tiểu luận Sự hình thành và nội dung cơ bản của logic toán

CHƯƠNG 1
SỰ HÌNH THÀNH VÀ NỘI DUNG CƠ BẢN CỦA LOGIC TOÁN
1.1. Các hướng cải cách logic hình thức của Arixtốt và sự ra đời của logic toán.
1.1.1. Các hướng cải cách logic học Arixtốt.
Logic hình thức từ thời Arixtốt đã ở dạng khá hoàn chỉnh. Ba quy luật cơ
bản của tư duy logic hình thức là quy luật đồng nhất, quy luật cấm mâu thuẫn
logic và quy luật loại trừ cái thứ ba đã được trình bày một cách khá rõ ràng trong
bộ Orgamôn. Trong tác phẩm Orgamôn, tuy chưa có sự trình bày về quy luật lý
do đầy đủ, nhưng thực chất Arixtốt đã nắm vững quy luật này khi ông giảng dạy
cho học trò về các tình thái logic và quan hệ nhân quả. Các phương pháp suy
luận cũng đã được thể hiện một cách có hệ thống. Tuy nhiên, do hiểu biết của
con người về tự nhiên và xã hội ở thời kỳ cổ đại còn khá ngây thơ nên logic hình
thức cũng mang tính trực quan và sơ cấp. Trải qua rất nhiều thế kỷ, logic hình
thức không có một bước đột phá nào đáng kể mà nó còn bị Thiên chúa giáo làm
biến dạng để có thể cùng đi trên một con đường với triết học kinh viện thời
Trung cổ.
Đến thời kỳ Phục Hưng, nhiều phát hiện mới trong toán học và khoa học tự
nhiên xuất hiện làm thay đổi đáng kể thế giới quan của con người. Logic học
(với tư cách là tư duy cấp hai) đã bộc lộ một số hạn chế so với tư duy khoa học
đương thời. Nhiều ý tưởng cải cách logic hình thức của Arixtốt, xây dựng một
kiểu của logic học mới đã xuất hiện. Xét trong phạm vi phát triển của logic hình
thức, có thể chia các ý tưởng cải cách này thành hai xu hướng chính: Xu hướng
thứ nhất là xây dựng logic quy nạp mà tiêu biểu là Bêcơn (1561-1626); Xu
hướng thứ hai là xây dựng logic diễn dịch mà tiêu biểu là Đềcác và Lépnít.
Hướng xây dựng logic quy nạp được trình bày trong tác phẩm “Công cụ
mới” của Ph.Bêcơn. Trong tác phẩm “Công cụ mới”, logic hình thức của Arixtốt
được xem xét như một thứ logic học chỉ biết nghiên cứu tới luận ba đoạn. Với tư
cách vừa là nhà triết học, vừa là nhà khoa học thực nghiệm, Bêcơn cho rằng cần
phải tiến hành thí nghiệm để làm phong phú những hiểu biết của con người thay
cho việc tranh giành chân lý bằng lý luận; nếu cứ lao vào luận ba đoạn với
những dạng thức suy diễn được xây dựng trên nó thì không thể tìm kiếm được

chân lý, bởi vì sự vận động và tương tác trong thế giới thực hiện là muôn hình
muôn vẻ. Bêcơn cho rằng Arixtốt đã tuyệt đối hóa cách suy diễn theo kiểu luận
ba đoạn, logic hình thức của Arixtốt đã thoát ly hoàn toàn với trực giác và thực
tiễn, thiếu hụt nội dung hiện thực. Ông mong muốn xây dựng một logic học mới
có khả năng định hướng cho tư duy của con người và ông đã phát triển logic quy
nạp, làm cơ sở cho phương pháp thực nghiệm khoa học - Một phương pháp có
chức năng kép, một mặt có nhiệm vụ kiểm tra, xác minh chân lý khách quan,
mặt khác tạo khả năng phát minh bằng cách khái quát các sự kiện thực nghiệm”.
Ở đây Bêcơn đã đánh giá đúng đắn tầm quan trọng của suy luận quy nạp, nhưng
ông lại gạt bá vai trò của suy luận diễn dịch. Hướng nghiên cứu của Bêcơn sau
khoảng ba trăm năm mới được Milơ tiếp tục phát triển. Milơ đã vạch ra một số
hạn chế khác trong logic hình thức của Arixtốt. Theo Milơ thì cách suy diễn
trong logic hình thức của Arixtốt là sự thỏa hiệp giữa những nhận định này với
những nhận định khác chứ không nhằm mục đích đạt tới chân lý. Nhưng chính
Milơ cũng cho rằng mục tiêu thực sự của logic học không phải là tìm kiếm chân
lý, mà là nghiên cứu độ tin cậy của những luận đề được ruít ra theo phương pháp
chứng minh. Ông đã khá thành công với những công trình logic học mang màu
sắc thực chứng, mà trong đó đóng góp quan trọng nhất là việc hoàn thiện các
phương pháp quy nạp nhằm xác định mối liên hệ nhân quả trong hiện thực.
Hướng xây dựng logic diễn dịch bắt đầu từ Đềcác với tác phẩm “Phương
pháp luận” nổi tiếng. Trong tác phẩm này, một số tư tưởng về logic học của
Arixtốt cũng bị phê phán. Trước hết Đềcác đồng tình với ý kiến của Bêcơn cho
rằng phương pháp luận ba đoạn thực chất là một phương pháp suy luận đã bị
kinh viện hóa. Ông cho rằng luận ba đoạn chỉ có tác dụng giải thích cho người
khác những tri thức mà nhân loại đã biết. Theo Đềcác thì nhiệm vụ quan trọng
hơn của logic học là phải giúp con người nghiên cứu giới tự nhiên. Đềcác cho
rằng những nguyên lý và phương pháp trong logic hình thức của Arixtốt đã bộc
lộ một số hạn chế và ông đã đề ra nhiệm vụ phải xây dựng những phương pháp
nhận thức sâu sắc hơn nữa. Vận dụng triệt để toán học và triết học đương thời,
ông đã hoàn thiện và phát triển logic diễn dịch làm cơ sở cho phương pháp lý

