Bài tập sức bền vật liệu- chương 9 Tính chuyển vị bằng phương pháp năng lượng

Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng

Bài tập sức bền vật liệu trang 1 07/2013

Chương 09
TÍNH CHUYỂN VỊ BẰNG PHƯƠNG PHÁP NĂNG LƯNG


I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Các khái niệm

 Thanh chòu kéo-nén đúng tâm có biến dạng dài dọc trục:
; ;
z
z n z
L
N L
L dz
EF L
  

    


 Thanh tròn chòu xoắn có biến dạng góc:
;
z z
L
M
dz
GJ G



 
 


 Thanh chòu uốn phẳng:


y

chuyển vò thẳng của trọng tâm mặt cắt ngang theo phương vuông góc với trục
thanh.


góc xoay của mặt cắt ngang quanh một trục nằm trong mặt cắt ngang.

1
2
3
4
2
P
3
P
4
P
1

2


4

34

1
P
1
M
y
z

y

y


z
L
L



A
B
'
B
O
Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng

Bài tập sức bền vật liệu trang 2 07/2013

 Kí hiệu cho đại lượng lực (bao gồm lực tập trung và ngẫu lực):
k
P
là lực tại vò trí và theo
phương
k
.
 Kí hiệu cho đại lượng chuyển vò:



k

: chuyển vò tại vò trí và theo phương
k
.

km

: chuyển vò tại vò trí và theo phương
k
do lực
m
P
sinh ra.

km


: chuyển vò đơn vò tại vò trí và theo phương
k
do tải trọng
1
m
P

gây ra.
 Vật liệu đàn hồi tuyến tính nên ta có:
.
km m km
P

  và
1
.
n
k i ki
i
P


 


2. Thế năng biến dạng đàn hồi
2 2
2 22 2
1 1 1 1 1 1
. .

2 2 2 2 2 2
n n n n n n
y y
x xz z
x y
i i i i i i
x y
Li Li Li Li Li Li
M Q
M QN M
U dz dz dz dz k dz k dz
EF EJ EJ GJ GF GF

     
     
     
     

Với


F
C
C
y
y
y
F
C
C

x
x
x
dF
h
S
J
F
kdF
b
S
J
F
k
2
2
22
2
2
;
 Đối với dầm chòu uốn phẳng, bỏ qua ảnh hưởng của lực cắt:




n
1i
Li
x
2

x
dz
EJ2
M
U
 Đối với bài toán thanh chòu kéo nén đúng tâm:




n
1i
Li
2
z
dz
EF2
N
U
 Đối với thanh chòu xoắn thuần túy:




n
1i
Li
2
z
dz

EJ2
M
U


3. Đònh lý Castigliano
k
k
P
U






Trong hệ đàn hồi tuyến tính, chuyển vò tại moat vò trí và theo một phương nào đó bằng đạo
hàm riêng của thế năng biến dạng đàn hồi tích lũy trong hệ lấy đối với biến số là lực tại vò trí
và theo phương cần tính chuyển vò.
 Xét hệ thanh chòu kéo-nén đúng tâm:
Ta co:ù




n
1i
Li
2
z

dz
EF2
N
U nên
,
,
1 1
i
z i
z i
n n
i k
k
i i
k i i
L
N
N
U P
dz
P E F
 

 
  

 


Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng

Bài tập sức bền vật liệu trang 3 07/2013


 Nếu xét hệ thanh-khớp:
z
N
,
EF
là hằng số trên suốt chiều dài thanh

i
n
1i
ii
k
i,z
i,z
k
L
FE
P
N
N







 Nếu tại vò trí và theo phương cần tính chuyển vò không có lực
k
P
, ta đặt một lực
g
P

tại vò trí và theo phương cần tính chuyển vò. Sau khi lấy đạo hàm
z
g
N
P


ta cho
0
g
P

.
4. Công thức Mohr
 Trạng thái “m” là trạng thái chòu tải
 Trạng thái “k” là trạng thái bỏ tải và đặt một lực
1
k
P

tại vò trí và theo phương cần tính
chuyển vò.

 Công thức Mohr:








n
1i
L
ii
m,yik,yi
x
n
1i
L
xii
m,xik,xi
n
1i
L
ii
m,zik,zi
km
iii
dz
FG
QQ

kdz
JE
MM
dz
FE
NN


 Xét hệ thanh-khớp chòu kéo-nén đúng tâm có
z
N
,
EF
là hằng số trên suốt chiều dài
thanh:
1
n
zi zi
km i
i
i i
N N
L
E F

 


Trọng đó: +
z

N
: nội lực ở trạng thái “k”
+
z
N
: nội lực ở trạng thái “m”
5. Phép nhân “biểu đồ” Vêrêxaghin

Trong đó: +

: diện tích biểu đồ nội lực ở trạng thái “m”
NL
z
z
C
c
f

1 1
i i
n n
i c i c
km
i i
i i i i
f f
E F E J
 
 
  

 
NL
" "
m
" "
k
N
N
N
N
Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng

Bài tập sức bền vật liệu trang 4 07/2013

+
c
f
: cao độ biểu đồ nội lực ở trạng thái “k” lấy tại trọng tâm biểu đồ mômen uốn ở
trạng thái “m”
 Trạng thái “m” là trạng thái chòu tải
 Trạng thái “k” là trạng thái bỏ tải và
 Đặt một lực
1
k
P

tại vò trí và theo phương cần tính chuyển vò thẳng
 Đặt một ngẫu lực
1
k

M

tại vò trí cần tính góc xoay.
 Những lưu ý khi thực hiện phép nhân biểu đồ:
 Tung độ
C
f
nhất thiết phải lấy ở đồ thò của đường bậc nhất (hoặc hằng số). Đường
bậc nhất không bò gãy. Nếu cả hai hàm đều là bậc nhất thì có thể lấy diện tích

