Bài tập sức bền vật liệu- chương 4 Đặc trưng hình học mặt cắt ngang

Đặc trưng hình học mặt cắt ngang Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng


Bài tập sức bền vật liệu trang 1 06/2013

Chương 04

ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG


I) TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1) Diện tích hình phẳng:
F
F dF


(4.1)
2) Mô men tónh của hình phẳng đối với trục
Ox
và
Oy
:
.
.
x
F
y
F
S y dF
S x dF










(4.2)
3) Mômen tónh của hình phẳng đối với một trục nào đó bằng không, trục đó được gọi là
trục trong tâm, giao điểm của hai trục trung tâm là trọng tâm hình phẳng.
Gọi
C
là trọng tâm mặt cắt, từ
C
kẻ hệ trục tọa độ
o o
x Cy
song song với hệ trục
xOy
từ
đó ta có:
0
0
C
C
x x x
y y y
 



 

,
Thay vào (4.2) ta có




0 0
0
. . 0
x C C x C x
F
S y y dF y F S y F S
     


Vậy ta có:
.
.
x C
y C
S y F
S x F






, nếu hình phẳng là nhiều hình ghép lại:
1
1
.
.
i
i
n
x C i
i
n
y C i
i
S y F
S x F













(4.3)

Trong đó
n
là số miền mà ta biết trước diện tích và trọng tâm.
x
Hình
4.1

y
x
y
dF
o
y
o
x
C
C
x
C
y
o
x
o
y
O

Đặc trưng hình học mặt cắt ngang Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng


Bài tập sức bền vật liệu trang 2 06/2013

4) Trọng tâm hình phẳng:
1
1
1
1
.
.
i
i
n
C i
y
i
C
n
i
i
n
C i
x i
C
n
i
i
x F
S
x
F
F

y F
S
y
F
F







 






 








(4.4)
5) Các mômen quán tính của hình phẳng đối với trục

Ox
và
Oy
:
2
2
.
.
x
F
y
F
J y dF
J x dF









(4.5)
6) Mômen quán tính ly tâm của hình phẳng đối với hệ trục
Ox
và
Oy
:
. .

xy
F
J x y dF



7) Mômen quán tính cực của hình phẳng đối với tâm
O
:
2
.
F
J dF




(4.7)

x y
J J J

 

8) Mômen quán tính ly tâm của hình phẳng đối với hệ trục trong đó có một trục đối
xứng bằng không, hệ trục đó được gọi là hệ trục quán tính chính, nếu hệ trục quán tính
chính đi qua trọng tâm hình phẳng được gọi là hệ trục quán tính chính trung tâm.
9) Bán kính quán tính của hình phẳng đối với trục
Ox
và

Oy
:
x
x
y
y
J
i
F
J
i
F









(4.8)
10) Mô men quán tính của một số hình thường gặp:

Hình 4.2
x
y
C
b
h

y
x
d
C
x
b
h
C
Đặc trưng hình học mặt cắt ngang Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng


Bài tập sức bền vật liệu trang 3 06/2013

 Hình chữ nhật:
3
3
12
12
x
y
bh
J
hb
J











 Hình tròn đặc:
4
4
4
4
0,05
64
2 0,1
32
x y
x
d
J J d
d
J J d




  




  




 Hình tam giác:
3
36
x
bh
J 
11) Công thức chuyển trục song song:

Mômen quán tính của hình phẳng đối với trục
Ox
:
2
.
x
F
J y dF


, trong đó
0 1
y y y
 

 
1 1
2
2 2 2
0 1 0 1 0 1 0 0

. . . 2 . . 2
x x x
F F F F
J y y dF y dF y dF y y dF y F J y S
        
   

Vậy ta có:
1 1
1 1
2
0 0
2
0 0
2
2
x x x
y y y
J J y F y S
J J x F x S

  


  


(4.8)
Nếu
O C


(
O
là trọng tâm mặt cắt), ta có
1 1
0
x y
S S
 


1
1
2
0
2
0
x x
y y
J J y F
J J x F

 



 


(4.9)

II) VÍ DỤ
 Ví dụ 1: Tính các mômen quán tính hình chữ nhật cạnh
b h

đối với các trục
,
x y
như
hình V.4.1
x
Hình 4.2
y
x
y
dF
1
y
1
x
O
O
x
O
y
1
x
1
y
O
Đặc trưng hình học mặt cắt ngang Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng

Bài tập sức bền vật liệu trang 4 06/2013


Mômen quán tính của hình chữ nhật đối với các trục trung tâm:
1 1
3 3
;
12 12
x y
bh hb
J J 
Sử dụng công thức chuyển trục song song ta có:
1
1
2 2
3
3
2 2
3
3
1
. .
2 12 2 3
1
. .
2 12 2 3
x x
y y

h bh h
J J bh bh bh
b hb b
J J bh bh hb

   
    

   
    

   

    
   

   


 Ví dụ 2: Tính các mômen quán tính hình tam giác đối với trục
x
như hình V.4.2

Mômen quán tính của tam giác đối với trục trung tâm:
1
3
36
x
bh
J 

Sử dụng công thức chuyển trục song song ta có:
1
2 2
3 3
1 1
. .
3 2 36 3 2 12
x x
h bh h bh
J J bh bh
   
    
   
   

 Ví dụ 3: Tính các mômen quán tính chính trung tâm của hình phẳng như hình V.4.3a
Hệ trục đối xứng


xy
là hệ trục quán tính chính trung tâm của hình phẳng.
Chia hình phẳng thành 3 hình như hình V.4.3b, ta có






1 2 3
x x x x

J J J J
  
Hình
V.4.2

x
b
h
1
x
b
h
C
x
/ 3
h
Hình
V.4.1

1
x
1
y
C
b
h
C
b
h
x

y
Đặc trưng hình học mặt cắt ngang Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng


Bài tập sức bền vật liệu trang 5 06/2013

1
2 3
3
4
2
3
30.900
12
76626
450.30 900 30
.450.30
12 2 2
x
x
x x
J
J cm
J J




 


 

   
 

 


1 2 3
3 3
4
900.30 30.450
2 45765
12 12
y y y y
J J J J cm
     

Chia hình phẳng thành 3 hình như hình V.4.3c, ta có






1 2 3
x x x x
J J J J
   (hình (1) là hình đặc,
hình (2), hình (3) là hai hình chữ nhật rỗng)

3
3
4
450 30
.900
450.960
2
2 76626
12 12
x
J cm

  
1 2 3
3 3
4
900.30 30.450
2 45765
12 12
y y y y
J J J J cm
     
 Ví dụ 4: Xác đònh trọng tâm, tính các mômen quán tính chính trung tâm của hình phẳng
như hình V.4.4a

Chọn hệ trục tọa độ
1
x y
như hình V.4.4b (
y

là trục đối xứng của mặt cắt ngang), chia hình
phẳng thành hai hình gồm hình đặc (1) và hình rỗng (2).
b
b
7
b
15
b
b
b
7
b
15
b
1
x
y
Hình V.4.4

)
a
)
b
x
C
c
y
Hình V.4.3

900

40
30
450
450
30
)
a
)
b
900
30
30
450
450
30
x
y


3


1


2
900
30
30
450

450
30
x
y


1


2


3
)
c
Đặc trưng hình học mặt cắt ngang Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng


Bài tập sức bền vật liệu trang 6 06/2013

Trọng tâm hình phẳng:
2
1
2
1
0
3,5 .15 .7 3 .13 .6 89
15 .7 13 .6 18
i
C

C i
i
C
i
i
x
y F
b b b b b b
y b
b b b b
F









  








Hệ trục

xy
là hệ trục quán tính chính trung tâm của hình phẳng.
   
   
   
   
3 3
2 2
1 2
4
3 3
1 2
4
15 . 7 13 . 6
89 89
3,5 .15 .7 3 .13 .6 118,917b
12 18 12 18
7 . 15 6 . 13
870,25
12 12
x x x
y y y
b b b b
J J J b b b b b b b b
b b b b
J J J b

 
   


        
 
   
   

 
 


    



 Ví dụ 5: Xác đònh trọng tâm, tính các mômen quán tính chính trung tâm của hình phẳng
như hình V.4.5a

Chọn hệ trục tọa độ
1
x y
như hình V.4.5b (
y
là trục đối xứng của mặt cắt ngang), chia hình
phẳng thành hai hình gồm hình.
Trọng tâm hình phẳng:
2
2 2
1
2
2 2
1

0
4 .8 8,5 .7
6,1
8 7
i
C
C i
i
C
i
i
x
y F
b b b b
y b
b b
F









  









Hệ trục
xy
là hệ trục quán tính chính trung tâm của hình phẳng.
   