thuyết khoa học. Con đường của Đềcác sau này được nhà logic học người Đức
Lepnit nhiệt tình ủng hộ và tiếp bước. Lepnit cũng là người đưa ra quy luật lý do
đầy đủ và hoàn thiện hệ thống bốn quy luật cơ bản của tư duy logic hình thức.
Nh vậy Đềcác và Lépnít là đại diện cho hướng xây dựng và phát triển logic diễn
dịch. Cũng chính hai ông là những người có những ý tưởng đầu tiên về việc xây
dựng logic toán.
1.1.2. Sự hình thành và phát triển của logic toán.
Trong đà phát triển mạnh mẽ của khoa học tư nhiên cuối thế kỷ 17, người
ta nhận thấy vai trò đắc lực của toán học trong việc phát hiện các quy luật vận
động của thế giới vĩ mô và thế giới vi mô. Các nhà triết học, logic học cũng tìm
cách sử dụng toán học để nghiên cứu các thao tác của tư duy logic. Nổi lên trong
trào lưu này trước hếtd phải kể đến lépnít. Ông cho rằng cần phải xây dựng logic
học theo các nguyên tắc toán học. Một mặt ông đánh giá cao tính chặt chẽ và
chính xác của toán học. Mặt khác ông cho rằng logic học có nhiều điểm tương
đường với toán học. Theo ông thì bất kỳ suy luận nào, kể cả suy luận trong toán
học và suy luận ngoài toán học đều có thể thực hiện dưới hình thức các phép
toán. Ông hy vọng với các phép toán như vậy, việc nghiên cứu về tư duy trong
phạm vi của logic học sẽ được giải quyết một cách đầy đủ và chính xác. Phương
pháp của Lépnít là gán cho mỗi khái niệm cơ bản một ký hiệu riêng, đồng thời
xây dựng quy tắc liên kết các ký hiệu này dựa trên quan hệ giữa các khái niệm
được ký hiệu hóa. Khi đó các thao tác logic của tư duy sẽ được thể hiện dưới
hình thức các biểu thức tương tự các biểu thức toán học. Với phương pháp này,
các hình thức và các thao tác của tư duy sẽ được nhìn nhận một cách rõ ràng
hơn, các suy nghĩ của con người sẽ được hình thức hóa một các tường minh hơn,
và quan trọng hơn cả là bản thân suy nghĩ của chúng ta cũng tránh được những
sự rườm rà không cần thiết. Tuy nhiên những ý tưởng đúng đắn của Lépnít cũng
chưa được thực hiện hóa một cách đáng kể ngoài một công trình nghiên cứu
được ông xây dựng nhưng chưa hoàn chỉnh và ông cũng không công bố công
trình này, vì ông không cảm thấy hài lòng về nó. Chúng ta có thể lý giải về
nguyên nhân của hiện tượng này là do trình độ phát triển của toán học đường

thời chưa đủ trang bị những công cụ toán học cần thiết để Lépnít có thể thực
hiện thành công những ý tưởng của mình trong việc toán học hóa logic hình
thức.
Sau gần hai thế kỷ, ý tưởng trên của Lépnit đã được thực hiện một phần bởi
công trình nghiên cứu của nhà toán học Bulơ trong việc sử dụng các công cụ đại
số để diễn đạt các tư tưởng của logic hình thức. Trong công trình của Bulơ, các
mệnh đề được ký hiệu bới các chữ cái, các phép liên kết logic được định nghĩa
một cách hoàn toàn hình thức, các quy tắc của đại số thông thường vẫn được áp
dụng trừ một vài quy tắc sửa đổi; do đó công trình của Bulơ được gọi là đại số
logic. Đại số logic xuất hiện cũng chính thức đánh dấu sự ra đời của logic toán,
nó cũng tạo điều kiện cho sự hoàn thiện lý thuyết suy luận theo hướng khái quát
hóa và chính xác hóa. Ở đây ngôn ngữ ký hiệu của đại số đã được sử dụng để
xây dựng các phép toán hình thức và quá trình suy diễn để tìm ra tri thức mới
được thực hiện bằng việc biến đổi các biểu thức logic. Như vậy trong lịch sử
logic hình thức đã xảy ra một sự chuyển biến quan trọng, đó là hình thành một
hướng nghiên cứu mới với việc sử dụng ngày càng nhiều hơn các phương pháp
nghiên cứu của toán học cũng như các kết quả của toán học để nghiên cứu các
thao tác của tư duy logic. Tuy nhiên sự chuyển biến này có giá trị về mặt
phương pháp hơn là về mặt nội dung. Những vấn đề mà Bulơ nêu ra và cách giải
quyết của ông chưa thực sự bứt ra khỏi phạm vi của logic hình thức truyền
thống. Hơn nữa, theo phương pháp của Bulơ thì chỉ thực hiện được phép suy
luận khi mà trong tiền đề có chứa các mệnh đề phức hợp, bởi vì công trình
nghiên cứu của ông chưa động chạm tới cơ cấu logic của các mệnh đề sơ cấp.
Vậy làm cách nào để có thể nghiên cứu cơ cấu logic của các mệnh đề sơ
cấp (để từ đó xây dựng những dạng thức suy luận trực tiếp và những dạng thức
suy luận gián tiếp từ tiền đề chỉ gồm các mệnh đề sơ cấp) bằng phương pháp
toán học? Để trả lời câu hỏi này, Phêghe đã có sáng kiến sử dụng làm số toán
học để biểu diễn cơ cấu logic của các biến mệnh đề nh P(x) = “x là sinh viên”;
Q(x,y) = “x là bạn của y”… Nhưng các hàm số toán học nh vậy vẫn chưa biểu
diễn được các mệnh đề cụ thể. Do đó các lượng từ đã được xây dựng để cùng

với các hàm số toàn học đủ khả năng biểu diễn các mệnh đề cụ thể. Chẳng hạn
công thức ∃xP (x) sẽ biểu diễn mệnh đề “Có những người là sinh viên” và công
thức ∀y∃xQ(x,y) sẽ biểu diễn mệnh đề “Mọi người đều có Ýt nhất một người
khác là bạn của mình”. Các phán đoán đơn trong logic hình thức truyền thống
cũng được biểu diễn lại theo ngôn ngữ toán học. Chẳng hạn “Mọi S là P” sẽ
được biểu diễn lại là ∀x(S(x) -> P(x)); “Tông tại S là P” được biểu diễn lại là
∃x(S(x)ΛP(x). Sáng kiến của Phêghe đánh dấu sự ra đời của một ngành logic
toán hoàn toàn mới mẻ - logic vị từ. Với sự ra đời của logic vị từ, cơ cấu logic
của các mệnh đề sơ cấp cùng với các dạng thức suy luận trực tiếp và các dạng
thức suy luận gián tiếp từ tiền đề không chứa mệnh đề phức hợp lại được nghiên
cứu một cách sâu sắc hơn so với trong logic hình thức truyền thống, do đó mà
đạt được những kết quả mới có độ khái quát và chính xác cao hơn.
Khi logic mệnh đề và logic vị từ tương đối định hình cũng là lúc phương
pháp tiên đề hóa - một phương pháp đặc trưng của toán học đã tỏ ra rất thành
công trong việc tiên đề hóa các lý thuyết hình học và đại số. Phương pháp này
cũng đang lan tràn sang các lĩnh vực khoa học lân cận với toán học và xâm nhập
vào logic toán vào cuối thập niên bảy mươi của thế kỷ 19. Tác phẩm “Phép tính
khái niệm” của Phêghe xuất bản năm 1879 đã đưa ra hệ tiên đề logic đầu tiên.
Nhiều hệ tiên đề logic tiếp theo đã xuất hiện vào cuối thế kỷ 19 đầu thế kỷ 20.
Việc trình bày logic toán học dưới dạng các lý thuyết tiên đề làm cho quá trình
suy luận trong đó trở nên trừu tượng hơn, nhưng cũng chính xác hơn. Chúng ta
sẽ nghiên cứu hỹ hơn về phương pháp tiền đề hóa trong logic toán và kết quả
của nó là các hệ tiên đề logic khi bàn về phương pháp đặc trưng của logic toán
(phương pháp hình thức hóa, phương pháp tiên đề hóa) và những nội dung cơ
bản của nó (logic mệnh đề, logic vị từ).
1.1.3. Phương pháp của logic toán.
Về cơ bản, logic toán (lưỡng trị) vẫn trung thành với những nguyên lý cơ
bản của logic hình thức truyền thống. Nét đặc trưng quan trọng nhất của logic
toán lại nằm ở phương pháp nghiên cứu của nó. Trong logic toán, các phương
pháp của toán học được sử dụng mạnh mẽ để giải quyết những vẫn đề của logic