ở một
đồ thò, còn tung độ
C
f
lấy ở đồ thò còn lại.
 Trước mỗi số hạng của phép nhân lấy dấu dương khi diện tích và tung độ cùng nằm
về một phía của đường chuẩn và ngược lại.
 Nếu đồ thò bậc nhất đònh lấy tung độ
C
f
bò gãy thì phải chia chiều dài ra nhiều đoạn
sao cho trên mỗi đoạn đường bậc nhất trở thành trơn, thực hiện phép nhân cho từng
đoạn rồi cộng kết quả với nhau. Biểu đồ lấy diện tích

không bò điều kiện này hạn
chế.
 Đối với diện tích của các hình phức tạp, có thể chia thành những hình đơn giản, áp
dụng nhân biểu đồ cho từng hình rồi thực hiện phép tổng.
 Kết quả của phép nhân biểu đồ đối xứng với biểu đồ phản xứng bằng không.
Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng

Bài tập sức bền vật liệu trang 5 07/2013



 Biểu đồ nội lực một số dạng cơ bản
1
M
2
M
l
2
M
1 2
M M



2
/ 8
ql
1
M
l


2
/ 8
ql
1

M
x
M
1
M
2
M
x
M
1
M
2
M
2
M
1 2
M M

1
M
2
M




x
M
1
M

2
M

1
M

2
M
1
M
2
M
1
M

2
M

2
/ 8
ql
l
Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng

Bài tập sức bền vật liệu trang 6 07/2013


A
B
P

l
Pl
x
M
A
B
P
l
Pl
x
M
A
B
M
l
M
x
M
A
B
l
M
M
x
M
A
B
q
l
2

2
ql
x
M
A
B
q
l
2
2
ql
x
M
A
B
l
M
M
x
M
A
B
l
M
M
x
M
A
B
l

M
M
x
M
A
B
l
M
M
x
M
A
B
l
2
/ 8
ql
x
M
q
A
B
1
l


1 2 1 2
/
Pl l l l


x
M
P
2
l
Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng

Bài tập sức bền vật liệu trang 7 07/2013


II. VÍ DỤ
VD.9.1. Ví dụ 1: Hai thanh AB và AC làm cùng một loại vật liệu có ứng suất cho phép



, môđun
đàn hồi
E
, diện tích mặt cắt ngang của hai thanh lần lượt là
F
và
F
2
. Hai thanh chòu liên kết khớp
tại B và C, được nối với nhau bởi khớp A. Kích thước và tải trọng tác dụng lên kết cấu như hình
9.1a. Biết:


2
21 /

kN cm

 ;
KN
150
P

;
2
a m

;
2
2100 /
E kN cm

a) Xác đònh ứng lực trong hai thanh
AB
và
AC
.
b) Xác đònh diện tích mặt cắt ngang (F) để hai thanh
AB
và
AC
cùng bền.
c) Tính chuyển vò thẳng đứng tại
A
.
d) Tính chuyển vò ngang tại

A
.

a) Tách nút tại
A
, đặt các ứng lực của hai thanh như hình 9.2b. Xét cân bằng tại khớp A.
0 0
cos30 cos60 0
AB AC
X N N
    
3
AC AB
N N
  (1).
0 0
sin 30 sin 60 0
AB AC
Y N N P
    
3 2
AB AC
N N P
   (2).
Hình
9
.
1
b.

0
30
0
60
P
AB
N
AC
N
A
Hình
9
.
1c
.

0
30
0
60
g
P
AB
N
AC
N
A
P
Hình 9.1a.

EF
2
E F
A
B
C
a
a
P
0
30
0
60
B
1
l
1
Pl
x
M
P
2
l
B
1
l
2
Pl
x
M

P
2
l
A
C
A
C
A
B
1
l


1 1 2
/
Ml l l

x
M
2
l
M


2 1 2
/
Ml l l

B
1

l
x
M
2
l
B
1
l
M
x
M
2
l
A
C
A
C
M
M
M
Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng

Bài tập sức bền vật liệu trang 8 07/2013

Thay (1) vào (2):
3 2
AB AB
N N P
 
1

2
AB
N P
  ,
3
2
AC
N P

b) ng suất phát sinh trong hai thanh AB và AC
1
2
AB
AB
N P
F F

  (thanh
AB
chòu kéo)

3
2 4
AC
AC
N
P
F F

    (thanh

AC
chòu nén)
ng suất lớn nhất phát sinh trong kết cấu:
max
2
z AB
P
F
 
 
Theo điều kiện bền:
 
2
AB
P
F
 
 
 
2 2
150
3,57
2 2.21
P
F cm cm

    .
Chọn
2
3,6

F cm
 .
c) Chuyển vò thẳng đứng tại
A

Áp dụng đònh lý Castigliano:
,
,
1
z i
ACAB
z i
n
AB AC
k
k i AB AC
i
i i AB AB AC AC
N
N
N
N
N N
P
P P
L L L
E F E F E F






 
   


Ta có:
1 3
;
2 2
ACAB
NN
P P

 
 

Nên chuyển vò thẳng đứng tại
A
:
1 3 3
4 4 3 3 4 3 3 150.200
2 2 2 2
2 5,267
2 2100.3,6
3 4 3 4 3
y
A
P P
a Pa

a cm
EF E F EF
 
     

d) Chuyển vò theo phương ngang tại
A

Đặt thêm lực
g
P
vào hệ như hình 9.1c, xét cân bằng nút
A
:
1 3
2 2
3 1
2 2
AB g
AC g
N P P
N P P

