SKKN Một số kinh nghiệm dạy khoảng cách trong Hình học không gian bậc THPT

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI:
“MỘT SỐ KINH NGHIỆM DẠY “KHOẢNG CÁCH” TRONG
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẬC THPT”
PHẦN I: MỞ ĐẦU
I - Lí do chọn đề tài:
- Hình học không gian là môn học khó đối với nhiều học sinh phổ thông. Nhiều học
sinh thấy khó và trở nên chán nản khi học môn học này. Các em đó hầu như phát biểu
rằng: "Trong giờ lí thuyết em hiểu bài nhưng lại không áp dụng lí thuyết vào để tự làm
được bài tập". Vì vậy, khi dạy học sinh phần hình học không gian, người giáo viên đặc
biệt phải quan tâm, kiên nhẫn hướng dẫn các em từng bước cách tìm ra hướng giải cho
từng loại bài toán và để các em tự làm được chứ không áp đặt kết quả hoặc cách làm cho
học sinh.
- Sách giáo khoa Hình học 11 nâng cao và cơ bản đều viết bài "KHOẢNG CÁCH"
rất đơn giản nhưng bài tập yêu cầu với học sinh thì lại không đơn giản đối với học sinh.
Nếu người dạy chỉ đưa ra định nghĩa như sách giáo khoa và cho học sinh làm bài tập ví
dụ thì chắc chắn không nhiều học sinh có thể làm được. Nếu dạy hết các định nghĩa
trong các mục 1, 2, 3 sau đó cho học sinh làm bài tập áp dụng trong mục 4 thì học sinh sẽ
rất lúng túng. Học sinh lúng túng khi tìm hình chiếu H của điểm M trên mặt phẳng (P):
nó sẽ nằm trên đường thẳng nào? tại sao? ( Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P)
(hoặc đến đường thẳng
V
) là khoảng cách giữa hai điểm M và H , trong đó H là hình
chiếu của M trên mặt phẳng (P) (hoặc trên đường thẳng
V
- Định nghĩa 1- SGK Hình
học nâng cao 11 - trang 113)
- Trong cấu trúc đề thi Đại học- cao đẳng cũng như tốt nghiệp hiện nay luôn có 1
câu hình học không gian và “khoảng cách” là vấn đề rất hay được hỏi đến trong các đề thi
này. Điều này cũng làm cho không ít học sinh và giáo viên lo lắng.
- Toán học là môn khoa học rèn luyện tư duy cho học sinh và hình học không gian là

một chương rất tốt để thực hiện nhiệm vụ này.
Xuất phát từ những lí do trên, tôi đã chọn đề tài: MỘT SỐ KINH NGHIỆM
DẠY “ KHOẢNG CÁCH ” TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
II - Nhiệm vụ và phạm vi đề tài:
- Nêu hướng giải quyết các bài toán tìm khoảng cách trong không gian:
+ Khoảng từ 1 điểm đến 1 đường thẳng
+ Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng
+ Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song
+ Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
+ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
- Mở rộng bài toán khoảng cách.
Từ các bước cụ thể , học sinh có thể tiến hành bước đầu làm được các bài tập trong SGK,
sau đó sẽ làm được những bài toán trong các đề thi Đại học có liên quan đến vấn đề
khoảng cách.
III- Kế hoạch nghiên cứu
Năm 2006, dạy lớp 11 thí điểm phân ban. Dạy tới bài khoảng cách tôi đã soạn bài
rất kĩ theo SGK và hướng dẫn của SGV. Học sinh của tôi trong giờ lí thuyết rất tập trung
và tôi cảm thấy các em hiểu bài. Nhưng đến giờ bài tập rất ít học sinh làm được các bài
tập trong SGK. Các em đều kêu khó. Tôi rất băn khoăn suy nghĩ: khi giảng cách làm cho
các em thì các em hiểu, nhưng cho tự làm bài các em lại thấy khó. Vậy phải làm thế nào
cho học sinh có hướng suy nghĩ cách giải quyết cho toán? Từ đó tôi suy nghĩ và hình
thành chuyên đề này.
IV- Phương pháp nghiên cứu
• Tìm hiểu thực tế giảng dạy, học tập ở một số trường trong tỉnh.
• Nghiên cứu tài liệu
• Thực nghiệm
• Nhận xét
V- Thời gian hoàn thành
Sau năm học thí điểm, tôi vừa làm vừa rút kinh nghiệm thực tế khi giảng dạy cho
những lớp khác nhau. Một năm học sau tôi đã hoàn thiện được đề tài.