học, nổi bật và rõ nét nhất là phương pháp hình thức hóa. Từ thời Arixtốt, logic
hình thức đã biết sử dụng một số ký hiệu để diễn đạt tư tưởng. Song ở logic
toán, các ký hiệu được sử dụng một cách triệt để hơn và tuân theo những quy tắc
hết sức chặt chẽ. Một đặc điểm quan trọng đối với logic toán là việc định nghĩa
các phép toán trên mệnh đề. Trong logic hình thức truyền thống, các liên từ
logic được xem như sự phản ánh các quan hệ tồn tại giữa các hiện tượng trong
hiện thực thì trong logic toán, người ta lại định nghĩa các phép toán trên mệnh
đề bằng những bảng giá trị thể hiện quan hệ về mặt giá trị logic giữa công thức
mới được xây dựng và những công thức cũ dùng để xây dựng công thức mới.
Với việc định nghĩa các phép toán trên mệnh đề nh vậy, logic toán đã thực hiện
một bước nhảy vọt so với logic hình thức truyền thống trong việc hình thức hóa
tư duy. Nhờ vậy logic toán đã có khả năng giải quyết khá dễ dàng những vấn đề
rất khó khăn đối với logic hình thức truyền thống, ví dụ vấn đề xác định tính
hằng đúng hay không của một công thức phức tạp. Việc sử dụng hàm số toán
học cùng với các lượng từ để biểu diễn cơ cấu logic của các mệnh đề sơ cấp
cũng giúp logic toán phát hiện và giải quyết một số vấn đề mà việc trình bày nó
trong lĩnh vực logic hình thức truyền thống chưa thật chuẩn xác. Chẳng hạn
logic hình thức truyền thống cho rằng tính chân thực của phán đoán A (mọi S là
P) kéo theo tính chân thực của phán đoán I (tồn tại S là P). Song nếu dùng ngôn
ngữ hình thức của logic vị từ thì phán đoán A được biểu diễn là ∀x (S(x) -> P(x)
và phán đoán I được biểu diễn ∃x (S(x) Λ P(x) ta sẽ nhận thấy điều khẳng định
nói trên trong logic hình thức truyền thống sẽ không đúng trong trường hợp
không tồn tại một phần tử nào có tính chất S. Tuy nhiên cũng vì tính hình thức
hóa cao độ của lòic toán mà xuất hiện hai nghịch lý suy diễn tiêu biểu (1, Mọi
mệnh đúng bất kỳ đều có thể suy ra từ bất kỳ mệnh đề nào và 2, Từ một mệnh
đề sai bất kỳ có thể suy ra bất kỳ mệnh đề nào) mà việc giải quyết hai nghịch lý
này dẫn đến thay đổi những nguyên lý cơ bản của logic hình thức giai đoạn cổ
điển.
Nét điển hình của logic toán so với logic hình thức còn được thể hiện ở việc
xây dựng lý thuyết suy luận dưới dạng một lý thuyết tiên đề để có thể nghiên

cứu chính xác hơn cấu trúc và quy luật logic của quá trình tư duy. (phương pháp
tiên đề hóa). Lý thuyết tiên đề được xây dựng hoàn chỉnh khi xác định rõ bốn
yếu tố:
Yếu tè số 1: Ngôn ngữ của lý thuyết tiên đề, gồm một hệ thống các ký hiệu,
trong đó mỗi ký hiệu hay nhóm ký hiệu sẽ tương ứng với một khái niệm (công
thức, phép toán…).
Yếu tè số 2: Định nghĩa công thức. Các công thức trong logic toán được
định nghĩa theo phương pháp đệ quy. Ban đầu có một nhóm ký hiệu sẽ được gọi
là công thức, sau đó xác định quy tắc tạo ra công thức mới từ các công thức ban
đầu.
Yếu tè số 3: Hệ thiên đề, bao gồm một số công thức hằng đúng tiêu biểu.
Các công thức hằng đúng được lựa chọn làm tiên đề Ýt nhất cần đảm bảo tính
độc lập và tính phi mâu thuẫn của hệ tiên đề.
Yếu tè số 4: Quy tắc dẫn xuất. Đay là quy tắc để tạo ra các công thức hằng
đúng từ các tiên đề. Công thức mới được tạo ra từ các tiên đề theo đúng quy tắc
dẫn xuất gọi là công thức dẫn được. Quá trình tạo ra các công thức dẫn được từ
các tiên đề gọi là quá trình dẫn xuất.
Nh vậy các tri thức được tạo ra trong lý thuyết tiên đề đều tồn tại dưới dạng
các công thức dẫn được và quá trình tạo ra các tri thức đó chỉ được thực hiện
trên cơ sở các yếu tố đã có trong hệ tiên đề. Cách làm như vậy đã tạo cho logic
toán có được khả năng cắt giảm được các yêu tố trực giác, các mối liên hệ mang
tính nội dung cụ thể và quá trình suy luận được thực hiện dưới dạng logic lý
tưởng, mang tính chính xác và chặt chẽ cao. Các tri thức mới được tạo ra với tư
cách là kết quả của các hoạt động toán học, nói nh Ăngghen, sẽ đạt tới sự chính
xác hoàn hảo hơn. Sự ra đời của các hệ tiên đề logic cùng với các quy tắc dẫn
xuất tương ứng có thể xem như sự một kết quả đạm nét của phong cách tư duy
toán học trong nghiên cứu logic học. Đây hoàn toàn không phải là những sản
phẩm tùy tiện của đầu óc suy tưởng toán học, mà là kết quả của sự phát triển
nhận thức của nhân loại thông qua thực tiễn nghiên cứu khoa học của nhiều thế
hệ, đúng như Lênin đã nhận xét trong bót ký triết học “Hoạt động thực tiễn của

