Đề thi HSG toán lớp 9 có đáp án đề 41

Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Lam Sơn (25)
Thời gian 180 phút

Môn: Toán chung
Câu I. ( 3 điểm) Cho biểu thức:
3
1 1
1
1 1
x x
A
x
x x x x

= +

+
a. Rút gọn biểu thức A
b. Với giá trị nào của m thì A=4
Câu II. (4 điểm). Cho Parabon (P) có phơng trình
2
y x=
và đờng thẳng (dm) có
phơng trình: y=2(m-1)x-(2m-4)
a. Chứng minh rằng với mọi m thì Parabon luôn cắt đờng thẳng (dm) tại hai
điểm phân biệt.
b. Gọi x
1
, x
2
là hoành độ giao điểm của (P) và (dm). Tìm giá trị nhỏ nhất của

2 2
1 2
y x x= +
Câu III. (). Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn tâm O. gọi H, i theo thứ tự là
hình chiếu của B trên AC, CD. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AD, HI.
Chứng minh rằng:
a.
V
ABD và
V
HBI đồng dạng
b.
ẳ
0
90MNB =
.
Câu IV. (4,5 điểm). Cho hình chóp SABCD. Đáy ABCD là hình vuông cạnh a.
Cạnh SA vuông góc với đáy ABCD.
a. Chứng minh rằng:
SC BD
.
b. Gọi M, N theo thứ tự là hình chiếu của A lên SB, SD. Chứng minh rằng:
( )SC AMN
.
Câu V. Cho phơng trình:
4 3 2
1 0x ax bx ax+ + + + =
(1) trong đó:
,a b R
a. Biết (1) có ít nhất 1 nghiệm thực. Chứng minh rằng:

4
2 2
5
a b+
.
b. Giải hệ phơng trình:
20 8 2005 2165
2005 20 8 2165
x y
x y





ì + + =
+ + ì =
P N V THANG IM CHM
Mụn Toỏn chung thi vo lp 10 chuyờn Lam Sn
Câu I Nội dung Điểm
a, Đ/K: x>1 0,25

1 1
2 1
( 1)( 1)
x x x x
A x x x
x x x x

= + =

+
0,5

( 1) 2 1 1A x x= +
0,5

2
( 1 1)A x
=
0,25
b,
Để
1 1 2
4
1 1 2
x
A
x



=
=
=
0.5

1 3
1 1
x
x

=

=
0,5
Nhận thấy pt(2) VN.
4 1 3.A x
= =
10.x =
0,5
Câu II 4,0
a, Phơng trình hoành độ giao điểm của (p) và (dm) là:
2
2( 1) (2 4) 0(*)x m x m
+ =
có
' 2
( 1) (2 4)m m
=
V

2
4 5m m
= +
0,75
2
( 2) 1 0,m m
= + >

0,75

Phơng trình luôn có 2 nghiệm phân biệt hay parabon (p)
luôn cắt đờng thẳng (dm) tại 2 điểm phân biệt
0,5
a, Theo giả thiết x
1,
x
2
là hoành độ giao điểm của (p) và (dm)
Theo câu a ta có

m và theo viet ta có:

2( 1)
1 2
(2 4)
1 2
x x m
x x m





+ =
=
0,5

2 2 2
( ) 2
1 2 1 2 1 2
y x x x x x x= + = +
0,5

2
4( 1) 2(2 4)y m m
= +
(1)
(2)

2
4 2 1 2
2
4 1
y m m m
y m m






= + +
=
0,5
1 5 1
2 2
4 ( ) 4( ) 5 5

2 4 2
y m m



= =
y nhận giá trị nhỏ nhất là -5 khi
1
2
m
=
.
0,5
Câu III 5,0
a,
Ta có
ẳ
0
90BHC
=
(gt)

