luận văn thac sĩ đại học sư phạm hà nội Hình thành và rèn luyện ngôn ngữ toán học trong dạy học môn toán lớp 1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

ĐINH THỊ THẢO
HÌNH THÀNH VÀ RÈN LUYỆN
NGÔN NGỮ TOÁN HỌC TRONG DẠY HỌC
MÔN TOÁN LÍP 1
Chuyên ngành: Giáo dục tiểu học
Mã số: 60.14.01
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC
CÁN BỘ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. LÊ VĂN HỒNG
HÀ NỘI, 2006
1
Lời cảm ơn
Trước hết, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy giáo TS. Lê Văn
Hồng, người đã tận tình giúp đỡ, chỉ bảo, động viên tôi trong suốt quá trình
thực hiện luận văn, qua đó tôi đã tích luỹ thêm nhiều hiểu biết về phương
pháp và kinh nghiệm nghiên cứu khoa học để có thể hoàn thành luận văn tốt
nghiệp này.
Tôi xin chân thành cảm ơn sự quan tâm, tạo điều kiện và giúp đỡ của
quý Thầy, Cô khoa Giáo dục Tiểu học trường Đại học sư pham Hà Nội,
Trung tâm Công nghệ Giáo dục đối với tôi trong thời gian học tập và nghiên
cứu.
Tôi xin chân thành cảm ơn trường tiểu học dân lập Đoàn Thị Điểm,
quận Cầu Giấy, thành phố Hà Nội, trường tiểu học Thanh Bình, trường tiểu
học Lý Tự Trọng thị xã Ninh Bình, tỉnh Ninh Bình đã giúp đỡ tôi trong quá
trình khảo sát, điều tra sư phạm và thu thập những số liệu cần thiết phục vụ
cho luận văn và tiến hành thực nghiệm sư phạm.
Tôi xin chân thành cảm ơn các Thầy, cô giáo, các nhà khoa học, các
bạn đồng nghiệp đã tận tình giúp đỡ, động viên tôi trong suốt quá trình học

tập và hoàn thành luận văn.
Kí tên
Đinh Thị Thảo
2
BẢNG CHỮ VIẾT TẮT
Viết tắt
SGK
SGV
NNTH
NNTN
GV
HS
Viết đầy đủ
Sách giáo khoa
Sách giáo viên
Ngôn ngữ toán học
Ngôn ngữ tự nhiên
Giáo viên
Học sinh
3
MỤC LỤC
Trang
Mở đầu
I. Lý do chọn đề tài 1
II. Mục đích nghiên cứu 2
III. Nhiệm vụ nghiên cứu 2
IV. Giả thuyết khoa học 3
V. Đóng góp mới của đề tài 3
VI. Phương pháp nghiên cứu 3
VII. Cấu trúc của luận văn 3

Chương I: Cơ sở lý luận và thực tiễn
4
1.1 Một số vấn đề về ngôn ngữ toán học 4
1.1.1 Khái niệm về ngôn ngữ toán học 4
1.1.2 Một số đặc điểm của ngôn ngữ toán học 13
1.1.3 Vai trò của ngôn ngữ toán học đối với nhận thức toán học 17
1.1.4 Ngôn ngữ toán học trong dạy học môn toán ở trường phổ thông 19
1.2 Cơ sở toán học của môn toán líp 1 21
1.2.1 Hệ thống số 21
1.2.2 Hình học 29
1.2.3 Đại lượng 31
1.3 Tình hình dạy và học ngôn ngữ toán học ở môn toán tiểu học 34
1.3.1 Một số vấn đề về ngôn ngữ toán học trong sách giáo khoa và sách
giáo viên toỏn lớp 1
34
1.3.2 Một số vấn đề về học tập ngôn ngữ toán học của học sinh líp 1 39
Chương II: Hình thành và rèn luyện ngôn ngữ toán học
trong dạy học môn toán líp 1
47
2.1 Nguyên tắc hình thành và rèn luyện ngôn ngữ toán học trong dạy học
môn toán líp 1
47
2.1.1 Nguyên tắc 1: Hoạt động toán học, đặc biệt là hoạt động với đồ
vật, là cơ sở để hình thành ngôn ngữ toán học cho học sinh líp 1
47
2.1.2 Nguyên tắc 2: Hình thành và rèn luyện ngôn ngữ toán học cho học
sinh líp 1 nhằm góp phần nâng cao chất lượng học tập môn toán
54
2.1.3 Nguyên tắc 3: Hình thành và rèn luyện ngôn ngữ toán học phải thực
hiện thường xuyên và gắn liền với việc rèn luyện ngôn ngữ nói chung

61
2.2 Một số biện pháp sư phạm nhằm hình thành và rèn luyện ngôn ngữ
toán học trong dạy học môn toán líp 1
66
2.2.1 Biện pháp 1: Giáo viên sử dụng ngôn ngữ (kể cả ngôn ngữ toán 66
4
học) chính xác và đúng lúc
2.2.2 Biện pháp 2: Mọi học sinh phải được thực hành ngôn ngữ ở các
hình thức khác nhau và trong hoàn cảnh đa dạng
76
2.2.3 Biện pháp 3: Giáo viên bổ sung câu hỏi, bài tập chỉ dẫn sư phạm có
tính chất ngôn ngữ trong giê học toán
82
2.2.4 Biện pháp 4: Cần tạo ra các môi trường hoạt động ngôn ngữ đa
dạng (thầy – trũ, trũ – trũ, trũ – chính mình)
91
Chương III: Thực nghiệm sư phạm
98
3.1 Mục đích thực nghiệm 98
3.2 Nội dung thực nghiệm 98
3.2.1 Phạm vi thực nghiệm 98
3.2.2 Nguyên tắc, biện pháp trong các tiết dạy thực nghiệm 100
3.2.3 Các hình thức thể hiện nguyên tắc, biện pháp trong thực nghiệm 105
3.3 Tổ chức thực nghiệm 106
3.3.1. Đối tượng thực nghiệm 106
3.3.2. Thời gian thực nghiệm 107
3.3.3 Chuẩn bị thực nghiệm 107
3.3.4 Tiến hành thực nghiệm 107
3.4 Kết quả thực nghiệm 111
3.4.1 Định tính 111

