đờng cao ứngvới cạnh huyền là
.
^Yqrsr*
>
<
>
>
l
m
m
S
P
m
*
k
mtm
xx
=
=+
khi đó x
1
= 1; x
2
= 2
Bài 17: Cho hai phơng trình
( )
=+ mxnmx
(1) và
( )
=+ xnmx
(2)
Tìm m và n để các phơng trình (1) và (2) tơng đơng.
^Ytu *Phơng trình (2) có ac = - 6<0
(2) có 2 nghiệm phân biệt.
*
=
=
=
+=+
n
m
m
nmnm
* Thử lại, rút kết luận.
Bài 18: Tìm các giá trị của m và n để hai phơng trình sau tơng đơng :
( )
=++ xnmx
(1) và
( )
=+++ nxnmx
(2)
^Ytu *Phơng trình (1) có ac = - 9<0
(1) có 2 nghiệm phân biệt.
*
( ) ( )
==
=
+=+
nm
n
nmnm
* Thử lại, rút kết luận.
Bài 19: Cho phơng trình
=+ mmxx
. Tìm m sao cho A =
xxxx +
đạt giá trị nhỏ nhất.
*
( )
l
= m
*
K
K
K
K
KK
'
==
=+= mAmmmA
Bài 20: Cho phơng trình
= mxmx
(1). Gọi
xx
là các nghiệm của phơng
trình (1) . Tìm giá trị nhỏ nhất của
xx +
.
*
( )
l
>++= m
*
xx +
=
( )
( )
'
==++ mxxm
Bài 21: Cho phơng trình
=++ mxmx
có hai nghiệm
xx
.
Chứng minh rằng biểu thức H =
( ) ( )
xxxx +
không phụ thuộc vào m.
^IvuqYtu *
l
>+
+= m
*
( ) ( ) ( )
=+=+= mmxxxxH
Bài 22: Cho phơng trình
=++ mxmx
có hai nghiệm
xx
.
Chứng minh rằng biểu thức Q =
( ) ( )
KJJ xxxx +
không phụ thuộc
vào giá trị của m.
^IvuqYtu: *
l
>+
+= m
*
( ) ( ) ( )
JJ
=+=+= mmxxxxQ
U1.01xy"]"?X$osC
#$s <
I. Hàm số bậc nhất
a. Khái niệm hàm số bậc nhất
- Hàm số bậc nhất là hàm số đợc cho bởi công thức y = ax + b. Trong đó a, b là các
số cho trớc và a
0
b. Tính chất
Hàm số bậc nhất y = ax + b xác định với mọi giá trị của x thuộc R và có tính chất
sau:
- Đồng biến trên R khi a > 0
- Nghịch biến trên R khi a < 0
c. Đồ thị của hàm số y = ax + b (a
0)
Đồ thị của hàm số y = ax + b (a
0) là một đờng thẳng
- Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b
- Song song với đờng thẳng y = ax, nếu b
0, trùng với đờng thẳng y = ax, nếu b
= 0
* Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (a
0)
Bớc 1. Cho x = 0 thì y = b ta đợc điểm P(0; b) thuộc trục tung Oy.
Cho y = 0 thì x = -b/a ta đợc điểm Q(-b/a; 0) thuộc trục hoành
Bớc 2. Vẽ đờng thẳng đi qua hai điểm P và Q ta đợc đồ thị hàm số y = ax + b
d. Vị trí tơng đối của hai đờng thẳng
Cho hai đờng thẳng (d): y = ax + b (a
0) và (d): y = ax + b (a
0). Khi đó
+
l
kk l
l
a a
d d
b b
=
+
{ }
l l ld d A a a =
+
l
l
l
a a
d d
b b
=
=
+
l l d d a a
=
e. Hệ số góc của đờng thẳng y = ax + b (a
0)
Góc tạo bởi đờng thẳng y = ax + b và trục Ox.
