10 đề thi HSG Toán 6

đề thi học sinh giỏi lớp 6
Năm học 2003 - 2004
Thời gian 120
Đề Bài
Câu 1.
a) Tính nhanh tổng các số thập phân sau :
19,75 + 18,5 + 17,25 + 16 + + 2,25
b) Tìm x biết: [(3x+ 8) : 2] 6 = x
Câu 2.
a)Tìm một số A có 4 chữ số, biết A chia cho 131 còn d 112 nhng khi chia A
cho 132 ta nhận đợc số d là 98 .
b)Tìm số nguyên a sao cho :
a+ (a+ 1) + + 2002 = 2002
trong đó tổng ở vế trái là tổng của các số nguyên liên tiếp theo thứ tự tăng dần từ
số nguyên a đến 2002
Câu 3 . Cho x, m, n

N
*
. Hãy so sánh hai tổng sau:
A =
nm
xx
20042004
+
và B =
nm
xx
20032005
+
Câu 4. Tìm hai số tự nhiên liên tiếp , biết rằng một trong hai số đó chia hết cho 9

.Tổng của hai số đó là một số có đặc điểm sau:
a) Gồm ba chữ số
b) Là bội của 5
c) Tổng của chữ số hàng trăm và chữ số hàng đơn vị là bội số của 9
d)Tổng của chữ số hàng trăm và chữ số hàng chục là bội của 6.
Câu 5: Các điểm A, B, C, D theo thứ tự đó nằm trên một đờng thẳng sao cho:AB
= 3BC = 2CD
Hãy tính tỷ số :
AD
BD
đề thi học sinh giỏi lớp 6
Năm học 2004 - 2005
Thời gian 120
Đề Bài
Bài 1.
a)Tìm tất cả các số nguyên tố p, q thoả mãn đẳng thức
.
46
.
464646
qpqp
=+
1
b) Tìm hai số có ba chữ số biết rằng tổng của hai số đó chia hết cho 489 và
số lớn gấp 5 lần số bé.
Bài 2.
Cho hai số nguyên dơng a, b. Biết rằng trong 4 mệnh đề P, Q, R, S dới đây
có duy nhất một mệnh đề sai:
P. a = 2b + 5 Q. (a + 1) chia hết cho b
R. (a + b) chia hết cho 3 S. (a + 7b) là số nguyên tố

a) Hãy chỉ ra mệnh đề sai trong 4 mệnh đề trên (giải thích)
b) Hãy tìm tất cả các cặp số nguyên dơng a, b thoả mãn ba mệnh đề đúng
còn lại
Bài 3.
a) Chứng tỏ rằng
.
6
5
44
1
43
1

17
1
16
1
15
1
>+++++
b) Một ô tô chạy quãng đờng AB trong 3 giờ. Giờ đầu ô tô chay đợc
5
2

quãng đờng AB, giờ thứ hai chạy đợc
5
2
quãng đờng còn lại và 4km. Giờ thứ 3
chạy nốt 50km cuối. Tính vận tốc trung bình trên quãng đờng AB
Bài 4.

a) Cho ba điểm A, B, C trên mặt phẳng, biết rằng số đo các đoạn thẳng
là:AB = 2a, AC = 3a, BC = 4a (a

0). Chứng tỏ rằng ba điểm A, B, C
không thẳng hàng.
b) Trên đờng thẳng xy cho n điểm phân biệt. Hỏi trên hình vẽ có bao
nhiêu đờng thẳng, bao nhiêu tia, bao nhiêu đoạn thẳng ? (nêu kết quả và
cách làm)
đề thi học sinh giỏi lớp 6
Năm học 2005 - 2006
Thời gian 120
Đề Bài
Câu 1.
Cho a, b là hai số tự nhiên. Chứng minh rằng nếu có ít nhất một trong hai
số chia hết cho 5 thì số B = a.b(a + b) trong hệ ghi thập phân có chữ số tận cùng
là 0.
Câu 2.
Trong dãy 10 số tự nhiên liên tiếp lớn hơn 1 có nhiều nhất là bao nhiêu số
nguyên tố ?
Câu 3. Cho biểu thức
a + 3
Q =
a - 2
a) Với những giá trị nào của a thì Q nhận giá trị nguyên
b) Với những giá trị nào của a thì Q là 1 phân số tối giản
2
Câu 4.
a) Tìm các phân số có tử số bằng 5 lớn hơn
1
6

và nhỏ hơn
1
5
b) Phân số
a
b
với b > 0 sẽ tăng hay giảm nếu ta cộng vào tử và mẫu cùng
một số tự nhiên k
Câu 5.
Cho đoạn thẳng AB = 4cm. Vẽ các đờng tròn (A; 3cm) và (B; 2cm). Đờng
tròn (A; 3cm) cắt tia đối của tia AB tại điểm M, cắt đoạn thẳng AB tại điểm N.
Đuờng tròn (B; 2cm) cắt tia đối của tia BA tại Q và cắt đoạn thẳng AB tại P.
a) Chứng tỏ P là trung điểm của đoạn thẳng AB và N là trung điểm của
đoạn thẳng AQ
b) Tính độ dài các đoạn thẳng NQ, MP, MQ
đề thi học sinh giỏi lớp 6
Năm học 2005 - 2006
Thời gian 120
Đề Bài
Câu 1 (2đ).
a) Tìm số tự nhiên x biết:
(x + 1) + (x + 2) + +(x + 100) = 20550
3
x
+ 3
x+1
+ 3
x+2
= 351.
b) Tìm số nguyên x, biết