3.4.2 Định lượng 113
Kết luận và kiến nghị
118
Tài liệu tham khảo
119
Phụ lục
MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài
1. Quan hệ nội dung toán học và ngôn ngữ toán học
Giải quyết đúng đắn mối quan hệ giữa nội dung tư tưởng toán học và
hình thức ngôn ngữ toán học là một cơ sở phương pháp luận của giáo dục
toán học[19]. Bởi vậy, trong dạy học môn toán ở trường phổ thông ta cần
phải chú ý thích đáng đến việc hình thành và rèn luyện NNTH cho học sinh.
2. Thực tế dạy học môn toán nói chung và dạy học NNTH nói riêng ở tiểu học
Trên thực tế, trong dạy học môn toán thì NNTH có thể chưa được chú
ý đầy đủ, nhiều khi giáo viên còn phụ thuộc vào nhận thức chủ quan của
5
mình nên việc hình thành và rèn luyện cho học sinh sử dông NNTH chưa
thực sự đạt hiệu quả.
3. Vấn đề nghiên cứu dạy học ngôn ngữ toán học ở môn toán phổ thông.
Vấn đề hình thành và rèn luyện NNTH qua môn toán cho học sinh đặc
biệt là ở bậc tiểu học đã được rất nhiều các tác giả quan tâm từ lâu. Trên thế
giới một số nước như ở Vương Quốc Anh, ở Ôtxtrâylia đã xây dựng mạch
phát triển NNTH và đề ra yêu cầu về sử dông NNTH đối với mỗi trình độ
khác nhau. Ở Việt Nam, các tác giả nh Vò Quốc Chung, Đỗ Đình Hoan, Đỗ
Trung Hiệu, Hà Sĩ Hồ cũng dành sự chú ý đến NNTH trong dạy học toán ở
tiểu học. Tuy nhiên, các tác giả thường đề cập đến những vấn đề chung và
khái quát của NNTH. Mét số tài liệu mới đây như: Hỏi đáp về dạy học toán
líp 1[8]; “Dạy học ngôn ngữ toán học trong môn toán bậc tiểu học” [15];
“Dạy học phát huy tính tích cực của học sinh trong môn Toán và tiếng Việt

ở tiểu học” [43], đã chú ý cụ thể hơn về NNTH trong dạy học môn toán ở
bậc tiểu học, song chưa làm sáng tỏ nó trong dạy học nội dung cụ thể môn
toán ở Tiểu học đặc biệt là ở líp 1.
4. Vị trí ở líp 1
Với môn toán ở Tiểu học và đặc biệt là ở líp 1,việc hình thành và rèn
luyện NNTH cho học sinh lại càng cần thiết. Trước hết là vì:
- Chương trình môn toán líp 1 tuy gồm những kiến thức ở mức độ ban
đầu về số học, đo lường, hình học nhưng đó là những kiến thức rất cơ bản,
rất cần thiết để học tập môn toán ở các líp trên. Do mối quan hệ giữa nội
dung tư tưởng toán học và NNTH nên để học sinh học tốt kiến thức toán học
ngay từ líp 1, chóng ta phải giúp cho các em có được sự hiểu biết cần thiết
về NNTH.
- Mặt khác, với học sinh tiểu học, đặc biệt là ở líp 1, việc hình thành
trong nhà trường những kiến thức, kỹ năng ban đầu về tiếng Việt cũng đang
được tiến hành. Do vậy, việc hình thành và rèn luyện NNTH không chỉ có ý
6
nghĩa trong dạy học môn toán mà còn hỗ trợ thêm việc hình thành năng lực
ngôn ngữ chung của học sinh.
Vì những lý do nêu trên mà chúng tôi lùa chọn đề tài là: “Hình thành và
rèn luyện ngôn ngữ toán học trong dạy học môn toán líp 1”.
II. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu việc dạy và học NNTH thông qua môn toán líp 1để đề xuất
được nguyên tắc và một số biện pháp sư phạm nhằm hình thành và rèn luyện
NNTH cho học sinh líp 1góp phần hoàn thiện việc dạy học môn toán.
III. Nhiệm vụ nghiên cứu
1. Tìm hiểu quan niệm và đặc điểm của NNTH trong môn toán
Tiểu học.
2. Tìm hiểu vai trò và chức năng của NNTH trong dạy học toán ở Tiểu
học đặc biệt ở môn toán líp 1.
3. Tìm hiểu cơ sở toán học của nội dung chương trình môn toán líp 1.

4. Tìm hiểu tình hình dạy và học NNTH trong môn toán líp 1.
5. Đề xuất một số nguyên tắc, một số biện pháp sư phạm nhằm hình
thành và rèn luyện NNTH cho học sinh ở môn toán líp 1.
6. Thiết kế minh hoạ một số bài dạy thể hiện nội dung hình thành và rèn
luyện NNTH theo nguyên tắc và biện pháp sư phạm nêu trên.
7. Thực nghiệm sư phạm.
7
IV. Giả thuyết khoa học.
Có thể sáng tỏ được con đường hình thành và rèn luyện NNTH của
học sinh trong quá trình học tập môn toán líp 1 góp phần nâng cao hiệu quả
dạy học môn toán.
V. Đóng góp mới của đề tài
1. Sáng tá thêm cơ sở lý luận về NNTH trong dạy học môn toán tiểu học.
2. Xây dùng một số nguyên tắc, biện pháp nhằm góp phần hoàn thiện việc
hình thành và rèn luyện NNTH trong dạy học môn toán líp 1.
3. Xây dùng 13 giáo án dạy thực nghiệm nhằm làm rõ các nguyên tắc và
biện pháp đã đề xuất.
VI. Phương pháp nghiên cứu.
1. Phương pháp nghiên cứu lí luận: nghiên cứu một số sách báo, tạp
chí có liên quan đến NNTH và dạy học NNTH ở trường phổ thông. Nghiên
cứu sách giáo khoa, sách giáo viên, một số tư liệu khác về dạy học toán 1.
2. Phương pháp quan sát, điều tra: Thông qua dự giê, trao đổi với giáo
viên, phân tích kết quả học tập của học sinh nhằm tìm hiểu việc sử dông
NNTH của học sinh líp 1.
3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Xây dựng một số thiết kế bài
dạy nhằm cụ thể hoá các nguyên tắc và biện pháp sư phạm để hình thành và
rèn luyện NNTH cho học sinh qua dạy học môn toán líp 1.
VII. Cấu trúc của luận văn.
Mở đầu
+ Chương I: Cơ sở lý luận và thực tiễn

+ Chương II: Hình thành và rèn luyện ngôn ngữ toán học trong dạy
học môn toán líp 1.
+ Chương III: Thực nghiệm sư phạm
Kết luận.