PHẦN II: NỘI DUNG
CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ CƠ SỞ PHÁP LÍ CỦA ĐỀ TÀI
I - Cơ sở lí luận
SGK HHNC 11 trình bày khoảng cách rất đơn giản. Sau khi đưa ra 1 loạt các khái niệm
k/c ở các mục 1, 2, 3 rồi đưa 2 ví dụ áp dụng trong mục 4.
1- Khoảng cách từ 1 điểm đến một đường thẳng và 1 mặt phẳng:
H
M
P)
H
M
Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) (hoặc đến đường thẳng
V
) là khoảng
cách giữa hai điểm M và H , trong đó H là hình chiếu của M trên mặt phẳng (P) ( hoặc
trên đường thẳng
V
- Định nghĩa 1- SGK Hình học nâng cao 11 - trang 113)
2- Khoảng cách giữa một đường thẳng và 1 mặt phẳng song song, giữa hai mặt
phẳng song song:
K
B
P)
H
A
Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với a là khoảng cách
từ 1 điểm nào đó của a đến mặt phẳng (P). ( Định nghĩa 2- SGK Hình học nâng cao 11 -
trang 113)
Q)
K

B
P)
H
A
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ 1 điểm bất kì của
mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. ( Định nghĩa 3- SGK Hình học nâng cao 11 - trang
114)
3- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
J
I
c
b
a
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian là độ dài đoạn
vuông góc chung của hai đường đó . ( Định nghĩa 4 - SGK Hình học nâng cao 11 - trang
115)
-khoảng cách giữa hai đường chéo nhau a và b bằng kc giữa a và mp (P) chứa b và
song song với a.
II- Cơ sở pháp lí
Vì phương pháp này hoàn toàn dùng các định lí, các tính chất, đã được học, được
chứng minh trong SGK nên học sinh được sử dụng trong các kì thi.
CHƯƠNG II: THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI
Như đã trình bày ở trên, HÌNH HỌC KHÔNG GIAN là bài toán khó, đặc biệt là
bài toán khoảng cách. Nhiều học sinh không biết bắt đầu từ đâu, dùng phương pháp nào,
tại sao lại nghĩ đến kẻ đường này, vẽ đường kia Một số học sinh khá hơn thì mày mò
tìm ra được cách giải bài toán theo kiểu thử sai, có khi được khi không. Một số học sinh
khác gần như không có “ lối đi” cho loại bài toán này. Đề tài này mong muốn giúp các
em từng bước giải quyết vấn đề trên.
CHƯƠNG III: BIỆN PHÁP THỰC HIỆN VÀ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ
TÀI

I - Biện pháp thực hiện
- Bổ sung, hệ thống các kiến thức cơ bản mà học sinh thiếu hụt: quan hệ song song,
vuông góc trong không gian.
- Xây dựng các bước tính từng loại khoảng cách.
- Hướng dẫn một số bài toán khoảng cách trong SGK theo các bước trên.
-Sau mỗi bài toán đều có nhận xét, củng cố, chỉ ra những sai lầm dễ gặp của học sinh và
phát triển mở rộng (nếu có thể) giúp học sinh ghi nhớ và phát triển tư duy năng lực sáng
tạo.
-Sử dụng phương pháp phù hợp với hoàn cảnh thực tế, tạo hứng thú đam mê phương
pháp mới cho các em.
-Kiểm tra đánh giá để rút kinh nghiệm có phương pháp phù hợp hơn.
II- Nghiên cứu thực tế
1- Khoảng cách từ 1 điểm đến một mặt phẳng và đến một đường thẳng.
1.1- Khoảng cách từ 1 điểm đến một đường thẳng.
Phần này chỉ lưu ý học sinh: muốn tính được độ dài của đoạn MH, người ta thường
xem nó là chiều cao của tam giác MAB (với A, B thuộc đường
∆
). Nếu tam giác MAB
vuông tại M thì tính độ dài MH như thế nào? có thể nhớ lại hệ thức trong tam giác vuông:
2 2 2
1 1 1
MH MA MB
= +
. Nếu tam giác cân tại M? thì H là trung điểm của AB. Nếu tam giác
thường? thì tính diện tích tam giác và độ dài AB, từ đó suy ra độ dài MH.
B
B
H
H
A

A
M
M
H
B
A
M
Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên 2a. Tính khoảng
cách từ A đến SC.
Với ví dụ này học sinh không khó khăn trong việc kẻ AH vuông góc với SC ( H
thuộc SC) và nêu hướng tính AH:
SO.AC = AH. SC. Giáo viên thống nhất hướng tính và kết quả .
H
O
D
C
B
A
S
1.2 - Khoảng cách từ 1 điểm đến một mặt phẳng.
Sau khi đưa ra định nghĩa, giáo viên cho 1 ví dụ. Chắc chắn là nhiều học sinh sẽ
lúng túng không biết điểm H nằm trên đường nào.
Giáo viên yêu cầu học sinh tìm chân đường cao kẻ từ đỉnh của hình chóp đều
xuống mặt phẳng đáy, tương tự cho hình chóp có các cạnh bên bằng nhau.Từ đó giáo
viên có thể nhấn mạnh cho học sinh ghi nhớ trường hợp này.
Tiếp đó, giáo viên yêu cầu học sinh nhắc lại 3 tính chất của 2 mặt phẳng vuông góc.
Hỏi học sinh: tính chất nào có thể sử dụng trong việc kẻ đường vuông góc xuống mặt
phẳng. Học sinh sẽ phát hiện ra tính chất 2 ( hai mặt phẳng vuông góc với nhau theo giao
tuyến d, trong mặt này kẻ đường thẳng a vuông góc với d thì a sẽ vuông góc với mặt
phẳng kia).

Từ đó giáo viên cho học sinh ghi nhớ "Các bước xác định khoảng cách từ 1 điểm
M đến 1 mặt phẳng (P)" như sau:
+ Tìm mặt phẳng (Q) qua M và vuông góc với (P).
+ Tìm giao tuyến a của (P) và (Q).
+ Trong (Q), kẻ MH vuông góc với a. Khi đó d(M;(P)) = MH.
Ví dụ 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB =a, AD = b, AA' = c. Tính
khoảng cách từ B đến (ACC'A').
H
D'
C'
B'
A'
D
C
A
B
GV yêu cầu mỗi học sinh làm 1 bước (theo các bước đã hướng dẫn).
+ Tìm mặt phẳng qua B và vuông góc với (ACC'A'): đó là mặt phẳng (ABCD) vì
mp (ABCD) vuông góc với AA' nên vuông góc với (ACC'A'))
+ Giao tuyến của (ABCD) và (ACC'A'): là AC.
+ Trong mặt (ABCD), kẻ BH vuông góc với AC (H thuộc AC), thế thì BH vuông
góc với (ACC'A'). Vậy d(B; (ACC'A')) = BH.
+ BH là đường cao của tam giác nào? HB là đường cao của tam giác vuông ABC
nên:
2 2 2
2 2
1 1 1 ab
BH
BH BA BC
a b

= + → =
+
Ví dụ 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng 2a, cạnh đáy bằng a. Gọi
M là trung điểm của AB. Tính khoảng cách từ M đến (SCD).
Yêu cầu mỗi học sinh làm 1 bước
+ Mặt phẳng (Q) qua M và vuông góc với (SCD): Lưu ý học sinh chọn mp (Q) chỉ
cần vuông góc với 1 đường của (SCD). Trong các đường của (SCD) hiện nay thấy DC có
liên quan nhiều đến quan hệ vuông góc hơn. Yêu cầu hs đọc những đường vuông góc với
CD. Từ đó hs phát hiện ra mp (SNM) vuông góc với CD (N là trung điểm của CD), hay
(SNM) vuông góc với (SCD).
+ Giao tuyến của (SCD) và (SMN) là: SN
+ Trong (SMN): kẻ MH vuông góc với SN (H thuộc SN) thì MH vuông góc với
(SCD). Từ đó suy ra d(M; (SCD)) = MH.
N
H
M
O
D
C
B
A
S
+ MH là chiều cao của tam giác nào? Dựa vào tam giác SMN, học sinh có thể đưa
ra hướng tính: SO.MN = MH. SN
III- Thực trạng:
Khi chưa được hướng dẫn các bước tiến hành của bài toán k/c từ 1 điểm đến 1 mặt
phẳng. Học sinh lúng túng không biết dựng khoảng cách và nhiều em không làm được
bài dẫn đến chán nản và cho rằng quá khó. Sau khi phân tích hướng dẫn các em tự đưa ra
các bước tiến hành dựng k/c dựa trên những kiến thức đã có của bản thân trong các tiết
học trước, h/s dần làm từng bước và kết thúc được bài toán. Bước làm khó nhất của bài

