SKKN Hướng dẫn học sinh THCS tự học về phép chia trên tập số nguyên

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI:
“HƯỚNG DẪN HỌC SINH THCS TỰ HỌC VỀ PHÉP CHIA TRÊN
TẬP SỐ NGUYÊN”
A- MỞ ĐẦU
I- ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Theo phương pháp truyền thống, các bài tập ở nhà thường chỉ đơn thuần khuyến
khích học sinh ghi nhớ kiến thức. Làm thế nào để học sinh phát huy được năng lực sáng
tạo, khả năng nghiên cứu cũng như những đam mê của của mình về một lĩnh vực khoa
học nào đó? Thực tế có nhiều sách tham khảo viết cho học sinh những tài liệu đó viết
chung cho nhiều đối tượng học sinh. Các tài liệu thường viết dưới dạng chuyên đề với
cách viết là: đưa ra các ví dụ và lời giải sau đó là bài tập áp dụng mà không trình bày
được tài sao lại tư duy như thế ? Tại sao lại định hướng được lời giải như thế ? Lối viết
này đòi hỏi người học phải có một trình độ nhất định về nghiên cứu, đây là vấn đề khó
đối với học sinh trung học cơ sở. Để khắc phục những hạn chế trên tôi đã viết các chuyên
đề Toán theo hướng chuyên đề. Cùng với việc phân dạng bài tập là các ví dụ điển hình.
Với mỗi ví dụ điểm hình tôi đều trình bày luận điểm “tại sao lại tư duy như thế?” để dẫn
tới lời giải.
Trong những năm học trước tôi đã nghiên cứu và triển khai các đề tài về hướng
dẫn học sinh tự học một số chủ đề toán học. Tiếp tục hướng nghiên cứu này tôi đăng ký
nghiên cứu và viết về “Hướng dẫn học sinh tự học về phép chia trên tập số nguyên”. Đề
tài đã được triển khai tại trường THCS Phù Cừ và được Hội đồng khoa học trường đánh
giá cao trong năm học vừa qua.
2. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Tên đề tài: “Hướng dẫn học sinh tự học về phép chia trên tập số nguyên”
* Đề tài nghiên cứu về Phương pháp hướng dẫn học sinh tự học trong quá trình học tập
môn Toán.
* Nghiên cứu trong phạm vi hướng dẫn học sinh lớp 8,9 tự học chủ đề toán học “Phép
chia trên tập số nguyên”. Tập trung chủ yếu nghiên cứu về bài toán chia hết
và chia có dư của biểu thức một biến và một số ứng dụng của phép chia trên tập số
nguyên.

* Nghiên cứu trên cơ sở thực hiện là nội dung, chương trình, kế hoạch giáo dục ở trường
THCS, các định hướng và quan điểm về ĐMPPDH, phương pháp và kỹ thuật dạy học
tích cực, các thầy cô giáo và các em học sinh trường THCS Phù Cừ.
II- PHƯƠNG PHÁP TIẾN HÀNH
1- Cơ sở lý luận
Một số vấn đề cơ bản về dạy học tích cực.
1.1 Dạy học tích cực là gì?
Dạy học tích cực là một thuật ngữ rút gọn, được dùng ở nhiều nước để chỉ những
phương pháp giáo dục, dạy học theo hướng phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của
người học."Tích cực" trong phương pháp dạy học - tích cực được dùng với nghĩa là hoạt
động, chủ động, trái nghĩa với không hoạt động, thụ động chứ không dùng theo nghĩa trái với
tiêu cực.
Dạy tích cực hướng tới việc hoạt động hóa, tích cực hóa hoạt động nhận thức của
người học, nghĩa là tập trung vào phát huy tính tích cực của người học chứ không phải là
tập trung vào phát huy tính tích cực của người dạy.
Học tích cự chỉ xảy ra khi học sinh được trao cơ hội thực hiện các tương tác đề tài
chính trong một giai đoạn giáo dục, được động viên để hình thành tri thức hơn là việc
nhận tri thức từ việc giới thiệu của giáo viên. Trong một môi trường học tập tích cực,
giáo viên là người tạo điều kiện thuận lợi cho việc học chứ không phải là người “đọc
chính tả” cho học sinh chép!
1.2 Đặc trưng cơ bản của dạy- học tích cực.
a. Dạy học thông qua tổ chức các hoạt động của học sinh.
b. Dạy học chú trọng rèn luyện phương pháp tự học, tự đọc.
c. Dạy và học coi trọng hướng dẫn tìm tòi.
d. Tăng cường học tập cá thể phối hợp với học tập hợp tác
e. Kết hợp đánh giá của thầy và tự đánh giá của trò.
f. Dạy và học chú trọng đến sự quan tâm hứng thú của học sinh, nhu cầu và lợi ích
của xã hội.
(Dạy và học tích cực. Một số phương pháp và kĩ thuật dạy học- BGD$ĐT dự án Việt-Bỉ-
nhà xuất bản Sư phạm năm 2010)

