Đề học sinh giỏi toán 12-số 3

1. Tìm t
ấ
t c
ả
x trong
đ
o
ạ
n [0, ] tho
ả
mãn:






2. Cho h
ệ phương trình:



Trong đó các hệ số a
ị
j
(i,j = ) thoả mãn:

(a) a
ii

là các số dương.

(b) a
ị
j
là các s
ố
âm (i j).

(c) T
ổ
ng các h
ệ
s
ố
trong m
ỗ
i ph
ươ
ng trình là d
ươ
ng.

Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng x
1
= x

2
= x
3
= 0 là nghi
ệ
m duy nh
ấ
t c
ủ
a h
ệ
ph
ươ
ng trình trên.



3. Tứ diện ABCD được chia thành hai phần bởi một mặt phẳng song song với AB và CD.
Khoảng cách từ mặt phẳng đó đến AB gấp k lần đến CD. Tính tỉ lệ giữa thể tích của hai
phần được chia đó.



4. Tìm t
ấ
t c
ả
các b
ộ
b

ố
n s
ố
th
ự
c sao cho t
ổ
ng c
ủ
a b
ấ
t kì m
ộ
t s
ố
nào
đ
ó và tích c
ủ
a ba s
ố
còn
lại là bằng 2.



5. Cho tam giác OAB có góc O nhọn. M là một điểm tuỳ ý trên AB. Gọi P, Q lần lượt là
chân đường vuông góc hạ từ M xuống OA và OB.

(a) Tìm quỹ tích tất cả các điểm H là trực tâm của tam giác OPQ khi M thay đổi trên AB.

(b) Quỹ tích đó sẽ thay đổi như thế nào nếu M là một điểm tuỳ ý trong tam giác OAB?



6. Cho n đ
iểm trong m
ặt phẳ
ng (n>2). Chứng minh r
ằng: có nhi
ều nhấ
t n cặp
đi
ểm là có
khoảng cách lớn nhất (giữa các khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ).