Sức bền vật liệu - Chương 9

Bài giảng: Sức bền vật liệu
Chơng 9
Hệ thanh siêu tĩnh
9.1 khái niệm
9.1.1 Khái niệm
Trong chơng này ta chỉ xét đến bài toán phẳng. Giả sử hệ thanh là một hệ
phẳng và lực tác dụng cũng nh chuyển vị của hệ chỉ xảy ra trong mặt phẳng của
hệ, tức là mọi di động của hệ chỉ xảy ra trong mặt phẳng chứa hệ. Nh vậy hệ có 3
bậc tự do (hai chuyển động tịnh tiến và một chuyển động quay trong mặt phẳng
của hệ). Để cố định hệ ta cần 3 liên kết đơn hợp lý. Số phơng trình cân bằng tĩnh
học là vừa đủ để xác định các phản lực trong các liên kết đó. Bài toán này gọi là
bài toán tĩnh định (Hình 8-1). Nếu số liên kết nhiều hơn số liên kết cần thiết để
giữ cho hệ cố định thì hệ đó tồn tại liên kết thừa.
Ta có định nghĩa: Hệ thanh siêu tĩnh là hệ có tồn tại liên kết thừa
Bậc siêu tĩnh của hệ là số liên kêt thừa
9.1.2 Phân loại:
- Hệ siêu tĩnh ngoại: là hệ siêu tĩnh có liên kết thừa là liên kết của hệ với mặt đất
hoặc với vật thể khác.
- Hệ siêu tĩnh nội: Là hệ siêu tĩnh có số liên kết thừa tồn tại ngay trong bản thân
hệ.
- Hệ siêu tĩnh hỗn hợp: Khi tồn tại liên kết thừa cả nội lẫn ngoại.
Ví dụ: Đối với hệ nh trên hình 8-2 để hệ cố định thì chỉ cần ngàm tại A, liên
kết kép tại B có tác dụng làm tăng độ cứng vững của hệ, song để xác định đợc
các phản lực liên kết thì cần phải có 5 phơng trình vì có 5 ẩn số là các phản lực
liên kết, mà ta chỉ có 3 phơng trình cân bằng tĩnh học. Điều này cho thấy là ta
phải tìm thêm 2 phơng trình nữa thì mới giải đợc bài toán. Không có cách nào
khác là phải dựa vào điều kiện chuyển vị và biến dạng của hệ để thiết lập thêm
các phơng trình này.
Số liên kết thừa chính là số bậc siêu tĩnh của hệ và ta thấy rằng có bao nhiêu
liên kết thêm thì cần phải có bấy nhiêu phơng trình để giải hệ. Xét ví dụ trên
hình 8-2 ta thấy hệ có 2 bậc siêu tĩnh.

Vậy :
Các liên kết trên đây gọi là liên kết ngoại, chúng đợc nối với trái đất hay một
hệ cố định khác.
Tơng tự ta có thể xét liên kết giữa các phần trong cùng một hệ. Ví dụ xét 2 hệ
A và B (Hình 8-3), giả sử (A) là cố định thì (B) và (A) có 3 bậc tự do.
Trang: 16
B
A
C
D
Hình 8-1
C
A
D
B
Hình 8-2
(B)
(A)
Hình 8-3
C
(B)
(A)
Hình 8-4
D
(B)
(A)
Hình 8-5
C
Bài giảng: Sức bền vật liệu
Nếu ta gắn (B) vào (A) bằng một khớp cầu tại C thì (B) chỉ còn quay quanh

(A) ở C, nh vậy khớp cầu tại C tơng đơng với 2 liên kết đơn (do nó hạn chế đợc 2
bậc tự do của hệ, để (B) cố định với (A) thì ta cần phải đặt thêm một liên kết đơn
tại D (Hình 8-3,4,5).
Vậy số liên kết để gắn phần này với phần kia của một hệ cũng là 3 liên kết
đơn hợp lý (không cùng song song). Ta cũng có thể gắn (B) vào (A) bằng một
mối hàn tại C (Hình 8-6) vì một mối hàn tơng đơng với 3 liên kết đơn.
Tại D nếu ta thêm một mối hàn hay một khớp cầu thì hệ sẽ thừa 3 hoặc 2 liên
kết, tức là hệ sẽ trở thành siêu tĩnh bậc 3 hoặc 2. Những liên kết giữa các phần
của một hệ gọi là siêu tĩnh nội
Nhận xét :
- Một chu vi khép kín có ba bậc siêu tĩnh.
- Nếu trong chu vi đặt một khớp nối đơn nối hai thanh (H 8-8) thì bậc siêu
tĩnh giảm đi một.
- Nếu ta đặt 3 khớp đơn thì giảm hết bậc siêu tĩnh (3 khớp đơn không
thẳng hàng).
- Một hệ có thể vừa siêu tĩnh nội vừa siêu tĩnh ngoại và số bậc siêu tĩnh
bằng tổng số bậc siêu tĩnh nội và ngoại (H 8-9).
8.1.3 Ưu nhợc điểm của hệ siêu tĩnh.
Để thấy rõ u nhợc điểm, ngời ta thờng hay so sánh với hệ tĩnh định.
- Hệ siêu tĩnh thờng có biểu đồ nội lực phân bố về 2 phía và có giá trị lớn
nhất nhỏ hơn so với tĩnh định. Do vậy chúng có độ bền, độ cứng cao hơn
so với tĩnh định.
- Hệ siêu tĩnh có nhợc điểm là dễ gây biến dạng, ứng suất d khi lắp ráp và
nhiệt độ thay đổi. Khi chế tạo yêu cầu độ chính xác rất cao
- Do các u nhợc điểm trên, cho nên hệ siêu tĩnh đợc phổ biến trong ngành
xây dựng. còn trong ngành cơ khí, chúng chỉ đợc sử dụng đối với chi tiết
yêu cầu độ bền độ cứng cao nh: trục chính
Trang: 17
Hình 8-6
(B)

(A)
C
D
(B)
(A)
Hình 8-8
CC
(B)
(A)
Hình 8-7
D
Hình8-9
Bài giảng: Sức bền vật liệu
9.2. Giải hệ thanh siêu tĩnh bằng phơng pháp lực
Để giải một bài toán siêu tĩnh (tính chuyển vị, vẽ biểu đồ nội lực) ngời ta
xây dựng một hệ tĩnh định tơng đơng với hệ siêu tĩnh, có nghĩa là hệ TĐTĐ phải
có biến dạng, chuyển vị và cách làm việc giống hệ siêu
tĩnh hoàn toàn. Từ điều kiện chuyển vị trên ngời ta thiết
lập phơng trình và giải phơng trình tìm các phản lực. Sau
khi tính đợc phản lực, bài toán trở thành hệ tnhx định
bình thờng. Ngời ta thờng giải theo trình tự sau:
9.2.1. Hệ cơ bản.
Định nghĩa: hệ cơ bản là hệ tĩnh định có đợc từ hệ siêu tĩnh bằng cách bỏ bớt
liên kết thừa.
Ví dụ với hệ siêu tĩnh đã cho ta có thể chọn một trong các hệ cơ bản nh trên
hình 8-11.

Hệ a ta đã bỏ 2 liên kết tại B.
Hệ b ta bỏ một liên kết tại A và một liên kết tại B.
Hệ c ta bỏ một liên kết nội tại C và một liên kết ngoại tại B.

Hệ d ta đã bỏ 2 liên kết tại A.
Hệ e ta đã bỏ 2 liên kết nội tại A và C.
Trang: 18
Hình 8-11
C
A
B
a)
C
A
B
b)
B
C
A
c)
B
C
A
d)
C
A
B
e)
Hình8-10
C
A
B
q
Bài giảng: Sức bền vật liệu