 





 




Áp dụng đònh lý Castigliano:
,
,
1
z i
ACAB
z i AB AC
n
g g g
k i AB AC
i
i i AB AB AC AC
N
N
N
N N N
P P P
L L L
E F E F E F




  
   


Ta có:
3 1
;
2 2
AC
AB
g g
NN
P P

  
 

Nên chuyển vò ngang tại
A
:
3
3 1
2 2
4 3 4 3 4 150.200
2 2
2 2, 25
2 4 4 2100.3,6
3
x
A
P
P
a Pa
a cm

EF E F EF
 

 
 
 
      

VD.9.2. Ví dụ 2: Thanh
ABCD
tuyệt đối cứng chòu liên kết khớp xoay tại
A
và được giữ bởi
thanh
EB
như hình 9.2a. Thanh
EB
làm bằng vật liệu có mô đun đàn hồi
E
và ứng suất cho phép



và diện tích mặt cắt ngang
F
. Cho:


2 2
19 / ; 21000 / ; 15 / ; 2,5

kN cm E kN cm q kN m a m

   
a) Xác đònh ứng lực trong thanh
EB
theo
,
q a
.
Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng

Bài tập sức bền vật liệu trang 9 07/2013

b) Xác đònh diện tích mặt cắt ngang,
F
, để thanh
EB
bền.
c) Với
F
tìm được, tính biến dạng dài dọc trục của thanh
EB
.
d) Tính chuyển vò thẳng đứng tại D.

 Xét cân bằng thanh
ABCD
như hình 9.2b
0
3 5

0 .2 . sin 45 .2 .3 0 2
2 2
A BE BE
m q a a N a P a N qa P qa
        


 Theo điều kiện bền:
 
5
2
BE
qa
F
 
 

 
2
5 5.15.2,5
6,978
2 2.19
qa
F cm

    .
Chọn
2
6,98
F cm

 .
 Biến dạng dài dọc trục của thanh
EB
:

2 2
5
.2 2
10 10.15.2,5 .100
2
0,639
21000.6,98
BE BE
BE
qa
a
N L
qa
L cm
EF EF EF
     

 Chuyển vò thẳng đứng tại D:
Áp dụng đònh lý Castigliano:

2 2
5 3
15 2 15 2.15.2,5 .100
2 2
2 2 1,357

21000.6,98
BE
BE
D BE
BE BE
qa
N
N
qa
P
L a cm
E F EF EF


     

VD.9.3. Ví dụ 3: Thanh gãy khúc
ABC
tuyệt đối cứng chòu liên kết gối di động tại
B
và được
giằng bởi các thanh CDBH , như hình 9.3. Các thanh CDBH, có cùng diện tích mặt cắt ngang
F
, môđun đàn hồi
24
/10.2 cmKNE  và ứng suất cho phép


2
18 /

kN cm

 .
Cho:
3
10.6,3;200










L
L
KNP .
a) Xác đònh diện tích
F
theo điều kiện bền và điều kiện cứng.
b) Tính chuyển vò thẳng đứng tại
A
.
 Xét cân bằng thanh
ABC
như hình 9.3b
a
2

a
2
a
q
P qa

A
B
C
D
E
,
E F
Hình
9.2

a
2
a
2
a
q
P qa

A
B
C
D
E
A

X
A
Y
B E
N
0
45
)
a
)
b
Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng

Bài tập sức bền vật liệu trang 10 07/2013

0
0
3
0 sin 60 .2 .2 0
2
3 1
0 cos 60 0
2
B CE CE
x BD CE BD
m P N N P
F P N N N P

      






        






 Theo điều kiện bền:
 
3
2
CE
P
F
 
 
 
2
3 3.200
9,62
2 2.18
P
F cm

   
.

 Theo điều kiện cứng:

3
3
2
3,6.10
CE CE
CE
P
L N
L
L EF EF L



 
   
 
 
2
4 3
3 3.200
2, 4
2.2.10 .3,6.10
2 .
P
F cm
L
E
L


   

 
 
 

Chọn
2
9,63
F cm
 .
 Chuyển vò thẳng đứng tại
A
:
Ta có:
3 3 1
;
2 2
CE BD
N P N P

  
Tạo trạng thái “k” như hình 9.3c:

1
0 1.2 .2 0
2
1
0 0

2
B CE CE
x BD CE BD
m N N
F N N N

      




      





p dụng công thức Mohr:

4 4
1
1 3 1
1 3
200
. 200
2 2
2 2
3000 2000 1, 73
2.10 .9,63 2.10 .9,63
n

zi zi CE CE BD BD
km i CE BD
i
i i CE CE BD BD
N N N N N N
L L L mm
E F E F E F

 

 
 
 
      


VD.9.4. Ví dụ 4: Xác đònh chuyển vò thẳng đứng tại
A
của hệ dàn như hình 9.4a. Biết rằng các
thanh trong dàn làm cùng vật liệu có mô đun đàn hồi
E
và có diện tích mặt cắt ngang như hình vẽ.
m2
m2
m1
m2
P
0
60
A

B
C
D
E
Hình
9.3

m2
m2
P
0
60
A
B
C
CE
N
BD
N
B
Y
)
a
)
b
m2
m2
1
k
P


A
B
C
CE
N
BD
N
B
Y
)
c
Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng

Bài tập sức bền vật liệu trang 11 07/2013



 Trạng thái “m” hệ chòu tác dụng của tải trọng
P
, dùng phương pháp tách nút xác đònh được
ứng lực trong các thanh như bảng dưới.
 Trạng thái “k” hệ chòu tác dụng của một lực 1P
k
 tại A, dùng phương pháp tách nút xác đònh
được ứng lực trong các thanh như bảng dưới.
Thanh
m
N
k