151322
=+
x
c) Thay các chữ cái a, b bằng các chữ số thích hợp sao cho
456824 ba
.
Câu 2 (2đ).
a) So sánh các số sau:
2005
2006
2005 1
2005 1
C
+
=
+
và
.
12005
12005
2007
2006
+
+
=D
b) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất biết số đó chia cho 8 d 6, chia cho 12 d 10, chia
cho 15 d 13 và chia hết cho 23.
Câu 3 (2đ).
a) Cho ba chữ số (khác 0) a, b, c. Chứng minh rằng tổng của các số có ba chữ
số lập bởi ba chữ số đã cho không phải là số chính phơng.

b) Cho dãy số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 2006:
1;2; 3; ; 2006. Em hãy đặt trớc mỗi số dấu (+) hoặc dấu (-) để kết quả là
một số tự nhiên nhỏ nhất.
3
Câu 4 (2đ).
a) Cho ba điểm thẳng hàng A, B, C với AB = 8cm, BC = 3cm. Gọi I là trung
điểm của đoạn thẳng AB. Tính độ dài đoạn thẳng IC.
b) Cho 100 điểm A
1
, A
2
, A
3
, , A
100
. Trong đó không có ba điểm nào thẳng
hàng. Cứ qua hai điểm ta kẻ một đờng thẳng. Tính số đờng thẳng kẻ đợc.
Câu 5 (2đ).
Một xe máy đi từ A đén B với vận tốc 30km/h. Một lúc sau một ô tô cũng đi
từ A đến B với vận tốc 40km/h. Bình thờng ô tô và xe máy sẽ đến B cùng một
lúc. Nhng đi đợc nửa đờng ô tô tăng vận tốc lên 45km/h do đó 1 giờ sau khi
tăng tốc ô tô đã đuổi kịp xe máy. Tính quãng đờng AB.
đề thi học sinh giỏi lớp 6
Năm học 2002 - 2003
Thời gian 90
Đề Bài
Bài 1: (3đ)
Tìm số nguyên x biết:
a)
5

1 0
13
x
< <
b)
1 2
2 4 28x
=

c)
1 1 5 5
: 9
2 3 7 7
x

+ =
ữ

Bài 2: (3đ)
1) Một quả da hấu nặng hơn
2
7
khối lợng của nó 2,5kg. Hỏi quả da hấu đó nặng
bao nhiêu kg?
2) Cho a

Z. Hỏi số
2 3
3 2 6
a a a

x
= + +
có phải là số nguyên không ? Vì sao?
Bài 3: (4đ)
1) Trong hình vẽ sau
a. Có những tam giác nào có cạnh là EF ?
b. Có tất cả bao nhiêu góc có đỉnh là E, hãy kể ra.
c. Nếu cho số đo

BDC = 60
0
,

EDF = 50
0
thì tia DE có phải là tia phân
giác của

BDF không ? Vì sao ?
2) Vẽ hình theo cách diễn đạt sau:
Hãy vẽ 9 điểm là A, B, C, M, N, P, Q, R, S trong cùng một hình phải thoả
mãn tất cả các điều kiện sau đây.
a) A, P, Q thẳng hàng f) A, B, S thẳng hàng
b) A, M, N thẳng hàng g) B, C, Q thẳng hàng
4
c) R, M, C thẳng hàng h) B, C, N thẳng hàng
d) A, P, R thẳng hàng i) M, N, R không thẳng hàng
e) M, C, S thẳng hàng k) B, P, Q không thẳng hàng
đề thi học sinh giỏi lớp 6
Năm học 2002 - 2003

Thời gian 120
Đề Bài
Bài 1: (5đ)
a) Tính:
15 9 20 9
9 19 29 6
5.4 .9 4.3 .8
5.2 .6 7.2 .27


b) Tìm x, biết:
1 3
1
1 1 1 1 1 1
2 4
1 : 24 24 1 : 8 8
1
30 6 5 15 5 3
4
2
x


=
ữ ữ ữ


Bài 2: (3đ) So sánh:
2 2 2 2

60.63 63.66 117.120 2006
A
= + + + +

và
5 5 5 5

40.44 44.48 76.80 2006
B
= + + + +
Bài 3: (2đ) Chứng minh rằng:
2001 2 2003 3
222 22200333 333
so so
142 43 14 2 43
là hợp số
Bài 4: (4đ) Ba bạn Hồng , Lan Huệ chia nhau một số kẹo đựng trong 6 gói. Gói
thứ nhất có 31 chiếc, gói thứ hai có 20 chiếc, gói thứ ba có 19 chiếc, gói thứ t có
18 chiếc, gói thứ năm có 16 chiếc, gói thứ sáu có 15 chiếc. Hồng và Lan đã nhận
đợc 5 gói và số kẹo của Hồng gấp hai lần số kẹo của Lan.Tính số kẹo nhận đợc
của mỗi bạn.
Bài 5: (6đ) Cho điểm O trên đờng thẳng xy, trên một nửa mặt phẳng có bờ là xy,
vẽ tia Oz sao cho