Chúng ta đều biết cách học tích cực thì phong phú nhưng có chung một đặc trưng
là “Khám phá và Khai phá”, có thể hiểu: 4 cách học
1.Học bất kỳ lúc nào
2. Học bất kỳ nơi nào
3. Học bất kỳ người nào
4. Học bất kỳ nguồn nào
(Theo tài liệu tập huấn giáo viên dạy học, KTĐG theo chuẩn KTKN trong chương
trình giáo dục phổ thông- Vụ giáo dục trung học- Tháng 7/2010)
Trên cơ sở nghiên cứu dạy học tích cực qua lý luận về phương pháp và kĩ thuật dạy
học tích cực, đề tài tập trung giải pháp “làm thế nào đề thực hiện được Dạy học chú
trọng rèn luyện phương pháp tự học, tự đọc và Dạy - Học coi trọng hướng dẫn tìm tòi”.
2. Cơ sở thực tiễn
Bản thân tôi được giảng dạy tại trường THCS Phù Cừ- trường chất lượng cao của
huyện, hầu hết học sinh nhà trường có nhận thức khá trở lên về bộ môn toán. Đây là điều
kiện thuận lợi cho tôi triển khai nghiên cứu các đề tài về ĐMPPDH. Trong những năm
học gần đây tôi đã triển khai đề tài cấp trường, cấp huyện về vấn đề ĐMPPDH , phương
pháp và kỹ thuật dạy-học tích cực. Đối với bộ môn Toán tôi tập trung nghiên cứu và
triển khai các đề tài trong các tình huống điển hình đó là “Phương pháp dạy học trong
tình huống tổ chức hoạt động Dạy-Học định lý, tính chất ở môn Toán” được xếp loại B
cấp Tỉnh năm 2010, nghiên cứu về “Dạy học tích cực trong tình huống tổ chức hoạt động
Dạy-Học tiết ôn tập ở môn Toán” được xếp loại C cấp Tỉnh năm 2011, Tong các năm học
2011-2012 và 2012-2013 tôi đã nghiên cứu đề tài “Hướng dẫn học sinh tự học một số bất
đẳng thức quen thuộc” và “Hướng dẫn học sinh tự học bài toán cực trị hình học” đều
được xếp loại C cấp tỉnh. Năm học này, tôi tiếp tục hướng nghiên cứu về “hướng dẫn học
sinh tự học” một số chuyên đề khó trong toán số học cho đối tượng là học sinh khá, giỏi.
Các chuyên đề này giúp cho học sinh rất nhiều trong việc phát triển tư duy Toán, có điều
kiện để sáng tạo đồng thời giúp cho các em có điều kiện hoạt động độc lập và xây dựng
con đường học tập cho riêng mình.
Xác định được vai trò quan trọng của việc giáo dục học sinh tự học, bản thân
tôi luôn cố gắng tìm tòi “lời giải” của bài toán “Làm thế nào khuyến khích và giúp đỡ

học sinh của mình tự học?”. Một trong những “đáp án” của “bài toán” trên là viết những
tài liệu với “giọng văn” như những lời tâm sự hướng tới sự đồng cảm với học trò của
mình đó là “Tại sao Thầy lại nghĩ ra được cách giải ấy?” chứ không phải “Thầy giải bài
tập đó em có hiểu không?”. Tài liệu tôi viết dành tặng cho học sinh của mình tôi thường
chọn những vấn đề toán học gần gũi với các em, đặc biệt là phù hợp với đối tượng học
sinh. Trong phạm vi của kinh nghiệm dạy học này tôi chuyển tải đề tài “Hướng dẫn học
sinh tự học một số bài toán về chia trên tập số nguyên” một chủ đề kiến thức toán học
tương đối khó đối với học sinh và cũng là tiếp tục hướng nghiên cứu đề tài của năm học
trước. Tôi viết dành cho học sinh khá giỏi lớp 8 và lớp 9.
3. Các biện pháp cơ bản tiến hành nghiên cứa đề tài
3.1 Phương pháp nghiên cứu:
1/ Phương pháp nghiên cứ lý luận
Nghiên cứu một số tài liệu về khoa học phương pháp dạy học, đổi mới PPDH môn
toán, quản lý và chỉ đạo của người hiệu trưởng, các văn kiện của Đảng, nhiệm vụ năm
học, hướng dẫn thực hiện kế hoạch năm học của các cấp để xây dựng lý luận cho đề tài.
2/ Nhóm phương pháp thực tiễn
Giảng dạy trực tiếp, dự giờ, quan sát, hội thảo, đàm thoại, tổng kết kinh nghiệm để rút ra
bài học về việc tự học môn Toán THCS.
3/ Nhóm phương pháp hỗ trợ
Điều tra thống kê, lập bảng biểu so sánh dữ liệu đánh giá
3.2 Kế hoạch nghiên cứu
1/ Đăng ký nghiên cứu chuyên đề “Hướng dẫn học sinh tự học trong quá trình học tập
môn Toán” với trường THCS Phù Cừ từ đầu năm học 2010-2011.
2/ Thực hiện nhóm phương pháp thực tiễn tại trường THCS Phù Cừ trong các năm học từ
năm học 2010-2011 đến 2013-2014 bao gồm:
+ Điều tra thực tiễn qua học sinh trường THCS Phù Cừ
+ Tổ chức chuyên đề cấp Tổ đối với Tổ KHTN
+ Tổng kết, viết đề tài, thông qua Hội đồng khoa học trường THCS Phù Cừ
B- NỘI DUNG
I- MỤC TIÊU ĐỀ TÀI

