Phương trình mũ và logarit cho học sinh giỏi

Tháng 11/2012 GV: Đinh Quang Đạo
Chủ đề 3: phơng trình, bất phơng trình
mũ và lôgarit
1.Phơng pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số:
Ví dụ 1: Giải phơng trình:
23
322
1
log
2
2
2
3
+=
+
++
xx
xx
xx
.
H ớng dẫn :
Ta có
23)322(log)1(log
22
3
2
3
+=+++ xxxxxx
)322(log)322()1(log)1(
2
3

22
3
2
+++=+++++ xxxxxxxx
Xét hàm số
tttf
3
log)( +=
, với
0
>
t
, ta có
0
3ln
1
1)(' >+=
t
tf
. Suy ra hàm số
)(tf
đồng
biến trên khoảng
);0( +
.
Suy ra
)322()1(
22
+=++ xxfxxf
)322()1(

22
+=++ xxxx
023
2
=+ xx



=
=

2
1
x
x
.
Ví dụ 2: Giải bất phơng trình sau:
522
1
1
+

+
x
x
x
.
H ớng dẫn :
Ta có :
522

1
1
+

+
x
x
x
0522
1
1
+

+
x
x
x
.
Xét hàm số
522)(
1
1
+=

+
x
x
x
xf
, với

0

x
.
02ln.2
1
2ln2)('
1
2
1
>+=

+
x
x
x
x
xf
; và
0)1()1( == ff
.
Bảng biến thiên:
0
0
1
-1
+

-3
+

-3
+
+
+

0
-

f(x)
f'(x)
x
Suy ra
[
)
[
)
+




<
;10;1
1
01
0)( x
x
x
xf

.
Vậy nghiệm của bất phơng trình là
[
)
[
)
+ ;10;1x
.
2.Phơng pháp chuyển thành hệ:
Ví dụ 2: Giải các phơng trình:
a)
121220102010
2
=++
xx
(HSG Tỉnh NA 2010-2011)
b)
6622
2
=+
xx
; c)
1)12(log23
3
++= x
x
;
H ng d n :
a)Đặt
x

u 2010=
và
122010 +=
x
v
, u>0,v>0.
Suy ra






=
=+
12
12
2
2
uv
vu




=++
=+
0)1)((
12
2

vuvu
vu




=+
=+
01
12
2
vu
vu



+=
=+
1
011
2
uv
uu

+
=

=

2
153
2
153
v
u
.
Suy ra
2
153
log
2
153
2010
2010

=

= x
x
.
Vậy nghiệm của phơng trình là
2
153
log

2010

=x
.
c)Đặt
3
log (2 1)t x= +
ta có hệ phơng trình:
3 2 1
3 2 3 2 3 2 1
3 2 1
x
x u x
u
u
x u u x x
x

= +

+ = + = = +

= +


.
Xét hàm số
( ) 3 2 1
x
f x x=

, ta có:
2
'( ) 3 ln 3 2; ''( ) 3 (ln 3) 0,
x x
f x f x x= = >
mà
'(0) ln 3 2 0; '(1) 3ln 3 2 0f f= < = >
;
suy ra
'( ) 0f x =
có nghiệm duy nhất
0
(0;1)x
.
Ví dụ 3.Giải phơng trình:
)13(log)133(log
45
+=++
xx
.
H ớng dẫn :
Đặt
)13(log)133(log
45
+=++=
xx
tt
,
và

=+
=++
tx
tx
413
5133





=+
=+

tx
tt
413
523





=+
=

+







tx
tt
413
01
5
2
5
1
.3
.
Xét hàm số
1
5
2
5
1
.3)(

+






=
tt
tf
,
0)1( =f
.
4.Phơng pháp đổi biến số:
Ví dụ 5:Giải phơng trình:
( ) ( )
3
2
110110
33
loglog
x
xx
=+

.
Hớng dẫn:
Ta có :
( ) ( )
3
2
110110
33
loglog
x
xx
=+
( ) ( )
x
xx
3
33
log
loglog
3.
3
2
110110 =+
3
2
3
110
3
110
33

loglog
=


















+

xx
.
Đặt
x
t
3
log
3

110








+
=
, với
0>t
, ta đợc:
3
101
0323
3
21
2
+
=== ttt
t
t
.
Với
3
101+
=t
1

3
110
3
110
3
log
=
+
=








+
x
x
.
Bài tập:
Câu 1.Giải các phơng trình:
a)
23
322
1
log
2
2

2
3
+=
+
++
xx
xx
xx
; b)
3 6 2
x x x
+ =
;
Câu 2.Giải các phơng trình sau:
a)
123 += x
x
; b)
2400620052003 +=+ x
xx
(HSG Tỉnh NA 2004) ;
c)
22)
2
3
(log
4
3
2
=++