con người đã phải làm cho ý thức của con người lặp đi lặp lại hàng nghìn triệu
lần những cách logic khác nhau đặng làm cho những cách này có được ý nghĩa
của những tiên đề” {211}. Nh vậy, các hệ tiên đề của các thao tác logic của tư
duy không phải là những ký hiệu trống rỗng mà trái lại, nó mang những nội
dung hết sức tinh tế và cô đọng. Nhưng đây không phải là những nội dung tri
thức cụ thể phản ánh sự vận động của thế giới khách quan, mà là những tri thức
phản ánh một cách cao cấp và điều chỉnh chính cách thức tư duy của con người
(tư duy cấp hai, cấp ba …). Các hệ tiên đề này biểu hiện một phương diện logic
thực tế của tư duy nhân loại. Chỉ có nh vậy chúng ta mới có thể cắt nghĩa nổi
những giá trị nhận thức và thực tiễn to lớn mà logic toán đã tạo ra trong các lĩnh
vực khoa học cơ bản và cả trong các ngành khoa học ứng dụng. Luận văn sẽ
dành trọn vẹn chương 2 để nghiên cứu sâu về vấn đề này trên một số bình diện
chính. Song để trình bày các kết quả nghiên cứu một cách rành mạch và đủ căn
cứ thì trước hết cần phải làm rõ những nội dung cơ bản của logic toán là logic
mệnh đề và logic vị từ.
1.2. Logic mệnh đề
1.2.1. Đại số mệnh đề (Trình bày logic mệnh đề theo nội dung)
a) Các khái niệm cơ bản của đại số mệnh đề.
Trong đại số mệnh đề người ta tập trung nghiên cứu các mệnh đề, các phép
toán trên mệnh đề đúng. Ở đây ta hiểu mệnh đề là một phán đoán có giá trị chân
lý xác định hoặc đúng hoặc sai.
Chẳng hạn ta xét các mệnh đề sau đây:
1. Bắc Kinh là Thủ đô của Trung Quốc.
2. 17 là số nguyên tố.
3. Kim loại có ánh kim.
4. Nhật bản nằm ở Châu Phi.
5. Mọi axit đều chứa ôxy.
Các mệnh đề 1,2,3 là đúng; còn 4, 5 là sai.
Trong đại số mệnh đề người ta không chú ý tới nội dung cụ thể của mệnh
đề mà chỉ quan tâm tới việc: mệnh đề đó đúng hay sai. Khi nói đến khả năng

đúng hay sai của một mệnh đề nghĩa là người ta nói đến giá trị chân lý của mệnh
đề đã cho: “Giá trị chân lý của mệnh đề A là đúng ” hoặc là “Giá trị chân lý của
mệnh đề A là sai”.
Nh vậy, thực chất là ta có một ánh xạ từ tập hợp tất cả các mệnh đề lên tập
hợp B gồm hai phần tử, một trong chóng mang tên là đúng, còn phần tử kia
mang tên là sai. Nếu từ đúng hiển thị bằng số 1 và từ sai hiển thị bằng số 0 thì ta
có thể nói rằng giá trị chân lý của mệnh đề A bằng 1 hoặc bằng 0. Một số tài liệu
dùng 1 = T; 0 = F.
Trong đại số thông thường, các chữ có thể biểu thị hoặc là một số xác định
nào đó hoặc là một số bất kỳ trong một tập hợp số nào đó. Trong đại số mệnh đề
cũng cần phải dùng các chữ để hiển thị một mệnh đề xác định cũng như biểu thị
một mệnh đề bất kỳ. Trong trường hợp đầu ta dùng các chữ hoa đầu trong bảng
chữ cái La tinh A, B, C (có thể dùng với các chỉ số), trong trường hợp sau ta
dùng các chữ hoa cuối của bảng chữ cái La tinh X, Y, Z, (có thể dùng với các
chỉ số). Mỗi chữ dùng để biểu thị một mệnh đề bất kỳ (biến đổi) sẽ gọi là một
“biến mệnh đề”. Chú ý rằng biến mệnh đề không phải là một mệnh đề, và nếu
nói rằng giá trị của một biến mệnh đề X bằng 1 hoặc bằng 0 (X lấy giá trị đúng
hoặc sai) thì là nói về một mệnh đề cụ thể A nào đó đã thế vào X.
Ví dô: X là số chẵn (không là mệnh đề)
10 là số chẵn (là một mệnh đề)
Trong đại số mệnh đề, các liên kết đóng vai trò nh các phép toán, gọi là các
phép toán logic, hay các phép toán trên mệnh đề.
* Phép toán phủ định: Ta xét mệnh đề A. Phủ định của A là một mệnh đề,
ký hiệu là A (và đọc là “không A”), nó đúng khi A sai và sai khi A đúng.
Phép toán này được xác định bằng một bảng, gọi là bảng chân lý.
A A Phép toán phủ định tương ứng với liên kết logic “không”.
0 1
1 0
* Phép toán hội: Hội của các mệnh đề A và B là một mệnh đề, ký hiệu là
A Λ B (đọc là “A và B”) mà các giá trị của nó được xác định bằng bảng sau đây:

A B
A Λ B Mệnh đề A ΛB đúng khi và chỉ khi cả hai mệnh đề A
và B là đúng. Trong tất cả các trường hợp khác nó là
sai. Phép hội thực hiện vai trò của từ nối “và”.
0 0 0
1 0 0
0 1 0 * Phép toán tuyển: Tuyển của các mệnh đề A và B
là một mệnh đề, ký hiệu là A V B (đọc là “A hoặc
1 1 1
B”, mà giá trị của nó được xác định bằng bảng.
Mệnh đề A V B sai khi và chỉ khi cả hai mệnh đề A và B đều sai. Phép
tuyển thực hiện vai trò của từ nối “hoặc”.
A B A V B * Phép toán kéo theo: Phép kéo theo của các mệnh
đề A và B là một mệnh đề, ký hiệu là A -> B (đọc là:
“A kéo theo B” mà các giá trị của nó được xác định
bằng bảng:
Mệnh đề A -> B chỉ sai khi A đúng mà B sai.
0 0 0
1 0 1
0 1 1
1 1 1
A B
A→ B
Nếu A và B liên hệ với nhau theo nghĩa này thì phép
kéo theo tương ứng với liên hệ logic “nếu , thì ”,
qua đó hình thành nên mệnh đề gọi là mệnh đề điều
kiện “nếu A thì B” (A gọi là tiền đề, còn B gọi là hệ
quả).
0 0 1
1 0 0