Chú ý: Ta chỉ đợc phép bỏ bớt liên kết chứ không đợc thêm vào. Ví dụ với hệ
trên hình 8-12 không phải là hệ cơ bản của hệ siêu tĩnh đã cho vì tại B ta đã thêm
vào một liên kết.
Dĩ nhiên khi bỏ bớt các liên kết ta phải tránh để cho hệ trở thành một hệ biến
hình hoặc biến hình tức thời. Ví dụ hệ trên hình 8-13 ta đã bỏ 2 liên kết nội trên
đờng CB và nh vậy ta có một hệ có 3 khớp thẳng hàng, hệ đó là một hệ biến hình
tức thời và không thể trở thành một hệ cơ bản đợc.
9.2.2.Hệ tĩnh định tơng đơng.
Định nghĩa: Hệ tĩnh định tơng đơng là hệ tĩnh định có chuyển vị, biến dạng
giống hệt hệ siêu tĩnh.
Đặt các lực liên kết vào những nơi liên kết đã bị bỏ đi (H 8-14).
Hệ a: Liên kết tại B có 2 thành phần phản lực theo 2 phơng vuông góc. Do đó
khi bỏ liên kết đó đi ta phải đặt vào các phản lực theo 2 phơng để thay thế.
Hệ b: ở hệ này ta đã thay ngàm A bằng một gối tựa cố định vậy ta phải thêm
một thành phần mômen để liên kết tơng đơng với ngàm A. Tại B ta phải đặt thêm
một thành phần phản lực ngang để tơng đơng với gối cố định B.
Hệ c: Tại C khi thay khớp vào có nghĩa là ta đã bỏ đi thành phần mômen uốn
liên kết giữa các thanh, vì vậy để tơng đơng nh cũ ta phải đặt các mômen đó 2
bên khớp C. Tại B phải đặt thêm các thành phần phản lực ngang.
Hệ d: Tại A ta đã thay ngàm bằng một gối di động, do vậy ta phải đặt thêm
một mômen và một phản lực ngang thì liên kết đó mới tơng đơng với liên kết
ngàm tại A.
Hệ e: Tại C ta đã thay vào đó một khớp cầu và tại A ta đã bỏ ngàm và thay
vào đó một gối cố định, do đó ta phải đặt thêm vào C và A các mômen liên kết
X
1
và X
2
.
Trang: 19

Hình - 13
C
A
B
a)
X
1
X
2
C
A
B
b)
X
1
X
2
B
C
A
c)
X
1
X
2
X
2
B
C
A

d)
X
2
X
1
C
A
B
e)
X
2
X
1
X
1
Hình 8-13
A
C
B
C
A
B
Hình 8-12
Bài giảng: Sức bền vật liệu
Đặt tải trọng lên hệ cơ bản đã chọn. Trị số của các phản lực liên kết đợc xác
định từ điều kiện chuyển vị do tải trọng và do các phản lực liên kết gây nên theo
các phơng của phản lực liên kết phải bằng điều kiện chuyển vị thực của hệ siêu
tĩnh. Ví dụ ta chọn hệ cơ bản a và đặt tải trọng lên hệ cơ bản đó (H 8-14). Nh vậy
tải trọng và các phản lực X
1

, X
2
sẽ gây nên các chuyển vị theo phơng thẳng đứng
và phơng ngang của điểm B. Để hệ này tơng đơng với hệ siêu tĩnh thì ta phải xác
định đợc trị số của X
1
, X
2
sao cho các chuyển vị đó là bằng không (Gối tựa cố
định tại B của hệ siêu tĩnh không cho phép khung có chuyển vị theo phơng
ngang và phơng thẳng đứng).
Sau khi đã xác định đợc trị số của X
1
, X
2
thì ta đã có đợc một hệ tĩnh định t-
ơng đơng và bài toán đợc giải nh bài toán tĩnh định bình thờng.
9.2.3.Hệ phơng trình chính tắc.
Xét hệ siêu tĩnh bậc n, sau khi bỏ n liên kết thừa ta đợc hệ cơ bản. Đặt tải trọng
và n phản lực liên kết, ta đợc hệ tĩnh định tơng đơng với điều kiện là chuyển vị
theo phơng của x
i
(
ni =1
) do tất cả phản lực x
i
và tải trọng gây nên phải bằng
0. Xét chuyển vị theo phơng của lực x
i
là

i

, áp dụng nguyên lý cộng tác dụng,
ta có:

( ) ( ) ( )
0
21
=++++=
iPniiii
xxx
Nhận xét: Chuyển vị của lực tập trung gây nên bằng chuyển vị đơn vị

do lực
đơn vị nhân với lực đó.
( )
PPy .

=
Từ đó ta dễ dàng thấy: chuyển vị theo phơng của lực x
i
do x
k
gây nên là:
( )
kikki
xx .

