Đề thi HSG toán lớp 9 có đáp án đề 45

đề thi vào lớp 10 - lam sơn (29)
môn: toán học - Thời gian 150 phút
Câu 1: (2 điểm)
a) Chứng minh rằng

n

N
*
ta có
1)1(
1
+++
nnnn
=
1
11
+

nn
b) Tính tổng
S =
1009999100
1
...
4334
1
3223
1
22
1

+
++
+
+
+
+
+
Câu 2: (2 điểm)
Tìm trên đờng thẳng y = x + 1 những điểm có toạ độ (x, y) thoả mãn
y
2
- 3y
x
+ 2x = 0
Câu 3: (1 điểm)
Tìm n

Z sao cho n
2
+ 2006 là số chính phơng
Câu 4: (2 điểm)
Cho đờng (0, R) và 2 điểm A, B nằm ngoài đờng tròn (0) sao cho 0A =
2R. Tìm điểm M

(0) sao cho P = MA + 2MB nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ
nhất đó.
Câu 5: (2 điểm)
Cho hình chữ nhật ABCD, đờng vuông góc với AC tại C cắt AB và AD
lần lợt tại E và F. Chứng minh :BE
CF

+ DF
CE
= AC
EF
Câu 6: (1 điểm)
Tìm x, y , z

N
*
sao cho x + y + z = xyz
Hớng dẫn chấm
Câu 1:
a) ta có
)1()1(
1)1(
1)1(
1
22
++
++
=
+++
nnnn
nnnn
nnnn
=
1
11
)1(
1)1(

+
=
+
++
nn
nn
nnnn
b) áp dụng đẳng thức trên với n = 1, n = 2 n = 99.
Ta có
2
1
1
22
1
=
+


3
1
2
1
3223
1
=
+
..
100
1
99

1
1009999100(
1
=
+
-------------------------------------- cộng theo từng vế
S = 1 -
10
9
100
1
=
Vậy S =
10
9
1.0
0.25
0.5
Câu 2: Điều kiện : x

0
Gọi M (x, y) là điểm cần tìm => (x, y) là nghiệm của
Hệ
( )
( )
2023
11
2
=+
+=

xxyy
xy
Giải (2) ta có y
1
= 2
x
y
2
=
x
Với y
1
= 2
x
(1) trở thành x + 1 =
x
ú (
)1

x
2
= 0 ú x = 1
Với y
2
=
x
(1) trở thành x + 1 =
x
ú x -
x

+ 1 = 0
ú (
x
-
2
1
)
2
+
4
3
= 0 vô n
0
vậy điểm M cần tìm: M (1, 2)
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
Câu 3:
Giải sử n
2
+ 2006 là số chính phơng => n
2
+ 2006 = m
2
(m

Z)
Ta có m

2
- n
2
= 2006 ú (m - n) (m + n) = 2006
Nếu m, n khác tính chẵn lẻ => m
2
, n
2
khác tính chẵn lẻ => m
2
- n
2
là số
lẻ => vô lí
Hay m, n cùng tính chẵn lẻ
Khi đó
{
2
4))((2)(


nm
nmnmnm
+
+<=>
Nhng 2006 không chia hêt cho 4 vậy không tồn tại n

N để
n
2

+ 2006 là số chính phơng
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
Câu 4:
Gọi C là giao điểm của 0A và (0)
I là trung điểm 0C => I cố định
Xét tam giác 0IM và tam giác 0MA
Có góc Ô chung.
2
1
0
0
0
0
==
A
M
M
I
(gt)
=> tam giác 0IM tam giác 0MA => AM = 2IM.
Vậy MA + 2MB = 2 (IM + MB)

2BI không đổi
Đẳng thức xảy ra ú B, M, I thẳng hàng.
KL: P = MA + 2MB nhỏ hhất = 2BI khi B, M, I thẳng hàng. Khi đó M là
giao điểm của BI và (0).

0.25
0.25
0.25
0.254
Câu 5:
áp dụng định lý ta lét
1
=+
=+=
AF
DF
AE
AF
EF
CF
AF
DF
EF
CE
AE
BE
nhân 2 vế với AE.AF ta có
BE. AF + AE.DF = AE. AF
0.5
Lại có AE. AF = AC . EF = 2 S

AEF
Nên BE. AF + AE . DF = AC. EF (1)
Mặt khác: AF
2

= CP . EF => AF =
EFCF.
DF
2
= CE. EF -> DF =
EFCE.
Thay vào (1): BE
EFACEFCEDFEFCF ...
=+
ú BE
CF
+ DF
CE
= AC
EF
0.5
0.5
0.5
Câu 6:
Ta có : x, y, z

N
*
x + y + z = xyz ú
1
111
=++
yzxzxy
(1)
Do x ,y, z có vai trò bình đẳng nh nhau nên ta giả sử

1

x

y

z nên (1) <-> 1 =
2222
3111111
xxxxxzyzxy
=++++
-> x
2


3 do x

N
*
=> x = 1
khi đó ta có 1 + y + z = yz ú (z-1) (y-1) = 2
do





11
1,1
yz

Nyz
=>



=
=
21
11
z
y
=>



=
=
3
2
z
y
vậy 3 số cần tìm là 1, 2 , 3
0.25
0.25
0.25
0.25