toán bây giờ chính là tìm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đã cho. Các em có thể tự
làm được các bài trong sách giáo khoa và tiến đến các bài toán khó hơn.
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài tập 1: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc và có độ dài lần lượt là
a, 2a, 3a. Tính khoảng cách từ O đến mp (ABC).
Bài tập 2: Hai tia chéo nhau Ax, By hợp với nhau góc 60
0
nhận AB làm đoạn vuông góc
chung. Trên By lấy C sao cho BC =a.
a) Tính k/c từ c đến Ax
b) tính k/c từ C đến (ABD)
Bài tập 3: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có tam giác ABC vuông tại A. BC= 2a, AB=
3a
.
a) Tính k/c từ A đến (A’BC)
b) Chứng minh rằng AB vuông góc với (ACC’A’) và tính k/c từ A’ đến (ABC’)
Bài tập 4: Hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a. SA vuông góc với
(ABCD). SA=2a. (P) qua BC và cắt SA, SD theo thứ tự tại E, F.Biết AD cách (P) một
khoảng là
2
2
a
. Tính khoảng cách từ S đến (P) và tính diện tích của tứ giác BCFE.
Bài tập 5: Hình chóp tam giác đều SABC có cạnh đáy a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy
bằng 60
0
. M, N lần lượt là trung điểm của SA, SB. Tính k/c giữa AB và (CMN)
2- Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song, giữa hai mặt
phẳng song song.
2.1- Khoảng cách giữa 1 đường thẳng và một mặt phẳng song song.

Ví dụ 4: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng 2a, cạnh đáy bằng a. Tính
khoảng cách giữa AB và mp(SCD).
Hầu như học sinh đều đổi khoảng cách giữa AB và mp(SCD) thành khoảng cách từ
A (hoặc B) đến (SCD). Sau đó tiến hành theo các bước tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1
mặt phẳng. Nhưng việc dựng mặt phẳng qua A và vuông góc với (SCD) là hơi phức tạp
đối với một số học sinh, một số khác dựng được mặt phẳng này nhưng hình vẽ rất rối.
Giáo viên gợi ý cho học sinh: đã có sẵn 1 mặt phẳng vuông góc với (SCD) (theo ví
dụ 3), đó là mặt nào? từ đó gợi ý cho em đổi khoảng cách phải tìm thành khoảng cách từ
điểm nào tới (SCD)?
Qua ví dụ cụ thể trên học sinh có thể dần hình thành "các bước làm để tính
khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song" như sau:
+ Tìm mặt phẳng (Q) vuông góc với (P)
+ Tìm điểm chung M của (Q) và a (nếu a song song với (Q) thì đổi (Q) thành (Q')
chứa a và song song với (Q))
+ Tìm giao tuyến (
∆
) của (P) và (Q).
+ Trong (Q): kẻ MH
⊥
∆
(H
∈
∆
) . Khi đó MH
⊥
(P) và d(a; (P)) = d(M;(P)) = MH
Nếu là theo các bước đó thì ta dễ dàng biết được khoảng cách trong ví dụ 4 nên đổi
thành khoảng cách từ M ( trung điểm của AB) đến (SCD) chứ không nên đổi thành kc từ
A hay B đến (SCD).
Ví dụ 5: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Tính khoảng cách giữa AB’ và

mp (A'C'D).
H
I
O
D'
C'
B'
A'
D
C
A
B
Yêu cầu mỗi hs l àm 1 bước:
+ t ìm mp vu ông g óc v ới (A’DC’): Ta tìm mp vuông góc với A’C’. Đó là mp
(BDD’B’). Hai mp (A’DC’) và (BDD’B’) có giao tuyến DO ( O là tâm A’B’C’D’) Trong
mp (DBB’) kẻ B’H vuông góc với DO thi B’H vuông góc với (DA’C’). khoảng cách
phải tìm là B’H
Để tính độ dài B’H :2.dt tam giác DB’O = B’H.OD = DD’.B’O
2.2 - Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.
Các bước làm được tiến hành tương tự khoảng cách giữa đường thẳng và mặt
phẳng song song.
Ví dụ 6: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Tính khoảng cách giữa hai mặt
phẳng (ACB') và (A'C'D).
H
I
O
D'
C'
B'
A'

D
C
A
B
+ Tìm mặt phẳng vuông góc với (A'C'D): đó là mặt phẳng (BDD'B') (vì (BDD'B')
⊥
A'C')
+ Giao tuyến của (A'C'D) và (BDD'B'): là DO
+ Điểm chung của (BDD'B') và (ACB') thuộc đường B'I.
+ Trong (BDD'B'), kẻ B'H
⊥
DO thì khoảng cách phải tìm là B'H.
+ B'H là đường cao của tam giác B'OD. Từ đó có hướng tính:
' . '. 'B H OD DD B O
=
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài tập 1: Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy a, cạnh bên 2a. M, N lầ lượt là
trung điểm của AB, AC. Tính khoảng cách giữa BC và (NMC’).
Bài tập 2: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều AB =2a; BC= CD=DA
=a. SA vuông góc với mp (ABCD). SA =2a. Tính khoảng cách giữa
a) CD và (SAB)
b) giữa AB và (SCD)
c) giữa BC và (SDO) với O là trung điểm của AB.
d) Gọi (P) là mp song song và cách (SAB) một khoảng là
3
4
a
. Tính diện tích của
thiết diện tạo thành do cắt hình chóp bởi mp(P).
Bài tập 3: Hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với (ABCD). Tứ giác ABCD là hình

vuông cạnh a. SA =2a. M, N lần lượt là trung điểm của AB, AD. Chứng minh rằng MN //
(SBD) và tính k/c giữa MN và (DBS).
3- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
Sau khi đưa ra định nghĩa khoảng cách giữa hai đường chéo nhau (độ dài đoạn vuông góc
chung)
Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SA
⊥
(ABCD), SA
=a. Xác định đoạn vuông góc chung của SA và BC; SA và DB; SA và d (trong đó d là
đường thẳng nằm trong mp (ABC) và không đi qua A.
O
d
D
C
A
B
S
Học sinh có thể dễ dàng tìm được đoạn vuông góc chung của SA và BC, đó là AB. Của
SA và BD đó là AO. Vậy muốn dựng được đoạn vuông góc chung của SA và d thì làm
thế nào? Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với d, nó cắt d tại H. Khi đó đoạn AH là đoạn
vuông góc chung của SA và d.
Một cách tổng quát, muốn dựng được đoạn vuông góc chung của hai đường chéo
nhau và vuông góc với nhau thì làm thế nào?
3.1- Nếu hai đường chéo nhau a và b mà vuông góc với nhau:
N
M
b
a
P)
Yêu cầu hs nói cách dựng đường vuông góc chung của a và b vông góc và chéo nhau?

+ Tồn tại mp (P) chứa b và vuông góc với a
+ (P) cắt a tại M
+ Kẻ MN
⊥
b (N thuộc b), MN chính là đường vuông góc chung của a và b.
Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SA
⊥
(ABCD), SA
=a. Tính khoảng cách giữa SB và AD; giữa DB và SC.
*) Khoảng cách giữa SB và AD
- Hai đường này có vuông góc không? tại sao?
- Khi học sinh trả lời đúng câu hỏi trên thì có thể tiến hành tìm được đoạn vuông góc
chung của hai đường.
+ AD vuông góc với SB (vì AD vuông góc với (SAB) ). Từ đó suy ra có mặt phẳng
chứa SB và vuông góc với SD, đó là (SAB).
N
H
M
O
D
C
B
A
S
+ AD cắt (SAB) tai A.
+ Kẻ AM vuông góc với SB.Khi đó AM là đoạn vuông góc chung của AD và SB.
+ Hs dễ dàng tính được AM vì nó là đường cao của tam giác vuông SAB.
*) Khoảng cách giữa DB và SC.
+ Có mp chứa SC và vuông góc với BD, đó là (SAC).
+ (SAC) cắt BD tại O là trung điểm của BD.

