SKKN SKKN Phương pháp dạy so sánh phân số cho học sinh giỏi khối 4 - 5

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
o0o

SƠ YẾU LÝ LỊCH

Họ và tên : Đào Kim Quý
Sinh ngày: 12/4/1973
Năm vào ngành: 2007
Chức vụ : Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường Tiểu học Mỹ Thành - Mỹ Đức - Hà Nội
Trình độ chuyên môn: Đại học
Khen Thưởng: Lao động tiên tiến cấp cơ sở
1
Tháng 5/ 2014
MỤC LỤC
NỘI DUNG Trang
PHẦN I: Đặt vấn đề. 1
1/ Cơ sở lý luận. 1
2/ Cơ sở thực tiễn. 2
3/ Mục đích nghiên cứu. 2
4/ Phương pháp nghiên cứu/ 2
5/ Phạm vi nghiên cứu 3
PHẦN II: Phần nội dung. 3
Chương I : Những kiến thức liên quan. 3
Chương II: Một số phương pháp so sánh phân số. 6
1/ So sánh phân số bằng cách quy đồng mẫu số. 10
2 So sánh phân số bằng cách quy đồng tử số. 11
3/ So sánh phân số với đơn vị. 12
4/ So sánh phân số dựa vào phân số trung gian. 13
5/ So sánh phân số bằng cách so sánh phần bù với đơn vị 14

6/So sánh phân số bằng cách so sánh phần hơn với đơn vị 17
7 Sosánh các phân số mà tử số và mẫu số của phân số này là chuỗi
lặp lại của tử số và mẫu số của phân số kia.
18
8/ So sánh phân số bằng cách nhân tử số của phân số này với mẫu
số của phân số kia,rồi so sánh hai tích.
19
9/ So sánh phân số bằng cách đưa về dạng hỗn số để so sánh. 20
10/ So sánh phân số bằng cách so sánh phần đảo ngược. 22
11/ So sánh phân số bằng cách thực hiện phép chia hai phân số. 24
12/ So sánh phân số bằng cách dùng sơ đồ đoạn thẳng. 25
Chương III: Bài tập áp dụng 26
PHẦN III: Kết luận chung 35
2
ĐẶT VẤN ĐỀ
1. CƠ SỞ LÝ LUẬN:
Có thể nói , quá trình dạy học là quá trình quan trọng bậc nhất, nó là quá
trình sư phạm tổng thể. Nó được thực hiện ở các bậc học khác nhau. Song dù ở bậc
học nào thì quá trình đó vẫn mang quy luật thống nhất giữa hoạt động dạy và học,
luôn phản ánh mối quan hệ tất yếu và bền vững giữa hai nhân tố đặc trưng của quá
trình dạy học.
Trong công tác giảng dạy, vai trò của người thầy rất quan trọng.Người giáo
viên chủ yếu cung cấp cho học sinh một cách đầy đủ, chính xác, có hệ thống kiến
thức. Ngoài ra, còn thường xuyên rèn luyện cho các em những kỹ năng cần thiết
giúp các em có phương pháp vận dụng kiến thức đã học vào việc giải các bài tập
Căn cứ vào nhiệm vụ và mục tiêu giáo dục, căn cứ vào thực trạng dạy và học toán
hiện nay, cần có hướng đổi mới phương pháp dạy toán ở Tiểu học là tích cực hoá
hoạt động học tập của HS, tập trung vào việc rèn luyện khả năng tự học, tự phát
hiện và tự giải quyết vấn đề, nhằm hình thành ở HS tư duy tích cực, độc lập, sáng
tạo . Để đạt được điều đó, trong giảng dạy bộ môn Toán, người thầy phải giúp học

sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kĩ năng, kĩ xảo và dễ dàng
phát hiện những mặt mạnh, mặt yếu của từng em về kiến thức, về kỹ năng và tư
duy để từ đó giúp học sinh phát huy được tính chủ động và sáng tạo trong học tập.
Đây cũng là một dạng toán thường có mặt trong cấu trúc đề thi học sinh giỏi các
cấp.
Trong chương trình toán lớp 4 chỉ đưa ra phương pháp so sánh phân số bằng
cách quy đồng mẫu số các phân số.Tuy nhiên trong quá trình giảng dạy, tôi nhận
thấy học sinh gặp rất nhiều khó khăn, lúng túng khi giải quyết các bài tập nâng
cao , mở rộng, so sánh phân số theo nhiều cách khác nhau.Để giúp các em tháo gỡ
vướng mắc trên ; để phát huy khả năng tư duy và năng khiếu toán học cho các em
đặc biệt là trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi, ta không chỉ áp dụng một cách
so sánh phân số như sách giáo khoa đã đưa ra mà phải hướng dẫn các em các cách
so sánh phân số khác nữa.
Hướng dẫn học sinh tìm ra lời giải đúng,cách giải hay là rất khó. Nhất là với
những bài toán trong sách nâng cao và các tài liệu tham khảo. Bởi lẽ đó,tôi nhận
thấy trong môn Toán 4, mảng kiến thức về phân số chiếm một vị trí hết sức quan
trọng. Ở mảng kiến thức này có một số vấn đề HS sẽ gặp phải khó khăn trong đó có
vấn đề "So sánh phân số". So sánh phân số là gì? Cũng giống như đối với số tự
nhiên, so sánh hai phân số là xét xem hai phân số đó bằng nhau hay không bằng
nhau, và nếu không bằng nhau thì phân số nào bé hơn, phân số nào lớn hơn.
3
Vậy để khắc phục khó khăn trong phần này cho học sinh ,trong quá trình giảng
dạy tôi luôn rèn cho học sinh khả năng định hướng và tìm tòi, phát hiện cách giải
bài toán, đồng thời giúp học sinh nhận dạng, phân loại bài tập,có phương pháp suy
nghĩ khoa học. Trong mỗi dạng, mỗi bài toán, tôi cố gắng cung cấp cho học sinh
một số phương pháp, cách thức nhất định để giải .Song bản thân tôi, không có tham
vọng lớn mà chỉ cố gắng nghiên cứu, tìm tòi nhằm đáp ứng được phần nào trong
việc đổi mới và nâng cao chất lượng dạy học ,vì lẽ đó trong năm học 2012 – 2013
này tôi đã chọn Đề tài: “ Phương pháp dạy so sánh phân số cho học sinh giỏi
khối 4 - 5." Để nghiên cứu và áp dụng vào công tác giảng dạy của mình. Nhằm

