De thi HSG toan 8 Hiep Hoa

Phòng GD & ĐT Huyện Hiệp Hoà
đề thi học sinh giỏi cấp huyện
Năm học 2003 2004
Môn Thi: Toán 8
(Thời gian 150 phút)
Câu I
1) Phân tích thành nhân tử
a) x
7
+ x
2
+ 1
b) (x
2
5x + 7)(x
2
5x +11) 5
2) Cho x + y = m; x
2
+ y
2
= n (m, n là hằng số)
Tính x
3
+ y
3
Câu II
1) Tìm Giá trị nhỏ nhất của

2
2

5 10
5 9
x x
y
x x
+
=
+
2) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì giá trị của biểu thức sau là một số nguyên.

4 3 2
11
24 4 24 4
n n n n
+ + +
Câu III. Cho a, b, c khác 0, a + b + c = 0. Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào
biến

2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
a a a
A
a b c b a c c b a
= + +

Câu IV. Cho tam giác ABC có AB = AC, góc BAC < 45
0
. Một điểm M trên cạnh BC. Qua M
kẻ đờng thẳng MH song song với AB; MI song song với AC (H

AC, I

AB). Gọi N là
điểm đối xứng của M qua HI, AN cắt BC tại O.
a) Tứ giác AHIN là hình gì?
b)AI cắt NH tại K. Chứng minh khi M di động trên BC thì chu vi của tam giác AHK
không đổi
Câu V. Tìm x, y nguyên thoả mãn:
2x
2
+4x + 3y
2
- 19 = 0
1
Phòng GD & ĐT Huyện Hiệp Hoà
đề thi học sinh giỏi cấp huyện
Năm học 2003 2004
Môn Thi: Toán 8
(Thời gian 150 phút)
Câu I.
1) Cho biểu thức
2
2 2 3 2
1
: :
x x y y x
A
y xy x xy x xy x y y

= +
ữ
ữ
+ + +


Tìm điều kiện của x và y để A>1
2) Phân tích thành nhân tử: m
3
6m
2
+ 11m 6
Câu II.
1) Giải phơng trình:
2
2 2 2 2
4 16 3 5 5
6 1 3 5
x
x x x x
+
= +
+ + + +
2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
4 50 64
(x>0)
x x
A

x
+
=
Câu III.
1) Chứng minh số có dạng: n4 4n3 4n2 + 16n chia hết cho 384, với n là số tự
nhiên chẵn và lớn hơn 4.
2) Chứng minh rằng:
3 3 3 3 3 3
(a,b,c>0)
2 2 2
a b b c c a
a b c
ab bc ca
+ + +
+ + + +
Câu IV.
Cho hình vuông ABCD, điểm M thuộc đờng chéo AC. Kẻ ME vuông góc với AD, MF
vuông góc với DC ( E

AD, F

DC). Chứng minh rằng:
a) BE = AF; BE

AF.
b) BM = EF; BM

EF
c) Các đờng thẳng BM, AF
Câu V. Tìm tất cả các số có hai chữ số sao cho các chữ số x, y của số đó là nghiệm của ph-

ơng trình:
(x
2
y
2
)
2
= 4xy + 1
2
Phòng GD & ĐT Huyện Hiệp Hoà
đề thi học sinh giỏi cấp huyện
Năm học 2006 - 2007
(Thời gian 150 phút)
Câu I. Cho Biểu thức:
2 2
2 3 2 2
2 2 2 1
2 8 2 4 8
x x x x
A
x x x x x x



= +
ữ
ữ
+ +

a) Rút gọn A
b) Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên.
c) Tìm x để A > 0
Câu II.
1) Cho
1 1 1 1
A
a b c a b c
= = + +
+ +
. Tính giá trị của biểu thức:
( ) ( ) ( )
2011 2011 2011 2011 2011 2011
1 1 1
2009 2010 2011
A a b b c c a

= + + + + +
ữ

2) Cho x + y + z =1 và x, y, z>0. Tìm giá trị lớn nhất của xyz(x + y)(y + z)(z + x); tìm
các giá trị tơng ứng của x, y, z.
Câu III.
1) a) Giải phơng trình:

2 2 2
1 1 1 1
4 3 8 15 12 35 9x x x x x x
+ + =
+ + + + + +

b) Tìm số nguyên x để x
2
+ x +12 là số chính phơng
2) Chứng minh rằng: m12 m8 m4 + 1
M
512 với mọi m