+ Kẻ OK vuông góc với SC. Khi đó OK là đoạn vuông góc chung của SC và BD.
+ OK là đường cao của tam giác SOC nên: OK. SC = SA. OC
3.2- Nếu hai đường chéo nhau a và b mà không vuông góc với nhau:
Việc xác định đường vuông góc chung không cần thiết cho bài toán tính khoảng
cách này. Ta đổi khoảng cách phải tìm thành khoảng cách giữa a và mp(P) ( trong đó (P)
chứa b và vuông góc với a).(sgk trang 115 -hình học 11 nâng cao)
Ví dụ 9: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng 2a, cạnh đáy bằng a. Tính
khoảng cách giữa AB đến SC.
N
H
M
O
D
C
B
A
S
Trước tiên học sinh kiểm tra xem hai đường có vuông góc không? Giáo viên hướng dẫn
cách kiểm tra.
Yêu cầu hs đổi k/c phải tìm thành k/c giữa đường và mặt song song. Đó là k/c giữa
đường AB và (SCD)
Bài toán này đã làm trong ví dụ 3. Kiểm tra học sinh các bước thực hiện loại k/c này.
Ví dụ 10: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Tính k/c giữa AA’ và DB; giữa
AC’ và BD; giữa AI và D’C’ ( với I là tâm mặt DCC’D’)
- kiểm tra xem hai đường có vuông góc không. Dễ thấy AA’ và BD vuông góc vì
AA’ vg với (ABCD). Yêu cầu hs thực hiện theo đúng các bước. Kết quả k/c thứ
nhất là AO bằng
2
2
a

- AC’ và BD có vuông góc vì BD vg với (ACC’) tại O. Trong (ACC’) kẻ ON vuông
góc với AC’ thì ON là đoạn vgc của AC’ và BD. Học sinh dựa vào diện tích tam
giác AOC’ suy ra: ON.AC’ = AO. CC’.
Từ đó tính được k/c cần tìm là
2
.
6
2
6
3
a
a
a
a
=
P
M
H
I
O
A
B
C
D
A'
B'
C'
D'
N
- Hs kiểm tra hai đường AI và C’D’ không vuông góc. Cần đổi k/c này thành k/c

giữa đường và mặt nào? Có thể kẻ đường song song với C’D’ hoặc kẻ đường // với
AI để tạo ra mp.
- Thống nhất đổi k/c phải tìm thành k/c giữa đường C’D’ và mp(ABPM). Yêu cầu hs
thực hiện các bước của bài toán này:
+ Mp (BCC’) vuông góc với BA nên (BCC’) vuông góc với (BAPM)
+giao tuyến của (BCC’) và (BAPM) là BM
+Trong mp (BCC’) kẻ đường C’H vuông góc với BM thì nó vuông góc với
(BAPM). Khoảng cách phải tìm là C’H.
+Muốn tính độ dài của C’H, ta tính nhờ diện tích của tam giác BMC’:
BM. C’H= BC. MC’. Từ đó suy ra k/c phải tìm là:
.
5
2
5
5
2
a
a
a
a
=
Ví dụ 11: Cho lăng trụ đều ABC. A’B’C’ có AA’ = a, AB’ tạo với (ABC) góc 60
0
.
Tính khoảng cách giữa AA’ và BC’.
H
C'
B'
A'
C

