DE THI HSG TOAN 7 (CO DAP AN)

phòng gd&đt tam nông
TRƯờNG THCS Dị NậU
Đề THI CHọN HọC SINH GIỏI
Môn : Toán lớp 7
Thời gian làm bài 120 phút
BI
Bi 1(4 im)
a/ Tớnh:
A=
3 3 3 1 1 1
4 11 13 2 3 4
5 5 5 5 5 5
7 11 13 4 6 8
+ +
+
+ +
b/ Cho 3 s x,y,z l 3 s khỏc 0 tha món iu kin:
z
zyx
y
yxz
x
xzy +
=
+
=
+
Hóy tớnh giỏ tr biu thc:
B =
1 1 1
x y z

y z x


+ + +
ữ
ữ ữ


.
Bi 2 (4im)
a/ Tỡm x,y,z bit:
2
1 2
0
2 3
x y x xz + + + + =
b/ CMR: Vi mi n nguyờn dng thỡ
2 2
3 2 3 2
n n n n+ +
+
chia ht cho 10.
Bi 3 (4 im) Mt bn tho cun sỏch dy 555 trang c giao cho 3 ngi
ỏnh mỏy. ỏnh mỏy mt trang ngi th nht cn 5 phỳt, ngi th 2 cn 4
phỳt, ngi th 3 cn 6 phỳt. Hi mi ngi ỏnh mỏy c bao nhiờu trang
bn tho, bit rng c 3 ngi cựng nhau lm t u n khi ỏnh mỏy xong.
Bi 4 (6 im): Cho tam giỏc ABC, M l trung im ca BC. Trờn tia i ca tia
MA ly im E sao cho ME=MA. Chng minh rng:
a/ AC=EB v AC // BE
b/ Gi I l mt im trờn AC, K l mt im trờn EB sao cho : AI=EK. Chng

minh: I, M, K thng hng.
c/ T E k EH

BC (H

BC). Bit gúc HBE bng 50
0
; gúc MEB bng 25
0
,
tớnh cỏc gúc HEM v BME ?
Bi 5(2im): Tỡm x, y

N bit:
( )
2
2
36 8 2010y x =
HếT
GIáO VIÊN: PHAN DUY THANH
Híng dÉn chÊm
Bµi ý
Nội dung Điểm
1
4 ®iÓm
a
8
5
6
5

4
5
4
1
3
1
2
1
13
5
11
5
7
5
13
3
11
3
4
3
+−
+−
+
+−
+−
+







+−
+−
+






+−






+−
4
1
3
1
2
1
2
5
4
1
3

1
2
1
13
1
11
1
7
1
5
13
1
11
1
4
1
3
=
13117
1295
13114
1353
xx
x
xx
x
+
5
2
=

1295
13117
13114
1353
x
xx
x
xx
x
+
5
2
=
5
2
172
189
+
=
5172
21725189
x
xx +
=
860
1289
2
b
Ta có:
y z x z x y x y z

x y z
+ − + − + −
= =

1 1 1
y z z x x y
x y z
+ + +
⇒ − = − = −
( )
2
2
x y z
y z z x x y
x y z x y z
+ +
+ + +
⇒ = = = =
+ +
1 1 1
 
  
⇒ = + + +
 ÷
 ÷ ÷
  
 
x y z
B
y z x

. .
x y y z z x
y z x
+ + +
=

. . 2.2.2 8
x y z x y z
z y x
+ + +
= = =
Vậy B=8
0,5
0,5
0,5
0,5
2
4 điểm
a

2
1 2
0
2 3
x y x xz− + + + + =
Áp dụng tính chất
A

≥

0
( )
2
1
1
0
0
2
2
2 2
0 0
3 3
0
0
x
x
y y
x x z
x xz


− =
− =






⇒ + = ⇒ + =

 
 
 
+ =
+ =
 



1
2
2
3
1
2
x
y
z x

=



⇒ = −



= − = −



Vậy x = 1/2; y = -2/3; z = -1/2
0,25
1,5
0,25
b
Ta có:
2 2
3 2 3 2
n n n n+ +
− + −
=
2 2
(3 3 ) (2 2 )
n n n n+ +
+ − +

( ) ( )
2 2
3 3 1 2 2 1
n n
= + − +

3 .10 2 .5= −
n n
= 10.(3
n
– 2
n-1
)
Vì 10.(3

n
– 2
n-1
) chia hết cho 10 với mọi n nguyên dương
Suy ra điều phải chứng minh.
0,75
0,5
0,5
0,25
3
4điểm
Gọi số trang người thứ nhất, người thứ 2, người thứ 3 đánh máy được
theo thứ tự là x,y,z.
Trong cùng một thời gian, số trang sách mỗi người đánh được tỉ lệ
nghịch với thời gian cần thiết để đánh xong 1 trang; tức là số trang 3
người đánh tỉ lệ nghịch với 5; 4; 6.
Do đó ta có:
1 1 1
: : : : 12 :15:10
5 4 6
x y z = =
.
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
555
15
12 15 10 12 15 10 37
x y z x y z+ +
= = = = =
+ +
180; 225; 150x y z⇒ = = =

.
Vậy số trang sách của người thứ nhất, thứ hai, thứ ba đánh được lần
lượt là: 180, 225, 150 .
0,5
1,0
0,75
0,75
0,75
0,25
a (2 điểm)
Xét
AMC∆
và
EMB∆
có :
K
H
E
M
B
A
C
I
Chú ý : Nếu học sinh làm theo cách khác đúng vẫn chấm điểm tối đa.
K
H
E
M
B
A

C
I