Đề thi HSG toán lớp 9 có đáp án đề 43

Sở gd & ĐT thanh hoá
Kì thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên lam sơn (27)
Môn Toán- Toán Chung

Bài 1. Tính A=
x
x
x
x
211
21
211
21


+
++
+
với
4
3
=
x
.
Bài 2. a> cho a+b+c=0. Chứng minh rằng a
3
+b
3
+c
3
=3abc.

b> Phân tích thành nhân tử: a(b
2
+c
2
)+b(a
2
+c
2
)+c(a
2
+b
2
)+2abc.
Bài 3. Giải phơng trình: (x+2)(x+3)(x-5)(x-6)=180.
Bài 4. Nếu hai vòi nớc cùng chảy vào bể thì sau 1
h
20

đầy bể.
Nếu mở vòi thứ nhất trong 10 phút và vòi thứ hai trong 12 phút thì
đầy
15
2
bể.
Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình thì trong bao lâu mới đầy bể.
Bài 5. Giải phơng trình:
275232522
=++++
xxxx
.

Bài 6. Cho (P): y=-
2
1
x
2
.
Lập phơng trình đờng thẳng (D) đi qua A(-2;-2)và tiếp xúc với (P).
Bài 7. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:
y=x
3
(2-x)
5
với x

[0;2].
Bài 8.Cho hình thoi ABCD cạnh a có A=60
0
. Một đờng thẳng bất kì đi
qua C cắt tia đối của các tia BA và DA theo thứ tự tại M và N.
a> Chứng minh rằng tích BM.DN có giá trị không đổi.
b> Gọi K là giao điểm của BN và DM. Tính góc BKD.
Bài 9. Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn và d là tiếp tuyến của đờng
tròn tại C. Gọi AH và BI là các đờng cao của tam giác.
a> Chứng minh HI // d.
b> Gọi MN và EF lần lợt là hình chiếu của các đoạn thẳng AH và
BI lên đờng thẳng d. Chứng minh MN EF.
Bài 10. Dựng tam giác ABC biết hai cạnh AB=c, AC=b và trung tuyến
AM=m.
Sở gd & ĐT thanh hoá
đáp án đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên lam sơn

Môn Toán- Toán Chung


Câu ý Nội Dung Điểm
1 2.0
Ta có 1-2x=1-
4
32
=
2
)13(
4
1
)1323(
4
1
)324(
4
1
=+=

Tơng tự 1+2x=
2
)13(
4
1
+
Từ đó A=
)
2

13
1(4
)13(
2
+
+
+
+
)
2
13
1(4
)13(
2



=
)13(32
)13(
2
+
+
+
)13(32
)13(
2


=

32
)13(
+
+
32
)13(

=1.

0.5
0.25
0.25
0.25
0.5
0.25
2 2.0
a 1.0
Thay c=-(a+b)
VT= a
3
+b
3
-(a+b)
3
= a
3
+b
3
- a
3

-b
3
-3ab(a+b)
=-3ab(a+b) =3abc=VP. Đpcm.
0.25
0.25
0.25
0.25
b 1.0
Ta có a(b
2
+ c
2
)+b(a
2
+ c
2
)+c(a
2
+ b
2
)+2abc
=ab
2
+ac
2
+bc
2
+ba
2

+ca
2
+cb
2
+2abc
=ab(a+b)+c
2
(a+b)+c(a+b)
2
=(a+b)ab+c
2
+ca+cb)
=(a+b)(b+c)(c+a)
0.25
0.25
0.25
0.25
3 2.0
Ta có (x+2)(x+3)(x-5)(x-6)=180


(x
2
-3x-10)(x
2
-3x-18)=180
Đặt x
2
-3x-14=y
Tìm đợc y=14 hoặc y=-14

0.5
0.25
0.25
+ Với y=14 ta dợc x
1
=7, x
2
=-4
+ Với y=-14 ta dợc x
3
=0, x
4
=3.
Vậy phơng trình có 4 nghiệm: x
1
=7, x
2
=-4, x
3
=0, x
4
=3.