- Nghiên cứu các giải pháp thực hiện mục tiêu “Dạy học chú trọng rèn luyện phương
pháp tự học, tự đọc và Dạy và học coi trọng hướng dẫn tìm tòi” đối với bộ môn Toán.
- Vận dụng vào trong các tình huống dạy- học điển hình khác theo hướng tích cực.
-Giúp cho học sinh phát triển tư duy Toán, phát huy tính sáng tạo đồng thời giúp cho các
em có điều kiện hoạt động độc lập và xây dựng con đường học tập cho riêng mình.
II- GIẢI PHÁP
Chương I- MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ TỰ HỌC.
1. Quan điểm về tự học
Chất lượng và hiệu quả giáo dục được nâng cao khi và chỉ khi tạo ra được năng lực
sáng tạo của người học, khi biến được quá trình giáo dục thành quá trình tự giáo dục.
Giáo dục phải coi trọng việc bồi dưỡng năng lực tự học, tự nghiên cứu, tạo điều kiện cho
người học phát triển tư duy sáng tạo, rèn luyện kỹ năng thực hành, tham gia nghiên cứu,
thực nghiệm, ứng dụng. Như vậy, phương pháp dạy và học cần thực hiện theo ba định
hướng:
- Bồi dưỡng năng lực tự học, tự nghiên cứu;
- Tạo điều kiện cho người học phát triển tư duy sáng tạo;
- Rèn luyện kỹ năng thực hành, tham gia nghiên cứu, ứng dụng.
- Chú trọng rèn luyện phương pháp tự học là một trong những đặc trưng cơ bản của
dạy-học tích cực. Một trong những yêu cầu của dạy và học tích cực là khuyến khích
người học tự lực khám phá những điều chưa biết trên cơ sở những điều đã biết và đã qua
trải nghiệm. GV nên đưa người học vào những tình huống có vấn đề để các em trực tiếp
quan sát, trao đổi, làm thí nghiệm. Từ đó giúp HS tìm ra những câu trả lời đúng, các đáp
án chính xác nhất. Các em còn được khuyến khích “khai phá” ra những cách giải quyết
cho riêng mình và động viên trình bày quan điểm theo từng cá nhân. Đó là nét riêng, nét
mới có nhiều sáng tạo nhất. Có như vậy bên cạnh việc chiếm lĩnh tri thức, người học còn
biết làm chủ cách xây dựng kiến thức, tạo cơ hội tốt cho tính tự chủ và óc sáng tạo nảy
nở, phát triển. Có thể so sánh nếu quá trình giáo dục là một vòng tròn thì tâm của đường
tròn đó phải là cách tổ chức các hoạt động học tập cho đối tượng người học.
Trong dạy học cần rèn cho người học phương pháp tự học. Nếu người học có được
phương pháp tự học, kỹ năng, thói quen và ý chí tự học thì sẽ tạo cho họ lòng say mê học

tập, khơi dậy nội lực vốn có trong mỗi người học và kết quả học tập sẽ tăng lên.
2. Tự học và nghiên cứu khoa học
2.1. Tự học
Trong quá trình học tập bao giờ cũng có tự học, nghĩa là tự mình lao động trí óc để
chiếm lĩnh kiến thức. Trong tự học, bước đầu thường có nhiều lúng túng nhưng chính
những lúng túng đó lại là động lực thúc đẩy sinh viên tư duy để thoát khỏi “lúng túng”,
nhờ vậy mà thành thạo lên, và đã thành thạo thì hay đặt những dấu hỏi, phát hiện vấn đề
và từ đó đi đến có đề tài nghiên cứu.
2.2. Nghiên cứu khoa học
Việc nghiên cứu khoa học dĩ nhiên tác động trở lại việc học và có phát triển tự học lên
đến nghiên cứu khoa học thì mới có thực tiễn để hiểu sâu mối quan hệ giữa tư duy độc
lập và tư duy sáng tạo.
3. Phương pháp tự học bồi dưỡng năng lực tự học, kỹ năng tự học làm cầu nối giữa
học tập và nghiên cứu khoa học của người học.
Hoạt động nghiên cứu khoa học của học sinh khá giỏi loại hình hoạt động rất cơ
bản do tính chất đặc thù của quá trình phát triển năng lực tư duy. Theo tôi, khả năng
nghiên cứu khoa học của học sinh là năng lực thực hiện có hiệu quả các hoạt động nghiên
cứu khoa học trên cơ sở lựa chọn, tiến hành hệ thống các thao tác trí tuệ và thực hành
nghiên cứu khoa học phù hợp với điều kiện và hoàn cảnh nhất định nhằm đạt mục đích
nghiên cứu khoa học đề ra. Hoạt động nghiên cứu khoa học có thể diễn ra theo các giai
đoạn sau:
- Định hướng nghiên cứu;
- Xây dựng kế hoạch nghiên cứu;
- Thực hiện kế hoạch nghiên cứu;
- Kiểm tra, đánh giá kết quả nghiên cứu;
- Báo cáo kết quả nghiên cứu.
4. Một số biện pháp cơ bản hướng dẫn học sinh tự học:
“ Trong hướng dẫn tự học giáo viên cần quan tâm đến các vấn đề sau:
1- Học sinh có được tạo điều kiện sáng tạo không?
2- Học sinh có thể hoạt động đọc lập không?