B
A
Do lăng trụ đều nên các cạnh bên vuông góc với đáy. AB’ có hình chiếu trên đáy là
AB nên góc giữa AB’ và đáy là B’AB = 60
0
.
K/c giữa AA’ và BC’ bằng k/c giữa AA’ và mp(BCC’B’). Mp( ABC) vuông góc
với (BCB’) theo giao tuyến BC nên từ A kẻ AH vuông góc với BC thì AH vuông
góc với (BCC’). K/c phải tìm là AH bằng
3
.
2 2
3
a a
=
Ví dụ 12: (Áp dụng cho các lớp khá và giỏi) Hình chóp SABC có SA vuôg góc với
(ABC). Tam giác ABC vuông tại B. SA =AB =BC =a. Tính k/c giữa các cạnh đối
diện của tứ diện.
+ K/c giữa SA và BC: h/s có thể phát hiện ra hai đường vuông góc nên dựng được
ngay đường vuông góc chung, đó là đường kẻ từ A vuông góc với BC. Dựa vào t/c
của tam giác vuông có thể tính được ngay k/c này là
2
2
a
+ K/c giữa AB và SC: Hai đường này không vuông góc. Vậy cần dựng được mp
chứa đường này và song song với đường kia. Ta nên dựng đường song song với
AB hay SC? Từ C kẻ đườg thẳng (d) song song với AB. Gọi (P) là mp chứa (d) và
SC. K/c phải tìm đổi thành k/c giữa AB và (P). Yêu cầu h/s thực hiện các bước của
bài toán này.
Trong mp (ABC) kẻ AD vuông góc với (d). Khi đó (SAD) vuông góc với (d) nên

(ADS) vuông góc với (P) theo giao tuyến SD. Kẻ AH vuông góc với DS, khi đó
AH vuông góc với (P) và k/c phải tìm là AH bằng
2
2
a
a
H
D
C
B
A
S
+ Tương tự hs dựng và tính được k/c thứ 3:
K
E
(d')
a
H
D
C
B
A
S
4-Mở rộng bài toán khoảng cách:
- Trong bài toán k/c giữa 1 đường và một mặt song song ta đã biết đổi k/c từ A đến
mp(P) thành k/c từ B đến mp(P) khi AB song song với (P) và dễ dựng, dễ tính k/c
từ B đến (P) hơn nhiều k/c từ A đến (P).
- Trong trường hợp AB không song song với (P) thì có tìm được mối liên quan giữa
hai k/c này không? Yêu cầu h/s so sánh trong các trường hợp đặc biệt sau:
K

H
K
H
M
B
A
M
B
A
P)
P)
Trường hợp thứ nhất M là trung điểm của AB. H/s có thể suy ra được hai k/c bằng
nhau (hai tam giác AHM và BMK bằng nhau)
Trường hợp thứ hai AB cắt (P) tại M và AB= 2MB Dựa vào định lí ta lét có thể suy
ra k/c từ A đến (P) bằng 3 lần k/c từ B đến (P).
Vậy từ đây ta có thể tính được k/c từ B đến (P) nếu biết k/c từ A đến (P).
Ví dụ 13: Cho hình chóp SABC có SA vuông góc với (ABC). Tam giác ABC đều
cạnh a. SA =2a. Tính k/c từ A, Trọng tâm I của tam giác SAB đến mp ( SBC).
-Bài toán k/c từ A đến (SBC) h/s hoàn toàn có thể tính được. Kết quả là độ dài của
đoạn AH bằng
2
2
3
2 .
2 3
2
19
3
4
4

a
a
a
a
a
=
+
I
N
K
H
G
M
S
A
B
C
Để dựng được k/c từ I đến mp( SBC) thì trông hình vẽ rất rối. Kiểm tra thử xem nó
có liên quan gì đến k.c từ A đến (SBC) hay không? AI cắt SBC tại N là trung điểm
của SB. Giả sử IE vuông góc với mp(SBC). Theo định lí talét ta suy ra: IE/ AH=
NI/ NA = 1/3. Vậy k/c từ I đến (SBC ) là
2 3
3 19
a
III- Kết quả nghiên cứu:
Qua nghiên cứu, ứng dụng đề tài vào thực tiễn giảng dạy, tôi thấy có hiệu quả đáng
kể.Cụ thể qua 1 số kết quả thu hoạch khi khảo sát tình hình giải bài toán tính khoảng cách
trong hình không gian ở hai lớp 11A1, 11A2 như sau:
BT1: Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng
Trước khi dạy các bước xác định loại khoảng cách này