0.5
0.5
4 2.0
Đổi 1
h
20

=80

Gọi thời gian vòi 1 chảy một mình thì đầy bể là x phút (x>80)
Gọi thời gian vòi 2 chảy một mình thì đầy bể là y phút (x>80)
Vậy 1 phút vòi 1 chảy đợc
x
1
bể, vòi2 chảy đợc
y
1
bể, cả 2 vòi
chảy đợc
yx
11
+
bể.
Theo bài ra ta có hệ







=+
=+
15
21210
1
8080

yy
yx
Đặt X=
x
1
,Y=
y
1
Ta đợc hệ





=+
=+
)2(
15
2
1210
)1(18080
YX
YX
Giải hệ ta đợc X=
120
1
,Y=
240
1

Suy ra x=120 phút, y=240 phút.
Vậy nếu chảy một mình thì vòi 1 chảy hết 120 phút, còn vòi 2
chảy hết 240 phút thì đầy bể.
0.25
0.25
0.25
0.5
0.5
0.25
5 2.0
TXĐ: D=
),
2
5
[
+
Nhân cả hai vế với
2
ta đợc:
2
5
(*)14352152
14)352()152(
145264252242
22

=+++
=+++
=++++
xDo

xx
xx
xxxx
Nên hệ (*) trở thành:

15
552
14352152
=
=
=+++
x
x
xx
Vậy phơng trình đã cho có duy nhất một nghiệm x=15.
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0,25
0.25
0.25
6 2.0
Phơng trình tổng quát của (D): y=ax+b.
Hoành độ giao điểm (nếu có ) của (D) Và (P) là nghiệm của pt:
ax+b = -
ã2
2
1

22
+
xx
ax+2b=0 (*)
Để (D) tiếp xúc với (P) thì pt(*) phải có nghiệm kép.

020
2'
==
ba
Vì (D) đi qua A(-2;-2) nên 2=-2a+b

b=2a-2
Vậy a,b là nghiệm của hệ:






=
=

=
=
2
2
22
02
2

b
a
ab
ba
Vậy pt (D) là: y=2x+2
0.25
0.25
0.5
0.25
0.5
0.25
7 2.0
Biến đổi y=x
3
(2-x)
5
=
)36)(36)(36)(36)(36.(
3
1
.5.5.5.
5
1
53
xxxxxxxx

áp dụng BĐT CôSi cho 8 số gồm 3 số 5x và 5 số 6-3x Ta đợc
y
8
35

8
5353
4
3.5
)
8
30
.(
3.5
1
]
8
)36(5)5(3
[
3.5
1
==
+

xx
Dấu bằng xảy ra khi 5x=6-3x
4
3
=
x
Vậy Y
Max
=
8
35

4
3.5
tại x=
4
3

0.75
0.75
0.25
0.25
8 2.0
a
Ta có:

)1(
)//(
CN
MC
BD
BM
ANBCDo
CN
MC
BA
BM
=
=
(Do ABCD là hình thoi,và A=60
0
).

Mặt khác
1.0
0.25
0.25
0.25

)2(
)//(
CN
MC
DN
BD
AMCDDo
CN
MC
DN
AD
=
=
Từ (1) và (2) Suy ra :

dpcmaDNBM
BDDNBM
DN
BD
BD
BM
=
=

=
2
2
.
.
(*)
0.25
b 1.0

ABC và

BDN đòng dạng (c.g.c) nên góc M
1
=B
1

BMD và

KBD có hai cặp góc bằng nhau.
Suy ra góc BKD=Góc MBD =120
0
0.5
0.5
9 2.0
a 1.0
Gọi Cx là tiếp tuyến chắn cung AC.
Tứ giác ABHI nội tiếp đờng tròn
nên Góc ABC=Góc HIC, nhng Góc ABC=ACx
Suy ra HIC=ICx. Do đó HI//d.
0.5

0.5
b 1.0
Vì HI//d nên IF=HN
Tứ giác AMCH nội tiếp

HMN =HAC
Tú giác BICE nội tiếp

IEF=IBC nhng IBC=HAC (góc có
cạng tơng ứng vuông góc)
Suy ra hai tam giác vuông IEF và HMN bằng nhau
Suy ra MN=EF (Đpcm)
0.25
0.25
0.25
0.25
10 2.0