8
Chương I: Cơ sở lý luận và thực tiễn
1.1 Mét số vấn đề về ngôn ngữ toán học
1.1.1 Khái niệm ngôn ngữ toán học
1.1.1.1 Toán học
Toán học là khoa học có lịch sử phát triển lâu đời và ngày càng khẳng
định có vị trí quan trọng trong khoa học. Quan niệm về toán học cũng phát
triển theo cùng lịch sử phát triển khoa học này. Hiện tại có thể chọn một số
quan niệm về khoa học này theo tinh thần hiện đại nh sau:
+ Toán học: khoa học về những quan hệ số lượng và những hình dạng
không gian của thế giới hiện thực. Để có thể nghiên cứu các quan hệ và hình
dạng đó dưới dạng thuần tuý, cần tách chúng ra khỏi cái vỏ cụ thể chứa đựng
chúng. Vì vậy, đặc điểm của toán học là hết sức trừu tượng. Song, tính trừu
tượng này không có nghĩa là toán học tách ra khỏi hiện thực vật chất. Trong
mối quan hệ khăng khít với các yêu cầu của khoa học và kỹ thuật trữ lượng
các quan hệ số lượng và các hình dạng không gian không ngừng được bổ
sung. Vì vậy, định nghĩa trên đây chứa đựng một nội dung không cố định mà
ngày càng thêm phong phó. [32]
+ Toán học: khoa học về những cấu trúc toán học (những tập hợp mà
giữa phần tử của chúng đã xác định được những quan hệ nào đó. [45]
Hai quan niệm trên đều được chấp nhận, song với luận văn này, chúng tôi
lùa chọn quan điểm thứ nhất.
1.1.1.2. Ngôn ngữ
Ngôn ngữ có lịch sử phát triển lâu đời. Người ta đã đáng giá rất cao
vai trò của ngôn ngữ và không tiếc lời để nói rằng ngôn ngữ là sản phẩm đặc

trưng cho loài người. Tuy nhiên, xác định rõ ràng quan niệm về ngôn ngữ là
việc không dễ dàng và thậm chí có thể nói rằng, đến nay, việc này vẫn còn
phải tiếp tục. Dưới đây là một số quan niệm về ngôn ngữ:
9
+ Ngôn ngữ: hệ thống ký hiệu thực hiện các chức năng nhận thức và
giao tiếp (hay tiếp xúc trong quá trình hoạt động của con người). Ngôn ngữ
có thể mang tính chất tự nhiên còng nh mang tính chất nhân tạo. Ngôn ngữ
tự nhiên được hiểu nh là ngôn ngữ của cuộc sống hàng ngày, là hình thức
biểu hiện tư tưởng và là phương tiện tiếp xúc giữa người với người. Còn
ngôn ngữ nhân tạo là ngôn ngữ do con người tạo ra phục vụ những nhu cầu
hẹp nào đó (ngôn ngữ ký hiệu toán, các hệ thống báo tín hiệu khác…) [45].
+ Ngôn ngữ: là một hệ thống dấu hiệu nhiều tầng được người bản ngữ
chấp nhận, ghi nhớ và sử dụng trong khi giao tiếp với cộng đồng [4].
+ Ngôn ngữ: theo cách hiểu của ngôn ngữ học là sự tập hợp các đơn vị
và các quy tắc (phát âm, dùng từ, đặt câu) đã được xã hội quy ước và quy
định. [31].
+ Trong lý thuyết ngôn ngữ học, người ta coi ngôn ngữ là một hệ
thống ký hiệu viết, ký hiệu âm thanh) có tính chất quy ước. Để diễn đạt nội
dung toán học cũng phải dùng ngôn ngữ. [23]
Tuy còn nhiều nét khác biệt, song các quan điểm trên có nét chung về
ngôn ngữ đó là hệ thống dấu hiệu, kí hiệu được thừa nhận, phản ánh nội
dung hoạt động của con người và được dùng để giao tiếp và tư duy.
1.1.1.3. Ngôn ngữ toán học.
a, Một số quan niệm về ngôn ngữ toán học.
Trong việc dạy và học toán ở tiểu học, cần chú ý đến sự tồn tại của ba
thứ ngôn ngữ có liên quan đến nhận thức của HS. Đó là thứ ngôn ngữ với
các thuật ngữ (nh phép tính, số tự nhiên…) được sử dông nh ngôn ngữ công
cụ, ngôn ngữ ký hiệu và ngôn ngữ tự nhiên mà học sinh dùng hàng ngày
trong cuộc sống. Ba thứ ngôn ngữ này khác nhau nhưng không tách biệt rõ
ràng gây ra những khó khăn cho học sinh khi học toán. Trong ba thứ ngôn

ngữ đó, toán học sử dụng hai thứ trên, đó là ngôn ngữ đặc trưng của nó, gọi
là NNTH [23].
10
Ngôn ngữ toán học có một số đặc điểm: nó sử dụng ký hiệu là chủ yếu
(gọi tắt là ngôn ngữ ký hiệu). NNTH chủ yếu là ngôn ngữ viết. [23]
Khi học môn toán học - đó là ngôn ngữ của những ký hiệu, những
dạng tượng trưng, những sơ đồ, bản vẽ, biểu đồ, đồ thị… Và còng nh mọi
ngôn ngữ khác, nó cần được nghiên cứu đặc biệt để mà hiểu nó. [5]
Nhà Vật lý học Niels Borh coi NNTH là “sự cải tiến ngôn ngữ chung, sù
trang bị cho nó những công cụ thuận tiện để phản ánh những mối phụ thuộc,
mà nếu biểu đạt bằng ngôn ngữ thông thường thì sẽ không chính xác hoặc phức
tạp”. [7]
Như vậy, đã có nhiều những quan niệm khác nhau về NNTH, trong đó,
theo quan niệm về NNTH của Hà Sĩ Hồ, ta có thể hiểu NNTH đó là một hệ
thống các thuật ngữ (ngôn ngữ công cụ), các kí hiệu toán học chủ yếu ở dạng
ngôn ngữ viết, các ký hiệu này có tính chất quy ước dùng để diễn đạt nội dung
toán học, đảm bảo tính chính xác, logic và ngắn gọn.
Tuy nhiên, theo quan điểm của LS Levenbeg, thì cách hiểu về NNTH
lại theo nghĩa rộng hơn đó là NNTH còn bao gồm các ký hiệu viết nh hình
vẽ, mô hình, bản vẽ, sơ đồ… Tuy các ký hiệu này không đảm bảo tính hệ
thống của ngôn ngữ nhưng trong toán học lại sử dụng chúng rất nhiều.
Từ các quan điểm trên, chúng tôi quan niệm về NNTH như sau: Ngôn
ngữ toán học(theo nghĩa hẹp) là ngôn ngữ xây dựng trên hệ thống các kí
hiệu toán học, ngôn ngữ toán học(theo nghĩa rộng), không chỉ bao gồm
NNTH theo nghĩa hẹp mà còn gồm các thuật ngữ toán học, các hình vẽ, mô
hình, biểu đồ, đồ thị…có tính chất quy ước nhằm diễn đạt nội dung toán học
một cách chính xác, lôgic và ngắn gọn.
Dưới đây, chúng tôi sẽ mô tả kỹ hơn về NNTH theo quan niệm hẹp
hay rộng về chóng:
b, Ngôn ngữ ký hiệu toán học.

