Đề học sinh giỏi toán 12-số 1

1. Giải hệ phương trình sau với ẩn x, y, z:


Với điều kiện nào của a, b để x, y, z là các số dương khác nhau?





2. Cho a, b, c là các cạ
nh của mộ
t tam giác và A là diện tích c
ủa nó.

Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:


D
ấu đẳng th
ức xả
y ra khi nào?

3. Giải phương trình cos
n
x - sin
n
x = 1, trong đó n là một số tự nhiên.





4. P là một điểm bên trong tam giác ABC. PA cắt BC tại D, PB cắt AC tại E, và PC cắt AB
t
ạ
i F. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng ít nh
ấ
t m
ộ
t trong các t
ỉ
s
ố
: không v
ượ

t quá 2, và ít
nhất có một tỉ số không nhỏ hơn 2.





5. Dựng tam giác ABC biết độ dài đoạn AC = b, AB = c và góc nhọn , trong đó M
là trung
điể
m củ
a BC. Chứng minh r
ằng tam giác này dự
ng đượ
c nếu và ch
ỉ nế
u:



Khi nào thì xảy ra dấu bằng?





6. Cho ba điểm không thẳng hàng A, B, C và một mặt phẳng p không song song với mặt
ph
ẳng ABC, sao cho các
đ

i
ểm A, B, C n
ằ
m cùng phía
đối v
ớ
i m
ặt ph
ẳ
ng p. L
ấy ba
đ
iể
m tu
ỳ

ý A', B', C' trong p. Gọi A'', B'', C'' lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AA
'
, BB
'
, CC
'

và gọ
i O là tr
ọ
ng tâm tam giác A
''
B
''

C
''
. Tìm quỹ tích các điểm O khi A
'
, B
'
, C
'
thay đổi.