đề thi hsg năm 2010-2011

GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN CUMGAR NĂM HỌC 2010-2011
Bài 1: a, Rút gọn :
3 2 6 3
( 1)( 3) ( 1) 3
x x x x
A
x x x x
− − +
= − −
+ − + −
ĐK:
0; 9x x≥ ≠
3 2( 3)( 3) ( 3)( 1)
( 1)( 3)
3 8 24 8

( 1)( 3) 1
x x x x x x
A
x x
x x x x x
x x x
− − − − − + +
=
+ −
− + − +
= = =
+ − +
Thay x = 4 vào ta có A= 4
b, Ta có :
8 9

1
1 1
1 1 0
9
1 3 2
1
1 9 8
x
A x
x x
x x
A Z Z x x
x
x x
+
= = − +
+ +
 
+ = =
 
 
∈ ⇔ ∈ ⇔ + = ⇔ =
 
+
 
+ = =
 
 
0
4

64
x
x
x
=


⇔ =


=

x = 0; x = 4; x = 64 (TMĐK ). Vậy để A nguyên thì x = 0; x = 4; x = 64
Bài 2 : Giair pt:
2
4 5 2 2 3x x x+ + = +
ĐK:
3
2
x ≥ −
[
( )
( )
2
2
2
2 1 (2 3) 2 2 3 1
1 2 3 1 0
1 0
1

2 3 1 0
x x x x
x x
x
x
x

⇔ + + = − + − + +

⇔ + + + − =
+ =


⇔ ⇔ = −

+ − =


x = -1 ( TMĐK ) . Vậy nghiệm của pt là x= -1.
Bài 3: a, Chứng tỏ phân số
2 3
( )
5 7
n
n N
n
+
∈
+
tối giản.

Gọi (2n + 3; 5n + 7 ) = d . Ta có:
2 3 10 15
10 15 (10 14)
5 7 10 14
1 1
n d n d
n n d
n d n d
d d
+ +
 
⇔ ⇔ + − +
 
+ +
 
⇔ =
M M
M
M M
M
Vậy
2 3
( )
5 7
n
n N
n
+
∈
+

tối giản.
b, Với x> 0; y > 0 Ta có :
5
2 3 2 3 2 3
2 3
5 5
5 5 . . . .
2 2 3 3 3 2 2 3 3 3
5 5 1 1 108
108 108 108
x x y y y x x y y y
x y
x y x y x y
x y
= + = + + + + ≥
⇔ ≥ ⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤

Dấu (= ) xẩy ra khi
2; 3
2 3
5
x y
x y
x y

=

⇔ = =



+ =

Vậy max A = 108 khi x=2; y=3
Bài 4.
I
C
A
D
B
K
E
F
Chứng minh EA là phân giác của góc DEI
Trên tia đối của tia DC lấy điểm K sao cho DK = BI. Ta có
OIK
∆
ABI ADK∆ = ∆
(c.g.c)
Suy ra: AI = AK;
·
·
BAI DAK=
. Vì góc BAD = 90
0
nên góc BAI + góc DAE = 45
0
Do đó KAD + góc DAE = 45
0
nên góc KAE = 45
0

, suy ra
KAE IAE∆ = ∆
( cgc)
·
·
AEK AEI⇒ =
vậy EA là phân giác của góc DEI.
Bài 5.
d
I
H
K
M
O
A
B
C
a, Chứng minh AC // MO ( chứng minh AC và MO cùng vuông góc với AB ).
b, Chứng minh OI.OH = OM.OK
OIK
∆
đồng dạng với
OMH
∆
( gg) suy ra đpcm.
c, Xác định vị trí của M để AB nhỏ nhất.
Theo cmt ta có OI.OH = OM.OK mà OM.OK=OA
2
= R
2

( hệ thức trong tam giác vuông)
Suy ra OI.OH = R
2
(không đổi) mà OH không đổi do đó OI không đổi. Vậy I cố định
trên AB. Dây đi qua I là ngắn nhất khi dây đó vuông góc với OI tại I do đó AB nhỏ nhất
khi AB vuông góc với OI tại I, khi đó M trùng với H hay M là hình chiếu của O trên d.
( GV : Hoàng Nghĩa Quang- THCS Lương Thế Vinh)