N
L

EF

L
EF
N.N
km

AB
2
P

2

2
a

2EF

EF
Pa
2

AD
-P

-1

a

EF

EF
Pa

BC
P

1

a

EF

EF
Pa

BD
-P

-1

a

EF

EF
Pa

CD
2
P

2

2

EF

EF
Pa
2

DE
-2P

-2

a

3EF

EF
Pa
3
4

4 6 2 13

2 1 1 1 2 7,16
3 3
y
A
Pa Pa Pa
EF EF EF

 
        
 
 
.
VD.9.5. Ví dụ 5: Dầm
AD
liên kết, chòu lực và có kích thước như hình 9.5. Dầm có độ cứng
chống uốn
EJ const

. Tính chuyển vò thẳng đứng của mặt cắt tại
C
, tính chuyển vò xoay của mặt
cắt tại
A
.

3
P
a
2
a

A
B
C
D
Hình 9.5

P
3
a
P
A
B
D
AB
N
AD
N
BC
N
BD
N
BA
N
DE
N
DA
N
DB
N
DC

N
0
45
0
45
0
45
EF
2
EF
EF
2
EF
3
EF
EF
A
P
B
C
D
E
a
a
a
EF
2
EF
EF
2

EF
3
EF
EF
A
1
k
P

B
C
D
E
a
a
a
)
a
)
b
Hình 9.4
Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng

Bài tập sức bền vật liệu trang 12 07/2013

 Xác đònh phản lực liên kết:

5
0 . 3 .3 6 0
3

7
0 6 .5 3 .3 0
3
A D D
D A A
m P a P a Y a Y P
m Y a P a P a Y P

      




      





 Biểu đồ mô men uốn, lực cắt ở trạng thái “m” như hình
) , ) , )
a b c
.
 Biểu đồ mô men uốn ở trạng thái “k” như hình
) , )
d e
.
 Chuyển vò thẳng đứng của mặt cắt tại
C
:

3
4
2 2 2 2
1
1 1 7 14 8 7 15 47
. . . .
6 3 3 3 6 2 3
i
C i c
i
a a Pa
f Pa Pa a Pa Pa a
EJ EJ EJ


 
      
 
 



 Biểu đồ mô men uốn ở trạng thái “k” như hình
) , )
f g
.
 Chuyển vò xoay của mặt cắt tại
A
:

2
4
2 2 2 2
1
1 1 7 8 14 2 8 11 15 1 149
. . . .
6 9 3 3 3 18 2 3 18
i
A i c
i
Pa
f Pa Pa Pa Pa
EJ EJ EJ
 

 
      
 
 


3
P
a
2
a
A
B
C

D
P
3
a
A
Y
D
Y
7
3
P
4
3
P
5
3
P
y
Q
x
M
7
3
Pa
5
Pa
3
a
A
C

D
1
k
P

3
a
x
M
1,5
a
1

2

3

4

1
c
f
2
c
f
3
c
f
4
c

f
)
a
)
b
)
c
)
d
)
e
3
a
A
C
D
1
k
M

3
a
x
M
1
1
c
f
2
c

f
3
c
f
4
c
f
)
f
)
g
Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng

Bài tập sức bền vật liệu trang 13 07/2013

VD.9.6. Ví dụ 6: Dầm
AD
liên kết, chòu lực và có kích thước như hình 9.6. Dầm có độ cứng
chống uốn
EJ const

. Tính chuyển vò thẳng đứng của mặt cắt tại
A
, tính chuyển vò xoay của mặt
cắt tại
C
.
 Biểu đồ mô men uốn, lực cắt ở trạng thái “m” như hình
) , )
a b

.
 Biểu đồ mô men uốn ở trạng thái “k” như hình
) , )
c d
.
 Chuyển vò thẳng đứng của mặt cắt tại
A
:

3
4
2 2 2 2
1
1 1 5 2 5
. . 0,5 . 0,5 .
2 6 3 3 6
i
C i c
i
a a a Pa
f Pa Pa a Pa Pa
EJ EJ EJ


 
      
 
 


 Biểu đồ mô men uốn ở trạng thái “k” như hình
) , )
c d
.
 Chuyển vò xoay của mặt cắt tại
C
:

2
4
2 2 2
1
1 1 1 1 1 1
. 0,5 . 0,5 .
6 3 3 6
i
C i c
i
Pa
f Pa Pa Pa
EJ EJ EJ
 

 
    
 
 



VD.9.7. Ví dụ 7: Dầm
AC
liên kết, chòu lực và có kích thước như hình 9.7. Dầm có độ cứng
chống uốn
EJ const

. Tính chuyển vò thẳng đứng của mặt cắt tại
C
, tính chuyển vò xoay của mặt
cắt tại
C
.
P
a
2
a
A
B
C
2
a
D
M Pa

0,5
Pa
Pa
x

M
Hình 9.6

)
a
)
b
1
k
P

a
A
B
D
)
c
x
M
a
)
d
1
c
f
2
c
f
3
c

f
4
c
f
1
k
P

a
A
B
D
)
e
x
M
0,5
)
f
2
c
f
3
c
f
4
c
f
2
a

2
a
C
1
k
M

0,5
1

2

3

4

Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng

Bài tập sức bền vật liệu trang 14 07/2013



 Biểu đồ mô men uốn, lực cắt ở trạng thái “m” như hình
), ), )
a b c
.
 Biểu đồ mô men uốn ở trạng thái “k” như hình
), )
d e
.