=
. Phơng trình trên đợc viết lại:

0
2211
=++++=
iPniniii
xxx


Khai triển ra, ta đợc hệ phơng trình chính tắc

0X XX

0X XX
0X XX
nPnnn22n11n
P2nn2222121
P1nn1212111
=++++
=++++
=++++
Các hệ số
ii
đợc gọi là hệ số chính. Các hệ số
ik
đợc gọi là hệ số phụ và
ip
gọi là các số hạng tự do. Trong đó các hệ số đợc xác định:
Trang: 20
C
A
B

X
1
X
2
Hình 8-14
q
Bài giảng: Sức bền vật liệu

ik
là chuyển vị đơn vị theo phơng của lực x
i
do x
k
=1 gây nên đợc xác định
bằng cách nhân biểu đồ:
( )( )
Kikiik
MM==

. Trong đó M
i
là biểu đồ mô men
đơn vị do x
i
=1 gây nên.
iP

là chuyển vị theo phơng của lực x
i
do tải trọng gây nên.

( )
( )
ipiP
MM .=
. Trong đó M
P
là biểu đồ mô men do tải trọng đặt lên hệ cơ bản
gây nên.
Sau khi tính đợc các hệ số, thay vào hệ phơng trình chính tắc, giải ra ta tìm đợc
các phản lực x
i
.
9.2.4.Vẽ biểu đồ nội lực cho hệ siêu tĩnh và kiểm tra
a. Vẽ biểu đồ: 2 cách:
- Thay các giá trị phản lực đã tính đợc vào hệ tĩnh định tơng đơng và coi đó là tải
trọng ta vẽ đợc biểu đồ nội lực cho hệ tĩnh định tơng đơng.
- Vẽ biểu đồ nội lực theo nguyên lý độc lập tác dụng. Chẳng hạn biểu đồ mô
men:
nnPst
xMxMxMMM
2211
++++=
b. Kiểm tra biểu đồ:
Muốn biết đợc biểu đồ vẽ trên hệ tĩnh định tơng đơng trên có đúng là biểu đồ
siêu tĩnh không, ta phải kiểm tra theo các bớc sau:
- Kiểm tra theo liên hệ vi phân giữa nội lực và ngoại lực.
- Tách nút kiểm tra biểu đồ đối với khung.
- Kiểm tra chuyển vị tại chỗ giải phóng liên kết thừa:
( )
isti

MM .=
nếu bằng 0 thì
biểu đồ đúng, nếu khác 0 thì biểu đồ sai.
9.2.5 Tính chuyển vị cho hệ siêu tĩnh: theo trình tự sau:
- Vẽ biểu đồ M
st
cho hệ siêu tĩnh.
- Tại điểm k cần tính chuyển vị, ta đặt lực đơn vị P
k
=1 lên hệ cơ bản và coi đó là
tải trọng vẽ đợc biểu đồ mô men đơn vị M
k
cb
. Bằng phép nhân biểu đồ, ta có:

( )
( )
cb
Kstk
MMy .=
9.2.6 Ví dụ:
Vẽ biểu đồ nội lực cho khung chịu lực nh hình vẽ sau (hình 8-15a)
Bài giải: Khung có 2 bậc siêu tĩnh, hệ tĩnh định tơng đơng đợc chọn nh hình
8-15b.
Phơng trình chính tắc có dạng:
0XX
0XX
P2222121
P1212111
=++

=++
Biểu đồ mômen uốn do các phản lực đơn vị và tải trọng nh hình vẽ (Hình 8-
15c,d,e).
Trang: 21
B
A
C
a
Hình 8-15a
q
a
X
1
X
2
Hình 8-15b
q
X
1
Hình 8-15c
a
1
M
B
A
C
z
qa
28
3

Hình 8-15g
q
qa
7
3
z
1
1
2
2
M
P
Hình 8-15e
2
qa
2
2
M
a
Hình 8-15d
X
2
=1
Bài giảng: Sức bền vật liệu
áp dụng phơng nhân biểu đồ Vêrêsaghin ta có:
EJ
a
.
3
4

a.aa
3
2
.
2
a
EJ
1

3
2
2
11
=






+=

3
2112
a.
EJ2
1
2
a
.a.a

EJ
1

===
EJ3
a
a
3
2
.
2
a
.
EJ
1

32
22
==
EJ4
qa
2
a
.a.
2
qa
.
EJ
1

EJ8
qa5
a.a.
2
qa
a
4
3
.a.
2
qa
.
3
1
EJ
1

42
P2
422
P1
==
=






+=

Thay vào phơng trình chính tắc và rút gọn ta có:
0qa
4
1
X
3
1
X
2
1
0qa
8
5
X
2
1
X
3
4
21
21
=+
=+
Giải ra ta đợc:

