đề cương ôn thi thpt môn toán

Trường THPT Lương Thế Vinh GV: Lê Ngọc Anh
CHỦ ĐỀ HÀM SỐ
1. Hàm số bậc ba, hàm trùng phương và các vấn đề liên quan:
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:
 Tập xác định: D=R
 Tính
lim ?, lim ?
x x
y y
→−∞ →+∞
= =
 Tính y’; cho y’=0 để tìm x
i
(Nếu có)
 Lập bảng biến thiên.
 Kết luận sự đồng biến, nghịch biến và cực trị(nếu có) của hàm số.
 Tìm điểm uốn: Tính y”, cho y”=0 tìm x
i
=(nghiệm đơn)⇒y
i
=
 Tìm giao Oy: x=0⇒y=; Giao Ox(Nếu có): Cho y=0⇔x=
 Lập bảng giá trị.
 Vẽ đồ thị và nhận xét: Hàm số y=ax
3
+bx
2
+cx+d(a≠0) nhận điểm uốn làm tâm đối xứng. Hàm số
y=ax
4
+bx

2
+c(a≠0) nhận trục Oy làm trục đối xứng.
b) Viết phương trình tiếp tuyến:
 Phương trình tiếp tuyến có dạng: y=f’(x
0
)(x-x
0
)+y
0
.
 Tìm x
0
;y
0
; f’(x
0
).
 Vậy phương trình tiếp tuyến là:
• Dạng 1: Biết tiếp tuyến đi qua điểm M
0
(x
0
;y
0
): Tính f’(x
0
)
• Dạng 2: Biết hoành độ tiếp điểm x
0
: Tìm y

0
; f’(x
0
)(Chú ý: Giao của đồ thị và trục tung thì x
0
=0)
• Dạng 3: Biết tung độ tiếp điểm y
0
: Tìm x
0
; Tính f’(x) ⇒f’(x
0
)=
(chú ý: Giao của đồ thị với trục hoành thì y
0
=0)
• Dạng 4: Biết hệ số góc tiếp tuyến: f’(x
0
)=k; Tính f’(x), giải pt f’(x
0
)=k để tìm x
0
⇒y
0
.
Chú ý: Tiếp tuyến song song với đường thẳng y=ax+b thì ta có: f’(x
0
)=a
Tiếp tuyến vuông góc với đt y=ax+b thì ta có: f’(x
0

)=-1/a.
c) Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị:
 Biến đổi đưa phương trình về dạng: f(x)=BT(m)
 Lập luận: Số nghiệm của pt bằng số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng y=BT(m).
 Biện luận: BT(m)<y
CT
; BT(m)=y
CT
; y
CT
<BT(m)<y
CĐ
; BT(m)=y
CĐ
; BT(m)>y
CĐ
.
Bài 1: Cho hàm số y=x
3
-6x
2
+9x+1 có đồ thị (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số; b) Viết pttt của (C) tại giao điểm của (C) và trục tung;
c) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau đay có nghiệm duy nhất: x
3
-6x
2
+9x+m=0
Bài 2: Cho hàm số y=3x
2

-x
3
có đồ thị (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số; b) Viết pttt của (C) tại giao điểm của (C) và trục hoành;
c) Biện luận theo a số nghiệm của phương trình 4x
3
-6x
2
-3a=0;
Bài 3: Cho hàm số
3 2
3 3
2
x x x
y
+ +
=
có đồ thị (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số; b) Viết pttt của (C) biết tt // với đt ∆:
3
2
y x=
c) Tìm tọa độ các giao điểm của (C) với đường thẳng d:
3
2
2
y x= +
;
Bài 4: Cho hàm số y=x
3

-3x+1 có đồ thị (C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số; b) Viết pttt với (C) tại điểm thuộc (C) có hoành độ bằng 2;
c) Viết pttt với (C) biết hệ số góc của tt bằng 9; d) Tìm m để phương trình x
3
-3x+1+2m=0 có 3 nghiệm;
Bài 5: Cho hàm số
3 2
1 3
2
2 2
y x x= − + −
có đồ thị (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số; b) Viết pttt với (C) biết tt // với đt d:
9
2
2
y x= − +
c) Tìm các giá trị của m để phương trình x
3
-3x
2
-4-m=0 có nghiệm duy nhất;
Bài 6: Cho hàm số y=2x
3
+3x
2
-1 có đồ thị (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số; b) Viết pttt với (C) tại giao điểm của (C) và trục hoành;
c) Viết pttt của (C) biết tt // với đt d: y=12x-1; c) Biện luận theo m số nghiệm pt: 2x
3

+3x
2
+2m=0;
Tài liệu ôn thi tốt nghiệp THPT 1
Trường THPT Lương Thế Vinh GV: Lê Ngọc Anh
Bài 7: Cho hàm số
3 2
1 3 5
3 2 2
y x x= − + −
có đồ thị (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số; b) Viết pttt với (C) tại điểm thuộc (C) có hoành độ x thỏa y”=1;
c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và đt d: y-2=0
d) Tìm các giá trị của m để pt: 2e
3x
-9e
2x
+6m=0 có nghiệm duy nhất;
Bài 8: Cho hàm số
3 2
1
3
y x x= −
có đồ thị (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số; b) Viết pttt với (C) tại điểm thuộc (C) có tung độ bằng 0;
c) Viết pttt của (C) biết tt // đt d: y=8x-3; d) Tìm các g/trị của m để pt x
3
-3x
2
-loga=0 có nghiệm duy nhất;

Bài 5: Cho hàm số y=2x
3
-3x
2
-1 có đồ thị (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số; b) Tìm tọa độ giao điểm của (C) và đt d: y=-x-1;
c) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của pt: 4x
3
-6x
2
+1-m=0;
Bài 9: Cho hàm số y=x
3
-3x
2
+2 có đồ thị (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số; b) Viết pttt với (C) biết tt vuông góc với đt d:
1 1
3 3
y x= −
c) Tìm các giá trị của m để đt y=mx+2 cắt (C) tại ba điểm phân biệt;
Bài 10: Cho hàm số y=-x
3
+3x
2
-2 có đồ thị (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số; b) Viết pttt với (C) tại điểm thuộc (C) có hoành độ bằng 0;
c) Viết pttt với (C) biết tt song song đt 9x-4y-4=0; d) BIện luận theo m số giao điểm của (C) và đt y=mx-2
Bài 11: Cho hàm số 2x
3

-6x
2
+6x-2 có đồ thị (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số; b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bới (C), Ox, x=1, x=2;
Bài 12: (Đề thi tốt nghiệp năm 2009-2010) Cho hàm số
3
2
3
5
4 2
x
y x= − +
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị h/số?
b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình x
3
-6x
2
+m=0 có 3 nghiệm phân biệt?
Bài 13: Cho hàm số y=x
4
-2x
2
-3 có đồ thị (C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số;
b) Viết pttt với (C) tại điểm thuộc (C) có hoành độ x
0
là nghiệm của pt: f”(x
0
)=0;
c) Tìm các giá trị của m để pt x

4
-2x
2
+m=0 có nhiều hơn 2 nghiệm;
Bài 14: Cho hàm số y=-x
4
+4x
2
-3 có đồ thị (C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số;
b) Dựa vào (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình x
4
-4x
2
+m=0;
Bài 15: Cho hàm số y=x
2
(2-x
2
) có đồ thị (C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số; b) Viết pttt với (C) tại điểm thuộc (C) có hoành độ bằng
2;−
c) Viết pttt với (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 24;
d) Tìm các giá trị của m để pt x
4
-2x
2
+m=0 có 4 nghiệm phân biệt;
Bài 16: Cho hàm số y=x
4

+2x
2
-3 có đồ thị (C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số; b) Viết pttt của (C) tại điểm thuộc (C) có tung độ bằng 5;
c) Tìm điều kiện của m để pt x
4
+2x
2
+3+2m=0 có đúng hai nghiệm;
Bài 17: Cho hàm số
4 2
1 3
3
2 2
y x x= − +
có đồ thị (C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số; b) Viết pttt với (C) biết tt có hệ số góc bằng -8;
c) Tìm m để pt x
4
-6x
2
+logm=0 có 4 nghiệm;
Bài 18: Cho hàm số y=(1-x
2
)
2
-6 có đồ thị (C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số;
b) Biện luận theo m số nghiệm pt: x
4

-2x
2
=m;c) Viết pttt của (C) biết tt vuông góc với đt d:
1
24
y x= −
;
Bài 19: Cho hàm số
4 2
1
2 1
4
y x x= − + −
có đồ thị (C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số; b) Tìm m để pt: x
4
-8x
2
+4=m có nghiều hơn 2 nghiệm;
c) Viết pttt của (C) tại điểm thuộc (C) có hoành độ x
0
là nghiệm của phương trình y”(x
0
)=10;
Bài 20: Cho hàm số
4 2
1
2
4
y x x= −

có đồ thị (C) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số;
b) Viết pttt với (C) biết tt // với đt d: y=15x+2013; c) Viết pttt của (C) biết tt vuông góc với đt ∆:
8
2013;
45
y x
= − +
Tài liệu ôn thi tốt nghiệp THPT 2
Trường THPT Lương Thế Vinh GV: Lê Ngọc Anh
Bài 21: Cho hàm số y=x
4
-mx
2
-(m+1) có đồ thị (C
m
)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m=-2;
b) Tìm m để đồ thị hàm số đi qua điểm A(-1;4);
c) Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành. Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo ra khi quay (H)
quanh trục hoành?
Bài 22: Cho hàm số y=2x
4
-4x
2
+1 (1)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)?
b) Xác định m để phương trình 2x
4
-4x
2

-
3
log m
=0 có đúng ba nghiệm phân biệt?
Bài 23: ( Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2011-2012) Cho hàm số
4 2
1
2
4
y x x= −
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số;
b) Viết pttt của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x
0
, biết f”(x
0
)=-1;
Bài 24: (Đề thi thử tốt nghiệp THPT năm 2010-2011) Cho hàm số:
4 2
1 3
2 2
y x x= − −
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số;
b) Tìm m để phương trình x
4
-2x
2
-4m=0 có 4 nghiệm phân biệt;
2. Hàm nhất biến và các vấn đề liên quan:
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số:
ax

( 0, 0)
b
y c ad bc
cx d
+
= ≠ − ≠
+
 Tập xác định:
\
d
D
c
 
= −
 
 
¡
 Tính
lim ; lim
x x
a a
y y
c c
→−∞ →+∞
= =
, vậy đường thẳng
a
y
c
=

là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
( ) ( )
lim ? ; lim ?
d d
x x
c c
y y
− +
→ − → −
= ∞ = ∞
, vậy đường thẳng
d
x
c
= −
là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

2
'
( )
ad bc
y
cx d
−
=
+
.
 Lập bảng biến thiên:
Kết luận sự biến thiên: Nếu ad-bc>0,∀x∈D thì hàm số đồng biến trên các khoảng
( ; );( ; )

d d
c c
−∞ − − +∞
Nếu ad-bc<0,∀x∈D thì hàm số nghịch biến trên các khoảng
( ; );( ; )
d d
c c
−∞ − − +∞
Hàm số không có cực trị.
 Lập bảng giá trị.
 Vẽ đồ thị. Nhận xét: Đồ thị nhận giao điểm của hai đường tiệm cận
( ; )
d a
I
c c
−
làm tâm đối xứng.
b) Sự tương giao của đồ thị (C) và đường thẳng (d): y=ax+b:
 Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d)(*).
 Lập luận: Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng (d).
 Tùy từng yêu cầu bài toán để tìm điều kiện tham số.
Bài 25: Cho hàm số
2 1
1
x
y
x
+
=
+

có đồ thị (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số;
b) Viết pttt của (C) tại điểm thuộc (C) có tung độ bằng 5/2;
c) Chứng minh rằng đt d: y=-2x+m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt;
Bài 26: Cho hàm số
3
2
x
y
x
−
=
−
có đồ thị (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số; b) Viết pttt của (C) biết tt // đt d: y=-x;
c) Tìm các giá trị của m để đt ∆: y=-x+m cắt (C) tại 2 điểm phân biệt;
Bài 27: Cho hàm số
2 1
1
x
y
x
+
=
−
có đồ thị (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số;
b) Viết pttt với (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng -3;
Tài liệu ôn thi tốt nghiệp THPT 3
Trường THPT Lương Thế Vinh GV: Lê Ngọc Anh

c) Viết pttt với (C) tại điểm thuộc (C) có trung độ bằng 7/2;
d) Tìm m để đt d: y=m(x+1)+2 cắt (C) tại 2 điểm phân biệt;
Bài 28: Cho hàm số
2 1
1
x
y
x
+
=
+
có đồ thị (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số;
b) Lập pttt với (C) biết tt song song với đường phân giác góc phần tư thứ nhất;
c) Viết pttt với (C) tại điểm thuộc (C) có hoành độ bằng -3;
d) Tìm m để đt d: y=mx+1 cắt (C) tại hai điểm phân biệt;
Bài 29: Cho hàm số
2 1
2
x
y
x
−
=
−
có đồ thị (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số;
b) Viết pttt với (C) biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng -3/4;
c) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m đt y=x-m luôn cắt (C) tại 2 điểm phân biệt;
Bài 30: Cho hàm số