* Kí hiệu toán học : Trong các văn bản toán học thường sử dụng hệ thống
các ký hiệu toán học, hệ thống này thường bao gồm các loại sau:
11
 Kí hiệu các chữ số, chữ cái và các ký tù alphabetic
 Kí hiệu cho các phép toán, quan hệ
 Kí hiệu chỉ dấu ngắt câu, phân loại
Cụ thể:
+) Ký hiệu là các chữ số, chữ cái và ký tù alphabetic.
Các chữ số tự nhiên 0, 1, 2…., các chữ cái a, b, c,….x, y, z. Được sử
dụng trong toán học rất phổ biến và thống nhất. Với các chữ số từ 0 đến 9 sẽ
cho phép ta ghi được bất kỳ một số tự nhiên nào. Những ký hiệu này phải
dùng nguyên vẹn, không được thay đổi. Với các chữ cái a, b, c… x, y, z…
thường dùng để viết các biểu thức chứa các công thức (ví dụ biểu thức có
chứa một chữ số: a x 3; biểu thức có chứa hai chữ số: a x b; công thức tính
quãng đường s = v x t).
Trong ngôn ngữ toán học người ta sử dụng cả những chữ cái Latinh (A,
B, C,… S, P, V…) để ký hiệu các điểm, đoạn thẳng, đường thẳng góc hay
diện tích, chu vi, thể tích của một hình.
Ví dô: - Đoạn thẳng AB
- Điểm A
- Tam giác ABC
- Diện tích của một hình: S
- Thể tích của một hình: V
Những ký hiệu này chúng ta nên dùng vì đã quen với rất nhiều người
tuy nhiên ta có thể thay bằng ký hiệu khác vì loại ký hiệu này không có tính
chất quy ước.
+) Ký hiệu cho các phép toán và quan hệ
Đó là các ký hiệu phép toán “+, -, *, :”; các quan hệ “>, <, =”. Các ký
hiệu này có nhiệm vụ thay thế sự cồng kềnh của NNTN khi diễn đạt một văn
bản toán. Các ký hiệu này kết hợp với các số, các chữ cái theo đúng quy tắc

nhất định sẽ tạo ra một mệnh đề, một công thức toán học.
Ví dô
12
Phép cộng kí hiệu bởi: “+”
Quan hệ bé hơn trên các số kí hiệu bởi dấu “<”
+) Ký hiệu là các dấu ngắt câu, dấu ngoặc nh: “| ”; “( ) ”; “[]”; “{}”…
dùng để diễn đạt một mệnh đề toán học theo một cấu trúc cho trước.
Ví dô:
Biểu thức {x
∈
R/ x ≤ 2}không chỉ lập bởi các chữ số, chữ cái, dấu
quan hệ mà còn dùng dấu ngắt câu. Biểu thức này có nội dung toán học đó là
biểu thị tập hợp các số thực không lớn hơn 2.
Biểu thức số 5 + [32 – 2 (8 +1)] được lập bởi các số, các phép toán và
các dấu ngắt câu. Biểu thức này có nội dung toán học là một dãy 4 phép tính:
- Phép thứ nhất: 8 + 1
- Phép thứ hai: 2 nhân với tổng của 8 + 1.
- Phép thứ ba: 32 trừ đi kết quả của 2 nhân với tổng của 8 + 1.
- Phép thứ tư: 5 cộng với kết quả của 32 trừ đi tích của 2 nhân với
tổng của 8 + 1.
Ngoài cách hiểu biểu thức 5 + [32 – 2 (8 + 1)] nh là dãy 4 phép tính,
ta có thể hiểu biểu thức này là một số, đó là số 19. Ý nghĩa này sẽ rất rõ khi
giải bài tập sau: Điền dấu >, <, = vào ô trống: 20 5 + [ 32 – 2 (8 + 1)].
Theo chúng tôi, ba loại kí hiệu trên tạo thành phần cơ bản cho xây
dựng NNTH theo quan niệm hẹp. Ngoài ra, trong văn bản toán học tiểu học
còn sử dụng kí hiệu hình vẽ, biểu tượng và mô hình.
* Kí hiệu là hình vẽ, biểu tượng, mô hình.
Loại kí hiệu này chủ yếu là các biểu tượng hình học, sơ đồ (sơ đồ
đoạn thẳng, sơ đồ Ven). Loại kí hiệu này thể hiện quan niệm rộng về NNTH.
Ví dô: :ký hiệu cho hình vuông.

Ο: ký hiệu cho đường tròn tâm O.
∆: ký hiệu cho hình tam giác.
- Ở Tiểu học, trong dạy học toán thường sử dụng ký hiệu ô trống rất
nhiều. Các vị trí ô trống mà trên đó cần điền một dấu quan hệ, dấu phép tính
13
hay một giá trị. Các ô trống đó thường ký hiệu là hay Ο hay (…). Điều
này thể hiện rất rõ trong sách Toán 1.
Ví dô: - Hãy điền số thích hợp vào ô trống.


- 8 < … 7 < … 7 < …. < 9
… > 8 … > 7 6 < …. < 8
- Đại diện cho việc sử dụng mô hình hoá ở môn toán tiểu học là việc sử
dụng sơ đồ đoạn thẳng để giải các bài toán (đặc biệt là các bài toán có văn)
hay sơ đồ Ven để lập các phép tính (chủ yếu ở líp 1)
Ví dô: - Bài toán (líp 4): Hiệu của hai số là 36. Tỉ số giữa 2 số là 5/7. Tìm 2
số đó.
Có thể tóm tắt bài toán bằng sơ đồ đoạn thẳng sau:
Số bé:
Sè lớn:
- Trong sách toán 1, để lập được phép tính cộng trong phạm vi 3, HS có thể
dùa vào sơ đồ Ven.
Từ các kí hiệu toán học, ta chó ý đến các quy tắc xây dựng (mặt cú
pháp) các từ, các câu… hay nói chung là biểu thức của NNTH và khả năng
thể hiện nội dung toán học (mặt ngữ nghĩa) của chóng.
* Quy tắc xây dựng biểu thức từ các ký hiệu toán học.
14
•
•
•