 Chuyển vò thẳng đứng của mặt cắt tại
C
:

4
4
3 3 3 3
1
1 1 3 9 3 2 2 7
. . . 0,5 .
2 3 4 2 2 3 3 24
i
C i c
i
a a a a qa
f qa qa qa qa
EJ EJ EJ


 
        
 
 


 Biểu đồ mô men uốn ở trạng thái “k” như hình
), )
f g
.
 Chuyển vò xoay của mặt cắt tại

C
:
Hình 9.7

P qa

2
M qa

q
3
a
a
A
B
C
P qa

2
M qa

q
3
a
a
A
B
C
A
Y

B
Y
5
6
qa
13
6
qa
qa
2
qa
2
97 /72
qa
y
Q
x
M
2
qa
1
k
P

3
a
a
A
B
C

x
M
a
1
c
f
2
c
f
3
c
f
4
c
f
1

2

3

4

a
A
B
C
x
M
1

1
c
f
2
c
f
3
c
f
4
c
f
1
k
M

)
a
)
b
)
c
)
d
)
e
)
f
)
g

Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng

Bài tập sức bền vật liệu trang 15 07/2013


3
4
3 3 3 3
1
1 1 3 1 9 1 3 2 1
. . . 0,5 .1
2 3 4 2 2 3 8
i
C i c
i
qa
f qa qa qa qa
EJ EJ EJ
 

 
       
 
 


VD.9.8. Ví dụ 8: Dầm
AC
liên kết, chòu lực và có kích thước như hình 9.8. Dầm có độ cứng
chống uốn

EJ const

. Tính chuyển vò thẳng đứng của mặt cắt tại
C
, tính chuyển vò xoay của mặt
cắt tại
A
.


 Biểu đồ mô men uốn, lực cắt ở trạng thái “m” như hình
), ), )
a b c
.
 Biểu đồ mô men uốn ở trạng thái “k” như hình
), )
d e
.
 Chuyển vò thẳng đứng của mặt cắt tại
C
:
Hình
9.8

P qa

2
2
M qa


q
3
a
a
A
B
C
P qa

2
2
M qa

q
3
a
a
A
B
C
A
Y
B
Y
11
6
qa
qa
7
6

qa
2
qa
2
qa
2
121
72
qa
y
Q
x
M
3
a
a
1
k
P

A
B
C
a
x
M
3
a
a
A

B
C
a
x
M
1
k
M

1
1
c
f
1
c
f
2
c
f
3
c
f
1

2

3

2
c

f
3
c
f
)
a
)
b
)
c
)
d
)
e
)
f
)
g
Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng

Bài tập sức bền vật liệu trang 16 07/2013


4
3
3 3 3
1
1 1 9 3 2 1 2 43
. . .
4 2 2 3 2 3 24

i
C i c
i
a a a qa
f qa qa qa
EJ EJ EJ


 
       
 
 


 Biểu đồ mô men uốn ở trạng thái “k” như hình
), )
f g
.
 Chuyển vò xoay của mặt cắt tại
A
:

3
3
3 3 3
1
1 1 9 5 3 1 1 2 175
. . .
4 8 2 2 2 3 96
i

C i c
i
qa
f qa qa qa
EJ EJ EJ
 

 
      
 
 


VD.9.9. Ví dụ 9: Dầm
AD
liên kết, chòu lực và có kích thước như hình 9.9. Dầm có độ cứng
chống uốn
EJ const

. Tính chuyển vò thẳng đứng của mặt cắt tại
,
D B
, tính chuyển vò xoay của
mặt cắt tại
D
.

2
a
a

a
A
B
C
D
P qa

q
2
2
M qa

2
M qa

Hình
9.9

Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng

Bài tập sức bền vật liệu trang 17 07/2013


 Biểu đồ mô men uốn, lực cắt ở trạng thái “m” như hình
), ), )
a b c
.
 Biểu đồ mô men uốn ở trạng thái “k” như hình
)
d

.
 Chuyển vò thẳng đứng của mặt cắt tại
D
:

3 3 3 3
4
7
1 3 3 3
2 5 4 1 7 1 5
. . . .
1 1 49
3 3 3 9 6 9 12 6
8 1 2
24
. . .
9 2 3 2
i
C i c
i
a a a a
qa qa qa qa
qa
f
a a a
EJ EJ EJ
qa qa qa


 

   
 
   
 
 
  
 
 


 Biểu đồ mô men uốn ở trạng thái “k” như hình
), )
e f
.
 Chuyển vò thẳng đứng của mặt cắt tại
B
:
2
a
a
a
A
B
C
D
P qa

q
2
2

M qa

2
M qa

A
Y
C
Y
qa
1
6
qa
17
6
qa
2
2
qa
2
5
3
qa
y
Q
2
1
3
qa
2

1
72
qa
x
M
2
qa
a
A
C
D
1
k
P

a
a
A
C
D
a
2
a
1
k
P

2 / 3
a
x

M
1
c
f
2
c
f
B
3
c
f
4
c
f
5
c
f
6
c
f
7
c
f
1
c
f
2
c
f
3

c
f
4
c
f
5
c
f
1
k
M

1
1
c
f
2
c
f
3
c
f
4
c
f
5
c
f
6
c

f
7
c
f
D
A
)
a
)
b
)
c
)
d
)
e
)
f
)
g
Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng

Bài tập sức bền vật liệu trang 18 07/2013


4
7
3 3 3 3 3
1
1 1 2 5 4 1 4 1 2 23

. . . . .
3 3 3 9 6 9 12 3 9 36
i
C i c
i
a a a a a qa
f qa qa qa qa qa
EJ EJ EJ


 
        
 
 


VD.9.10. Ví dụ 10: Khung
ABC
liên kết, chòu lực và có kích thước như hình 9.10. Dầm
BC
có độ
cứng chống uốn
EJ const

, cột
AB
có cứng chống uốn
2
EJ const
 và có diện tích mặt cắt ngang

F const

. Tính chuyển vò thẳng đứng của mặt cắt tại
C
.

 Biểu đồ mô men uốn, lực dọc ở trạng thái “m” như hình
), ), )
a b c
.
 Biểu đồ mô men uốn, lực dọc ở trạng thái “k” như hình
), ), )
d e f
.
 Chuyển vò thẳng đứng của mặt cắt tại
C
:

4
2 4 2
3
4
3 3 3
1
1 1 1 3 3 9 3 .1 3
. . . 6,125
6 4 2 2
i
c
C i c

i
f
a qa qa qa
f qa qa a qa a
EJ EF EJ EF EJ EF



 
        
 
 


III. VÍ DỤ
9.1. Hệ thanh chòu lực như hình 9.1, các thanh làm cùng vật liệu có môđun đàn hồi
E
, ứng suất cho
phép



. Cho:
24
/10.2 cmKNE  ;


2
21 /
kN cm


 ;
a) Xác đònh tải trọng cho phép


P
để các thanh đều thỏa mãn điều kiện bền.
b) Với
P
tìm được, tính chuyển vò thẳng của điểm đặt lực
B
.
P qa

q
3
a
a
A
B
C
2
0,5
qa
2
3,5
qa
2
0,5
qa

x
M
qa
z
N
3
a
a
A
B
C
1
k
P

a
a
x
M
1
z
N
1

1
c
f
2
c
f

2

3

3
c
f
4

4
c
f
)
a
)
b
)
c
)
d
)
e
)
f
Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng

Bài tập sức bền vật liệu trang 19 07/2013


9.2. Thanh gãy khúc

ABC
tuyệt đối cứng chòu liên kết gối di động tại
B
và được giằng bởi các
thanh ,
BD CE
như hình 9.2. Các thanh ,
BD CE
làm cùng vật liệu có môđun đàn hồi
2
21000 /
E KN cm
 , ứng suất cho phép


2
18 /
kN cm

 và có diện tích mặt cắt ngang lần lượt là
F
và
2
F
. Cho:
3
10.6,3;200











L
L
KNP .
a) Xác đònh ứng lực trong hai thanh ,
BD CE
.
b) Xác đònh diện tích mặt cắt ngang
F
theo điều kiện bền và điều kiện cứng.
c) Tính chuyển vò thẳng đứng tại
A
.
9.3. Cho hệ dàn có kích thùc và chòu lực như hình 9.3. Các thanh trong dàn làm cùng một loại vật
liệu có mô đun đàn hồi
E
, ứng suất cho phép



và có cùng diện tích mặt cắt ngang là
F
. Cho:



2 4 2
21 / ; 2,1.10 / ; 2,5
kN cm E kN cm a m

  
a) Xác đònh ứng lực trong các thanh của hệ dàn.
b) Xác đònh diện tích mặt cắt ngang,
F
, để các thanh trong dàn cùng bền.
c) Tính chuyển vò thẳng đứng tại
E

9.4. Cho hệ dàn có kích thùc và chòu lực như hình 9.4. Các thanh trong dàn làm cùng một loại vật
liệu có mô đun đàn hồi
E
, ứng suất cho phép



và có cùng diện tích mặt cắt ngang là
F
. Cho:


2 4 2
21 / ; 2,1.10 / ; 4 ; 450
kN cm E kN cm a m P kN

   

a) Xác đònh ứng lực trong các thanh của hệ dàn.
b) Xác đònh diện tích mặt cắt ngang,
F
, để các thanh trong dàn cùng bền.
c) Tính chuyển vò thẳng đứng tại
A
.

a
a
a
55
P kN

A
B
C
F
G
Hình
9.3

D
E
a
m2
m2
m1
m2
P

0
30
A
B
C
D
E
Hình
9.2

Hình
9.1

40 40
cm

30 30
cm

0
30
0
45
A
B
C
1
m
1,4
m

P
Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng

Bài tập sức bền vật liệu trang 20 07/2013


9.5. Thanh
AB
tuyệt đối cứng được giằng bởi các thanh , ,
AE CE BF
như hình 9.5. Các thanh
, ,
AE CE BF
làm cùng vật liệu có môđun đàn hồi
2
21000 /
E KN cm
 , ứng suất cho phép


2
18,5 /
kN cm

 và có diện tích mặt cắt ngang lần lượt là
,
F F
và
2
F

.
a) Xác đònh ứng lực trong các thanh , ,
AE CE BF
.
b) Xác đònh diện tích mặt cắt ngang
F
để các thanh , ,
AE CE BF
đảm bảo điều kiện bền .
c) Tính chuyển vò thẳng đứng tại
D
.