3
2
1
y
x
= +
−
có đồ thị (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số;
b) Viết pttt với (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành;
c) Tìm m để đt d: y=m-x cắt (C) tại 2 điểm phân biệt;
Bài 31: Cho hàm số
2
3
x
y
x
+
=
−
có đồ thị (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số;
b) Viết pttt với (C) tại điểm thuộc (C) có hoành độ bằng 1;
c) Viết pttt với (C) tại điểm thuộc (C) có tung độ bằng -3/2;
d) Viết pttt với (C) biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng -5/4;
e) Xác định tọa độ giao điểm của (C) và đường thẳng y=-3x+2;
Bài 32: Cho hàm số
2
1
y

x
=
+
có đồ thị (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số;
b) Viết pttt của (C) tại các giao điểm của (C) với đường thẳng y=2x-1;
c) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [0;2];
d) Viết pttt với (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
1 3
;
2 2
y x= − +
e) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục hoành và hai đường thẳng x=0, x=2;
Bài 33: Cho hàm số
1
1
x
y
x
−
=
+
có đồ thị (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số;
b) Tìm điểm M trên trục hoành sao cho tiếp tuyến của (C) đi qua M và song song với đường thẳng y=-2x;
Bài 34: Cho hàm số
2
1
x
y

x
−
=
+
có đồ thị (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số;
b) Viết pttt với (C) tại giao điểm của (C) với đường thẳng y=2x-3;
c) Viết pttt với (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
1
2013
2
y x= +
;
d) Tìm m để đường thẳng y=mx+2 cắt (C) tại hai điểm phân biệt;
Bài 35: Cho hàm số
2 3
1
x
y
x
−
=
−
có đồ thị (C). a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số;
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), Ox và đường thẳng x=2;
c) Viết pttt với (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y=-x+3;
Bài 36: Cho hàm số
3 4
1
x

y
x
+
=
−
có đồ thị (C). a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số;
b) Viết pttt với (C) tại giao điểm của (C) với trục tung;
c) Viết pttt với (C) tại các giao điểm của (C) với đường thẳng y=-2x-4;
d) Tìm a để đường thẳng d: y=ax+3 không cắt đồ thị (C);
Tài liệu ôn thi tốt nghiệp THPT 4
Trường THPT Lương Thế Vinh GV: Lê Ngọc Anh
CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN HÀM SỐ-GIÁ TRỊ LỚN NHẤT-GIÁ
TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
1. Tìm giá trị lớn nhất-giá trị nhỏ nhất của hàm số:
 Tính y’=f’(x)
 Cho y’=0 để tìm các nghiệm x
i
∈(a;b); Tìm x
j
∈(a;b) sao cho y’ không xác định.
 Tình các giá trị f(a), f(x
i
), f(x
j
), f(b)
 Kết luận
[ ; ]
max
a b
y =

giá trị lơn nhất ở bước 3;
[ ; ]
min
a b
y =
giá trị nhỏ nhất ở bước 3.
2. Điều kiện để hàm số có cực trị:
• Nếu
0
0
'( ) 0
"( ) 0
f x
f x
=


<

thì hàm số y=f(x) đạt cực đại tại x=x
0
.
• Nếu
0
0
'( ) 0
"( ) 0
f x
f x
=



>

thì hàm số y=f(x) đạt cực tiểu tại x=x
0
.
• Hàm số y=ax
3
+bx
2
+cx+d(a≠0) có cực đại và cực tiểu ⇔
'
0
y
∆ >
• Hàm số y=ax
4
+bx
2
+c có cực đại và cực tiểu ⇔a.b<0
Chú ý: Cách xác định tham số để hàm số đạt cực trị tại x
0
cho trước:
 Tìm tập xác định của hàm số.
 Tính f’(x).
 Do f(x) đạt cực trị tại x
0
nên f’(x
0

)=0 hoặc f’(x) không xác định tại x
0
, từ đó suy ra m.
 Thế giá trị m tìm được vào f’(x) để kiểm tra và kết luận m tìm được.
3. Điều kiện để hàm số đơn điệu trên từng khoảng xác định:
• Hàm số y=ax
3
+bx
2
+cx+d(a≠0) đồng biến trên
¡
⇔y’≥0,∀x∈
¡
'
0
0
y
a >

⇔

∆ ≤

• Hàm số y=ax
3
+bx
2
+cx+d(a≠0) nghịch biến trên
¡
⇔y’≤0,∀x∈

¡
'
0
0
y
a <

⇔

∆ ≤

• Hàm số
ax b
y
cx d
+
=
+
(c≠0,ad-bc≠0) đồng biến trên từng khoảng xác định⇔y’>0,∀x∈D⇔ad-bc>0.
• Hàm số
ax b
y
cx d
+
=
+
(c≠0,ad-bc≠0) nghịch biến trên từng khoảng xác định⇔y’<0,∀x∈D⇔ad-bc<0.
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) y=x
3

-8x
2
+16x-9 trên đoạn [1;3]; b) y=x
2
-4ln(1-x) trên đoạn [-3;0]; c) y=2ln
3
x-3ln
2
x-2 trên đoạn [1;e
2
];
d) y=e
x
(x
2
-x-1) trên đoạn [0;2]; e) y=2x
3
-3x
2
-12x+10 trên đoạn [-2;0];
f) y=x
5
-5x
4
+5x
3
+1 trên đoạn [-1;2]; g) y=x
4
-2x
3

+x
2
-1 trên đoạn [-1;1]; h) y=x
5
-5x
3
+10x-1 trên đoạn [2;4];
i) y=
2
25 x−
trên đoạn [-2;4]; j) y=
2
2 5x x+ −
trên txđ; k) y=3sinx-2sin
3
x+1 trên đoạn [0;π];
l) y=cos2x-sinx+3 trên đoạn
3
[0; ]
2
π
m) y=e
x
+e
2-x
trên đoạn [-1;2]; n) y=(x-1)e
-x
trên đoạn [0;2];
o) y=(x
2

-x-1).e
-x
trên đoạn [-1;1]; p) y=2x.e
x
-2x-x
2
trên đoạn [0;1]; q) y=2(x-2)e
x
+2x-x
2
trên đoạn [0;2];
r) y=x
2
-ln(1-2x) trên đoạn [-2;0]; s) y=x
2
-2x-ln(x
2
+1) trên đoạn [0;2]; t) y=xlnx-2x+2 trên đoạn [1;e
2
];
u) y=2x
2
lnx-3x
2
trên đoạn [1;2e]; v) y=
2
ln x
x
trên đoạn [1;e
3

]; x)
ln x
y
x
=
trên đoạn
2
1
[ ; ];
2
e e
y) y=x
2
+2-2lnx trên đoạn
1
[ ;2]
2
; z) y=
2
cos2x+4sinx trên đoạn [0;
2
π
]
Bài 2: Cho hàm số y=x
3
+mx
2
+4x+3. Xác định m để hàm số:
a) Đồng biến trên R; b) Có cực đại và cực tiểu;
Bài 3: Cho hàm số y=x

3
-3mx
2
+(m
2
-1)x+2. Xác định m để hàm số đạt cực đại tại x
0
=2;
Bài 4: Tìm các giá trị của m để các hàm số sau luôn đồng biến trên tập xác định:
a) y=x
3
-mx
2
+(m+6)x-2; b) y=x
3
-2(m-1)x
2
+(2m
2
-m+2)x+m-3;
Bài 5: Tìm các giá trị của m để các hàm số sau luôn nghịch biến trên tập xác định:
a) y=-x
3
+(m+1)x
2
-(2m+1)x-3; b)
7
5 3
mx m
y

x m
+ −
=
− +
;
Tài liệu ôn thi tốt nghiệp THPT 5
Trường THPT Lương Thế Vinh GV: Lê Ngọc Anh
Bài 6: Tìm m để các hàm số sau có cực đại và cực tiểu:
a) y=x
3
+2(m-1)x
2
+(m
2
-3m+2)x+2; b)
2
2 4
;
2
x mx m
y
x
+ − −
=
+
c) y=(m-1)x
4
-2mx
2
-3;

Bài 7: Tìm m để hàm số:
a) y=2x
3
+(m+1)x
2
+(m
2
-4)x-m+1 đạt cực đại tại x
0
=0; b)
2
3
6
1
3
m
y x mx
−
= + +
đạt cực tiểu tại x
0
=2;
c) y=(2m
2
-1)x
3
-mx
2
+(2m+3)x-2 đạt cực tiểu tại x
0

=-1; d)
4 2
1
2
y x mx m= − +
đạt cực tiểu tại x
0
=1;
e) y = x
3
– 2x
2
+ mx + 1 đạt cực tiểu tại x
0
= 1; f)
2
1
x m m
y
x
− +
=
+
đạt gtnn trên đoạn [0;1] bằng -2;
g) y=mx
4
-(m+1)x
2
-2 có ba cực trị(HKI 2011-2012); h) đt y=x+m cắt đthị h/s
2

1
x
y
x
+
=
−
tại 2 điểm p/b;
Một số đề thi tốt nghiệp:
Bài 1: (TN 2005-2006) Cho hàm số y=-x
3
+3x
2
có đồ thị (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số;
b) Dựa vào (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình: -x
3
+3x
2
-m=0;
c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành;
Bài 2: (TN2006-2007(lần 2)) Cho hàm số
1
2
x
y
x
−
=
+

có đồ thị (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số;
b) Viết pttt với đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục tung;
Bài 3: (TN2007-2008(lần 1)) Cho hàm số y=2x
3
+3x
2
-1 có đồ thị (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số;
b) Dựa vào (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 2x
3
+3x
2
-1=m.
Bài 4: (TN2007-2008(lần 2)) Cho hàm số
3 2
1
x
y
x
−
=
+
có đồ thị (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số;
b) Viết pttt của đồ thị (C) tại điểm thuộc (C) có hoành độ bằng -2;
Bài 5: (TN2008-2009(lần 1)) Cho hàm số
2 1
2
x

y
x
+
=
−
có đồ thị (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số;
b) Viết pttt của đồ thị (C) biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng -5;
Bài 6: (TN2009-2010) Cho hàm số
3
2
3
5
4 2
x
y x= − +
; a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị h/số?
b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình x
3
-6x
2
+m=0 có 3 nghiệm phân biệt?
Bài 7: (Thi thử TN2009-2010) Cho hàm số
3 5
2 2
x
y
x
+
=

+
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số; b) Viết pttt của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng 1?
Bài 8: (Thi thử TN2010-2011) Cho hàm số
4 2
1 3
2 2
y x x= − −
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số; b) Tìm m để pt x
4
-2x
2
-4m=0 có 4 nghiệm p/biệt;
Bài 9: (Thi thử TN2010-2011) Cho hàm số
2 1
2 1
x
y
x
+
=
−
. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số;
b) Xác định tọa độ giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng
2y x= +
.
Bài 10: (TN 2011-2012) Cho hàm số
4 2
1
2
4

y x x= −
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số;
b) Viết pttt của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x
0
, biết f”(x
0
)=-1;

Tài liệu ôn thi tốt nghiệp THPT 6
Trường THPT Lương Thế Vinh GV: Lê Ngọc Anh
PHƯƠNG TRÌNH-BấT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT
1. Phương trình mũ:
a) Các tính chất về lũy thừa: Với 0<a≠1, b>0, m,n∈
¢
ta có:
0 .
1 1
. ; ; 1; ; ; ( ) ( ) ;
m
m n m n m n n n m n m n m n
n n n
a
a a a a a a a a a a
a a a
+ − −
−
• = • = • = • = • = • = =
( ) . ; ( ) ; .
m
n

nn n n n m
n
n
a a
ab a b a a
b b
• = • = • =
b) Phương trình mũ cơ bản: Với 0<a≠a ta có:
• a
x
=b vô nghiệm khi b≤0; • a
x
=b⇔
log
a
x b=
khi b>0.
c) Phương pháp đưa về cùng cơ số: Với 0<a≠1, ta có:
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
a a f x g x= ⇔ =
d) Phương Pháp đặt ẩn phụ:
 Biến đổi phương trình theo a
f(x)
, chẳng hạn: m.a
2f(x)
+m.a
f(x)
+p=0;