 
 
 
 
   
   
3 3
2 2
1 2
2 2 4
3 3
1 2
4
. 8 7 .
4 6,1 .8 8,5 6,1 .7 118,85b
12 12
8 . . 7
29,25
12 12
x x x
y y y

b b b b
J J J b b b b b b
b b b b
J J J b

 

        
 

 
 


    



 Ví dụ 6: Tính các mômen quán tính chính trung tâm của hình phẳng như hình V.4.6a
b
b
8
b
7
b
b
b
8
b
7

b
1
x
1
y
x
(1)
(2)
Hình V.4.5

)
a
)
b
c
y
Đặc trưng hình học mặt cắt ngang Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng


Bài tập sức bền vật liệu trang 7 06/2013

Hệ trục đối xứng


xy
là hệ trục quán tính chính trung tâm của hình phẳng.
Chia hình phẳng thành 2 tam giác như hình V.4.6b
3
4
2

2 .
2
2
12 12
x y
b
b
b
J J
 
 
 
  

 Ví dụ 6: Tính các mômen quán tính chính trung tâm của hình phẳng như hình V.4.6a.

Hệ trục đối xứng


xy
là hệ trục quán tính chính trung tâm của hình phẳng như hình V.4.6b.
Chia hình phẳng thành 3 hình gồm hình chữ nhật đặc (1) và hai tam giác rỗng (2).
3 3
4
2
3 3
4
75.70 12,5.20
4 2110416,667
12 12

70.75 40.12,5 100 1
2 40.12,5 1901041,667
12 36 3 2
x
y
J cm
J cm

  



 
 

   
 
 

 
 
 



III) BÀI TẬP
4.1. Tính các mômen quán tính chính trung tâm của mặt cắt ngang như hình B.4.1.
50
cm
75

cm
40
cm
70
cm
50
cm
75
cm
40
cm
70
cm
x
y
)
a
)
b
Hình V.4.7

b b


b b


x
y
(1)

(2)
)
a
)
b
Hình V.4.6

Đặc trưng hình học mặt cắt ngang Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng


Bài tập sức bền vật liệu trang 8 06/2013

4.2. Xác đònh trọng tâm, tính các mômen quán tính chính trung tâm của mặt cắt ngang như
hình B.4.2. Khi tính bỏ qua các góc lượn (xem tại vò trí các góc lượng là góc vuông). So
sánh kết quả tính được với tra bảng thép
70 70 6
L
 
.
4.3. Xác đònh trọng tâm, tính các mômen quán tính chính trung tâm của các mặt cắt ngang
như hình B.4.3.
4.4. Tính các mômen quán tính chính trung tâm của mặt cắt ngang như hình B.4.4. Mặt cắt
ngang gồm hai thép chữ
70 70 6
L
 
ghép lại.

70
6
Hình B.4.4

6
70
14
16
76
70
30
120
Hình B.4.3

30
70
70
6
Hình B.4.2

6
530
14
14
360
9
Hình B.4.1

Đặc trưng hình học mặt cắt ngang Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng

Bài tập sức bền vật liệu trang 9 06/2013

4.5. Xác đònh trọng tâm, tính các mômen quán tính chính trung tâm của các mặt cắt ngang
như hình B.4.5.



4.6. Mặt cắt ngang của một dầm thép được tổ hợp từ bốn thép góc đều cạnh số hiệu
40 40 5
L
 

và bốn tấm thép có kích thước
7 70

như hình B.4.6. Tính các mơmen qn tính chính trung
tâm của mặt cắt.
41

98

183

60
20
60
100
50
cm

75
cm
40
cm
70
cm
25
cm
5
48
18
3
6
5
3
48
5 5
b b


2
b
2
b
Hình B.4.5

6
6
30
22

5 5
b b


2
b
6
10
5
48
18
3
6
5
Đặc trưng hình học mặt cắt ngang Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng


Bài tập sức bền vật liệu trang 10 06/2013


4.7. Mặt cắt ngang của một dầm thép được tổ hợp từ bốn thép góc đều cạnh số hiệu
40 40 5
L
 

và tấm thép có kích thước
174 6

như hình B.4.7. Tính các mơmen qn tính chính trung
tâm của mặt cắt.

4.8. Mặt cắt ngang của một dầm thép được tổ hợp từ hai thép góc số hiệu
18
I
và thép góc số
hiệu
22
I
như hình B.4.8. Tính các mơmen qn tính chính trung tâm của mặt cắt.

4.9. Mặt cắt ngang của một dầm thép được tổ hợp từ hai thép góc số hiệu
18
I
và hai tấm thép
thép có kích thước
400 12

như hình B.4.9. Tính các mơmen qn tính chính trung tâm của
mặt cắt.




Hình B.4.9

18
I
18
I
12
400

Hình B.4.8

18
I
18
I
22
I
160
Hình B.4.7

6
40 40 5
L
 
174
70
Hình B.4.6

7
40 40 5
L
 