a
28
3
Xqa;
7

3
X
21
==
Sau khi đã xác định đợc các giá trị X
1
và X
2
ta đi vẽ biểu đồ M, N, Q cho hệ
TĐTĐ (hệ siêu tĩnh), để vẽ đợc các biểu đồ nội lực thì ta đặt các lực X
1
và X
2
vào
hệ cơ bản và chú ý rằng lực X
1
có chiều ngợc lại vì kết quả tính mang dấu âm
(Hình 8-15g)
* Vẽ biểu đồ nội lực:
+ Đoạn AB (A B): Dùng mặt cắt 1-1 cắt khung và giữ phần bên dới để
khảo sát. Ta có: z = 0 ữ a
Trang: 22
Bài giảng: Sức bền vật liệu
Giả thiết Q
1
dơng, N
1
dơng và M
1
căng thớ phải. Ta có phơng trình cân

bằng:
+
qa
28
3
N0
1
==

Y
(âm)
+
qzqa
7
3
Q0
1
==

X
Tại z = 0
qa
7
3
Q
1
=
(dơng)
Tại z = a
qa

7
4
Q
1
=
(âm)
+
2
1
z
2
q
qaz
7
3
M0 ==

M
Khi z = 0 M
1
= 0
z = a
2
2
1
qa
14
1
2
qa

a.qa
7
3
M ==
(trái)
Tính giá trị M
1max
:
0qzqa
7
3
dz
dM
1
==
Rút ra:
a
7
3
z =
Do đó có:
22
1max
qa
98
9
qa
49
9
.

2
1
.a
7
3
qa.
7
3
M ==
(phải)
* Đoạn BC (B C): Dùng mặt cắt 2-2 cắt khung và xét phần bên trái. Ta có z
= 0 ữ a.
Trang: 23
M
1
A
qa
28
3
q
qa
7
3
z
11
Q
1
N
1
Bài giảng: Sức bền vật liệu

Giả thiết Q
1
dơng, N
1
dơng và M
1
căng thớ phải. Ta có phơng trình cân
bằng:
+
qa
7
4
qaqa
7
3
N0
2
===

X
(âm)
+
qa
28
3
Q0Y
2
==

(dơng)

+
22
2
qa
2
1
qa
7
3
qa.z
28
3
M0M +==

Tại z = 0
2
2
qa
14
1
M =
(trên)
Tại z = a
2222
2
qa
28
1
qa
2

1
qa
7
3
qa
28
3
M =+=
(dới)
Sau khi đã xác định đợc các giá trị nội lực tại các vị trí đặc biệt, ta vẽ đợc biểu
đồ M , Q và N cho hệ TĐTĐ nh hình vẽ:
Ta chú ý rằng các biểu đồ của hệ TĐTĐ cũng là biểu đồ của hệ siêu tĩnh đã
cho. Riêng đối với biểu đồ mômen uốn ta có thể sử dụng phép cộng biểu đồ nh
sau: Nhân các trị số X
1
và X
2
vào các biểu đồ
1
M
và
2
M
rồi cộng với M
P
ta sẽ đ-
ợc biểu đồ mômen uốn của hệ siêu tĩnh.
9.2.7. Hệ siêu tĩnh đối xứng
Trang: 24
N

7
4qa
-
-
28
3qa
Q
-
+
+
28
3qa
7
4qa
7
3qa
M
98
9qa
2
7
3a
14
qa
2
28
qa
2
Hình 8-16
B

A
Q
2
z
qa
28
3
q
qa
7
3
2
2
N
2
M
2
Bài giảng: Sức bền vật liệu
Nh ở trong phần trớc ta thấy rằng từ một hệ siêu tĩnh ta có thể có nhiều hệ cơ
bản, trong số các hệ cơ bản đó, ta có thể chọn đợc một hệ cơ bản hợp lý nhất,
nghĩa là đối với hệ cơ bản đó có nhiều hệ số phụ triệt tiêu nhất. Trong mục này ta
đề cập đến cách chọn hệ cơ bản khi hệ có tính chất đối xứng.
Ta gọi một hệ siêu tĩnh phẳng là một hệ đối xứng khi hệ có một trục đối xứng.
Một hệ đối xứng chịu tải trọng đối xứng là khi tải trọng đặt lên một phần nào đó
của khung là ảnh của tải trọng đặt lên phần kia qua gơng phẳng đặt vuông góc
với mặt phẳng của khung và đi qua trục đối xứng của hệ. Ngợc lại, nếu tải trọng
của phần này là ảnh của phần kia nhng có chiều ngợc lại thì ta gọi là hệ đối xứng
chịu tải trọng phản đối xứng. Ví dụ khung siêu tĩnh (H 8-17a) là một hệ đối
xứng.
Hệ chịu tải trọng nh trên hình (H 8-17b) là hệ chịu tải trọng đối xứng và nh