( )
( )
1
. . 0
f x
f x
m a n p
a
+ + =
 Đặt t=a
f(x)
, t>0 và thay vào phương trình.
 Giải phương trình mới theo t để tìm nghiệm t
0
(nếu có).
 Đối chiếu nghiệm t
0
với điều kiện rồi giải phương trình a
f(x)
=t
0
để tìm x.
e) Phương pháp lôgarit hóa: Với 0<a≠1, 0<b≠1 ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
log [ ] log [ ]
f x g x f x g x
a a
a b a b= ⇔ =
2. Phương trình lôgarit:
a) Các cô thức và quy tắc tính lôgarit: Với a<a≠1, b>0, 0<c≠1, α≠0, ta có:

log
log ; log 1 0; log 1; ; log ; log ( ) log log
a
b
a a a a a a a
b a b a a b a bc b c
α α
α α
• = ⇔ = • = • = • = • = • = +
0 0
log ( ) log | | log | |; log log log ; log log | | log | |;
0 0
a a a a a a a a a
b b
b b
bc b c b c b c
c c
c c
< <
 
• ⇒ = + • = − • ⇒ = −
 
< <
 
log
1 1 1
log ( ) log ; log log ; log ; log ; log log
log log
n
c

a a a a a a a
a
c b
b
b b b b b b b b
n a a
α
α
α
α
• = • = • = • = • =
b) Phương trình lôgarit cơ bản: Với 0<a≠1, ta có: log
a
x=b⇔x=a
b
.
c) Phương pháp đưa về cùng cơ số: Với 0<a≠1, ta có:
•
( ) 0
log ( ) log ( )
( ) ( )
a a
f x
f x g x
f x g x
>

= ⇔

=


•
log ( ) ( ) .
b
a
f x b f x a= ⇔ =
Lưu ý: • Nếu đã có f(x)>0 thì
2
log [ ( )] 2 log ( )
n
a a
f x n f x=
• Nếu chỉ có f(x)≠0 thì
2
log [ ( )] 2 log | ( ) |
n
a a
f x n f x=
d) Phương pháp đặt ẩn phụ:
 Đặt điều kiện(nếu có). Biến đổi phương trình theo
log ( )
a
f x
, chẳng hạn:
2
.log ( ) .log ( ) 0
a a
m f x n f x p+ + =
 Đặt t=
log ( )

a
f x
và thay vào phương trình.
 Giải phương trình mới theo t để tìm nghiệm t
0
(nếu có).
 Giải phương trình
log ( )
a
f x
=t để tìm x, đối chiếu điều kiện để kết luận nghiệm.
e) Phương pháp mũ hóa: Với 0<a≠1, 0<b≠1, ta có:
log ( ) log ( )
log ( ) log ( )
a b
f x g x
a b
f x g x a a= ⇔ =
3. Bất phương trình mũ và lôgarit:
 Cũng có các cách giải như cách giải phương trình mũ,lôgarit. Tuy nhiên khi giải bất phương trình mũ và bất
phương trình lôgarit cần chú ý so sánh cơ số với số 1 để sử dụng tính đồng biến, nghịch biến của hàm số mũ và
hàm số lôgarit.
Bài 1: Giải các phương trình sau:
2
3 5 7 1 1
2
)5 625; )(1,5) ( ) ; )2 .5 200;
3
x x x x x x
a b c

+ − + +
= = =
Bài 2: Giải các phương trình sau:
1 1 2
)9 5.3 6 0; )4 2 21 0; )5 2.5 5 0; )6.9 13.6 6.4 0;
x x x x x x x x x
a b c d
− + −
− + = + − = − + = − + =
Bài 3: Giải các phương trình sau:
2
2 2 4 8 5 25 0,2
2
)log 4 log 1 1; )log 2log log 13; )log log log 3;a x x b x x x c x x− + − = + + = + =
2
3
3
)log ( 2) log ( 4) 0;d x x− + − =
Tài liệu ôn thi tốt nghiệp THPT 7
Trường THPT Lương Thế Vinh GV: Lê Ngọc Anh
Bài 4: Giải các phương trình sau:
2 2
2 2 2 2
2
1 2
)log log 6 0; )4log log 2; ) 1; )log (5 2 ) 2 ;
5 log 1 log
x
a x x b x x c d x
x x

− − = + = + = − = −
− +
Bài 5: Giải các bất phương trình sau:
2 2
6 3 7 7 2
3 9
)7 49; )( ) ; ) 4 3.2 2 0;
5 25
x x x x x x
a b c
+ − − + +
≤ > − + <
Bài 6: Giải các bất phương trình sau:
2 2 2 2
0,5 1 1
3 3
)log ( 5 6) 1; )ln( 2) ln(2 5 2); )log (2 4) log ( 6);a x x b x x x c x x x− + ≥ − + ≥ − + + ≤ − −
Bài 7: Giải các phương trình sau:
a) 7
2x
-8.7
x
+7=0; b) 2.2
2x
+2
x
-1=0; c) 9
x
-3
x

-6=0; d) 25
x
+2.5
x
-15=0; e) 2
2x+1
-2
x
=6;
f) 8
2x
-2
3x
-56=0; g) 3
x
+3
3-x
=12; h) 2
3-x
-2
x
+2=0;i) 5
2x
-5
3-2x
=20; j) 7
x
+2.7
1-x
-9=0;

k) e
2x
-4.e
-2x
=3; l) 6
x+1
+2.6
-x
-13=0; m) 3.4
x
-2.6
x
=9
x
; n) 25
x
+10
x
=2
2x+1
; o) 25
x
+15
x
=2.9
x
;
p) 5.4
x
+2.25

x
-7.10
x
=0; q) e
6x
-3.e
3x
+2=0; r) 2
4x+1
-15.4
x
-8=0; s) 5
2x-1
+5.5
x
=250; t) 3
2x+1
-9.3
x
+6=0;
u) 2
2x+6
+2
x+7
=17; v) 2
x-1
(2
x
+3
x-1

)=9
x-1
;
Bài 8: Giải các phương trình sau:
a) 2
2x+5
+2
2x+3
=12; b) 2
x+4
+2
x+2
=5
x+1
+3.5
x
; c) 3
2x-1
+3
2x
=108; d) 5
2x
+17.7
x
=7
x
+17.5
2x
;
e) 2

x
.5
x-1
=0,2.10
2-x
; f) 8.4
|3x-1|
=2
3x-2
; g) 2
3x
.3
x
-2
3x+1
.3
x-1
=192; h)
2 2
1
3 .2 72;
x x x x− − +
=
Bài 9: Giải các phương trình sau:
a) 3.2
x
+4
x+1
-1=0; b) 5
2x+1

-110.5
x+1
-75=0;c) (1,5)
5x-7
=
1
2
( ) ;
3
x+
d)
2
5
2
2
16
(0,75) ( ) 0;
9
x
x x
− −
−
− =
e) 3
2x-1
+3
2x
=108; f) 16
x
+2

2(x+1)
-12=0; g) 4.9
x
+12
x
-3.16
x
=0; h) 3
4x+8
-4.3
2x+5
+27=0;
i) 3
x
(3
x+1
-30)+27=0; j) 2
3x
-2
2x+1
-2
x+3
=0; k) 2
2x+2
-9.2
x
+2=0; l) 1-3.2
1-x
+2
3-2x

=0;
m) 3
2x
-2.3
1-2x
+5=0; n)
2 2
2
2 2 3;
x x x x− + −
− =
o) 2.16
x
-2
4x
-4
2x-2
=15; p)
2 3
4.( ) 2.( ) 6 0;
3 2
x x
+ − =
q)
(2 3) (2 3) 4;
x x
+ + − =
r) 2
x-1
.4

x
+64
x
-5=0; s) 4
x
-4
x
.4
x+1
+3=0; t) 36
x
-3
x+1
.2
x
-4=0;
u)
+ −
− =
1 3
3 5.3 12;
x x
v) 3
x
+9.3
-x
-10=0; x) 7
2x+1
– 8.7
x

+ 1 = 0; y) 4
x
-2
1-x
.4
x
-3=0;
Bài 10: Giải các phương trình sau:
2 4 2 2
2 7 1
7
)log( 6 5) log(1 ); )ln .log ( 2 ) 3ln ; )log ( 2) log (8 ) 0;a x x x b x x x x c x x− + = − − = + + − =
2
3 1 2
2
3
)log ( 10) log (3 ) 0; )ln(4 4) ln( 1) ln ; )log ( 1) log (7 );d x x e x x x f x x− + = − − − = − = −
2 4 3 1 2 2
3
)log 2 log ( 1) 1; )log ( 2) log ( 4) 1; )log ( 1) log (2 11) 1;g x x h x x i x x− + + = − − − = − − − =
2 4 0,5 2 0,5 5 0,2
5
)log (2 ) log log ; )log ( 3) log ( 1) 3; )log log log 2;j x x x k x x l x x x+ = − − + = + − =
4 3
3 9 27
)log log log 11; )log log(4 ) 2 logm x x x n x x x+ + = + = +
Bài 11: Giải các phương trình sau:
2 2 2 2
5 5 2 2 5 0,2
)log 4log 3 0; )2log log 1 0; )log log 12 0; )ln ln( ) 1 0a x x b x x c x x d x ex

− + = + − = + − = − − =
2 2 2
2 0,5 2 0,5 2 4
2
)log 5log 4 0; )3log log log (2 ); )log 6log ( ) 7;
8
x
e x x f x x x g x+ + = − = − =
2 2 2 2
0,2 5
)log 5log 6 0; )log 3log log 4; )log (10 ) 9log(0,1 );h x x i x x x j x x+ + = − = − =
3 3 6
2
)log log 9 3; )log 27 3log 8; )2log 2 log 5; )2log 5log ( ) 6;
6
x x x x
x
k x l x m x n x+ = − = + = − =
Bài 12: Giải các phương trình sau:
3 3
log log
2
3 3
)log ( 5) log (2 5); )log (2 ) log (10 3 ); )4 5.2 4;
x x
a x x x b x x c
π
π
− − = + − = − − +
2 2

5 3 3
5
)log (10 ) 3log 1 0; )log ( 2) log (4 5); )log (3 ) log 1 0;d x x e x x f x x− − = + = + + − =
2 2 3
2 0,5
2
log 1 log 2 1
)log 3log log 2; )log log 2 0; ) ;
log 2 log 1 2
x x
g x x x h x x i
x x
− −
+ + = − + = − =
+ +
1
8
2
3 3 5 5
4 16
log (4 )
log
) ; )log (3 1).log (3 3) 6; )log ( 2) log ( 6);
log (2 ) log (2 )
x x
x
x
j k l x x x
x x
+

= − − = + = +
Tài liệu ôn thi tốt nghiệp THPT 8
Trường THPT Lương Thế Vinh GV: Lê Ngọc Anh
3 2
4 2 4
2 2
1
)log(10 ).log(0,1 ) log 3; )log 4log log (4 ) 12; ) log ( 2) log (3 1) 1;
2
m x x x n x x x o x x= − + + = − + − =
2 2
1
)log log [( 1)( 4)] 2;
4
x
p x x
x
−
+ − + =
+
Bài 13: Giải các bất phương trình sau:
2 2
2 3 3 2 1
)(0,5) 2; )2 2 3 0; )2 4; )3 3 28; )4 3.2 2 0;
x x x x x x x x x x
a b c d e
− − − + + −
≥ + − < < + ≤ − + >
2
2 6 7 2 3 2 4 4 2 2

)3 9; )2 2 17; )5 2.5 3; )4 2 3; )2.2 2 4 15;
x x x x x x x x x x x
f g h i j
− + + − − −
< + > − ≤ > + − − ≤
k) 5.4
x
+2.25
x
≤7.10
x
; l) 4
x+1
-16
x
≥3;
Bài 14: Giải các bất phương trình sau:
2 2 1 8 8 1
3 3
5 2 3 1
)log ( 5) log (3 2 ); )log log 3 ; )2log ( 2) log ( 3) ; ) log 1;
2 3 2
x
x
a x x b x c x x d
x
−
+ ≤ − > − − − − > >
+
e) log

4
(x+7)>log
4
(1-x); f)
2
2 2
log log 0;x x+ ≤
g)
2
1 1
2 2
log (5 10) log ( 6 8);x x x+ < + +
h) log
2
(x-3)+log
2
(x-2)≤1; i)
1 1
2 2
log (2 3) log (3 1);x x+ > +
j) log
0,2
(3x-5)>log
0,2
(x+1);
k) log
3
(x-3)+log
3
(x-5)<1;