Lớp 11A1- sĩ số 50
Số lượng Phần trăm
Không giải được 35 70%
Giải đúng 15 30%
Lớp 11A2- sĩ số 50
Số lượng Phần trăm
Không giải được 40 80%
Giải đúng 10 20 %
Sau khi hướng dẫn các bước xác định cụ thể.
Lớp 11A1- sĩ số 50
Số lượng Phần trăm
Không giải được 5 10%
Giải đúng 45 90%
Lớp 11A2- sĩ số 50
Số lượng Phần trăm
Không giải được 10 20%
Giải đúng 40 80%
BT2: Khoảng cách giữa đường và mặt song song
Trước khi dạy các bước xác định loại khoảng cách này
Lớp 11A1- sĩ số 50
Số lượng Phần trăm
Không giải được 38 76%
Giải đúng 12 24%
Lớp 11A2- sĩ số 50
Số lượng Phần trăm
Không giải được 43 86 %
Giải đúng 7 14 %
Sau khi hướng dẫn các bước xác định loại khoảng cách này.
Lớp 11A1- sĩ số 50:
Số lượng Phần trăm

Không giải được 10 20%
Giải được 40 80%
Lớp 11A2- sĩ số 52
Số lượng Phần trăm
Không giải được 10 20%
Giải được 40 80%
Như vậy ta thấy rất rõ sự chênh lệch của số lượng học sinh trước khi hướng dẫn và sau
khi hướng dẫn các em từng bước xác định các loại khoảng cách. Tất nhiên, vừa học xong
“ lí thuyết” áp dụng ngay vào bài tập thì bao giờ học sinh cũng hiểu, chưa quên và do vậy
nhiều em sẽ áp dụng được hơn. Nhưng không bởi vậy mà ta phủ nhận việc giúp học sinh,
cùng học sinh xây dựng các bước làm cụ thể cho những loại bài toán khó. Các em học
sinh sẽ không cảm thấy sợ hình không gian như trước vì trước đây học sinh nhiều khi có
cảm giác không có lối đi cho bài toán. Nhưng với phương pháp này ta có cảm giác đã tìm
ra được lối đi cho bài toán khoảng cách.
PHẦN III - KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
I - Kết luận
Bài toán khoảng cách trong không gian là 1 bài toán khó, nó đòi hỏi sự vận dụng kiến
thức tổng hợp và người làm toán phải có trình độ tư duy khá trở lên. Vì vậy SGK kể cả
sách cơ bản và nâng cao viết về khoảng rất đơn giản với mục đích giảm tải. Do đó nó lại
càng khó cho những học sinh và kể cả giáo viên muốn tìm hiểu sâu về dạng toán này.
Dạy học nói chung và dạy học hình học không gian nói riêng cho học sinh không
được được dạy theo kiểu nhồi nhét kiến thức mà người giáo viên chỉ là người dướng dẫn
chỉ đường cho học sinh, để các em tư duy phát hiện ra kết quả
Với việc cùng xây dựng các bước xác định khoảng cách với học sinh, giúp học sinh có
hướng làm loại toán này và không cảm giác đáp án như “từ trên trời rơi xuống”. Đó là 1
điểm rất quan trọng đối với học sinh khi làm toán.
II- Kiến nghị
Qua tìm ở một số trường THPT trong tỉnh, tôi nhận thấy nhiều trường có nhiều giáo viên
rất tâm huyết với “hình học không gian” và đặc biệt là bài toán “khoảng cách” và học
sinh của trường học cũng rất tốt thể hiện qua các kì thi. Nhưng cũng có 1 số trường giáo

viên chưa hướng dẫn được cho học sinh phương pháp này hoặc có hướng dẫn rồi nhưng
chưa chỉ ra được đặc điẻm quan trọng nào giúp ta xác định khoảng cách đúng và hiệu
quả. Thậm trí có có 1 số giáo viên còn chưa biết đến phương pháp này.
Vì vậy, tôi viết kinh nghiệm nhỏ này để làm tài liệu tham khảo cho học sinh và các giáo
viên chưa tìm hiểu, hoặc chưa tìm hiểu sâu về vấn đề này với mong muốn học sinh thực
hiện tốt hơn loại bài toán này
Hưng Yên, ngày 25 tháng 3 năm 2013
Người viết SKKN