nâng cao chất lượng bồi dưỡng học sinh giỏi. Giúp học sinh giải bài toán so sánh
phân số thành thạo và đặc biệt áp dụng trong giải toán qua mạng Internet hiện
nay rất phổ biến trong mỗi vòng thi Violympic. Một trong những biện pháp thực
hiện là hình thành tốt cho học sinh những nhận xét, những quy tắc so sánh qua các
ví dụ cụ thể. Phát hiện, nhấn mạnh điều kiện bổ sung để nhận xét đúng, nêu rõ nên
áp dụng cách so sánh phân số này trong trường hợp nào. Sau đó cho học sinh áp
dụng để giải một số bài tập.
Tiếp theo, giáo viên cần đưa ra một hệ thống bài tập tổng hợp, nâng cao,
hướng dẫn các em quan sát như thế nào, thứ tự quan sát ra sao, từ đó tìm lời giải
thích hợp. Trước khi hướng dẫn các cách so sánh phân số cho học sinh, bản thân
giáo viên cần có ý thức soi sáng các quy tắc, hiểu quy tắc đó được hình thành dựa
trên cơ sở lý thuyết nào. Đièu này giúp giáo viên hiểu sâu sắc quy tắc, tiếp cận quy
tắc nhanh và chính xác.
2. CƠ SỞ THỰC TIỄN.
2.1. Với học sinh: Vướng mắc khi gặp:
- Một số bài toán so sánh phân số không được quy đồng.
- Một số bài toán so sánh phân số phức tạp mà việc so sánh bằng cách quy
đồng mẫu số sẽ gặp khó khăn.
- Sắp xếp các phân số trong bảng theo thứ tự tăng dần trong các vòng thi
Violympic.
- Một số bài toán yêu cầu học sinh so sánh bằng nhiều cách.
- Một số bài toán cần so sánh nhiều phân số.
- Một số bài tập yêu cầu lựa chọn cách làm hợp lí nhất.
- Việc lựa chọn phương pháp nào để giải học sinh còn rất lúng túng.
4
2.2. Với giáo viên.
- Phải có niềm say mê , sáng tạo trong dạy học giải toán.
- Phải đầu tư nghiên cứu đề ra những biện pháp cụ thể cho từng tiết dạy.
- Nhằm giúp cho HS có cách giải nhanh, gọn, hợp lý, đồng thời phát triển tư
duy lôgíc cho HS. Từ đó nâng cao chất lượng môn Toán,

3. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
- Giúp giáo viên dạy bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 4 hệ thống được các phương
pháp so sánh phân số.
- Giải quyết những khó khăn, những lỗi cơ bản trong việc tiếp thu kiến thức về:
"So sánh phân số" cho học sinh.
- Rèn cho học sinh kĩ năng giải toán, tư duy lô gíc, khái quát hoá
- Rèn cho học sinh các năng lực hoạt động trí tuệ, rèn tính cẩn thân, sáng tạo.
- Rèn cho học sinh khả năng phân tích, xem xét bài toán.
- Mặt khác, khuyến khích cho học sinh tìm ra nhiều cách giải cho một bài tập
để tập cho học sinh nhìn nhận một vấn đề theo nhiều khía cạnh khác nhau.
4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU.
Để hình thành và viết chuyên đề sáng kiến, tôi đã sử dụng một số phương
pháp sau:
- Phương pháp tra cứu tập hợp hồ sơ, tài liệu
- Phương pháp tổng hợp so sánh, phân tích kết quả.
- Phương pháp thực nghiệm.
5. PHẠM VI NGHIÊN CỨU.
- Thực hiện ở lớp 4A của trường.
- Dạy toán 4 phần "So sánh phân số"
5
PHẦN NỘI DUNG
1. Tình hình nghiên cứu:
Đối với học sinh phát huy triệt để tính tích cực học tập, hăng say khi giải
các bài toán về so sánh phân số. Các em có nhu cầu tự tìm tòi, tự phát hiện cách
giải (căn cứ vào cách phân dạng và phương pháp GV cung cấp) và nhờ đó tư duy
sáng tạo phát triển rõ rệt.
2. Nhiệm vụ của sáng kiến kinh nghiệm
- Đưa ra một số phương pháp so sánh phân số.
- Chọn ra các bài tập có hệ thống từ dễ đến khó phù hợp với từng trình độ
của học sinh nhằm nâng cao hiệu quả dạy so sánh phân số ở lớp 4.