Một số phương trình-bất phương trình đề thi học kì và tốt nghiệp phổ thông:
a) 25
x
– 6.5
x
+ 5 = 0(TN 2008-2009); b)
1
3 9.3 6 0
x x+
− + =
(TN 2007-2008)
c)
3 3 3
log ( 2) log ( 2) log 5x x+ + − =
(TN 2007-2008); d)
2
2 4
2log 14log 3 0x x− + =
(TN 2009-2010)
e) 7
2x+1
– 8.7
x
+ 1 = 0(TN 2010-2011); f)
2 4 3
log ( 3) 2log 3.log 2;x x− + =
(TN 2011-2012)
g) 2
2x+2
-9.2

x
+2=0(TN 2005-2006); h) 7
x
+2.7
1-x
-9=0(TN 2006-2007 lần 2)
i) 2
x-1
+2
x-2
+2
x-3
=3
x
+3
x-1
+3
x-2
(HKII 2008-2009); j) log(x
2
-6x+7)>log(x-3)(HKII 2008-2009);
k) 2
x+1
+4
x+1
>6(HKII 2008-2009); l)
2 2
log log ( 1) 2x x+ − =
(HKII 2008-2009);
m)

2 2
log ( 3) log ( 1) 3x x− + − =
(HKII 2009-2010); n) 3
x+1
-5.3
3-x
=12(thi thử TN 2008-2009);
o)
2
1 5
5
log ( 6 5) 2log (2 ) 0x x x− + + − ≥
(thử 2009); p)
2
3
log ( 1) 2x + <
(thi thử TN 2009-2010);
q) 3
x
+9.3
-x
-10=0(thi thử TN 2009-2010); r)
2
3 9
2log 14log 3 0x x− + =
(HKI 2011-2012)

CHỦ ĐỀ: NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
1. Định nghĩa nguyên hàm: Hàm số F(x) dược gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x)=f(x).
Lưu ý: • Các nguyên hàm của f(x) trên K sai khác nhau một hằng số C.

• Họ các nguyên hàm của f(x) trên K kí hiệu là
( )f x dx
∫
; Vậy
( ) ( )f x dx F x C= +
∫
2. Bảng công thức nguyên hàm và nguyên hàm mở rộng:
1 1
1 ( )
1. ; . ; ; ( ) .
1 1
x ax b
dx x c a dx ax c x dx C ax b dx C
a
α α
α α
α α
+ +
+
• = + • = + • = + • + = +
+ +
∫ ∫ ∫ ∫
1 1 1 1 1 1
ln | | ; .ln | | ; 2 ; .2 ;dx x C dx ax b C dx x C dx ax b C
x ax b a a
x ax b
• = + • = + + • = + • = + +
+
+
∫ ∫ ∫ ∫

2 2
1 1 1 1 1 1
; . ; ; . ;
( )
x x ax b ax b
dx C dx C e dx e C e dx e C
x x ax b a ax b a
+ +
• = − + • = − + • = + • = +
+ +
∫ ∫ ∫ ∫
1 1
cos sin ; cos( ) .sin( ) ; sin cos ; sin( ) .cos( ) ;xdx x C ax b dx ax b C xdx x C ax b dx ax b C
a a
• = + • + = + + • = − + • + = − + +
∫ ∫ ∫ ∫
2 2
2 2
1 1 1
tan ; .tan( ) ;
cos cos ( )
1 1 1
cot ; .cot( ) ;
sin sin ( )
dx x C dx ax b C
x ax b a
dx x C dx ax b C
x ax b a
• = + • = + +
+

• = − + • = − + +
+
∫ ∫
∫ ∫
3. Phương pháp tìm nguyên hàm:
a) Phương pháp đổi biến:
[ ( )]. '( ) [ ( )]f t x t x dx F t x C= +
∫
Tài liệu ôn thi tốt nghiệp THPT 9
Trường THPT Lương Thế Vinh GV: Lê Ngọc Anh
b) Phương pháp từng phần:
.udv u v vdu= −
∫ ∫
4. Công thức tích phân: Với F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a;b] thì
( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a= = −
∫
5. Phương pháp đổi biến số: Xét
[ ( )]. '( )
b
a
I f t x t x dx=
∫
 Đặt t=t(x)⇒dt=t’(x)dx;  Đổi cận: x=b⇒t=t(b); x=a⇒t=t(a).
 Thay vào:
( )

( )
( )
t b
t a
I f t dt=
∫
và tính tích phân mới này (biến t).
Vài dạng tích phân đổi biến thông dụng:
Dạng tích phân Cách đặt Đặc điểm nhận dạng
'( )
( )
b
a
t x
dx
t x
∫
Đặt t=t(x) Mẫu
( )
( ). '( )
b
t x
a
f e t x dx
∫
Đặt t=t(x) Mũ
( ( )). '( )
b
a
f t x t x dx

∫
Đặt t=t(x) Ngoặc
( ( )). '( )
b
n
a
f t x t x dx
∫
Đặt t=
( )
n
t x
Căn
1
(ln ).
b
a
f x dx
x
∫
Đặt t=lnx Lnx
(sin ).cos
b
a
f x xdx
∫
Đặt t=sinx Cosxdx đi kèm biểu thức theo sinx
(cos ).sin
b
a

f x xdx
∫
Đặt t=cosx Sinxdx đi kèm biểu thức theo cosx
2
1
(tan ).
cos
b
a
f x dx
x
∫
Đặt t=tanx
2
1
cos
dx
x
đi kèm biểu thức theo
tanx
2
1
(cot ).
sin
b
a
f x dx
x
∫
Đặt t=cotx

2
1
sin
dx
x
đi kèm biểu thức theo
cotx
( ).
b
ax ax
a
f e e dx
∫
Đặt t=e
ax
. e
ax
dx đi kèm biểu thức theo e
ax
.
Đôi khi thay cách đặt t=t(x) bởi t=mt(x)+n ta sẽ gặp thuận lợi hơn.
6. Phương pháp tích phân từng phần:
( )
b b
b
a
a a
udv uv vdu= −
∫ ∫
Vài dạng tích phân đổi biến thông dụng:

Với P(x) là một đa thức, ta cần chú ý các dạng tích phân sau đây:
•
( ).sin( )
b
a
P x ax b dx+
∫
ta đặt
( )
sin( )
u P x
dv ax b dx
=


= +

ta có
'( ).
1
cos( )
du P x dx
v ax b
a
=



= − +



•
( ).cos( )
b
a
P x ax b dx+
∫
ta đặt
( )
cos( )
u P x
dv ax b dx
=


= +

ta có
'( ).
1
sin( )
du P x dx
v ax b
a
=



= +



Tài liệu ôn thi tốt nghiệp THPT 10
Trường THPT Lương Thế Vinh GV: Lê Ngọc Anh
•
( )
( ).
b
ax b
a
P x e dx
+
∫
ta đặt
( )
ax b
u P x
dv e dx
+
=


=

ta có
'( ).
1
ax b
du P x dx
v e
a

+
=



=


•
( ).ln( )
b
a
f x ax b dx+
∫
ta đặt
ln( )
( )
u ax b
dv f x dx
= +


=

ta có
.
( )
a
du dx
ax b

v F x

=

+


=

7. Diện tích hình phẳng: Cho hai hàm số y=f(x) và y=g(x) liên tục trên đoạn [a;b], (H) là hình phẳng giới
hạn bởi các đường (C
1
):y=f(x), (C
2
):y=g(x), x=a, x=b. Khi đó diện tích của hình phẳng (H) là:
| ( ) ( ) |
b
a
S f x g x dx= −
∫
8. Thể tích vật thể tròn xoay: Hình (H) giới hạn bởi: y=f(x), Ox, x=a,x=b. Thể tích vật thể do hình (H)
quay quanh trục Ox là:
2
[ ( )]
b
a
V f x dx
π
=
∫

Lưu ý: Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường y=f(x), y=g(x), x=a, x=b(a≤b). Nếu f(x) và g(x) luôn
cùng dấu trên [a;b] thì thể tích vật thể do (H) quay quanh Ox là:
2 2
| ( ( )) ( ( )) |
b
a
V f x g x dx
π
= −
∫
Bài 1: Tính các tích phân sau:
2
3 2 4
2
1 2 3 4
2
0 1 2
3
3 1 cos ln 1
) ; ) 3 . ; ) ; ) ;
sin (1 cos ) ln
1
x
x x x
a I dx b I x e dx c I dx d I dx
x x x x
x
π
π
−

− +
= = = =
+
+
∫ ∫ ∫ ∫
Bài 2: Tính các tích phân sau:
2 2
2
2
1 2 3
0 1 1
) ( 1)sin ; ) 3 . ; ) (3 1)ln ;
x
a I x xdx b I x e dx c I x xdx
π
−
= − = = −
∫ ∫ ∫
Bài 3: Tính các tích phân sau:
2 2
3
2
2
1 2 3 4
2
1 0 1 0
1 2 1
) ( ) ; ) ( 1) ; ) ; ) (1 2sin )sin ;
e
x

t t
a I x e dx b I x x xdx c I dt d I a ada
x t
π
− +
= − = + + = = +
∫ ∫ ∫ ∫
Bài 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây:
a) y=x
3
-3x+2, trục hoành và các đường thẳng x=-1, x=3; b) y=-4-x
2
và y=2x
2
-x
4
;
c) y=x
3
-2x và tiếp tuyến của nó tại điểm có hoành độ bằng -1; d) y=x
3
-x và y=x-x
2
;
Bài 5: Tính các tích phân sau:
1 ln 2 1 2
2 3
1 2 3 4
0 0 1 1
1

) (2 1) ; ) (3. 5) ; ) (2 3 ) ; ) ;
t
x x
te t
a I x x dx b I e e dx c I x dx d I dt
t
−
−
+ −
= − = − = − =
∫ ∫ ∫ ∫
2 3 2 1
2
2 2
5 6 7 8
1 1 1 2
(1 ) 3 2 1 2
) ; ) ; ) ( ) ; ) ( ) ;
x
x
x e x t t
e I dx f I dt g I t dt h I x x dx
xe t x
t
−
−
+ − + −
= = = − = +
∫ ∫ ∫ ∫
1

6
4 4
3 2
9 10 11 12
0 0
6 4
) (1 ) ; ) cos 4 .cos3 ; ) sin 3 .sin ; ) tan ;i I x x dx j I x xdx k I t tdt l I xdx
π
π π
π π
−
= − = = =
∫ ∫ ∫ ∫
1 ln 2 2 2
2 1 3
13 14 15 16
2
0 0 0 1
1 2 5
) (1 ) ; ) ; ) |1 | ; ) ;
cos
x x
x
x
e e t t
m I e dx n I dx o I x dx p I dt
x e t
− +
+ −
= + = = − =

∫ ∫ ∫ ∫
2 1
2 2 2
3 3
17 18 19 20
2 2
1
0 0
2 6
3 1 3 1 tan cos 2cos 2 1
) ; ) ; ) ; ) ;
1 ( 1) sin cos
x x x x x x
q I dx r I dx s I dx t I dx
x x x x x
π π
π
− − + − −
= = = =
+ +
∫ ∫ ∫ ∫
Bài 6: Tính các tích phân sau:
Tài liệu ôn thi tốt nghiệp THPT 11
Trường THPT Lương Thế Vinh GV: Lê Ngọc Anh
2
1
2 1 2
2 2
1
1 2 3 4 5

2 2 2
0 1 0 1
6
sin 1 cos
) ; ) ; ) . ; ) ; ) ;
1 3cos 2 3 (1 sin )
x
x
x x e xdx
a I dx b I dx c I x e dx d I dx e I
x x x x x
π π
π
−
−
−
= = = = =
+ − − +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
0 19
2 2
2
6 7 8 9
4
3 2
1 0 0 1
sin 3 1 ln
) ; ) ; ) ; ) ;
(1 )
8cos 1

8
e
x xdx xdx x
f I dx g I h I i I dx
x x
x
x
π
−
+
= = = =
−
+
+
∫ ∫ ∫ ∫
1 1
2013 2
10 11 12 13
1 1
0 0
1 ln
) ; ) ; ) ( 1) ; ) 1 ;
(1 ln ) (ln 3)
e e
e e
xdx
k I dx l I m I x x dx n I x x dx
x x x x
= = = − = +
− +