1
2
3
Sè
1
5
36
?
?
Để biểu đạt một nội dung toán học (đối tượng, tính chất, quan hệ…)
người ta phải sử dụng các ký hiệu toán học theo mét quy tắc nghiêm ngặt
nhất định (theo một cú pháp nhất định) tức là phải sắp đặt các ký hiệu toán
học để có thể biểu thị một nội dung toán học nào đó.
Ví dô:
- Mét dãy các ký hiệu “a, b, c, =, +” sắp xếp đúng cú pháp sẽ cho ý
nghĩa toán học xác định. Chẳng hạn, viết: a + b = c có thể biểu thị tổng của a
và b là c. Nếu viết: + ab = c hay ab + = c hay = c + ab thì không đúng cú pháp.
- Có các chữ số “ 16, 8, 3”, các kí hiệu phép toán “+, -” và dấu ngắt
câu: (); ta có thể viết được các biểu thức sau: 16 – (8 + 3) và (16 – 8) + 3.
Khác nhau bởi ta thay đổi kí hiệu là dấu ngoặc sang vị trí khác (sắp xếp theo
một trật tự khác) đều đúng cú pháp dù ý nghĩa của biểu thức đã thay đổi.
Viết là 16 – (8 + 3) biểu thị hai dãy phép tính, trước hết là phép cộng 8 + 3
sau đó là phép trừ 16 trừ đi tổng của 8 + 3; còn viết là (16 – 8) + 3 biểu thị
hai dãy phép tính, trước hết là phép trừ 16 cho 8 sau đó là phép cộng kết quả
của 16 – 8 với 3.
Theo tác giả Nguyễn Bá Kim: “Trong toán học, người ta phân biệt cái
ký hiệu và cái được kí hiệu, cái biểu diễn và cái được biểu diễn. Nếu xem
xét phương diện những cái kí hiệu, những cái biểu diễn, đi vào cấu trúc hình
thức và những quy tắc hình thức để xác định và biến đổi chúng, thì đó là
phương diện cú pháp. Phương diện cú pháp của Toán học là mặt xem xét cấu

trúc hình thức và sự biến đổi hình thức những biểu thức toán học, sự làm
việc theo những quy tắc xác định và nói riêng là sự làm việc theo thuật giải.
[29]
Cú pháp của NNTH xem xét và nghiên cứu cấu trúc và cấu tạo bên
trong của NNTH, đảm bảo chính xác, logic và tuân thủ theo mét quy tắc
nghiêm ngặt nhất định. Có thể nói cú pháp trong NNTH chính là sắp đặt các
ký hiệu toán học sao cho tạo thành một biểu thức toán học phép toán đúng,
15
chính xác và ngắn gọn. Qua đó cho phép biểu đạt được ý nghĩa của nội dung
toán học.
* Khả năng biểu thị nội dung toán học của ngôn ngữ ký hiệu toán học.
- Mỗi một từ, một ký hiệu trong NNTH đều có một ý nghĩa xác định.
Các ký hiệu toán học lại nối kết với nhau tạo thành một biểu thức, một mệnh
đề, một phép toán mang mét ý nghĩa một nội dung nhất định thể hiện mặt
ngữ nghĩa của biểu thức.
Ví dô:
Viết a + b = c biểu thị tổng của a và b là c. Còn viết c = a + b có thể
biểu thị nội dung c bằng tổng của a và b.
Trong môn toán tiểu học có thể gặp bài toán phát triển cách thể hiện
khía cạnh trên về NNTH nh sau: “Cho: 5 * 5 * 5 * 5 * 5. Hãy thay các dấu *
bằng các phép tính thích hợp để được kết quả cuối cùng là: a, 55; b, 100”.
Ta có thể có kết quả sau: a, 5 x 5 + 5 x 5 + 5 = 55
b, 5 x 5 x 5 – 5 x 5 = 100.
Theo tác giả Nguyễn Bá Kim: “… Nếu xem xét phương diện những
cái được ký hiệu, những cái được biểu diễn, tức là đi vào nội dung, nghĩa
của những cái ký hiệu, những cái biểu diễn thì đó là phương diện ngữ nghĩa.
Phương diện ngữ nghĩa của Toán học là mặt xem xét nội dung của những
mệnh đề toán học và nghĩa của những cách đặt vấn đề toán học”. [29]
Đối với NNTH, mặt ngữ nghĩa nghiên cứu mối quan hệ giữa các ký
hiệu với đối tượng (toán học). Nghĩa là các ký hiệu toán học giống nh các từ

nối kết nhau tạo thành “câu”, “câu” trong NNTH là một biểu thức, một mệnh
đề, một phán đoán…và các câu đó biểu thị nội dung toán học nhất định. Ví
dụ:
Ký hiệu Biểu đạt
16
A
AB
∆ ABC
x ∈ M
Điểm
Đoạn thẳng AB
Tam giác ABC
x là một phần tử của tập hợp M
c) Ngôn ngữ toán học trong môn toán ở trường phổ thông.
Mở rộng tiếp quan niệm về NNTH (từ các kí hiệu toán học, các kí
hiệu tượng trưng…) nh đã nêu trên, trong môn toán ở trường phổ thông, ta
còn phải kể đến một thành phần rất đáng kể về NNTH là các thuật ngữ toán
học.
Thuật ngữ: Từ ngữ biểu thị một khái niệm xác định thuộc hệ thống
những khái niệm của một ngành khoa học nhất định. [41]
Thuật ngữ: từ ngữ biểu đạt các khái niệm chuyên môn khoa học kỹ
thuật.[35]
Thuật ngữ khoa học là một bộ phận từ vựng đặc biệt của ngôn ngữ.
Thuật ngữ bao gồm những từ, cụm từ cố định là tên gọi chính xác của những
khái niệm và những đối tượng thuộc các lĩnh vực chuyên môn của con
người. Như vậy, thuật ngữ toán học dùng biểu thị một cách ngắn gọn các
khái niệm toán học bằng ngôn ngữ riêng biệt. Thuật ngữ toán học là hình
thức ngôn ngữ biểu thị các khái niệm toán học. Dạng biểu hiện cụ thể của
thuật ngữ toán học là những từ, cụm từ “Là hình thức của tư duy, khái niệm
liên hệ mật thiết với từ…Từ là cơ sở vật chất của khái niệm…”. Trong các