xOz nhỏ hơn 90
0
a)
Vẽ các tia Om, On lần lợt là các tia phân giác của các góc

xOz và

zOy. Tính

mOn
b)
Tính số đo các góc nhọn trong hình nếu số đo

mOz = 35
0
c) Vẽ đờng tròn (O; 2cm) cắt các tia Ox, Om, Oz, On, Oy lần lợ tại các
điểm A, B, C, D, E. Với các điểm O, A, B, C, D. E kẻ đợc bao nhiêu đờng thẳng
phân biệt đi qua các cặp điểm ? Kể tên những đờng thẳng đó
5
đề thi học sinh giỏi lớp 6
Năm học 2002 - 2003
Thời gian 90
Đề Bài
Bài 1(5,5đ)
1) Cho biểu thức
5
2
A
n

=

a) Tìm các số nguyên n để biểu thức A phân số
b) Tìm các số nguyên n để biểu thức A là số nguyên
2) Tìm x, biết:
a) x

M
12; x
M
25; x
M
30; 0

x

500
b) (3x - 2
4
).7
3
= 2.7
6
c) | x 5 | = 16 + 2.(-3).
3) Bạn Đức đánh số trang sách bằng các số tự nhiên từ 1 đến 145. Hỏi bạn
Đức đã sử dụng bao nhiêu chữ số ? Trong những số đã sử dụng thì có bao nhiêu
chữ số 0 ?
Bài 2: (2đ) Cho đoạn thẳng AB. Trên tia đối của tia AB lấy điểm M, trên tia đối
của tia BA lấy điểm N sao cho AM = BN. So sánh độ dài các đoạn thẳng BM và
AN.
Bài 3: (2,5đ) Cho

xOy = 100
0
. Vẽ tia phân giác Oz của

xOy; Vẽ tia Ot nằm

trong

xOy sao cho

yOt = 25
0
.
1) Chứng tỏ tia Ot nằm giữa hai tia Oz, Oy
2) Tính số đo

zOt
3) Chứng tỏ rằng tia Ot là tia phân giác của

zOy.
đề thi học sinh giỏi lớp 6
Năm học 2002 - 2003
Thời gian 120
Đề Bài
Bài 1: (4đ)
6
a) Tìm phân số tối giản lớn nhất mà khi chia các phân số
154 385 231
; ;
195 156 130

cho phân số ấy ta đợc kết quả là các số tự nhiên.
b) Cho a là một số nguyên có dạng a = 3b + 7. Hỏi a có thể nhận những
giá trị nào trong các giá trị sau ? Tại sao ?
a = 11 ; a = 2002 ; a = 2003 ; a = 11570 ; a = 22789 ; a = 29563 ; a = 299537.
Bài 2: (6đ)

1) Cho: A = 1 2 + 3 4 + + 99 100.
a) Tính A
b) A có chia hết cho 2, cho 3, cho 5 không ?
c) A có bao nhiêu ớc tự nhiên ? Bao nhiêu ớc nguyên ?
2) Cho A = 1 + 2 + 2
2
+ 2
3
+ 2
4
+ + 2
2001
+ 2
2002
và B = 2
2003
. So sánh A và B.
3) Tìm số nguyên tố p để: p + 6 ; p + 8 ; p + 12 ; p + 14 đều là các số nguyên tố.
Bài 3: (4đ)
Có ba bình, nếu đổ đầy nớc vào bình thứ nhất rồi rót hết ợng nớc đó vào hai bình
còn lại, ta thấy: Nếu bình thứ hai đầy thì bình thứ ba chỉ đợc
1
3
dung tích. Nếu
bình thứ ba đầy thì bình thứ hai chỉ đợc
1
2
dung tích. Tính dung tích của mỗi
bình, biết rằng tổng dung tích của ba bình là 180 lít
Bài 4: (4đ) Cho am giác ABC có BC = 5,5cm. Điểm M thuộc tia đối của tia CB

sao cho CM = 3cm.
a) Tính độ dài BM
b) Biết

BAM = 80
0
,

BAC = 60
0
. Tính

CAM.
c) Tính độ dài BK thuộc đoạn BM biết CK = 1cm.
Bài 5: (2đ)
Cho a = 1 + 2 + 3 + + n và b = 2n + 1 ( Với n

N, n

2)
Chứng minh : a và b là hai số nhuyên tố cùng nhau
7