∫ ∫ ∫ ∫
7 0 0
2
3 sin 2
3
14 15 16 17
0 5
2 4
) 1 ; ) sin .cos ; ) .cos 2 ; ) 4 ;
x
o I x x dx p I x xdx q I e xdx r I x xdx
π
π π
−
− −
= + = = = −
∫ ∫ ∫ ∫
1 ln3
18 19 20
2 2 2
0 0
2
sin 2 4
) ; ) ; ) ;
1 cos (2 1) 1
x
x x dx
s I dx t I dx u I
x x e
π

π
−
= = =
+ + +
∫ ∫ ∫
Bài 7: Tính các tích phân sau:
1 1 1 ln5
2 1
1 2 3 4
0 0 0 ln2
) ( 1). ; ) (2 1) ; ) . ; ) 2 ( 1) ;
x x x x
a I x e dx b I x e dx c I x e dx d I x e dx
−
= + = − = = −
∫ ∫ ∫ ∫
ln 2 0
2 4
5 6 7 8
0 0 0
) ( 1) ; ) 2 .cos ; ) (2 1).cos ; ) (1 ) cos ;
x
e I x e dx f I x xdx g I x xdx h I x xdx
π π
π
−
−
= − = = − = −
∫ ∫ ∫ ∫
2 4 4

9 10 11 12
0 0 0 1
) 2 sin ; ) ( 1)sin 2 ; ) sin 2 ; ) ln ;
e
i I x xdx j I x xdx k I x xdx l I xdx
π π π
= = + = =
∫ ∫ ∫ ∫
3 2 3
2 2
13 14 15 16
2
1 2 1 0
ln
) 2 .(ln 1) ; ) 2 ln( 1) ; ) ; ) ( 1).
e
x
xdx
m I x x dx n I x x dx o I p I x e dx
x
= − = − = = +
∫ ∫ ∫ ∫
4
4
17 18
0 1
) sin ; ) ;
x x
q I e xdx r I e dx
π

= =
∫ ∫
Bài 8: Tính các tích phân sau:
1 2
2
1 2 3 4
0 0 0 1
ln
) (3. 5 ) ; ) ( cos ) ; ) ( ) ; ) ;
x x x
x x
a I e e x dx b I x x x dx c I x x e dx d I dx
x
π
−
+
= − = + = + =
∫ ∫ ∫ ∫
4
4
5 6 7 8
2
1 1 1 0
1 ln
) ; ) ; ) ( ln 1) ; ) ( cos )sin ;
e e
x
x e x x
e I dx f I dx g I x x dx h I x x xdx
x

x
π
+ +
= = = + = +
∫ ∫ ∫ ∫
2 1 2
2
9 10 11 12
2
1 0 0 1
1 1 sin ( 1) ln
) ( 2 ) ; ) ; ) ; ) ;
1 1 cos
x
x
x
xe x x x x
i I x xe dx j I dx k I dx l I dx
e x x
π
+ + − −
= + = = =
+ +
∫ ∫ ∫ ∫
Bài 9: Tính các tích phân sau:
0 2 1
6
2
1 2 3 4
1 1 0 0

1 cos
) ( ) ; ) ; ) ; ) 3 1 ;
( 1) 2sin 1
x
x
dx xdx
a I e dx b I c I d I x dx
e x x x
π
−
= − = = = +
+ +
∫ ∫ ∫ ∫
2 2
2 4
5 6 7 8
2
1 1 1 1
1 ln ln
) (2 1)ln ; ) ln( 1) ; ) ; ) ;
e e
x xdx
e I x xdx f I x dx g I dx h I
x x
+
= + = + = =
∫ ∫ ∫ ∫
2 0
2 2 tan
4

9 10 11 12
2
1 0 ln 6 0
ln
) ; ) ; ) 3 ; ) 2 sin ;
cos
x
x x
x x e dx
i I dx j I k I e e dx l I x xdx
x x
π
π
+
= = = + =
∫ ∫ ∫ ∫
Tài liệu ôn thi tốt nghiệp THPT 12
Trường THPT Lương Thế Vinh GV: Lê Ngọc Anh
2
4
3
2
13 14 15 16
3 2
0 1 1 0
cos sin ln .
) ; ) ; ) ; ) sin 2 .sin ;
cos (1 ln ) (2 ln )
e e
x x dx x dx

m I dx n I o I p I x xdx
x x x x x
π
π
+
= = = =
+ +
∫ ∫ ∫ ∫
1
2
2 2
17 18 19 20
0 0 1
ln 1
) sin .cos ; ) (4 1) ; ) ; ) (1 cos ).cos ;
e
x
x x
q I x xdx r I x e dx s I dx t I x xdx
x
π π
π
−
+
= = + = = −
∫ ∫ ∫ ∫
2 1
21 22 23 24
0 0 1
) ( 4 1) ; ) ( 3) ; ) ( cos 2) ; ) ( ln 2) .

e
x
u I x x dx v I xe dx x I x x dx y I x x x dx
π
π
−
= − + = + = − = +
∫ ∫ ∫ ∫
Một số đề thi tốt nghiệp về tính tích phân:
Bài 1: Tính các tích phân sau:
a)
1
2
0
( 1)I x x dx= −
∫
(TN2009-2010); b)
1
4 5
e
lnx
I dx
x
+
=
∫
(TN 2010-2011);
c)
ln2
2

0
( 1) ;
x x
I e e dx= −
∫
(TN 2011-2012); d)
0
I x(1 cos x)dx
π
= +
∫
(TN 2008-2009)
e)
1
2 3 4
1
((1 )I x x dx
−
= −
∫
(TN 2007-2008(PB)); f)
1
0
(1 )
x
I x e dx= +
∫
(TN 2007-2008(KPB));
g)
1

0
(4 1)
x
I x e dx= +
∫
(TN 2007-2008(PBlần 2)); h)
2
1
ln
e
x
J dx
x
=
∫
(TN 2006-2007)
Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
a) y=-x
3
+3x
2
và trục hoành(TN2005-2006); b) y=-x
2
+6x; y=0 (TN2006-2007(lần 2));
c) (Thi thử TN 2008-2009) y=-x
3
+3x+1; y=-1;
Bài 3: (Thi thử TN 2008-2009)Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường:
lny x x=
; trục hoành; x=e. Tính

thể tích khối tròn xoay tạo được khi (H) quay quanh trục hoành;

CHỦ ĐỀ SỐ PHỨC
1. Các khái niệm và phép toán liên quan đến số phức:
• Đơn vị ảo i: i
2
=-1; i
3
=-i.
• Số phức z=a+bi(a,b∈
¡
) a là phần thực, b là phần ảo.
• Môđun:
2 2
z a b= +
• Số phức liên hợp của số phức z=a+bi là:
z a bi= −
• a+bi=c+di
a c
b d
=

⇔

=

• Phép cộng hai số phức: (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.
• Phép trừ hai số phức: (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.
• Phép nhân hai số phức: (a+bi).(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.
• Phép chia hai số phức:

2 2
( )( )a bi a bi c di
c di c d
+ + −
=
+ +
2. Giải phương trình bậc hai hệ số thực trên tập số phức:
Cho phương trình bậc hai ax
2
+bx+c=0(a,b,c∈
¡
và a≠0). Ta có ∆=b
2
-4ac
• Nếu ∆=0 thì phương trình có nghiệm kép:
1 2
.
2
b
x x
a
= = −
• Nếu ∆>0 thì phương trình có hai nghiệm thực phân biệt:
1,2
2
b
x
a
− ± ∆
=

• Nếu ∆<0 thì phương trình có hai nghiệm phức:
1 2
. | | | |
,
2 2
b i b i
x x
a a
− + ∆ − − ∆
= =
Chú ý: Khi giải phương trình trùng phương trên
£
, ta đặt t=x
2
(không cần điều kiện cho t)
Bài 1: Thực hiện các phép tính:
Tài liệu ôn thi tốt nghiệp THPT 13
Trường THPT Lương Thế Vinh GV: Lê Ngọc Anh
2
2
)(2 4 )(3 5 ) 7(4 3 ); )(3 4 ) ; )
3 2
i
a i i i b i c
i
+
+ − + − −
+
Bài 2: Tìm môđun của các số phức sau:
2

3
) 3 2 (1 ) ; )
(1 )(2 )
i
a z i i b z
i i
+
= + + + =
+ −
Bài 3: Tìm số phức nghịch đảo của số phức z=(1-i)
2
(2+i)?
Bài 4: Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a) 2iz+3=5z+4i; b) –z
2
+z-2=0; c) x
4
+2x
2
-3=0; d) z
3
+1=0;
Bài 5: Tìm môđun của số phức z biết: a) 3iz+(3-i)(1+i)=2; b) iz+
5z
=11-17i;
Bài 6: Thực hiện phép tính:
2 2 2 2 3 2013 2013
)(1 ) ; )(3 4 ) ; )( 2 ) ; )(2 3 ) ; )(1 3. ) ; )(1 ) ; )(1 ) ;a i b i c i d i e i f i g i+ − − + + − − +
2012 2 5
2

2 3 4 2 2 4 1 1 1
)(1 3. ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; )( ) ; )( ) ;
3 1 2 1 1
2 (2 1)
) ; ) .
(2 ) 1
i i i i i
h i i j k l m n
i i i i i i
i i
o p
i i
+ − − + − +
−
+ − + − + −
−
− +
Bài 7: Tìm phần thực, phần ảo và môđun của các số phức sau:
a) z=(2+4i)(3-5i)+7(4-3i); b) z=(1-4i)(2+3i)-5(-1-3i); c) z=(1-2i)
2
-(2-3i)(3+2i); d) z=(2-3i)
2
-(1-3i)(5+2i);
2 2 2 2 5
) (1 2 ) (1 2 ) ; ) (1 3 ) (1 3 ) ; ) [(4 5 ) (4 3 )] ;e z i i f z i i g z i i= + + − = + − − = + − +
3
(2 ) (1 )(4 3 ) (2 ) (1 )(1 3 )
) [(5 ) (1 )(1 3 )] ; ) ; ) ;
3 2 3 9
i i i i i i

h z i i i i z j z
i i
+ + + − + − − −
= − − − − = =
+ −
(3 4 )(1 2 ) (2 3 )(1 2 )
) 4 3 ; ) (2 4 );
1 2 1
i i i i
k z i l z i
i i
− + + −
= + − = + −
− +

m)
( 3 2)( 2 3)z i i= + −
(Thi thử TN 2009-2010); n)
2
(2 ) (2 ) 2 (6 2 )i i z i z+ − = + +
(thi HKII 2011-2012)
Bài 8: Tìm số phức z biết:
a) 3z+8-i=5+4i; b) 2iz+(2-i)
2
=2+3i; c) (3-i)z=(1+i)(4-2i); d) (1+i)z+(1+i)
2
=2-3i;
e)
2 1 3 2 1 3
; ) ; ) (2 ) 3 2 ; )2 . 1 5 2 ; )2 3 5 4 ;

1 2 1 2 2
i i i i
z f z g i z i i h i z z i i iz z i
i i i i
+ − + + − −
= = − + = + − = − + = +
− + + +
) 3 . 5 3 ; ) 2 6 2 ; ) 3 7 5 ; )3 2 5 2 ; ) . 2 2 5 .j z i z i k z z i l iz z i m z z i n i z z i− = − + = + + = + + = + + = −
Bài 9: Tính
z iz+
biết
2 2
) (1 2 ) ; ) (2 ) .a z i b z i i= + = −
Bài 10: Tìm phần thực, phần ảo và môđun của số phức
7
5
z i
iz
+
+
, biết z=2+3i?
Bài 11: a) Cho
3 3
1 2
1 3 1 3
( ) , ( )
2 2 2 2
z i z i= − + = +
. Tính z
1

.z
2
?
b) Cho z=(1-2i)(2+i)
2
. Tính A=
. ?z z
(Thi HKII NH 2009-2010)
c) Tính giá trị biểu thức:
2 2
(1 3 ) (1 3 ) ?P i i= + + −
(TN 2007-2008)
d) Tìm các số phức
25
2 ,
i
z z
z
+
biết z=3+4i (TN 2011-2012).
e) Cho z
1
=1+2i, z
2
=2-3i. Tìm phần thực, phần ảo của số phức z=z
1
-2z
2
(TN 2009-2010)
Bài 12: Giải các phương trình sau trên tập số phức:

a) z
2
+2=0; b) 4x
2
+9=0; c) x
2
-4x+8=0; d) 2x
2
+2x+5=0; e) z
2
+2z+17=0; f) z
2
-3z+3=0;
g) z
3
+4z=0; h) z
3
+7z=4z
2
; i) x
3
+8=0; j) z
4
+2z
2
-3=0; k)
4 2
2 3 5 0;z z+ − =
l)
4