3- Học sinh có được khuyến khích đưa ra những giải pháp của mình không?
4- Học sinh có thể lựa chọn các chủ đề, bài tập/nhiệm vụ khác nhau không?
5- Học sinh có được tự chủ trong các hoạt động học tập không?
6- Học sinh có được tự đánh giá không ”
(Dạy và học tích cực. Một số phương pháp và kĩ thuật dạy học- BGD$ĐT dự án Việt-Bỉ-
nhà xuất bản Sư phạm năm 2010)
4.1 Một số kỹ năng cơ bản về tự học của học sinh
4.1.1- Lập kế hoạch học tập là điều cần thiết:
Trước khi làm bất cứ chuyện gì, nên lập kế hoạch. Nếu không có kế hoạch thì
không làm chủ được thời gian, nhất là khi có điều gì bất trắc xảy đến. Một kế hoạch học
tập tốt cũng giống như chiếc phao cứu hộ vậy. Mỗi người, tùy vào nhu cầu của mình, sẽ
lập một kế hoạch học tập riêng, kế hoạch đó có thể thay đổi khi cần, nhưng điều quan
trọng là phải tuân thủ kế hoạch đã đề ra.
4.1.2- Kế hoạch học tập giúp quản lý thời gian
Bất cứ ai cũng có 168 giờ mỗi tuần, nhưng có người sử dụng quỹ thời gian đó có
hiệu quả hơn người khác. Học sinh có rất nhiều thứ để làm, bạn hãy liệt kê tất cả công
việc cho từng ngày sau đó, nếu ta thấy còn ít hơn 30 giờ mỗi tuần để tự học thì ta hãy
kiểm điểm lại xem tại sao mình phí thời gian như vậy.
4.1.3- Chọn địa điểm học
Ta có thể học ở bất kỳ nơi nào, mặc dù rõ ràng có một số nơi thuận lợi hơn choviệc
học. Quan trọng là nơi đó không làm phân tán sự tập trung của bạn. Cho nên hãy làm cho
việc lựa chọn nơi học thích hợp trở thành một phần của thói quen học tập.
4.1.4- Chọn thời điểm học tập.
Nói chung chỉ nên học lúc chúng ta thoải mái, minh mẫn, vào đúng khoảng thời
gian đã lên kế hoạch để học.
4.1.5- Học cho giờ lý thuyết:
Nếu học trước để chuẩn bị cho giờ lên lớp, cần đọc tất cả những tài liệu, cần đọc
trước và ghi chú thích những điểm chưa hiểu. Nếu học sau giờ lên lớp, cần chú ý xem lại
những thông tin ghi chép được.
4.1.6- Học cho giờ thảo luận

Sử dụng khoảng thời gian ngay trước các giờ học này để luyện tập kỹ năng phát
biểu với các học viên khác (nếu cần). Điều này sẽ giúp hoàn thiện kỹ năng phát biểu.
4.1.7- Sửa đổi kế hoạch học tập.
Đừng lo ngại khi phải sửa đổi kế hoạch. Thật sự kế hoạch chỉ là cách bạn dự tính sẽ
dùng quỹ thời gian của mình như thế nào, cho nên một khi kế hoạch không hiệu quả, ta
có thể sửa đổi nó. Nên nhớ rằng, việc lập kế hoạch là giúp có thói quen học tốt hơn và khi
đó việc lập kế hoạch sẽ trở nên dễ dàng hơn. Tuân theo đúng kế hoạch học tập đã định là
một chuyện rất khó làm, trong khi vỡ kế hoạch là một việc rất dễ !
4.2 Một số biện pháp hướng dẫn học sinh tự học.
4.2.1 Tự học qua sách giáo khoa:
- SGK là nguồn tri thức quan trọng cho học sinh, nó là một hướng dẫn cụ thể để đạt
lượng liều lượng kiến thức cần thiêt của môn học, là phương tiện phục vụ đắc lực cho
giáo viên và học sinh. Do đó tự học qua SGK là vô cùng quan trọng để học sinh tham gia
vào quá trình nhận thức trên lớp và củng cố khắc sâu ở nhà.
- Để học sinh tự nghiên cứu trước SGK ở nhà thì giáo viên không nên chỉ đơn giản
là nhắc các em đọc trước bài mới mà cần nêu cụ thể câu hỏi mà khi đọc xong bài mới các
em có thể trả lời được. Đó là cách giao nhiệm vụ cụ thể giúp học sinh đọc sách giao khoa
có mục tiêu cụ thể rõ ràng.
- SGK cũng là tài liệu để học sinh đọc thêm cho rõ ràng những kiến thức mà giáo
viên truyền đạt trên lớp vì vậy những ví dụ mẫu giáo viên không nên thay đổi để nếu học
sinh đã đọc trước sẽ tham gia ngay được vào bài giảng, những học sinh yếu có thêm 1 tài
liệu để đọc lại khi chưa rõ cách giáo viên hướng dẫn.
- Đối với những nội dung mà sách giáo khoa đã có chi tiết đầy đủ thì không nên
ghi lên bảng cho hs chép mà cho các em về tự đọc trong SGK, cách làm này vừa tiết kiệm
thời gian vừa tạo thói quen đọc sgk cho học sinh và làm cho bài giảng không bị nhàm
chán
4.2.2 Tự học qua sách bài tập, sách và tài liệu tham khảo:
- Đối với học sinh trong trường, sách bài tập đều có nên giáo viên phải tận dụng tài
liệu này để giúp học sinh tự học hiệu quả.
- Việc cho bài tập về nhà cũng cho theo thứ tự dạng bài tập của SGK và SBT để

