Mot so phuong phap chung minh bat dang thuc

Một số chuyên đề toán THCS
Phơng pháp chứng minh bất đẳng thức
i/ dùng định nghĩa và tính chất
1/ Định nghĩa:
Khi hai biểu thức A và B nối với nhau bởi một trong các quan hệ >;

;
<;

thì ta bảo có một bất đẳng thức:
A>B,
BA
, A<B,
BA
Khi đó ta viết:
A>B

A-B >0 (đọc là A lớn hơn B) A và B là hai vế của bất
đẳng thức.

0 BABA
(đọc là A lớn hơn hay bằng B)
Ghi nhớ:Một BĐT có thể đúng, có thể sai nhng khi phải cm một BĐT mà
không rõ gì hơn, thì ta hiểu rằng đó là một BĐT đúng.
2/ Các tính chất của bất đẳng thức:
1 Tính phản xạ:
aaRa :
2 Tính bắc cầu:
baRcba :,,
và
cacb

3 Cộng, trừ hai vế của một BĐT với cùng một số thực
mbmabaRmba ::,,
.
Hệ quả:
Chuyển vế đổi dấu:
bcacba +
Cộng hai BĐT cùng chiều:
dbca
dc
ba
++


Ghi nhớ:Không đợc trừ hai BĐT cho nhau
4 Nhân, chia hai vế của một BĐT với cùng một số thực
0

m



<
>

0;
0;
:,
mbmam
mbmam

baRba





<
>

+
0;
0;
:,
m
m
b
m
a
m
m
b
m
a
Rba
5 Nếu a>b>0 hay 0>a>b
ba
ba
11

(a và b cùng dấu)

6 Nhân hai vế của hai BĐT cùng chiều







+
bdac
dc
ba
Rdcba :,,,
Phạm Văn Tung-Trờng THCS Chu Văn An- Đăk Hà - Kon Tum
1
Một số chuyên đề toán THCS
Ghi nhớ: Không đợc chia hai BĐT cho nhau.
Hệ quả:
*
;0





> n
ba
ba
ba
nn

nn
3/ Ví dụ áp dụng:
Cho x,y,z là 3 số tùy ý. Chứng minh rằng
( ) ( ) ( )
xyzxzzyyxa 6111/
222222
+++++
( ) ( )
zxyzxyzyxb ++++ 3/
2
Giải:
a/ Ta luôn có:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
320
220
120
222
2
222
2
222
2
xyzyxzxyz
xyzxzyzxy
xyzzyxyzx
+
+
+

Cộng (1),(2),(3) theo vế và nhóm các đơn thức có nhân tử chung cho ta điều
phải chứng minh:
b/ Ta có:
( ) ( )
zxyzxyzyxzyx +++++=++ 2
222
2
Ngoài ra ta luôn có:
( )
( )
( )
zxxzxz
yzzyzy
xyyxyx
20
20
20
22
2
22
2
22
2
+
+
+
Cộng vế theo vế và rút gọn cho ta:
( )
zxyzxyzyx ++++
222

Do đó:
( ) ( )
zxyzxyzxyzxyzyx +++++++ 2
2
Vậy:
( ) ( )
zxyzxyzyx ++++ 3
2
4/ Bài tập tự giải:
Bài 1: Cho hai số x và y mà x+y=1. Chứng minh rằng:
2
1
,
22
+ yxa
8
1
,
44
+ yxb
Bài 2: Cho x+y=2. Chứng minh rằng
2
44
+ yx
Bài 3: Chứng minh rằng nếu x+y+z=1 thì
3
1
222
++ zyx
Bài 4: Cho ba số x,y,z tùy ý. Chứng minh rằng:

2
222
33






++

++ zyxzyx
Phạm Văn Tung-Trờng THCS Chu Văn An- Đăk Hà - Kon Tum
2
Một số chuyên đề toán THCS
Bài 5: Cho ba số dơng x,y,z và x+y+z=4. Chứng minh rằng:
xyzyx +
Bài 6: Cho hai số dơng x,y và
yxyx =+
33
.
Chứng minh rằng:
1
22
<+ yx
Bài 7: Cho ba số dơng x,y,z thỏa mãn điều kiện
3
5
222
=++ zyx

.
Chứng minh rằng:
xyzzyx
1111
<+
Phạm Văn Tung-Trờng THCS Chu Văn An- Đăk Hà - Kon Tum
3
Một số chuyên đề toán THCS
ii/ dùng phép biến đổi tơng đơng:
1/ Đ ờng lối chung:
Để chứng minh đẳng thức
BA
là đúng bằng phơng pháp biến đổi tơng đ-
ơng ta biến đổi:
BA
(1)
11
BA

BnAn
(2)
Theo giả thiết hay theo tính chất cơ bản đã biết ta có (2) cuối cùng hiển
nhiên đúng. Do đó kết luận (1) luôn đúng.
2/ Ví dụ áp dụng:
Cho hai số x, y sao cho
0xy
. Chứng minh rằng:
( )
( ) ( )
1

