Đề học sinh giỏi toán 12-số 2

1. Với giá trị thực nào của p thì phương trình sau có nghiệm thực:

= x

Tìm các nghiệm
đó.





2. Cho điểm A và đoạn thẳng BC, xác định quỹ tích tất cả các điểm P trong không gian sao
cho góc = 90
o
v
ớ
i X n
ằ
m trên BC.





3. Cho
đ
a giác n c

ạ
nh có t
ấ
t c
ả
các góc b
ằ
ng nhau và
độ
dài các c
ạ
nh tho
ả
mãn: a
1
a
2

a
n
. Chứ
ng minh rằng tấ
t cả các cạ
nh cũng b
ằng nhau.



4. Find all solutions x
1

, , x
5
to the five equations x
i
+ x
i+2
= y x
i+1
for i = 1, , 5, where
subscripts are reduced by 5 if necessary.



4. Tìm t
ấ
t c
ả
các nghi
ệ
m x
1
, , x
5
t
ừ
h
ệ
n
ă
m ph

ươ
ng trình:

x
5
+ x
2
= yx
1

x
1
+ x
3
= yx
2

x
2
+ x
4
= yx
3

x
3
+ x
5
= yx
4

x
4
+ x
1
= yx
5

Ở đây y là tham số.





5. Chứ
ng minh rằ
ng:

=




6. Có n
ăm sinh viên A, B, C, D, E
đượ
c x
ếp h
ạ
ng t

ừ 1
đế
n 5 trong m
ột cu
ộ
c thi v
ới không ai
xếp cùng thứ hạng như nhau. Người ta dự đoán rằng kết quả đó có thể theo thứ tự là A, B, C,
D, E. Như
ng không có sinh viên nào
đạt
đượ
c k
ết qu
ả
theo nh
ư d
ự

đoán trên và không có hai
sinh viên liên tiếp trong danh sách dự đoán có kết quả liên tiếp. Ví dụ, kết quả cho C và D
không thể tương ứng là 1,2 hoặc 2,3 hoặc 3,4 hoặc 4,5. Một dự đoán khác là có thể theo thứ
tự là của D, A, E, C, B. Chính xác là chỉ có hai sinh viên đạt được kết quả như dự đoán và có
hai cặp không liên tiếp trong dự đoán đạt được kết quả liên tiếp. Xác định kết quả đạt được
của 5 sinh viên trên.