9 16 0x − =
;
m)
2
2 2
2 4 9 0; )2 5| | 3 0; ) 4 11 0;z z n z z o z z+ + = + − = + − =
p) 2x
2
-5x+4=0(TN 2006); q) x
2
-6x+25=0(TN 2006-2007); r) x
2
-2x+2=0(TN 2007-2008)
s) 8z
2
-4z+1=0(TN 2008-2009); t) z
4
+7z
2
-18=0(thi thử 2008-2009); u) (1-i)z+(2-i)=4-5i(TN2010-2011);
Bài 13: a) Cho z=m+(m+1)i. Tìm z biết |z|=5; b) Cho z=(m-1)+(m-1)i. Tìm z biết
. 10?z z =
c) Cho z=2m+(m+2)i, m∈
¡
. Tìm z biết rằng z
2
có phần thực bằng -5;
Tài liệu ôn thi tốt nghiệp THPT 14
Trường THPT Lương Thế Vinh GV: Lê Ngọc Anh
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

1. Hệ tọa độ Oxyz: Hệ gồm ba trục Ox,Oy,Oz đôi một vuông góc với nhau có vectơ đơn vị lần lượt là
, , .i j k
r r r
2. Tọa độ của điểm:
a) Định nghĩa: M(x
M
;y
M
;z
M
)
M M M
OM x i y j z k⇔ = + +
uuuur r r r
b) Tọa độ các điểm đặc biệt:
• I là trung điểm đoạn thẳng AB; • G là trọng tâm ∆ABC
2
2
2
A B
I
A B
I
A B
I
x x
x
y y
y
z z

z
+

=


+

=


+

=


;
3
3
3
A B C
G
A B C
G
A B C
G
x x x
x
y y y
y

z z z
z
+ +

=


+ +

=


+ +

=


• Hình chiếu vuông góc của điểm
( ; ; )
M M M
M x y z
lên:
+ Trục Ox:
1
( ;0;0)
M
M x
; + Mp(Oxy):
12
( ; ;0)

M M
M x y
+ Trục Oy:
2
(0; ;0)
M
M y
; + Mp(Oxz):
13
( ;0; )
M M
M x z
+ Trục Oz:
3
(0;0; )
M
M z
; + Mp(Oyz):
23
(0; ; )
M M
M y z
3. Tọa độ của vectơ:
a) Định nghĩa:
1 2 3 1 2 3
( ; ; ) . . .a a a a a a i a j a k= ⇔ = + +
r r r r r
b) Công thức tọa độ của vectơ:
+ Nếu
( ; ; ), ( ; ; )

A A A B B B
A x y z B x y z
thì
( ; ; )
B A B A B A
AB x x y y z z= − − −
uuur
+ Nếu
1 2 3 1 2 3
( ; ; ), ( ; )a a a a b b b b= =
r r
thì: •
1 1 2 2 3 3
( ; ; )a b a b a b a b± = ± ± ±
r r
; •
1 2 3
( ; ; )ka ka ka ka=
r
•
1 1
2 2
3 3
a b
a b a b
a b
=


= ⇔ =



=

r r
c) Điều kiện cùng phương của hai vectơ: Cho
1 2 3 1 2 3
( ; ; ), ( ; )a a a a b b b b= =
r r
(
0b ≠
r r
). Khi đó
a
r
cùng phương
b
r
⇔tồn tại số thực t sao cho
a tb=
r r
.
4. Tích vô hướng của hai vectơ:
a) Công thức: Cho
1 2 3 1 2 3
( ; ; ), ( ; )a a a a b b b b= =
r r
thì
1 1 2 2 3 3
. a aa b a b b b= + +

r r
b) Ứng dụng:
2 2 2
1 2 3
;a a a a AB AB• = + + • =
r uuur
; •
.
cos( ; ) ;
.
a b
a b
a b
=
r r
r r
r r
•
. 0( 0, 0)a b a b a b⊥ ⇔ = ≠ ≠
r r r r r r r r
5. Tích có hướng của hai vectơ: Cho
1 2 3 1 2 3
( ; ; ), ( ; )a a a a b b b b= =
r r
a) Định nghĩa:
3 3
2 1 1 2
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
2 3 3 1 1 2
[ ; ] ; ; ( ; ; )

a a
a a a a
a b a b a b a b a b a b a b
b b b b b b
 
= = − − −
 ÷
 ÷
 
r r
được gọi là tích có hướng
của hai vectơ
a
r
và
b
r
.
b) Lưu ý: Nếu
[ ; ]n a b=
r r r
thì
n a⊥
r r
và
n b⊥
r r
(giả giử
0, 0, 0)a b n≠ ≠ ≠
r r r r r r

c) Ứng dụng 1: Cho ba vectơ
, , 0a b c ≠
r r r r
khi đó:
Tài liệu ôn thi tốt nghiệp THPT 15
Trường THPT Lương Thế Vinh GV: Lê Ngọc Anh
•
,a b
r r
cùng phương với nhau
[ ; ] 0.a b⇔ =
r r r
•
, ,a b c
r r r
đồng phẳng với nhau
[ ; ]. 0a b c⇔ =
r r r
• A,B,C thẳng hàng
[ ; ] 0;AB AC⇔ =
uuur uuur r
• A,B,C,D đồng phẳng
[ ; ]. 0;AB AC AD⇔ =
uuur uuur uuur
d) Ứng dụng 2: • Diện tích HBH ABCD:
|[ ; ]|S AB AD=
uuur uuur
; •
1
|[ ; ]|

2
ABC
S AB AC
∆
=
uuur uuur
e) Ứng dụng 3: • Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’:
|[ ; ]. '|V AB AD AA=
uuur uuur uuur
• Thể tích khối tứ diện ABCD:
1
.|[ ; ]. |
6
V AB AC AD=
uuur uuur uuur
6. Phương trình mặt cầu:
a) Dạng 1: Mặt cầu (S) tâm I(a;b;c), bán kính R có phương trình: (x-a)
2
+(y-b)
2
+(z-c)
2
=R
2
.
b) Dạng 2: Với điều kiện a
2
+b
2
+c

2
-d>0 thì phương trình: x
2
+y
2
+z
2
-2ax-2by-2cz+d=0 là phương trình mặt
cầu tâm I(a;b;c),bán kính
2 2 2
R a b c d= + + −
c) Điều kiện tiếp xúc của mặt cầu S(I;R) với mp(P): d[I;(P)]=R.
7. Phương trình tổng quát của mặt phẳng:
a) Định nghĩa vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: Vectơ pháp tuyến của một mặt phẳng là vectơ khác vectơ
0
r
có giá vuông góc với mặt phẳng.
b) Phương trình tổng quát của mặt phẳng: Nếu mặt phẳng (P) đi qua điểm M
0
(x
0
;y
0
;z
0
) và có vectơ pháp
tuyến
( ; ; )n A B C=
r
thì phương trình tổng quát của mp(P) là: A(x-x

0
)+B(y-y
0
)+C(z-z
0
)=0.
c) Một số lưu ý:
• Mp(P): Ax+By+cz+D=0 có vtpt là
( ; ; )n A B C=
r
• Nếu mp(P) song song hoặc chứa giá của hai vectơ không cùng phương
a
r
và
b
r
thì vtpt của mp(P) là:
[ ; ]n a b=
r r r
• Cho trước mp(Q): Ax+By+Cz+D=0, nếu mp(P) song song với mp(Q) thì mp(P) có phương trình dạng:
Ax+By+Cz+D’=0.
d) Một số cách xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng thường gặp:
 Nếu mp(P)⊥AB thì vtpt của mp(P) là
n AB=
r uuur
.
 Đường thẳng (d) có vtcp
d
u
uur

, nếu (P)⊥d thì (P) có vtpt là:
d
n u=
r uur
.
 Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng MN có vtpt là:
n MN=
r uuuur
.
 Cho mặt cầu (S) tâm I, nếu mp() tiếp xúc với (S) tại H thì vtpt của mp(P) là:
.n IH=
r uuur
 Vtpt của mp(P) đi qua ba điểm A,B,C không thẳng hàng là:
[ ; ].n AB AC=
r uuur uuur
 Cho 2 đt d và d’ chéo nhau lần lượt có vtcp là
'
,
d d
u u
uur uur
. Nếu mp(P)chứa d và song song d’ thì mp(P) có vtpt
là:
'
[ ; ]
d d
n u u=
r uur uur
.
 Cho đt d có vtcp

d
u
uur
và mp(Q) có vtpt
( )Q
n
uuur
không vuông góc với d. Nếu mp(P) chứa đt d và vuông góc với
mp(Q) thì vtpt của mp(P) là:
( )
[ ; ].
d Q
n u n=
r uur uuur
 Cho hai mặt phẳng (α), (β) cắt nhau có vtpt lần lượt là
( ) ( )
,n n
α β
uuur uuur
. Nếu mp(P) vuông góc với cả (α), (β) thì
vtpt của mp(P) là:
( ) ( )
[ ; ].n n n
α β
=
r uuur uuur
e) Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: Mặt phẳng (P) đi qua ba điểm phân biệt A(a;0;0), B(0;b;0),
C(0;0;c) với abc≠0 có phương trình
1
x y z

a b c
+ + =
f) Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng: Cho mp(P): Ax+By+Cz+D=0, khoảng cách từ điểm
M
0
(x
0
;y
0
;z
0
) là:
0 0 0
0
2 2 2
| |
[ ;( )]
Ax By Cz D
d M P
A B C
+ + +
=
+ +
.
g) Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng: Cho mp(P): Ax+By+Cz+D=0 có vtpt
( )
( ; ; )
P
n A B C=
uuur

; Mặt phẳng
(Q): A’x+B’y+C’z+D’=0 có vtpt
( )
( '; '; ')
Q
n A B C=
uuur
• (P)//(Q)
( ) ( )
.
. '
P Q
n k n
D k D

=

⇔

≠


uuur uuur
• (P)≡(Q)
( ) ( )
.
. '
P Q
n k n
D k D


=

⇔

=


uuur uuur
Tài liệu ôn thi tốt nghiệp THPT 16
Trường THPT Lương Thế Vinh GV: Lê Ngọc Anh
• (P) cắt (Q)⇔
( ) ( )
,
P Q
n n
uuur uuur
không cùng phương; • (P)⊥(Q)
( ) ( ) ( ) ( )
. 0
P Q P Q
n n n n⇔ ⊥ ⇔ =
uuur uuur uuur uuur
8. Phương trình của đường thẳng:
a) Định nghĩa vectơ chỉ phương của đường thẳng: Vtcp của một đường thẳng là vectơ khác vectơ
0
r
có giá
song song hoặc trùng với đường thẳng đó.
b) Phương trình tham số của đường thẳng: Cho đt d đi qua điểm M

0
(x
0
;y
0
;z
0
) và có vtcp
1 2 3
( ; )u u u u=
r
Phương trình tham số của đt d là:
0 1
0 2
0 3
( )
x x u t
y y u t t
z z u t
= +


= + ∈


= +

¡
Phương trình chính tắc của đt d là:
0 0 0

1 2 3
1 2 3
( 0)
x x y y z z
u u u
u u u
− − −
= = ≠
c) Một số cách xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng thường gặp:
 Đường thẳng d đi qua hai điểm phân biệt A và B thì d có vtcp là
.u AB=
r uuur
 Cho đường thẳng ∆ có vtcp
u
∆
uur
. Nếu d//∆ thì vtcp của đt d là
.u u
∆
=
r uur
 Cho mp(P) có vtpt
( )P
n
uuur
, nếu đt d⊥(P) thì d có vtcp là:
( )
.
P
u n=

r uuur
 Cho hai vectơ không cùng phương
a
r
và
b
r
. Nếu đt d vuông góc với giá của hai vectơ
a
r
và
b
r
thì d có vtcp
là:
[ ; ]u a b=
r r r
.
 Cho đường thẳng ∆ có vtcp
u
∆
uur
và mp(P) có vtpt
( )P
n
uuur
, nếu đt d song song với (P) và d vuông góc với ∆ thì
d có vtcp là
( )
[ ; ].