Z, m lẻ.
Câu IV: Cho hình vuông ABCD. Trên tia đối của tia CB lấy điểm M và trên tia đối của tia
DC lấy điểm N sao cho BM = DN. Dựng hình bình hành MAFN. Chứng minh rằng:
a) MàN là hình vuông
b) Điểm F nằm trên tia phân giác của góc MCN
c) Gọi O là trung điểm của à, chứng minh tứ giác BòC là hình thang.
Câu V. Chứng minh rằng: không tồn tại đa thức P(x) với các hệ số nguyên thoả mãn đồng
thời hai điều kiện sau: P(97) = 5 và P(15) = 19
3
Phòng GD & ĐT Huyện Hiệp Hoà
đề thi học sinh giỏi cấp huyện
Năm học 2007 - 2008
(Thời gian 150 phút)
Câu I.
1) Tính giá trị của biểu thức

( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2
50 48 46 2 49 47 45 1A = + + + + + + + +

( )
( )
2

2003 .2013 31.2004 1 2003.2008 4
2004.2005.2006.2007.2008
B
+ +
=
2) Cho biểu thức A =
2 2
2 2
1 1 2
:
2 1 1
x x x x
x x x x x x

+ +
+
ữ
+

a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn A
b) Tìm x để A< 1
c) Tìm GTNN của A khi x>1
Câu II.
1) Cho x

Z Chứng minh x
200
+ x
100
+1

M
x
4
+ x
2
+ 1
2) Giải phơng trình:
1 3 5 7 9 11 13
2007 2005 2003 2001 1999 1997 1995
x x x x x x x+ + + + + + +
+ + + = + +
Câu III.
1) Chứng minh rằng
A =n3(n2 7)2 36n
M
5040 với mọi m

N
2) Giải phơng trình

2010 2011
2011 2010 1x x + =
Câu IV.
1) Cho tam giác nhọn ABC. Gọi D là trung điểm của AB. Trên cạnh AC lấy điểm E
sao cho AE = 2 EC. Gọi O là giao điểm Của CD và BE. Chứng minh rằng
a)
BOC AOC
S S=
b) BO = 3EO
2)Cho tam giác ABC vuông ở A. Biết AB = c, Bc = a. AC = b. Gọi G là trọng tâm của

tam giác ABC, A, B, C là hình chiếu của G xuống các cạnh BC, AC, AB. Gọi S và S lần lợt
là diện tích của tam giác ABC và Tam giác ABC.
Hãy tính tỉ số
'
S
S
Câu V. Tìm x, y nguyên thoả mãn: x
2
= y
2
+ 2y +13

4
Phòng GD & ĐT Huyện Hiệp Hoà
đề thi học sinh giỏi cấp huyện
Năm học 2008 - 2009
(Thời gian 150 phút)
Câu I.
1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử
a) x
4
+ 2011x
2
+ 2010x +2011
b) x2 2xy + y2 +3x 3y 4
c) x
4
5x
3
+ 10x + 4

Câu II.
1) Cho hai số nguyên a và b chia cho 3 có cùng số d khác 0. Chứng minh rằng:
ab 1
M
3
2) Cho biểu thức A =
2
2
1 1 4 1 2009
:
1 1 1
x x x x x
x x x x

+ +
+
ữ
+

a) Rút gọn A
b) Với giá trị nguyên nào của x thì A nhận giá trị nguyên.
Câu III.
1) Cho A = (x + y + z)
3
x
3
y
3
z
3

với x, y, z nguyên. Chứng minh A chia hết
cho 6
2) Tìm số d trong phép chia của biểu thức:
(x +2)(x +4)(x +6)(x +8)+2011 cho x
2
+ 10x +21
Câu IV.
1) Cho các số x, y, z > 0 thoả mãn điều kiện
(x + y)(y + z)(z + x)=8xyz. Chứng minh x = y = z
2) Chứng minh rằng a, b, c là các số thoả mãn

2 2 2 2 2 2 2 2 2
a b c c a b b c a
a b b c c a a b b c c a a b b c c a
+ + + + + +
+ + + + + + + + +
Thì
a b c= =
Câu V.
1) Cho tam giác nhọn ABC vuôn tại A, đờng cao AH. Gọi D là điểm đối xứng với H
qua AB, Gọi E là điểm đối xứng với H qua AC
a) Chứng minh D, A, E thẳng hàng
b) tứ giác BDEC là hình gì? Vì sao?
2)Cho tam giác ABC (AB < AC). Biết M là trung điểm của AC và các đờng cao AD,
BM, CE đồng quy tại K(E AB, D BC). Biết Tam giác AKE và BKE có diện tích lần lợt là 10
cm
2
và 20 cm
2
. Tính diện tích tam giác ABC.

5
6