đề thi HSG Toán lớp 8 có đáp án (cực hay)

Đề thi học sinh giỏi lớp 8
Môn thi : toán
BI
Bi 1. Phõn tớch a thc thnh nhõn t
a.
7 2
1x x+ +
b.
3 3 3
3x y z xyz+ +
Bài 2. (3)Cho biểu thức:
A =
x
x
x
xx
x
x
x
x 2006
).
1
14
1
1
1
1
(
2
2
+

+
+



+
a) Tìm điều kiện của x để biểu thức xác định.
b) Rút gọn biểu thức A.
c) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên.
Bài 3: (3)
a) Giải phơng trình:
20062005
1
1
2004
2 xxx


=

b) Tìm a, b để: x
3
+ ax
2
+ 2x + b chia hết cho x
2
+ x + 1
Bài 4. (4) Cho im I di ng trờn on thng AB. Trờn cựng mt na mt phng

b AB v cỏc hỡnh vuụng AICD, BIEF. Gi O v O ln lt l tõm ca hai hỡnh
vuụng ú. Gi K l giao im ca AC v BE
a) Cho bit dng ca t giỏc OKOI
b) Trung im M ca OO di ng trờn ng no
c) Xỏc nh v trớ ca I OKOI l hỡnh vuụng
Bài 5. Tỡm a, b, c thuc Z bit
2 2 2
4 3 2a b c ab b c+ + + + +
Bi 1. Phõn tớch a thc thnh nhõn t
a.
7 2 7 2
6 2
3 3 2
3 2
1 ( 1) (0,5)
= ( 1) ( 1) (0,5)
= ( 1)( 1) ( 1)
= ( 1)( 1)(
x x x x x x
x x x x
x x x x x
x x x x
+ + = + + +
+ + +
+ + + +
+
2
2 5 4 2
1) ( 1) (0,5)
=( 1)( 1) (0,5)

x x x
x x x x x x
+ + + + +
+ + + +
b.
3 3 3
3x y z xyz+ +
3 3 3
3 3
2 2
3 ( ) 3 ( ) 3 (0,5)
( ) 3 ( ) (0,5)
( ) ( ) ( ) 3 ( )
x y xy x y z xy x y xyz
x y z xy x y z
x y z x y z x y z xy x y z
= + + + + − + −
= + + − + +
 
= + + + − + + − + +
 
2 2 2
(0,5)
( )( ) (0,5)x y z x y z xy yz zx= + + + + − − −
Bµi 2:
a) §iÒu kiÖn:



≠

±≠
0
1
x
x
( 0,5đ)
b) A =
x
x
x
xxxx 2006
1
14)1()1(
2
222
+
⋅
−
−−+−−+
( 0,5đ)
=
x
x
x
xxxxxx 2006
.
1
14)11)(11(
2
2

+
−
−−++−+−++
( 0,5đ)
=
x
x
x
xxx 2006
.
1
144
2
2
+
−
−−+
( 0,5đ)
=
x
x 2006
.
+
( 0,5đ)
c) Ta cã: A nguyªn
⇔
(x + 2006)
xx  2006⇔
( 0,25đ)
Vậy x là ước của 2006 và

1
±≠
x
( 0,25đ)

Bµi 3.
a) Ta cã:
20062005
1
1
2004
2 xxx
−
−
=−
−
⇔
1
2006
1
2005
1
1
2004
2
+−+
−
=+
− xxx
( 0,5đ)

⇔
2006
2006
20062005
2005
2005
1
2004
2004
2004
2
+−+
−
=+
− xxx


⇔
2006
2006
2005
2006
2004
2006 xxx −
+
−
=
−
( 1đ)

⇔
0
2006
1
2005
1
2004
1
)(2006( =−−− x
( 0,5đ)

⇔
(2006 - x) = 0
⇒
x = 2006 ( 0,5đ)
b) Thùc hiÖn phÐp chia ®a thøc, råi tõ ®ã ta t×m ®îc:
( )
( ) ( )
( )
3 2
3 2
2
2
2

-1
-1 1 1
2-a 1

x ax x b
x x x
a x x b
a x a x a
x b a
+ + +
+ +
+ +
+ − + −
+ − +
(1đ)
Suy ra
2 0
1 0
2
1
a
b a
a
b
− =


− + =

=

⇔

=


(0,5 đ)
Bài 4. vẽ hinh 0,5 điểm
2
1x x+ +
x + a - 1
a. DI
⊥
AC suy ra
·
0
90COI =
tương tự
·
0
' 90KO I =
(0,5đ)
ID là tia phân giác của góc AIE
IF là tia phân giác của góc BIE
Mà AIE và BIE là hai góc kề bù
Suy ra ID
⊥
IF (1đ)
Tứ giác KOIO’ có 3 góc vuông nên
Nên là hình chữ nhật (0,25đ)
b. AB cố định (0,25đ)
·
0
45CAI =
( AC là tia phân giác góc A)

·
0
45EBI =
( BE là tia phân giác góc B) (1đ)
Suy ra đường thẳng AC VÀ BE cố định vậy K cố định (0,5)
M là trung điểm của OO’ nên M cũng là trung điểm của KI (0,25)
I di động trên cạnh AB nên M di động trên đường trung bình của tam giác AKB,
song song với AB (0,5)
c. Hình chữ nhật OKO’I là hình vuông khi và chỉ khi IO = IO’ (0,25)
'AIO O IB
AI IB
⇔ ∆ = ∆
⇔ =
(0,5)
⇔
I là trung điểm của AB (0,25)
Bµi 5. Tìm a, b, c thuộc Z biết
2 2 2
4 3 2a b c ab b c+ + + ≤ + +
( )
2 2 2
2 2
2 2
2 2
2
4 3 2 0 (0,5)
3
3 3 2 1 0 (1)
4 4
3 1 1 0 (0,5)

2 2
a b c ab b c
b b
a ab b c c
b b
a c
⇔ + + + − − − ≤
⇔ − + + − + + − + ≤
   
⇔ − + − + − ≤
 ÷  ÷
   
Vế trái là tổng bình phương nên luôn
≥
0 (0,5)
Vây để thỏa mãn yêu cầu của đề bài thì
( )
2 2
2
3 1 1
2 2
b b
a c
   
− + − + −
 ÷  ÷
   
= 0 (0,5)

Vậy

0
2
1
1 0 2
2
1
1 0
b
a
a
b
b
c
c

− =

=


 
− = ⇔ =
 
 
=

− =




(0,5)
A B
.
I
C
D
E
F
O
O’
K
M