trên hình (H 8-17c) là hệ chịu tải trọng phản đối xứng.
Tơng tự, nếu ta xét các thành phần nội lực trên mặt cắt ngang nào đó thì ta
cũng có thể chia các thành phần nội lực thành các thành phần đối xứng và phản
đối xứng.

Trên hình vẽ (H 8-18), ta có lực dọc, mômen uốn M
x
, M
y
là các thành phần
nội lực đối xứng còn lực cắt và mômen xoắn là các thành phần nội lực phản đối
xứng.
Hệ quả:
Nếu một hệ đối xứng chịu tác dụng của tải trọng đối xứng thì nội lực phản
đối xứng trên mặt cắt trong mặt phẳng đối xứng của hệ là bằng không. Ngợc lại
nếu tải trọng là phản đối xứng thì nội lực đối xứng phải bằng không.

Ví dụ : Vẽ biểu đồ mômen nội lực của khung siêu tĩnh chịu lực nh hình vẽ
(H 8-21):
Bài giải:
Trang: 25
Hình 8-17
a)
b)
P P
M
M
c)
P P
M

M
M
x
M
y
z
N
z
Q
y
Q
x
y
x
M
z
M
x
M
y
z
N
z
Q
x
Q
y
y
x
M

z
Hình 8-18
Bài giảng: Sức bền vật liệu
Khung có trục đối xứng CD và chịu tác dụng của tải trọng đối xứng nên
thành phần lực cắt trên mặt cắt qua trục CD bằng không.
Ta cắt đôi khung và xét một nửa khung (H 8-21b), vì tính chất đối xứng nên
momen uốn và lực dọc trên hai mặt cắt ở các điểm D và C phải bằng nhau. Từ
điều kiện cân bằng ta có :
2
P
NN
21
==
Vậy ta chỉ còn phải tìm trị số mômen uốn X
1
.Từ điều kiện chuyển vị tơng đối
giữa các mặt cắt tại C và D phải bằng 0 ta thiết lập đợc phơng trình chính tắc.
0X
P1111
=+
Biểu đồ đơn vị
n
M
và tải trọng
P
M
đợc biểu diễn nh hình 8- 19c,d.
Hệ số phụ và số hạng tự do đợc tính nh sau:

==






+==




1
2

EJ
Pa
ds
EJ
MM

2

1
EJ
a2

ds
EJ
MM

2
P1
P1
P1
11
Vậy ta có:
Pa0.11


X
11
P1
1
==
Biểu đồ mômen uốn của hệ đợc biểu diễn nh trên hình 8-22.
Trang: 26
a
a)
2a
P
P
a
C
D
Hình 8-21
b)

P
X
1
P/2
P/2
X
1
c)
X
1
= 1
X
1
= 1
d)
P
P/2
P/2
Hình 8-22
0,39Pa
M
x
0,39Pa
0,11Pa
Bài giảng: Sức bền vật liệu
9.3 . Dầm liên tục
Dầm liên tục là một dầm siêu tĩnh đợc đặt trên nhiều gối tựa tạo nên nhiều
nhịp (H 8-22). Đây là bài toán siêu tĩnh, bậc siêu tĩnh là số liên kết đơn thêm
vào, nghĩa là bậc siêu tĩnh sẽ bằng số nhịp của dầm trừ đi một.
Hệ cơ bản hợp lý của dầm liên tục đợc chọn nh sau: Ta tởng tợng cắt dầm tại

các gối tựa và nối chúng lại bởi các khớp đặt trên mỗi gối tựa để chia dầm thành
nhiều dầm đơn (Hình 8-24).

