Day So Co Gioi Han

1) ĐN dãy số có giới hạn hữu hạn
nội dung bài dạy
VD 1: Cho dãy số (u
n
) với u
n
= 3+ (-1)
n
/n.
Biểu diễn các số hạng của dãy số trên trục số:
u
2
u
1
3,5
2
3
u
3
u
4
2,67
3,25
u
5
2,8
u
6
3,17
u

7
2,86
u
8
2)Nếu biểu diễn các số hạng trên trục số,
khi n tăng thì khoảng cách từ u
n
đến 3 càng
nhỏ, hay các điểm u
n
chụm lại xung quanh
điểm 3.
Kết luận:
1) Dãy số (u
n
)

nói trên có giới hạn bằng 3.
1)Khi n tăng thì giá trị của các số hạng u
n

xấp xỉ gần bằng 3.
NX:
2) Dãy số (u
n
) có giới hạn là 3 dãy
số (u
n
-3) có giới hạn 0.
lim u

n
= L R lim (u
n
- L) = 0
Khi đó dãy số (u
n
) gọi là dãy số có
giới hạn hữu hạn

nội dung bài dạy
1) ĐN dãy số có giới hạn hữu hạn
lim u
n
= L R lim (u
n
- L) = 0
Khi đó dãy số (u
n
) gọi là dãy số có
giới hạn hữu hạn.

Muốn chứng minh dãy số (u
n
) có giới hạn
là L R, ta chứng minh dãy số (u
n
L) có
giới hạn 0
Nhận xét:

Lim u
n
= L lim (un - L) = 0 hay ta núi
khoảng cách từ điểm u
n
đến điểm L trở lên
nhỏ bao nhiêu cũng đ ợc miễn là n đủ lớn.

nội dung bài dạy
1) ĐN dãy số có giới hạn hữu hạn
lim u
n
= L R lim (u
n
- L) = 0
Khi đó dãy số (u
n
) gọi là dãy số có
giới hạn hữu hạn.

Muốn chứng minh dãy số (u
n
) có giới hạn
là L R, ta chứng minh dãy số (u
n
L) có
giới hạn 0.
VD2: Cho dãy số (u
n
) với u

n
=
Chứng minh rằng: lim u
n
= 2
2 1n
n
+
VD3: Cho dãy số không đổi (u
n
) với u
n
= c, (c
là hằng số). CMR: lim u
n
= c.
VD4: Dãy số (u
n
), với u
n
= (-1)
n
có giới hạn
hay không?
Nhận xét: Nếu u
n
=v
n
+L(L là 1 số thực) và limv
n

=0
thì lim u
n
=L

nội dung bài dạy
1) ĐN dãy số có giới hạn hữu hạn
lim u
n
= L R lim (u
n
- L) = 0
Khi đó dãy số (u
n
) gọi là dãy số có
giới hạn hữu hạn
2) Một số định lí:
Giả sử lim u
n
= L, lim v
n
= M và c là
một hằng số. Khi đó:
Lim (u
n
+v
n
) = L + M
Lim (u
n

- v
n
) = L - M
Lim (u
n
.v
n
) = L.M
Lim (c.u
n
) = cL
Lim ( nếu M 0)


n
n
u
L
v M
=
Giả sử lim u
n
= L. Khi đó:
a) Lim | u
n
| = | L | và lim

b) Nếu u
n
0 n thì L 0 và lim

3
3
n
u L=
n
u L=
Định lý 2:
Định lý 1:
ýCác b ớc tìm giới hạn :
1) Chia cả tử và mẫu cho n có
luỹ thừa cao nhất.
2) Sử dụng định lí về các phép
toán giới hạn, đ a về giới hạn của một số
dãy số có giới hạn 0 đã biết

Cho các dãy số (u
n
)có dạng
1
1 0
*
1
1 0
, ; , ;

; ,

. 0
i j
p p

p p
n
q q
q q
p q
a b R i j N
a n a n a
u p q N
b n b n b
a b






+ + +

=

+ + +



VD 6: Tìm lim
4 3
4 3
3 2 5
2 3
n n n

n n
+ +
+
VD 7: Tìm lim
2
3 2
2
3 1
n
n n

+ +
= 1/2
= 0
2
3
2
27n n
n

ýNX: lim u
n
=
p< q
p
q
a
b

nếu p = q
0 nếu

nội dung bài dạy
1) ĐN dãy số có giới hạn hữu hạn
lim u
n
= L R lim (u
n
- L) = 0
Khi đó dãy số (u
n
) gọi là dãy số có
giới hạn hữu hạn
2) Một số định lí:
ý Các b ớc làm:
1) Chia cả tử và mẫu cho n có luỹ thừa
cao nhất.
2) Sử dụng định lí về các phép toán giới
hạn, đ a về giới hạn của một số dãy số có
giới hạn 0 đã biết.

Cho dóy s (u
n
), v i:
1
1 0

*
1
1 0
, ; , ;

; ,

. 0
i j
p p
p p
n
q q
q q
p q
a b R i j N
a n a n a
u p q N
b n b n b
a b






+ + +

=

+ + +



Giả sử lim u
n
= L, lim v
n
= M và c là
một hằng số. Khi đó:
Lim (u
n
+v
n
) = L + M
Lim (u
n
- v
n
) = L - M
Lim (u
n
.v
n
) = L.M
Lim (c.u
n
) = cL
Lim ( nếu M 0)

n
n
u
L
v M
=
Giả sử lim u
n
= L. Khi đó:
a) Lim | u
n
| = | L | và lim

b) Nếu u
n
0 n thì L 0 và lim
3
3
n
u L=
n
u L=
Định lý 2:
Định lý 1:
ýNX: lim u
n
=
p > q
p

q
a
b





nếu p = q
0 nếu

nội dung bài dạy
3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
1
1 1
1
lim lim . .
1 1 1
n
n
uq
S u u
q q q

= =
ữ


Do đó:
Vậy để tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn ta

cần xác định u
1
và q
1
lim
1
n
u
S
q
=


Củng cố
Qua tiết học này cần nắm những nội dung sau:
1. lim u
n
= L lim (u
n
- L) = 0
2. Nếu u
n
=v
n
+L(L là 1 số thực) và limv
n
=0 thì lim u
n
=L
3. Định lí 1 và định 2.

4. Limc=c (c l h ng s )
5. Cho các dãy số (u
n
) có dạng
1
1 0
*
1
1 0
, ; , ;

; ,

. 0
i j
p p
p p
n
q q
q q
p q
a b R i j N
a n a n a
u p q N
b n b n b
a b

+ + +

=

+ + +



Thì lim u
n
=
p < q
p
q
a
b





nếu p = q
0 nếu
6. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:
2
1
1 1 1

1
u
S u u q u q
q
= + + + =


B I T P TR C NGHI MÀ Ậ Ắ Ệ
B I T P V NHÀ Ậ Ề À
Xem lại bài học ngày hôm nay, học bài và làm tất cả các
bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tâp.