lĩnh vực khoa học và kỹ thuật khác nhau người ta phải sử dụng các hệ thống
thuật ngữ riêng biệt để biểu thị chính xác khái niệm. [13]
Còng nh các thuật ngữ khoa học khác, mỗi thuật ngữ toán học thường
có các đặc điểm sau:
- Có tính xác định về nghĩa.
- Có tính hệ thống: mỗi lĩnh vực khoa học đều có một hệ thống các
khái niệm chặt chẽ được thể hiện ra bằng hệ thống các thuật ngữ của mình.
17
- Có xu hướng một nghĩa: nếu nh ở những từ thông thường, hiện
tượng nhiều nghĩa rất tự nhiên và phổ biến, thì đối với thuật ngữ, do tính xác
định về nghĩa, còng nh do nó nằm trong hệ thống thuật ngữ nhất định, nên
mỗi thuật ngữ thường chỉ có một nghĩa. Tất nhiên, một thuật ngữ cụ thể nào
đó có thể tham gia vào nhiều hệ thống thuật ngữ khác nhau, nhưng trong
cùng một hệ thống, mỗi thuật ngữ thường chỉ có một nghĩa mà thôi.
- Không mang sắc thái tu từ biểu cảm.
- Có tính chất quốc tế cao. Tính quốc tế của một thuật ngữ toán học là
một đặc trưng quan trọng, phân biệt thuật ngữ toán học với những bộ phận
từ vựng khác, biểu thị những khái niệm toán học chung, dường như làm cho
các nhà toán học trên thế giới đều có ngôn ngữ chung: Ngôn ngữ toán học
[14]
Ví dụ: Các thuật ngữ toán học nh: phép cộng, phép trừ, phép đếm, số
hạng, tổng, số bị trừ, số trừ …
1.1.2. Một số đặc điểm của ngôn ngữ toán học (so với ngôn ngữ tự nhiên)
Để có cái nhìn bao quát hơn về NNTH, dưới đây chúng tôi trình bày
một số đặc điểm quan trọng về NNTH nhằm có sự phân biệt với ngôn ngữ
thường ngày, NNTN.
a, Ngôn ngữ toán học chủ yếu là các ký hiệu.
Nh vậy đã trình bày ở trên (mục 1.1.1.3, b). Ngôn ngữ toán học có các
chữ cái riêng của mình. Trước hết, đó là các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
dùng để ký hiệu cho các số. Nhờ các chữ số này mà ta có thể viết được tất cả

các số dù lớn đến đâu. Ngoài ra, để diễn đạt các công thức, biểu thức, mệnh
đề toán người ta thường sử dụng các chữ cái a, b, c,…, x, y, z, … thay thế
cho các số. Đại diện cho các phép toán là các ký hiệu “+, -, *, :”. Đại diện
cho các quan hệ là các ký hiệu “>, <, =”. Đại diện cho các líp số đó là N (ký
hiệu tập hợp các số tự nhiên); Z (tập hợp các số nguyên); Q (tập hợp các số
hữu tỉ), R (tập hợp số thực).
18
Trong toán học còn sử dụng các ký hiệu là dấu ngoặc đơn, ngoặc kép,
dấu móc vuông, móc nhọn ((); “ ”; []; {}); những biểu tượng ô trống: Ο, ;
góc vuông, góc nhọn (⊥, ∠), các dấu chấm, các ký tù alphabetic, các mô
hình, sơ đồ, bản vẽ…
Ngôn ngữ toán học chủ yếu là các ký hiệu do vậy khi biểu đạt một nội
dung toán học sẽ rõ ràng, cô đọng và chính xác hơn hẳn NNTN. Cụ thể:
+ Khi diễn đạt một nội dung toán học, NNTN thường dài dòng,
thường thể hiện tính không đơn trị nên khiến ta khó nắm bắt được tư tưởng
chính hoặc khó nắm bắt cùng một lúc nhiều tư tưởng chính. Cách diễn đạt
lời văn, lời văn không chỉ chứa những nghĩa cần thiết mà còn phụ thuộc vào
những yếu tố xúc cảm liên quan tới ý nên thường xảy ra tình trạng hiểu
không thống nhất, có khi hiểu theo 2 cách gây khó khăn cho suy luận chính
xác thậm chí gây ra suy luận sai.
Ví dô: Trong NNTN, có nhiều từ cùng âm nhưng nghĩa lại khác nhau: từ
“bàn” có thể hiểu là “cái bàn” hay “bàn bạc”; từ “cờ” có thể hiểu là “lá cờ ”
hay “môn thể thao cờ ”.
+ NNTN thiếu cô đọng, khó có thể diễn đạt tổng quát, khó tập trung
được những điểm giống nhau trong các đối tượng khác nhau. Trong quá
trình dạy toán, nếu ta sử dông NNTN để diễn đạt một bài toán, một phép
tính, một công thức sẽ khiến cho học sinh khó hình dung và khó nắm bắt
được đâu là trọng tâm cần nhớ, cần hiểu để giải một bài toán hoặc để khắc
sâu kiến thức.
Ví dô: - Phép tính “3 – 1 = 2”, khi diễn đạt bằng NNTN: “ba trừ một bằng

hai”; rõ ràng là rườm rà hơn so với được diễn đạt bằng NNTH.
- Mệnh đề toán học: “2 + 3 = 3 + 2” có thể diễn đạt bằng NNTN của
HS líp 1 là: “Khi đổi chỗ các số 2 và 3 trong phép cộng thì kết quả vẫn
không thay đổi”. Nếu ta chỉ phát biểu mệnh đề trên theo NNTN thì học sinh
sẽ khó nắm được nội dung hoặc các em còn mơ hồ khi chóng ta không cụ
thể hoá bằng ngôn ngữ ký hiệu.
19
b) Ngôn ngữ toán học chủ yếu được trình bày dưới dạng ngôn ngữ viết.
Thông thường, ngôn ngữ thể hiện ở hai hình thức chủ yếu đó là hình
thức chữ viết và hình thức âm thanh (lời nói). Nhưng trong toán học người ta
sử dụng hình thức chữ viết là chính vì dùng ngôn ngữ viết có thể diễn đạt
được hết ý nghĩa và nội dung của ký hiệu toán học. Tuy nhiên, NNTN còng
có vai trò và chức năng riêng trong dạy học toán đó là dùng NNTN để phát
biểu vấn đề hay để diễn giải một phát biểu bằng ngôn ngữ nói, hay ngôn ngữ
nói chỉ được dùng trong việc diễn đạt các suy luận khi cần thiết.
Chẳng hạn, câu “văn viết” 2 + 3 = 5 có thể phiên dịch bằng ngôn ngữ
nói theo nhiều cách: - Tổng của 2 và 3 bằng 5.
- 2 cộng với 3 bằng 5.
- Thêm 3 vào 2 ta được 5.
- 5 là tổng của 2 và 3.
Việc sử dụng ngôn ngữ toán trong dạy học toán bậc tiểu học cần lưu ý
rằng một khái niệm toán học có thể diễn đạt bằng nhiều cách [23]. Chẳng
hạn, khi ta nói “số bảy” thì có một biểu đạt bằng âm thanh khi ta đọc số đó,
về mặt chữ viết nó được biểu đạt bằng từ “bảy” và biểu đạt bằng kí hiệu là
“7”. Chính những điều này đã gây ra không Ýt khó khăn cho học sinh tiểu
học khi chuyển từ ngôn ngữ nói sang ngôn ngữ viết.
Ví dụ, khi nghe đọc số “Ba trăm tám mươi ba” nhiều em đã viết 300803
(vốn ký hiệu là 383).
Nh vậy, khi nói NNTH chủ yếu là ngôn ngữ ký hiệu, ngôn ngữ viết,
trong dạy học toán cần chú ý cho HS có thể diễn đạt một nội dung toán học