CHƯƠNG I: NHỮNG KIẾN THỨC LIÊN QUAN
Trước khi bắt tay vào việc dạy học sinh các phương pháp so sánh phân số,
tôi đã khảo sát :Số lượng điều tra học lực đầu năm :
Lớp
Sĩ
số
Điểm 9-10 Điểm 7-8 Điểm 5-6 Điểm dưới 5
SL % SL % SL % SL %
4A 22 3 13,5 9 41,0 9 41,0 1 4,5
4B 22 3 13,5 8 36,5 10 45,5 1 4,5
Tôi luôn tìm tòi, sáng tạo phương pháp giảng dạy phù hợp,có hệ thống, bổ sung cho
các em các kiến thức có liên quan đến việc so sánh phân số.
1. Khái niệm về phân số.
Phân số là số chỉ một hoặc một số nguyên phần đơn vị thường được viết
dưới dạng
b
a
; a gọi là tử số, b gọi là mẫu số trong đó b # 0.
Ví dụ:
2
1
;
4
3
là những phân số.
2. Quy đồng mẫu số
.a) ThÕ nµo lµ quy ®ång mÉu sè?
6
Quy đồng mẫu số là quá trình ta đưa các phân số khác mẫu số về những phân số có
cùng mẫu số.

b
a
và
d
c
(b, d # 0)
b
a
=
bxd
axd
d
c
=
dxb
cxb
b) Cách so sánh:
Các phân số có cùng mẫu số thì:
+ Phân số nào có tử số lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.
+ Phân số nào có tử số bé hơn thì phân số đó bé hơn.
+ Nếu tử số bằng nhau thì hai phân số đó bằng nhau.
c) Ví dụ minh hoạ :
Ví dụ 1: So sánh 2 phân số :
6
1
và
5
4
Ta có :
6

1
=
56
51
×
×
=
30
5

5
4
=
65
64
×
×
=
30
24
Vì
30
5
<
30
24
( do 5 < 24 ) nên
6
1
<

5
4
Ví dụ 2: Quy đồng mẫu số các cặp phân số sau:
a.
3
1
và
5
2
b.
3
2
và
6
5
Bài giải
a. Ta có:
3
1
=
53
51
x
x
=
15
5

15
6

35
32
5
2
==
x
x
=
35
34
x
x
=
15
12
b. Vì 6 : 3 = 2
nên
3
2
=
23
22
x
x
=
6
4
3 . Quy đồng tử số :
Quy đồng tử số là quá trình ta đưa các phân số khác tử số về những phân số
có cùng tử số.

7
b
a
và
d
c
(b, d # 0)
b
a
=
bxc
axc
d
c
=
dxa
cxa
3.1. Cách so sánh:
Các phân số có cùng tử số thì:
+ Phân số nào có mẫu số lớn hơn thì phân số đó bé hơn.
+ Phân số nào có mẫu số bé hơn thì phân số đó lớn hơn.
+ Nếu mẫu số bằng nhau thì hai phân số đó bằng nhau.
Ví dụ: Quy đồng tử số các cặp phân số sau:
a.
7
3
và
9
2
b.

7
3
và
8
6
Bài giải: a. Ta có:
7
3
=
27
23
x
x
=
14
6

9
2
=
39
32
x
x
=
27
6
b. Vì 6 : 3 = 2
Nên
7

3
=
27
23
x
x
=
14
6
* Qua ví dụ trên vấn đề đặt ra là làm thế nào để hướng dẫn học sinh nhận biết khi
nào so sánh hai phân số ta tiến hành quy đồng tử số, khi nào tiến hành quy đồng
mẫu số? Để giải quyết vấn đề đó ta có thể làm như sau:
Ví dụ 1: So sánh hai phân số
13
4
và
17
12
Vì học sinh đã biết cách so sánh hai phân số có cùng tử số nên ta hướng dẫn để
học sinh nhận ra mối quan hệ giữa hai tử số của hai phân số( 12 = 4 x3 ) . Trong
trường hợp này để so sánh hai phân số ta thực hiện quy đồng tử số .
Minh hoạ:
Cách 1: So sánh hai phân số bằng cách quy đồng tử số.
Ta có :
13
4
=
313
34
×

×
=
39
12
Giữ nguyên phân số
17
12
Vì
39
12
<
17
12
( do 39 > 17 ) nên
13
4
<
17
12
.
Cách 2: So sánh hai phân số bằng cách quy đồng mẫu số.
Ta có:
13
4
=
1713
174
×
×
=

221
68

17
12
=
1317
1312
×
×
=
221
156
Vì
221
68
<
221
156
nên
13
4
<
17
12
.
8
Qua hai cách so sánh như trên ta nhận thấy so sánh hai phân số trên bằng cách
quy đồng tử số đơn giản và nhanh hơn rất nhiều.
Ví dụ 2: So sánh hai phân số

7
4
và
14
9
Vì học sinh đã biết cách so sánh hai phân số có cùng mãu số nên ta hướng dẫn để
học sinh nhận ra mối quan hệ giữa hai mẫu số của hai phân số( 14 = 7 x2 ) . Trong
trường hợp này để so sánh hai phân số ta thực hiện quy đồng mẫu số .
Minh hoạ:
Cách 1: So sánh hai phân số bằng cách quy đồng mẫu số.
Ta có:
7
4
=
27
24
×
×
=
14
8
Giữ nguyên phân số
14
9
Vì
14
8
<
14
9

nên
7
4
<
14
9
.
Cách 2: So sánh hai phân số bằng cách quy đồng tử số.
Ta có :
7
4
=
97
94
×
×
=
63
36

14
9
=
414
49
×
×
=
56
36

Vì
63
36
<
56
36
( do 63 > 56 ) nên
7
4
<
14
9
.
Qua hai cách so sánh như trên ta nhận thấy so sánh hai phân số trên bằng cách quy
đồng mẫu số đơn giản và nhanh hơn rất nhiều.
3.2. Một số dạng bài tập áp dụng phương pháp quy đồng tử số và quy đồng
mẫu số.
Bài 1 : So sánh hai phân số:
a)
5
2
và
7
3
b)
7
2
và
9
4

c)
5
1
và
15
4
Bài 2: Cho 3 phân số
4
3
,
6
5
,
8
7
. Hãy xếp các phân số đó theo thứ tự tăng dần.

Bài 3: Điền dấu >, < , = vào chỗ chấm.


6
5
………
12
11

9
5
………
8

3

9

7
4
……….
4
3

5
2
………
11
8
4 . Tính chất của phân số.
Ví dụ: Viết phân số bằng phân số
14
6
bằng cách.
a - Nhân cả tử và mẫu với 3
b - Chia cả tử và mẫu cho 2
a.
14
6
=
314
36
x
x

=
42
18
b.
14
6
=
2:14
2:6
=
7
3
Tính chất: Nếu ta nhân hay chia tử số và mẫu số của một phân số với cùng
một số tự nhiên khác 1 thì ta được một phân số mới bằng phân số đã cho.
b
a
=
bxc
axc
(b, c # 0)
b
a
=
cb
ca
:
:
(b, c # 0; cả a và b đều chia hết
cho c)
5 . Rút gọn phân số:

5.1 / Rút gọn phân số là gì?
Rút gọn phân số là đưa phân số đó về một phân số mới có tử số và mẫu số bé
đi mà phân số mới ấy vẫn bằng phân số đã cho.
5.2/ Cách làm:
* Thông thường khi rút gọn phân số là phải được một phân số tối gản. Cách rút
gọn phân số là cùng chia cả tử số và mẫu số cho một số tự nhiên lớn hơn 1. Điều
quan trọng nhất là phải tìm số tự nhiên đó để thực hiện việc rút gọn phân số. Việc
này có thể thực hiện một lần hoặc vài lần mới tìm được phân số tối giản.
+ Dựa vào dấu hiệu chia hết:
Ví dụ : = =
+ Chia dần từng bước hoặc gộp các bước:
= = = = = = =
10
=.> 2 x 2 x 3 = 12 Nên =
+ Dùng cách thử chọn theo các bước:
Bước 1: 26:2=13
Bước 2: 65:13=5
Bước 3: Cùng chia cho 13: = = .
+ Phân số có dạng đặc biệt:
Ví dụ :
Bước 1: 1133:11=103
Bước 2: 1442:14=103
Bước 3: Cùng chia cho 103: = = .
CHƯƠNG II: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP SO SÁNH PHÂN SỐ
Sau khi đã hệ thống các kiến thức liên quan tôi bắt tay vào việc dạy từng
phương pháp phù hợp với các đối tượng học sinh.
1. SO SÁNH PHÂN SỐ BẰNG CÁCH QUY ĐỒNG MẪU SỐ:
a - So sánh hai phân số cùng mẫu số.
Ví dụ 1: So sánh hai phân số
7

2
và
7
3
Bài giải: Ta thấy 2 < 3 nên
7
2
<
7
3
Quy tắc: Hai phân số có cùng mẫu số, phân số nào có tử số lớn hơn thì phân
số đó lớn hơn và ngược lại.
b
a
và
b
c
(b # 0)
- Nếu a > c
⇒

b
a
>
b
c
11
- Nếu a < c
⇒

b
a
<
b
c
- Nếu a = c
⇒

b
a
=
b
c
b- So sánh hai phân số khác mẫu số. (thường dùng cho bài toán có mẫu số nhỏ).
Ví dụ 2: So sánh các cặp phân số sau:
a,
4
3
và
7
5
; b,
12
5
và
6
4
Bài giải: a, Ta có:
4
3

=
74
73
x
x
=
28
21
;
7
5
=
47
45
x
x
=
28
20
Vì
28
21
>
28
20
nên
4
3
>
7

5
b, Vì 12: 6 = 2 nên
6
4
=
26
24
x
x
=
12
8
; ta thấy
12
8
>
12
5
nên
6
4
>
12
5
* Chốt kiến thức: Nếu hai phân số không cùng mẫu số, ta quy đồng mẫu số
hai phân số đó rồi so sánh tử số của chúng với nhau.
2. SO SÁNH PHÂN SỐ BẰNG CÁCH QUY ĐỒNG TỬ SỐ:
2.1 - So sánh 2 phân số cùng tử số.
Ví dụ : So sánh 2 phân số
8

3
và
11
3
Bài giải: 8 < 11 nên
8
3
>
11
3
.
Quy tắc: Hai phân số cùng tử số, phân số nào có mẫu số bé hơn thì phân số
đó lớn hơn và ngược lại.
b
a
và
d
a
(b, d # 0)
+ Nếu b > d
⇒

b
a
<
d
a
+ Nếu b < d
⇒

b
a
>
d
a
12
+ Nếu b = d
⇒

b
a
=
d
a
2.2 - So sánh hai phân số khác tử số. (Thường dùng cho các bài toán có tử
số nhỏ)
Ví dụ : So sánh các cặp phân số :
a,
7
3
và
8
5
; b,
7
3
và
8
9
Bài giải :a,

7
3
=
57
53
x
x
=
35
15
;
8
5
=
38
35
x
x
=
24
15
Vì
35
15
<
24
15
nên
7
3

<
8
5
b,
7
3
=
37
33
x
x
=
21
9
Vì
21
9
<
8
9
nên
7
3
<
8
9
Chốt kiến thức: Muốn so sánh hai phân số không cùng tử số ta có thể quy
đồng tử số hai phân số đó rồi so sánh mẫu số của chúng với nhau.
3. SO SÁNH PHÂN SỐ VỚI ĐƠN VỊ:
Ví dụ : So sánh phân số sau với 1.

a,
5
3
; b,
2
7
c,
4
4
Bài giải:
a, Ta thấy
5
3
<
5
5
mà
5
5
= 1 nên
5
3
< 1
b, Ta có:
2
7
>
2
2
mà

2
2
= 1 nên
2
7
> 1
c, Ta có
4
4
= 1
Kết luận:
- Nếu phân số có tử số bé hơn mẫu số thì phân số bé hơn 1.
13
b
a
nếu a < b thì
b
a
< 1
- Nếu phân số có tử số lớn hơn mẫu số thì phân số lớn hơn 1.
b
a
nếu a > b thì
b
a
> 1
- Nếu phân số có tử số bằng mẫu số thì phân số bằng 1.
b
a
nếu a = b thì

b
a
= 1
4 . SO SÁNH PHÂN SỐ DỰA VÀO PHÂN SỐ TRUNG GIAN:
Ví dụ : So sánh các cặp phân số sau mà không quy đồng.
a,
23
16
và
29
15
b,
9
2
và
12
5
c,
9
7
và
10
13
Bài giải:
a, + Cách 1: Ta có:
23
16
>
29
16

và
29
16
>
29
15
nên
23
16
>
29
15
+ Cách 2: Ta thấy
23
16
>
23
15
và
23
15
>
29
15
nên
23
16
>
29
15

b, + Cách 1:
9
2
<
9
3
;
12
5
>
12
4
mà
9
3
=
12
4
=
3
1
Vậy
9
2
<
3
1
<
12
5

nên
9
2
<
12
5
+ Cách 2:
9
2
<
8
2
mà
8
2
=
4
1
=
12
3
;
12
3
<
12
5
nên
9
2

<
12
5
c, Ta có:
9
7
< 1 và
10
13
> 1 Vậy
9
7
< 1 <
10
13
hay
9
7
<
10
13
*Kiến thức cần nhớ:
So sánh qua phân số trung gian là ta tìm một phân số trung gian sao cho
phân số trung gian lớn hơn phân số này nhưng nhỏ hơn phân số kia.
14
Lưu ý: Có 3 loại phân số trung gian
Loại 1: Phân số trung gian có tử số bằng tử số của một trong hai phân số đã
cho, mẫu trùng với mẫu của phân số còn lại loại phân số trung gian này có hai cách
chọn.
Cách 1: Phân số trung gian có tử số là tử của phân số thứ nhất, còn mẫu là

mẫu số của phân số thứ hai.
Ví dụ : Hai phân số:
49
12
và
47
13
Ta chọn phân số trung gian
47
12
Ta có:
49
12
<
47
12
<
47
13
Vậy
49
12
<
47
13
Cách 2: Phân số trung gian có mẫu số là mẫu của phân số thứ nhất, tử số là tử số
của phân số thứ 2.
Ví d ụ : So sánh 2 phân s ố
23
16

v à
29
15
Ta thấy
23
16
>
23
15
và
23
15
>
29
15
nên
23
16
>
29
15
* Loại phân số trung gian này chỉ áp dụng với những bài toán so sánh hai phân số
mà tử của phân số thứ nhất bé hơn tử của phân số thứ hai và mẫu của phân số thứ
nhất lớn hơn mẫu của phân số thứ hai.
Loại 2: Phân số trung gian thể hiện mối quan hệ giữa tử và mẫu của hai phân
số.
V í d ụ: So sánh 2 phân số:
9
2
và

12
5
Ta có:
9
2
<
8
2
mà
8
2
=
4
1
=
12
3
;
12
3
<
12
5
nên
9
2
<
12
5
15

Loi 3: Phõn s trung gian l n v ỏp dng vi cỏc bi toỏn so sỏnh hai phõn s
m trong ú mt phõn s ln hn n v, phõn s cũn li nh hn n v.
V ớ d : So sỏnh 2 phõn s:
9
7
v
10
13
Ta cú:
9
7
< 1 v
10
13
> 1 Vy
9
7
< 1 <
10
13
hay
9
7
<
10
13
5 . SO SNH PHN S BNG CCH SO SNH PHN B VI N V
CA PHN S .
Ph ơng pháp so sánh :
5.1. Thế nào là phần bự vi n v ?

- Phần bù đến n vca phân số l hiu gia 1 v phõn s ú.
Ví dụ: Phần bù đến 1 của phân số
4
3
là
4
1
.
( Vì
4
3
+
4
1
= 1 hay 1 -
4
3
=
4
1
)
5.2. Những phân số nh thế nào thì có thể áp dụng phơng pháp so sánh nhờ
phần bù đến 1?
- Các phân số đó có tử số nhỏ hơn mẫu số cùng một số đơn vị .
Nghĩa là nếu hai phân số
b
a
và
d
c

mà có b- a = d- c thì ta so sánh phân số bằng
phơng pháp phần bù đến 1.
5.3. Cách so sánh:
- Để so sánh hai phan số bằng phơng pháp so sánh phần bù đến 1 , ta so sánh
phần bù đến 1 của hai phân số đó.
- Phn bự n n v ca phõn s l hiu gia 1 v phõn s ú.
-Trong 2 phõn s, phõn s no cú phn bự ln hn thỡ phõn s ú nh hn v
ngc li.
5.4. Vớ d minh ho:
So sỏnh hai phõn s :
15
7
v
11
3
.
+ Hai phõn s trờn u cú t s bộ hn mu s 8 n v nờn ta cú th ỏp dng
phng phỏp so sỏnh nh phn bự n 1.
+ Ta cú: Phn bự n 1 ca phõn s
15
7
l
15
8
( vỡ 1 -
15
7
=
15
8

)

Phn bự n 1 ca phõn s
11
3
l
11
8
( vỡ 1 -
11
3
=
11
8
)
Vỡ
15
8
<
11
8
( do 15 > 11 ) nờn
11
3
<
15
7
16
5.5. Một số dạng toán áp dụng phương pháp so sánh nhờ phần bù đến 1.
Ví dụ 1: So sánh hai phân số :

575757
545454
và
20002000
19971997
*Trước khi so sánh ta rút gọn :

575757
545454
=
10101575757
10101545454
⋅
⋅
=
57
54

20002000
19971997
=
1000120002000
1000119971997
⋅
⋅
=
2000
1997
Ta có : Phần bù đến 1 của phân số

57
54
là
57
3
Phần bù đến 1 của phân số
2000
1997
là
2000
3
Vì
57
3
>
2000
3
nên
57
54
<
2000
1997

Hay
575757
545454
<
20002000
19971997

Ví dụ 2:
So sánh hai phân số:
34
31
và
18
17
* Trước khi so sánh ta biến đổi :
18
17
=
318
317
×
×
=
54
51
Ta có: Phần bù đến 1 của phân số
34
31
là
34
3
Phần bù đến 1 của phân số
54
51
là
54
3

.
Vì
34
3
>
54
3
nên
34
31
<
54
51

Hay
34
31
<
18
17
.
Ví dụ 3:
Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự tăng dần:

2
1
,
3
2
,

4
3
,
5
4
,
6
5
,
7
6
,
8
7
,
9
8
,
10
9
.
17
Ta có : + Phần bù đến 1 của phân số
2
1
là
2
1
.
+ Phần bù đến 1 của phân số

3
2
là
3
1
.
+ Phần bù đến 1 của phân số
4
3
là
4
1
.
+ Phần bù đến 1 của phân số
5
4
là
5
1
.
+ Phần bù đến 1 của phân số
6
5
là
6
1
.
+ Phần bù đến 1 của phân số
7
6

là
7
1
.
+ Phần bù đến 1 của phân số
8
7
là
8
1
.
+ Phần bù đến 1 của phân số
9
8
là
9
1
.
+ Phần bù đến 1 của phân số
10
9
là
10
1
.
Ta nhận thấy:

2
1
>

3
1
>
4
1
>
5
1
>
6
1
>
7
1
>
8
1
>
9
1
>
10
1
.
Vậy :
2
1
<
3
2

<
4
3
<
5
4
<
6
5
<
7
6
<
8
7
<
9
8
<
10
9
.
Ví dụ 4 : So sánh hai phân số:
1999
1998
và
2000
1999
Bài giải: Ta thấy: 1-
1999

1998
=
1999
1
; 1-
2000
1999
=
2000
1
mà
1999
1
>
2000
1
nên
1999
1998
<
2000
1999
* Kết luận: Trong hai phân số nếu phân số nào có phần bù đến 1 lớn hơn
thì phân số đó bé hơn và ngược lại.
1 -
b
a
< 1 -
d
c

thì
b
a
>
d
c
; 1 -
b
a
> 1 -
d
c
thì
b
a
<
d
c

Nhận xét: Cách này thường áp dụng với những bài toán so sánh phân số mà
mẫu số 2 phân số cùng lớn hơn tử số hai phân số một lượng như nhau.
6 .SO SÁNH PHÂN SỐ BẰNG CÁCH SO SÁNH PHẦN HƠN VỚI ĐƠN VỊ
CỦA PHÂN SỐ .
18
Ph ¬ng ph¸p so s¸nh :
* ThÕ nµo lµ phÇn hơn đến đơn vị của phân số ?
- PhÇn hơn ®Õn đơn vị của ph©n sè là hiệu của phân số và 1.
-Trong hai phân số, phân số nào có phần hơn lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.
VÝ dô1 : So sánh hai phân số: và
Bước 1: Tìm phần hơn.