0 1 1
1 1 1
Phép kéo theo đóng vai trò rất quan trọng trong các suy luận (điều đó sẽ
được làm sáng tỏ dưới đây). Nhờ phép kéo theo mà hình thành được các định
nghĩa của các khái niệm khác nhau, các định lý và các uy luật khoa học.
Trong suy luận, từ mệnh đề kéo theo A -> B đúng và tiền đề A đúng, ta có
thể đưa ra kết luận là B đúng.
Theo định nghĩa của phép kéo theo, các mệnh đề: Nếu “2 là một số nguyên
tố” thì “trong tam giác cân các góc ở đáy bằng nhau”, hoặc là nếu “4 là một số
nguyên tố” thì “trong tam giác cân các góc ở đáy bằng nhau” là hoàn toàn đúng,
mặc dầu tiền đề và hệ quả trong các mệnh đề này không liên hệ gì với nhau về
mặt nội dung.
* Phép toán tương đương: Phép tương đương của các mệnh đề A và B là
một mệnh đề, ký hiệu là A ⇔ B (đọc là A tương đương với B) mà giá trị của nó
được xác định bằng bảng:
A B
A⇔ B Mệnh đề A ⇔ B lấy giá trị đúng chỉ trong trường
hợp cả hai mệnh đề A và B đều đúng hoặc đều sai.
0 0 1
1 0 0
Nếu A và B liên hệ với nhau theo nghĩa này thì
phép tương đương tương ứng với liên hệ logic “
khi và chỉ khi ”.
0 1 0
1 1 1
Khái niệm tương đương đóng vai trò quan trọng trong khoa học. Ta sẽ dùng
tới phép này khi nói tới các mệnh đề A và B sao cho từ A đúng suy ra B và từ B
đúng suy ra A đúng.
Ví dụ: Giả sử A và B là nh nhau: A là mệnh đề “số 3n là chẵn” còn B là “số
n là chẵn”. Phép tương đương của A và B trong trường hợp này có nghĩa là: “số

3n là chẵn khi và chỉ khi sè n là chẵn”.
Phép tương đương có nhiều cách phát biểu bằng lời khác nhau. Với ví dụ
đã nêu, các cách phát biểu đó là:
1. Từ n là số chẵn suy ra rằng 3n cũng là số chẵn và ngược lại.
2. Điều kiện n là số chẵn là cần và đủ để cho 3n là số chẵn.
3. Điều kiện 3n là số chẵn là cần và đủ để cho n là số chẵn.
4. Các điều kiện 3n là số chẵn và n là số chẵn là tương đương.
5. Sè 3n là chẵn khi và chỉ khi n là số chẵn.
Trong các phép toán logic trên người ta quy ước theo thứ tự ưu tiên là:  ;
Λ; V ; ⇒ ; ⇔ .
* Khái niệm về công thức: Giả sử cho các biến mệnh đề:
X
1
, , X
n
. (1)
Từ các biến mệnh đề này, mà ta gọi là các biến mệnh đề gốc, nhờ các phép
toán mệnh đề có thể lập được các biểu thức khác nhau, chẳng hạn:
(X
1
V X
2
) -> X
3
, [(X
1
V X
2
) -> X
3

)] Λ (X
1
V X
4
) v.v
Các biểu thức nhận được nh vậy gọi là công thức xây dựng trên các biến
mệnh đề gốc (các biến mệnh đề gốc cũng được gọi là công thức).
Nhờ các dấu ngoặc ta xác định được thứ tự thực hiện các phép toán khi lập
công thức.
Trong trường hợp tổng quát, ta viết công thức lập nên từ các biến mệnh đề
dưới dạng A (X
1
X
n
). Đặc biệt:
A(X
1
, X
2
, X
3
) = [(X
1
V X
2
-> X
3
) Λ (X
1
V X

3
) (2)
Giả sử M là tập hợp tất cả các công thức xây dựng được từ hệ thống (1).
Khi đó với bất kỳ hai công thức A (X
1
, X
n
), B (X
1
X
n
) ∈ M, các công
thức (A), (A) V (B), (A) Λ (B), (A) -> (B), (A) ≡ (B) cũng thuộc M. Các công
thức A và B gọi là bộ phận hay công thức con của các công thức. Cả điều ngược
lại cũng đúng. Với mỗi công thức C ∈ M thì C hoặc là một trong những biến
mệnh đề gốc, hoặc là các công thức A, B ∈ M sao cho C trùng với một trong
các công thức sau:
(A), (A) V (B), (A) Λ (B), (A) -> (B), (A) ≡ (B)
Nói một cách khác, tập hợp M là đóng kín đối với tất cả các phép toán
mệnh đề, hay nói rằng, đối với các phép toán này, M là một đại số - đó là đại số
các công thức.
Ta hãy định nghĩa một đặc trưng bằng số đối với các công thức.
Ta gọi hạng r (A) của công thức Alà số tất cả các phép toán mệnh đề mà
qua đó lập nên công thức A từ hệ thống gốc của các biến mệnh đề, trong đó ta
đặt r (X) = 0 khi X là một biến mệnh đề.
Chẳng hạn với công thức:
A = (X V Y) -> (X -> Y)
Ta có: r (A) = 4.
Để giảm bớt số lượng các dấu ngoặc khi viết các công thức ta đưa quy tắc
coi phép toán hội được thực hiện trước phép toán tuyển và cả hai phép toán này

lại thực hiện trước các phép toán kéo theo và tương đương. Do đó công thức 2
có thể viết nh sau: A = (X
1
V X
2
-> X
3
) Λ (X
1
V X
3
). Còn trong công thức :
B = (X
1
-> X
3
) Λ (X
1
-> X
2
) thì không thể bỏ đi một cặp dấu ngoặc nào.
Các giá trị logic của công thức A (X
1
, X
n
) được xác định từ các giá trị
logic của các biến mệnh đề (1). Vì rằng các giá trị logic của X
i
là các phần tử
của tập hợp B = {0; 1 } nên công thức A có thể xem nh một hàm số, hay một

ánh xạ của tập hợp B
n
vào N. Nó gọi là hàm mệnh đề. Các giá trị của hàm này
cho bằng bảng giá trị logic. Ta hãy lập bảng giá trị logic cho công thức.
B = (X
1
-> X
2
) Λ X
3
.
X
1
X
2
X
3
X
1
->X
2
B (X
1
->X
2
) Λ X
3
0 0 0 1 0
0 0 1 1 1
0 1 0 1 0

0 1 1 1 1
1 0 0 0 0
1 0 1 0 0
1 1 0 1 0
1 1 1 1 1
Tám hàng của ba cột thứ nhất chứa tất cả các hệ thống có thể có được của
các giá trị của các biến mệnh đề gốc X
1
, X
2
, X
3
trong công thức B. Mỗi hệ thống
này (000, 001, 111) là một số ba hàng trong hệ đếm cơ số hai và ở đây ta đã
đưa ra được tất cả các số ba hàng của hệ này gồm đúng 2
3
số. Bảng giá trị logic
cho một công thức gồm n biến mệnh đề gốc có 2
n
hàng, vì rằng mỗi một hệ
thống giá trị của các biến mệnh đề gốc lập thành một số nhị phân n hàng, mà tất
cả có 2
n
sè n hàng trong hệ nhị phân.
Với một công thức cho trước tùy ý, sau khi thay đổi mỗi biến mệnh đề có
mặt trong công thức bằng một mệnh đề cụ thể, giá trị logic của công thức có thể
bằng 1 hoặc bằng 0 phụ thuộc vào giá trị của các biến mệnh đề. Tuy nhiên, có
những công thức mà giá trị logic của nó không phụ thuộc vào giá trị logic của
các biến mệnh đề, chẳng hạn công thức p
->