học sinh có 1 lượng bài tập tương tự đủ lớn (các bài này đều có lời giải chi tiết) để có thể
tự mình làm được các bài trong SGK. Khi cho bài theo cách này sẽ giúp học sinh có 1
cách học mới là khi gặp khó khăn sẽ tự tìm kiếm một phương án tương tự đã có để giải
quyết chứ không thụ động chờ đợi giáo viên hướng dẫn.
4.2.3 Tự nghiên cứu:
Giáo viên nên hướng dẫn học sinh làm các BT lớn, có kiểm tra đánh giá để hs có
khả năng tự phân tích tổng hợp. Muốn hiệu quả cao, giáo viên phải biết viết các tài liệu
theo hướng các chuyên đề nhằm định hướng về Tư duy và Kỹ năng cho học sinh đồng
thời tạo ra động lực thúc đẩy học sinh nghiên cứu khoa học.
Chương II- THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ TỰ HỌC
và GIÁO DỤC HỌC SINH TỰ HỌC HIỆN NAY
I- Đánh giá chung
Trong việc đổi mới PPDH lấy học sinh làm trung tâm thì việc tự học của học sinh
vô cùng quan trọng, để điều khiển quá trình tự học sao cho có hiệu quả nhất thì việc kiểm
tra đánh giá của giáo viên đỏi hỏi phải thật khéo léo, đa dạng góp phần tích cực làm
chuyển biến quá trình tự học của học sinh.
Tuy vậy, trong thực tế dạy học hiện nay việc áp dụng phương pháp dạy học hướng
dẫn học sinh tự học của giáo viên ở tất cả các môn học nói chung và môn toán nói riêng
còn gặp rất nhiều lúng túng và khó khăn. Cách học của học sinh vẫn đơn giản là cố gắng
hoàn thành hết số bài tập giáo viên giao về nhà (bằng mọi cách có thể), và học thuộc
trong vở ghi đối với các môn học thuộc. Đối với giáo viên thì chỉ quen thuộc với cách
kiểm tra bài cũ đầu giờ cốt sao cho đủ số lần điểm miệng. Việc kiểm tra định kỳ chỉ đơn
giản là thực hiện theo phân phối chương trình, trước khi kiểm tra sẽ giới hạn cho học sinh
một phần kiến thức.
Đa số giáo viên thường quan niệm kiến thức là mục đích của quá trình dạy học nên
chỉ quan tâm đến phương pháp truyền thụ kiến thức của bài đúng với nội dung SGK. Một
số giáo viên chưa có kỹ năng soạn bài, vẫn áp dụng một cách rập khuôn, máy móc lối dạy
học "truyền thống" chủ yếu giải thích, minh hoạ tái hiện, liệt kê kiến thức theo SGK là
chính, ít sử dụng câu hỏi tìm tòi, tình huống có vấn đề… coi nhẹ rèn luyện thao tác tư
duy, năng lực thực hành, ít sử dụng các phương tiện dạy học nhất là các phương tiện trực

quan để dạy học và tổ chức cho học sinh nghiên cứu thảo luận trên cơ sở đó tìm ra kiến
thức và con đường để chiếm lĩnh kiến thức của học sinh.
Thực tế, giáo viên thường soạn bài bằng cách sao chép lại SGK hay từ thiết kế bài
giảng, không dám khai thác sâu kiến thức, chưa sát với nội dung chương trình, hướng dẫn
học sinh vận dụng kiến thức giải quyết những vấn đề từ nhỏ đến lớn trong thực tế đời
sống và sản xuất. Khi dạy thường nặng về thông báo, không tổ chức hoạt động học tập
cho các em, không dự kiến được các biện pháp hoạt động, không hướng dẫn được
phương pháp tự học.
Mặt khác, phương pháp dạy học phổ biến hiện nay vẫn theo "lối mòn", giáo viên
truyền đạt kiến thức, học sinh thụ động lĩnh hội tri thức. Thậm chí có giáo viên còn đọc
hay ghi phần lớn nội dung lên bảng cho học sinh chép nội dung SGK. Việc sử dụng các
phương tiện dạy học: phiếu học tập, tranh ảnh, băng hình, bản trong chỉ dùng khi thi
giáo viên hay có đoàn thanh tra, kiểm tra đến dự, còn các tiết học thông thường hầu như
"dạy chay".
Do việc truyền đạt kiến thức của giáo viên theo lối thụ động nên rèn luyện kỹ năng
tự học cũng như việc hướng dẫn tự học của giáo viên cho học sinh không được chú ý làm
cho chất lượng giờ dạy không cao
II. Tổng hợp số liệu điều tra thưc tiễn.
1- Điều tra về việc tự học của học sinh
Kết quả qua phiếu điều tra:
Mức
độ
Tự đọc bài mới
SGK trước khi
Tự học STK sau
bài học trên lớp
Học theo tài
liệu của giáo
Lớp đến lớp viên
9A (45hs) 1/45=2,2% 20/45=44,5% 24/45=53.3%

8A (44hs) 0/45=0% 23/44=52,3% 21/44=47,7%
8B (45hs) 1/45=2,2% 22/45=49% 22/45=48,8%
7A (48hs) 3/48=6,3% 31/48=64,6% 14/48=29,1%
7B (47hs) 2/47=4,3% 19/47=40,4% 26/47=55,3%
ĐÁNH GIÁ CÁC KẾT QUẢ ĐIỀU TRA
Hầu hết học sinh không đọc bài mới trước khi lên lớp. Qua trao đổi, tôi thấy các em
có chung câu trả lời là “khó, với lại hôm sau đã được Thầy dạy rồi!”. Có nhiều em tự học
thêm STK. Qua trao đổi, tôi thấy nguyên nhân có học chủ yếu do Thầy ra thêm bài tập về
nhà ở tài liệu này.
2- Kết quả điều tra những tác động của giáo viên đối với việc tự học của học sinh
thông qua biện pháp viết tài liệu phát cho học sinh
2.1 Điều tra học sinh khối 8, 9 của trường THCS Phù Cừ qua câu hỏi điều tra: “Em có
thích tài liệu theo chuyên đề của Thầy gửi cho các em tự học không? nguyên nhân?(em
có thể chọn nhiều lý do theo chính kiến của em”
Mẫu phiếu:
1* Không thích
Lý do: a) Do tài liệu chỉ có bài tập mà không có lời giải
b) Do tài liệu có quá nhiều bài tập khó
c) Do tài liệu có nhiều chỗ không có trong SGK.
2* Thích
Lý do: a) Do tài liệu viết chi tiết các suy nghĩ dẫn tới lời giải
b) Do tài liệu có sẵn hướng dẫn giải
c) Do có nhiều vấn đề mở rộng
Trong tổng số 150 phiếu thu về khi cho thấy:
1. Vấn đề nguyên nhân không thích tài liệu
Có 55% phiếu có chọn “ không thích – trong đó có 46% chọn lý do a) 57% chọn lý do b)
và 14% chọn lý do c)
2. Vấn đề nguyên nhân thích tài liệu
Có 85% chọn lý do a) 13% chọn lý do b) và 65% chọn lý do c).
2.2 Điều tra học sinh khối 8, 9 của trường THCS Phù Cừ qua câu hỏi điều tra: “Em học