4
2
22
yxyx
Giải:
Dùng phép biến đổi tơng đơng để chứng minh, ta lần lợt có:
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
001
4224
2
22
+ yxyxyxyxyx
( ) ( ) ( )
[ ]
0
222
+ yxyxyx
( ) ( )( )
[ ]
0
2
++++ yxyxyxyxyx
( ) ( )( )
[ ]
( ) ( )
204022
22
yxxyyxyx

Do
0xy
nên bất đẳng thức (2) hiển nhiên đúng. Vậy (1) luôn đúng.
3/ Các bài tập tự giải:
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi x,y ta có bất đẳng thức:
yxxyyxa ++++ 1/
22
yxxyyxb
3344
/ +
Bài 2: Cho hai số dơng x,y.
Chứng minh rằng:
3
33
22






+

+ yxyx
Bài 3: Cho bốn số a,b,c,d, bất kỳ.
Chứng minh rằng:
( )( )
2222
dcbabdac ++
Bài 4: Cho ba số a,b,c sao cho

0
++
cba
Chứng minh rằng:
abccba 3
333
++
Bài 5: Chứng minh rằng với năm số c,b.c,d,e bất kỳ, bao giờ ta cũng có:
( )
edcbaedcba +++++++
22222
Bài 6: Chứng minh rằng nếu a>0, b>0 thì ta có:
cbabaaccb ++
>
+
+
+
+
+
3111
Bài 7: Cho
.1

ab
Chứng minh rằng:
ab
ba
+

+

+
+
1
2
1
1
1
1
22
Phạm Văn Tung-Trờng THCS Chu Văn An- Đăk Hà - Kon Tum
4
Một số chuyên đề toán THCS
Iii/ dùng BĐT trung gian:
1/ Ph ơng pháp chung: Dùng BĐT Côsi với hai số không âm:
Cho hai số
0,0 yx
ta có BĐT Côsi sau:
xy
yx

+
2
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x=y.
Ta có thể cm nh sau:
Vì
0,0 yx
nên:
( )
xy
yx

xyyxyx
+
++
2
020
2
Dấu = xảy ra
yxyx == 0
2/ Ví dụ áp dụng:
Cho ba số x, y, z không âm. Chứng minh rằng:
zxyzxyzyx ++++
Giải:
Vì
0,0,0 zyx
nên áp dụng BĐT Côsi với hai số không âm cho ta:
zx
xz
yz
zy
xy
yx

+

+

+
2
,
2

,
2
Do đó cộng vế theo vế ba BĐT cùng chiều cho ta
zxyzxy
xzzyyx
++
+
+
+
+
+
222
Vậy:
zxyzxyzyx ++++
3/ Các bài tập tự giải:
Bài 1: Cho bốn số a,b,c,d không âm. Chứng minh rằng:
( )( )( )( )
abcdaddccbba 16++++
Bài 2: Với
0,0 yx
. Chứng minh đẳng thức:
( )
( )
xyyxyx ++ 22
2
Bài 3:Cho
,1x
và
1y
. Chứng minh rằng:

xyxyyx + 11
iV/ dùng BĐT về ba cạnh của một tam giác:
Phạm Văn Tung-Trờng THCS Chu Văn An- Đăk Hà - Kon Tum
5
Một số chuyên đề toán THCS
1/ Ph ơng pháp chung:
Với a,b,c là ba độ dài cạnh của một tam giác
( )
( )
( )





+<
+<
+<

3
2
1
bac
acb
cba
Từ ba BĐT về tổng hai cạnh của một tam giác ta suy ra đợc ba bất đẳng thức
về hiệu hai cạnh:
( )
( )
( )

6
5
4
bacbac
acbacb
cbacba
<+<
<+<
<+<
2/ Ví dụ áp dụng:
Chứng minh rằng nếu a,b,c là độ dài các cạnh của một tam giác thì ta có:
( )
cabcabcba ++<++ 2
222
Giải:
áp dụng BĐT về ba cạnh a,b,c của một tam giác cho ta:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
3
2
1
2
2
2
2
2
2
bacbac
acbacb

cbacba
<<
<<
<<
Cộng ba vế của BĐT cùng chiều (1), (2), (3) vế theo vế cho ta:
( ) ( ) ( )
222
222
abcaccbba ++<+
( )
( )
cabcabcba
cabcabcba
cbaacaccbcbbaba
++<++
<++++
++<+++++
2
02
222
222
222
222222222
Vậy BĐT đã đợc chứng minh.
3/ Bài tập tự giải:
Bài 1: Chứng minh rằng nếu a,b,c là độ dài các cạnh của một tam giác.
Chứng minh rằng:
( )( )( )
abcbacacbcba +++
Phạm Văn Tung-Trờng THCS Chu Văn An- Đăk Hà - Kon Tum

6