9.6. Các thanh ,
AB DG
tuyệt đối cứng chòu liên kết khớp xoay tại
,
A D
và được giữ bởi các thanh
thanh giằng ,
BC HG
như hình 9.6. Các Thanh giằng ,
BC HG
làm bằng vật liệu có mô đun đàn hồi
E
, ứng suất cho phép




và diện tích mặt cắt ngang lần lượt là
, 2
F F
.
Cho:


2 4 2
19 / ; 2.10 / ; 1, 2
kN cm E kN cm a m

  
a) Xác đònh ứng lực trong các thanh ,
BC HG
.
P qa

1
m
A
,2
E F
B
F
0
60
C
D
,
E F

,
E F
Hình
9.5

q
1
m
1
m
E
A
C
B
P
0
60
0
30
0
60
0
30
D
Hình
9.4

a
1
75

P kN

1
m
A
F
,2
E F
0
45
B
G
F
0
60
2
50
P kN

1
m
3
m
C
D
E
,
E F
,
E F

2
m
Hình 9.7
15 /
q kN m

15
P kN

A
B
C
D
E
F
G
H
1
m
,
E F
, 2
E F
Hình 9.6
25 /
q kN m

0
60
1

m
2
m
2
m
2
m
Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng

Bài tập sức bền vật liệu trang 21 07/2013

b) Xác đònh diện tích mặt cắt ngang,
F
, để các thanh ,
BC HG
bền.
c) Với
F
tìm được, tính chuyển vò thẳng của điểm
G
và điểm
B
.
9.7. Thanh
AB
tuyệt đối cứng được giằng bởi các thanh , ,
AE BF BG
như hình 9.7. Các thanh
, ,
AE BF BG

làm cùng vật liệu có môđun đàn hồi
2
21000 /
E KN cm
 , ứng suất cho phép


2
18,5 /
kN cm

 và có diện tích mặt cắt ngang lần lượt là
2 ,
F F
và
F
. Cho
3
4,1.10
L
L


 

 
 

d) Xác đònh ứng lực trong các thanh , ,
AE BF BG

.
e) Xác đònh diện tích mặt cắt ngang
F
để các thanh , ,
AE BF BG
đảm bảo điều kiện bền và
điều kiện cứng.
d) Tính chuyển vò thẳng đứng tại
C
.
9.8. Khung
ABCD
tuyệt đối cứng chòu liên kết gối cố đònh tại
A
và được giằng bởi thanh
BE
như
hình 9.8. Thanh
BE
làm bằng vật liệu có môđun đàn hồi
2
21000 /
E KN cm
 , ứng suất cho phép


2
19,5 /
kN cm


 và có diện tích mặt cắt ngang là
F
.
a) Xác đònh ứng lực trong thanh
BE
.
b) Xác đònh diện tích mặt cắt ngang
F
để thanh
BE
bền.
c) Tính chuyển vò thẳng đứng tại
D
.

9.9. Dầm thép
AC
có mặt cắt ngang chữ
I
, liên kết, chòu lực và kích thước như hình 9.9. Ứng suất
cho phép của thép




2 2
21 / , 19 /
kN cm kN cm
 
  và có mô đun đàn hồi

2
21000 /
E KN cm
 .
Cho
3
a m

.
a) Xác đònh phản lực liên kết tại ngàm
A
.
b) Vẽ biểu đồ lực cắt, mômen uốn phát sinh trong dầm.
c) Xác đònh tải trọng cho phép


P theo điều kiện bền ứng suất pháp.
d) Với


P tìm được, kiểm tra bền cho dầm theo điều kiện bền ứng suất tiếp.
e) Tính chuyển vò thẳng đứng và chuyển vò xoay của mặt cắt tại
C
.
A
B
C
Hình 9.9
a
1,5

a
P
P3
450
260
9
14
)(mm
25 /
q kN m

EF
150
P kN

0
60
A
B
C
D
E
1
m
2,5
m
2
m
Hình
9.

8

Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng

Bài tập sức bền vật liệu trang 22 07/2013

9.10. Dầm
AD
có mặt cắt ngang không đổi , liên kết, chòu lực và kích thước như hình 9.10. Dầm
làm bằng vật liệu có ứng suất cho phép


2
19,5 /
kN cm

 , mô đun đàn hồi
4 2
1,9.10 /
E kN cm
 .
Cho
0,02
t D


a) Xác đònh phản lực liên kết tại các gối DB, .
b) Vẽ biểu đồ lực cắt, mômen uốn phát sinh trong dầm.
c) Xác đònh kích thước mặt cắt ngang,
D

, của dầm theo điều kiện bền ứng suất pháp.
d) Tính chuyển vò thẳng đứng của mặt cắt tại
,
A C
.
e) Tính chuyển vò xoay của mặt cắt tại
,
A D


9.11. Dầm
AC
có mặt cắt ngang hình chữ
T
, liên kết, chòu lực và kích thước như hình 9.11. Dầm
làm bằng vật liệu có ứng suất cho phép của thép


2
3,15 /
kN cm

 , mô đun đàn hồi
2
2700 /
E kN cm
 . Cho
32 / ; 1,2 .
q kN m a m
 

a) Xác đònh phản lực liên kết tại
,
A B
.
b) Vẽ biểu đồ lực cắt, mômen uốn phát sinh trong dầm.
c) Xác đònh kích thước của mặt cắt ngang


b
của dầm theo điều kiện bền ứng suất pháp.
d) Tính chuyển vò thẳng đứng của mặt cắt tại
C
.
e) Tính chuyển vò xoay của mặt cắt tại
,
A C


9.12. Dầm
AC
mặt cắt ngang không đổi, liên kết, chòu lực và kích thước như hình 9.12. Dầm làm
bằng vật liệu có suất cho phép của thép


2
3,5 /
kN cm

 . Cho

1, 2 ; 45 /
a m q kN m
 

a) Xác đònh phản lực liên kết tại
A
.
b) Vẽ biểu đồ lực cắt, mômen uốn phát sinh trong dầm.
c) Xác đònh kích thước mặt cắt ngang của dầm,
b
, theo điều kiện bền ứng suất pháp.
d) Tính chuyển vò thẳng đứng và chuyển vò xoay của mặt cắt tại
C
.

A
B
C
q
P qa

a
5
a
2
2
M qa

b
2

b
5
b
6
b
Hình 9.11
A
B
C
D
Hình 9.10
D
t
m3
m2m1
1
150
P kN

2
60
P kN

Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng

Bài tập sức bền vật liệu trang 23 07/2013


9.13. Dầm
AD

có mặt cắt ngang không đổi, liên kết, chòu lực và kích thước như hình 9.13. Dầm
làm bằng vật liệu có ứng suất cho phép của thép


2
17,5 /
kN cm

 , mô đun đàn hồi
4 2
2,1.10 /
E kN cm
 . Cho
5 ; 1, 2 .
b cm a m
 

a) Xác đònh phản lực liên kết tại
,
A C
.
b) Vẽ biểu đồ lực cắt, mômen uốn phát sinh trong dầm.
c) Xác đònh tải trọng cho phép


q
theo điều kiện bền ứng suất pháp.
d) Tính chuyển vò thẳng đứng của mặt cắt tại
,
B D

.

e) Tính
chuyển vò xoay của mặt cắt tại
,
A D
.


9.14. Cho dầm
AD
có mặt cắt ngang không đổi, liên kết, chòu lực và có kích thước như hình 9.14.
Dầm làm bằng vật liệu có ứng suất cho phép




;
k n
 
, mô đun đàn hồi
E

Cho:




2 2 2
1,5 / ; 5,5 / ; 2700 / ; 1,5 ; 400 /

k n
kN cm kN cm E kN cm a m q kN m
 
    
a) Xác đònh phản lực liên kết tại B và C theo
,
q a
.
b) Vẽ biểu đồ nội lực ,
y x
Q M
phát sinh trong dầm.
c) Bỏ qua ảnh hưởng lực cắt, xác đònh kích thước mặt cắt ngang,
b
, theo điều kiện bền.
d) Tính chuyển vò thẳng đứng của mặt cắt tại
,
A D
.

e)
Tính chuyển vò xoay của mặt cắt tại
,
A D
.


9.15. Cho dầm AD có mặt cắt ngang không đổi, chòu lực và có kích thước như hình 9.15. Dầm
làm bằng vật liệu có ứng suất cho phép




, mô đun đàn hồi
E
.
Cho:


2 4 2
19,5 / ; 2,1.10 / ; 1,5 ; 450 /
kN cm E kN cm a m q kN m

   
P qa

2
3
M qa

q
a
2
a
a
A
B
C
D
Hình 9.14
b

b
3
b
b
2
b
3
b
A
B
C
Hìn
h
9.1
3

q
P qa

D
a
a4a2
2
M qa

b
7
b
8
b

5
b
A
B
C
Hình
9.1
2

q
3
P qa

a
3
a
b
9
b
6
b
4
b
Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng

Bài tập sức bền vật liệu trang 24 07/2013

a) Xác đònh phản lực liên kết tại A và C theo
,
q a

.
b) Viết biểu thức xác đònh các thành phần nội lực trong đoạn
BC
.
c) Vẽ biểu đồ nội lực ,
y x
Q M
phát sinh trong dầm.
d) Bỏ qua ảnh hưởng lực cắt, xác đònh kích thước mặt cắt ngang,
b
, theo điều kiện bền.
e) Tính chuyển vò thẳng đứng của mặt cắt tại
,
B D
.

f)
Tính chuyển vò xoay của mặt cắt tại
,
A D
.


9.16. Cho dầm AD có mặt cắt ngang không đổi, chòu lực và có kích thước như hình 9.16. Dầm
làm bằng vật liệu có ứng suất cho phép



, mô đun đàn hồi
E

.
Cho:


2 4 2
21 / ; 2,1.10 / ; 2,5 ; 5
kN cm E kN cm a m b cm

   
a) Xác đònh phản lực liên kết tại A theo
,
q a
.
b) Viết biểu thức xác đònh các thành phần nội lực trong đoạn
BC
.
c) Vẽ biểu đồ nội lực ,
y x
Q M
phát sinh trong dầm.
d) Bỏ qua ảnh hưởng lực cắt, xác đònh tải trọng cho phép,
q
, theo điều kiện bền.
e) Tính chuyển vò thẳng đứng và chuyển vò xoay của mặt cắt tại
, ,
B C D
.


9.17. Cho dầm

AC
có mặt cắt ngang hình hộp, chòu liên kết gối cố đònh tại
A
và được giữ bởi
thanh
BD
như hình 9.17. Thanh
BD
mặt cắt ngang hình tròn đường kính
d
. Dầm
AC
và thanh
BD
làm bằng thép có


2 2
19,5 / ; 21000 /
kN cm E kN cm

  .
a) Xác đònh phản lực liên kết tại
A
và ứng lực trong thanh
BD
.
b) Vẽ biểu đồ nội lực
, ,
y x z

Q M N
phát sinh trong hệ.
c) Bỏ qua ảnh hưởng lực cắt, xác đònh kích thước mặt cắt ngang,
b
, của dầm theo điều kiện bền.
d) Xác đònh kích thước mặt cắt ngang,
d
, của thanh
BD
theo điều kiện bền.
e) Tính chuyển vò thẳng đứng của mặt cắt tại
,
B C
.

f)
Tính chuyển vò xoay của mặt cắt tại
C
.


2
a
a
a
A
B
C
D
2

2
2
M qa

q
Hình
9.1
6

P qa

8
b
6
b
2
a
a
a
A
B
C
D
2
2
M qa

q
Hình 9.15
P qa


4 4
b b


8
b
Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng

Bài tập sức bền vật liệu trang 25 07/2013










25 /
q kN m

150
P kN

A
B
C
D

1
m
2,5
m
2
m
b
0,1
b
b3
d
Hình 9.17