Ta có : - 1 = - 1 =
Bước 2: So sánhphần hơn của đơn vị, kết luận hai phân số cần so sánh.
Vì > nên >
* VÝ dô2 : So sánh hai phân số: và
Bước 1: Ta có: = =
- 1 = - 1 =
Bước 2: Vì < nên < hay <
7. SO SÁNH CÁC PHÂN SỐ MÀ TỬ SỐ VÀ MẪU SỐ CỦA PHÂN SỐ
NÀY LÀ CHUỖI LẶP LẠI CỦA TỬ SỐ VÀ MẪU SỐ CỦA PHÂN SỐ KIA.
Ví dụ : Trong các phân số sau, phân số nào lớn nhất, phân số nào nhỏ nhất:
507
307
;
507507
307307
;
507507507
307307307
Nhận xét:tử số và mẫu số của phân số thứ hai và thứ ba là sự
lặp lại 2,3 lần của tử số và mẫu số của phân số thứ nhất. Ta chia các tử số và mẫu
số cho nhau để tìm quy luật cấu tạo.
307307:307=1001
507507:507=1001
Ta có :
507507
307307
=
1001:507507
1001:307307
=

507
307
307307307:307=1001001
507507507:507=1001001
Ta có:
507507507
307307307
=
1001001:507507507
1001001:307307307
=
507
307

19
Vậy
507
307
=
507507
307307
=
507507507
307307307
*Nhận xét: Gặp bài toán so sánh phân số, học sinh thường nghĩ xem phân
số nào lớn hơn, phân số nào nhỏ hơn nên tìm mọi cách để so sánh. Nhưng điều bất
ngờ là các phân số đó lại bằng nhau. Như vậy để so sánh phân số thì trước hết ta
nên đưa các phân số đó về phân số tối giản (nếu có thể). Sau đó sẽ so sánh.
Ví dụ
1.

31
11
và
311
111

Với bài này hướng dẫn học sinh nhận biết được: Để hai phân số có phần bù
bằng nhau thì ta phải nhân cả tử số và mẫu số của phần bù của phân số thứ nhất
với 10.
Ta tìm phần bù của hai phân số đó:
1 -
31
11
=
31
20
Và 1 -
311
111
=
311
200
Do
1031
1020
x
x
=
310

200
mà
310
200
>
311
200
Nên suy ra :
31
11
<
311
111

8. SO SÁNH CÁC PHÂN SỐ BẰNG CÁCH NHÂN TỬ SỐ CỦA PHÂN SỐ
NÀY VỚI MẪU SỐ CỦA PHÂN SỐ KIA, RỒI SO SÁNH HAI TÍCH.
Ví dụ : So sánh hai phân số:
128
3
và
207
5
Bài giải: Ta thấy: 3 x 207 = 621
5 x 128 = 640
mà 621 < 640 nên
128
3
<
207
5

Kết luận: Muốn so sánh hai phân số ta có thể lấy tử số của phân số này nhân
với mẫu của phân số kia nếu tích nào lớn hơn thì phân số đó lớn hơn và ngược lại.
Thật vậy
b
a
=
bxd
axd
d
c
=
dxb
cxb
(Với b, d # 0)
20
b
a
<
d
c

⇔

bxd
axd
<
dxb
cxb

⇔

a x d < c x b
b
a
>
d
c

⇔

bxd
axd
>
dxb
cxb

⇔
a x d > c x b
b
a
=
d
c

⇔

bxd
axd
=
dxb
cxb

⇔
a x d = c x b
Nhận xét: Cách so sánh này xây dựng trên cơ sở của việc so sánh 2 phân số
bằng cách quy đồng mẫu số. Cách làm này được áp dụng với những bài so sánh
phân số mà việc nhân hai mẫu số gặp phức tạp nhưng tử số của hai phân số không
lớn nó sẽ làm cho ta giảm đi một bước là nhân hai mẫu số với nhau.
9. SO SÁNH PHÂN SỐ BẰNG CÁCH ĐƯA PHÂN SỐ VỀ DẠNG HỖN
SỐ ĐỂ SO SÁNH:
Vớ dụ 1:
So sánh hai phân số
26
135
và
89
450
Ta có :
26
135
=
26
5
5

89
450
=
89
5
5

Vì
26
5
>
89
5
nên
26
135
>
89
450
.
Vớ dụ 2:
So sánh hai phân số:

212121
898989
và
20032003
80178017
.
Trước khi so sánh ta tiến hành rút gọn hai phân số trên.

212121
898989
=
10101:212121
10101:898989
=

21
89

20032003
80178017
=
10001:20032003
10001:80178017
=
2003
8017
.
Ta có:

21
89
=
21
5
4

2003
8017
=
2003
5
4
.
Vì :
21

5
>
2003
5
nên
21
5
4
>
2003
5
4
Hay
21
89
>
2003
8017
.
21
Hay
212121
898989
>
20032003
80178017
Vớ dụ 3: Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự từ lớn đến bé.

2
3

,
3
4
,
4
5
,
5
6
,
6
7
,
7
8
,
8
9
,
9
10
.
Ta viết các phân số trên dưới dạng hỗn số:
2
3
=
2
1
1
.