(q
->
p) luôn nhận giá trị 1 với mọi sự
thay thế các biến mệnh đề có mặt trong công thức đó bằng các giá trị cụ thể, gọi
là công thức hằng đúng. Ngược lại những công thức chỉ nhận giá trị bằng 0 gọi
là công thức hằng sai.
Một khái niệm quan trọng của logic mệnh đề là khái niệm công thức
tương đương. Giả sử A và B là hai công thức. Nếu ta thay đổi mỗi biến mệnh
đề có trong hai công thức đó bằng cùng một giá trị và nếu với mọi cách thay thế,
giá trị của A và B đều giống nhau thì ta nói rằng hai công thức này tương đương
với nhau và ta viết A ≡ B.
b) Các định lý cơ bản của đại số mệnh đề
Định lý về các công thức tương đương .
Ta hãy xét các hệ thức tương đương biểu thị các tính chất của các phép
toán mệnh đề. Ngay từ định nghĩa của các phép toán phủ định, hội và tuyển ta
suy ra các hệ thức tương đương sau đây:
Ta quy ước, nếu A ⇔ B là hằng đúng thì ta có thể viết A ≡ B.
1.  ( X ) ≡ X
2. X Λ Y ≡ Y Λ X
3. X Λ (Y Λ Z) ≡ (X Λ Y) Λ Z
4. X V Y ≡ Y V X
5. X V (Y V Z) ≡ ( X V Y) V Z
Hệ thức tương đương 1 gọi là quy luật phủ định kép. Các hệ thức tương
đương từ 2 đến 5 biểu thị quy luật giao hoán và kết hợp của các phép toán hội và
tuyển. Hai phép toán này còn liên hệ với nhau bởi quy luật phân phối.
6. X V (Y Λ Z) ≡ (X V Y) Λ (X V Z)
7. X Λ (Y V Z) ≡ (X Λ Y) V (X Λ Z)
Có thể lập được dễ dàng các hệ thức tương đương 6 và 7 bằng cách xét
bảng giá trị logic của các công thức cơ sở nằm ở vế phải và vế trái của các hệ
thức tương đương này.

Cũng bằng cách nh vậy có thể nghiệm lại rằng cũng có các hệ thức tương
đương sau đây thiết lập mối liên hệ giữa các phép toán hội và tuyển.
8.  X V  Y =  ( X Λ Y)
9.  X Λ  Y =  (X V Y)
Các hệ thức tương đương 8 và 9 gọi là quy luật Đờ Moocgan.
Ta hãy ký hiệu các công thức hằng đúng là Đ và các công thức hằng sai là S.
Ta có hệ thức tương đương:
10. X Λ Đ ≡ X
11. X Λ S ≡ S
12. X V Đ ≡ Đ
13. X V S ≡ X
14. X Λ X ≡ X
15. X V X ≡ X
Các tính chất của phép toán hội và tuyển biểu thị bằng các hệ thức tương
đương 14 và 15 gọi là tích lũy đẳng (từ gốc latinh idem là “cùng một”, potents là
“độ mạnh”).
16. (X -> Y) ≡  X V Y
Từ các hệ thức tương đương 1, 4, 16 ta suy ra:
 Y →  X ≡  ( Y) V  X ≡ Y V  X ≡  X V Y
Vì thế theo tính chất tương đương ta được:
17. (X -> Y) ≡ ( Y ->  X)
Hệ thức tương đương này gọi là tính phản vị trí.
Cũng có hệ thức tương đương sau đây liên hệ giữa phép kéo theo và phép
toán tương đương.
18. (X ≡ Y) ≡ (X -> Y) Λ (Y -> X)
Từ các hệ thức tương đương 16 và 18 ta được:
19. (X ≡ Y) ≡ ( X V Y) Λ (X V  Y)
Suy ra rằng, tất cả các hệ thức tương đương từ 1-19 vẫn đúng khi thay mỗi
biến mệnh đề tham gia trong đó bằng một công thức bất kỳ/
1.2.2. Hệ toán mệnh đề.

* Trước hết ta hiểu khái niệm hệ toán (hệ hình thức). Ta nói rằng, ta có một
hệ toán, nếu xác định được 4 yếu tố sau:
- Một tập hợp đếm được các ký hiệu.
- Mét quy tắc thành lập các công thức từ các ký hiệu nói trên.
- Một tập hợp các công thức gọi là các tiên đề.
- Một tập hợp hữu hạn các quy tắc gọi là các quy tắc dẫn xuất. Mỗi quy tắc
dẫn xuất là một quan hệ nào đó giữa các công thức.
* Dẫn xuất và công thức dẫn được: Một dẫn xuất trong hệ toán là một hữu
hạn các công thức sao cho mỗi công thức này hoặc là tiên đề, hoặc dẫn từ một
công thức đứng trước nó theo quy tắc dẫn xuất.
Một công thức gọi là dẫn được trong hệ toán nếu tồn tại một dẫn xuất trong
hệ toán sao cho công thức cuối cùng của dẫn xuất trùng với công thức ban đầu.
* Dẫn được từ tập hợp công thức: ///// ∑ là một tập hợp công thức nào đó
trong hệ toán. Công thức ϕ dẫn được từ tập công thức ∑, nếu tồn tại một dãy
hữu hạn các công thức ϕ
1
; ϕ
2
ϕ
n
sao cho ϕ
n
≡ ϕ. Mỗi công thức ϕ
i
( i = 1 - n)
hoặc là tiền đề hoặc thuộc ∑, hoặc dẫn từ một số công thức đứng trước nó theo
quy tắc dẫn xuất. Dãy nói trên gọi là dãy dẫn xuất từ ∑.
Trên cơ sở các khái niệm trên, sau đây chúng ta nghiên cứu về hệ toán
mệnh đề.
1.2.2.1. Khái niệm hệ toán mệnh đề:

Trong phần này ta nghiên cứu hệ hình thức thể hiện nội dung của đại số
mệnh đề.
Hệ toán mệnh đề được xác định theo 4 yếu tố sau:
Yếu tè 1: Tập ký hiệu: A; B ; C; X ; Y; Z V; 1;  →; ⇔ ; ( )
Yếu tè 2: Định nghĩa công thức
a. Mỗi ký hiệu: A; B; C; X ; Y; Z là một công thức gọi là mệnh đề sơ
cấp.
b. Nếu A, B là công thức thì: A Λ B; A V B; A →B; A ⇔ B;  A còng là
những công thức.
c. Chỉ những biểu thức ở a, b mới gọi là công thức. Ở đây ta cũng áp dụng
các quy tắc bỏ dấu ngoặc hoặc viết gọn.
Yếu tè 3: Hệ tiên đề: Các tiên đề được chia làm 4 nhóm :
Giả sử A; B; C là các công thức bất kỳ.
Nhóm I: 1. A → (B → A)
2. (A → (B → C) → [(A → B) → (A → C)]
Nhóm II: 1. A Λ B → A
2. A Λ B → B
3. (A → B) → [(A → C) → (A → (B Λ C)]
Nhóm III: 1. A → (A V B)
2. B → (A V B)
3. (A → C) → [(B → C) → [(A V B) → C)]
Nhóm IV: 1. (A → B) → (B → A)
2. A →  ( A)
3.  ( A) → A.
Yếu tè 4: Quy tắc dẫn xuất.
Quy tắc thế: A là công thức đúng trong hệ toán mệnh đề.
Ta thay A bằng B bất kỳ, công thức vẫn đúng.
Quy tắc kết luận: A và A →B là công thức đúng hay hệ toán mệnh đề thì B
cũng là công thức đúng. Có nghĩa là B dẫn từ các công thức A và A → B (ta gọi
quy tắc này là MP).