được khoảng bao nhiêu % nội dung các tài liệu mà thầy viết (trong khoảng các mứ c
dưới đây)”
a) Khoảng 5-10% b) Khoảng 10-15%
c) Khoảng 20-30% d) Khoảng 40-50%
e) Khoảng 60-80% f) Khoảng 85-100%
Trong tổng số 150 phiếu thu về khi cho thấy:
Phương
án
a b c d e f
Số lượng 9 14 20 34 53 22
ĐÁNH GIÁ CÁC KẾT QUẢ ĐIỀU TRA
*1. Có nhiều em học sinh không thích tài liệu chỉ là các bài tập, thậm chí cả tài liệu
gồm bài tập của thầy có hướng dẫn giải.
*2. Có rất nhiều học sinh thích tài liệu viết chi tiết các suy nghĩ dẫn tới lời giải, với
loại tài liệu này số lượng học sinh học được từ 50% nội dung trở lên chiếm phần lớn điều
này có nghĩa là tài liệu này phù hợp với các em, được các em đón nhận nhiều.
Từ những nghiên cứu thực tế trên, tôi nhận thấy giải pháp “viết các chuyên
đề” trình bày theo các chủ đề toán học, tài liệu kết hợp bài tập với những suy nghĩ của
mình dẫn tới cách giải có sức giáo dục tốt ý thức tự học của học sinh.
2.3 Kết quả điều tra về một số chuyên đề Toán số học
2.3.1. Điều tra học sinh khối 8, 9 của trường THCS Phù Cừ qua câu hỏi điều tra: “Trong
môn số học, một số dạng toán cơ bản dưới đây, dạng toán nào gây cho em khó khăn khi
học nhất?. Kết quả cụ thể:
Các cấp độ
Các dạng toán điển hình
Dễ tìm
được
hướng
giải quyết
Đôi khi

gặp khó
khăn khi
tìm được
hướng
giải quyết
Gặp rất
nhiều khó
khăn khi
tìm hướng
giải quyết
Không
định
hướng
được
1- Bài toán về số lũy thừa
(số chính phương, lập
phương…)
22% 75% 3%
2- Bài toán về phần nguyên 17% 80% 3%
3- Bài toán về phép chia hết
và phép chia có dư
25% 65% 10%
4- Bài toán về số nguyên tố,
hợp số
28% 55% 17%
5- Phương trình nghiệm
nguyên
27% 42% 31%
2.3.2 (cùng với nội dung phiếu 2.2.1)
Một số ý kiến của em về phép chia hết và chia có dư trong các bài tập số học mà em đã

biết (về ứng dụng phép chia trên tập số nguyên trong việc giải bài toán số học, về kỹ
năng giải toán chia trên tập số nguyên…)
Đánh giá kết quả điều tra:
Đối với những kỹ năng cơ bản giải bài toán cơ bản số học thì hầu hết học sinh gặp
khó khăn trong việc định hướng tìm lời giải. Đối với các bài toán liên quan đến phép chia
trên tập số nguyên có nhiều học sinh biết hướng giải quyết. Có thể do dạng toán này gần
gũi với các em. Nhiều HS qua phỏng vấn cho biết mặc dù tìm được hướng đi nhưng khi
trình bày lại rất khó khăn. Nhiều HS cho rằng mình làm được chẳng qua là đã từng được
biết trước (do đọc sách hay do thầy chữa rồi).
Đối với câu hỏi 2.3.2 thì thu thập được khá nhiều ý kiến. Ý kiến tập trung nhất là ứng
dụng của chia hết, chia có dư trên tập số nguyên ở hầu hết các bài tập số mà các em đã
gặp.
CHƯƠNG III
VÍ DỤ VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ PHÉP CHIA
TRấN TP S NGUYấN.
I- Lí THUYT CHUNG.
1- Phộp chia trờn tp s nguyờn
1.1- nh ngha
Cho a,b là các số nguyên, b 0. Ta nói a chia cho b đợc thơng là q và d r khi a=bq+r
với q,r là các số nguyên và 0 r b . Khi r=0 ta nói a chia hết cho b.
Hệ quả: Khi chia a cho b 0 thì số d có b 1 khả

<

{ }
năng nhận đợc một trong các số của
tập hợp 0;1;2; ; b 1 .
Nh vậy với mỗi số tự nhiên a thì tập số nguyên Z đợc "phân hoạch" theo a "lớp".
Mỗi lớp gồm các số nguyên chia cho a có cùng số d.