+ xx
x
(HSG Tỉnh NA 2005).
Câu 3. Giải phơng trình:
a)
0)1(42).5(4 =+++ xx
xx
;
b)
0)1(log42).log5(4
2
1
2
1
=+++

xx
xx
.
Câu 4. Giải phơng trình:
a)
2
1
)728(log
1
=+
+
xx
x
;

b)
522log3)22(log
3
22
+=++ xxxx
;
c)
01
32
1
log)4(
32
1
log
2
2
2
=+

+
+

+
x
x
x
x
x
.
Câu 6 . Tìm m để phơng trình

a)
2
cos
2
x
xmxe
x
+=+
có hai nghiệm thực phân biệt.
b)
)3(log3log2log
22
2
2
= xmxx
có nghiệm
[
)
+ ;32x
.
Câu 7.Tìm m để bất phơng trình :
a)
032.4 ++ mm
xx
có nghiệm.
b)
010)2(log8)2(log
2
4
2

2
+++ mxxmxx
nghiệm đúng với mọi
]2;0[x
.
c)
04.6).12(9.
222
222
++
xxxxxx
mmm
nghiệm đúng với mọi
);
2
1
[]
2
1
;( +x
.
d)
1)1(log)4(log
2
5
2
5
<+++ xmxx
nghiệm đúng với mọi
)3;2(x

;
Câu 8.Tìm m để phơng trình sau có ba nghiệm thực

0)22(log.2)32(l og4
2
1
22
2
2
=+++
+

mxxx
xx
mx
.
Câu 9.Giải các phơng trình:
a)
3
log
2 3
log ( 6 ) log
x
x x+ =
(Đặt
3
logt x=
); b)
xx
x

23
77
log11log
=+
.
c)
3 5
log (7 2) log (6 19)
x x
+ = +
;
Hớng dẫn:
Xét hàm số
3 5
( ) log (7 2) log (6 19)
x x
f x = + +
, ta có :
3 5 5 5
7 6 7 6
'( ) .log 7 .log 6 .log 6 .log 6
7 2 6 19 7 2 6 19
x x x x
x x x x
f x = >
+ + + +
5
7 6
'( ) ( )log 6 0, 0
7 2 6 19

x x
x x
f x x > > >
+ +
;
(1) 0f =
.
Suy ra
1x
=
là nghiệm dơng duy nhất của phơng trình.
Với
0x
ta có :
3
log (7 2) 1
x
+
và
5 5
log (6 19) log 19 1
x
+ > >
. Suy ra phơng trình không có
nghiệm với
0x

.
Câu 10.Giải các phơng trình:
a)

6622
2
=+
xx
. b)
11loglog
2
2
2
=++ xx
.
c)
3
3
2
2ln ln( 2ln ) 0
3
x x x x x + + =
(Đặt
3
2lnt x x= +
)
Câu 11.Giải các phơng trình:
a)
)5
3
131
2(log44
3
252

2
xxx
xx
++=+
; b)
1)12(log23
3
++= x
x
.
Câu 12.Giải phơng trình:
522log3)22(log
3
22
+=++ xxxx
.
Câu 13.Giải các phơng trình:
a)
0823
2
3log1log2
22
=
+
xx
x
; b)
2
5
2

1
2
3log
log
3
=






+
x
x
;
5.Phơng pháp đổi biến không hoàn toàn:
Câu 14. Giải phơng trình:
a)
0)1(42).5(4 =+++ xx
xx
; d)
035).103(25.3
22
=++

xx
xx
;
b)

0)1(log42).log5(4
2
1
2
1
=+++

xx
xx
.
c)
01
32
1
log)4(
32
1
log
2
2
2
=+

+
+

+
x
x
x

x
x
; g)
016)1(log)1(4)1(log)2(
3
2
3
=+++++ xxxx
.
6.Phơng pháp đa về cùng cơ số:
Câu 15. Giải phơng trình:
a)
2
1
)728(log
1
=+
+
xx
x
; b)
2)11(log)8(log
2
1
2
2
=+++ xxx
;
c)
xxx 4log)1(log

4
1
)3(log
2
1
2
8
4
2
=++
; d)
4)12(log)12(log
2
1
2
12
=++
+
xxx
xx
.
7.Phơng pháp phân tích thành nhân tử:
Câu 16.Giải phơng trình:
a)
442222
33
2424
+++++
+=+
xxxxxx

; b)
0422.42
2
22
=+
+ xxxxx
;
c)
1224
222
)1(1
+=+
++ xxxx
;
Câu 17.Giải phơng trình:
a)
xxx
6242.33.8 +=+
; b)
20515.33.12
1
=+
+xxx
.
Câu 18.Giải bất phơng trình:
a)
2 2( 4) 1 4
4 15.2 16 0
x x x x+ + + +

.