ẳ
0
90BIC
=
(gt)
H,I cùng nhìn BC

Từ tứ giác BHIC nội tiếp

ẳ
ABC
ẳ
BIH
=
và
ẳ
ẳ
BCH BDA
=
(góc nội tiếp cùng chắn 1 cung)
ẳ
ẳ
BIH BDA
=
(1)
Tơng tự tao có
ẳ
ẳ
ABD HBI=
(2)
Từ (1) và (2) ta có
ABD HBIV : V
(g.g)
b,
Theo trên ta có
ABD HBIV : V
Lại có BM,BN lần lợt là 2 trung tuyến của chúng

BM BA
BN BH
=
(3)
Lại có:
ẳ
ẳ
ABM HBN
=
(cặp góc tơng ứng của 2 tam giác
đồng dạng)

ẳ
ẳ
ABM MBN
=
(4)
Từ (3) và (4) ta có:
ABH MBNV : V
( c.g.c)

ẳ
ẳ
AHB MNB
=
Mà:
ẳ
0
90AHB

=
(gt)

ẳ
0
90MNB
=
Câu
IV
4,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
2,0
H
D
C
A
B
M
I
N
1
1H
a,
Theo gt ta có
( )SA ABCD

SA BD
Mà:
AC BD
(gt)

( )BD SAC

BD SC

0,5
0,5
0,5
0,5
b, Ta có:
BC AB

(gt)

BC SA

(gt)

( )BC SAD

}
( )
BC AM
AM SBC
SB AM

AM SC

(1)
Chứng minh tơng tự ta có:
AN SC

(2)
Từ (1) và (2) ta có:
( )SC AMN

0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
Câu V
a,
Giả sử (1) có một nghiệm
0
x R
ta có:
4 3 2
1 0(2)
0 0 0 0
0
0
1 1

2
(2) ( ) ( ) 0(3)
0 0
2
0
0
x ax bx ax
x
x a x b
x
x
+ + + + =

+ + + + =
đặt:
1 1
2 2
2
0 0 0 0
2
0
0
x y y x
x
x
+ = = +
Vậy (3)
2
2 0
0 0

y ay b + + =
2 2 2 2 2 2
( 2) ( ) ( )( 1)
0 0 0
y ay b a b y = + + +
theo
BunhiacôpSki
0,25
0,25
S
N
D
A
M
B
C
0,25
0,25
0,25
0,5
0,25
1,5
Lại có:

( )
2
2
2
0
2 2

2
1
0
y
a b
y
−
⇒ + ≥
+
Nhng
2
1
2 2
4
0 0
2
0
y x
x
 
 ÷
 ÷
 ÷
 
= + ≥
§Æt:
2
4 , 0
0
y t t= + ≥

( )
2
2
9
2 2
1
5 5
4 9 9 4 5 16
2 2
5 5 5 5 5 25
t
a b t
t t
t
a b t t
t t
 
 ÷
 
+
⇒ + ≥ = − +
+ +
+
+ ≥ + + − = +
+ +

4
2 2
5
a b

+ ≥
(v×
5 16
0, 0
5 25
t
t
t
+
≥ >
+
)
DÊu “=” x¶y ra khi t=0
2
4
0
y⇔ =
⇔
2
1
0
x = ±
Víi
4 2
1 ,
0
5 5
x a b
−
= ⇒ = =

Víi
4 2
1 ,
0
5 5
x a b
−
= − ⇒ = =
b,
HÖ
20*8 2005 2165(1)
20*8 2005 2165(2)
x y
y x





− + + =
− + + =
§/K:
, 160x y
≥
LÊy (1)-(2) ta cã:
20*8 2005 2005 20*8x y x y
− + + = + + −
( ) ( )
2 ( 20*8)( 2005) 2 ( 2005)( 20*8)x y x y
⇔ − + = + −

( )
( )
2
2
2005 20*8 2165
x y
y x
⇔ =
⇒ + − − =
KÕt hîp víi (1)
2005 20*8 1y x
⇒ + − − =
HÖ
2005 20*8 2165(1)
2005 20*8 1(3)
y x
y x





+ + − =
⇔
+ − − =
LÊy (1)-(3) ta cã:
2 20*8 2164x
− =

20*8 1082

2
160 1082
1170884
x
x
x
⇔ − =
⇔ − =
⇔ =
0,25
0,25
0,25
0,25