bằng 3 cách:
- Bằng âm thanh
- Bằng ngôn ngữ viết ký hiệu
- Bằng ngôn ngữ thông thường.
c) Ngôn ngữ toán học có tính chất đơn trị (tính chính xác toán học).
20
Sử dông NNTH sẽ đảm bảo được tính chính xác và độ tường minh
(mạch lạc, rõ ràng, không thể biểu đạt nhiều nghĩa trong từ…) rất phù hợp
với đặc trưng của toán học. Điều này thể hiện trong hình thái cấu trúc logic
của các công thức (biểu thức, mệnh đề…) toán học và các mối quan hệ
thông qua các ký tự, dấu ngoặc
Có rất nhiều từ của NNTH được lấy từ NNTN và được sử dông nh
những thuật ngữ riêng của toán học. Chẳng hạn nh từ “đường tròn”. NNTN
hiểu “đường tròn” là một nét vẽ tròn hay là một dạng đặc biệt của một loại
hình phẳng. Song trong toán học, thuật ngữ “đường tròn” được định nghĩa
một cách chính xác trên cơ sở các đặc trưng về lượng đó là “tập hợp các
điểm trong mặt phẳng cách đều một điểm khoảng xác định”.[24]
Trong một số trường NNTH được thay từ của NNTN để tránh sự nhầm
lẫn. Ví dụ: Từ “điểm giữa” của đoạn thẳng AB, trong toán học người ta phải
sử dụng thuật ngữ “trung điểm” hoặc điểm nằm giữa đoạn AB và cách đều A
và B hay có thể biểu thị thuật ngữ đó bằng ngôn ngữ ký hiệu:
AI = IB = ẵ AB và AI + IB = AB.
Ví dụ: thuật ngữ “nhiều hơn, Ýt hơn” có thể có nhiều nghĩa trong cuộc
sống nhưng trong toán học, và nói riêng trong môn toán, lại đòi hỏi nghĩa
xác định. Ở đầu líp 1, khi xem xét quan hệ về số lượng các từ này có nghĩa
so sánh số. Đến líp 4, khi xem xét các đại lượng, các từ này lại có ý nghĩa so
sánh đại lượng cùng loại. Chẳng hạn: lượng nước trong cốc Ýt hơn lượng
nước trong bình.
Nh vậy, NNTH là sự hoàn thiện của NNTN đem đến kết quả là nội
dung toán học được đảm bảo tính chính xác và hợp lôgic.

d) NNTH vừa có tính chất chặt chẽ vừa uyển chuyển.
NNTH vừa có tính chặt chẽ lại vừa uyển chuyển. Mỗi từ, mỗi ký hiệu
có một nghĩa xác định, khi được sắp xếp thành một nội dung toán học phải
tuân thủ theo một hệ thống quy tắc ngữ pháp nghiêm ngặt và chính xác (cả
về cú pháp và ngữ nghĩa) để có được một nội dung toán học vừa đúng, chính
21
xác lại vừa hợp lôgic. Tính chặt chẽ và sự uyển chuyển của NNTH tưởng
nh là mâu thuẫn với nhau, song chúng bổ sung cho nhau và đây là một điểm
vô cùng quan trọng của NNTH.
Tính chặt chẽ thể hiện ở chỗ NNTH là một hệ thống kí hiệu toán học,
trong hệ thống đó, mỗi kí hiệu diễn đạt một nghĩa xác định.
Tính uyển chuyển của NNTH thể hiện ở chỗ cùng một kí hiệu nhưng
trong mỗi tình huống khác nhau thì ý nghĩa của các kí hiệu đó khác nhau
hoặc ngược lại các kí hiệu khác nhau nhưng đều chỉ một đối tượng toán học
xác định.
Ví dô: Khi ta sử dụng các ký hiệu. 121; 11 x 11; (10 + 1)
2
hay 100 + 20 x 1
diễn đạt cùng một số thì ký hiệu đó lại hoàn toàn không có hiệu quả nh nhau.
Việc lùa chọn này vừa nói lên mặt uyển chuyển vừa nói lên mặt chính xác
của ngôn ngữ ký hiệu này[24].
Tính chặt chẽ và sự uyển chuyển nói lên rằng NNTH không chỉ giới
hạn ở mặt ngôn ngữ học mà bao hàm cả mặt lôgic, nó không chỉ được sử
dụng để truyền đạt một ý nghĩa mà còn để giảm nhẹ tư duy làm công cụ cho
tư duy sáng tạo.
Tính chặt chẽ và uyển chuyển của NNTH đòi hỏi phải dùng các ký
hiệu khác nhau để chỉ các đối tượng khác nhau, hoặc ghi rõ khi có thể xảy ra
cách hiểu khác nhau.
1.1.3. Vai trò của NNTH đối với nhận thức toán học.
a, Chức năng của ngôn ngữ toán học.

* Chức năng của ngôn ngữ nói chung: là phương tiện giao tiếp và là
công cụ để tư duy.
- “Ngôn ngữ là phương tiện giao tiếp quan trọng nhất của xã hội loài
người” (Lê Nin).
Sở dĩ ngôn ngữ là phương tiện giao tiếp quan trọng và ưu việt nhất vì
trên góc độ lịch sử và toàn diện mà xét, không một phương tiện giao tiếp nào
22
có thể sánh được với nó. Khi giao tiếp bằng ngôn ngữ sẽ có những thuận lợi
sau:
+ Cho dù ngôn ngữ bằng lời có bị hạn chế về không gian và thời gian,
cho dù ngoài ngôn ngữ ra, con người còn dùng nhiều phương tiện giao tiếp
khác nữa như cử chỉ, các loại ký hiệu… nhưng ở vị trí trên hết và trước hết
là ngôn ngữ vì ngôn ngữ có tính chặt chẽ, đa dạng, phức tạp. Điều này thoả
mãn những nhu cầu giao tiếp phong phó sinh động của con người.
+ Ngôn ngữ không có tính giai cấp, phổ biến tiện lợi, mọi thành viên
trong xã hội đều sử dụng bình đẳng. Vì không mang tính giai cấp nên ngôn
ngữ vừa có khả năng sử dụng những nét tinh tế, sâu sắc, kín đáo trong tâm tư
tình cảm con người mà không một phương tiện giao tiếp nào có thể làm
được. [14]
- Ngôn ngữ là công cụ của tư duy.
Ngôn ngữ là phương tiện ghi lại sản phẩm, kết quả của quá trình tư duy
con người.
Khi ta đọc nhẩm, nghĩ thầm hay những khi ta thường nói “bụng bảo dạ”
ta vẫn cần đến ngôn ngữ. Thứ ngôn ngữ dùng để suy nghĩ Êy là ngôn ngữ
bên trong, ngôn ngữ thầm dạng rút gọn của ngôn ngữ bên ngoài. Vì vậy, ở
góc độ này ngôn ngữ được hiểu là một phương tiện để tư duy.
Ngôn ngữ không chỉ tham gia quá trình hình thành tư duy mà có còn tạo
điều kiện cho tư duy phát triển.
Ngôn ngữ là chất liệu đặc biệt để biểu hiện tư duy. Người ta có thể nhận
biết ngôn ngữ bằng cảm giác (thính giác đối với ngôn ngữ nói, thị giác với