Trang: 27
q
P
Hình 8-23
q
P
Hình 8-24
x
1
x
1
x
2
x
2
x
3
x
3
Hình 8-25
i-1
l
i
M
i-1
q
q

M
i
M
i+1
l
i+1
i
i+1
M
i-1
M
i
M
i+1
Bài giảng: Sức bền vật liệu
Nh vậy lực đặt trên một nhịp nào đó sẽ không ảnh hởng đến các nhịp bên cạnh.
Các phản lực liên kết ở đây là các mô men.
Điều kiện để hệ trở thành hệ tĩnh định tơng đơng là góc xoay tơng đối giữa
hai mặt cắt hai phía của khớp là bằng không (vì dầm liên tục là một thanh liền
nên tại đó các mặt cắt không có góc xoay tơng đối với nhau). Hệ phơng trình
chính tắc đợc thiết lập từ điều kiện đó. Chúng ta nhận thấy góc xoay tơng đối
giữa hai mặt cắt về hai phía của khớp chỉ do các lực đặt trên hai nhịp kế cận gây
nên vì vậy để tính chuyển vị tơng đối của gối tựa thứ i thì ta chỉ cần xét tải trọng
đặt lên trên 2 nhịp từ gối tựa thứ i- 1 đến gối tựa thứ i+1 (H 8-25). Để tiện cho
các kí hiệu sau này ta sẽ gọi:
1111
MX;MX;MX
++
===
iiiiii

Và giả thiết trên hai nhịp đang xét có tải trọng bất kỳ. Phơng trình chính tắc
viết cho gối thứ i sẽ có dạng nh sau:
( ) ( )
0.MMM
P11112211
=++++++++=
++ ininiiiiiiiiiiii
MMM


Ta nhận thấy
ik

(với k <i-1 và k >i+1) luôn bằng 0, ta có:
( ) ( )
( )
a0MMM
P1111n
=+++=
++ iiiiiiiiii
Các biểu đồ mômen đơn vị và biểu đồ mômen do tải trọng gây nên trên 2
nhịp đang xét đợc biểu diễn trên hình 8-26.
Nếu dầm có độ cứng EJ không đổi trên suốt chiều dài của dầm thì với phép
nhân biểu đồ Veresaghin, ta có các hệ số phụ và các số hạng tự do nh sau:
( )
xx
l
0
x
1

1
EJ6
l
EJ
1
.1.
3
1
.l.
2
1
ds
EJ
MM

n
i
i
ii
ii
===





+
=
++
+

=+==
1
x
1
x
1
x
l
0
x
EJ3
ll
EJ
1
.
3
2
.
2
l
EJ
1
.
3
2
.
2
l
ds
EJ

MM

i
i
ik
iiiiii
ii
( )
x
1
x
1
l
0
x
1
1
EJ6
l
EJ
1
.1.
3
1
.l.
2
1
ds
EJ
MM

1
+
+
+
+
===

+
i
i
ii
ii
n


+
=
+
+
+








+==

1
x1
1
1
l
0
x
P
p
EJ
1
l
b
l
a
ds
EJ
MM

i
i
ik
i
ii
i
iii
i
Trang: 28
Bài giảng: Sức bền vật liệu
Trong đó:

+ l
i
và l
i+1
là độ dài của nhịp thứ i và i + 1.
+
i
và
i+1
là diện tích của biểu đồ mômen do tải trọng gây nên trên 2
nhịp thứ i và i + 1.
+ a
i
và b
i+1
là khoảng cách từ trọng tâm của các diện tích đó đến gối tựa
thứ i -1 và i + 1.
Ta mang thay các giá trị vừa tính đợc vào phơng trình (a) và giản ớc cho EJ
x
ta
có:
( )
0
l
b
l
a
6
MlMll2Ml
1

1
1
111
1
=








++
++++
+
+
+
+++

i
ii
i
ii
iiiiiii
Phơng trình trên đợc gọi là phơng trình 3 mômen vì các ẩn số là 3 mômen tại
các gối tựa liên tiếp.
Trang: 29
Hình 8-26
a

i
a
i+1
b
i
b
i+1

i
C C

i+1
M
P
i-1
l
i
M
i-1
q
q
M
i
M
i+1
l
i+1
i
i+1
M

i-1
=1
1
M
i-1
M
i
=1
1
M
i
M
i+1
=1
1
M
i+1
Bài giảng: Sức bền vật liệu
Với mỗi một gối tựa ta thiết lập đợc một phơng trình 3 mômen và nh vậy ta
thiết lập đợc cả hệ phơng trình chính tắc.
Chú ý:
-
i
và
i+1
đợc xem là dơng khi biểu đồ mômen do tải trọng gây nên là
căng phía dới.
- Nếu trong các nhịp mà biểu đồ M
P
không liên tục thì ta chia thành nhiều