P
u u n
∆
=
r uur uuur
 Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) có vtpt lần lượt là
( ) ( )
, .
P Q
n n
uuur uuur
Nếu d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và
(Q) thì d có vtcp là:
( ) ( )
[ ; ].
P Q
u n n=
r uuur uuur
 Cho hai đường thẳng d
1
và d
2
lần lượt có vtcp là
1 2
,u u
ur uur
không cùng phương. Nếu đt d vuông góc với d
1
và
d

2
thì d có vtcp là:
1 2
[ ; ].u u u=
r ur uur
d) Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng: Cho đt d
1
đi qua điểm M
1
(x
1
;y
1
;z
1
), có vtcp
1
( ; ; )u a b c=
ur
và đt d
2

đi qua điểm M
2
(x
2
;y
2
;z
2

), có vtcp
2
( '; '; ')u a b c=
uur
;
1 2
[ ; ].n u u=
r ur uur
• d
1
//d
2
1 2
0n
M d

=

⇔

∈
/


r r
; • d
1
≡d
2
1 2

0
;
n
M d

=

⇔

∈


r r
• d
1
cắt d
2
1 2
0
. 0
n
n M M

≠

⇔

=



r r
r uuuuuur
• d
1
và d
2
chéo nhau⇔
1 2
. 0n M M ≠
r uuuuuur
; • d
1
⊥d
2
⇔
1 2
. 0u u =
ur uur
e) Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng: Cho (d):
0 1
0 2
0 3
x x u t
y y u t
z z u t
= +


= +



= +

(*) và mp(P):
Ax+By+Cz+D=0(1). Thay (*) và (1) ta được phương trình (2) theo t.
• Nếu (2) vô nghiệm theo t thì d//(P); • Nếu (2) có vô số nghiệm theo t thì d⊂(P);
• Nếu (2) có nghiệm duy nhất t=t
0
thì d cắt (P). Thay t=t
0
vào (*) ta tìm được (x
0
;y
0
;z
0
). Kết luận d cắt
(P) tại điểm M
0
(x
0
;y
0
;z
0
).
Bài 1: Trong không gian Oxyz cho
2 3 ; 4 3 2 ; (2; 7;1), '(4;1; 7)OA i j k OB i j k BC A= + − = + − = − −
uuur r r r uuur r r r uuur
a) Chứng minh rằng A,B,C là ba đỉnh của một tam giác vuông; b) Chứng minh AA’⊥(ABC);

c) Tính thể tích khối tứ diện A’ABC; d) Xác định toạ độ các đỉnh còn lại của hình hộp ABCD.A’B’C’D’.
Bài 2: Trong không gian Oxyz cho A(1;3;1), B(2;1;2), C(0;2;-6) và mp(P): x-2y+2z+1=0.
a) Viết phương trình mặt cầu tâm B đi qua A; b) Viết phương trình mặt cầu đường kính BC;
c) Viết pt mặt cầu tâm C, tiếp xúc với (P); d) Viết ptmc ngoại tiếp tứ diện OABC?
Bài 3: Viết phương trình mp(P) trong các trường hợp sau:
a) (P) đi qua A(1;-2;2) và vuông góc OM biết M(3;-1;2);
b) (P) là mặt trung trực của MN với M(2;3;1), N(-4;1;5);
c) (P) đi qua ba điểm A(0;1;2), B(-3;1;4), C(1;-2;-1);
d) (P) đi qua 2 điểm A(1;1;1), B(2;1;2) và song song với CD biết C(-1;2;2), D(2;1;-1).
Tài liệu ôn thi tốt nghiệp THPT 17
Trường THPT Lương Thế Vinh GV: Lê Ngọc Anh
Bài 4: Trong không gian Oxyz cho mp(P): x-2y+2z-30=0 và mặt cầu (S): x
2
+y
2
+z
2
-2x+6y-8z+1=0. Viết
phương trình mặt phẳng (α) biết:
a) (α) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại H(1;1;1); b) (α) Tiếp xúc với (S) và (α) song song với (P);
Bài 5: Trong không gian Oxyz cho A(0;1;2), B(-3;1;4), C(1;-2;-1). Viết ptts của đường thẳng d biết:
a) d là trung tuyến kẻ từ A của ∆ABC; b) d đi qua C và vuông góc với mặt phẳng (ABC);
Bài 6: Viết phương trình mặt cầu (S) trong các trường hợp sau:
a) (S) có tâm I(1;0;-1) và có đường kính bằng 8; b) (S) có tâm I(2;1;-2) và đi qua A(3;2;-1);
b) (S) có đường kính AB với A(6;2;-5), B(-4;0;7); d) (S) có tâm I(-2;1;5) và tiếp xúc (P): 3x-y-3=0;
e) (S) có tâm I(2;3;-1) và đi qua tâm I’ của mặt cầu (S’): x
2
+y
2
+z

2
-2y+6z-6=0;
f) (S) có đường kính ON với N(-1;4;2); g) (S) có tâm I(6;3;-4) và tiếp xúc mp(Oxy);
h) (S) có tâm I(6;3;-4) và tiếp xúc trục Oy; i) (S) ngoại tiếp tứ diện OABC với A(2;2;3), B(1;2;-4), C(1;-3;-1);
j) (S) đi qua gốc toạ độ và các hình chiếu của M(2;-1;3) lần lượt lên các trục toạ độ;
k) (S) đi qua các điểm A(3;0;1), B(2;1;-1), C(0;-7;0) và D(2;-1;3);
l) (S) đi qua ba điểm A(1;2;-4), B(1;-3;1), C(2;2;3) và có tâm nằm trên mp(Oxy);
Bài 7: Viết phương trình mặt phẳng (P) trong các trường hợp sau:
a) (P) đi qua A(7;2;-1) và vuông góc với BC với B(2;2;-3), C(-1;0;6);
b) (P) là mặt trung trực của AK với A(1;1;3), K(2;5;1);
c) (P) đi qua C(-2;-2;6) và song song (Q): x-2y+z-1=0;
d) (P) tiếp xúc với mặt cầu (S): (x-1)
2
+(y+1)
2
+z
2
=9 tại điểm H(3;1;-1) thuộc (S);
e) (P) song song với mp®: 2x-3y+6z-6=0 và tiếp xúc với mặt cầu (S): x
2
+y
2
+z
2
-4x+2z-4=0;
f) (P) đi qua O và vuông góc với đt d:
1 3
;
2 1 3
x y z− −

= =
g) (P) vuông góc với đt d:
1 2
1 3 2
x y z+ −
= =
−
tại M thuộc d và có hoành độ bằng 2;
h) (P) đi qua hai điểm O và A(-1;2;3) và vuông góc với mp(Q): x-y-z=0;
i) (P) đi qua điểm G(-2;1;1) và chứa trục hoành;
j) (P) chứa đt d
1
và song song với đt d
2
, biết:
1 2
1 3 '
: 2 : 0
3 2 1 '
x t x t
d y t d y
z t z t
= − + = −
 
 
= − =
 
 
= + = −
 

k) (P) đi qua I(0;2;1) và chứa đường thẳng d:
1
;
2 3
x y
z
+
= =
−
l) (P) đi qua điểm A(3;2;-1) và vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng: (Q): x+y-z+2=0, (R): 2x-y+3z+1=0;
Bài 8: Viết phương trình tham số của đường thẳng d trong các trường hợp sau:
a) d đi qua hai điểm A(2;-3;5), B(1;-2;3);
b) d đi qua A(1;-1;3) đồng thới song song với đường thẳng BC biết B(1;2;0), C(-1;1;2);
c) d đi qua A(-1;0;2) và vuông góc với mp(P): x-y+z-7=0;
d) d đi qua N(-2;-2;1) và song song với đường thẳng ∆:
1 2
;
2 1
x z
y
+ −
= =
−
e) d đi qua tâm I của mặt cầu (S): (x+1)
2
+(y-2)
2
+z
2
=3 và song song với trục tung;

f) d đi qua giao điểm của mặt cầu (S) với trục tung, đồng thời vuông góc với mp(P), biết (S): x
2
+y
2
+z
2
+2x-4y-3z+4=0;
g) d đi qua I(-1;1;0) và vuông góc với cả hai đường thẳng
1 2
1 2 3 3 1
: ; : ;
1 2 3 1 1 3
x y z x y z− − − + −
∆ = = ∆ = =
−
h) d đi qua K(-2;1;3), song song với mp(P):x-2z+2=0 và vuông góc với đt
3 1 2
: ;
2 1 5
x y z+ − −
∆ = =
i) d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P): 3x-y+z-2=0 và (Q): x-3y+2=0;
Bài 9: a) Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng d:
1 4
1 1 3
x y z+ −
= =
−
và mp(P): x-3y-2z-2=0;
b) Xét vị trí tương đối của đường thẳng d:

1 3
1 1 3
x y z+ −
= =
−
với các đường thẳng sau:
1 2 3
1 2 2 1 2
) : 2 ; ) : 8 2 ; ) : 4
3 6 1 4 1 3
x t x t x t
i y t ii y t iii y t
z t z t z t
= + = + = − −
  
  
∆ = − ∆ = − ∆ = +
  
  
= + = + = − +
  
Tài liệu ôn thi tốt nghiệp THPT 18
Trường THPT Lương Thế Vinh GV: Lê Ngọc Anh
Bài 10: Xác định toạ độ hình chiếu vuông góc của điểm M(2;1;5) lên:
a) d:
2 6 9
;
1 3 5
x y z− − −
= =

b) (P): 3x-y+z+1=0;
Bài 11: Trong không gian Oxyz cho điểm A(1;0;0) và đt d:
2
1 2
x t
y t
z t
= +


= +


=

a) Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của A lên đt d; b) Tìm toạ độ A’ đối xứng với A qua d;
c) Viết phương trình mp(P) đi qua A và chứa d;
Bài 12: Trong không gian Oxyz cho điểm M(1;2;4) và mp(P): x+y+z-1=0.
a) Tìm toạ độ H là hình chiếu vuông góc của M lên (P); b) Tìm toạ độ M’ đxứng với M qua (P);
c) Viết phương trình mặt cầu tâm M và tiếp xúc với (P);
Một số đề thi học kì và thi tnpt:
Bài 1: (HKII 2008-2009) Trong không gian Oxyz cho điểm A(-2;1;3) và mp(P) có phương trình 2x+y-3z+8=0.
a) Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm A và song song với mp(P)?
b) Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mp(P)?
c) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là A và tiếp xúc với mp(P)? Tìm toạ độ tiếp điểm?
Bài 2: (HKII 2010-2011) Trong không gian toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x
2
+y
2
+z

2
-2y-2z-2=0, và mp(P):
2x+y+z+10=0.
a) Lập pt đường thẳng d đi qua tâm mặt cầu và vuông góc với (P);
b) Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc H của tâm mặt cầu trên mp(P). từ đó viết pt mặt cầu (S’) đối xứng
với mặt cầu (S) qua mp(P)
Bài 3: (HKII 2011-2012) Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;-4;1) và mp(P): 2x+2y+z-5=0
a) Viết pt mặt cầu (S) tâm A và tiếp xúc với mp(P);
b) Tìm tọa độ tiếp điểm H của mặt cầu (S) với mp(P);
Bài 4: (TN 2008-2009) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có phương trình:
( ) ( ) ( )
2 2 2
(S): x 1 y 2 z 2 36 và (P) : x 2y 2z 18 0− + − + − = + + + =
.
a) Xác định tọa độ tâm T và tính bán kính của mặt cầu (S). Tính khoảng cách từ T đến mặt phẳng (P).
b) Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua T và vuông góc với (P). Tìm tọa độ giao điểm của d
và (P).
Bài 5: (TN2006-2007) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d) có phương trình
2 1 1
1 2 3
x y z− + −
= =
và mặt phẳng (P) có phương trình x-y+3z+2=0.
a) Tìm tọa độ giao điểm M của đương thẳng (d) với mặt phẳng (P)?
b) Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng (d) và vuông góc với mặt phẳng (P)?
Bài 6: (TN2007-2008) Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC với A(1;4;-1), B(2;4;3), C(2;2;-1).
a) Viết phương trình mp(P) đi qua A và vuông góc với BC;
b) Tìm toạ độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành;
Bài 7: (Thi thử 2008-2009) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho ba điểm A(0;-2;6), B(4;0;6), C(4;-2;0).
a) Viết phương trình mp(P) đi qua ba điểm A,B,C?