ngôn ngữ viết). Ngôn ngữ có tính vật chất là vậy. Nhờ có ngôn ngữ ta mới
tiếp nhận được với tư tưởng, tình cảm vốn là sản phẩm tinh thần của tư duy.
Với ý nghĩa này, người ta nói ngôn ngữ là vỏ vật chất của tư duy.[14]
* Chức năng của ngôn ngữ toán học:
Các ký hiệu toán học được xuất hiện do kết quả của quá trình hoạt
động thực tiễn. Tính chất tiến bộ của toán học khi sử dụng các ký hiệu là các
23
nhà toán học không những xuất phát từ dữ kiện thực tế để có được ký hiệu
đó (từ cái được biểu đạt đến cái được biểu đạt) mà còn từ các hình thức ký
hiệu đã cho để tìm ra các hệ thức thực tiễn tương đương với chúng (từ cái
biểu đạt đến cái được biểu đạt). Nhờ vậy, vai trò của ký hiệu có sự thay đổi
cơ bản: từ biện pháp ghi lại, diễn tả các đối tượng, hiện tượng đã biết, ký
hiệu trở thành biện pháp để tìm ra cái chưa biết. Đó là chức năng tác chiến
và cũng là chức năng phát kiến của ngôn ngữ toán học.[24]
Nhiều ngành khoa học cần đến sự hỗ trợ của NNTH, nói cách khác
NNTH thâm nhập vào các ngành khoa học, thúc đẩy sự tiến bộ của các
ngành khoa học. Tất cả các công thức mệnh đề, các phương trình phản
ứng… đều phải sử dụng đến ngôn ngữ ký hiệu toán học. Bởi vậy, lời nói đầu
cho cuốn “Mở đầu về toán học hiện đại” của Shi – khanovich –Matxcơva
1965 có viết: “Toán học không chỉ là tập hợp các sự kiện, trình bày dưới
dạng các định lý, mà trước hết đó là hệ thống các phương pháp trong các
lĩnh vực rất khác nhau của khoa học và hoạt động thực tiễn”.
b) Vai trò của NNTH đối với nhận thức toán học
Những phân tích về chức năng ngôn ngữ toán học nêu trên cho ta
thấy, NNTH có vai trò quan trọng và không thể thiếu trong quá trình nhận
thức toán học đặc biệt là đối với học sinh. NNTH làm nhiệm vụ chuyên chở
các thông tin của khái niệm đến người học một cách logic, chính xác, ngắn
gọn giúp người học nắm được tư tưởng chính của khái niệm toán học từ đó
sẽ dễ hiểu, ghi nhí nhanh và dễ dàng áp dụng để hình thành các khái niệm
toán học khác hoặc giải các bài toán liên quan.

Ví dô: Hình thành phép cộng “1 + 2 = 3”.
Sau một số bước để đi đến khái niệm phép cộng, phép cộng trên được
diễn đạt nh sau: - Bằng ngôn ngữ tự nhiên: “một cộng hai bằng ba”.
- Bằng ngôn ngữ toán học: “1 + 2 = 3”.
- Rõ ràng với hai cách diễn đạt trên thì cách diễn đạt thứ hai là ngắn
gọn và thuận lợi hơn rất nhiều. Từ ký hiệu “1 + 2 = 3” vừa mang ý nghĩa
24
trực quan, vừa thể hiện tính logic, từ đó có thể hình dung được các tính chất
khác của phép cộng.
Ngôn ngữ toán học giúp HS phát triển tư duy logic và ngôn ngữ chính
xác thông qua việc hình thành khái niệm toán học. NNTH có tác dụng phát
triển năng lực tư duy trừu tượng và trí tưởng tượng không gian của HS.
Thông qua quá trình nhận thức và sử dụng NNTH, học sinh có thể vẽ hình,
sử dụng hình vẽ, sơ đồ… để minh hoạ các khái niệm trừu tượng và để giải
các bài toán.
Hơn nữa, NNTH giúp HS tiếp cận nhanh hơn với ngôn ngữ của các
ngành khoa học khác như vật lý, hoá học, sinh học (các công thức tính toán
đường đi trong vật lý, các tỉ lệ về loại trong bài toán sinh học về di truyền …).
Các ngành khoa học khác cố gắng vươn tới “sự chính xác toán học” cố gắng
đạt tới sự chính xác cao hơn nhờ sử dụng công cụ toán học. Các Mác đã từng
tiên đoán “một khoa học thực sự phát triển nếu nó có thể sử dụng được
phương pháp của toán học”.
Lịch sử phát triển toán học và quá trình hình thành NNTH đặc biệt là
ngôn ngữ kí hiệu đã minh chứng những điều trên. Hơn nữa, toán học và
ngôn ngữ của nó có tác dụng quan trọng đối với sự phát triển khoa học.
1.1.4 Ngôn ngữ toán học trong dạy học môn toán ở trường phổ thông.
Sử dông NNTH cần có sù kết hợp đúng đắn của 2 phương pháp tiếp
cận ngữ nghĩa và cú pháp. Sự kết hợp phụ thuộc vào việc xem xét các vấn đề
dạy học toán và các giai đoạn dạy học toán. Đó là mét nhiệm vô quan trọng
của giáo dục toán học[19] liên quan đến việc kết hợp hai phương pháp tiếp

cận ngữ nghĩa và cú pháp của NNTH trong giảng dạy ở trường phổ thông.
Nhà giáo dục toán học A. A. Stôliar cho rằng: “Mặt ngữ nghĩa nói chung
phải trội hơn trong tất cả các giai đoạn của quá trình giảng dạy, mặt cú pháp
nên áp dụng chỉ ở chỗ mà ở đó cần phải nắm vững các angôrit xác
định”[46]. Sự kết hợp không đúng đắn của hai phương pháp tiếp cận ngữ
nghĩa và cú pháp biểu hiện rất rõ ràng trong phương pháp dạy học cổ truyền,
25