đoạn để đảm bảo tính liên tục.
Ví dụ 1: Vẽ biểu đồ mômen uốn của dầm liên tục chịu lực nh hình 8-27.
Bài giải:
Biểu đồ mômen uốn M
P
của tải trọng đặt lên hệ cơ bản đợc biểu diễn trên
hình 8-28. Đánh số thứ tự của các gối tựa nh hình vẽ.
Chú ý rằng M
0
= M
3
= 0. Ta có phơng trình chính tắc nh sau:
( )
( )







=






+

++++
=






++++
0
2
1
.
8
ql
.
4
2
2
1
.
8
ql
.
3

2
6lMMll2lM
0
2
1
.
8
ql
.
3
2
6lMMll2lM
22
321
2
210
Hay:







=++
=++
0
8
ql5
M4M

0
4
ql
MM4
2
21
2
21
Giải hệ phơng trình trên ta tìm đợc các giá trị mômen:
Trang: 30
q
P = ql
Hình 8-27
l
l
l
l/2
ql
2
/4
ql
2
/8
Hình 8-28
0
1
2 3
q
P = ql
l

l
l
l/2
M
1
= 0,025ql
2
M
2
= 0,15ql
2
a)
Hình 8-29
0,175ql
2
0,15ql
2
b)
0,025ql
2
Bài giảng: Sức bền vật liệu
2
2
2
2
2
1
ql0,15
20
ql3

M
ql0,025
40
ql
M
==
==
Vậy ta có hệ tĩnh định tơng đơng nh hình 8-29a và biểu đồ mômen uốn đợc
biểu diễn nh hình 8-29b
Trờng hợp dầm liên tục có đầu thừa và đầu ngàm (H 8-30a) thì muốn sử dụng
đợc phơng trình 3 mômen thì ta phải biến đổi
hệ trên thành hệ nh trên hình 8-30b. Mômen
uốn thu gọn có thể xem là mômen liên kết
của mặt cắt tại gối tựa cuối cùng. Mômen đó
sẽ có trị số dơng khi ngoại lực đặt lên đầu
thừa làm căng thớ dới và nó sẽ có trị số âm
khi ngoại lực làm căng thớ trên. Ta cũng có
thể xem là ngoại lực tác động lên nhịp cuối
của dầm. Liên kết ngàm đợc thay bằng một
nhịp với chiều dài của nhịp là bằng không và
có độ cứng EJ là vô cùng.
Ví dụ 2: Vẽ biểu đồ mômen uốn của dầm liên tục chịu lực nh trên hình vẽ (H
8-31a).
Bài giải:
Ta có hệ cơ bản nh trên hình 29b. Biểu đồ M
P
đợc biểu diễn trên hình (H.29c).
Mômen M
4
có trị số là

2
ql
2


Hệ phơng trình chính tắc đợc viết nh sau:
Trang: 31
Hình8 -30
a
P
M
4
= -Pa
M
4
M
2
M
1
M
3
l
0
=0
Bài giảng: Sức bền vật liệu
( )
( )
( )

=+++
=






++++
=






++++
0lMMll2lM
0
2
1

.
3
ql
.
3
2
6lMMll2lM
0
2
1
.
1
l
.
2
ql
.
3
2
6lMMll2Ml
432
2
321
2
21101
Hay rút gọn lại, với chú ý l
1
= 0 và
2
ql

M
2
4
=
, ta có:









=+
=+++
=++
0
4
ql
M4M
0
4
ql
MM4M
0
2
ql
MM2
2

32
2
321
2
21
Giải hệ thống phơng trình trên ta đợc:
2
3
2
2
2
1
ql06730,M
ql1920,0M
ql24040,M
=
=
=
Biểu đồ mômen đợc biểu diễn nh trên hình 8-32.

Trang: 32
Hình 8-31
P=ql
l
l/2
q
ll
a)
2
ql

M
2
4
=
M
2
M
1
M
3
l
1
=0
q
l
3
l
4
l
2
b)
c)
ql
2
/8
Hình 8-32
l
l/2
P=ql
q

ll
0,5ql
2
0,0673ql
2
0,2404ql
2
0,0192ql
2
Bµi gi¶ng: Søc bÒn vËt liÖu
Trang: 33