Đề thi HSG toán lớp 9 có đáp án đề 44

Sở GD-ĐT Thanh Hóa đề thi tuyển sinh vào lớp 10 lam sơn (28)
Năm học: 2006-2007
Môn: toán (Thời gian: 180 phút)
Câu 1: Cho biểu thức:
1
2
)1(2
1
)1(2
1
3
2

+
+


+
=
a
a
aa
A
(với
1,0

aa
)
1. Rút gọn A.
2. Tìm giá trị nhỏ nhất (nếu có) của A?
Câu2 :

1. Giả sử a, b, c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng phơng trình:
x
2
2x ab(a+b-2c)-bc(b+c-2a) ca(c+a-2b)+1=0
luôn có nghiệm. Khi đó tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm kép.
2. Giải phơng trình:

11642
2
+=+
xxxx
.
Câu 3:
1. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:
y=(x-2).(3x
2
+x-14) với
2
3
7


x
.
2. Cho hai hàm số
2
4
1
xy
=

và
mx
m
y
+

=
2
2
.
Tìm m sao cho hai đồ thị hàm số trên cắt nhau tại hai điểm phân biệt nằm về hai
phía của trục tung.
Câu 4:
1. Chứng minh rằng tồn tại duy nhất cặp số (x;y) thỏa mãn phơng trình:
x
2
-2x+y-6
y
+10=0.
2. Tìm tất cả các nghiệm nguyên dơng của phơng trình:

yxxx
=+++
...
(có tất cả 2006 dấu căn thức).
Câu 5:
1. Một hình chữ nhật có kích thớc là a,b. Hãy tìm vị trí các đỉnh của hình bình
hành MNPQ (
),,,, PDDQBNMBDAQCDPBCNABM
===

để diện tích của
MNPQ là lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó?
N
B C
M P
A D
Q
2. Chứng minh rằng trọng tâm, trực tâm và tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác
thẳng hàng?
Ghi chú: 1, Tất cả các câu đều đợc sáng tác ( trừ câu 5.2 lấy từ cuốn Thực
hành giải toán).
2, Thang điểm 10 (mỗi bài 01 điểm).
§¸p ¸n
Néi dung §iÓm
C©u I: 1. A=
)1(2
)2(2)1)(1()1)(1(
3
222
−
+++++−−+−
a
aaaaaaa
=
1
1
)1(2
)1(2
)1(2
)2(2)1(2

233
22
++
−
=
−
−−
=
−
++++−
aaa
a
a
aaa
1®
2. Do a
2
+ a +1 =
4
3
4
3
)
2
1
(
2
≥++
a
⇒ A≥

4
3
4
3
1
−=
−
VËy minA=-
2
1
0
2
1
3
4
−=↔=+↔
aa
(kh«ng tho· m·n ®iÒu kiÖn



≠
≥
1
0
a
a
)
VËy kh«ng tån t¹i GTNN cña A.
1®

C©u II: 1. x
2
–2x –ab(a+b-2c)-bc(b+c-2a) –ca(c+a-2b)+1=0
∆’=1+ab(a+b-2c)+bc(b+c-2a)+ca(a+c-2b)-1
= ab(a+b-2c)+bc(b+c-2a)+ca(c+a-2b)
= abc






−++−++−+
222
b
a
b
c
a
c
a
b
c
b
c
a
1®
Nội dung Điểm
= abc

++






++






+
6
b
a

a
b
b
c
c
b
a
c
c
a
Theo bđt Côsi:
6.....6
6
=+++++
b
a
a
b
b
c
c
b
a
c
c
a
b
a
a
b

b
c
c
b
a
c
c
a
0 pt luôn có nghiệm
pt có nghiệm kép =0 a=b=c
2.
11642
2
+=+
xxxx
ĐK:
42
04
02






x
x
x
VF = (x-3)
2

+ 2 0 + 2 =2
Ta c/m VF 2 thật vậy
242
+
xx
2+2
4)4)(2(

xx

0)3(096186186
2222
+++
xxxxxxx
đúng
Vậy pt
3
2116
242
2
=





=+
=+
x
xx

xx
thoã mãn điều kiện
Vậy pt có nghiệm duy nhất x=3.
1đ
Câu III: 1. y=(x-2)(x-2)(3x+7)
=
2
3
(2-x)(2-x)(2x+
)
3
14
Do -
022
3
7
>
xx
, 2x+
0
3
14
>
áp dụng bđt Côsi ta có:
y
5
3
3
3
3

13.4
3
26
.
18
1
)
3
14
222(
27
1
.
2
3
=








=+++
xxx
Vậy maxy = 4.
27
8
3

14
22
3
13
5
3
=+=
xxx
1đ
2. yêu cầu bài toán pt:
mx
m
x
+=
2
24
1
2
có hai nghiệm trái dấu
pt: x
2
+ 2mx 8 +4m =0 có hai nghiệm trái dấu
a.c = 4m 8 <0 m<2
1đ
Câu IV: 1. x
2
2x + y -6
y
+ 10=0 1đ
Néi dung §iÓm

↔ (x-1)
2
+ (
)9;1();(
9
1
0)3(
0)1(
0)3
2
2
2
=→



=
=
↔





=−
=−
↔=−
yx
y
x

y
x
y
2.
yxxx
=+++
...
Tõ pt





=+
=
→
kxx
mx
víi k,m ∈N
000)1(
2
2
2
=→=↔=→=+→





=+

=
→
yxmkmm
kxx
mx
VËy pt cã nghiÖm nguyªn duy nhÊt x=y=0
1®
C©u V: 1. §Æt MB =BN=DP=DQ=x ta cã:
S
MNPQ
= S
ABCD
- S
MBN
- S
NAP
- S
PDQ
- S
QCM

= ab –x
2
–(a-x)(b-x)=-2x
2
+ (a+b)x
= -2(x
2
-
222

)
4
.(2)
4
(2)
2
(2)
2
bababa
xx
ba
+
≤
+
+
+
−−=
+

VËy max S
MNPQ
=2.(
2
)
4
2
ba
x
ba
+

=↔
+
1®
2.
KÐo dµi CO lÊy L sao cho OC=OL
1®
L
B
A
H
G
O
D F C
(1)
Néi dung §iÓm
⇒



=
ODLB
ODLB
2
//
→ LB//AH
T¬ng tù, LA//BH → LBHA lµ h×nh b×nh hµnh
→ LB = AH (2)
Tõ (1) vµ (2) →
2
=

OD
HA
mµ G lµ träng t©m →
2
=
GD
GA
VËy
OD
AH
GD
GA
=
(*)
Mµ
HADADOAHOD
BCAH
BCOD
∧∧
=→→



⊥
⊥
//
(**)
Tõ (*) vµ (**) → ∆OGD ®ång d¹ng víi ∆HGA →
AGHDGO
∧∧

=
Mµ D,G A th¼ng hµng →O,G,H th¼ng hµng.