- Góc tạo bởi đờng thẳng y = ax + b và trục Ox là góc tạo bởi tia Ax và tia AT, trong đó
A là giao điểm của đờng thẳng y = ax + b với trục Ox, T là điểm thuộc đờng thẳng y =
ax + b và có tung độ dơng
Hệ số góc của đờng thẳng y = ax + b
-Hệ số a trong y = ax + b đợc gọi là hệ số góc của đờng thẳng y = ax +b
II. Hàm số bậc hai
a. Định nghĩa
- Hàm số có dạng y = ax
2
(a
0)
b. Tính chất
- Hàm số y = ax
2
(a
0) xác đinh với mọi giá trị của c thuộc R và:
+ Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0, đồng biến khi x > 0
+ Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0, nghịch biến khi x > 0
Đồ thị của hàm số y = ax
2
(a
0)
- Đồ thị hàm số y = ax
2
(a
0) là một Parabol đi qua gốc tọa độ nhận trục Oy làm
trục đối xứng
+ Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị
+ Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dời trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị
Kiến thức bổ xung
Công thức tính toạ độ trung điểm của đoạn thẳng và độ dài đoạn thẳng
Cho hai điểm phân biệt A với B với A(x
1
, y
1
) và B(x
2
, y
2
). Khi đó
- §é dµi ®o¹n th¼ng AB ®ỵc tÝnh bëi c«ng thøc
B A B A
AB x x y y= − + −
- Täa ®é trung ®iĨm M cđa AB ®ỵc tÝnh bëi c«ng thøc
E
A B A B
M M
x x y y
x y
+ +
= =
Quan hƯ gi÷a Parabol y = ax
2
(a
≠
0) vµ ®êng th¼ng y = mx + n (m
≠
0)
Cho Parabol (P): y = ax
2
(a
≠
0) vµ ®êng th¼ng (d): y = mx + n. Khi ®ã
- Täa ®é giao ®iĨm cđa (P) vµ (d) lµ nghiƯm cđa hƯ ph¬ng tr×nh
y ax
y mx n
=
= +
- Hoµnh ®é giao ®iĨm cđa (P) vµ (d) lµ nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh ax
2
= mx + n (*)
- Sè giao ®iĨm cđa (P) vµ (d) lµ sè nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh (*)
+ NÕu (*) v« nghiƯm th× (P) vµ (d) kh«ng cã ®iĨm chung
+ NÕu (*) cã nghiƯm kÐp th× (P) vµ (d) tiÕp xóc nhau
+ NÕu (*) cã hai nghiƯm ph©n biƯt th× (P) vµ (d) c¾t nhau t¹i hai ®iĨm ph©n biƯt
Mét sè phÐp biÕn ®ỉi ®å thÞ
Cho hµm sè y = f(x) cã ®å thÞ lµ (C)
- §å thÞ (C
1
): y = f(x) + b ®ỵc suy ra b»ng c¸ch tÞnh tiÕn (C) däc theo trơc tung b
®¬n vÞ
- §å thÞ (C
2
): y = f(x + a) ®ỵc suy ra b»ng c¸ch tÞnh tiÕn (C) däc theo trơc hoµnh
–a ®¬n vÞ
- §å thÞ (C
3
): y = f(|x|) gåm hai phÇn
+ Gi÷ nguyªn phÇn ®å thÞ (C) n»m bªn ph¶i Oy, bá phÇn (C) n»m bªn tr¸i Oy
+ LÊy ®èi xøng phÇn (C) n»m bªn ph¶i Oy qua Oy
- §å thÞ (C
4
): y = |f(x)| gåm hai phÇn
+ Gi÷ nguyªn phÇn ®å thÞ (C) n»m bªn trªn Ox, bá phÇn (C) n»m bªn díi Ox
+ LÊy ®èi xøng phÇn (C) n»m bªn !>G Ox qua Oy.
#`v'PzB8'E{()K5O^_9m+')T(]5O^_9m+)8%#
Cho Parabol (P): y = ax
2
(a
≠
0) vµ ®êng th¼ng (d): y = mx + n. Khi ®ã:
Hoµnh ®é giao ®iĨm cđa (P) vµ (d) lµ nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh ax
2
= mx + n (*)
- Sè giao ®iĨm cđa (P) vµ (d) lµ sè nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh (*)
+ NÕu (*) v« nghiƯm th× (P) vµ (d) kh«ng cã ®iĨm chung
+ NÕu (*) cã nghiƯm kÐp th× (P) vµ (d) tiÕp xóc nhau
+ NÕu (*) cã hai nghiƯm ph©n biƯt th× (P) vµ (d) c¾t nhau t¹i hai ®iĨm ph©n biƯt.
#./01"234
Bài tập 1: Trên cùng mặt phẳng toạ độ cho Parabol (P)
2
2y x=
và đường thẳng
(d) y=(m-2)x+1 và (d’)y=-x+3 (m là tham số ) . Xác đònh m để (P) ,(d) và
(d’) có điểm chung .
Giải: Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d’):
2x
2
=-x+3
⇔
2x
2
+x-3=0 (a+b+c=0)
⇒
1 2
3
1;
2
x x
−
= =
+Khi x=1 thì y=2
+Khi
3
2
x
−
=
thì
9
2
y =
Vậy (d’) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt
( )
3 9
1;2 & ;
2 2
A B
−
Để (P) ,(d) và (d’) có điểm chung thì
3
2 ( 2).1 1
1
9 3
( 2)( ) 1
3
2 2
m
m
A d
B d
m
m
=
= − +
∈
⇔ ⇔
∈
= −
= − − +
Vậy với m=3 hay m=
1
3
−
thì (P) ,(d) và (d’) có 1 điểm chung