b) Viết pt mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện OABC?
c) Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC?
Bài 8: (Thi thử TN 2009-2010) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm M(2;-1;3).
a) Viết pt mp(P) đi qua M và vuông góc OM. Tìm toạ độ giao điểm của (P) với Ox?
b) Chứng tỏ đt OM song song với đt d:
1 1 1
2 1 3
x y z− − −
= =
− −
Bài 9: (TN 2009-2010) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz co ba điểm A(1;0;0), B(0;2;0), C(0;0;3).
a) Viết phương trình mp đi qua A và vuông góc với BC?
b) Tìm toạ độ tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC?
Bài 10: (Thi thử TN 2010-2011) Trong không gian Oxyz cho 3 điểm A(1;1;-1), B(0;2;3), C(-2;0;1).
a) Viết pt mặt cầu (S) đi qua A có tâm là trung điểm BC;
b) Viết ptmp(P) tiếp xúc với (S) tại A;
c) Viết ptmp(Q) tiếp xúc với (S) và vuông góc AB;
Bài 11: (TN 2010-2011) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (3;1;0) và mặt phẳng (P) có phương
trình 2x + 2y – z + 1 = 0.
Tài liệu ôn thi tốt nghiệp THPT 19
Trường THPT Lương Thế Vinh GV: Lê Ngọc Anh
a) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P). Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm A và
song song với mặt phẳng (P).
b) Xác định tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng (P).
Bài 12: (TN 2011-2012) Trong không gian Oxyz, cho điểm A(2;2;1), B(0;2;5) và mp(P): 2x-y+5=0
a) Viết pt đường thẳng đi qua A và B; b) Cmr (P) tiếp xúc với mặt cầu đường khính AB;
Bài 13: (TN 2003-2004) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho bốn điểm A(1;-1;2), B(1;3;2), C(4;3;2),
D(4;-1;2).
a) Chứng minh A,B,C,D là bốn điểm đồng phẳng?
b) Gọi A’ là hình chiếuvuông góc của A trên mặt phẳng Oxy. Hãy viết phương trình mặt cầu (S) đi

qua bốn điểm A’, B, C, D?
c) Viết phương trình tiếp diện (
α
)của mặt cầu (S) tại điểm A’?
Bài 14: (TN 2007-2008-Lần 2) Trong không gian Oxyz cho M(1;-2;0), N(-3;4;2) và mp(P): 2x+2y+z-7=0.
a) Viết phương trình đường thẳng MN; b) Tính khoảng cách từ trung điểm đoạn thẳng MN đến mp(P);

THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN-KHỐI TRÒN XOAY
CÁC CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH
1. Thể tích khối chóp:
1
.
3
V B h=
; B=S
đáy
, h là chiều cao.
2. Diện tích xung quanh mặt nón-Thể tích khối nón: S
xq(nón)
=πrl;r: Bán kính đáy; l: Đường sinh.
• Thể tích khối nón tròn xoay:
2
1
.
3
V r h
π
=
h là chiều cao.
3. Thể tích khối lăng trụ-khối trụ:

• Thể tích khối lăng trụ-Khối trụ: V=B.h B=S
đáy
;h là chiều cao.
• Diện tích xung quanh-diện tích toàn phần hình trụ tròn xoay: S=2πrl; S
tp
=S
xq
+2S
đáy
.
4. Thể tích khối cầu-diện tích mặt cầu:
• Thể tích khối cầu:
3
4
;
3
V R
π
=
• Diện tích mặt cầu: S=4πR
2
(R là bán kính mặt cầu.)
Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Biết
SA=AB=BC=a(a>0). Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a/
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a(a>0), cạnh bên SA vuông góc với đáy,
cạnh bên SB=
3.a
a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a; b) Chứng minh trung điểm SC là tâm mặt cầu ngoại tiếp
hình chóp S.ABCD.
Bài 3: (TN 2008-2009) Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a(a>0), cạnh bên SA

vuông góc với đáy, biết
·
0
120 ,BAC =
hãy tính thể tích khối chóp S.ABC theo a?
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a(a>0), cạnh bên SA vuông góc với đáy, SC
hợp với đáy góc 60
0
.
a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a; b) Chứng minh trung điểm cạnh SC là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình
chóp S.ABCD, tính diện tích mặt cầu đó?
Bài 5: (TN 2009-2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a(a>0), góc giữa (SBD) và
đáy bằng 60
0
. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a?
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA=
2a
(a>0) và vuông góc với đáy,
góc giữa SC và đáy bằng 45
0
. Tình thể tích khối chóp S.ABCD theo a?
Bài 7: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a(a>0). Tính thể tích khối chóp theo a?
Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=a, AD=2a(a>0), hai mặt phẳng (SAB) và
(SAD) cùng vuông góc với đáy, tam giác SAD vuông cân.
a) Tính thể tích khối chóp theo a; b) TÌm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD;
Bài 9: Cho hình chóp đều S.ABC. Gọi M là trung đểm BC, AM=a(a>0). Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a
biết SA=
2a
?
Bài 10: Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a(a>0).

a) TÍnh thể tích khối chóp S.ABC theo a; b) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp?
Bài 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, ∆SAC đề cạnh a(a>0), SB=SD=
5a
. Tính
thể tích khối chóp S.ABC?
Tài liệu ôn thi tốt nghiệp THPT 20
Trường THPT Lương Thế Vinh GV: Lê Ngọc Anh
Bài 12: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A, hai mặt phẳng (SAB), (SAC) là các tam giác
vuông tại A, gọi I là trung điểm cạnh BC, biết BC=a(a>0),
3SA a=
bà góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và
(ABC) bằng 30
0
. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a?
Bài 13: Cho lăng trụ đứng tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a(a>0), A’B tạo với mặt đáy góc 60
0
.
Tính thể tích khối lăng trụ theo a?
Bài 14: Cho lăng trụ đứng tam giác đều ABC.A’B’C’. Biết rằng mp(A’BC) tạo với mặt đáy góc 30
0
và tam
giác A’BC có diện tích bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’?
Bài 15: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a(a>0), hình chiếu vuông góc của A’ lên
mp(ABC) trùng với trung điểm M của cạnh BC, góc hợp bởi AA’ và đáy bằng 60
0
. Tính thể tích khối lăng trụ
ABC.A’B’C’ theo a?
Bài 16: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giac vuông cân tại C, A’C=a(a>0), góc hợp
bởi mp(A’BC) và mặt phẳng đáy bằng α. Tìm α để thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ lớn nhất?
Bài 17: Cho hình trụ có bán kính đáy r=5cm và khoảng cách giữa hai mặt đáy bằng 7cm.

a) Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích của khối trụ được giới hạn bởi hình trụ đó;
b) Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục của hình trụ và cách trục 3cm. Tính diện tích thiết diện
được tạo nên?
Bài 18: Cho một hình trụ có bán kính đáy bằng r và chiều cao
3h r=
.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ;
b) Tính thể tích khối trụ tạo nên bởi hình trụ đã cho;
Bài 19: Cho hình chóp S.ABC có SA, AB, BC đôi một vuông góc với nhau, SA=a(a>0), AB=BC=a
3
. Tính
thể tích khối chóp S.ABC và tìm tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp?
Bài 20: Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a(a>0). Tam giác SAC cân tại S, góc SAC
bằng 60
0
, (SAC)⊥(ABC). Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a?
Bài 21: Tính diện tích xung quanh và thể tích khối chóp tứ giác đều có độ dài cạnh bên bằng 2a và gấp đôi độ
dài cạnh đáy?
MỘT SỐ ĐỀ THI TỐT NGHIỆP
Bài 1: (TN 2007-2008) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC ó cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Gọi I là
trung điểm cạnh BC.
a) Chứng minh SA⊥BC; b) Tính theo a thể tích khối chóp S.ABI;
Bài 2: (TN 2007-2008 lần 2) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với
đáy (ABC), biết AB=a, BC=a
3, 3SA a=
.
a) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a; b) Gọi I là trung điểm SC, tính độ dài đoạn thẳng BI theo a?
Bài 3: (Thi thử TN 2009-2010) Cho khối chóp S.ABC có hai mặt ABC và SBC là tam giác đều cạnh a và
3
2

a
SA =
.Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a?
Bài 4: (Thi thử TN 2008-2009) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a(a>0). Cho biết
hình chiếu vuông góc của S trên mp(ABCD) là trung điểm I của cạnh đáy AB và góc tạo bởi SD và mp(ABCD)
bằng 45
0
. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD?
Bài 5: (Thi thử TN 2010-2011) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a, mp(A’BC)
tạo với mp(ABC) góc 60
0
. Tính thể tích của khối tứ diện C’ABC?
Bài 6: (TN 2010-2011) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với AD = CD =
a, AB = 3a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và cạnh bên SC tạo với mặt đáy một góc 45
0
. Tính thể tích
khối chóp S.ABCD theo a.
Bài 7: (TN 2011-2012) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B và BA=BC=a.
Góc giữa đường thẳng A’B với mp(ABC) bằng 60
0
. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a.
Bài 8: (HKII 2011-2012) Cho tứ diện ABCD có ba cạnh AB,AC,AD đôi một vuông góc và AB=4cm;
AC=4cm; AD=3cm. Tính thể tích khối tứ diện ABCD và khoảng cách từ A đến mp(BCD)?
Tài liệu ôn thi tốt nghiệp THPT 21
Trường THPT Lương Thế Vinh GV: Lê Ngọc Anh
PHỤ LỤC 1
Quy tắc tính đạo hàm
•(u±v)’=u’±v’; •(uv)’=u’v+u.v’; •(ku)’=k.u’; •
2
'. . '

( )'
u u v u v
v v
−
=
; •
2
1 '
( )'
u
u u
= −
; •(f[u(x)])’=u’(x).f’[u(x)]
Đạo hàm của các hàm số thường gặp Đạo hàm của hàm số hợp
1
( )
n n
x nx
−
• =
1
( )'
2
x
x
• =
2
1 1
( )'
x x

• = −
(sin )' cosx x• =
(cos )' sinx x• = −
2
1
(tan )'
cos
x
x
• =
2
1
(cot )'
sin
x
x
• = −
1
( )' . '.
n n
u n u u
−
• =
'
( )'
2
u
u
u
• =

2
1 '
( )'
u
u u
• = −
(sin )' '.cosu u u• =
(cos )' '.sinu u u• = −
2
'
(tan )'
cos
u
u
u
• =
2
'
(cot )'
sin
u
u
u
• = −
2
( )'
( )
ax b ad bc
cx d cx d
+ −

• =
+ +
;
2
( )' . '
( )
au b ad bc
u
cu d cu d
+ −
• =
+ +
;
2
2
2 2 2
2
( )'
( )
a b a c b c
x x
m n m p n p
ax bx c
mx nx p mx nx p
+ +
+ +
• =
+ + + +
• (e
x

)’=e
x
;
1
(ln )'x
x
• =
( )' '.
u u
e u e• =
;
'
(ln )'
u
u
u
• =
• (a
x
)’=a
x
.lna;
1
(log )'
ln
a
x
x a
• =
( )' '. .ln

u u
a u a a• =
;
'
(log )'
.ln
a
u
u
u a
• =
PHỤ LỤC 2
1. Công thức lượng giác cơ bản:
•
sin
tan
cos
α
α
α
=
; •
cos
cot
sin
α
α
α
=
; •

2 2
sin cos 1
α α
+ =
; •
2
2
1
1 tan
cos
α
α
= +
; •
2
2
1
1 cot
sin
α
α
= +
; •
tan .cot 1
α α
=
2. Công thức cộng:
sin( ) sin .cos cos .sina b a b a b+ = +
cos( ) cos .cos sin .sina b a b a b+ = −
sin( ) sin .cos cos .sina b a b a b− = −

cos( ) cos .cos sin .sina b a b a b− = +
tan tan
tan( )
1 tan .tan
a b
a b
a b
+
+ =
−
tan tan
tan( )
1 tan .tan
a b
a b
a b
−
− =
+
3. Công thức nhân đôi:
2 2
2
2
cos 2 cos sin
2cos 1
1 2sin
a a a
a
a
= −

= −
= −
sin 2 2sin .cosa a a=
2
2 tan
tan 2
1 tan
a
a
a
=
−
4. Công thức hạ bậc:
2
1 cos 2
cos
2
a
a
+
=
2
1 cos2
sin
2
a
a
−
=
2

1 cos2
tan
1 cos 2
a
a
a
−
=
+
5. Công thức biến đổi tổng thành tích:
sin sin 2sin .cos
2 2
a b a b
a b
+ −
+ =
cos cos 2cos .cos
2 2
a b a b
a b
+ −
+ =
sin sin 2cos .sin
2 2
a b a b
a b
+ −
− =
cos cos 2sin .sin
2 2

a b a b
a b
+ −
− = −
sin( )
tan tan
cos .cos
a b
a b
a b
+
+ =
sin( )
tan tan
cos .cos
a b
a b
a b
−
− =
6. Công thức biến đổi tích thành tổng:
1
cos .cos [cos( ) cos( )]
2
a b a b a b= − + +
;
1
sin .sin [cos( ) cos( )]
2
a b a b a b= − − +

;
1
sin .cos [sin( ) sin( )]
2
a b a b a b= − + +
Tài liệu ôn thi tốt nghiệp THPT 22