1.2- Mt
s tớnh cht c bn vờ chia ht.
Cho a,b,c l cỏc s nguyờn. Ta cú mt s tớnh cht c bn sau:
n
TC 2.1 Nếu a b và b c thì a c
TC2.2 Nếu a b thì ac b
TC2.3 Nếu a b và c b thì a+c b
TC2.4 Nếu ab c mà (b,c)=1 thì a c
TC2.5 Nếu a b ; a c và (b,c)=1 thì a bc
TC2.6 Nếu a p và p nguyên tố thì a p (n N)
M M M
M M
M M M
M M
M M M
M M
2- S phõn tớch mụt sụ t nhiờn ra tha s nguyờn t
Mi s t nhiờn u c vit di dng tớch ca ly tha cỏc s nguyờn t. S phõn tớch
ny l duy nht.
1 2 3 k
1 2
n n n n
1 2 3 k 1 2 k 1 2 k
m m m
1 2 3
Ta có a=p .p .p p (với p ,p , p là các số nguyên tố và n ,n , n là
các số tự nhiên khác 0). Ta có một số tính chất cơ bản sau:
TC3.1 b là một ớc của a khi b có dạng a=p .p .p
( ) ( ) ( )
3 k

m
k 1 2 k
1 1 2 2 k k
1 2 k
1 2 k
p (với m ,m , m là
các số tự nhiên và 0 m n ; 0 m n ; ;0 m n )
TC3.2 Số ớc của a là n 1 n 1 n 1
TC3.3 Số a là một số lũy thừa bậc t khi t là ớc chung của n ,n , n

+ + +
3- nh lý Fec-ma
p
p 1
Cho a là số tự nhiên và p là một số nguyên tố thì a a p
Hệ quả: a là số tự nhiên và p là một số nguyên tố và (a,p)=1 thì a 1 p



M
M
4- Hng ng thc hiờu hai luy tha cung bõc
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
n n n 1 n 2 n 3 2 2 n 3 n 2 n 1
n n
m m
mn mn n n n n

2n 1
2n 1 2n 1 2n 1
Ta có a b a b a a b a b a b ab b
Hệ quả: với a,b nguyên và m,n là các số tự nhiên, a b thì
5.1 a b a b
5.2 a b a b a b
5.3 a b a b a b a b

+
+ + +
= + + + + + +


=
+ = = +
M
M
M
II- MễT Sễ BAI TOAN C BAN Vấ PHEP CHIA TRấN TP Sễ NGUYấN
1- Mt s k nng c bn gii bi toỏn v chia ht
Vớ d 1:
4 3 2
Chứng minh A(n)=3n 14n 21n 10n 24 + M
Ngh nh th no?
( )
Để chứng minh A(n) 24 ta cần chứng minh A(n) 3 và A(n) 8 (vì (3,8)=1)
A n có dạng là một đa thức bậc 3 đối với n. Để chứng minh A(n) 3 một cách thông
thờng nhất là ta phân hoạch n theo 3 rồi thay và
M M M
M

( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
A(n). Tuy nhiên để thuận lợi cho việc xét
ta đa A(n) về tích nếu có thể. Ta có lời giải sau:
A(n)=n n 1 n 2 3n 5 A(n) 3 (tích 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 3)
Lại có A(n)=n n 1 n 2 4 n n 1 n 2 n 3 3 8
vì n n

+
M
M
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2 n n 1 n 2 4 8 và n n 1 n 2 n 3 8 do trong 4 số nguyên liên
tiếp có 2 số chẵn và có một số là bội 4 .
M M M

Vớ d 2:
3 2
Chứng minh A(n)=n 51n 481n 3 48 với mọi n lẻ + M
Ngh nh th no?
3 2
Ta thây so với ví dụ 1 thì biểu thức này cùng dạng. Tuy nhiên hệ số của đa thức A(n) lớn
Ta làm giảm hệ số bằng cách viết A(n)=B(48)+ F(n) và chứng minh F(n) 48
Ta có lời giải vắn tắt sau:
A(n)=n 51n
M
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
3 2 2 3 2

481n 3 n 3n n 3 48n 480 48 F(n) n 3n n 3 48
Ta có F(n)= n 3 n 1 n 1
Với n=2k+1 (k Z) ta có F(n)= 2k 2 2k 2k 2 8 k 1 k k 1
F(n) 16 vì k k 1 2. lại có F(n) 3 vì k 1 k k 1 3
F(n) 16 và F(n) 3 mà (16,3)=1 nên F(n)
+ = + + = +
+
+ = +
+ +
M M
M M M M
M M M48 A(n) 48 M

Vớ d 3:
2
Chứng minh A(n)=4n 3n 5 6 với mọi n không chia hết cho 2 và cho 3+ + M
Ngh nh th no?
Ta hiu n khụng chia ht cho 2 v 3 cú ngha l nh th no? Mt phộp chia n cho 2 v 3
hay xột n chia cho 6 (BCNN(2,3)=6). Phõn hoch n theo 6 v thay vo A(n) ta cú c
lời giải đơn giản. Tất nhiên cũng như 2 ví dụ trên, nếu ta viết A(n) theo dạng tích sẽ thuận
lợi hơn khi thay n. Ta có lời giải sau
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
A(n)=4n 3n 5 =4n 3n 1 6 4n 1 n 1 6
víi n kh«ng chia hÕt cho 2 vµ cho 3 khi n ph©n ho¹ch theo 6 th× chØ cã 2 d¹ng
n=6k+1; n=6k+5 (k lµ sè nguyªn)
*) Víi n=6k+1 th× A(n)= 24k 3 6k 2 6 8k 1 3k 1 6
*) Víi n
+ + + − + = − + +