Hệ toán mệnh đề làm cho quá trình suy luận trừu tượng hơn nhưng cũng
chính xác hơn.
1.2.2.2. Các tính chất của hệ toán mệnh đề.
- Tính phi mâu thuẫn: Từ các tiên đề của hệ toán mệnh đề không thể suy ra
2 công thức A, B đối lập nhau theo đúng quy tắc dẫn xuất.
- Tính đầy đủ → theo nghĩa rộng: Mọi công thức hằng đúng trong đại số
mệnh đề đều có thể suy được từ hệ tiên đề của hệ toán mệnh đề theo quy tắc dẫn
xuất.
→ theo nghĩa hẹp: Giả sử A là một công thức hằng đúng
trong đại số mệnh đề thì hệ mới sẽ không còn tính phi mâu thuẫn (tức là hệ mới
sẽ dẫn đến mâu thuẫn).
- Tính độc lập: Mỗi tiên đề của hệ toán mệnh đề đều không chỉ suy ra được
từ các tiên đề còn lại theo đúng quy tắc dẫn xuất.
- Tính giải được: Với một công thức bất kỳ đều tồn tại một phương pháp để
xác định công thức đó có thể suy ra được hay không từ các tiên đề của hệ toán
mệnh đề theo đúng quy tắc dẫn xuất.
Tức là: Có phương pháp hiệu lực để xác định công thức đã cho là thực hiện
được hay không từ các tiên đề.
1.3. Logic vị từ:
Nếu logic mệnh đề chỉ giúp ta rót ra những kết luận từ các phán đoán đã có
mà không xét nội dung (logic) của bản thân các phán đoán đó, thì logic vị từ
được coi là sự phát triển của logic mệnh đề, theo nghĩa những mệnh đề sơ cấp
được xét như những đại lượng nhận một trong hai giá trị đúng, sai từ đó áp dụng
mọi phép toán cũng như công thức của logic mệnh đề, có thể khảo sát tới. Hai
khái niệm “vị từ” và “lượng từ” đóng vai trò mở rộng chính trong logic này
được xây dựng chi tiết để biểu diễn đa số các mệnh đề và suy luận.
1.3.1. Đại số vị từ (trình bày logic vị từ theo nội dung).
* Các khái niệm cơ bản.
A. Vị từ: (Hàm logic) xem xét lại một số cách hiểu về định nghĩa “mệnh
đề” đã được tiếp cận trong logic mệnh đề theo quan điểm chúng hoặc đúng hoặc

sai.
Ở đây, khi mỗi mệnh đề được gắn với một đối tượng nhất định để miêu tả
thì nó mới nhận giá trị logic.
Ví dô: “x là chất lỏng”
(*)
, khi thay x bằng nước ta thu được mệnh đề đúng,
trái lại x bằng đồng chẳng hạn đó là một mệnh đề sai.
Chó ý: “đối tượng” có thể gồm hai hay nhiều thành phần (ngôi) nh các
mệnh đề “x là bạn của y”; “x, y, z cùng là các thành phố lớn”
Thông thường mỗi mệnh đề chỉ nhằm mục đích thể hiện tính chất của một
số đối tượng nhất định nào đó ở (*) cũng dễ nhận thấy rằng ta nên gán cho x là
một chất hóa học nào đó thay vì là một tên riêng của người hay gì khác. Với mỗi
mệnh đề, tập các đối tượng như vậy được gọi là “trường”. Trường có thể là cặp
các đối tượng nh cặp hai người ở ví dụ thứ hai, hoặc bô ba địa danh trong ví dụ
thứ ba
Như vậy, ta ký hiệu một mệnh đề chỉ tính chất P nào đó trên trường M là
P(x), tức là x có tính chất P, với x là phần tử thuộc M. Nếu mệnh đề Q nói về
cặp hai phần tử của M viết Q(x,y)
Ví dô: + P(x); “x là số nguyên tố (xác định trên tập số nguyên tố). (M)
Khi thay x = 17 → mệnh đề đúng
x = 16 → mệnh đề sai.
+ Q (x, y); “x bé hơn y, xác định trên tập số thực (M)
Khi thay x = 6 ; y = 7 → mệnh đề đúng
x = 6; y = 5 → mệnh đề sai.
Các mệnh đề P(x); Q(x,y) gọi là các “vị từ” xác định trên trường M; ký
hiệu hình thức x, y được gọi là biến đối tượng; các phần tử đã rõ, xác định của
M được gọi là “hằng đối tượng” thường biểu thị bởi a, b, c các chữ in thường
ở đầu bảng chữ cái; khi gán một hằng đối tượng sẽ xác định giá trị logic của
mình. Các vị từ trên cùng một trường M chỉ xuất hiện một cách hình thức thì
được gọi là biến vị từ. Ngoài ra, biến vị từ nh khái niệm biến mệnh đề đã định

nghĩa ở logic mệnh đề. Đối với các mệnh đề ta chỉ khảo sát phương diện đúng,
sai (giá trị của mệnh đề) nên mỗi vị từ n biến xác định trên trường M có thể xem
là một ánh xạ; M
n
→ { 0; 1 }. Như đã nói ở trên, các phép toán của logic mệnh
đề sẽ vẫn được áp dụng trong logic vị từ.
a. Phép phủ định.
Cho P(x) là “x vĩ đại”
Q(x,y) là “x giỏi hơn y”
Lúc đó  P(x) = “x không vĩ đại”
 Q(x,y) = “x không giỏi hơn y”
Tương tự đối với
b. Phép tuyển V
c. Phép hội Λ
d. Phép kéo theo ->
B. Lượng từ: Là hai khái niệm mới trên các vị từ mà chưa xuất hiện trong
logic mệnh đề; phán đoán về toàn thể và tồn tại.
1. Lượng từ toàn thể (lượng từ khái quát).
Cho M là một trường, P là vị từ xác định trên M, ta viết ∀x P(x) là một
mệnh đề và đọc “với mọi x, x có tính chất P”. Nếu nh mệnh đề P(x) nói chung
chưa xác định giá trị logic trên M thì mệnh đề ∀x P(x) đã hoàn toàn xác định giá
trị logic, không phụ thuộc vào x mà chỉ phụ thuộc vào toàn bộ trường M. ∀x
P(x) đúng khi mỗi phần tử thuộc M đều có tính chất P và sai khi có tồn tại phần
tử thuộc M không có tính chất P.
2. Lượng từ tồn tại.
Từ sự hoàn toàn tương tự trong định nghĩa, ta sẽ chỉ ra mối tương quan chặt
chẽ giữa hai lượng từ này ở các quy luật của logic vị từ:
Với Q là vị từ xác định trên M, ta viết ∃xQ(x) và đọc “tồn tại x thỏa mãn
tính chất Q” để thu được mệnh đề xác định giá trị logic chỉ phụ thuộc vào toàn
bộ trường M, đúng khi có hằng đối tượng a của M để Q(a) đúng và sai khi