3
4
=
3
1
1
.
4
5
=
4
1
1
.
5
6
=
5
1
1
.
6
7
=
6
1
1
.
7
8

=
7
1
1
.
8
9
=
8
1
1
.
9
10
=
9
1
1
.
Phần nguyên của các hỗn số trên đều bằng 1. Phần phõn số của các hỗn số trên
theo thứ tự lần lượt là:
2
1
,
3
1
,
4
1
,

5
1
,
6
1
,
7
1
,
8
1
,
9
1
,
10
1
.
Vì:
2
1
>
3
1
>
4
1
>
5
1

>
6
1
>
7
1
>
8
1
>
9
1
>
10
1
.
Nên:
2
3
>
3
4
>
4
5
>
5
6
>
6

7
>
7
8
>
8
9
>
9
10
.
* Chú ý:Khi mẫu số của hai phân số cùng chia hết cho một số tự nhiên ta có thể
nhân cả hai phân số với số tự nhiên đó rồi đưa kết quả vừa tìm được về hỗn số rồi
so sánh hai hỗn số đó với nhau.
Ví dụ :So sánh và
Ta có: x3 = = 9 x3= = 9
22
Vì > nên 9 > 9 hay >
10 . SO SÁNH PHÂN SỐ BẰNG CÁCH SO SÁNH PHẦN ĐẢO NGƯỢC.
10.1. Phân số đảo ngược là gì?
- Phân số đảo ngược của phân số
b
a
là
a
b
.
Ví dụ : Phân số đảo ngược của
2
3

là
3
2
.
Phân số đảo ngược của
5
4
là
4
5
.
10.2. Phương pháp so sánh phân số bằng cách so sánh phần đảo ngược .
Khi so sánh các phân số bằng cách so sánh phần đảo ngược ta đảo ngược tất
cả các phân số rồi so sánh phần đảo ngược với nhau.
+ Phân số nào có phần đảo ngược lớn hơn thì phân số đó bé hơn.
+ Phân số nào có phần đảo ngược bé hơn thì phân số đó lớn hơn.
+ Nếu hai phân số có phần đảo ngược bằng nhau thì hai phân số đó bằng nhau.
10.3. Một số dạng bài tập áp dụng phương pháp so sánh phân số bằng cách so
sánh phần đảo ngược.
Ví dụ 1:
So sánh phân số :
5
2
và
7
3
.
Ta thấy phân số đảo ngược của
5
2

là
2
5
.
phân số đảo ngược của
7
3
là
3
7
.
Ta có :
2
5
=
2
1
2
.

3
7
=
3
1
2
.
Vì
2
1

>
3
1
nên
2
1
2
>
3
1
2

Hay
2
5
>
3
7
.
Hay
5
2
<
7
3
.
Ví dụ 2: So sánh hai phân số:
133
43
và

209
51
.
Ta thấy phân số đảo ngược của
133
43
là
43
133
.
phân số đảo ngược của
209
51
là
51
209
.
23
Ta có:
43
133
=
33
4
3



51
209

=
51
5
4
.
Vì 3 < 4 nên
43
4
3
<
51
5
4
.
Hay
43
133
<
51
209
Hay
133
43
>
209
51
.
11. SO SÁNH PHÂN SỐ BẰNG CÁCH THỰC HIỆN PHÉP CHIA HAI
PHÂN SỐ :
- Khi chia phân số thứ nhất cho phân số thứ hai ,nếu thương tìm được bằng 1 thì hai

phân số đó bằng nhau ; nếu thương tìm được lớn hơn 1 thì phân số thứ nhất lớn hơn
phân số thứ hai ; nếu thương tìm được nhỏ hơn 1 thì phân số thứ nhất thứ nhất nhỏ
hơn phân số thứ hai.
Ví dụ : So sánh và
Ta có : : = < 1. Vậy < 7 10.
12 . SO SÁNH PHÂN SỐ BẰNG CÁCH DÙNG SƠ ĐỒ ĐOẠN THẲNG:
Ví dụ 1: So sánh hai phân số
4
1
và
5
2

Bài giải: Ta có sơ đồ:
Từ sơ đồ trên ta thấy
4
1
<
5
2
*Chốt kiến thức: Ta có thể so sánh hai phân số bằng việc biểu diễn từng
phân số trên các đơn vị độ dài như nhau rồi so sánh độ dài biểu thị từng phân số
với nhau. Phân số nào có độ dài biểu thị lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.
Lưu ý: Cách này chỉ dùng để so sánh các cặp phân số có tử và mẫu của
mỗi phân số đều nhỏ đủ để có thể biểu thị trên sơ đồ.
CHƯƠNG III : BÀI TẬP ÁP DỤNG
24
Vận dụng một số phương pháp so sánh phân số có thể dùng cho học sính lớp 4 mà
tôi đã nghiên cứu đưa vào thực nghiệm giảng dạy cho học sinh.
Tổng quát lại tôi đưa về các dạng điền hình như sau :

Dạng 1: Giải bài toán so sánh bằng nhiều cách
Bài toán 1: So sánh 2 phân số sau:
9
2
và
10
4
Bài giải:
Cách 1: Quy đồng mẫu số
Ta có :
9
2
=
109
102
x
x
=
90
20
;
10
4
=
910
94
x
x
=
90

36
mà
90
20
<
90
36
nên
9
2
<
10
4
Cách 2: Quy đồng tử số:
Ta thấy
9
2
=
49
42
x
x
=
36
8
;
10
4
=
210

24
x
x
=
20
8
Vì
36
8
<
20
8
nên
9
2
<
10
4
Cách 3: Dùng tính chất cơ bản của phân số:
Ta có:
10
4
=
2:10
2:4
=
5
2
mà
9

2
<
5
2
nên
9
2
<
10
4
Cách 4: Dùng so sánh "phần bù" tới đơn vị.
Ta có 1-
9
2
=
9
7
và 1-
10
4
=
10
6

mà
9
7
>
10
7

và
10
7
>
10
6
nên
9
7
>
10
7
>
10
6

Vậy
9
2
<
10
4
Cách 5: Phân số trung gian:
25