+ + = + + M
( ) ( ) ( ) ( )
=6k+5 th× A(n)= 4n 1 6k 6 4n 1 k 1 6 6− + = − + M
Tiểu kết 1:
Qua 3 ví dụ trên, chúng ta đang xét phép chia của một biểu thức dạng đa thức khi chia
cho một số. Kỹ năng cơ bản để giải quyết bài toán “chứng minh A(n) chia hết cho k” là
1) Viết k thành tích các số nguyên đôi một nguyên tố cùng nhau (cẳng hạn k=a.b.c với
a,b,c nguyên tố sánh đôi)
2) Chứng minh A(n) chia hết cho các thừa số của k trong phân tích trên
3) Để chứng minh A(n) chia hết cho số nguyên a ta phân hoạch n theo a rồi thay vào A(n)
4) Để thuận lợi cho việc thay n ta thường viết A(n) về dạng tích (bởi khi đó bậc của biến
n sẽ được giảm đi trong mỗi biểu thức cần thay thế)
Ví dụ 4:
n 2 2n 1
Chøng minh B(n)=11 12 133 víi n N
+ +
+ ∈M
Nghĩ như thế nào? Ta Ta thấy dạng của biểu thức B(n) là tổng các lũy thừa. Chia cho số
133 là quá lớn việc phân hoạch n theo 133 là không thể. Với phép chia một lũy thừa cho
một số ta có hai tính chất quan trọng (định lý Fec-ma và Hằng đẳng thức) đã nêu ở trên.
Để sử dụng hằng đẳng thức (HĐT) ta cần làm xuất hiện hiệu hai lũy thừa cùng số mũ. Ta
có lời giải sau:
( )
n 2 2n 1 2 n 2n n n n n n
n n n n
B(n)=11 12 11 .11 12.12 121.11 12.144 12.144 12.11 133.11
B(n) 133 với n N vì 12.144 12.11 12 144 11 144 11 133
+ +
+ = + = + = +
= =M M

Vớ d 5:
( )
n 2 n 2n 1
n n n n n n n n
n n
Chứng minh B(n)=5 +26.5 +8 59 với n N
Lời giải: ta có B(n)=25.5 +26.5 +8.64 51.5 8.64 59.5 8 64 5 59
vì 64 5 64 5 59.
+ +

= + = +
=
M
M
M
Vớ d 6:
( )
n
2
Chứng minh B(n)= n 1 1 n với n N+ M
Ngh nh th no? Ta thy nu ch s dng HT nh hai vớ d trờn thỡ ch cú th chng
minh B(n) chia ht n. Tuy nhiờn viờc s dung HT cng gi ý cho ta khi phõn tớch B(n)
thnh nhõn t thỡ ngoi nhõn t n cũn nhõn t chia ht cho n. Ta cú li gii sau:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
n n 1 n 2 n 3
n 1 n 2 n 3
n 1 n 2 n 3

k
B(n)= n 1 1 n 1 1 n 1 n 1 n 1 n 1 1
Ta có n 1 n 1 n 1 n 1 1 (biểu thức gồm n-1 ngoặc đơn)
n 1 1 n 1 1 n 1 1 n 1 1 n n
vì n 1 1 n 1 1 n với mọi k tự nhiê




+ = + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + =
= + + + + + + + + +
+ + =
M
M
2
n.
Vậy B(n) n với n NM

Vớ d 7:
2 n
2
Chứng minh B(n)=2 5 7 với n N.+ M
Ngh nh th no?
Ta cú th hiu
2n
2
B(n)=2 5 7 với n N+ M
cú nga l B(n) chia 7 d 2. Bi toỏn tr v tỡm d

ca B(n) khi chia cho 7. S dng HT a
n
-b
n
l hp lý. trỏnh phc tp ta chn b=1.
Vi nh lý Fec-ma ta bit rng
6
2 1 7. M
Tuy nhiờn do
6 3 2 3
3 2 k 2n
2n
2 1 chia hết cho 2 1 và 2 1 nên ta kiểm tra và chọn đợc 2 1 7. Việc xét lũy thừa
bây giờ sẽ đơn giản hơn.
Vì 2 1 7 nên 2 1 7 với mọi k N. Do vậy ta cần phân hoạch 2 theo 3 (tìm d của
2 khi


M
M M
( )
( )
2n n
2n n n n
3k 1 k k k
chia cho 3). Dễ thấy 2 4 3k 1 (k N). Ta có lời giải sau:
Ta có 2 4 4 1 1 =3k+1 (với k N) vì 4 1 4 1 3.
B(n) 2 5 2.8 5 2 8 1 7 7 vì 8 1 8 1 7
+
= = +

= = + =
= + = + = + =
M
M M

Tiu kt 2:
Qua 3 vớ d 4,5,6 trờn õy chỳng ta ang xột phộp chia ca mt biu thc dng tng cỏc
ly tha khi chia cho mt s. K nng c bn gii quyt bi toỏn chng minh B(n)
chia ht cho k trong dng ny.
1) Vit cỏc biu thc v dng hiu cỏc ly tha cựng s m
2) S dng HT vit biu thc v dng tớch nu cú th!
3) S dng nh lý Fec-ma chn bi nh nht ca mt s cú dng hiu hai ly tha .
Vớ d 8:
n
Chứng minh S(n)=16 15n 1 225 với n N M
Ngh nh th no?
Biu thc S(n) cha c ly tha v a thc. Vic s dng cỏc k nng c bn trờn s
gp khú khn i vi dng ny. Nhn xột thy S(n+1) cú th truy hi v S(n) c nờn ta
s dng chng minh kiu qui np (ta cn chng minh S(n+1) v S(n) chia cho 225 cú
cựng s d, sau ú th vi n=0). Ta cú li gii sau:
( )
( ) ( )
( )
n n 1
n 1 n n n
n
0
S(n)=16 15n 1 S(n 1) 16 15 n 1 1
S(n 1) S(n) 16 15 n 1 1 16 15n 1 16 16 1 15 15 16 1 225
vì 16 1 15. Vậy S(n+1) và S(n) chia cho 225 có cùng số d.

Mặt khác S(0)=16 15.0 1 0 225 nê n S(n) chia
+
+
+ = +
+ = + + + = =

=
M
M
M hết cho 225 với mọi giá trị n N