không tồn tại a như vậy.
Trong các công thức: ∀x A(x) và ∃xA(x) các lượng từ ∀x và ∃x liên quan
tới biến x hay là biến x bị ràng buộc bởi lượng từ tương ứng.
Biến không bị ràng buộc bởi lượng từ nào gọi là biến tự do.
Ví dô : ∀x
1
(Q(x
1
,x
3
) V ∃x
2
P(x
1
,x
2
,x
3
))
x
1
, x
2
là biến ràng buộc; x
3
là biến tự do.
1.3.2. Các quy tắc cơ bản
Đây là trọng tâm của logic vị từ, nhằm thể hiện những suy luận trong hệ
logic này, từ đó sẽ rót ra những vận dụng phong phú và thiết thực. Cuối cùng
một số kỹ thuật và thao tác cơ bản trên các vị từ sẽ đưa lại hình ảnh trực quan về

bản chất, giúp ta tiếp cận “hệ logic vị từ” trừu tượng ở phần sau dễ dàng hơn.
Như đã nhấn mạnh, logic vị từ là một sự mở rộng của logic mệnh đề, điều
đó thể hiện qua định lý sau đây:
* Mọi công thức hằng đúng trong logic mệnh đề đều là công thức hằng
đúng trong logic vị từ.
Định lý cho ta ngay các công thức hằng đúng hữu Ých.
Ví dô: (A Λ (A -> B)) ->B
Trong logic vị từ có dạng:
(A(x) Λ (A(x) -> B(x))) -> B(x)
Giả sử:
A(x) = x là sinh viên Đại học Bách Khoa Hà Nội”
B(x) = x rất thông minh.
Rõ ràng A(x) -> B(x) bởi vậy khi A(x) đúng, nh (x: Nam là sinh viên Đại
học Bách Khoa) ta thu được B(x): Nam rất thông minh.
Ngoài ra những công thức với các lượng từ là đặc thù của logic vị từ:
∀xP(x) -> ∃xP(x)
∀x (F(x) -> G(x)) -> (∀x F(x) -> ∀x G(x))
∀x (F(x) -> G(x)) -> (∃x F(x) -> ∃x G(x))
Chó ý rằng, nếu Arixtốt đã từng đặt nền móng cho logic với những vị từ chỉ
có một biến đối tượng (những ví dụ đã nêu ở trên) thì logic vị từ sử dụng cả
những vị từ có nhiều biến đối tượng thường diễn đạt mối quan hệ giữa các biến
đó:
∃x(∀y F(x,y) ->∀y (∃x F(x,y))
* Các công thức tương đương
Khi gặp những công thức tương đối phức tạp, để nhận ra tính đúng đắn, ý
nghĩa của nó ta sẽ biến đổi công thức đó về những dạng đơn giản nhất có thể sau
đó mới sử dụng các suy luận, quy luật hay công thức hằng đúng
Xuất phát từ nhận xét đơn giản nhất, khi ta nói “mọi người sinh ra đều có
quyền bình đẳng” thì cũng như “không có ai sinh ra không có quyền bình đẳng”.
Với x là biến đối tượng chỉ người, P(x) tương đương với  (∃x  P(x)), khẳng định

này còn đúng với các vị từ và trường đối tượng khác. Hơn nữa, hoàn toàn tương
tự:
∃xQ(x) tương đương với  (∀x Q(x))
Để đi đến định lý tổng quát về dạng của các công thức, ta đề cập vài công
thức tương đương thường gặp khác nh:
1.  (A V B) ≡  A Λ  B
2.  (A Λ B) ≡  A V  B
3. A → B ≡  A V B
4.  (A) ≡ A
5.  (∀xi; A) ≡ ∃xi A
Trong đó, việc chứng minh các công thức tương đương trên nh trong đại số
mệnh đề. (A, B là các vị từ logic).
Ví dụ: (Công thức 5)
 ∀x P(x) ≡ ∃ x  P(x)
Từ đó suy ra:
 ∃x P(x) ≡ ∀x  P(x)
∀x ∀y P(x, y) ≡ ∀y ∀x P(x; y)
Mọi sự tương đương trong logic mệnh đề đều được sử dụng trong logic vị
từ, đặc biệt:
(A->B) tương đương với  A V B
1. (∃(x)) (A(x) -> ∀y B(y)) tương đương với ∃x ( A  x) V ∀y B(y)
2. ∀x F(x) → B(y) →∀z (Hz)  (∀xF(x) V ( B(y) V∀z H(z)
Các ví dụ minh họa được nêu ra tương đối dễ dàng, chẳng hạn với 1.
“Có một câu chuyện mà nó xảy ra thì mọi người đều ngạc nhiên” tương
đương với “Có một câu chuyện mà hoặc nó không xảy ra hoặc mọi người đều sẽ
ngạc nhiên”.
Công thức 2 đã đưa về dạng cuối cùng có tính chất:
+ Không chứa dấu ->
+ Dấu phủ định chỉ trực tiếp liên quan đến các biến vị từ hoặc biến mệnh đề.
+ Các dấu lượng từ (∀ và ∃) đứng trước (ngoài) mọi dấu liên kết khác.

Những công thức nh vậy được gọi là công thức chuẩn tắc.
1.3.3. Hệ toán vị từ (Trình bày logic vị từ dưới dạng hệ tiên đề).
Nh vậy, ta đã khảo sát logic vị từ theo quan điểm lý thuyết nội dung, hệ
toán vị từ nhằm trình bày logic vị từ theo phương pháp tiên đề. Nói chung, công
việc này cũng giống như từ logic mệnh đề với hệ toán mệnh đề, bởi vậy ta chỉ
nêu một số thay đổi cần thiết và các tính chất khác biệt.
Hệ toán vị từ cũng gồm 4 yếu tố:
1. Tập ký hiệu: A, B, C Biến mệnh đề
E, G, H, P, Q, R Biến vị từ
x, y, g, Biến đối tượng
a, b, c, Biến hằng đối tượng
, V, Λ, ->, ⇔: Các phép toán logic
∀, ∃
( , )
2. Định nghĩa công thức (nh ở đại số vị từ)
3. Hệ tiên đề: Có 5 nhóm tiên đề. Các nhóm tiên đề I, II, III, IV nh ở hệ
logic mệnh đề ngoài ra còn nhóm V nh sau:
V1. ∀xF(x) -> F(y)
V2. F(y) -> ∃xF (x)
4. Quy tắc dẫn xuất:
Cùng với quy tắc kết luận (MP) tương ứng với quy tắc thể ở hệ logic mệnh
đề là quy tắc thế các biến mệnh đề và cả biến vị từ bằng các công thức cùng với
một số ràng buộc điều kiện.